导数：平均变化率与瞬时变化率

变化率简介变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商yx∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。

例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。

拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。

即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。

利用平均变化率的几何意义，可解决一些实际问题，举例如下：例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线，产量S （单位：台）与时间t （单位：天）的关系如图所示，问：（1）0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大？（2）在接近0t 天时，甲、乙两条生产线谁的日产量大？0,)x y y ∆+∆解析：（1） 0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量，即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率，其都为直线OA 的斜率，所以0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量相同。

瞬时变化率
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
感谢观看
THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。

求函数在某点处的导数
例2．求函数 f (x)=3x2+ax+b在x=1处的导数
一作差：
下结论
求物体运动的瞬时速度
例3．一个物体的运动方程为s=(2t+1)2，其中s的单位是米，t 的单位是秒，求该物体在1秒末的瞬时速度.
【归纳】求物体的瞬时速度的心得体会. 提示：Δt 趋近于0，是指时间间隔Δt
（3）从平均速度到瞬时速度 平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t )，
在时间段[t1，t2]上的平均速度，即 v s(t2 ) s(t1) . t2 t1
lim y lim f x0 x f x0
x x0
x0
x
求函数的平均变化率
例1．已知函数f(x)=3x+1，计算f(x)在－3到－1之间和在1 到1+Δx之间的平均变化率．
越来越短，能越过任意小的时间间隔，但 始终不能为0．Δt，Δs在变化中都趋近于0，
s 但t 趋近于一个常数，这是极限思想，
即求函数 s(t)在某一点处的导数.
平均速度与瞬时速度的求解 【典例】一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t )＝ 3t－t2. （1）求此物体的初速度； （2）求此物体在t＝2时的瞬时速度； （3）求t＝0到t＝2时的平均速度．
C (34, 33.4)
30
B (32, 18.6) 20
10 A (1, 3.5)
2
02
10
20
30
34 t(d)
情景 2：在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当 山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁， 那么，我们如何反映山坡的平缓与陡峭程度呢？
1．函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率

对点训练❷ 一辆汽车按规律s＝2t2＋3做直线运动，求这辆 汽车在t＝2时的瞬时速度．(时间单位：s，位移单位：m)
[解析] 设这辆汽车在 t＝2 附近的时间改变量为 Δt，则位移的改变 量 Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2，则ΔΔst＝8＋2Δt.当 Δt 趋 于 0 时，平均变化率ΔΔst趋于 8.
第二章 导数及其应用
§1 平均变化率与瞬时变化率 1．1 平均变化率 1．2 瞬时变化率
素养目标•定方向 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
素养目标•定方向
1．理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念． 2．会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度． 3．会求函数在某点附近的平均变化率．
练一练： 1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( B )
A．1 C．2
[解析]
B．－1 D．－2 ΔΔxy＝f33－－f11＝1－2 3＝－1.
2．一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的
平均速度为( D )
A．3Δt＋6
B．－3Δt＋6
C．3Δt－6
[规律方法] 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量 Δx＝x2－x1. (2)求函数值的改变量 Δy＝f(x2)－f(x1)． (3)求平均变化率ΔΔxy＝fxx22－ －fx1x1.
对点训练❶ 球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率
28π 为___3___.
[解析]
因为 Δy＝43π×23－43π×13＝283π，
28π 所以ΔΔyx＝2－3 1＝283π.
题型二
瞬时变化率(瞬时速度)的求法
典例 2 以初速度 v0(v0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度 s 与 t 的 函数关系为 s＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 处的t)－12g(t0＋Δt)2－v0t0－12gt20＝(v0－gt0)Δt－

因此得 a＝32，b＝52.
所以 liΔxm→0 ΔΔyx＝liΔxm→0 (2＋Δx)＝2.
所以 y′|x＝1＝2.
[说明] 用导数的定义求一个函数的导数的步骤：第一 步：求函数的增量，即求 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)．第二步：求平 均变化率，即求ΔΔyx.第三步：求极限，即求 liΔxm→0 ΔΔyx，可简 记为“一差二化三极限”．
• 3．情感、态度与价值观 • 经历由平均速度到瞬时速度刻画现实问题的过程，感受
导数在实际问题中的应用，初步认识导数的应用价值， 树立学好数学的信心．
• 本节重点：函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导 数的概念．
• 本节难点：导数的概念．
• 本节学习的有关概念比较抽象，学习时应通过实例理解 相关概念，深刻体会数学源于生活，又应用于生活．
• 2．情感目标
• 通过具体实例，认识导数的工具性及其与实际问题的联 系，感受和体会导数在解决实际问题中的作用，提高学 生学习兴趣，感受导数在解题中的作用和威力，自觉形 成将数学理论和实际问题相结合的思想，在解题过程中， 逐步养成扎实严格、实事求是的科学态度．
• ●重点难点 • 本章重点：导数的运算和利用导数解决实际问题． • 本章难点：导数概念的理解． • ●学法探究 • 导数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题
的有力工具．学习本章要认真理解平均变化率、瞬时速 度的概念，进一步理解导数的概念和导函数的定义，掌 握导数的几何意义，掌握基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则，通过具体实例，认识导数的工具性 及其与实际问题的联系，感受导数在解题中的作用，充 分体会数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想及 理论联系实际的思想方法．
• [例4] 已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x)，f′(0)，f′(2)． • [分析] 求导数的步骤一般是先求导函数，再求导函数

[误解]
fa＋2Δx－fa－2Δx
lim
Δx→0
Δx
＝ lim
Δx→0
fa＋2Δx－fa＋fa－fa－2Δx Δx
＝ lim
Δx→0
fa＋2ΔΔxx－fa＋Δlixm→0
fa－fa－2Δx Δx
＝ lim
Δx→0
fa＋2ΔΔxx－fa＋Δlixm→0
fa－2Δx－fa －Δx
＝m＋m＝2m
[辨析] 不能正确地把已知条件转化为平均变化率的
极限，误认为 lim
Δx→0
fa＋2ΔΔxx－fa＝m，Δlixm→0
fa－2Δx－fa －Δx
＝m，从而导致错误．
[正解]
fa＋2Δx－fa－2Δx
lim
Δx→0
Δx
＝ lim
Δx→0
fa＋2Δx－fa＋fa－fa－2Δx Δx
＝ lim
Δx→0
fa＋2ΔΔxx－fa＋Δlixm→0
fa－fa－2Δx Δx
[解析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt20＝(v0－ gt0)Δt－12g(Δt)2，
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt，当 Δt→0 时，ΔΔst→v0－gt0. 故物体在时刻 t0 的瞬时速度为 v0－gt0.
• [点评] 瞬时速度是平均速度在Δt→0时的 极限值．因此，要求瞬时速度应先求出平均 速度．
＝2 lim
Δx→0
fa＋22ΔΔxx－fa＋2Δlixm→0
fa－2Δx－fa －2Δx
＝2m＋2m＝4m.
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
3．设函数 y＝f(x)在 x0 附近有定义，当自变量在 x＝x0 处有 增量 Δx 时，函数 y＝f(x)相应地有增量 Δy＝__f_(x_0_＋__Δ_x_)_－__f(_x_0)___.

利用函数的导数解决变化率问题函数的导数在解决变化率问题中发挥着重要的作用。

在数学和应用领域中，我们经常需要计算事物随时间、空间或其他变量的变化速率。

这些问题可以通过函数的导数来求解，下面将介绍一些常见的变化率问题以及如何利用函数的导数来解决它们。

一、平均变化率平均变化率是描述函数在某个区间内的平均变化速率。

假设有一个函数f(x)，我们想要求解它在区间[a, b]上的平均变化率。

这可以通过计算函数值的差异除以自变量的变化量得到：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)二、瞬时变化率瞬时变化率是指函数在某一点上的变化速率。

函数的导数可以用来计算瞬时变化率。

给定一个函数f(x)，我们可以通过求解其导函数f'(x)来得到瞬时变化率。

瞬时变化率 = f'(x)三、最大和最小变化率函数的导数还可以帮助我们找到函数在某个区间内的最大和最小变化率。

通过找到函数的导数的最大和最小值，我们可以确定在哪些点上函数的变化率达到最大或最小。

最大和最小变化率 = f'(x) = 0四、应用实例以物理学中的运动问题为例，假设一个物体的位移随时间的变化关系可以用函数f(t)表示。

我们想要求解该物体在某一时刻的瞬时速度。

可以通过计算函数f(t)的导函数f'(t)来得到瞬时速度。

瞬时速度 = f'(t)五、其他变化率问题除了上述提到的问题，函数的导数还可以应用于其他各种变化率问题，比如计算人口增长率、温度变化率、经济增长率等。

只要有一个与时间或其他变量相关的函数，就可以利用函数的导数来解决相应的变化率问题。

总结：通过函数的导数，我们可以解决各种变化率问题，包括平均变化率、瞬时变化率、最大和最小变化率等。

函数的导数可以帮助我们更好地理解和分析事物的变化过程，并且应用广泛。

无论是在数学领域还是其他应用领域，函数的导数都是一个强大的工具，能够提供准确的变化率信息，帮助我们更好地理解和解决问题。

名师点睛 1．关于平均变化率的理解
关于函数的平均变化率，应注意以下几点： (1)Δx 是自变量 x2 相对于 x1 处的改变量，且 x2 是 x1 附近的任意 一点，即 Δx＝x2－x1≠0，但 Δx 可以为正，也可以为负． (2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若 Δx＝x2－x1，则 Δy＝f(x2)－f(x1)；若 Δx＝x1－x2，则 Δy＝f(x1)－f(x2)．
课堂小结： 通过本节课的学习，你收获了哪些知识？
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自学导引
1．函数的平均变化率
一般地，已知函数 y＝f(x)，x0，x1 是其定义域内不同的两点， 记 Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝ f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) ．则
当 Δx≠0 时，商
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ΔΔyx称作函数 y＝f(x)在区间
[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．
ΔΔyx不存在，则函数 y＝f(x)在 x＝x0 处不可导．
(2)位移函数在某一时刻的瞬时变化率(导数)叫瞬时速度， 即 v＝Δlitm→0ΔΔst＝Δlitm→0st0＋ΔΔtt－st0. (3)f′(x0)＝xl→imx0fxx－ －fx0x0与定义区间(a，b)内每一点x处都是可导的，则称f(x)在区 间(a，b)内可导．在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新函数，我们 把这个函数称为函数f(x)的导函数，简称为导数．
.
4．导函数 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在 区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应 一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一 个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记 为f′(x)或y′(或yx′)．导函数通常简称为导数．

§1 平均变化率与瞬时变化率
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
最新课程标准
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．
2．了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表
达，体会导数的内涵与思想．
3．体会极限思想．
学科核心素养
1.了解平均变化率、瞬时变化率．(数学抽象)
改变量
Δx
化________称作自变量x的________，记作________，函数值的变化
f(x
Δy
改变量
________称作函数值y的________，记作________．这样，函数的平
2)－f(x1)
函数值
自变量
均变化率就可以表示为________的改变量与________的改变量之比，
即
∆
∆
−
−
＝____________．我们用它来刻画函数值在区间[x
1，x2]上变化
快慢
的________．
状元随笔 函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]
上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值
越大，函数值变化得越快．
解析：平均变化率为
＝
8n−6 − 8m−6
ห้องสมุดไป่ตู้n−m
＝8.
题型探究 课堂解透
题型一 求函数的平均变化率
例1 已知函数f(x)＝2x2＋1，
(1)求函数f(x)在[2，2.01]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
解析：(1)由f(x)＝2x2＋1
得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080 2

【同步教育信息】一. 本周教学内容：导数——平均变化率与瞬时变化率w二. 本周教学目标：1、了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及其内涵．2、通过函数图象直观理解导数的几何意义．三. 本周知识要点： （一）平均变化率1、情境：观察某市某天的气温变化图t (d)202、一般地,函数f （x ）在区间[x 1，x 2]上的平均变化率2121()()f x f x x x --平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．（二）瞬时变化率——导数1、曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ ，当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线割线PQ 的斜率为PQk =00()()f x x f x x +∆-∆，即当0→∆x 时，00()()f x x f x x +∆-∆无限趋近于点P 的斜率．2、瞬时速度与瞬时加速度1）瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度. 2）确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法： 要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度.当位移足够小时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度．我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s ＝s （t ），也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs ＝s （t 0+Δt ）－s （t 0）（Δt 称时间增量）平均速度t t s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t 来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0．当Δt→0时，位移的平均变化率00()()s t t s t t +∆-∆无限趋近于一个常数，那么称这个常数为物体在t ＝ t 0的瞬时速度同样，计算运动物体速度的平均变化率00()()v t t v t t +∆-∆，当Δt →0时，平均速度00()()v t t v t t +∆-∆无限趋近于一个常数，那么这个常数为在t ＝ t 0时的瞬时加速度．3、导数设函数)(x f y =在（a,b ）上有定义，0(,)x a b ∈．若x ∆无限趋近于0时，比值x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00无限趋近于一个常数A ，则称f （x ）在x ＝0x 处可导，并称该常数A 为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作'0()f x ．几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率．导函数（导数）：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)('x f ，从而构成了一个新的函数)('x f ，称这个函数)('x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作'y ．【典型例题】例1、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积tt V 1.025)(-⨯=（单位：3cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率．解：在区间[0，10]上，体积V 的平均变化率为(10)(0)2.550.2510010V V--≈=--3cm 即第一个10s 内容器甲中水的体积的平均变化率为0.25-3cm ．例2、已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[－3，－1]，[0，5]上函数()f x 及()g x 的平均变化率．解：函数()f x 在[－3，－1]上的平均变化率为(1)(3)2(1)(3)f f ---=---()g x 在[－3,－1]上的平均变化率为(1)(3)2(1)(3)g g ---=----函数()f x 在[0，5]上的平均变化率为(5)(0)250f f -=-()g x 在[0，5]上的平均变化率为(5)(0)250g g -=--例3、已知函数2()f x x =，分别计算函数()f x 在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均变化率．解：函数()f x 在区间[1，3]上的平均变化率为(3)(1)431f f -=-函数()f x 在[1，2]上的平均变化率为(2)(1)321f f -=-函数()f x 在[1，1.1]上的平均变化率为(1.1)(1)2.11.11f f -=-函数()f x 在[1，1.001]上的平均变化率为(1.001)(1)2.0011.0011f f -=-例4、物体自由落体的运动方程s ＝s （t ）＝21gt 2，其中位移单位m ，时间单位s ，g ＝9.8m/s 2. 求t ＝3这一时段的速度.解：取一小段时间［3，3+Δt ］，位置改变量Δs ＝21g （3+Δt ）2－21g ·32＝2g（6+Δt ）Δt ，平均速度21=∆∆=t s v g （6+Δt ）当Δt 无限趋于0时，v 无限趋于3g ＝29.4 m/s ．例5、已知质点M 按规律s ＝2t 2+3做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ），（1）当t ＝2，Δt ＝0.01时，求t s∆∆. （2）当t ＝2，Δt ＝0.001时，求t s∆∆.（3）求质点M 在t ＝2时的瞬时速度.分析：Δs 即位移的改变量，Δt 即时间的改变量，t s∆∆即平均速度，当Δt 越小，求出的t s∆∆越接近某时刻的速度.解：∵t t t t t t s t t s t s ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)32(3)(2)()(22＝4t +2Δt ∴（1）当t ＝2，Δt ＝0.01时，t s∆∆＝4×2+2×0.01＝8.02 cm/s ． （2）当t ＝2，Δt ＝0.001时，t s∆∆＝4×2+2×0.001＝8.002 cm/s ．（3） Δt →0， （4t +2Δt ）＝4t ＝4×2＝8 cm/s例6、曲线的方程为y ＝x 2+1，那么求此曲线在点P （1，2）处的切线的斜率，以及切线的方程．解：设Q （1+x ∆，2+x ∆），则割线PQ 的斜率为：22(1)(1)(1)1(11)f x f x x x +∆-+∆+-+=∆∆ 2()22x x x x ∆+∆==∆+∆ 0,x ∆→∴斜率为2∴切线的斜率为2．切线的方程为y －2＝2（x －1），即y ＝2x ．【模拟试题】1、若函数f （x ）＝2x 2+1，图象上P （1,3）及邻近点Q （1+Δx,3+Δy ）， 则x y∆∆＝（ ）A. 4B. 4ΔxC. 4+2ΔxD. 2Δx2、一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0t ∆→时，st ∆∆为（ ）A. 从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度；B. 在t 时刻时该物体的瞬时速度；C. 当时间为t ∆时物体的速度；D. 从时间t 到t t +∆时物体的平均速度 3、已知曲线y ＝2x 2上一点A （1，2），求（1）点A 处的切线的斜率.（2）点A 处的切线方程.4、求曲线y ＝x 2+1在点P （－2，5）处的切线方程．5、求y ＝2x 2+4x 在点x ＝3处的导数．6、一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s ＝s （t ）＝t 2（位移单位：m ，时间单位：s ），求小球在t ＝5时的瞬时速度7、质点M 按规律s ＝2t 2+3做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ），求质点M 在t ＝2时的瞬时速度．【试题答案】1、B2、B3、解：（1）0x ∆→时，k ＝22(1)(1)2(1)21f x f x x x +∆-+∆-⋅=∆∆ 242()(42)4x x x x ∆+∆==+∆=∆∴点A 处的切线的斜率为4.（2）点A 处的切线方程是y －2＝4（x －1）即y ＝4x －24、解：0x ∆→时，k ＝22(2)(2)(2)1(2)1f x f x x x -+∆---+∆+---=∆∆ 24()(4)4x x x x -∆+∆==-+∆=-∆∴切线方程是y －5＝－4（x +2），即y ＝－4x －3.5、解：Δy ＝2（3+Δx ）2+4（3+Δx ）－（2×32+4×3）＝2（Δx ）2+16Δx ，x y∆∆＝2Δx +16∴0x ∆→时，y ′|x ＝3＝166、解：0t ∆→时，瞬时速度v ＝22(5)(5)(5)5s t s t t t +∆-+∆-==∆∆（10+Δt ）＝10 m/s.∴瞬时速度v ＝2t ＝2×5＝10 m/s.7、解：0t ∆→时，瞬时速度v ＝22(2)(2)2(2)3(223)s t s t t t +∆-+∆+-⋅+=∆∆＝（8+2Δt ）＝8cm/s【励志故事】遭窃的罗斯福罗斯福还未当上美国总统之前，家中遭窃，朋友写信安慰他．罗斯福回信说：“谢谢你的来信，我现在心中很平静，因为：第一、窃贼只偷去我的财物，并没有伤害我的生命．第二、窃贼只偷走部分的东西，而非全部．第三、最值得庆幸的是：做贼的是他，而不是我．”。

第1节平均变化率、瞬时变化率与导数假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)．问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？提示：自变量x的改变量为x1－x0，记作Δx，函数值的改变量为y1－y0，记作Δy＝y1－y0.问题2：Δy的大小能否判断山坡陡峭程度？提示：不能．问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？提示：对山坡AB来说，ΔyΔx＝y1－y0x1－x0可近似地刻画．问题4：能用ΔyΔx刻画山路陡峭程度的原因是什么？提示：因ΔyΔx表示A，B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山坡越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比ΔyΔx越大，山坡越陡，反之，山坡越缓．问题5：从A到B，从A到C，两者ΔyΔx相同吗？提示：不相同．函数的平均变化率一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝ΔyΔx称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．对平均变化率的理解(1)x0，x1是定义域内不同的两点的横坐标，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δy＝f(x1)－f(x0)是相应Δx＝x1－x0的改变量，Δy的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．(2)函数f(x)在点x0处的平均变化率与自变量的增量Δx有关，与x0也有关．同一个函数，不同的x0与不同的Δx其平均变化率往往都是不同的．(3)平均变化率f(x1)－f(x0)x1－x0表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势．考点一：求函数的平均变化率例1：函数h（t）=﹣4.9t2+6.5t+10从0到2的平均变化率为（）A．﹣2.2 B．﹣3.3 C．2.2 D．3.2解：△y=h（2）﹣h（0）=﹣4.9×4+6.5×2+10﹣10=﹣6.6，△t=2﹣0=2，则=﹣3.3．故选：B．练习：（1）如图，函数y=f（x）在M，N两点间的平均变化率是（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．解：有图可知f（1）=1，f（2）=2，∴f（4）﹣f（1）=2﹣1=1，∴函数y=f（x）在M，N两点间的平均变化率是=，故选：D．（2）若函数y=ax+b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a=（）A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣2解：函数f（x）=ax+b在区间[1，2]上的增量△y=f（2）﹣f（1）=a，∴f （x ）在区间[1，2]上的平均变化率为=a ，∵函数y=ax +b 在区间[1，2]上的平均变化率为3， ∴a=3． 故选：C ．例2：已知函数f (x )＝3－x 2，计算当x 0＝1,2,3，Δx ＝13时，平均变化率的值，并比较函数f (x )＝3－x 2在哪一点附近的平均变化率最大？[精解详析] 函数f (x )＝3－x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[3－(x 0＋Δx )2]－(3－x 20)Δx (2分)＝－2x 0·Δx －(Δx )2Δx＝－2x 0－Δx .(4分)当x 0＝1，Δx ＝13时，平均变化率的值为－73，(6分) 当x 0＝2，Δx ＝13时，平均变化率的值为－133，(8分) 当x 0＝3，Δx ＝13时，平均变化率的值为－193，(10分)， ∵－73>－133>－193，∴函数f (x )＝3－x 2在x 0＝1附近的平均变化率最大．(12分)练习：求函数y ＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近平均变化率最大？解：在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－33Δx＝6＋Δx .若Δx＝13，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝193.由于k1<k2<k3，∴在x＝3附近的平均变化率最大．例3：已知函数y=f（x）的图象如图所示，设函数y=f（x）从﹣1到1的平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2，则v1与v2的大小关系为（）A．v1＞v2B．v1=v2C．v1＜v2D．不确定解：∵函数y=f（x）从﹣1到1的平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2，∴v1＜v2，故选：C．练习：函数f（x）=x，g（x）=x2在[0，1]的平均变化率分别记为m1，m2，则下面结论正确的是（）A．m1=m2B．m1＞m2C．m2＞m1D．m1，m2的大小无法确定解：m1==f（1）﹣f（0）=1﹣0=1，m2==f（1）﹣f（0）=12﹣0=1，故m1=m2，故选：A．例4：某物体运动的位移s（t）米与时间t秒关系为s（t）=3t2+t+4，则在4秒时，物体的瞬时速度为（）A．25m/s B．20m/s C．56m/s D．48m/s解：∵一个物体的位移s（米）和与时间t（秒）的关系为s=3t2+t+4，∴s′（t）=6t+1∴该物体在4秒末的瞬时速度是s′|t=4=6×4+1=25故选：A．练习：已知曲线y=2ax2+1在横坐标为1的点M处的瞬时变化率为﹣4，则a的值为（）A ．B ．﹣1C ．D ．不确定解：由y=2ax 2+1，得到y′=4ax ，因为曲线y=2ax 2+1在横坐标为1的点M 处的瞬时变化率为﹣4， 所以y′=4a=﹣4，解得a=﹣1，故选：B ． 例5：求函数y ＝f (x )＝x －1x 在x ＝1处的导数．解：∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx ， ∴Δy Δx＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2. 从而f ′(1)＝2.求函数在某点处的导数的步骤： (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； (3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx . 练习：函数y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2＋Δx C ．2D ．1解析：y ＝x 2在x ＝1处的导数为f ′(1)＝lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2. 答案：C例6：设2()f x x =，求()f x '，(1)f '-，(2)f '的值．练习：若f(x)＝1x，则f′(1)等于()A．1B．－1 C.12D．－12解析：∵ΔyΔx＝11＋Δx－1Δx＝－11＋Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx →0－11＋Δx＝－1.答案：B例7：若f′（x 0）=4，则=（）A．2B．4C．D．8解：=2=2f′（x0）=8，故选：D．练习：若y=f（x）在（﹣∞，+∞）可导，且，则f′（a）=（）A．B．2C．3D．解：∵，∴•=1，即f′（a）=1，则f′（a）=，故选：D．。

当 Δx≠0 时，商________＝ΔΔyx 称作函数 y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．
【答案】fx0＋ΔΔxx－fx0
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Δx 表示 x2－x1，是相对于 x1 的一个增量，Δx 可以为零．( )
(2)Δy 表示 f(x2)－f(x1)，Δy 的值可正可负也可以为零．( )
∴f′(1)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
1＋1＋1Δx＝2.
课堂小结
课堂检测：
1．已知函数 y＝f(x)＝2x2 的图象上点 P(1,2)及邻近点 Q(1＋Δx,2
＋Δy)，则ΔΔyx的值为( )
A．4
B．4x
C．4＋2Δx2
D．4＋2Δx
【解析】ΔΔyx＝21＋ΔxΔ2x－2×12＝4＋2Δx.
数 l 当 Δx→0 时，fx0＋ΔΔxx－fx0→l.
还可以说：当 Δx→0 时，函数平均变化率的极限等于函数在 x0 的瞬时
变化率 l，记作 lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝l.
3．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 函数 y＝f(x)在点 x0 的_瞬__时_变__化__率__，通常称为 f(x)在点 x0 处的导数，并 记作__f′__(_x0_)__，即 f′(x0)＝_Δli_xm→_0f__x0_＋__ΔΔ_xx_－__f.x0 4．函数的导数 如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x__都__是__可__导__的，则称 f(x)在区间(a， b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值 x，都对应一个__确__定__的__导__数__f′_(_x)__．于 是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数 y＝ f(x)的导函数．记为____f′_(x_)_或__y_′(_或__y′_x)__．

1.1 导数的概念1.1.1 平均变化率1.1.2 瞬时变化率——导数知识梳理1.函数f(x)在区间［x 1,x 2］上的平均变化率为___________.2.设物体运动的路程与时间的关系是s=f(t),当Δt 趋近于0时,函数f(t)在t 0+Δt 之间的平均变化率tt f t t f ∆-∆+)()(00趋近于常数.我们把这个常数称为t 0时刻的____________. 3.函数y=f(x)在x 0处的导数f′(x 0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即k=f ′(x 0)=_____________.知识导学要学好本节内容,最重要的是理解平均变化率和瞬时变化率的概念.本节的重点是导数的定义及其几何意义,难点是利用割线逼近的方法求曲线在某点处的导数,及两种变化率之间的关系.疑难突破1.正确理解平均变化率和瞬时变化率的关系.剖析:平均变化率和瞬时变化率都是反映事物变化程度的量,平均变化率表示的是曲线在某区间上的变化趋势;瞬时变化率表示的是曲线上某一点处的变化趋势.2.怎样理解导数的定义及几何意义?剖析:导数是函数在某一点处的瞬时变化率，导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.导数的概念就是变量变化速度在数学上的一种抽象,深刻理解导数的定义是本节的关键.典题精讲【例1】 已知f(x)=x 2,求曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率.思路分析：为求得过点(3,9)处的切线斜率,我们从经过点(3,9)的任意一条直线(割线)入手.解：设P(3,9),Q(3+Δx,(3+Δx)2),则割线PQ 的斜率为k PQ =x x ∆-∆+9)3(2=6+Δx. 当Δx 无限趋近于0时,k PQ 无限趋近于常数6,从而曲线y=f(x)在点P(3,9)处的切线斜率为6. 绿色通道：利用割线逼近切线的方法,求曲线在某一点处的切线斜率的方法是一种比较直观的解题方法.变式训练：已知f(x)=2x 2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率.思路分析:为求得过点(1,2)处的切线斜率,我们从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手. 解:设P(1,2),Q(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线PQ 的斜率为k PQ =xx ∆-∆+2)1(22=4+2Δx. 当Δx 无限趋近于0时,k PQ 无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(1,2)处的切线斜率为4.【例2】 已知f(x)=x 2+3.(1)求f(x)在x=1处的导数;(2)求f(x)在x=a 处的导数.思路分析：函数在某一点处的导数实际上就是相应函数图象在该点切线的斜率,深刻理解概念是正确解题的关键.解:(1)因为xx x f x f x y ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)31(3)1()1()1(22=2+Δx ， 当Δx 无限趋近于0时,2+Δx 无限趋近于2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.(2)因为xa x a x a f x a f x y ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)3(3)()()(22=2a+Δx ， 且当Δx 无限趋近于0时,2a+Δx 无限趋近于2a,所以f(x)在x=a 处的导数等于2a. 绿色通道：本题主要考查对导数概念的理解程度,及应用定义解题的熟炼程度.变式训练：已知f(x)=3x+5,求当x=2时的导数.思路分析：函数在某一点处的导数的几何意义就是函数图象在该点切线的斜率. 解:因为3)523(5)2(3)2()2(=∆+⨯-+∆+=∆-∆+=∆∆xx x f x f x y . 所以f(x)在x=2时的导数为3.【例3】 已知曲线y=3x 2-x,求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程.思路分析：求曲线上某点的切线斜率就是求函数在那一点的导数值.解:因为x xx x x y ∆+=∆-⨯-∆+-∆+=∆∆35)113()1()1(322, 当Δx 趋近于0时,5+3Δx 就趋近于5,所以曲线y=3x 2-x 在点A(1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.绿色通道：根据导数的定义将切线的斜率求出,再根据点斜式方程求出切线方程,这是用导数求某点处切线的一般方法.变式训练：已知曲线y=331x 上一点P(2,38),求点P 的切线斜率及点P 处的切线方程. 思路分析：先求出某点处的切线斜率,即求该函数在某点处的导数，然后利用导数定义求解.解:因为xx x y ∆⨯-∆+=∆∆33231)2(31 xx x x x x x x ∆∆+∆+∆=∆∆+∆⨯+∆⨯=323223124])()(2323[31=4+2Δx+231x ∆， 当Δx 趋近于0时,4+2Δx+2 31x ∆就趋近于4， 所以曲线y=331x 上点P(2,38)处的切线斜率为4，切线方程为)2(438-=-x y ，即03164=--y x 问题探究问题：某钢管厂生产钢管的利润函数为P(n)=-n 3+600n 2+67 500n-1 200 000,其中n 为工厂每月生产该钢管的根数,利润P(n)的单位是元.(1)求边际利润函数P′(n)=0时n 的值;(2)解释(1)中n 的实际意义.导思：这是一道有关边际函数的实际应用题,由于利润函数已给出，只需先求边际利润函数P′(n),再根据P′(n)=0解出n 的值即可.探究：(1)因为nn n n n n n n y ∆-∆++∆++∆+-=∆∆1200000)(67500)(600)(23 =(-3n 2+1 200n+67 500)+Δn.当Δn 无限趋近于0时,-3n 2+1 200n+67 500+Δn 无限趋近于-3n 2+1 200n+67 500.∴P′(n)=-3n 2+1 200n+67 500.由P′(n)=0,即-3n 2+1 200n+67 500=0.解得n=450或n=-50(舍).即当边际利润函数P′(n)=0时,n 的值为450.(2)P′(n)=0时,n 的值为450表示的实际意义是当工厂生产450根钢管时,利润增加量为零.。

课堂导学（函数的平均变化率瞬时变化率与导数） 三点剖析一、求函数的平均变化率【例1】 求y=2x 2+1在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解：当自变量从x 0到x 0+Δx 时,函数的平均变化率为x x f x x f ∆-∆+)()(00温馨提示求函数f(x)平均变化率的步骤:(1)求函数值的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)，(2)计算平均变化率1212)()(x x x f x f x f--=∆∆.二、应用导数的定义求导【例2】 应用导数的定义求以下函数的导数.(1)y=x 2+ax+b;(2)y=x 1.解：Δy=(x+Δx)2+a(x+Δx)+b -x 2-ax-b=(Δx)2+a(Δx)+2xΔx.x y ∆∆=x xx x a x ∆∆•+∆+∆2)()(2=Δx+a+2x.y′=lim 0→∆x limΔx→0(Δx+a+2x)=2x+a. (2)Δy=x x ∆+1-x 1即y′=2321--x .温馨提示应用定义求导数分三步:①求Δy;②求x y∆∆;③lim 0→∆x xy ∆∆.三、导数定义的运用【例3】 一物体的运动方程是求此物体在t=1和t=4时的瞬时速度.剖析：要求瞬时速度就是求s′(t).解：当t=1时，ts ∆∆=t t ∆+⨯-+∆+)213(2)1(322=6+3Δt, 所以s′(1)=limΔt→0(6+3Δt)=6.即当t=1时的瞬时速度为6.当t=4时，ts ∆∆=t t t ∆+=∆-+-∆++36])34(329[)34(32922, 所以s′(4)=limΔt→0(6+3Δt)=6.即当t=4时的瞬时速度为6.温馨提示此题是以分段函数的方式给出了运动方程，求解时要依据t 的值选取函数的解析式. 各个击破类题演练1求函数y=x 3-2,当x=2时,xy ∆∆的值. 答案：解:Δy=［(x+Δx)3-2］-(x 3-2)=(2+Δx)3-23=(Δx)3+6(Δx)2+12Δx. ∴xy ∆∆=(Δx)2+6Δx+12. 变式提升 1假设一个质点从定点A 末尾运动，在时间t 的位移函数为y=f(t)=t 3+3,当t 1=4且Δt=0.01时,求Δy 和ty ∆∆. 答案：解:Δy=［(x+Δx)3-2］-(x 3-2)=(2+Δx)3-23=(Δx)3+6(Δx)2+12Δx. ∴xy ∆∆=(Δx)2+6Δx+12. 解:Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3=Δt 3+48Δt+12Δt 2=(0.01)3+48×(0.01)+12×(0.01)2=0.481 201. ∴x y ∆∆=01.0481201.0=48.120 1. 类题演练 2 求函数y=24x 在x=3处的导数. 解析:转化成导数的定义. =21［f′(x 0)+f′(x 0)］=f′(x 0). 变式提升 2f(x)在x 0处可导,那么lim 0→h hh x f h x f 2)()(00--+等于( ) A.21f′(x 0) B.f′(x 0) C.2f′(x 0) D.4f′(x 0) 解:Δy=22)3(9)6(494)3(4x x x x ∆+∆+∆-=-∆+, lim o x →∆x y ∆∆=lim o x →∆［-4·2)3(96x x ∆+∆+］=278-. y′|3=x =278-v. 答案:B类题演练 3火箭竖直向上发射，熄火时向上速度到达100 m/s ，试问熄火后多长时间火箭速度为零？〔g=9.8 m/s 2〕解:火箭的运动方程为h(t)=100t-21gt 2. 在t 左近的平均变化率为h′(t)=lim 0→∆t (100-gt-21gΔt)=100-gt. 令h′(t)=0，即100-gt=0.解得t=8.9100≈10.2(s). 答：火箭熄火后约10.2 s 速度变为零.变式提升3f(x)=x 2,g(x)=x 3,求适宜f′(x)+2=g′(x)的x 值.剖析：要求x 的值，需应用导数的定义求出f′(x)、g′(x)，然后解方程.解:由导数的定义知，f′(x)= lim o x →∆x f ∆∆=lim ox →∆x x x x ∆-∆+22)(=2x, g′(x)=lim ox →∆x g ∆∆=lim o x →∆x x x x ∆-∆+33)(=3x 2. 由于f′(x)+2=g′(x)，所以2x+2=3x 2.即3x 2-2x-2=0,解得x=371-或x=371+.。