第二节瞬时变化率

第2课时 瞬时变化率学习目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度活动一 复习引入1 什么叫做平均变化率?2 曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数()f x 在区间[,A B x x ]上的平均变化率有何联系？3 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？活动二 求曲线上某点处的切线(阅读书本，体会局部以直代曲的思想，并回答下列问题) 问题1 ：何为曲线的割线和切线？试在同一图中作出，并说明它们的区别与联系?例1 已知2()f x x =，求曲线在2x =处切线的斜率变：已知2()f x x =的一条切线的斜率是4-，求切点的坐标小结：求曲线上某点处的切线斜率的步骤：例2 已知3()f x x =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程思考1：该函数在0x =处有切线吗？若有求出，没有则说明原因活动三 瞬时速度与瞬时加速度(阅读书本，体会逼近思想，并完成下列问题) 例3 一质点的运动方程为2()10s t t =+（位移单位：m ，时间单位：s ），试求该质点在3t s =时的瞬时速度例4 设一辆轿车在公路上作加速直线运动，假设t s 时的速度为2()3v t t =+，求1t s =时的瞬时加速度和t m =s 时的瞬时加速度小结：求瞬时速度和瞬时加速度的步骤：思考2：从形式上对比瞬时速度、瞬时加速度与求切线斜率，你能发现他们之间的联系吗？思考3：平均变化率与瞬时变化率有何联系区别？活动四 自我检测1.书本第10页练习1.2.3. 42.自由落体运动的位移()S m 与时间()t s 的关系为212S gt =，（g 为常数） （1）求0t t s =时的瞬时速度（2）分别求0,1,2t s =时的瞬时速度.3.若函数2()2f x x =+图像上一点(0,2)P 及邻近一点（2,2x x +），则y x=_________4.函数3()f x x ax b =-++的图像与x 轴相切于点（1,0），则_______,_______a b ==5.已知曲线2y x =上一点39(,)416P ，求(1) 点P 处的切线的斜率. (2) 点P 处的切线的方程.。

1 02 瞬时变化率与平均变化率
一．平均变化率——割线的斜率
平均变化率，是y 的增量与x 的增量的比。

例题：函数f (x )＝－2x ＋10在区间[－3，－1]内的平均变化率为________．
【解析】Δy Δx ＝f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)
＝－2. 二．瞬时变化率——切线的斜率
可以通过减小自变量的该变量，用平均变化率“逼近”瞬时变化率。

形象地理解为函数图像上某点处切线的斜率。

例题：一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是________m/s.
【解析】
t t t
t t t t t t t t t t t t S ∆++-=∆∆+∆⋅+∆-=∆+--∆++∆+-=∆∆21)(2)1()()(1222 当t ∆趋于0时，即为：瞬时速度t 21+-.因此物体在3 s 末的瞬时速度是5321=⨯+-m/s
你能区分瞬时变化率与平均变化率了吗？。

变化的快慢与变化率——瞬时变化率一、教学目标：1、理解函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。

3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。

二、教学重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。

教学难点：对于平均速度与瞬时速度的关系的理解 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：函数平均变化率的概念1、对一般的函数y =f （x ）来说，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从f （1x ）变为2()f x 。

平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数)(x f y =在),(00x x x ∆+内的平均变化率为xy∆∆，如我们常用到年产量的平均变化率。

2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。

（二）、探究新课例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为221gt s =其中，g 为重力加速度)/8.9(2s m g =，试估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。

分析：当时间t 从t 0变到t 1时，根据平均速度公式101)()(t t t s t s t s --=∆∆， 可以求出从5s 到6s 这段时间内小球的平均速度9.5315.1224.17656)5()6(=-=--s s （m/s ）。

我们有时用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。

为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s 这段时间内的平均速度5.491.05.12245.12751.5)5()1.5(=-≈--s s （m/s ）。

用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。

如果时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。

解：我们将时间间隔每次缩短为前面的1，计算出相应的平均速度得到下表： 可以看出，当时间t 1趋于t 0=5s 时，平均速度趋于49m/s ，因此，可以认为小球在t 0=5s 时的瞬时速度为49m/s 。

第2课时 瞬时变化率---导数(1)教学目标1.了解曲线的切线的概念.2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程.教学重点：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．教学难点：会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.教学过程：一.问题情境: 平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么,如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?练习:求函数2()1f x x =+在1x =附近的平均变化率. 2+△x二. 建构数学:１．曲线的切线如图，设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时,直线PQ 称为曲线的割线.随着点Q 沿曲线C 向点P 运动,割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 沿着曲线C 无限地逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ,这条直线l 称为曲线在点P 处的切线.2.确定曲线C 在点(,)P x y 处的切线斜率的方法 设曲线C 上一点(,())P x f x ,过点P 的一条割线交曲线C 于另一点(,()),Q x x f x x +∆+∆ 则割线PQ 的斜率为()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x+∆-+∆-==+∆-∆. 当点Q 沿着曲线C 向点P 运动,并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ,从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当△x 无限趋近于0时，()()f x x f x x+∆-∆无限趋近点(,())P x f x 处的切线的斜率. 三、数学应用例1.已知2()f x x =，求曲线()y f x =在2x =处的切线的斜率.(课本例1)变式:1.求21()f x x=过点(1,1)的切线方程;2.曲线y=x 3在点P 处切线斜率为k,当k=3时,P 点的坐标为____;3.(1)已知曲线3()f x x =上的一点P(0,0)的切线斜率是否存在? (2)已知曲线()f x =P(0,0)的切线斜率是否存在?(答案:1.230x y +-=;2.(1,1),(-1,-1);3.(1)存在为0,(2)不存在.)例2.求曲线f (x )=31x 3－x 2+5在x =1处的切线的倾斜角. 解：(1)(1)f x f x +∆-∆=3211(1)(1)5(15)33x x x+∆-+∆+--+∆=21()13x ∆-,当x ∆无限趋于0时,上式无限趋于常数-1,∵切线的倾斜角α∈［0，π)，∴α=43π. 四.回顾小结 ：曲线在一点处的切线的概念; 会利用无限逼近的方法求切线的斜率.五.导数及其应用作业2答案:1.已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 . 1 2.过抛物线2y x =上的点M （41,21）的切线的倾斜角是 . 450 3.曲线221x y =在（1，21）处切线的方程是__________.021=+-x y 4.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则____.a =145．若曲线3y x px q =++与x 轴相切，则,p q 之间的关系满足 .324270p q += 6.曲线x x y 33-=上切线平行于x 轴的点的坐标是 .(1-2,),(-1,2)7.已知抛物线42-=x y 与直线2y x =+.求：（1）直线与抛物线的交点坐标；（2）抛物线在交点处的切线方程.解：（1）352,0-（，）,(）.（2） =---∆+=∆)4(4)(22x x x y 22x x x ∆+∆, )2(22x x xx x x x y ∆+=∆∆+∆=∆∆.∴当交点为（3，5）时，k =6，故切线方程为：0136x -y =+;当交点为（-2，0）时，k =-4，故切线方程为：084=++x y .8.已知曲线21:C y ax =上点P 处的切线为1l ，曲线C 2：y=bx 3上点A （1，b ）处的切线为2l ，且1l ⊥2l ，垂足M （2，2），求a 、b 的值及点P 的坐标.解:设P （t ，at 2），则1l 斜率k 1=2at,∴1l ：y-at 2=2at(x-t), 2l 斜率k 2=3b, ∴2l ：y-b=3b(x-1), ∵ 2l 与1l 交于点M （2，2）∴ ⎩⎨⎧-=--=-)12(b 3b 2)t 2(at 2at 22∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==+-21b 02at 4at 2 ① 又1l ⊥2l ,∴ k 1k 2=-1 ,∴ 31at -= ②, 由①②得t=10，a=-301 ,∴ P(10,-310) . 9．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值.M ,最小值为10.导数及其应用作业2班级 姓名1.已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为 . 2.过抛物线2y x =上的点M （41,21）的切线的倾斜角是 . 3.曲线221x y =在（1，21）处切线的方程是__________. 4.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则____.a = 5．若曲线3y x px q =++与x 轴相切，则,p q 之间的关系满足 .6.曲线x x y 33-=上切线平行于x 轴的点的坐标是 .7.已知抛物线42-=x y 与直线2y x =+.求：（1）直线与抛物线的交点坐标；（2）抛物线在交点处的切线方程.8.已知曲线21:C y ax =上点P 处的切线为1l ，曲线C 2：y=bx 3上点A （1，b ）处的切线为2l ，且1l ⊥2l ，垂足M （2，2），求a 、b 的值及点P 的坐标.9．已知定点A (－2,3)，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值.。

瞬时变化率—导数 NO.2【教学目标】(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想【重点难点】导数概念的理解，以及运用导数解决问题的能力。

一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？二、新课讲解设曲线C 上一点P(x ，f(x))，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q （x x +∆，()f x x +∆）则割线PQ 的斜率为()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x xx +∆-+∆-==+∆-∆ 1、曲线上一点处的切线斜率当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l,从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当△x 无限趋近于0时，()()f x x f x x+∆-∆无限趋近点P(x ，f(x))处的切线的斜率。

()()f x x f x k x+∆-=∆，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x ，f(x))处切线的斜率。

2．瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2)位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00 (3)瞬时速度：当t ∆无限趋近于0 时，运动物体的位移S( t)的平均变化率tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为物体在t=t 0时的瞬时速度，也就是位移对时间的瞬时变化率求瞬时速度的步骤：1.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆2.再求平均速度ts v ∆∆= 3.后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，t s ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00 (5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，t t v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率3．导数：函数在某点的瞬时变化率)0()()(00→∆→∆-∆+=∆∆x A xx f x x f x y 记作)(0x f ' 三、数学应用例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。

§1.1.2导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授 1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，h to平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-． 从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)lim13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-” 小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 0000()()limlim x x f x x f x f x x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 （2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆所以00(2)limlim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况． 四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业教材习题1.1A 组3,4。