瞬时变化率——导数

1.1.2 瞬时变化率——导数导数定义求函数的导函数.1．瞬时速度(1)在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为__________．(2)一般地，如果当Δt __________0时，运动物体位移s (t )的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt无限趋近于一个______，那么这个______称为物体在t ＝t 0时的__________，也就是位移对于时间的____________．预习交流1做一做：如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3 s 时的瞬时速度为__________． 2．瞬时加速度一般地，如果当Δt __________时，运动物体速度v (t )的平均变化率v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt无限趋近于一个_______，那么这个________称为物体在t ＝t 0时的_________，也就是速度对于时间的____________．3．导数(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于一个______A ，则称f (x )在x ＝x 0处______，并称该______A 为函数f (x )在x ＝x 0处的______，记为______．(2)导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的________． (3)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的________，记作________．预习交流2做一做：设函数f (x )可导，则当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于__________．预习交流3做一做：函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是__________．预习交流4利用导数求曲线切线方程的步骤有哪些？预习导引1．(1)平均速度 (2)无限趋近于 常数 常数 瞬时速度 瞬时变化率预习交流1：提示：s (3＋Δt )＝3(3＋Δt )2＝3[9＋6Δt ＋(Δt )2]＝27＋18Δt ＋3(Δt )2.s (3)＝3×32＝27.Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝18Δt ＋3(Δt )2， ∴Δs Δt ＝18＋3Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→18. 2．无限趋近于0 常数 常数 瞬时加速度 瞬时变化率3．(1)常数 可导 常数 导数 f ′(x 0) (2)斜率 (3)导函数 f ′(x )预习交流2：提示：f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13·f (1＋Δx )－f (1)Δx，当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)，∴原式＝13f ′(1)．预习交流3：提示：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )21＋Δx.∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx →0，即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0. 预习交流4：提示：利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； (3)将所得切线方程化为一般式．一、求瞬时速度一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，当汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度为12 m/s ，求a .思路分析：先根据瞬时速度的求法得到汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度的表达式，再代入求出a 的值．1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2.其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是__________．2．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ．求子弹射出枪口时的瞬时速度．根据条件求瞬时速度的步骤：(1)探究非匀速直线运动的规律s ＝s (t )；(2)由时间改变量Δt 确定路程改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(3)求平均速度v ＝ΔsΔt；(4)运用逼近思想求瞬时速度，当Δt →0时，ΔsΔt→v (常数)．二、利用导数的定义求函数的导数已知f (x )＝x 2－3.(1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．思路分析：根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键．1．若函数f (x )＝ax －2在x ＝3处的导数等于4，则a ＝__________.2．(1)求函数f (x )＝1x ＋1在x ＝1处的导数；(2)求函数f (x )＝2x 的导数．结合函数，先求出Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，再求ΔyΔx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx →0时，求ΔyΔx 的值，即f ′(x 0)．三、导数的几何意义已知y ＝2x 3上一点A (1,2)，求点A 处的切线斜率．思路分析：为求得过点(1,2)的切线斜率，可以从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手．1．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为__________．2．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程．1．导数的几何意义是指：曲线y ＝f (x )在(x 0，y 0)点处的切线的斜率就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．2．运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否是在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．1．若一物体的运动方程为s ＝2－12t 2，则该物体在t ＝6时的瞬时速度为__________．2．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为__________． 3．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为__________．4．一质点按规律s ＝2t 3运动，则t ＝2时的瞬时速度为__________．5．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)＝__________.答案：活动与探究1：解：∵s ＝at 2＋1，∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1.于是Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2＋1－(4a ＋1)＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2Δt＝4a ＋a ·Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt→4a ，依题意有4a ＝12，∴a ＝3. 迁移与应用：1．5 m/s 解析：s (3＋Δt )＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2＝(Δt )2＋5Δt ＋7，所以s (3＋Δt )－s (3)＝(Δt )2＋5Δt ， 故s (3＋Δt )－s (3)Δt＝Δt ＋5，于是物体在3 s 末的瞬时速度，即Δt →0时，ΔsΔt→5(m/s)．2．解：运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0·Δt ＋12a ·(Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a ·Δt ，∴Δt →0时，ΔsΔt→at 0. 由题意知a ＝5×105(m/s 2)，t 0＝1.6×10－3(s)，故at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.活动与探究2：解：(1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－3－(22－3)Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4.(2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2－3－(a 2－3)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .迁移与应用：1．4 解析：由题意知f ′(3)＝4，而f ′(3)＝Δy Δx ＝a (3＋Δx )－2－(3a －2)Δx＝a ，当Δx →0时，ΔyΔx→a ，故a ＝4.2．解：(1)(导数定义法)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，∴ΔyΔx＝－12(2＋Δx )，从而Δx →0时，2＋Δx →2，∴f (x )在x ＝1处的导数等于－14.(导函数的函数值法)∵Δy ＝1x ＋Δx ＋1－1x ＋1＝－Δx (x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，∴ΔyΔx＝－1(x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，从而Δx →0时，Δy Δx →－1(x ＋1)2，于是f ′(1)＝－1(1＋1)2＝－14.(2)∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2x ＋Δx －2x ，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx －2x Δx ＝(2x ＋Δx －2x )(x ＋Δx ＋x )Δx (x ＋Δx ＋x )＝2x ＋Δx ＋x，从而Δx →0时，Δy Δx →1x.活动与探究3：解：设A (1,2)，B (1＋Δx,2(1＋Δx )3)，则割线AB 的斜率为k AB ＝2(1＋Δx )3－2Δx ＝6＋6Δx ＋2(Δx )2，当Δx 无限趋近于0时，k AB 无限趋近于常数6，从而曲线y ＝2x 3在点A (1,2)处的切线斜率为6.迁移与应用：1．x －y －1＝0 解析：∵y ＝14x 2，Δy ＝14(2＋Δx )2－14×22＝Δx ＋14(Δx )2，Δy Δx＝1＋14Δx ， ∴当Δx →0时，Δy Δx →1，即f ′(2)＝1，由导数的几何意义得抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0.2．解：因为Δy Δx ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12－1)Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. 当堂检测1．－6 解析：Δs Δt ＝s (6＋Δt )－s (6)Δt ＝2－12(6＋Δt )2－(－16)Δt ＝－12Δt －6，∴当Δt →0时，ΔsΔt→－6.2．45° 解析：∵Δy Δx ＝12(1＋Δx )2－2－12×1＋2Δx ＝Δx ＋12(Δx )2Δx ＝1＋12Δx ，当Δx无限趋近于0时，1＋12Δx 无限趋近于1，∴曲线y ＝12x 2－2在点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线斜率为1，∴倾斜角为45°.3．－3 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx＝－3.∴f (x )在x ＝2处的导数为－3.4．24 解析：Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )3－2×23＝2×[8＋6(Δt )2＋12Δt ＋(Δt )3]－16＝24Δt ＋12(Δt )2＋2(Δt )3， ∴Δs Δt ＝24＋12Δt ＋2(Δt )2，则当Δt →0时，Δs Δt →24. 5．98解析：由题图可知，直线l 的方程为9x ＋8y －36＝0. 当x ＝2时，y ＝94，即f (2)＝94.又切线斜率为－98，即f ′(2)＝－98，∴f (2)＋f ′(2)＝98.欢迎您的下载，资料仅供参考！。

…… ……
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 到 △ 这段时间内平均速度
∆h v = = − 1 3 .1 − 4 .9 ∆ t ∆t 趋近于0时 从小于2的一边 还是从大于2 的一边, 当Δt趋近于 时, 即无论 t 从小于 的一边 还是从大于
的一边趋近于2时 的一边趋近于 时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 无限变小时, 从物理的角度看 时间间隔 |Δt |无限变小时 平均速度 v 无限变小时 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度 因此 运动员在 t = 2 时的 时的瞬时速度. 时的瞬时速度 因此, 瞬时速度是 –13.1.
h(t0 + ∆t) − h(t0 ) lim ∆t →0 ∆t 2 − 4.9(∆t) − (9.8t0 − 6.5)∆t = lim ∆t →0 ∆t = lim (−4.9∆t − 9.8t0 + 6.5)
∆t →0
= −9.8t0 + 6.5
定义: 定义
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
结论：随着气球体积逐渐变大 它的平均膨胀率逐渐变小 它的平均膨胀率逐渐变小. 结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小
3
思考：
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少?
r (V2 ) − r (V1 ) V2 − V1
问题2 问题 高台跳水
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单 在高台跳水运动中 单 单位: 位:m)与起跳后的时间 t (单位 s) 存在函数关系 与起跳后的时间 单位
练习: 计算第3h和第 时原油的瞬时变化率, 和第5h时原油的瞬时变化率 练习: 计算第 和第 时原油的瞬时变化率 并说明它 们的意义. 们的意义

瞬时变化率—导数教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。

从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。

所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。

2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：(2) 位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤： 1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆2.再求平均速度ts v ∆∆=3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，ts ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00 (5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，t t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率三、数学应用例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。

以初速度 v0(v0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为 s(t)＝ v0t－12gt2，则物体在 t0 时刻的瞬时速度为________．
[答案] v0－gt0
[解析] 因为Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt20) ＝(v0－gt0)Δt－21g(Δt)2， 所以ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt， 所以当Δt无限趋近于0时，ΔΔst无限趋近于v0－gt0， 故物体在时刻t0的瞬时速度为v0－gt0.
第一章
1.1 导 数 第2课时 瞬时变化率与导数
复习 平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1, x2 ]的平均变化率为
f (x1) f (x2 ) y
x1 x2
x
平均速度
v s t
平均速度反映了在某一段时间内
运动的快慢程度,那么,如何刻画在
某一时刻运动的快慢程度呢?
实例:
小明去蹦极,假设小明下降的运动
重要结论:
x 0
平均变化率
瞬时变化率
二、瞬时变化率与导数
设函数 y＝f(x)在 x0 附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近的 改变量为 Δx 时，函数值相应地改变 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
如果当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0趋 近于一个常数 l，那么常数 l 称为函数 f(x)在点 x0 处的瞬时变化 率当．Δ记x→作0：时，fx0＋ΔΔxx－fx0→l.上述过程通常也记作 Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0＝l.函数在点 x0 处的瞬时变化率通常称为 f(x)在 x＝x0 处的导数，这时，记作 f′(x0)，即 f′(x0)＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0，也可记作 y′|x＝x0.

优化问题中的近似计算
在求解一些优化问题时，可以利用微分进行近似计算，如求解最小 值、最大值等问题。
05
高阶导数及其性质探讨
Chapter
高阶导数定义及计算方法
高阶导数定义
高阶导数是指函数导数的导数，即多次求导得到的导数。例如，函数f(x)的一阶导数为f'(x)，二阶导数 为f''(x)，以此类推，n阶导数为f^n(x)。
最值
函数在某一区间内的最大值或最小值称为该函数在该区间内的最值。通过求导并 令导数为零，可以求得函数的驻点，进而判断驻点是否为最值点。
极值
函数在某一点处的极大值或极小值称为该函数在该点的极值。极值是函数局部性 质的一种表现，通过研究函数的极值可以了解函数的整体性质。
04
微分概念及其在近似计算中应 用
06
总结回顾与拓展延伸
Chapter
本章知识点总结回顾
导数的定义与几何意义
导数描述了函数在某一点处的瞬 时变化率，其几何意义是函数图 像在该点处的切线的斜率。
高阶导数
二阶及二阶以上的导数统称为高 阶导数，表示函数的变化率的变 化率。
01 02 03 04
导数的计算法则
包括基本初等函数的导数公式、 导数的四则运算法则、复合函数 的求导法则等。
若f(x) = log_a x（a > 0，a ≠ 1），则 f'(x) = 1 / (x ln a)
常数函数
若f(x) = c（c为常数 ），则f'(x) = 0
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
若f(x) = a^x（a > 0 ，a ≠ 1），则f'(x) = a^x ln a

平均变化率，也就是该点处的瞬时变化率， O x 它精确地刻画了该点处的变化趋势。
注意： x 称为 x 0 的增量，可以正，也可以负，不可以为 0，只 是无限接近于 0。
例 1．已知 斜率。
f (x) x
2
，求曲线 y f ( x ) 在 x 2 处的切线
解：设 P ( 2 , 4 ),
x x
Q ( x 2 , f ( x 2 ))
k PQ
P( x 1 , f ( x 1 )) O x
f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化率。 如何精确地刻画曲线上某点处的变化率呢？
问题1：抛物线有一个很奇妙的光学性质，你知道吗？
2
处
解：由变题可知，曲线 y f ( x ) 在 x 1 处的切线 斜率为 2。
切点为 P (1, 2 ) 。
因此，切线方程为 y 2 x .
图象
思考：切线斜率的符号与绝对值大小反映在函 数图象上有什么特点？
方法总结:
求曲线 y
f (x) 在 x x0
处的切线斜率的步骤：
x , f ( x 0 x ))
2
f ( x0 x) f ( x0 ) x
2

[( x 0 x ) 2 ( x 0 x )] ( x 0 2 x 0 ) x
2 x0 x 2 。
当x
0
时， k PQ
f (x)
2 x0 x 2 2 x0 2
，
2
Q ( 2 x , ( 2 x ) ),
2
则割线 PQ 的斜率为 k

随着数学与其他学科的交叉融 合，导数的应用将更加深入和 广泛，为解决实际问题提供更 加有效的工具。
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隐函数导数计算
总结词
掌握隐函数的求导方法
详细描述
隐函数的导数可以通过对等式两边同 时求导来获得，注意处理复合变量和 函数之间的关系。
高阶导数计算
总结词
理解高阶导数的概念和计算方法
详细描述
高阶导数表示导数在研究函数的极值、拐点等问题中有重 要应用。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率。
详细描述
在二维平面坐标系中，函数图像上某一点的切线斜率即为该点的导数值。导数可 以用来判断函数在该点的增减性以及变化趋势。
导数与瞬时速度的关系
总结词
导数与瞬时速度之间存在密切联系。
详细描述
在物理和工程领域中，瞬时速度的概念常常用到。瞬时速度可以理解为物体在某一时刻的运动速度，这个速度是 通过物体在该点的加速度与时间的变化率来计算的，而加速度的变化率即为该点的导数。因此，导数可以用来描 述瞬时速度的变化趋势。
要点二
详细描述
在实际问题中，经常需要解决一些优化问题，如最大利润 、最小成本等。通过建立数学模型，将实际问题转化为数 学问题，并利用导数研究函数的性质，可以找到最优解， 为实际问题的解决提供有效的途径。
04
导数的物理意义与经济学意义
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体运动的速度和 加速度，例如自由落体运动中，物体 的速度和加速度可以通过对高度关于 时间的函数求导得到。
导数在其他领域的应用
工程学
在工程学中，导数可以用来描述机械运动的 规律，例如在机械振动中，物体的振动频率 和振幅可以通过对位移关于时间的函数求导 得到。

3.1.2 瞬时变化率——导数（一）5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.已知f(x)=-x 2+10,则f(x)在x=23处的瞬时变化率是( ) A.3 B.-3 C.2 D.-2答案：B 解析：x y ∆∆=xx ∆+---+∆+-]10)23([10)23(22=-3-Δx. 当Δx 无限趋近于0时，xy ∆∆无限趋近于-3，选B. 2.曲线f(x)=x 3+1上对应于x=1处的切线的斜率为( )A.1B.-1C.3D.-3答案：C 解析：x y ∆∆=xx ∆+-+∆+)11(1)1(33=3+3Δx+Δx 2. 当Δx 无限趋近于0时，xy ∆∆无限趋近于3，选C. 3.求曲线y=x +1在点（1，2）处的切线的斜率.解：设在x=1处有改变量Δx ，则对应的函数的改变量为 Δy=1+221)1(1-∆+=+-∆++x x x . 则当Δx 无限趋近于0时，x y ∆∆=)22()22)(22(22+∆+∙∆+∆+-∆+=∆-∆+x x x x x x 221+∆+=x 无限趋近于42，即曲线y=x +1在（1，2）处的切线的斜率是42. 10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.在导数定义中,自变量的增量Δx （ ）A.Δx ＞0B.Δx ＜0C.Δx=0D.Δx≠0答案：D解析：Δx 表示一个趋向于0的无穷小量,可以大于0,也可以小于0,但不能等于0.2.设函数y=f(x),当自变量x 由x 0改变到x 0+Δx 时,函数的改变量Δy 为（ ）A.f(x 0+Δx)B.f(x 0)+ΔxC.f(x 0)·ΔxD.f(x 0+Δx)-f(x 0) 答案：D解析：Δy 表示变量y 在区间［x 0,x 0+Δx ］上的增量.即Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0).3.已知曲线y=2x 3上一点A(1,2),则A 处的切线的斜率为（ ）A.6B.4C.6+Δx+2(Δx)2D.2答案：A解析：求点A 处的切线的斜率即求f(x)在点A(1,2)处的导数.∵x y ∆∆=xx x f x f ∆⨯-∆+=∆-∆+3212)1(2)1()1(=6+6Δx+2(Δx)2, ∴Δx 趋向于0时,xy ∆∆趋向于6,所以f(x)在点A(1,2)处的导数为6,即点A 处切线的斜率为6. 4.已知某质点按规律s=2t 2+2t(米)作直线运动,质点在3秒时的瞬时速度为___________. 答案：14 m/s解析：求质点在3秒时的瞬时速度也就是求t=3时的导数.v=0lim →∆t t s ∆∆=0lim →∆t tt t t f t f ∆⨯+⨯-∆++∆+=∆-∆+)3232()]3(2)3(2[)3()3(22 =0lim →∆t (14+2Δt)=14(m/s). 5.已知y=x 3-2x+1,则y′|x=2=______________.答案：10解析：Δy=(2+Δx)3-2(2+Δx)+1-(23-2×2+1)=(Δx)3+6(Δx)2+10Δx,xy ∆∆=（Δx)2+6Δx+10, ∴y′|x=2=0lim →∆x ［(Δx)2+6Δx+10］=10. 6.如图,曲线y=x 3在x 0=0处的切线是否存在?若存在,求出切线的斜率和切线方程;若不存在,请说明理由.插入图片F03；Z3mm解:Δy=f(0+Δ x)-f(0)=(Δx)3,x y ∆∆=(Δx)2.当Δx 无限趋近于0时,xy ∆∆无限趋近于常数0,这说明割线会无限趋近于一个极限位置,即曲线在x=0处的切线存在,此时切线的斜率为0(x y ∆∆无限趋近于0),又曲线过点(0,0),故切线方程为y=0.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.一质点按规律s=2t 3运动,则在t=2时的瞬时速度为( )A.4B.6C.24D.48答案：Ct s ∆∆=tt ∆⨯-∆+3322)2(2=24+12Δt+2Δt 2. 当Δt 无限趋近于0时，ts ∆∆无限趋近于24. 2.一物体的运动方程是s=5t+23t 2,则下述四个结论中正确的个数是( ) ①物体在时间段［0,1］内的平均速度是213m/s;②物体在t=1 s 时的瞬时速度是8 m/s;③物体在时间段［0,1］内经过的位移是8 m;④物体在时间段［0,1］内经过的位移是213m.A.1B.2C.3D.4答案：C只有③错,选C.3.物体运动方程为s=41t 4-3,则t=5时的瞬时速度为( ) A.5 B.25 C.125 D.625答案：C Δs=41（t+Δt ）4-3-（41t 4-3） =41［t 4+4t 3·Δt+6t 2·（Δt ）2+4t·（Δt ）3+（Δt ）4］-3-41t 4+3 =41·［（Δt ）4+4t·（Δt ）3+6t 2·（Δt ）2+4t 3·Δt ］. ∴t s ∆∆=tt t t t t t t ∆∙∆∙+∆∙+∆∙+∆44)(6)(4)(32234 =41［（Δt ）3+4t·（Δt ）2+6t 2·Δt+4t 3］. ∴当Δt 无限趋近于0时， s′=41（0+0+0+4t 3）=t 3. ∴s′|t =5=53=125.∴t=5时的瞬时速度为125.4.曲线f(x)=x 在点(4,2)处的切线的斜率是_______________. 答案:41 解析:x y ∆∆=24124+∆+=∆-∆+x x x .当Δx 无限趋近于0时，x y ∆∆无限趋近于41. 5.如图,A,B 是抛物线y=2-x 2上的两点,则割线AB 的斜率是_____________,当Δx 无限趋于0时,可得抛物线上过点A 的切线的斜率为_______________.插入图片F04;S*2;X*2答案:-2-Δx -2解析:x y ∆∆=xx ∆--∆+-22)12()1(2=-2-Δx. 当Δx 无限趋近于0时，xy ∆∆无限趋近于-2. 6.曲线y=x 3-4x 在点(1,-3)处的切线的倾斜角为_______________.答案:43π解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-4(1+Δx)-(1-4)=(Δx)3+3(Δx ）2-Δx.xy ∆∆=(Δx)2+3Δx -1. 当Δx 无限趋近于0时,xy ∆∆无限趋近于-1,所以曲线y=x 3-4x 在点(1,-3)处的切线的斜率为-1. 因为直线的倾斜角α∈［0，π）， 所以，所求切线的倾斜角α=43π. 7.抛物线y=x 2+bx+c 在点(1,2)处的切线平行于直线bx+y+c=0,求两条平行线间的距离.解:x y ∆∆=xc b c x b x ∆++-+∆++∆+)1()1()1(2 =2+Δx+b.当Δx 无限趋近于0时，xy ∆∆无限趋近于2+b ，即切线的斜率为2+b. ∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧++=-=+.2,1,12,2c b c b b b 切线方程为x-y+1=0， 平行直线方程为x-y-2=0，两平行直线间的距离为223. 8.若一物体的运动方程为s=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+).3()3(32),30(1322t t t t 求此物体在t=1和t=4时的瞬时速度.解:当t=1时,s=3t 2+1,Δs=s （1+Δt ）-s （1）=3（1+Δt ）2+1-4=6Δt+3（Δt ）2. ∴t s ∆∆=tt t ∆∆+∆2)(36=6+3Δt. 当Δt 无限趋近于0时，ts ∆∆无限趋近于常数6，即物体在t=1时的瞬时速度为6. 当t=4时,s=2+3(t-3)2.Δs=s(t+Δt)-s(t)=s(4+Δt)-s(4)=2+3(4+Δt -3)2-2-3(4-3)2=3［6Δt+3（Δt ）2］， ∴t s ∆∆=6+3Δt.当Δt 无限趋近于0时,ts ∆∆无限趋近于常数6,即物体在t=4时的瞬时速度为6. 9.已知x 轴是曲线y=x 3+bx+c 的一条切线,试求b 、c 满足的关系式.解：∵y=x 3+bx+c ，∴Δy=（x+Δx ）3+b （x+Δx ）+c-（x 3+bx+c ）=3x 2Δx+3x·（Δx ）2+（Δx ）3+bΔx. ∴xy ∆∆=3x 2+b+3x·Δx+（Δx ）2. ∴当Δx→0时，x y ∆∆→3x 2+b. ∴y′=3x 2+b.由于x 轴是曲线y=x 3+bx+c 的一条切线.设切点(x 0,0),则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=+)2(.0)1(,0303020c bx x b x由②得x 0（x 02+b ）=-c ，两边平方得：x 02（x 02+b ）2=c 2，由①得x 02=3b -，将它代入上式得： 3b -（3b -+b ）2=c 2， ∴2743b -=c 2,即27432b c -=. 10.已知自由落体的运动方程为s=21gt 2,求: (1)落体在t 0到t 0+Δt 这段时间内的平均速度;(2)落体在t 0时的瞬时速度;(3)落体在t 0=2秒到t 1=2.1秒这段时间内的平均速度;(4)落体在t=2秒时的瞬时速度.解:平均速度v =ts ∆∆,瞬时速度v=0lim →∆t t s ∆∆. (1)落体在t 0到t 0+Δt 这段时间内（即Δt 时间内）取得的路程增量为Δs=21g （t 0+Δt ）2-21gt 02. 因此,落体在这段时间内的平均速度为:v =t s ∆∆=tt t t g t gt t t g ∆∆+∆=∆-∆+)2(2121)(2102020=21g(2t 0+Δt ）. (2)落体在t 0时的瞬时速度为v=0lim →∆t v =0lim →∆t 21g(2t 0+Δt)=gt 0. (3)落体在t 0=2秒到t 1=2.1秒时,其时间增量Δt=t 1-t 0=0.1(秒),由(1)知平均速度为 v =21g(2×2+0.1)=2.05g≈2.05×9.8=20.09(米/秒). (4)由(2)知落体在t 0=2秒时的瞬时速度为v=g×2≈9.8×2=19.6(米/秒).。

1.1.2瞬时变化率-导数（二）瞬时速度与瞬时加速度一、教学目标（1）理解瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程。

理解平均变化率的几何意义；理解△x 无限趋近于0的含义；（2）运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度。

二、教学过程 （1）引入在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？关于这些数据，下面的判断对吗？2．当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /。

3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ∆+上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ∆+2,2上的平均速度； 5． -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1s m /。

分析:2=t 秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1s m /。

（2）新课讲解瞬时速度和瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度。

(2) 位移的平均变化率：t t s t t s ∆-∆+)()(00(3)瞬时速度：当t ∆无限趋近于0时，t t s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为0t t =时的瞬时速度。

1.1.2　瞬时变化率——导数1．结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义．(重点、难点)2．会求简单函数在某点处的导数及切线方程．(重点)3．理解导数与平均变化率的区别与联系．(易错点)[基础·初探]教材整理1　曲线上一点处的切线阅读教材P8～P9“例1”以上部分，完成下列问题．设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q 沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P 时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P 处的切线．判断正误：(1)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( )(2)过曲线外一点作已知曲线的切线有且只有一条．( )【答案】　(1)×　(2)×教材整理2　瞬时速度与瞬时加速度阅读教材P11～P12，完成下列问题．(1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．1．判断正误：(1)自变量的改变量Δx是一个较小的量，Δx可正可负但不能为零．( )(2)瞬时速度是刻画某物体在某一时间段内速度变化的快慢．( )【答案】　(1)√　(2)×2．如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为________．【解析】　＝＝18＋3 ”t，当Δt→0时，＝18＋3×0＝18.∴质点A在t＝3时的瞬时速度为18.【答案】　18教材整理3　导数阅读教材P13～P14，完成下列问题．1．函数在一点处的导数及其几何意义(1)导数设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．(2)导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．1．判断正误：(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( )(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切线的斜率．( )(3)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．( )(4)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在．( )【解析】　根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立．【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√2．已知f(x)＝2x＋5，则f(x)在x＝2处的导数为________．【解析】　”y＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)＋5－(2×2＋5)＝2 ”x，∴＝2，∴f′(2)＝2.【答案】　23．函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，若P点的横坐标为4，则f(4)＋f′(4)＝________.【解析】　由导数的几何意义，f′(4)＝－2.又f(4)＝－2×4＋9＝1.故f(4)＋f′(4)＝1－2＝－1.【答案】　－1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型]求瞬时速度、瞬时加速度　(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________．(2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是__________．【精彩点拨】　先求出，再求瞬时速度．【自主解答】　(1)∵”s＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝v0”t－gt0”t－g( ”t)2，∴＝v0－gt0－g”t，∴当Δt→0时，→v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋( ”t)3＋3 ”t＋3( ”t)2]－2＝2＋2( ”t)3＋6 ”t＋6( ”t)2－2＝2( ”t)3＋6( ”t)2＋6 ”t，∴＝＝2( ”t)2＋6 ”t＋6，∴当Δt→0时，→6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.【答案】　(1)v0－gt0　(2)6求运动物体瞬时速度的三个步骤：(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求平均速度＝；(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．[再练一题]1．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度.【导学号：01580003】【解】　(1)＝＝＝(3－Δt)，当Δt→0时，3－Δt→3即物体的初速度为3 m/s.(2)＝＝＝＝－Δt－1，当Δt→0时，－Δt－1→－1，即物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反．(3)＝＝＝1，即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.求函数在某点处的导数　求函数y＝在x＝2处的导数．【精彩点拨】　求Δy→计算→当Δx→0，得导数【自主解答】　令f(x)＝，则Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－1＝，∴＝，当Δx→0时，→－1，∴函数y＝在x＝2处的导数为－1.由导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率＝；(3) ”x→0，得导数f′(x0)．[再练一题]2．求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．【解】　∵”y＝(1＋Δx)－－＝”x＋1－＝Δx＋，∴＝＝1＋，当Δx→0时，1＋→2∴函数在x＝1处的导数等于2.[探究共研型]导数的几何意义及其应用探究10P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？【提示】　根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．探究2　曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点．【提示】　不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．探究3　函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系．【提示】　区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值．　已知曲线f(x)＝.(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．【精彩点拨】　(1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．(2)设出切点坐标，由该点斜率为－，求出切点，进而求出切线方程．【自主解答】　(1)＝＝，当Δx→0时，→－.设过点A(1,0)的切线的切点为P，①则f′(x0)＝－，即该切线的斜率为k＝－.因为点A(1,0)，P在切线上，所以＝－，②解得x0＝.故切线的斜率k＝－4.故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，即4x＋y－4＝0.(2)设斜率为－的切线的切点为Q，由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.所以切点坐标为或.故满足斜率为－的曲线的切线方程为y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.1．求曲线过已知点的切线方程的步骤2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．[再练一题]3．已知抛物线y＝2x2，则抛物线在点(1,2)处的切线方程为________.【导学号：01580004】【解析】　因为＝＝＝4＋2 ”x，当Δx→0时，4＋2 ”x→4，所以f′(1)＝4.所以切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.【答案】　4x－y－2＝0[构建·体系]1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是________．【解析】　∵＝＝5＋Δt，∴”t→0，＝(5＋Δt)→5(m/s)．【答案】　5 m/s2．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________.【解析】　因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4a”t＋a( ”t)2，所以＝4a＋a”t，故当t＝2时，瞬时速度为Δt→0时→4a，所以4a＝8，所以a＝2.【答案】　23．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．【解析】　＝＝＝，令Δx→0时，→－.∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.【答案】　x＋2y＋4＝04．已知f′(1)＝－2，则当Δx→0时，→________.【解析】　＝2·当Δx→0时，→f′(1)，∴2·→2f′(1)＝2×(－2)＝－4.【答案】　－45．求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．【解】　设切点为Q(a，a2＋1)，＝＝2a＋Δx，当Δx→0时，2a＋Δx→2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，＝2a，解得a＝1±，所以所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．我还有这些不足：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。

Q 割线 切线
y=f(x) P（x0,f(x0))
f (x0+x) f (x0) Q(x0+△x,f(x0+ △x))
（即 y) △x>0时,点Q位于点P的右侧
x
M
X0＋x x
△x<0时,点Q位于点P的左侧
求曲线y=f (x)上一点P(x0,f(x0))处切线斜率的一般步骤：
1.设曲线上另一点Q(x0+Δx,f(x0 + Δx))
2.1 2
（2）计算运动员在2s到2＋Δt s（t∈[2，2＋ Δt]）内的平均速度.
则割线PQ的斜率为：
kPQ＝
xQ 2－4 xQ－2
令xQ－2＝x，
所以xQ＝x＋2
＝xQ＋2
k
PQ＝
(2＋x) x
2－4
＝ 4x＋x2 x
＝4＋x
当xQ无限趋近于2时， kPQ无限趋近于常数4， 从而曲线f(x)＝x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4．
当Δx无限趋近于0时， kPQ无限趋近于常数4， 从而曲线f(x)＝x2 在点(2，4)处的切线 斜率为4．
问题二：
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程 中，不同时刻的速度是不同的．假设t 秒后运动 员相对于水面的高度为H(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋ 10， 试确定t＝2s时运动员的速度.
（1）计算运动员在2s到2.1s（t∈[2，2.1]） 内的平均速度.
v H 2.1 H 2 13.59m / s
高中数学 选修２-２
放大
放大
问题一 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
问题二 观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你 看到了怎样的现象？

【结论1】连续未必可导；可导一定连续.
【定义】
左导数：
f(
x0
)

lim
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
右导数：
f(
x0
)

lim
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
【结论2】可 导 左 右 导 数 存 在 且 相 等
f ( x0 )存 在 f( x0 ) f( x0 ) 【练习】P63 B3
v s s s0 280 0 140（ 公 里/ 小 时 ） t t t0 15 13
在行驶的过程中，速度表显示的速率是瞬时速率.
结论：在某一时刻 t，该车的瞬时速率一定大于120.
引例
【思考】数学上怎样理解平均速率和瞬时速率？ 【分析】速率 = 路程关于时间的变化率
x
k

lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
瞬时速率、差商的极限、切线斜率本质均为函数f ( x)在x0
点处的瞬时变化率.
引例
本质
物理意义
平均变化率 平均速率
瞬时变化率 瞬时速率
几何意义 数学概念
割线斜率
差商
切线斜率 差商的极限
导数
lim f ( x0 h) f ( x0 )
第二章 一元微分学及其应用
2-1 导数——瞬时变化率 2-2 导数的基本公式及运算法则 2-3 导数的应用 2-4 高阶导数及其应用 2-6 函数的微分及其应用 2-7 微分中值定理 2-8 洛必达法则
简单实际——抽象概念——复杂实际（应用更丰富）
引例

s s ff ((tt00 tt)) ff ((tt00)) v 。 v 。 tt tt
s 近似的程度就越好。所以当t0时，比值 t
就是物体在t0时刻的瞬时速度，即
f (t0 t ) f (t0 ) v在t0的瞬时速度 t
解:
v f (t0 t ) f (t0 ) a ． t t
2t 0 x
当t无限趋于0时， a无限趋于2t 0 ,即a 2t 0
H ( 2.1) H ( 2) v 13.59( m / s ) 2.1 2
(2)计算运动员在2s到2+⊿t s(t∈[2,2+⊿t])
内的平均速度。
时间区间 [2，2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.0001] [2,2.00001] [2,2.000001] 当△t→0时，
数学运用：
例2 设一辆轿车在公路上作直线运动，假设t s时
v(t ) t 2 3 ，求当 的速度为
t t0 s时轿车的瞬时
加速度．
分析:
1 s s(t0 t ) s(t0 ) 2 g t g (t ) 2 2 __ s s(t0 t ) s(t0 ) 1 v 2 g g ( t ) t t 2
v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值， t 越小，
当t 0时
1.曲线在某一点切线的斜率
y
y=f(x)
Q
割 线
T
回顾
P
切线
o
x
k PQ
f ( x x) f ( x) ) x
(当x无限趋限0时, k PQ无限趋限趋近点P处切 斜率)
3.物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度. （即t=t0时速度相对时间的瞬时变化率） 以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过 取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速 度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。

如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说
f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每
一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数f ’(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一
新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，
变式2：求函数 y x2 的导函数
例2.火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到 100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0
解：火箭的运动方程为 h(t) 100t 1 gt2 2
设t0时刻向上速度变为0，平均变化率为
[100(t0

t)


1 2
g(t0

t)2
]

(100t0
记作
f ' (x) 或 y' (需指明自变量时记作 yx' )
思考：求函数y=f(x) 在点 x0处导数的方法是什么？
(1)求函数改变量 △y = f（x0 + △x）－f（x0）
(2)求平均变化率
y f (x0 x) f (x0 )
x
x
(3)求极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )

1 2
gt02
)
t

100

gt0

1 2
gt
lim 当 t 0
时
h(t)
t 0
(100

gt0

1 2
gt)
100

gt0

0
t0

100 g
10.2

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瞬时变化率——导数●三维目标1．知识与技能了解导数概念的实际背景;理解函数在某点处导数以及在某个区间的导函数的概念；会用定义求瞬时速度和函数在某点处的导数．2．过程与方法用函数的眼光来分析研究物理问题；经历由平均速度与瞬时速度关系类比由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,体会数形结合、特殊到一般、局部到整体的研究问题的方法．3．情感、态度与价值观通过导数概念的形成过程,体会导数的思想及其内涵；激发学生兴趣：在从物理到数学，再用数学解决物理问题的过程中感悟数学的价值．●重点难点重点：函数在某一点处的导数的概念及用导数概念求函数在一点处的导数．难点:从实例中归纳、概括函数瞬时变化率的定量分析过程,及函数在开区间内的导函数的理解．【知识一】曲线上一点处的切线【问题导思】如图，当点P n（x n，f（x n）)（n＝1，2，3,4）沿着曲线f（x）趋近于点P（x0，f(x0）)时，割线PP n的变化趋势是什么?设曲线C上的一点P,Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的；当点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越．当点Q时,直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的．【知识二】瞬时速度、瞬时加速度【问题导思】在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m)与起跳后的时间t(单位:s）存在关系h（t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，那么我们就能计算起跳后任意一段时间内的平均速度v，通过平均速度v来描述运动员的运动状态，但用平均速度一般不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度．1．怎么求运动员在t0时刻的瞬时速度？2．当Δx趋于0时，函数f（x)在（x0,x0＋Δx)上的平均变化率即为函数f（x）在x0处的瞬时变化率，你能说出其中的原因吗？1．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数,即v（t）＝．2．瞬时加速度运动物体的速度v（t)对于时间t的导数,即a（t）＝．【知识三】导数及导数的几何意义【问题导思】在函数y＝f（x）的图象上任取两点A（x1，f(x1)），B(x1＋Δx，f(x1＋Δx）)．1。