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高考数学大一轮复习 第二章 第4节 二次函数与幂函数课件

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2.4幂函数与二次函数课件高三数学一轮复习

2.4幂函数与二次函数课件高三数学一轮复习

单调递减，则 n 的值为( B )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
【解析】 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或 n＝－3，经检验只 有 n＝1 符合题意，故选 B.
12
12
11
3．若 a＝ 2 3 ，b＝ 5 3 ，c＝ 2 3 ，则 a，b，c 的大小关系是( D )
A．a<b<c
B．c<a<b
C．b<c<a
D．b<a<c
【解析】
∵y＝x
2 3
(x>0)是增函数，∴a＝12
2 3
>b＝15
2 3
.∵y＝12x 是减函数，
∴a＝12
2 3
<c＝12
1 3
，∴b<a<c.故选
D.
考点二 求二次函数的解析式
【例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确 定此二次函数的解析式．
【思路探索】 根据 f(2)，f(－1)可设一般式；根据 f(x)的最大值为 8，可设顶点式； 根据隐含的 f(2)＋1＝0，f(－1)＋1＝0 可考虑零点式．
【解】 解法一(利用一般式)： 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
4a＋2b＋c＝－1， 由题意得4aa－c4－ba＋b2c＝＝8－，1，
上单调
在x∈－2ba，＋∞上单调递减
函数的图象关于 x＝－2ba 对称
提醒：二次函数系数的特征 (1)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数 a 的正负决定图象的开口方向及开口大小． (2)－2ba的值决定图象对称轴的位置． (3)c 的取值决定图象与 y 轴的交点． (4)b2－4ac 的正负决定图象与 x 轴的交点个数．

二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)

二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)
4
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,

高考数学(理)一轮复习课件：第二章第四节 幂函数与二次函数(广东专用)

高考数学(理)一轮复习课件：第二章第四节 幂函数与二次函数(广东专用)

一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
综上可知，当 0＜λ≤2 时，函数 g(x)在[－1＋2 λ，＋∞)上 是增函数．
因此 g(x)在(0,1) 上是增函数， 又 g(0)＝－1＜0，g(1)＝2－|λ－1|＞0， 故函数 g(x)在区间(0,1)上只有唯一的零点．
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
已知关于 x 的二次函数 f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. (1)求证：对于任意 t∈R，方程 f(x)＝1 必有实数根； (2)若12＜t＜34，求证：方程 f(x)＝0 在区间(－1,0)及(0，12) 上各有一个实根．
【证明】 (1)由于 f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. ∴f(x)＝1⇔(x＋2t)(x－1)＝0，(*) ∴x＝1 是方程(*)的根，即 f(1)＝1. 因此 x＝1 是 f(x)＝1 的实根，即 f(x)必有实根． (2)当12＜t＜34时，f(－1)＝3－4t＞0.
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
【解析】 ∵f(x)＝x2＋mx＋1 的对称轴方程为 x＝－m2 . ∴－m2 ＝1，∴m＝－2.
【答案】 A
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
3．(2011·陕西高考)函数 y＝x31的图象是( )
【解析】 因为当 x＞1 时，x＞x13，当 x＝1 时，x＝x31（广东专用）
(2)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝1可知c＝1. 又f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax ＋a＋b， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0. 因而a＝1，b＝－1.所以f(x)＝x2－x＋1.

高考数学一轮复习：2.4二次函数与幂函数课件(文) (共52张PPT)

高考数学一轮复习：2.4二次函数与幂函数课件(文) (共52张PPT)
2.4 二次函数与幂函数
高三一轮（文）
考纲展示
1.了解幂函数的概念．
1 1 2．结合函数 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝x ，y＝x 2 的图象，了解它
2
3
们的变化情况． 3．解理并掌握二次函数的定义、图象及性质． 4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
考点 1
幂函数的图象与性质
典例剖析
解法二(利用顶点式)： 设 f(x)＝a(x－m) 2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为 x＝ 1 ∴m＝2. 2＋－1 1 ＝2， 2
又根据题意，函数有最大值 8，∴n＝8，
1 2
1 1 解析：设 f(x)＝x ，则 2＝2 ，所以 α＝2，故函数 f(x)＝x 2 .
α
α
易错剖析
幂函数概念的误区：系数为 1；指数为常数．
2或－1 已知幂函数 f(x)＝(m2－m－1)xm－3，则 m 为________ ．
解析：若函数为幂函数，则 m2－m－1＝1， 解得 m＝2 或 m＝－1.
通性通法
(2)“二次函数 y＝f(x)对定义域内所有 x，都有 f(a＋x)＝f(a－x)成立”
x＝a 对称”(a 为常数)． 的充要条件是“函数 y＝f(x)的图象关于直线________
解析：由题意知，y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称(a 为常数)．
典例剖析
[典题 2]
已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，
且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式．
[解] 解法一(利用一般式)： 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
4a＋2b＋c＝－1， a－b＋c＝－1， 由题意得 4ac－b2 4a ＝8，

高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数Ⅰ第4节二次函数与幂函数课件理新人教A版

高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数Ⅰ第4节二次函数与幂函数课件理新人教A版
第二章 函数的概念及基本初等 函数(Ⅰ)
第四节 二次函数与幂函数
栏
课 前 ·基 础 巩 固 1

目
导
课 堂 ·考 点 突 破 2
航
3 课 时 ·跟 踪 检 测
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解幂函数的概念.
2.结合函数 y＝x，y＝x2，y
幂函数一般不单独命题，常与指数、对数
＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，函数交汇命题；二次函数的图象与应用仍是 1.逻辑推理
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
图象
定义域 值域
(－∞，＋∞) 4ac4－a b2，＋∞
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
(－∞，＋∞) －∞，4ac4－a b2
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
单调性
在－∞，－2ba上单调递减； 在 6 ___－__∞__，__－__2b_a__上单调递增； 在 5 ___－__2b_a_，__＋__∞___上单调递 在－2ba，＋∞上单调递减 增
考点二 二次函数的图象与性质 |题组突破|
4．如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，图象过点 A(－3，0)，对称轴为 x ＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的 是( )
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
解析：选 B 因为图象与 x 轴交于两点，所以 b2－4ac>0，即 b2>4ac，①正确；对称 轴为 x＝－1，即－2ba＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象知，当 x＝－1 时，y>0，即 a －b＋c>0，③错误；由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以 a<0，所 以 5a<2a，即 5a<b，④正确．故选 B．

【推荐ppt】2019版高考数学一轮复习第二章函数第四节二次函数与幂函数课件文

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考点突破
考点一 幂函数的图象与性质
典例1 (1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是 ( )
栏目索引
(2)当0<x<1时, f(x)=x1.1,g(x)=x0.9,h(x)=x-2的大小关系是 .
答案 (1)C (2)h(x)>g(x)>f(x)
考点突破
解析 (1)设幂函数的解析式为f(x)=xa, ∵幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),
0, 2a,
解得-1≤a< 2 .
3
栏目索引
考点突破
考点二 二次函数的图象与性质
典例2 (2014北京,8,5分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒 数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t (单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验
的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 ( B)
钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟
答案 B
9a 3b c 0.7,
a 0.2,
解析 由已知得16a 4b c 0.8, 解得b 1.5,
综上可得,实数a的取值范围是(0,2),选A.
栏目索引
考点突破
3-2 (2017北京,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是

1 2
,1
.
答案 12 ,1
解析 解法一:由题意知,y=1-x, ∵y≥0,x≥0, ∴0≤x≤1,
栏目索引
则x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2

高考数学大一轮复习 第二章 第4节 二次函数与幂函数课件


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16
【尝试解答】 (1)当 a＝－2 时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－ 2)2－1，
则函数在[－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝－1， f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35. (2)函数 f(x)＝x2＋2ax＋3 的对称轴为 x＝－22a＝－a， ∴要使 f(x)在[－4,6]上为单调函数，只需－a≤－4 或－ a≥6，解得 a≥4 或 a≤－6.
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7
奇偶性 奇
偶
奇/
奇
在 (0，＋∞) 上增
在(0，＋∞) 上减
单调性 增 在(－∞，0)上减
增
增 在(－∞，0)上减
定点
(1,1)
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8
1．当 α≠0,1 时，幂函数 y＝xα 在第
一象限的图象特征(如图所示)：
(1)α＞1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸
递增，如 y＝x2；
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3
2．二次函数的性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象
定义域
R
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4
值域 单调性 对称性
4ac4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
在－∞，－2ba减__
在－∞，－2ba增__
在－2ba，＋∞增__
在－2ba，＋∞减__
函数的图象关于 x＝－2ba对称
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18
规律方法 1 1.研究二次函数在闭区间上的最值问题，先 “定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．
2. 求二次函数最值的类型及解法 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区 间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关 键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与 区间的关系进行分类讨论；(2)常画出图象结合二次函数在该 区间上的单调性求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得.

高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章 函 数第4节 幂函数与二次函数

第
一
章
[课程标准要求]


2
3

1.通过具体实例,结合 y=x,y= ,y=x ,y= ,y=x 的图象,理解它

们的变化规律,了解幂函数.2.理解二次函数的图象和性质,能
用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是 自变量 ,α是常数.

2
2
所以 f(x)=a(x- ) +8.因为 f(2)=-1,所以 a(2- ) +8=-1,


2
2
解得 a=-4,所以 f(x)=-4(x- ) +8=-4x +4x+7.

法三
(利用“零点式”解题)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),


2
即 y= x -x-4.

(2)已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离
等于2,则二次函数的解析式为
2
Hale Waihona Puke 2y= x +x- 或 y=- x -x+




.
解析:(2)因为二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠0),
位置.
(3)三看特殊点:看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴
的交点、与x轴的交点、函数图象的最高点或最低点等.

高考数学一轮复习 2-4二次函数与幂函数课件 文


ppt精选
18
基础诊断
考课点堂突总破结
(2)令 f(x)＝g(x)，即 x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8， 即 x2－2ax＋a2－4＝0，解得 x＝a＋2 或 x＝a－2.f(x)与 g(x)的 图象如图．
ppt精选
8
基础诊断
考课点堂突总破结
3. 3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为________．
解析 因为 3－aa＋6＝ 18－3a－a2
＝ －a＋322＋841，由于－6≤a≤3，
所以当 a＝－32时， 3－aa＋6有最大值92.
答案
9 2
ppt精选
9
基础诊断
考课点堂突总破结
4．已知幂函数
q}表示 p，q 中的较大值，min{p，q}表示 p，q 中的较小值)．记
H1(x)的最小值为 A，H2(x)的最大值为 B断
考课点堂突总破结
解析 (1)由①③④知，f(0)＝c＜0. ∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴 x＝－2ba＞0， 知①，③错误，④符合要求． 由②知 f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－2ba＜0，②错误．
6
基础诊断
考课点堂突总破结
诊断自测 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( × ) (2)幂函数的图象不经过第四象限．( √ ) (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( × ) (4) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ， x ∈ [a， b] 的 最 值 一 定 是 4ac－b2
．
• ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． • ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

2025版高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲幂函数与二次函数

第四讲 幂函数与二次函数知 识 梳 理学问点一 幂函数 函数y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象定义域 R R R [0，＋∞)(－∞，0)∪ _(0，＋∞)__ 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) (－∞，0)∪ _(0，＋∞)__奇偶性奇 函数偶 函数 奇 函数非奇非偶 函数奇 函数单调性在R 上单 调递增在 (－∞，0)上单调递减， 在 (0，＋∞) 上单调递增在R 上 单调递增在 [0，＋∞) 上单调递增在 (－∞，0) 和 (0，＋∞) 上单调递减公共点(1,1)学问点二 二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 R R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减1．二次函数解析式的三种形式： (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．一元二次不等式恒成立的条件：(1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0，且Δ<0”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0，且Δ<0”．双 基 自 测题组一 走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝12x 12是幂函数．( × ) (2)y ＝x 0的图象是一条直线．( × )(3)幂函数y ＝x －1是定义域上的减函数．( × ) (4)幂函数的图象不行能出现在第四象限．( √ ) (5)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( × )(6)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值确定是4ac －b24a .( × ) 题组二 走进教材2．(必修1P 91练习T1改编)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则此函数的解析式为 y ＝x －12 ，在区间 (0，＋∞) 上单调递减．[解析] ∵f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22， ∴2α＝22＝2－12，∴α＝－12，∴f (x )＝x －12.由f (x )的图象可知，f (x )的减区间是(0，＋∞)．3．(必修1P 100T5改编)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递减，则m 的值为( A )A ．－1B ．1C ．2或－1D ．2[解析] 利用幂函数的定义及性质列式计算并推断．∵f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，即(m －2)(m ＋1)＝0，解得m ＝2，或m ＝－1，又当x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递减，∴m 2＋m －3<0，当m ＝2时，m 2＋m －3＝3>0，不合题意，舍去；当m ＝－1，m 2＋m －3＝－3<0，符合题意，故m ＝－1.故选A.4．(必修1P 53T2改编)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b > 0，ac < 0，a －b ＋c < 0.[解析] ∵a <0，－b2a >0，∴b >0.∵ca ＝x 1x 2<0，∴ac <0，a －b ＋c ＝f (－1)<0.5．(必修1P 58T6改编)已知f (x )＝x 2－2 025x ，若f (m )＝f (n )，m ≠n ，则f (m ＋n )等于( C ) A ．2 025 B ．－2 025 C ．0D ．10 025[解析] 先求出函数的对称轴方程，利用二次函数的对称性求解即可．函数f (x )＝x 2－2 025x 的对称轴为直线x ＝2 0252，∵f (m )＝f (n )，∴m ，n 关于函数f (x )＝x 2－2 025x 图象的对称轴对称，∴m ＋n ＝2 025，∴f (m ＋n )＝f (2 025)＝0.故选C.题组三 走向高考6．(2013·浙江文，7,5分)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( A )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0[解析] 由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x )先减后增，∴a >0，故选A. 7．(2024·上海)下列幂函数中，定义域为R 的是( C ) A ．y ＝x －1B ．y ＝x －12C ．y ＝x 13 D ．y ＝x 12[解析] 选项A 中函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，选项B 中函数的定义域为(0，＋∞)，选项C 中函数的定义域为R ，选项D 中函数的定义域为[0，＋∞)，故选C.8．(2024·上海，7)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ －1 .[解析] ∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3， 又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.。

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(3)当 a＝－1 时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3 ＝xx22＋ －22xx＋ ＋33＝ ＝xx＋ －1122＋ ＋22， ，xx≤ ＞00， ， 其图象如图所示：
又∵x∈[ －4,6] ，∴f(|x|)在区间[ －4，－1)和[ 0,1)上为减
函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数．
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2．二次函数的性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象
定义域
R
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值域 单调性 对称性
4ac4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
在－∞，－2ba减__
在－∞，－2ba增__
在－2ba，＋∞增__
在－2ba，＋∞减__
函数的图象关于 x＝－2ba对称
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规律方法 1 1.研究二次函数在闭区间上的最值问题，先 “定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．
2. 求二次函数最值的类型及解法 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区 间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关 键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与 区间的关系进行分类讨论；(2)常画出图象结合二次函数在该 区间上的单调性求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得.
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对点训练 (1)已知函数 y＝ax2＋bx＋c，如果 a＞b＞c， 且 a＋b＋c＝0，则它的图象是( )
【答案】 D
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(2)设 f(x)＝x2－2ax(0≤x≤1)的最大值为 M(a)，最小值为 m(a)．试求 M(a)及 m(a)的表达式．
【解】 f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，x∈[0,1]． 当 a≤0 时，M(a)＝f(1)＝1－2a，m(a)＝f(0)＝0； 当 0＜a≤12时，M(a)＝f(1)＝1－2a，m(a)＝－a2； 当12＜a≤1 时，M(a)＝f(0)＝0，m(a)＝－a2； 当 a＞1 时，M(a)＝f(0)＝0，m(a)＝f(1)＝1－2a.
第四节 二次函数与幂函数
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[考情展望] 1.利用幂函数的图象和性质解决幂的大小 比较和图象识别等问题.2.考查二次函数的解析式求法、图象 特征及最值.3.运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等 式之间的关系去分析和解决问题．
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一、二次函数 1．二次函数的三种形式 一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c (a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为 (h，k) ； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零点．
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奇偶性 奇
偶
奇/
奇
在 (0，＋∞) 上增
在(0，＋∞) 上减
单调性 增 在(－∞，0)上减
增
增 在(－∞，0)上减
定点
(1,1)
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1．当 α≠0,1 时，幂函数 y＝xα 在第
一象限的图象特征(如图所示)：
(1)α＞1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸
递增，如 y＝x2；
(2)0＜α＜1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如 y＝x12；
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二、幂函数
1．定义：形如 y＝xα (α∈R)的函数叫幂函数，其中 x 是 自变量 ，α 是常数．
2．幂函数的性质
函数特 y＝x
征性质
y＝x2
y＝x3 y＝x12
y＝x－1
定义域 R
R
值域 R [0，＋∞)
R
[0，ห้องสมุดไป่ตู้∞)
(－∞，0) ∪(0，＋∞)
R
[0，＋∞) (－∞，0) ∪(0，＋∞)
(3)α＜0，图象过点(1,1)，单调递减，且以两坐标轴为渐
近线，如 y＝x－1，y＝x－12.
2．幂函数的图象一定不会经过第四象限．
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1．已知点 M 33，3在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)的表
达式为( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝x－2
C．f(x)＝x12
D．f(x)＝x－12
【答案】 B
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2．图 2－4－1 中 C1，C2，C3 为三个幂函数 y＝xk 在第一 象限内的图象，则解析式中指数 k 的值依次可以是( )
图 2－4－1
A．－1，12，3
B．－1,3，12
C.12，－1,3 【答案】 A
D.12，3，－1
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3．函数 f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3 为偶函数，则 f(x)在区
【答案】 － 22，0
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考向一 [019] 二次函数的图象与性质 已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)当 a＝－2 时，求 f(x)的最值； (2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－4,6]上是单 调函数； (3)当 a＝－1 时，求 f(|x|)的单调区间．
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函数 y＝f(x)对称轴的判断方法 (1)对于函数 y＝f(x)对定义域内所有 x，都有 f(x1)＝f(x2)， 那么函数 y＝f(x)的图象关于 x＝x1＋2 x2对称． (2)对于函数 y＝f(x)对定义域内所有 x，都有 f(a＋x)＝f(a －x)成立的充要条件是函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称 (a 为常数)．
bx＋c.若 f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0
B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0
D．a<0,2a＋b＝0
【答案】 A
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6．(2014·江苏高考)已知函数 f(x)＝x2＋mx－1，若对于任 意 x∈[m，m＋1]，都有 f(x)<0 成立，则实数 m 的取值范围是 ________．
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【尝试解答】 (1)当 a＝－2 时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－ 2)2－1，
则函数在[－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝－1， f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35. (2)函数 f(x)＝x2＋2ax＋3 的对称轴为 x＝－22a＝－a， ∴要使 f(x)在[－4,6]上为单调函数，只需－a≤－4 或－ a≥6，解得 a≥4 或 a≤－6.
间(－5，－3)上( )
A．先减后增
B．先增后减
C．单调递减
D．单调递增
【答案】 D
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4．函数 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 在区间(－∞，3]上是减函 数，则实数 a 的取值范围是________．
【答案】 (－∞，－2]
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5．(2013·浙江高考)已知 a，b，c∈R，函数 f(x)＝ax2＋