课时跟踪检测(十二) 二次函数与幂函数

二次函数与幂函数指数函数的比较与性质二次函数与幂函数、指数函数是高中数学中常见的函数类型。

本文将比较二次函数与幂函数、指数函数的特点与性质，从多个角度分析它们之间的差异和联系。

一、函数表达式与图像形态比较二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

它的图像是一条抛物线，圆顶方向和开口方向取决于a的正负。

幂函数的一般形式为f(x) = ax^m，其中a为实数，m为常数且m ≠ 0。

它的图像形态根据m的值而定，当m > 1时为上升函数，m < 1时为下降函数。

指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1。

它的图像是一条递增或递减的曲线，斜率随x的增大而不断增大或减小。

通过比较函数表达式和图像形态，可以看出二次函数的图像是一条抛物线，幂函数的图像可以是直线、上升或下降的曲线，指数函数的图像是递增或递减的曲线。

二、增长速度与渐近性质比较二次函数的增长速度由a的值决定，当a > 0时随着x的增大，函数值快速增大；当a < 0时，随着x的增大，函数值快速减小。

二次函数没有水平渐近线，但存在一条对称轴。

幂函数的增长速度由m的值决定，当m > 1时，随着x的增大，函数值快速增大；当0 < m < 1时，随着x的增大，函数值快速减小。

幂函数没有水平渐近线。

指数函数的增长速度由底数a的值决定，当a > 1时，随着x的增大，函数值快速增大；当0 < a < 1时，随着x的增大，函数值快速减小。

指数函数存在一条水平渐近线，即x轴。

综合比较三种函数的增长速度和渐近性质，可以得出二次函数的增长速度相对较慢，幂函数的增长速度介于二次函数和指数函数之间，而指数函数的增长速度最快。

三、最值与极值比较对于二次函数，如果a > 0，则函数的最小值为c - b^2 / (4a)，无最大值；如果a < 0，则函数的最大值为c - b^2 / (4a)，无最小值。

二次函数与幂函数的关系二次函数和幂函数是数学中常见的两种函数，它们之间存在一定关系。

这篇文章将介绍二次函数和幂函数的定义、图像、特点以及它们之间的关系。

首先，我们来回顾一下二次函数和幂函数的定义。

二次函数是指函数的最高次项为二次的多项式函数。

它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数且a不等于0。

在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量。

幂函数是指函数的自变量和因变量之间的关系式为 y = x^a，其中a 是实数。

幂函数的图像通常是一个曲线，并且根据a的不同取值，可以得到不同的曲线形状。

接下来，我们来分析二次函数和幂函数的图像。

对于二次函数，它的图像通常是一个抛物线。

根据二次函数的系数a 的正负和大小，可以得到不同类型的抛物线。

当 a 大于0时，抛物线开口向上；当 a 小于0时，抛物线开口向下。

我们可以根据开口方向和顶点的位置来确定抛物线的图像。

例如，当 a 大于0且顶点位于y轴上方时，抛物线开口向上且顶点为最低点；当 a 小于0且顶点位于y轴下方时，抛物线开口向下且顶点为最高点。

而幂函数的图像则由指数 a 的大小来决定。

当 a 大于1时，函数的图像呈现出上升的斜线；当 a 等于1时，函数的图像是一条直线；当 0 小于 a 小于 1 时，函数的图像呈现出下降的斜线。

与二次函数不同的是，幂函数的图像没有顶点或拐点。

然而，二次函数和幂函数并不是完全独立的。

实际上，我们可以将二次函数视为一种特殊的幂函数。

具体来说，二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 可以写成 f(x) = a(x - h)^2 + k 的形式，其中 h 和 k 是实数，代表了二次函数图像的平移。

这种表达方式可以让我们更好地理解二次函数和幂函数之间的关系。

当平移的值 h 和 k 分别等于0时，即 h = 0 且 k = 0 时，二次函数变为f(x) = ax^2，这就是一个幂函数。

§2.6二次函数与幂函数考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线)定义域R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1212x 是幂函数．( × )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( √ ) (3)二次函数y ＝a (x －1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (4)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( × ) 教材改编题1．已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫5，15，则f (8)的值等于( ) A.14 B ．4 C ．8 D.18 答案 D解析 设幂函数f (x )＝x α，因为幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫5，15，所以f (5)＝5α＝15， 解得α＝－1，所以f (x )＝x －1，则f (8)＝8－1＝18.2．已知函数f (x )＝－x 2－4x ＋5，则函数y ＝f (x )的单调递增区间为( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，2] C ．[－2，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 A解析 f (x )＝－x 2－4x ＋5＝－(x ＋2)2＋9，故函数f (x )的对称轴为x ＝－2， 又函数f (x )的图象开口向下，故函数的单调递增区间为(－∞，－2]． 3．函数f (x )＝－2x 2＋4x ，x ∈[－1,2]的值域为( )A ．[－6,2]B ．[－6,1]C ．[0,2]D ．[0,1]答案 A解析 函数f (x )＝－2x 2＋4x 的对称轴为x ＝1， 则f (x )在[－1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )min ＝f (－1)＝－2－4＝－6， 即f (x )的值域为[－6,2].题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)若幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则( )A ．－1<n <0<m <1B ．n <－1，0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1答案 B解析 由图象知，y ＝x m 在(0，＋∞)上单调递增， 所以m >0，又y ＝x m 的图象增长得越来越慢， 所以m <1，y ＝x n 在(0，＋∞)上单调递减， 所以n <0，又当x >1时，y ＝x n 的图象在y ＝x －1的下方， 所以n <－1.综上，n <－1，0<m <1.(2)(2023·德州模拟)幂函数f (x )＝(m 2＋m －5)225m m x ＋－在区间(0，＋∞)上单调递增，则f (3)等于( )A ．27B ．9 C.19 D.127答案 A解析 由题意，得m 2＋m －5＝1， 即m 2＋m －6＝0，解得m ＝2或m ＝－3， 当m ＝2时，可得函数f (x )＝x 3，此时函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当m ＝－3时，可得f (x )＝x －2，此时函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意， 即幂函数f (x )＝x 3，则f (3)＝27.思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 跟踪训练1 (1)已知幂函数3py x ＝(p ∈Z )的图象关于y 轴对称，如图所示，则( )A ．p 为奇数，且p >0B ．p 为奇数，且p <0C ．p 为偶数，且p >0D ．p 为偶数，且p <0 答案 D解析 因为函数3p y x ＝的图象关于y 轴对称， 所以函数3p y x ＝为偶函数，即p 为偶数， 又函数3p y x ＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 且在(0，＋∞)上单调递减，所以p3<0，即p <0.(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)已知函数y ＝254m m x －＋(m ∈Z )为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值可以为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 BC解析 因为函数在区间(0，＋∞)上单调递减， 所以m 2－5m ＋4<0，解得1<m <4， 因为m ∈Z ， 所以m ＝2或3，当m ＝2时，函数y ＝x －2为偶函数，符合题意； 当m ＝3时，函数y ＝x －2为偶函数，符合题意， 综上，m ＝2或m ＝3. 题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解 方法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为 f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8， 所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1， 解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8.解得a ＝－4.故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 思维升华 求二次函数解析式的三个策略： (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2 已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x 轴的距离等于2，则二次函数的解析式为________．答案 y ＝12x 2＋x －32或y ＝－12x 2－x ＋32解析 因为二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)， 所以可设二次函数为y ＝a (x ＋3)(x －1)(a ≠0)，展开得，y ＝ax 2＋2ax －3a ， 顶点的纵坐标为－12a 2－4a 24a ＝－4a ，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离为2， 所以|－4a |＝2，即a ＝±12，所以二次函数的解析式为y ＝12x 2＋x －32或y ＝－12x 2－x ＋32.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的图象例3 设abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，b >0，c <0，不符合题意； D 中，a >0，b <0，c <0，符合题意． 命题点2 二次函数的单调性与最值例4 (2023·福州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋2a －1. (1)若f (x )在区间[1,2]上单调递减，求a 的取值范围；(2)若a >0，设函数f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式． 解 (1)当a >0时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1的图象开口向上，对称轴方程为x ＝12a，所以f (x )在区间[1,2]上单调递减需满足12a ≥2，a >0，解得0<a ≤14.当a <0时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1的图象开口向下，对称轴方程为x ＝12a <0，所以f (x )在区间[1,2]上单调递减需满足a <0， 综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤0，14. (2)①当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上单调递增， 此时g (a )＝f (1)＝3a －2. ②当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1，12a 上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12a ，2上单调递增， 此时g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫12a ＝2a －14a －1. ③当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上单调递减， 此时g (a )＝f (2)＝6a －3，综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3，a ∈⎝⎛⎭⎫0，14，2a －14a －1，a ∈⎣⎡⎦⎤14，12，3a －2，a ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3 (1)(多选)(2022·茂名模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A．2a＋b＝0B．4a＋2b＋c<0C．9a＋3b＋c<0D．abc<0答案ACD解析由二次函数图象开口向下知，a<0，对称轴为x＝－b＝1，即2a＋b＝0，故b>0.2a又因为f(0)＝c>0，所以abc<0.f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.(2)(2022·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是____．答案[2,4]解析解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，解得x＝2，由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2,2]．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2；若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]，所以b－a的最大值为4.所以b－a的取值范围是[2,4]．课时精练1．已知p：f(x)是幂函数，q：f(x)的图象过点(0,0)，则p是q的() A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 D解析f(x)＝x－2是幂函数，但其图象不过点(0,0)，故充分性不成立；f(x)＝2x－1的图象过点(0,0)，但其不是幂函数，故必要性不成立．所以p是q的既不充分也不必要条件．2．(2023·保定检测)已知a＝432，b＝233，c＝1225，则()A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 答案 A解析由题意得b＝224333342=＝a，a＝432＝234<4<5＝1225＝c，所以b<a<c.3．(2023·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是()答案 C解析若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D；对于选项B ，由直线可知a >0，b >0，从而－b 2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B.4．已知函数f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋a ，若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有f (x 1)≠f (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[0,3]C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 二次函数f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝a －1，∵对于任意x 1，x 2∈[－1,2]且x 1≠x 2，都有f (x 1)≠f (x 2)，即f (x )在区间[－1,2]上是单调函数，∴a －1≤－1或a －1≥2，∴a ≤0或a ≥3，即实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．5．(多选)幂函数f (x )＝()22657m m m x －－＋在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是()A ．m ＝3B ．函数f (x )在(－∞，0)上单调递增C ．函数f (x )是偶函数D ．函数f (x )的图象关于原点对称答案 ABD解析 因为幂函数f (x )＝()22657m m m x －－＋在(0，＋∞)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－5m ＋7＝1，m 2－6>0，解得m ＝3， 所以f (x )＝x 3，所以f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，故f (x )＝x 3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f (x )在(－∞，0)上单调递增．6．(多选)若二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a 等于( )A ．－13 B.13 C ．－5 D ．5答案 BC解析 显然a ≠0，有f (x )＝a (x ＋1)2－a ＋1，当a >0时，f (x )在[－2,3]上的最大值为f (3)＝15a ＋1，由15a ＋1＝6，解得a ＝13，符合题意； 当a <0时，f (x )在[－2,3]上的最大值为f (－1)＝1－a ，由1－a ＝6，解得a ＝－5，符合题意，所以a 的值为13或－5. 7．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立，∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3，设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.8．(2022·人大附中质检)已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[1，＋∞)，则1a ＋4c的最小值为________．答案 3解析 因为二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[1，＋∞)，则a >0，所以f (x )min ＝4ac －44a ＝ac －1a＝1，即ac －1＝a ，可得a ＝1c －1>0，则c >1， 所以1a ＋4c ＝c ＋4c －1≥2c ·4c－1＝3， 当且仅当c ＝2时，等号成立，因此1a ＋4c的最小值为3. 9．已知幂函数f (x )＝(2m 2－m －2)242m x －(m ∈R )为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－2(a －1)x ＋1在区间[0,4]上的最大值为9，求实数a 的值．解 (1)由幂函数可知2m 2－m －2＝1，解得m ＝－1或m ＝32， 当m ＝－1时，f (x )＝x 2，函数为偶函数，符合题意； 当m ＝32时，f (x )＝x 7，函数为奇函数，不符合题意， 故f (x )的解析式为f (x )＝x 2.(2)由(1)得，g (x )＝f (x )－2(a －1)x ＋1＝x 2－2(a －1)x ＋1.函数的对称轴为x ＝a －1，开口向上，f (0)＝1，f (4)＝17－8(a －1)，由题意得，在区间[0,4]上，f (x )max ＝f (4)＝17－8(a －1)＝9，解得a ＝2，经检验a ＝2符合题意， 所以实数a 的值为2.10．设二次函数f (x )满足：①当x ∈R 时，总有f (－1＋x )＝f (－1－x )；②函数f (x )的图象与x轴的两个交点为A ，B ，且|AB |＝4；③f (0)＝－34. (1)求f (x )的解析式；(2)若存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ](m >1)，就有f (x ＋t )≤x －1成立，求满足条件的实数m 的最大值．解 (1)由题意知，函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且方程f (x )＝0的两根为－3和1， 设f (x )＝a (x ＋3)(x －1)，又f (0)＝－34，则f (0)＝－3a ＝－34，解得a ＝14. 故f (x )＝14x 2＋12x －34. (2)只要x ∈[1，m ](m >1)，就有f (x ＋t )≤x －1，即x 2＋2(t －1)x ＋(t ＋1)2≤0，取x ＝1，t 2＋4t ≤0，－4≤t ≤0；取x ＝m ，[m ＋(t －1)]2≤－4t ，即1－t －2－t ≤m ≤1－t ＋2－t ， 由－4≤t ≤0得0≤－t ≤4,1－t ＋2－t ≤1＋4＋2×4＝9，故当t ＝－4时，m ≤9；当m ＝9时，存在t ＝－4，只要x ∈[1,9]，就有f (x －4)－(x －1)＝14(x －1)(x －9)≤0成立，满足题意． 故满足条件的实数m 的最大值为9.11.已知幂函数y ＝x a 与y ＝x b 的部分图象如图所示，直线x ＝m 2，x ＝m (0<m <1)与y ＝x a ，y ＝x b 的图象分别交于A ，B ，C ，D 四点，且|AB |＝|CD |，则m a ＋m b 等于( )A.12B ．1 C. 2D ．2答案 B解析 由题意，|AB |＝|(m 2)a －(m 2)b |，|CD |＝|m a －m b |，根据图象可知b >1>a >0，当0<m <1时，(m 2)a >(m 2)b ，m a >m b ，因为|AB |＝|CD |，所以m 2a －m 2b ＝(m a ＋m b )(m a －m b )＝m a －m b ，因为m a －m b >0，所以m a ＋m b ＝1.12．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0(m ∈R )的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案 7 解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ，αβ＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1，α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14， 且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.13．已知函数f (x )＝2ax 2－2 022x －2 023，对任意t ∈R ，在区间[t －1，t ＋1]上存在两个实数x 1，x 2，使|f (x 1)－f (x 2)|≥1成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－1,1]C ．(－∞，－1]∪{0}∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪{0}∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 答案 D解析 存在两个实数x 1，x 2，使|f (x 1)－f (x 2)|≥1⇔f (x )max －f (x )min ≥1，当a ＝0时，f (x )＝－2 022x －2 023，f (t －1)－f (t ＋1)＝2×2 022>1，显然符合；当a ≠0时，f (x )＝2ax 2－2 022x －2 023与y ＝2ax 2的图象完全“全等”，即可以通过平移完全重合．因为t －1≤x ≤t ＋1且t ∈R ，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象， 使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于等于1，因此取纵坐标之差最小的状态为f (x )＝2ax 2(－1≤x ≤1)，当a >0时，此时f (x )max －f (x )min ＝2a －0≥1，故a ≥12； 当a <0时，此时f (x )max －f (x )min ＝0－2a ≥1，故a ≤－12， 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪{0}∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞.14．已知函数f(x)＝x2－4x＋1，设1≤x1<x2<x3<…<x n≤4，若|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(x n－1)－f(x n)|≤M，则M的最小值为()A．3 B．4 C．5 D．6答案 C解析函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增．由绝对值的几何意义，∴|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(x n－1)－f(x n)|表示将函数f(x)在(x1，x n)上分成n－1段，取每段两端点函数值差的绝对值总和．又根据f(x)的单调性知原式最大值为|f(1)－f(2)|＋|f(2)－f(4)|＝f(1)－f(2)＋f(4)－f(2)＝5，∴M≥5，则M的最小值为5.。

§2.4二次函数与幂函数基础组1.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n2－3n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或22．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )3．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2－x ， 则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( ) A ．－116B ．－18C ．－14D ．04. 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)5．幂函数f (x )＝x α的图象过点(2,4)，那么函数f (x )的单调递增区间是( ) A ．(－2，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．[0，＋∞)D ．(－∞，－2)6．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若a ＝c ，则函数f (x )的图象不可能是( )7.已知函数f (x )＝a sin x －12cos2x ＋a －3a ＋12(a ∈R ，a ≠0)，若对任意x ∈R 都有f (x )≤0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－32，0 B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(0,1]D ．[1,3]8．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝－x 2－x －1 B ．f (x )＝－x 2＋x －1 C ．f (x )＝x 2－x －1D ．f (x )＝x 2－x ＋19． “a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足条件：①f (3－x )＝f (x )；②f (1)＝0；③对任意实数x ，f (x )≥14a －12恒成立．则其解析式为f (x )＝________.11．已知二次函数图象的对称轴为x ＝－2，截x 轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．12．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－2m x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．能力组13.已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间 (－5，－3)上( ) A ．先减后增 B ．先增后减 C ．单调递减D ．单调递增14．函数f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上恒满足f (x )<0，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤0B ．a <－4C．－4<a<0D．－4<a≤0答案D15．当0<x<1时，函数f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x-2的大小关系是________．16．是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1, 1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．参考答案 基础组1. B【解析】 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B.2．A【解析】 函数f (x )＝x 2＋bx ＋c图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2，4c －b 24，则－b 2>0.f ′(x )＝2x ＋b ，令f ′(x )＝0，得x ＝－b2>0，即导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点位于x 轴正半轴上，且斜率为正，故选A.3．A【解析】 设x ∈[－2，－1]，则x ＋2∈[0,1]，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2，又f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝2f (x ＋1)＝4f (x )，∴f (x )＝14(x 2＋3x ＋2)∴当x ＝－32时，取到最小值为－116.4. D【解析】 解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3.所以f (x )＝24,(,2][3,)1,(2,3)x x x x +∈-∞-+∞⎧⎨-∈-⎩ 其图象如下图实线所示，由图可知，当－2≤k <1时，函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，故选D.5． C【解析】 因为函数过点(2,4)，所以4＝2α，α＝2，故f (x )＝x 2，单调增区间为[0，＋∞)，选C.6． D【解析】 由A 、B 、C 、D 四个选项知，图象与x 轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，若只有一个交点，则x 1＝x 2.因为a ＝c ，所以x 1x 2＝ca ＝1，比较四个选项，可知选项D 的x 1<－1，x 2<－1，所以D 不满足．故选D.7. C【解析】 化简函数得f (x )＝sin 2x ＋a sin x ＋a －3a.令t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则g (t )＝t 2＋at ＋a－3a ，问题转化为使g (t )在[－1,1]上恒有g (t )≤0，即3(1)103(1)120g ag a a ⎧-=-≤⎪⎪⎨⎪=+-≤⎪⎩解得0<a ≤1， 故选C. 8．D【解析】 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得221(1)(1)()2c a x b x c ax bx c x=⎧⎨++++-++=⎩ 故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝x 2－x ＋1.故选D. 9．B【解析】 函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－－4a2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．10．x 2－3x ＋2【解析】 依题意可设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －322＋k ， 由f (1)＝14a ＋k ＝0，得k ＝－14a ，从而f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －322－a 4≥14a －12恒成立， 则－a 4≥14a －12，且a >0，即14a ＋a 4－12≤0，即a 2－2a ＋14a ≤0，且a >0，∴a ＝1. 从而f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －322－14＝x 2－3x ＋2.11． 解 ∵二次函数图象的对称轴为x ＝－2，∴可设所求函数的【解析】式为f (x )＝a (x ＋2)2＋b .∵二次函数f (x )的图象截x 轴所得的弦长为4，∴f (x )过点(－2＋2,0)和(－2－2,0)．又二次函数f (x )的图象过点(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝02a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－2.∴f (x )＝12(x ＋2)2－2.即f (x )＝12x 2＋2x －1.12． 解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故(3)5(2)2f f =⎧⎨=⎩∴⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.②当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故(3)5(2)2f f =⎧⎨=⎩∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2.若g (x )在[2,4]上单调，则2＋2m 2≤2或2m ＋22≥4，∴2m ≤2或2m ≥6，即m ≤1或m ≥log 26.故m的取值范围是(－∞，1]∪[log 26，＋∞)．能力组13. D【解析】 当m ＝1时，f (x )＝2x ＋3不是偶函数；当m ≠1时，f (x )为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y 轴，故需m ＝0，此时f (x )＝－x 2＋3，其图象的开口向下，所以函数f (x )在(－5，－3)上单调递增，故选D.14．D【解析】 当a ＝0时，f (x )＝－1在R 上恒有f (x )<0； 当a ≠0时，∵f (x )在R 上恒有f (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0a 2＋4a <0，∴－4<a <0. 综上可知：－4<a ≤0. 15．h (x )>g (x )>f (x )【解析】 如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图象，由此可知，h (x )>g (x )>f (x )．16．解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数， ∴(1)132(1)12f a f a -=+=-⎧⎨=-=⎩ ⇒a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，2()2(1)12f a a a f a ⎧=-=-⎨=-=⎩ ⇒a ＝－1；当0<a ≤1时，2()2(1)132f a a a f a ⎧=-=-⎨-=+=⎩ ⇒a 不存在； 当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数， ∴(1)132(1)12f a f a -=+=⎧⎨=-=⎩ ⇒a 不存在．综上可得a ＝－1.。

课时跟踪检测（十二） 二次函数与幂函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：选D 设幂函数的解析式为y ＝x α，将(3，3)代入解析式得3α＝3，解得 α＝12，所以y ＝x 12.故选D.2．(2018·丽水调研)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R )，对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )成立，在函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的一个不可能是( )A ．f (－1)B ．f (1)C ．f (2)D ．f (5)解析：选B 由f (2＋t )＝f (2－t )知函数y ＝f (x )的图象对称轴为x ＝2.当a ＞0时，易知f (5)＝f (－1)＞f (1)＞f (2)；当a ＜0时，f (5)＝f (－1)＜f (1)＜f (2)，故最小的不可能是f (1)．3．(2018·金华模拟)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选C 设幂函数f (x )＝x α， ∵f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14， ∴2α＝14，解得α＝－2，则f (x )＝x －2＝1x2，且x ≠0，∵y ＝x 2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增， ∴函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0)．4．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a ＜x 0＜b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f (1)－f (－1)1－(－1)＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1. 所以必有－1＜m －1＜1，即0＜m ＜2， 所以实数m 的取值范围是(0,2)． 答案：(0,2)5．若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为________．解析：∵函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，且f (x )在区间 [a ，a ＋2]上的最小值为4，∴当a ≥1时，f (a )＝(a －1)2＝4， ∴a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4， ∴a ＝1(舍去)或a ＝－3；当a ＜1＜a ＋2，即－1＜a ＜1时，f (1)＝0≠4. 故a 的取值集合为{－3,3}． 答案：{－3,3}二保高考，全练题型做到高考达标1．已知点(m,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫1312，b ＝f (ln π)，c ＝ f ⎝⎛⎭⎫－12，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＜a ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c解析：选A 根据题意，m －1＝1，∴m ＝2，∴2n ＝8， ∴n ＝3，∴f (x )＝x 3.∵f (x )＝x 3是定义在R 上的增函数， 又－12＜0＜⎝⎛⎭⎫1312＜⎝⎛⎭⎫130＝1＜ln π， ∴c ＜a ＜b .2．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 由A 、C 、D 知，f (0)＝c ＜0. ∵abc ＞0，∴ab ＜0， ∴对称轴x ＝－b2a＞0，知A 、C 错误，D 符合要求． 由B 知f (0)＝c ＞0， ∴ab ＞0，∴x ＝－b2a＜0，B 错误．故选D.3．(2018·诸暨月考)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n n23－(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2解析：选B ∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n n23－(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n 是偶数，n 2－3n ＜0，解得n ＝1.4．若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c解析：选D ∵y ＝x 23(x ＞0)是增函数，∴a ＝⎝⎛⎭⎫1223＞b ＝⎝⎛⎭⎫1523.∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数， ∴a ＝⎝⎛⎭⎫1223＜c ＝⎝⎛⎭⎫1213，∴b ＜a ＜c . 5．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A ．[0,4] B.⎣⎡⎦⎤32，4 C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤32，3解析：选D 二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝⎛⎭⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎡⎦⎤32，3.6．(2018·宁波模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，对于任意实数a ，总存在实数m ，当x ∈[m ，m ＋1]时，使得f (x )≤0恒成立，则b 的取值范围为________．解析：设f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝0，有两根x 1，x 2， ∴4b ＜a 2，x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b ，∵对于任意实数a ，总存在实数m ，当x ∈[m ，m ＋1]时，使得f (x )≤0恒成立， ∴(x 1－x 2)2≥1恒成立，∴a 2－1≥4b ， ∴b ≤－14，故b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－14. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－14 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x ＞0为奇函数，则a ＋b ＝________.解析：因为函数f (x )是奇函数， 所以当x ＜0时，－x ＞0，所以f (x )＝x 2＋x ，f (－x )＝ax 2－bx ， 而f (－x )＝－f (x )，即－x 2－x ＝ax 2－bx ， 所以a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0. 答案：08．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a ＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：Δ＝4(a －2)2－4a ＝4a 2－20a ＋16＝4(a －1)(a －4)．(1)若Δ＜0，即1＜a ＜4时，x 2－2(a －2)x ＋a ＞0在R 上恒成立，符合题意； (2)若Δ＝0，即a ＝1或a ＝4时，方程x 2－2(a －2)x ＋a ＞0的解为x ≠a －2， 显然当a ＝1时，不符合题意，当a ＝4时，符合题意；(3)当Δ＞0，即a ＜1或a ＞4时，因为x 2－2(a －2)x ＋a ＞0在(－∞，1)∪(5，＋∞)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2(a －2)＋a ≥0，25－10(a －2)＋a ≥0，1＜a －2＜5，解得3＜a ≤5，又a ＜1或a ＞4，所以4＜a ≤5. 综上，实数a 的取值范围是(1,5]． 答案：(1,5]9．(2018·杭州五校联盟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]内的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)∵f (－1＋x )＝f (－1－x )， 可得f (x )的图象关于x ＝－1对称， ∴设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h ， ∵函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1， 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋h a ， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ －4ha ＝2，解得a ＝－h ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]递增， 又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x ＝⎝⎛⎭⎫x －k －222－(k －2)24，∴k －22≤－1，即k ≤0， 综上，实数k 的取值范围为(－∞，0]．10．(2017·绍兴期中)已知函数f (x )＝－x 2＋2bx ＋c ，设函数g (x )＝|f (x )|在区间[－1,1]上的最大值为M .(1)若b ＝2，试求出M ；(2)若M ≥k 对任意的b ，c 恒成立，试求k 的最大值．解：(1)当b ＝2时，函数f (x )＝－x 2＋2bx ＋c ＝－x 2＋4x ＋c ＝－(x －2)2＋4＋c ，所以函数f (x )在区间[－1,1]上是增函数，则M 是g (－1)和g (1)中较大的一个， 又g (－1)＝|－5＋c |，g (1)＝|3＋c |，则M ＝⎩⎪⎨⎪⎧|－5＋c |，c ≤1，|3＋c |，c ＞1.(2)g (x )＝|f (x )|＝|－(x －b )2＋b 2＋c |，①当|b |＞1时，y ＝g (x )在区间[－1,1]上是单调函数， 则M ＝max{g (－1)，g (1)}，而g (－1)＝|－1－2b ＋c |，g (1)＝|－1＋2b ＋c |，则2M ≥g (－1)＋g (1)≥|f (－1)－f (1)|＝4|b |＞4，可知M ＞2. ②当|b |≤1时，函数y ＝g (x )的对称轴x ＝b 位于区间[－1，1]之内， 此时M ＝max{g (－1)，g (1)，g (b )}， 又g (b )＝|b 2＋c |，a ．当－1≤b ≤0时，有f (1)≤f (－1)≤f (b )，则M ＝max{g (b )，g (1)}≥12(g (b )＋g (1))≥12|f (b )－f (1)|＝12(b －1)2≥12；b ．当0＜b ≤1时，有f (－1)≤f (1)≤f (b )．则M ＝max{g (b )，g (－1)}≥12(g (b )＋g (－1))≥12|f (b )－f (－1)|＝12(b ＋1)2≥12.综上可知，对任意的b ，c 都有M ≥12.而当b ＝0，c ＝12时，g (x )＝⎪⎪⎪⎪－x 2＋12在区间[－1,1]上的最大值M ＝12， 故M ≥k 对任意的b ，c 恒成立的k 的最大值为12.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[1， 2 ]C ．[2,3]D ．[1,2]解析：选B 由于函数f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ， 函数f (x )＝x 2－2tx ＋1在区间(－∞，1]上单调递减， 所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，0距对称轴x ＝t 最远，故要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只要f (0)－f (t )≤2即可，即1－(t 2－2t 2＋1)≤2， 求得－2≤t ≤ 2.再结合t ≥1，可得1≤t ≤ 2.故选B.2．(2018·金华期末)已知f (x )＝mx 2＋(1－3m )x ＋2m －1.(1)设m ＝2时，f (x )≤0的解集为A ，集合B ＝(a,2a ＋1](a ＞0)．若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)求关于x 的不等式f (x )≤0的解集S ；(3)若存在x ＞0，使得f (x )＞－3mx ＋m －1成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵m ＝2，∴f (x )＝mx 2＋(1－3m )x ＋2m －1＝2x 2－5x ＋3.又f (x )≤0， ∴(x －1)(2x －3)≤0， ∴1≤x ≤32，∴A ＝⎣⎡⎦⎤1，32. ∵A ⊆(a,2a ＋1](a ＞0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥32，a ＜1且a ＞0，∴14≤a ＜1.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫14，1.(2)∵f (x )＝mx 2＋(1－3m )x ＋2m －1，f (x )≤0， ∴(x －1)[mx －(2m －1)]≤0，当m ＜0时，S ＝(－∞，1]∪⎣⎡⎭⎫2－1m ，＋∞； 当m ＝0时，S ＝(－∞，1]； 当0＜m ＜1时，S ＝⎣⎡⎦⎤2－1m ，1； 当m ＝1时，S ＝{1}； 当m ＞1时，S ＝⎣⎡⎦⎤1，2－1m . (3)∵f (x )＞－3mx ＋m －1，∴m ＞－xx 2＋1.令g (x )＝－xx 2＋1＝－1x ＋1x (x ＞0)， ∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2，∴0＜1x ＋1x ≤12，∴－12≤g (x )＜0，∵存在x ＞0，使得f (x )＞－3mx ＋m －1成立， ∴m ＞[g (x )]min ，∴m ＞－12.∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。

二次函数与幂函数1．幂函数 (1)幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质定义域2.(1)二次函数的图象和性质(2)①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h，k))．③两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1、x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．(×)(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×)(3)幂函数的图象不经过第四象限．(√)(4)当α＜0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．(×)(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.(×)(6)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)(7)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小．(√)(8)当n＞0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．(×)(9)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±22.(×)(10)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(×)考点一 二次函数解析式[例1]解析：由于f (x )有两个零点0和－2，所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1， 所以必有⎩⎨⎧a ＞0，－a ＝－1.解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x . 答案：x 2＋2x(2)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解：法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．∵f (2)＝f (－1)， ∴拋物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a 2)21(-x ＋8.∵f (2)＝－1，∴a 2)212(-＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－42)21(-x ＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.[方法引航] 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：1．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是________． 解析：设y ＝a (x －2)2－1，当x ＝0时，4a －1＝1，a ＝12，∴y ＝12(x －2)2－1. 答案：y ＝12(x －2)2－12．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析：∵f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2是偶函数， ∴ab ＋2a ＝0(a ≠0)，∴b ＝－2，当x ＝0时，2a 2＝4，∴a 2＝2，∴f (x )＝－2x 2＋4. 答案：－2x 2＋4考点二 二次函数图象和性质[例2] 已知函数(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； 解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.[方法引航] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解；(3)对于二次函数的综合应用，要综合应用二次函数与二次方程和二次不等式之间的关系进行转化.1．若本例已知条件不变，求f (x )的最小值． 解：f (x )＝(x ＋a )2＋3－a 2，关于x ＝－a 对称， ∵x ∈[－4,6]．①当－a ≤－4，即a ≥4时，f (x )在[－4,6]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (－4)＝16－8a ＋3＝19－8a②当－4＜－a ≤6，即－6≤a ＜4时，只有当x ＝－a 时，f (x )min ＝3－a 2， ③当－a ＞6时，即a ＜－6时，f (x )在[－4,6]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (6)＝36＋12a ＋3＝39＋12a . 综上，当a ≥4时，f (x )min ＝19－8a . 当－6≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 2. 当a ＜－6时，f (x )min ＝39＋12a .2．若本例已知条件不变，f (x )＝0在[－4,6]上有两个不相等实根，求a 的取值范围． 解：要使f (x )＝0，在[－4,6]上有两个不等实根，需⎩⎨⎧f (－a )＜0－4≤－a ≤6f (－4)≥0f (6)≥0即⎩⎨⎧3－a 2＜0，－6≤a ≤4，19－8a ≥0，36＋12a ≥0.解得，－134≤a ＜－3或3＜a ≤198.3．若本例中f (x )＞0在x ∈(0,6]上恒成立，求a 的取值范围． 解：x 2＋2ax ＋3＞0，在x ∈(0,6]上恒成立，即2a ＞－)3(x x +在x ∈(0,6]上恒成立，只需求u ＝－)3(xx +，x ∈(0,6]的最大值．∵x ＋3x ≥23，当且仅当x ＝3时，取等号．∴u max ＝－23， ∴2a ＞－23，∴a ＞－ 3.考点三 幂函数图象与性质[例3] (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：∵幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，∴f (x )＝.答案：C(2)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，则m 的值为( )A ．－1B ．2C ．－1或2D ．3 解析：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)·xm 2＋m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2. 又∵函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴m 2＋m －3＞0，∴m ＝2. 答案：B(3)已知f (x )＝21x ，若0＜a ＜b ＜1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )＜f (b )＜f )1(a ＜f )1(bB ．f )1(a ＜f )1(b＜f (b )＜f (a )C ．f (a )＜f (b )＜f )1(b ＜f )1(aD ．f )1(a ＜f (a )＜f )1(b＜f (b )解析：∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜b ＜1b ＜1a ，又f (x )＝21x 为增函数， ∴f (a )＜f (b )＜f )1(b ＜f )1(a.答案：C[方法引航] (1)若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数.当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断.(2)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.,(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.1．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图 象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．d ＞c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞d ＞c解析：选B.幂函数a ＝2，b ＝12，c ＝－13，d ＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x ＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a ＞b ＞c ＞d .故选B. 2．若3131)23()1(---<+a a ，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式3131)23()1(---<+a a 等价于a ＋1＞3－2a ＞0或3－2a ＜a ＋1＜0或a ＋1＜0＜3－2a . 解得a ＜－1或23＜a ＜32.答案：(－∞，－1)∪)23,32([规范答题] “三个二次”间的转化二次函数与一元二次方程、一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象将其贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决． [典例] (本题满分12分)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1) (1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )≥－1恒成立，求a 的范围； (3)若f (x )＝0的两根都在[0,1]内，求a 的范围．[规范解答] (1)①当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .2分ⅰ.当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在]1,0[a上递减，在]1,1[a上递增． ∴f (x )min ＝f )1(a＝1a －2a ＝－1a .4分ⅱ.当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.6分③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下， 且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a ，a ≥1.8分(2)只需f (x )min ≥－1，即可．由(1)知，当a <1时，a －2≥－1，∴a ≥1(舍去)； 当a ≥1时，－1a ≥－1恒成立，∴a ≥1.10分(3)由题意知f (x )＝0时，x ＝0，x ＝2a (a ≠0)， 0∈[0,1]，∴0<2a ≤1，∴a ≥2.12分 [规范建议] (1)分清本题讨论的层次 第一层：函数类型a ＝0和a ≠0. 第二层：开口方向a >0和a <0.第三层：对称轴x ＝1a 与区间[0,1]的位置关系，左、内、右． (2)讨论后要有总结答案．[高考真题体验]1．(2016·高考全国丙卷)已知342=a ，323=b ，3125=c 则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b解析：选A.，323442==a ，3231525==c 而函数32x y =在(0，＋∞)上单调递增，所以323232543<<，即b ＜a ＜c ，故选A.2．(2015·高考山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a解析：选C.由指数函数y ＝0.6x 在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5＜0.60.6，由幂函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6＜1.50.6，所以b ＜a ＜c ，故选C.3．(2013·高考北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |解析：选C.A 中y ＝1x 是奇函数，A 不正确；B 中y ＝e －x ＝x e )1(是非奇非偶函数，B 不正确；C中y ＝－x 2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C 正确；D 中y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，D 不正确．故选C.4．(2014·高考课标卷Ⅰ )设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-1,1,)(311x x x e x f x 则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：f (x )≤2⇒⎩⎨⎧ x ＜1，e x －1≤2或⎪⎩⎪⎨⎧≤≥2131x x ⇒⎩⎨⎧ x ＜1，x ≤ln 2＋1或⎩⎨⎧x ≥1，x ≤8⇒x ＜1或1≤x ≤8⇒x ≤8，故填(－∞，8]．答案：(－∞，8]5．(2015·高考天津卷)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．解析：由已知条件得b ＝8a ，令f (a )＝log 2a ·log 2(2b )，则f (a )＝log 2a ·log 216a ＝log 2a (log 216－log 2a )＝log 2a (4－log 2a )＝－(log 2a )2＋4log 2a ＝－(log 2a －2)2＋4， 当log 2a ＝2，即a ＝4时，f (a )取得最大值． 答案：4课时规范训练 A 组 基础演练1.已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式可能是( )A ．y ＝－x 2＋2x ＋1B ．y ＝－x 2－2x －1C ．y ＝－x 2－2x ＋1D ．y ＝x 2＋2x ＋1解析：选C.设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题图象得：a ＜0，b ＜0，c ＞0.选C.2．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则)21(f 的值为( )A.13B.12C.23D.43 解析：选A.设f (x )＝x a, 又f (4)＝3f (2)，∴4a ＝3×2a ，解得a ＝log 23，∴)21(f ＝3log 2)21(3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析：选C.若a ＞0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a ＜0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a ＞0，b ＞0，从而－b 2a ＜0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，因此选C.4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)＜f (0)＜f (2)B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)C ．f (2)＜f (0)＜f (－2)D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析：选D.由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于x ＝12对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f (0)＜f (2)＜f (－2)．5．若f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．－2＜a ＜2C ．a ＞2或a ＜－2D ．1＜a ＜3解析：选C.∵f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，∴Δ＝a 2－4＞0，则a ＞2或a ＜－2.6．若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝x 2－11x ＋30＋a .结合图象有⎩⎨⎧ Δ≥0f (5)＞0，∴0＜a ≤14. 答案：0＜a ≤147．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，4ac －164a＝0，⇒⎩⎨⎧a ＞0，ac －4＝0. 答案：a ＞0，ac ＝48．已知f (x )＝4x 2－mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的单调递增区间为),8[+∞m ，所以m 8≤2，即m ≤16. 答案：(－∞，16]9．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .(1)当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1，∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0，∴a ＝1±52(舍)．(3)当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围． 解：(1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a .因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0.所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，所以b ＝2.所以f (x )＝(x ＋1)2.(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝2)22(--k x ＋1－(k －2)24. 由g (x )的图象知：要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，∴所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)．B 组 能力突破1．若幂函数222)33(--⋅+-=m m x m m y 的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1解析：选B.由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.2．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c .若f (0)＞0，f (p )＜0，则必有( )A ．f (p ＋1)＞0B ．f (p ＋1)＜0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A.函数f (x )＝x 2＋x ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝－12，又∵f (0)＞0，f (p )＜0，∴－1＜p ＜0，p ＋1＞0，∴f (p ＋1)＞0.3．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b .其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：选B.由函数图象知，a ＜0，与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac .对称轴x ＝－b 2a＝－1，∴2a －b ＝0. 当x ＝－1时，对应最大值，f (－1)＝a －b ＋c ＞0.∵b ＝2a ，a ＜0，∴5a ＜2a ，即5a ＜b .4．已知幂函数f (x )＝21-x ，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝21-x ＝1x(x ＞0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)＜f (10－2a )， ∴⎩⎨⎧ a ＋1＞0，10－2a ＞0，a ＋1＞10－2a ，解得⎩⎨⎧ a ＞－1，a ＜5，a ＞3，∴3＜a ＜5.答案：(3,5) 5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧ f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x ＞0，－(x ＋1)2，x ＜0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b≤1x－x且b≥－1x－x在(0,1]上恒成立．又1x－x的最小值为0，－1x－x的最大值为－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0]．。

二次函数与幂函数的关系与性质二次函数和幂函数是高中数学中重要的概念，它们在数学中有着广泛的应用。

本文将重点讨论二次函数与幂函数之间的关系与性质。

一、二次函数的定义和性质二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

二次函数的图像通常是一条U形曲线，被称为抛物线。

1. 零点和解析式二次函数的零点是指使函数值等于零的x值，即f(x) = 0的解。

二次函数的求解可以使用配方法、因式分解或求根公式来进行。

2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是指抛物线的对称轴线，它与抛物线的顶点重合。

二次函数的对称轴的方程为x = -b/2a，顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 函数的增减性当a > 0时，二次函数是开口向上的，即函数的图像在对称轴的两侧递增；当a < 0时，二次函数是开口向下的，即函数的图像在对称轴的两侧递减。

4. 函数的最值当a > 0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a < 0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。

二、幂函数的定义和性质幂函数是指形如f(x) = ax^b的函数，其中a为非零实数，b为实数。

幂函数的特点是具有不同的增长速度和变化趋势。

1. 底数和指数幂函数中的x称为底数，b称为指数。

不同的底数和指数会导致幂函数的图像形状和性质的差异。

2. 增减性与奇偶性当b > 0时，幂函数是递增的；当b < 0时，幂函数是递减的。

当b为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称；当b为奇数时，幂函数的图像不对称。

3. 渐近线和极限当b > 1时，幂函数的图像会趋近于x轴正半轴；当b < 1时，幂函数的图像会趋近于x轴负半轴。

幂函数在x = 0处的极限取决于指数b的正负性。

三、二次函数与幂函数的关系二次函数其实可以看作是幂函数的一种特殊情况，即当指数b为2时。

因此，二次函数可以被视为幂函数的一种扩展形式，二次函数的性质也可以通过幂函数的性质进行类比和推导。

二次函数与幂函数一、二次函数1. 定义二次函数是指形如f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a eq0，a、b和c为常数，x为自变量。

2. 基本性质•二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项的系数a决定：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

•二次函数的对称轴是一个直线，其方程为 $x = -\\frac{b}{2a}$。

•二次函数的顶点是对称轴上的点，坐标为 $\\left(-\\frac{b}{2a}, f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)\\right)$。

•当a>0时，二次函数的最小值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$；当a<0时，二次函数的最大值为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。

3. 图像变换对二次函数进行平移、伸缩和翻转等操作，可以得到不同形状的图像。

•平移：设二次函数为f(x)=x2，当向右平移ℎ个单位，得到f(x−ℎ)=(x−ℎ)2；当向上平移k个单位，得到f(x)+k=x2+k。

•伸缩：设二次函数为f(x)=x2，当横坐标伸缩为原来的m倍，纵坐标伸缩为原来的n倍，得到 $f\\left(\\frac{x}{m}\\right) \\cdot n =\\left(\\frac{x}{m}\\right)^2 \\cdot n = \\frac{n}{m^2}x^2$。

•翻转：设二次函数为f(x)=x2，当横坐标翻转，得到f(−x)= (−x)2=x2；当纵坐标翻转，得到−f(x)=−x2。

二、幂函数1. 定义幂函数是指形如f(x)=ax b的函数，其中a eq0，a和b为常数，x为自变量。

2. 基本性质•幂函数的图像形状取决于指数b的正负和大小。

当b>0且a>0时，幂函数图像在第一象限上递增；当b>0且a<0时，幂函数图像在第一象限上递减；当b<0时，幂函数图像在第一象限上有一个水平渐近线y=0。

教学内容幂函数与二次函数教学目标了解幂函数与二次函数的形式重点幂函数与二次函数难点幂函数与二次函数教学准备教学过程幂函数与二次函数知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数的三种常见解析式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．教学效果分析教学过程(3)二次函数的图象和性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0a<0定义域R R值域y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac－b24a，＋∞y∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数递增区间⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a递减区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞最值当x＝－b2a时，y有最小值y min＝4ac－b24a当x＝－b2a时，y有最大值y max＝4ac－b24a辨析感悟1．对幂函数的认识(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．( )(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( )(3)幂函数的图象不经过第四象限．( )2．对二次函数的理解(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( )(5)(教材习题改编)函数f(x)＝12x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.( )教学效果分析教学过程[感悟·提升]三个防范一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．考点一幂函数的图象与性质的应用【例1】(1)(2014·济南模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，则log4f(2)的值为________．(2)函数y＝13x的图象是________．规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴121.1，120.9，1；⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-.教学效果分析教学过程考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是________．规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法：(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】(2012·山东卷改编)设函数f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2________0，y1＋y2________0(比较大小)．教学效果分析教学过程1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】(12分)(经典题)求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论答题模板第一步：配方，求对称轴.第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论.第三步：求最值.第四步：下结论.【自主体验】已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．教学效果分析。

高三数学专题复习-二次函数与幂函数专题练习带答案07 二次函数与幂函数1．(2017·浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m() A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b.∴M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B.2．函数在区间的最大值是()A．0 B．C．D．1【答案】Cy=log（x2﹣6x+10），可令t=x2﹣6x+10，对称轴为x=3，函数t在[1，2]递减，且y=log t在（0，+∞）递减，可得y=log（x2﹣6x+10）在[1，2]递增，可得x=2时，函数y取得最大值log（22﹣12+10）=﹣log32，故选：C．3．已知函数在R上是减函数，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】B由f（x）=ax3+3x2﹣x+2，得到=3ax2+6x﹣1，因为函数在R上是减函数，所以=3ax2+6x﹣1≤0恒成立，所以，由△=36+12a≤0，解得a≤﹣3，则a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．故答案为：B.4．，若方程f(x)=x无实根，则方程f(f(x))=x( )A．有四个相异实根B．有两个相异实根C．有一个实根D．无实数根【答案】D∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0）方程f（x）=x 即f（x）-x=ax2+（b-1）x+c=0无实根，f（x）-x仍是二次函数，f（x）-x=0仍是二次方程，且无实根，∴△＜0．若a＞0，则函数y=f（x）-x的图象在x轴上方，∴y＞0，即f（x）-x＞0恒成立，即：f（x）＞x对任意实数x恒成立．∴对f（x），有f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，∴f（f（x））=x 无实根．故选D.5．函数的值域为A．B．C．D．【答案】D设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），则原函数可化为y=．又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣（x+3）2+4≤4，∴0≤μ≤4，故∈[0，2]，∴y=的值域为[0，2]．故选：D．6．平行四边形中，点在边上，则的最大值为A．2 B．C．0 D．【答案】A∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，，点M在边CD上，∴=﹣1，cos∠A=﹣1，∴cosA=﹣，∴A=120°，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（2，0），D（﹣，），设M（x，），则﹣≤x≤，∴=（﹣x，﹣），=（2﹣x，﹣），∴=x（x﹣2）+=x2﹣2x+=（x﹣1）2﹣，设f（x）=（x﹣1）2﹣，则f（x）在[﹣，1）上单调递减，在[1，]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=﹣，f（x）max=f（﹣）=2，则的最大值是2，故答案为：A7．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之。

2.4 二次函数与幂函数一、选择题1．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A ．0B ．2C ．－52D ．－32．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )3．(2014·皖北协作区联考)若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0,2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤4B ．0≤m ≤2C ．m ≤0D ．m ≤0或m ≥44．(2014·六安模拟)设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a 5．(2013·蚌埠高三第一次质检)已知a ＝32，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 满足的关系为( )A ．m ＋n <0B ．m ＋n >0C ．m >nD ．m <n 二、填空题6．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－2,0)，B (4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________．7．已知P ＝2－32，Q ＝⎝⎛⎭⎫253，R ＝⎝⎛⎭⎫123，则P 、Q 、R 的大小关系是________． 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．三、解答题9．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．10．(2014·温州模拟)已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3，(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域．(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．答案一、选择题1．【解析】 由题意得a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立， 当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，x ＋1x 是减函数，则x ＋1x ≥52， 从而－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－52，故a ≥－52，则a 的最小值为－52.故选C. 【答案】 C2．【解析】 由a ＋b ＋c ＝0，a >b >c 知a >0，c <0，则c a<0，排除B 、C . 又f (0)＝c <0，则排除A ，故选D.【答案】 D3．【解析】 f (x )＝a (x －2)2＋b －4a ，根据f (x )在区间[0,2]上是增函数得a <0， 即函数f (x )的图象开口向下，由f (0)＝f (4)，f (m )≥f (0)可得0≤m ≤4.【答案】 A4．【解析】 法一 先比较b 与c ，构造函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x .∵0＜25＜1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫25x 为减函数且35＞25， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫2535＜⎝⎛⎭⎫2525＝c ；再比较a 与c .∵a c ＝⎝⎛⎭⎫3525⎝⎛⎭⎫2525＝⎝⎛⎭⎫3225＞⎝⎛⎭⎫320＝1，∴a ＞c ，故a ＞c ＞b . 法二 依题意a ，b ，c 为正实数，且a 5＝⎝⎛⎭⎫352＝925，b 5＝⎝⎛⎭⎫253＝8125，c 5＝⎝⎛⎭⎫252＝425，∴a 5＞c 5＞b 5，即a ＞c ＞b .【答案】 A5．【解析】 因为0<32<1，所以f (x )＝a x 在R 上单调递减，f (m )>f (n )，所以m <n . 【答案】 D二、填空题6．【解析】 设y ＝a (x ＋2)(x －4)，对称轴为x ＝1，当x ＝1时，y max ＝－9a ＝9，∴a ＝－1，∴y ＝－(x ＋2)(x －4)＝－x 2＋2x ＋8.【答案】 y ＝－x 2＋2x ＋87．【解析】 P ＝2－32＝⎝⎛⎭⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22>12>25， 得⎝⎛⎭⎫223>⎝⎛⎭⎫123>⎝⎛⎭⎫253，即P >R >Q . 【答案】 P >R >Q8．【解析】 f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.【答案】 [2,3]三、解答题9．【答案】 (1)由f (0)＝1，得c ＝1.因此f (x )＝ax 2＋bx ＋1.又f (x ＋1)－f (x )＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x .x ∈R .因此⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 所以f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意，x 2－x ＋1＞2x ＋m 在[－1,1]上恒成立．则m ＜x 2－3x ＋1在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]，易知g (x )在x ∈[－1,1]上是减函数，∴g (x )min ＝g (1)＝－1，应有m ＜－1.因此实数m 的取值范围是(－∞，－1)．10．【答案】 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3， ∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1.。

训练目标(1)二次函数的概念；(2)二次函数的性质；(3)幂函数的定义及简单应用. 训练题型 (1)求二次函数的解析式；(2)二次函数的单调性、对称性的判定；(3)求二次函数的最值；(4)幂函数的简单应用.解题策略 (1)二次函数解析式的三种形式要灵活运用；(2)结合二次函数的图象讨论性质；(3)二次函数的最值问题的关键是理清对称轴与区间的关系.1．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋6满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)＝________.2．已知函数h (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调函数，则k 的取值范围是____________．3．函数y ＝32x 的图象大致是________．4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)，则该函数的解析式y ＝________________.5．二次函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2，a ]且f (x )的最小值为f (a )，则a 的取值范围是________．6．若函数f (x )＝1－x 2＋6x －5在区间(m ，m ＋1)上是单调减函数，则m 的取值范围是________．7．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是________．(填序号) ①f (a )<f (b )<f (1a)<f (1b )；②f (1a )<f (1b )<f (b )<f (a )； ③f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )；④f (1a )<f (a )<f (1b)<f (b )． 8．已知函数f (x )＝－3x 2＋bx －1，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是增函数，则实数b 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是________．10．已知二次函数y ＝x 2－2x ＋4，若过原点的直线与该二次函数只有一个交点，这样的直线有________条．11．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为________．12．直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个交点，则实数m 的取值范围是________．13．给出以下结论：①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．14．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．答案解析1．6 2.(－∞，40]∪[160，＋∞)3．③ 4.3x 2－12x ＋11 5.(2,3]6．1≤m ≤2解析 设u (x )＝－x 2＋6x －5， 由题意得，函数u (x )＝－x 2＋6x －5在区间(m ，m ＋1)上是单调增函数． 因为u (x )的递增区间是(－∞，3]． 所以m ＋1≤3.所以m ≤2.又u (x )在(m ，m ＋1)上应恒大于0. 所以u (x )＝－x 2＋6x －5>0，所以1<x <5.所以1≤m ≤2.7．③解析 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b <1b <1a，故答案为③. 8．[－12，＋∞)解析 函数f (x )＝－3x 2＋bx －1的对称轴为x ＝－b2×(－3)＝b 6， ∴当x ∈(－∞，b 6)时，f (x )单调递增； 当x ∈(b 6，＋∞)时，f (x )单调递减． ∵当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是增函数，∴－2≤b 6，∴b ≥－12. 9．[1,2] 10.3 11.(2－2，2＋2)12．[－1,2)9 13．④14.(－4，－2]。