高二数学上学期第二次阶段测试试题

一中2021～2021年度高二年级第一学期第二次阶段检测数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题给出的四个选项里面只有一项是哪一项符合题目要求的．1. 假设a，b，c∈R，a>b，那么以下不等式成立的是( )A. B. C. D. a|c|>b|c|【答案】C【解析】A．取a=1，b=﹣2，那么不成立；B．取a=1，b=﹣2，那么a2＞b2不成立；C．∵a＞b，c2+1＞0，∴，成立．D．取c=0时，a|c|＞b|c|不成立．．应选：C．2. p:，q： >O，那么p是g的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由得x2﹣3x＞4，即x2﹣3x﹣4＞0，得x＞4或者x＜﹣1，即p：x ＞4或者x＜﹣1，由得：x＞4或者x＜﹣1，即q：x＞4或者x＜﹣1，那么p是q的充要条件，应选：C3. 以下说法正确的选项是( )A. ，y R，假设x+y0，那么x且yB. a R，“〞是“a>1〞的必要不充分条件C. 命题“a R，使得〞的否认是“R，都有〞D. “假设，那么a<b〞的逆命题为真命题【答案】B【解析】∀x，y∈R，假设x+y≠0，那么x≠1且y≠﹣1的逆否命题为：∀x，y∈R，假设x=1或者y=﹣1，那么x+y=0，为假命题，故A错误；a∈R，“〞⇔“a＜0，或者a＞1〞是“a＞1〞的必要不充分条件，故B正确；命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜0〞的否认是“∀x∈R，都有x2+2x+3≥0〞，故C错误；“假设am2＜bm2，那么a＜b〞的逆命题为“假设a＜b，那么am2＜bm2〞为假命题，故D错误；应选：B4. x>1，y>1，且lgx，2，lg y成等差数列，那么x+y有〔〕A. 最小值20B. 最小值200C. 最大值20D. 最大值200【答案】B【解析】解：由题意可知：，且：，由均值不等式有：，当且仅当时等号成立.此题选择B选项.5. 在等差数列{}中，假设a3，a7是函数f(x)=的两个零点，那么{}的前9项和等于〔〕A. -18B. 9C. 18D. 36【答案】C【解析】∵等差数列{a n}中，a3，a7是函数f〔x〕=x2﹣4x+3的两个零点，∴a3+a7=4，∴{a n}的前9项和S9=．应选：C．6. 设点(a,b)为区域内任意一点，那么使函数f(x)=在区间[，+〕上是增函数的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域如下图：假设f〔x〕=在区间[，+〕上是增函数，那么，即，那么A〔0，4〕，B〔4，0〕，由得，即C〔，〕，那么△OBC的面积S==．△OAB的面积S=．那么使函数f(x)=在区间[，+〕上是增函数的概率为P==，应选：A．7. 祖暅原理：“幂势既同，那么积不容异〞，它是中国古代一个涉及几何体体积问题，意思是两个等高的几何体，如在同高处的截面积恒相等，那么体积相等，设A，B为两个等高的几何体，p：A,B的体积相等，q：A,B在同高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，q 是-p的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.8. 等比数列{}中， =2，那么其前三项的和的取值范围是( )A. (-，-2]B. ( -,0)(1,+∞)C. [6, +)D. (-,-2][6，+)【答案】D【解析】∵等比数列{a n}中，a2=2，设公比为,∴其前三项和S3=，当q＞0时，S3=≥2+2=6；当q＜0时，S3=≤2﹣2=2﹣4=﹣2．∴其前三项和S3的取值范围是〔﹣∞，﹣2]∪[6，+∞〕．应选：D．点睛：在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误9. 一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的两个实根为x1，x2，且0<x1<1,x2>1,那么的取值范围是( )A. 〔—2，一〕B. 〔—2，一〕C. 〔一1，一〕D. 〔一1，一〕【答案】A【解析】由方程x2+〔1+a〕x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，故函数f〔x〕=x2+〔1+a〕x+1+a+b图象开口方向朝上，又∵方程x2+〔1+a〕x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，代入方程可得：其对应的平面区域如以下图阴影示：表示阴影区域上一点与原点边线的斜率，由图可知，应选：A．点睛：此题考察的是线性规划问题，解决线性规划问题的本质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目的函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错;三，一般情况下，目的函数的最大值或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.10. || =3，A，B分别在x轴和y p轴上运动，O为原点，，那么点P的轨迹方程为( )．A. B. C. D.【答案】A【解析】设动点P坐标为P〔x，y〕，A〔a，0〕，B〔0，b〕，........................∴a=3x．b=y，∵|| =3，∴a2+b2=9，∴，即．应选：A．11. 如图，在直角坐标系xoy中，其中A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，其中，那么的取值范围是〔〕A. [2,3+]B. [2,3+]C. [3-, 3+]D. [3-, 3+] 【答案】B【解析】以A为坐标原点，AB为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系那么A〔0，0〕，D〔0，1〕，C〔1，1〕，B〔2，0〕直线BD的方程为x+2y﹣2=0，C到BD的间隔 d=；∴以点C为圆心，以为半径的圆方程为〔x﹣1〕2+〔y﹣1〕2=，设P〔m，n〕那么=〔m，n〕，=〔2，0〕，=〔﹣1，1〕；∴〔m，n〕=〔2x﹣y，y〕∴m=2x﹣y，n=y，∵P在圆内或者圆上∴〔2x﹣y﹣1〕2+〔y﹣1〕2≤，设4x﹣y=t，那么y=4x﹣t，代入上式整理得80x2﹣〔48t+16〕x+8t2+7≤0，设f〔x〕=80x2﹣〔48t+16〕x+8t2+7，x∈[，]，那么，解得2≤t≤3+，∴4x﹣y的取值范围是[2，3+]．应选：B．12. 函数f(x)=〔a为常数〕，对于定义域内的任意两个实数x1,x2，恒有|f(x1)-f(x2)|<1成立，那么正整数a可以取的值有〔〕个A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】由题意,=cosα,=sinα(α∈[0,],f(x)=cosα+sinα=sin(α+)，从而有f(x)max= ,f(x)min=,∴−<1解得a<3+2,∵a∈N∗，∴a=1，2，3，4，5，应选B.点睛：此题巧用了三角换元的方法，把函数的最值转化为三角函数的最值问题，对于定义域内的任意两个实数x1,x2，恒有|f(x1)-f(x2)|<1成立等价于,所以此题的关键是如何求函数的最值.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分13. 命题：“假设ab=0，那么a=0或者b=0〞的逆命题是 ______.【答案】假设a≠0且b≠0，那么ab≠0【解析】“假设ab=0，那么a=0或者b=0〞的逆否命题是：假设a≠0且b≠0，那么ab≠0 14. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，A为钝角，且2a，假设，那么△ABC的面积的最大值为 ______.【答案】【解析】∵a，∴由正弦定理可得：2sin A sin A=(sin CcoB+sin B cos C)=sin(B+C)=sin A，∵A为钝角，sin A>0，∴sin A=,可得：cos A=−，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2+bc，①∵，②∴由①②联立可得：b+c=2,可得：b+c=2⩾2,(当且仅当b=c时等号成立)，可得：bc⩽1，∴S△ABC=bc sin A⩽×1×=.故答案为：.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.其根本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，施行边角之间的互化.第三步：求结果.15. 函数f(x)=，假设正数a，b满足f(4a)+f(b-9)=0，那么的最小值为 ______. 【答案】【解析】由题意可知：f(x)=为奇函数且单调递增由f(4a)+f(b-9)=0可得：4a+ b-9=0即4a+ b=9，又a，b均为正数，∴∴的最小值为1故答案为：116. 函数f(x)=，假设对任意x R，f[f(x)]恒成立，那么实数a的取值范围是 ______.【答案】【解析】当a=0时,函数f(x)=2x+1,f[f(x)]=4x+3，不满足对任意x∈R,f[f(x)]⩾0恒成立，当a>0时,f(x)⩾=1−，解a−+1⩾0得：a⩽,或者a⩾，故a⩾，当a<0时,f(x)⩽=1−，不满足对任意x∈R,f[f(x)]⩾0恒成立，综上可得：a⩾故答案为：a⩾三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17. 命题p：和命题q：方程有两个不等的负实根，假设p∨q为真，p∧q 为假，务实数c的取值范围.【答案】c<0 或者【解析】试题分析：假设p或者q为真命题，p且q为假命题，那么p与q一真一假．进而可得满足条件的c的取值范围．试题解析：由不等式p：<1，得c<0或者c>l，所以命题-p：0<c<1又由题意可得 c> ，得命题q:c>所以命题-q：c .由题知：p和q必有一个为真，一个为假当p真q假时，c<0当q真p假时，故的取值范围是：c<0或者 .18. 设数列{}的前n项和为，且，(n N+).〔1〕求数列{}的通项公式；〔2〕假设，求数列{}的前n项和.【答案】〔1〕；(2) .【解析】试题分析：(1)由题意得：当时，，①，②，①-②得，，易知：数列{}是等比数列，从而得到数列{}的通项公式；(2)利用错位相减法求数列{}的前n项和.试题解析：〔1〕当n=1时，，当时，，①，②，①-②得，，又，所以，所以数列{}是首项为2，公比为2的等比数列，所以.〔2〕由〔1〕得，所以，①，，②，①-②得，，，所以点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要擅长识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n〞与“qS n〞的表达式时应特别注意将两式“错项对齐〞以便下一步准确写出“S n－qS n〞的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，假设等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19. 动点P(x,y)(其中y)到x轴的间隔比它到点F(0,1)的间隔少1.(1)求动点P的轨迹方程；(2)假设直线l：x-y+1=0与动点P的轨迹交于A、B两点，求△OAB的面积.【答案】(1)；〔2〕【解析】试题分析：(1)由题意易得：|y|+1=|PF| 坐标化后化简即可得到动点P的轨迹方程；(2)联立方程，得到：，借助韦达定理表示△OAB的面积.试题解析：〔1〕由，|y|+1=|PF|即：，又∵，∴y=.〔2〕设A(x1,y1)，B(x2,y2)，不妨令x1<0，x2>0，∵l：x-y+1=0过点F(0,1)，∴联立， x-y+1=0那么满足△>0，且x1-x2=∴20. 某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5-〔其中0x a，a为正常数〕，现假定消费量与销售量相等，消费该产品t万件还需投入本钱(10+2t)万元〔不含促销费用〕，产品的销售价格定为5+万元/万件.(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．【答案】〔1〕y=25-(+x)，〔， a为正常数〕;〔2〕当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；当O<a<3时，促销费用投入x=a万元时，厂家的利润最大．【解析】试题分析：〔1〕利润为总销售所得减去投入本钱和促销费用，得y=t(5+〕)﹣(10+2t〕﹣x=3t+10－x，又销售量t万件满足t=5－，整理化简可得y=25－〔+x〕；〔2〕将函数方程整理为对勾函数形式y =28－〔+x+3〕，利用根本不等式得到= x +3，即x =3时，得到利润最大值为。

皖豫名校联盟2022-2023学年(上)高二年级阶段性测试(二)数 学一、选择题1.直线:20l x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）A.5B.4C.3D.2答案：D解析：由题可知直线l 与两坐标轴的交点分别为(),()0,22,0-,所以该直线与两坐标轴围成的三角形的面积是12222⨯⨯=. 故选：D.2.已知在空间四边形ABCD 中,12CG CD =,则2BD BC AB ++=（ ） A.2AGB.2GCC.2BCD.12BC 答案：A解析： 因为12CG CD =.故G 为CD 的中点.如图,由平行四边形法则可得2BD BC BG +=. 所以2()2()2AB BD BC AB BG AG ++=+=.故选：A.3.已知圆229()(12)x y +++=关于直线10ax by ++=对称，且点(1,1)在该直线上，则实数a =（ ）A.3B.2C.2-D.3-答案：D解析：圆229()(12)x y +++=的圆心为(1,2)--.依题意,点(1,2)--在直线10ax by ++=上,因此210a b --+=.即21a b +=,又10a b ++=,所以3,2a b =-=.故选：D.4.已知点)1,2,()(5,8A B -,若过点()1,0C 的直线与线段AB 相交,则该直线的斜率的取值 范围是（ ）A.[]1,2-B.(),1][2,-∞-+∞C.(),2][1,-∞-+∞D.()(),12,-∞-+∞ 答案：B解析：过点C 的直线与线段AB 相交,20801,21151AC BC k k --==-==---,又该直线与x 轴垂直时.斜率不存在，所以该直线的斜率的取值范围是为(),1][2,-∞-+∞.故选：B.5.若圆229()1x y ++=与圆2224440x y mx m +-+-=有且仅有一条公切线,则实数m =（ ）A.1-B.1C.1±D.0答案：D解析：将2224440x y mx m +-+-=化为标准方程得2224()x m y -+=.即圆心为(2),0m .半径为2.圆22(1)1x y ++=的圆心为(0,)1-,半径为1.因为圆221()1x y ++=与圆2224440x y mx m +-+-=且仅有一条公切线.所以两圆的位置关系为内切,所以1=,即20m =.解得0m =.故选：D.6.在长方体1111ABCD A B C D -中,1112AB AD AA ===,则直线BC 与平面1ACD 所成角的余弦值为（ ）B.23D.3 答案：C解析：以D 为坐标原点,1,,DA DC DD 的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则0()()()()1,0,0,0,2,0,0,0,0,,0,,1A C D D .∴(1,0,0)AD =-，(1,2,0)AC =-，1(1,0,1)AD =-.设平面1ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则120,0,AC n x y AD n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1y =，解得2,2x z ==，∴(2,1,2)n =. ∵||22|cos ,|,//133||||ADn AD n BC AD AD n ⋅〈〉===⨯⋅ ∴直线BC 与平面1ACD ,3AD n >=.故选：C.7.某公司要建一个以甲、乙、丙三地为顶点的大型三角形养鱼场，若甲、乙两地之间的距离为12 km ,且甲、丙两地的距离是乙、倍,则这个三角形养鱼场的面积最大是（ ）A.272 kmB.2C.278 kmD.2答案：B解析：以点,,A B C 分别表示甲、乙、丙地,以线段AB 的中点O 为原点,线段AB 所在直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，如图,则)6,0,()(6,0A B -.设点,()C x y ,则|||AC BC =.=,整理可得22(18)288x y -+=.∴点C 的轨迹是以点(18,0)为圆心，为半径的圆除去与x 轴的交点后所得曲线.∴2)1122ABC ≤⨯⨯=.故选：B.8.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,点M 在C 上,点P 的横坐标为1-,点Q 的纵坐标为0,若MFQ MPF ≅,则||MF =（ ）A.4B.3C.D.2答案：A解析：抛物线24y x =的焦点为()1,0F ,准线的方程为:1l x =-.因为点M 在C 上,设2(,)4y M y 由题可得||||||MF MP MQ ==.则MP l ⊥,即//MP x 轴,又因为MFQ MPF ≅. 所以MFQ 与MPF 均为等边三角形.不妨设0y >.则MF 所在的直线方程为1)y x =-.将2(,)4y M y 代入,得21)4y y =-.解得y =所以点M 的横坐标为3,||314MF =+=.故选：A.二、多选题9.已知空间中三点1,2,1,1,3)4()()(,1,2,,2A B C --,则（ ）A.向量AB 与AC 互相垂直B.与BC 方向相反的单位向量的坐标是(111111-C.AC 与BCD.BC 在AB答案：A 、B 、C解析：由已知可得(2,1,0),(1,2,1),(3,1,1)AB AC BC ==-=-.因为220AB AC ⋅=-+=. 所以AB 与AC 互相垂直,故A 正确；||11BC =所以与BC 方向相反的单位向量的坐标是3,1,1)(111111-=-,故B 正确；3216,||11,||6AC BC BC AC ⋅=++===,所以cos ,||||6AC BC AC BC AC BC ⋅〈〉===故C 正确；BC 在AB 上的投影向量的模为|||||BC AB AB ⋅==.故D 错误. 故选：ABC.10.已知曲线221():63x y k R k k C -=∈--,则（ ）A.若曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，则C 的焦距为B.若曲线C 表示椭圆,则k 的取值范围是(3,6)C.若2k =,则C 的焦点坐标是和()D.若5k =,则C 的渐近线方程为y =答案：A 、C解析：由题可得60,30k k ->->. 解得36k <<,则a b c ===则C 的焦距为正确；因为63k k ->-,若曲线C 表示椭圆,则6303k k k ->->⇒<.B错误；当2k =时,曲线22:14x C y +=.则224,1a b ==,则c ==C 的焦点坐标是和(,C 正确；当5k =时,曲线22:12y C x -=表示双曲线.则其渐近线方程为y =.D 错误.故选：AC.11.已知圆221()():214C x y ++-=与圆2222:4440()C x y x my m m R ++++=∈,则（ ）A.若圆2C 与x 轴相切，则2m =±B.若1m =,则圆1C 与圆2C 相交C.当12m =时, D.直线320kx y k -++=与圆1C 始终有两个交点答案：B 、D解析：由题可知圆222:224()()C x y m +++=.若圆2C 与x 轴相切.则有|2|2m =.所以1m =±.故A 错误；当1m =时,034<==<,两圆相交,故B 正确； 当12m =时，两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为0y =,圆心1C 到直线0y =的距离为1,所以两圆的公共弦长为=故C 错误;直线320kx y k -++=过定点()3,2-,而22(32)(21)24-++-=<.故点()3,2-在圆1C 内部,所以直线320kx y k -++=与圆1C 始终有两个交点,故D 正确.故选：BD.12.已知椭圆22221(0):C x y a b a b+=>>的左顶点为A ,左、右焦点分别为12,F F ,点)M 在C 上,且直线AM 的斜率为33-,点P 是椭圆C 上的动点,则（ ）A.椭圆C 的离心率为2B.若||AP >,则点P 的横坐标的取值范围是()1,3-C.12PF PF ⋅的取值范围为[3,6]D.C 上有且只有4个点P ,使得12PF F 是直角三角形答案：C 、D解析：由題意可知直线AM 的方程为323y x --=-,令0y =,可得3x =-.则3a =,又椭圆C 过点M ,所以23419b+=,解得26b =.所以C 的方程为22196x y +=.设椭圆C 的半焦距为(0)c c >.则c =.椭圆C 的离心率为3c a =故A 错误;当点P 为椭圆C 的上下顶点时,||AP =,所以若||AP >,则点P 的横坐标的取值范围是(0,3],故B 错误;设000(,),||P x y y ≤则2200196x y +=,所以2200)916(y x =-，又12(F F则222212000000(1032)6)(PF PF x x y x y y ⋅=-+-=+-=-,因为0||y 所以20[0,6]y ∈.所以12[3,6]PF PF ⋅∈,故C 正确；分析可知，当点P 为椭圆C 的上下顶点时12F PF ∠最大.此时12F PF ∠为锐角,所以以点P 为直角顶点的12PF F 不存在,以点12,F F 为直角顶点的12PF F 分别有2个,所以C 上有且只有4个点P .使得12PF F 是直角三角形,故D 正确. 故选：CD.三、填空题13.已知空间向量(0,6,0),||1,|2|27a b a b ==+=,则a 与b 的夹角为 . 答案：23π 解析：由题可知||6a =.因为|2|27a b +=.所以22 443646cos ,428a a b b a b +⋅+=+⨯⨯〈〉+=, 所以1cos ,2a b <>=-，又,[0,]a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为23π. 14.已知椭圆22221(0):C x y a b a b+=>>的短轴长为126,,F F 是椭圆C 的两个焦点,点M 在C 上,若12||||MF MF ⋅的最大值为16,则椭圆C 的离心率为 .答案：4解析：因为122||||MF MF a +=,所以221212()16||||||||2MF MF MF MF a +⋅≤==(当且仅当12||||4MF MF ==时,等号成立).由题可知26b =,所以3b =.又222a b c =+,解得c =所以c e a ==. 15.已知直线)0(x y m m R ++=∈与圆22:9()2C x y +-=交于,A B 两点，则ABC 的面积的最大值为 .答案：92解析：圆22:9()2C x y +-=的圆心坐标为(0,2),半径3r =.由圆心到直线0x y m ++=的距离3d =<,解得22m --<<.直线0x y m ++=被圆截得的弦长为==所以ABC 的面积12S =⨯= 221(2)(2)9[9]2222m m ++⨯-+=，当且仅当22(2)(2)922m m ++-=, 即5m =-或1时取“=”.16.已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点,过点2F 且斜率为l 与双曲线C 的右支交于,P Q 两点,若1F PQ 是等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 .答案：12- 解析：不妨设点P 在第一象限,双曲线C 的半焦距为()0c c >,因为l 与C 的右支有两个交点,C 的一条渐近线的斜率b a<则C 的离心率2e a =<.若1||||QF PQ =,根据双曲线的定义知12||||2QF QF a -=,所以22||||2||PQ QF PF a -==,所以1212||||24,||2PF a PF a F F c =+==.由题可知12120F F P ∠=︒,在12PF F 中,由余弦定理可得222116442222a a c a c =++⨯⨯⨯,整理得2230c ca a +-=,即230e e +-=,解得12e -=(负值舍去),此时2e <满足条件.若1||||PF PQ =, 则与上面的分析类似可得12||4,||2QF a QF a ==,在12QF F 中,1260F F Q ∠=︒.再出余弦定理求得12e =,此时2e >不满足条件.综上可得12e =. 四、解答题 17.已知在ABC 中,边BC 和AC 所在的直线方程分别为3100x y +-=和20x y +-=,边AB 的中点为17(,)22Q .(1)求点,A B 的坐标；(2)求BC 边上的中线所在的直线l 的方程.答案：见解析解析： (1)因为边AB 的中点为17(,)22Q ，设1122(,),(,)A x y B x y .则1122121220,3100,1,7,x y x y x x y y +-=⎧⎪+-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解得12121,2,3,4,x x y y =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩即)1,3,()(2,4A B -. (2)设边BC 的中点为G .由于边BC 和AC 所在的直线方程分别为3100x y +-= 和20x y +-=,所以两直线方程联立，解得4,2x y ==-,即C 点的坐标为(4,)2- 又B 点的坐标为(2,4),所以G 点的坐标为(3,1).又A 点的坐标为()1,3-，所以直线l 的方程为311(3)13y x --=---,即250x y +-=. 18.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,线段DB 的中点为F ,点G 在棱CD 上,且满足2CG GD =.(1)若E 为棱1CC 的中点,求证：1EF B C ⊥；(2)求直线1A F 与1C G 所成角的余弦值.答案：见解析解析：(1)如图,以D 为原点,1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系Dxyz ,则10,2,1,2,2,2,0,2,()()()(0,1,)1,0E B C F .因为1(1,1,1),(2,0),2EF BC =--=--， 所以1(1,1,1)(2,0,2)2020EF BC ⋅=--⋅--=-++=. 所以1EF B C ⊥,故1EF B C ⊥.(2)由(1)中的坐标系及题意可知112()(),2,0,2,0,2,2(1,),(0,1,0,0)3F G A C . 因为114(1,1,2),(0,3),2A F C G =--=-- 所以11448(1,1,2)0,,24333()A F C G ⋅=--⋅--=-+=, 又113|2136,|||A C G F ==,111111,||||6A F G G G C A F C A F C ⋅>==故直线1A F 与 1C G 所成角的余弦值为239. 19.已知圆222:(3)(0)M x y r r -+=>过点)(0,4T ,且圆M 关于直线:10l x y --=对称的圆为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)若过点(4,4)P -的直线l '被圆C 截得的弦长为8,求直线l '的方程.答案：见解析解析：(1)由题可知(3,0)M .因为圆M 过点()0,4T .所以2223425r =+=.故5r =. 设M 关于直线l 的对称点C 的坐标为(),a b , 则310,221,3a b b a +⎧--=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩解得1, 2, a b =⎧⎨=⎩ 所以圆C的方程为22(1)(2)25x y -+-=.(2)因为过点 (4,4)P - 的直线l '被圆C 截得的弦长为8,故圆心(1,2)C 到直线l '的距离为3=. (i)当直线l '的斜率不存在时, 其方程为4x =, 满足题意；(ii)当直线l '的斜率存在时, 可设其方程为4(4)y k x +=-,即440kx y k ---=, 所以圆心(1,2)C 到l '的距离为3=, 解得34k =-. 综上所述, 直线l '的方程为4x =或3440x y ++=.20.已知抛物线2):0(2C y px p =>,直线20x y --=与抛物线C 相交于,A B 两点，且||AB =(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P 的坐标为()2,4-,过抛物线焦点的直线l 交C 于,M N 两点,求PM PN ⋅的最 小值.答案：见解析解析：(1)设点,A B 的横坐标分别为,A B x x .由220,2,x y y px --=⎧⎨=⎩可得2(42)40x p x -++=.∴42,4A B A B x x p x x +=+=∴|||A B AB x x =-===解得2p =(负值舍去),∴抛物线C 的用程为24y x =. (2)设1122),,(),(M x y N x y .由题意知抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0), 直线l 的斜率不等于0,故可设直线l 的方程为1x ty =+,由24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩可得2440y ty --=,由根与系数的关系得12124,4y y t y y +==-,1212)2()()()(244PM PN x x y y ∴⋅=+++--12121212()6()2441x x x x y y y y =++++-++222212121212244164444()()y y y y y y y y =⋅++++-++ 221212121212()()()1[2]4416162y y y y y y y y y y =++-++-++ 2222(4)1[(4)8]441616816218(1)13162t t t t t -=+++--+=-+=-+,∴当1t =时,PM PN ⋅取得最小值, 且最小值为13.21.如图,在三棱锥P ABC -中,ABC 是斜边为AC 的等腰直角三角形，PAC 是边长为4的等边三角形,且4,PB O =为棱AC 的中点.(1)证明：PO ⊥平面ABC .(2)问：在棱BC 上是否存在点M (不与棱BC 的端点重合),使得平面PAM 与平面PAC 的夹角为30︒？若存在,指出点M 的位置；若不存在,请说明理由.答案：见解析解析：（1）由题可知,AB BC AB BC ⊥=且4AC =.∴AB BC ==连接BO ,如图，则BO AC ⊥,且2BO =.∵PAC 是边长为4的等边三角形，∴4,PA PC AC PO AC ===⊥.且PO =从而有222PB PO BO =+,故PO OB ⊥.∵OB AC O =.∴PO ⊥平面ABC .(2)假设存在满足题意的点M .由(1)可知,可以O 为坐标原点,,,OB OC OP 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则()(()()0,2,0,,0,2,0,2,0,0A P C B -.(2,2,0),(0,2,23),(2,2,0)BA PA BC =--=--=-.设(2,2,0),01BM BC λλλλ==-<<.则(2,2,0)(2,2,0)(22,22,0)AM BM BA λλλλ=-=----=-+设平面AMP 的法向量为(,,)n x y z =,则20,(22)(22)0,n PA y n AM x y λλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩令1z =,得3((n λλ+= 易知平面PAC 的一个法向量为(1,0,0)m =.∵平面PAM 与平面PAC 的夹角为30︒,∴1)cos30|||||||m n m n λ+⋅︒=== 解得13λ=或3λ=(舍去), ∴点M在棱BC 的靠近点B 的三等分点处. 22.已知椭圆22221(0):E x y a b a b+=>>的左焦点为F ,左顶点为(),离心率为3. (1)求E 的方程；(2)若过坐标原点O 且斜率为()0k k ≠的直线l 与E 交于,A B 两点,直线AF 与E 的另一 个交点为C ,ABC,求直线AF的方程. 答案：见解析 解析： （1）设椭圆E 的半焦距为(0)c c >.因为椭圆E 的左顶点为(, 所以a =又离心率c e a ==, 所以1c =. 所以2222b a c =-=,所以E 的方程为22132x y +=.(2)由 (1)可知,左焦点F 的坐标为(1,0)-.当直线AF 垂直于x 轴时, 易知点A 的坐标为(1,-. 由椭圆的对称性知, 点,A B 关于原点O 对称,所以12212ABC AOC S S ==⨯⨯=,与题意不符. 所以直线AF 的斜率存在, 设其方程为1x ty =-. 由2236,1,2x x ty y ⎧⎨+==-⎩消去x 并整理得2223440()t y ty +--=. 设1122),,(),(A x y C x y ，则12122244,2323t y y y y t t -+==++,所以122|3|2y y t -===+. 因此1221231126||22325||AOC ABC t SOF y y S t ⋅+=-===+, 解得21t =, 即1t =±,所以直线AF 的方程为10x y -+=或10x y ++=.。

一中2021——2021学年上期第二次阶段性考试高二数学〔理科〕试卷本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，满分是150分，考试时间是是120分钟。

第I 卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

〕 1．在等差数列{}n a 中,假设261,1a a ==-,那么4a = A ．1-B ．1C ．02．等差数列中,假设3456789420a a a a a a a ++++++=,那么210a a +等于A ．100B ．120C ．140D ．1603．以下命题正确的选项是A ．存在0x R ∈,使得00xe ≤的否认是:不存在0x R ∈,使得00x e>.B ．存在0x R ∈,使得2010x -<的否认是:任意0x R ∈,均有2010x ->.C ．假设3x =,那么2230x x --=的否命题是:假设3x ≠,那么2230x x --≠.D ．假设p q ∨为假命题,那么命题p 与q 必一真一假 4．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=间隔 的最小值是A ．43B ．75C ．85D ．35．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且111a =-,466a a +=-,那么当n S 取最小值时,n 等于A ．6B ．7C ．8D ．96．函数()1ln f x x=的定义域为A. (](),42,-∞-+∞B. ()()4,00,1-C. [)(]4,00,1-D. [)()4,00,1-7．在ABC ∆中,3,4AB BC AC ===,那么AC 边上的高为ABC ．32D．8．假设实数,x y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9,那么实数m 等于A ．-2B ．-1C ．1D ．29．不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立,那么实数a 的取值范围为A ．(][),14,-∞-+∞ B ．(][),25,-∞-+∞C ．[]1,2D ．(][),12,-∞+∞10．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,那么双曲线的方程为A.221520x y -= B. 221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -= 11．设,P Q 分别为圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点,那么,P Q 两点间的最大间隔是A．BC．7D．12．0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且函数()212sin sin 2x f x x +=的最小值为b ,假设函数()2864,041,42x bx x g x x πππ-+⎧⎪⎪⎨<≤=-<<⎪⎪⎩,那么不等式()1g x ≤的解集为 A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B．42π⎫⎪⎪⎣⎭C．42⎣⎦ D．,42π⎛⎝⎦第II 卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，一共20分，把答案填在答题卷中横线上〕 13．不等式1x x≤的解集是_______________． 14．等比数列,33,66x x x ++,…的第四项等于 ．15．设命题:431p x -≤,命题()()2:2110q x a x a a -+++≤,假设p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,那么实数a 的取值范围是 ．16．过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>相交于,A B ，假设M 是线段AB 的中点,那么椭圆C 的离心率为 ． 三、解答题〔本大题6小题，一共70分。

【详解】由 x²²+2 y -5 x0- = 可得， ( x -1)2 + y2 = 6 ，
所以圆心为 (1, 0) ，半径为 6 ， 故选:B. 2．A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的判定分析判断即可.
【详解】当直线 x + ay + 2 = 0 与直线 ax + (a + 2) y +1 = 0 互相垂直时，
(1)求 BC 边所在直线的方程； (2) BC 边上中线 AD 的方程为 2x - 3y + 6 = 0 ，且 S△ABC = 7 ，求点 A 的坐标．
18．已知圆心为 M 的圆经过 O (0, 0) ， M1 (1,1) ， M2 (4, 2) 这三个点．
(1)求圆 M 的标准方程；
(2)直线 l 过点 P (0, 5) ，若直线 l 被圆 M 截得的弦长为 6，求直线 l 的方程．
2
）
试卷第31 页，共33 页
A．当 E 点运动时， A1C ^ AE 总成立 B．存在点 E 的位置，使得 BF // AE C．当 E 点运动时，四面体 ABFE 的体积不变 D．存在点 E 的位置，使得点 B 到 AE 的距离为 2 2
3
三、填空题
13．已知直线
l
经过点
A
(
-1,
0)
，且其一个方向向量为
广东省佛山市南海区南海中学 2023-2024 学年高二上学期
第二次阶段考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．圆 x²²+2 y -5 x0- = 的圆心和半径分别为（ ）