2021-2022年高二数学下学期第二次阶段测试试题理

高二数学月考姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}2|10,2,3,4,5A x xB =∈<=R 则A B ⋂=（）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,42．已知正态分布()21,N σ的正态密度曲线如图所示，()2~1,X N σ，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（）A ．()102P X -≤B ．()122P X -≥C ．()1122P X -≤≤D ．()()112022P X P X ≤-≤3．若:1p k =，:q 函数()1lnkx f x x k-=+为奇函数，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．()73111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为（）A ．42B ．35C ．7D ．15．2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为25和35．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为35；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为12．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（）A ．2350B ．12C ．25D ．596．植树节这天，某学校组织5名学生依次给树木浇水，其中甲和乙是好朋友，必须相邻，丙不在第三位，则不同的浇水顺序的种数为（）A ．30B ．36C ．40D ．427．下列说法正确的是（）A ．随机变量()~3,0.2XB ，则()20.032P X ==B ．某人在7次射击中，击中目标的次数为X 且()~7,0.8X B ，则当5X =时概率最大；C ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D ．从10个红球和20个白球颜色外完全相同中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()()2e xg x f x x '=-+也是定义在R 上的奇函数，则关于x 的不等式()()21220g x g x -++>的解集为（）A ．()(),13,-∞-⋃+∞B ．()(),31,-∞-⋃+∞C ．()1,3-D ．()3,1-二、多选题9．已知52(2)x a x+的展开式中所有项的系数之和为1，则（）A ．展开式的常数项为40-B ．1a =C ．展开式中系数最大的项的系数为80D ．所有幂指数为非负数的项的系数和为8-10．已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A ．41ab >B ．2728a b +≥C ．41912a b +≥+D 2≤11.如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动n 次后质点位于位置n X .则下列命题正确的是（）A.3(0)0P X ==B.41(2)4P X =-=C.()0n E X =D.移动n 次后质点最有可能回到原点.三、填空题12．已知随机变量ξ的取值为i （i ＝0，1，2）．若(015)P ξ==，()1E ξ=，则()23D ξ-=____．13．用模型e bx y a =拟合一组数据组()(),1,2,,9i i x y i =⋅⋅⋅，其中51129y y y e ⋅⋅⋅=.设ln z y =，变换后的线性回归方程为ˆ5=+zx ，则129x x x ++⋅⋅⋅+=_______．14．已知实数a ，b 满足()e 1e ln a bb a b -+=-，则2b a -的最大值是_______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()11f x x x=++．(1)求()f x 在R 上的解析式；(2)用函数单调性的定义证明：()f x 在()0,1上是减函数．16.已知函数()()e xf x ax a =-∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.17盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的3个小球上的最小数字为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．18.已知()21e 4e 52xx f x ax =-+--.（1）当3a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()12120f x f x x x +++<.19．（本小题满分17分）PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量x （单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y （单位：3μg/m ）．检测人员采集了50天的数据，制成22⨯列联表（部分数据缺失）：燃油车日流量1500x <燃油车日流量1500x ≥合计PM2.5的平均浓度100y <1624PM2.5的平均浓度100y ≥20合计22（1）完成上面的22⨯列联表，并根据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于3100μg/m 与燃油车日流量小于1500辆有关联？（2）经计算得y 与x 之间的回归直线方程为0.12386ˆ7.x y=-，且这50天的燃油车的日流量x 的标准差249x s =，PM2.5的平均浓度y 的标准差36y s =．若相关系数r 满足0.75r ≥，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值．①判断该回归直线方程是否有价值；②若这50天的燃油车的日流量x 满足502811.2310ii x==⨯∑，试求这50天的PM2.5的平均浓度y 的平均数y （利用四舍五入法精确到0.1）．参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.010.0050.001x α6.6367.87910.828回归方程ˆˆˆya xb =+，其中()()()112211ˆnniii ii i nni ii i x x y x y nxyb x x y xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆab y x =-；相关系数()()niix x y y r --=∑参考数据：11.230.024650⨯=，224962001=1548.55≈．参考答案：1．B 2．C【分析】借助正态密度曲线的对称性逐项判断即可得.【详解】正态分布()21,N σ的正态密度曲线关于直线1x =对称，可得图中阴影部分可表示为()()()()()1101100222P X P X P X P X P X ≤≤=≤-≤=-≤=-≥，故选项A ，B 正确；对C ：由对称性可得()()()112202P X P X P X -≤≤=≥=≤，故选项C 错误；对D ：由对称性可得()()0112P X P X ≤≤=≤≤，所以图中阴影部分面积可表示为()()()101202P X P X P X ⎡⎤≤≤=≤-≤⎣⎦，故选项D 正确．故选：C ．3．A 4．A【分析】写出展开式通项，令x 的指数为3，求出参数的值，代入通项后即可得解.【详解】()71x +的展开式通项为()17C 0,1,2,,7r rr T x r +=⋅= ，因为()()()7773311111x x x x x -=⎛⎫++++ ⎝⎭+⎪，在()7C 0,1,2,,7r r x r ⋅= 中，令3r =，可得3x 项的系数为37C 35=；在()3377C C 0,1,2,,7k k k k x x x k --⋅=⋅= 中，令33k -=，得6k =，可得3x 项的系数为67C 7=.所以，()73111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为35742+=.故选：A.5．D【分析】设出事件，根据条件概率公式得到()()63,2510P AB P BC ==，结合全概率公式求出答案.【详解】设小明第一天去甲影院为事件A ，第二天去甲影院为事件B ，小明第一天去乙影院为事件C ，第二天去乙影院为事件D .故()()()()2331,,,5552P A P C P B A P B C ====，由()()()()()()31,52P AB P BC P B A P B C P A P C ====可得()()63,2510P AB P BC ==，故()()()6327251050P B P AB P CB =+=+=，则小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为()()()351027950P BC P C B P B ===.故选：D 6．C【分析】分丙在第一或第五位，在第二位或第四位，两种情况，求出浇水顺序，相加得到答案.【详解】若丙在第一或第五位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列，甲乙看作一个整体，和剩余的两个学生进行全排列，故不同的浇水顺序有23232A A 24=种，若丙在第二位或第四位，甲乙进行捆绑，内部可以全排列，且甲乙只能有两个位置可以选择，再将剩余的两为同学进行排列，则不同的浇水顺序有222222A A 16⨯=种，则不同的浇水顺序共有241640+=种．故选：C 7．D 8．A【分析】根据()g x 为奇函数及()f x '为偶函数可求()g x ，利用导数可判断()g x 为R 上的减函数，从而可求不等式的解.【详解】因为()()2e x g x f x x =-+'，故()()2e 2e 0x xf x x f x x --++'---='，故()()2e 2e x xf x f x -+-=+''，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，故()()0f x f x +-=，故()()0f x f x ''--=，故()e e x x f x -='+，故()e e x xg x x -=-++，此时()e e 1210x xg x -=--+≤-+<'，故()g x 为R 上的减函数，而()()21220g x g x -++>等价于()()2122g x g x ->--，即2122x x -<--即2230x x -->，故1x <-或3x >故选：A.9．ACD 【分析】令1x =，根据系数可得1a =-，根据二项式定理展开，进而逐项分析判断.【详解】令1x =，得5(2)1a +=，解得1a =-，B 错误；因为5(21)x -的展开式的通项公式为()()55155C 21C 2,0,1,2,3,4,5rrr r r r T x xr --+=⨯==，可得54532(21)32808040101x x x x x x -=-+-+-，则53222(21)10132808040x x x x x x x -=-+-+-，则有：展开式的常数项为40-，A 正确；展开式中系数最大的项的系数为80，C 正确；所有幂指数为非负数的项的系数和为328080408-+-=-，D 正确．故选：ACD.故选：BCD 11．ABC【详解】（1）设质点n 次移动中向右移动的次数为Y ，显然每移动一次的概率为12，则1(,2Y B n ，()2n X Y n Y Y n =--=-，所以1344111(2)(1)C ()(224P X P Y =-====.（2）由（1）知，1(,2Y B n ，1()22nE Y n =⋅=，又2n X Y n =-，所以()2()0n E X E Y n =-=.（3）由（1）知，C 11()C ()()222k k k n k nnnP Y k -===，N,k k n ∈≤，当n 为偶数时，{C }kn 中间的一项2C nn取得最大值，即2nY =时概率最大，此时0n X =，所以质点最有可能位于位置0；当n 为奇数时，{C }kn 中间的两项1122C,Cn n nn-+取得最大值，即12n Y -=或12n Y +=时概率最大，此时1n X =-或1n X =，所以质点最有可能位于位置1-或1.故选：ABC 12．85【分析】根据已知条件，结合离散型随机变量分布列的性质，以及期望公式，求出()()315125P P ξξ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，再结合方差公式，即可求解.【详解】随机变量ξ的取值为i (i ＝0，1，2），()105P ξ==，()1E ξ=，则()()()()12214125P P P P ξξξξ⎧=+==⎪⎨=+==⎪⎩，解得()()315125P P ξξ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，所以2221312()(01)(11)(21)5555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=，故()()282325D D ξξ-==.故答案为：85.13．6【详解】根据回归直线方程，必过样本点中心()x z ，再利用换元公式，以及对数运算公式，化简求值.【分析】因为线性回归方程为ˆ5=+zx 恒过()x z ，因为51129e y y y ⋅⋅⋅=，所以()129ln 51y y y ⋅⋅⋅=，即()129129ln ...ln ln ...ln 51999y y y y y y z +++===，6515599z x =+=+=，129699x x x x ++⋅⋅⋅+==，1296x x x ++⋅⋅⋅+=，故答案为：6.14．2ln 22-【提示】因为()e 1e ln a bb a b -+=-，所以()ln eln e a bb a b b +++=+，设()e x f x x =+，则()e 10xf x '=+>，所以函数()e xf x x =+在(),-∞+∞上单调递增，所以ln a b b +=，四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()11f x x x=++．(1)求()f x 在R 上的解析式；(2)用函数单调性的定义证明：()f x 在()0,1上是减函数．16.已知函数()()e xf x ax a =-∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，()e x f x x =-，()e 1xf x '=-，所以()1e 1f =-，()1e 1f '=-，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为()e 1y x =-；【小问2详解】要使()0f x ≥恒成立，则需()min 0f x ≥成立，()e x f x a '=-，当a<0时，()0f x '>，所以()f x 在(),∞∞-+递增，而11e 10a f a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，不合题意；当0a =时，()e 0xf x =>恒成立，符合题意；当0a >时，令()0f x '=得ln x a =，则()f x 在(),ln a ∞-递减，在()ln ,a ∞+递增，所以()()min ln ln 0f x f a a a a ==-≥，解得0e a <≤.综上所述，0e a ≤≤.17.盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的3个小球上的最小数字为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．【小问1详解】记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M ，先确定3个不同数字的小球，有34C 种方法，然后每种小球各取1个，有111222C C C ⨯⨯种取法，所以()3111422238C C C C 4=C 7P M ⨯⨯⨯=.【小问2详解】由题意可知，X 的可取值为1,2,3，当1X =时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，所以()1221262638C C C C 91=C 14P X +==；当2X =时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，所以()1221242438C C C C 22=C 7P X +==；当3X =时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，所以()1221222238C C C C 13=C 14P X +==，所以X 的分布列为：所以()92110123147147E X =⨯+⨯+⨯=.18.已知()21e 4e 52xx f x ax =-+--.（1）当3a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()12120f x f x x x +++<.（1）当3a =时，()21e 4e 352xx f x x =-+--，()()()2e 4e 3e 1e 3x x x x f x =-+-=---'，则当()()e 0,13,x∞∈⋃+，即()(),0ln 3,x ∞∞∈-⋃+时，()0f x '<，当()e 1,3x∈，即()0,ln 3x ∈时，()0f x '>，故()f x 的单调递减区间为(),0∞-、()ln 3,∞+，单调递增区间为()0,ln 3；（2）()2e4e xx f x a -+'=-，令e x t =，即()24f x t t a '=-+-，令11e xt =，22e xt =，则1t 、2t 是方程240t t a -+=的两个正根，则()2Δ441640a a =--=->，即4a <，有124t t +=，120t t a =>，即04a <<，则()()1122221212121211e 4e 5e 4e 522x x x x f x f x x x ax ax x x +++=-+---+--++()()()()22121212141ln ln 102t t t t a t t =-+++--+-()()()2121212121241ln 102t t t t t t a t t ⎡⎤=-+-++---⎣⎦()()1162161ln 102a a a =--+---()1ln 2a a a =---，要证()()12120f x f x x x +++<，即证()()1ln 2004a a a a ---<<<，X123P91427114令()()()1ln 204g x x x x x =---<<，则()111ln ln x g x x x x x-⎛⎫=-+='- ⎪⎝⎭，令()()1ln 04h x x x x =-<<，则()2110h x x x '=--<，则()g x '在()0,4上单调递减，又()11ln111g =-='，()12ln 202g =-<'，故存在()01,2x ∈，使()0001ln 0g x x x =-='，即001ln x x =，则当()00,x x ∈时，()0g x '>，当()0,4x x ∈时，()0g x '<，故()g x 在()00,x 上单调递增，()g x 在()0,4x 上单调递减，则()()()()000000000111ln 2123g x g x x x x x x x x x ≤=---=--⨯-=+-，又()01,2x ∈，则00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故()000130g x x x =+-<，即()0g x <，即()()12120f x f x x x +++<.19．（本小题满分17分）PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量x （单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y （单位：3μg/m ）．检测人员采集了50天的数据，制成22⨯列联表（部分数据缺失）：燃油车日流量1500x <燃油车日流量1500x ≥合计PM2.5的平均浓度100y <1624PM2.5的平均浓度100y ≥20合计22（1）完成上面的22⨯列联表，并根据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于3100μg/m 与燃油车日流量小于1500辆有关联？（2）经计算得y 与x 之间的回归直线方程为0.12386ˆ7.x y=-，且这50天的燃油车的日流量x 的标准差249x s =，PM2.5的平均浓度y 的标准差36y s =．若相关系数r 满足0.75r ≥，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值．①判断该回归直线方程是否有价值；②若这50天的燃油车的日流量x 满足502811.2310ii x==⨯∑，试求这50天的PM2.5的平均浓度y 的平均数y （利用四舍五入法精确到0.1）．参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α0.010.0050.001x α6.6367.87910.828回归方程ˆˆˆya xb =+，其中()()()112211ˆnniii ii i nni ii i x x y x y nxyb x x y xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆab y x =-；相关系数()()niix x y y r--=∑参考数据：11.230.024650⨯=，224962001=1548.55≈．18．解：（1）22⨯列联表如下：燃油车日流量1500x <燃油车日流量1500x ≥合计PM2.5的平均浓度100y <16824PM2.5的平均浓度100y ≥62026合计222850零假设0H ：PM2.5的平均浓度小于3100μg/m 与燃油车日流量小于1500辆无关联．根据列联表中的数据，计算得()220.005501620689.6247.87924262228x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，所以根据小概率值0.005α=的独立性检验，推断0H 不成立，所以可以认为PM2.5的平均浓度小于3100μg/m 与燃油车日流量小于1500辆有关联．（2）①由题意，得()()()50150211ˆ0.2iii i i x x y y bx x ==--==-∑∑，得()()()50502110.12iiii i x y y x x x ==--=-∑∑，由249,36x y s s ====，得()()()505020.120.12i i i x y x x r x y ---=⨯∑∑2490.120.830.7536=⨯=>，所以该回归直线方程有价值．②因为249x s==249=，所以1548.55x =≈，又0.1273.860.121548.5573.86111.966112.0x y =-≈⨯-=≈．故可推算出这50天PM2.5平均浓度y 的平均数y 约为112.0．。

1河南省郑州市2021-2022学年高二数学下学期期末试题 理一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为，则（）A. 1B. 2D. 52. 若函数，则的值为（）A. B. C. D. 3. 用反证法证明命题“设实数、、满足，则、、中至少有一个数不小于”时假设的内容是（）A. 、、都不小于B. 、、都小于C. 、、至多有一个小于D. 、、至多有两个小于4. 已知，若a ，b ，，且，，，则的值（）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定.5. 若离散型随机变量X 的分布列如表所示，则a 的值为（）X 12PA.或 B.C.D. 6. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x /万元1020304050销售额y /万元62758189根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程为.现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为（）A. 68B. 68.3C. 68.5D. 707. 下列说法错误的是（）()1,2-z =()()2121262f x f x x '=-+-()2f '-2468a b c 6a b c ++=a b c 2a b c 2a b c 2a b c 2a b c 2()32f x x x =+R c ∈0a b +<0a c +<0b c +<()()() f a f b f c ++41a -23a a+132-132-120.6754.9y x =+2A. 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小B. 用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好C. 某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量，则D. 对于独立性检验，随机变量的观测值k 值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大8. 在一组样本数据，，，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A. 1B.C.D. 9. 2022年，为保障广大人民群众的生产生活能够有序进行，郑州市政府多次组织进行全员核酸检测.某社区计划从报名参加志愿者工作的5名男生和4名女生中抽取两人加入志愿者团队，用A 表示事件“抽到的两名志愿者性别相同”，B 表示事件“抽到的两名志愿者都是女生”，则（）A.B.C.D.10. 已知函数.若函数恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A. B. C. D. 11. 将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有（）种.A. B. C. D. 12. 已知函数，，若，则的最小值是（）A. B. 0C. D. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 由直线和曲线所围图形的面积___________.14. 在某次高三联考中，学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的学生有人.2R 2R 35ζ7(2)1E ζ+=2K 11(,)x y 22(,)x y L (,)n n x y 2n ≥1x 2x n x (),i i x y ()1,2,,i n = 32y x =-+1-1515-()|P B A =172718383239,0(),0xx x x x f x xe x -⎧--≤=⎨->⎩()y f x a =+1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭1,5e⎛⎫- ⎪⎝⎭15,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭64111560144026402160()e xf x x =()lng x x x =()()(0)f a g b t t ==>1ln tab -21e -1e-32e -y x =2y x =()95,100N 100003则本次考试数学成绩大于分的大约有___________人.（参考数据：，）15. 若曲线在点处的切线与直线平行，则___________.16. 在我国南宋数学家杨辉所著作的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律，下面的数字三角形可以看做当依次取、、、、时展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列，例，，，，设数列的前项和为.若，则___________.三､解答题：共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或验算步骤.17. 已知复数z 满足.（1）求复数；（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.18.用数学归纳法证明：．19. 已知在的展开式中，所有偶数项的二项式系数的和为32.（1）求n 的值；（2）求展开式中系数最大的项.20. 已知函数.（1）当时，求该函数在点处的切线方程；105()0.6826P X μσμσ-<<+≈(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈(3)(1)(1)(2)4ln(31)]4ln 4y x x x x x x =--++++-()1,02x ay =+=a n 0123L ()na b +{}n a 11a =211a =+312a =+L {}n a n n S 20243a m =+2022S =()13i i z +=+z ()2i z a +()()()()()*12213521n n n n n n n N ++⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅-∈2nx ⎛⎝()()221ln af x x a x x=-+-1a =11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4（2）讨论函数的单调性.21.某工厂生产一种产品测得数据如下：尺寸384858687888质量16.818.820.722.42425.5质量与尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290（1）若按照检测标准，合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（c ､d 为大于0的常数），求y 关于x 的回归方程；（2）已知产品的收益z （单位：千元）与产品尺寸和质量的关系为，根据（1）中回归方程分析，当产品的尺寸x 约为何值时（结果用整数表示），收益z 的预报值最大？附：（1）参考数据：，，，.（2）参考公式：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.22. 已知函数，其中.（1）若函数在区间上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数有两个极值点，且，当时，证明：.()f x ()mm x ()g y yx()g y ()mm x dy c x =⋅20.32z y x =-()61ln ln 75.3i i i x y =⋅=∑()61ln 24.6i i x ==∑()61ln 18.3i i y ==∑()621ln 101.4i i x ==∑(),i i v u (1,2,,)i n = u bv a =⋅+ ()()()1122111ˆnniii i i i nnii i v v uu v unvu b v v vnv====---==--∑∑∑∑ˆˆau bv =-e 2.7182≈21()e 312xf x ax ax =+++a ∈R [)1,-+∞()f x 12,x x 12x x <2131339x x +≤≤+1252ln36ln362x x ≤-≤+-。

2021-2022年高二下学期第二次段考数学试卷（文科）含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．A）∩B=．1．已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，B={1，2，3}，则（∁U2．已知幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）的图象过点（，），则k+α=．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为名．4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是．5．“α=”是“tanα=1”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）6．如图是一个算法流程图，则输出S的值是．7．函数f（x）=ln（x2﹣3x+2）的单调减区间为．8．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是．9．定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x）•f（x+1）=1，当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，则f=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为．11．若f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f （x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为．13．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．14．已知f（x）=，a∈R，对任意非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则实数k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组[230，235）8 0.16第二组[235，240）①0.24第三组[240，245）15 ②第四组[245，250）10 0.20第五组[250，255] 5 0.10合计50 1.00（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．16．已知命题：“∃x∈[﹣1，1]，使等式m=x2﹣x成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]＜0的解集为N，若N⊆M，求a的取值范围．17．已知二次函数f（x）有两个零点0和﹣2，且f（x）最小值是﹣1，函数g（x）与f（x）的图象关于原点对称．（1）求f（x）和g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）﹣λg（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．18．某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．19．已知函数f（x）=|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m．（1）若方程f（x）=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；（2）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．20．对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a﹣x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．（1）判断函数f（x）=4x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；（2）已知函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）=x2﹣m（x﹣1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤3成立，试求m的取值范围．xx江苏省泰州市泰兴一中高二（下）第二次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1．已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，B={1，2，3}，则（∁U A）∩B={2，3} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用补集和交集的运算进行求解即可得到答案．【解答】解：由U={0，1，2，3}，集合A={0，1}，∴∁U A={2，3}，又B={1，2，3}，∴（∁U A）∩B={2，3}∩{1，2，3}={2，3}．故答案为：{2，3}．2．已知幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）的图象过点（，），则k+α=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数的定义求出k，利用函数的图象经过的点求出α，即可得到结果．【解答】解：因为幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）由幂函数的定义可知k=1，幂函数f（x）=k•xα（k，α∈R）的图象过点（，），所以，，∴k+α==．故答案为：．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为32名．【考点】分层抽样方法．【分析】先求出高一学生在总体中所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即得应从高一年级抽取的学生人数．【解答】解：高一学生在总体中所占的比例为=，故应从高一年级抽取的学生人数为80×=32，故答案为：32．4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是．【考点】计数原理的应用．【分析】求出从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议的基本事件，甲被选中的基本事件，即可求出甲被选中的概率．【解答】解：从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，共有=6种方法，甲被选中，共有3种方法，∴甲被选中的概率是=．故答案为：．5．“α=”是“tanα=1”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件、必要条件的概念，以及tanα=1时α的取值情况即可判断是tanα=1的什么条件．【解答】解：时，tanα=1；tanα=1时，，所以不一定得到；∴是tanα=1的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．6．如图是一个算法流程图，则输出S的值是35．【考点】程序框图．【分析】执行算法流程，写出每次循环得到的S，k的值，当k=7时满足条件k＞5，输出S 的值35．【解答】解：执行算法流程，有S=0，k=1不满足条件k＞5，S=1，k=3，不满足条件k＞5，S=10，k=5，不满足条件k＞5，S=35，k=7，满足条件k＞5，输出S的值35．故答案为：35．7．函数f（x）=ln（x2﹣3x+2）的单调减区间为（﹣∞，1）．【考点】复合函数的单调性．【分析】求出函数的定义域，结合复合函数的单调性的关系进行求解即可．【解答】解：由x2﹣3x+2＞0得x＞2或x＜1，设t=x2﹣3x+2，则y═lnt为增函数，要求函数f（x）=ln（x2﹣3x+2）的单调减区间，即求函数t=x2﹣3x+2的递减区间，∵t=x2﹣3x+2的递减区间为（﹣∞，1），∴函数f（x）=ln（x2﹣3x+2）的单调减区间为（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．8．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是（a，+∞），则实数a的值是1．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】由题意知“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，由二次函数的性质得△＜0，求出m的范围，结合题意求出a的值．【解答】解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴“任意x∈R，使x2+2x+m＞0”是真命题，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，故a的值是1．故答案为：1．9．定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x）•f（x+1）=1，当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，则f=f（x），利用函数的周期性，将条件进行转化即可得到结论．【解答】解：对任意x∈R都有f（x）•f（x+1）=1，可得f（x+2）==f（x），∴f（x+2）=f（x），函数f（x）是定义在R上是周期函数周期为2，当x∈（﹣2，0）时，f（x）=4x，则f=f（﹣1）=4﹣1=故答案为：．10．设f（x）=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为（0，] ．【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．【分析】函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立即可，转化出求函数的值域问题即可获得问题的解答．【解答】解：函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立，∵a=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，x∈（1，3）∴a∈（0，]．故答案为：（0，]．11．若f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为[﹣，0）．【考点】函数单调性的性质．【分析】分f（x）是R上的减函数、增函数两种情况，分别求得实数a的取值范围，再取并集，即得所求．【解答】解：若f（x）=是R上的单调减函数，则，求得﹣≤a＜0．若f（x）=是R上的单调增函数，则，求得a∈∅，综上可得实数a的范围为[﹣，0），故答案为：[﹣，0）．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为7．【考点】函数零点的判定定理．【分析】如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，结合图象即可得出零点个数．【解答】解：如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，利用偶函数的性质可得x ∈[﹣2，0）上的图象．x∈[0，2）时，g（0）=g（1）=0，x∈[2，4]时，g（2）=g（4）=g（0）=0，g（3）=g（1）=0．x∈[﹣2，0）时，g（﹣2）=g（2）=0，g（﹣1）=g（1）=0．指数可得：函数g（x）共有7个零点．故答案为：7．13．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．【解答】解：因为t∈[0，1]，所以f（t）=3t∈[1，3]，又函数，所以f（f（t）=，因为f（f（t））∈[0，1]，所以解得：，又t∈[0，1]，所以实数t的取值范围．故答案为：．14．已知f（x）=，a∈R，对任意非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得f（x1）=f（x2）成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，0]∪[8，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】由题意结合函数图象可将问题转化为关于a的方程（3﹣a）2=k（1﹣a2）有实数解，解△≥0可得．【解答】解：∵f（x）=）=，∴当x=0时，f（x）=k（1﹣a2），∵对任意的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立．∴函数必须为连续函数，∴（3﹣a）2=k（1﹣a2），问题转化为（k+1）a2﹣6a+9﹣k=0有实数解，∴△=62﹣4（k+1）（9﹣k）≥0，解得k≤0或k≥8．故答案为：（﹣∞，0]∪[8，+∞）．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组[230，235）8 0.16第二组[235，240）①0.24第三组[240，245）15 ②第四组[245，250）10 0.20第五组[250，255] 5 0.10合计50 1.00（1）写出表中①②位置的数据；（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．【考点】等可能事件的概率；分层抽样方法；频率分布表．【分析】（1）由频率分布表，可得①位置的数据为50﹣8﹣15﹣10﹣5=12，②位置的数据为1﹣0.16﹣0.24﹣0.20﹣0.1=0.3，即可得答案；（2）读表可得，第三、四、五组分别有15、10、5人，共15+10+5=30人，要求从中用分层抽样法抽取6名学生，抽取比例为，由第三、四、五组的人数，计算可得答案；（3）设（2）中选取的6人为abcdef（其中第四组的两人分别为d，e），记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，用列举法列举从6人中任取2人的所有情形，进而可得事件A所含的基本事件的种数，由等可能事件的概率，计算可得答案．【解答】解：（1）由频率分布表，可得①位置的数据为50﹣8﹣15﹣10﹣5=12，②位置的数据为1﹣0.16﹣0.24﹣0.20﹣0.1=0.3，故①②位置的数据分别为12、0.3；（2）读表可得，第三、四、五组分别有15、10、5人，共15+10+5=30人，要求从中用分层抽样法抽取6名学生，则第三组参加考核人数为15×=3，第四组参加考核人数为10×=2，第五组参加考核人数为5×=1，故第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；（3）设（2）中选取的6人为a、b、c、d、e、f（其中第四组的两人分别为d，e），则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15种；记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种．所以，故2人中至少有一名是第四组的概率为．16．已知命题：“∃x∈[﹣1，1]，使等式m=x2﹣x成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]＜0的解集为N，若N⊆M，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；特称命题．【分析】（1）若方程m=x2﹣x在[﹣1，1]上有解，即m的取值范围为函数y=x2﹣x在[﹣1，1]上的值域，结合二次函数的图象和性质，要得M；（2）对a的取值进行分类讨论，求出不等式（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]＜0的解集为N，结合N⊆M，可得a的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，方程m=x2﹣x在[﹣1，1]上有解，即m的取值范围为函数y=x2﹣x在[﹣1，1]上的值域，由函数y=x2﹣x的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故当x=时，函数最小值为﹣，当x=﹣1时，函数最大值为2，故m=[﹣，2]，（2）当a=1时，解集N为空集，满足题意；当a＞1时，a＞2﹣a，此时集合N={x|2﹣a＜x＜a}，则1＜a≤2当a＜1时，a＜2﹣a，此时集合N={x|a＜x＜2﹣a}，则0≤a＜1综上：0≤a≤217．已知二次函数f（x）有两个零点0和﹣2，且f（x）最小值是﹣1，函数g（x）与f（x）的图象关于原点对称．（1）求f（x）和g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）﹣λg（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．【考点】函数的零点；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）根据二次函数的零点，利用待定系数法即可求f（x）和g（x）的解析式；（2）根据h（x）=f（x）﹣λg（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，确定对称轴和对应区间之间的关系，即可求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数f（x）有两个零点0和﹣2，∴设f（x）=ax（x+2）=ax2+2ax（a＞0）．f（x）图象的对称轴是x=﹣1，∴f（﹣1）=﹣1，即a﹣2a=﹣1，∴a=1，∴f（x）=x2+2x．∵函数g（x）的图象与f（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+2x．（2）由（1）得h（x）=x2+2x﹣λ（﹣x2+2x）=（λ+1）x2+2（1﹣λ）x．①当λ=﹣1时，h（x）=4x满足在区间[﹣1，1]上是增函数；②当λ＜﹣1时，h（x）图象对称轴是x=则≥1，又λ＜﹣1，解得λ＜﹣1；③当λ＞﹣1时，同理需≤﹣1，又λ＞﹣1，解得﹣1＜λ≤0．综上，满足条件的实数λ的取值范围是（﹣∞，0]．18．某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）总面积为xy=3000，且2a+6=y，则y=，（其中6＜x＜500），从而运动场占地面积为S=（x﹣4）a+（x﹣6）a，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积S=3030﹣6x﹣=3030﹣（6x+），由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．【解答】解：（1）由已知xy=3000，∴，其定义域是（6，500）．S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a，∵2a+6=y，∴，∴，其定义域是（6，500）．（2），当且仅当，即x=50∈（6，500）时，上述不等式等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．19．已知函数f（x）=|x﹣m|和函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m．（1）若方程f（x）=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；（2）若对任意x1∈（﹣∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．【考点】带绝对值的函数；函数的最值及其几何意义；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）解方程f（x）=|m|，解得x=0，或x=2m．由题意可得2m≥﹣4，且2m≠0，由此求得实数m的取值范围．（2）命题等价于任意x1∈（﹣∞，4]，任意的x2∈[3，+∞），f min（x1）＞g min（x2）成立，分m＜3、3≤m＜4、4≤m三种情况，分别求出实数m的取值范围再取并集，即得所求．【解答】解：（1）方程f（x）=|m|，即|x﹣m|=|m|，解得x=0，或x=2m．要使方程|x﹣m|=|m|在[﹣4，+∞）上有两个不同的解，需2m≥﹣4，且2m≠0．解得m≥﹣2 且m≠0．故实数m的取值范围为[﹣2，0）∪（0，+∞）．（2）由于对任意x1∈（﹣∞，4]，都存在x2∈[3，+∞），使f（x1）＞g（x2）成立，故有f min（x1）＞g min（x2）成立．又函数f（x）=|x﹣m|=，故f min（x1）=．又函数g（x）=x|x﹣m|+m2﹣7m=，故g min（x2）=．当m＜3时，有0＞m2﹣10m+9，解得1＜m＜3．当3≤m＜4，有0＞m2﹣7m，解得3≤m＜4．当4≤m，有m﹣4＞m2﹣7m，解得4≤m＜4+2．综上可得，1＜m＜4+2，故实数m的取值范围为（1，4+2 ）．20．对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a﹣x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．（1）判断函数f（x）=4x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；（2）已知函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）=x2﹣m（x﹣1）+1（m＞0），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤3成立，试求m的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用；抽象函数及其应用．【分析】（1）利用定义，直接判断求解即可．（2）由题意得，g（1+x）g（1﹣x）=4，所以当x∈[1，2]时，，其中2﹣x∈[0，1]，而x∈[0，1]时，g（x）=x2+m（1﹣x）+1=x2﹣mx+m+1＞0，且其对称轴方程为，通过①当，②当，③当，求出函数的值域，然后推出所求m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=4x是“（a，b）型函数”…因为由f（a+x）•f（a﹣x）=b，得16a=b，所以存在这样的实数对，如a=1，b=16…（2）由题意得，g（1+x）g（1﹣x）=4，所以当x∈[1，2]时，，其中2﹣x∈[0，1]，而x∈[0，1]时，g（x）=x2+m（1﹣x）+1=x2﹣mx+m+1＞0，且其对称轴方程为，①当，即m＞2时，g（x）在[0，1]上的值域为[g（1），g（0）]，即[2，m+1]，则g（x）在[0，2]上的值域为，由题意得，此时无解…②当，即1≤m≤2时，g（x）的值域为，即，所以则g（x）在[0，2]上的值域为，则由题意得且，解得1≤m≤2…③当，即0＜m≤1时，g（x）的值域为，即，则g（x）在[0，2]上的值域为=，则，解得．综上所述，所求m的取值范围是…xx10月15日> 35055 88EF 裯`M25317 62E5 拥33269 81F5 臵y•(N35864 8C18 谘34971 889B 袛。

永州一中2022年上期高二第二次月考试卷数 学（考试内容：新人教版必修第一册至选修三第一章）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{－1，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{x |x ≥－1}2．若复数z 满足i z ⋅＝1－i ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．0B ．－1C ．－iD ．i 21 3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ） A ．2πB ．πC ．2D ．14．设a ∈R ，直线ax +2y －1＝0与直线x +ay +1＝0平行，则a ＝（ ） A ．2B ．2-C ．2±D ．±15．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为4，若抛物线上一点P 到y 轴的距离是1，则|PF |等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．恰好有一个白球与都是红球 B ．至多有一个白球与都是红球 C ．至多有一个白球与都是白球 D ．至多有一个白球与至多一个红球 7．数列{n a }的通项902+=n na n ，则数列{n a }中的最大值是（ ） A ．103 B ．19C ．191 D ．6010 8．已知函数f （x ）＝)(21111+--++--x x e e a x x 其中a ∈R ，则（ ） A ．f （x ）在（2，+∞）上单调递增 B ．f （x ）在（2，+∞）上单调递减C ．曲线y ＝f （x ）是轴对称图形D ．曲线y ＝f （x ）是中心对称图形二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f （x ）＝x 3+3x 2－9x +1，若f （x ）在区间（k ，2]上的最大值为28，则实数k 的值可以是（ ） A ．－5B ．－4C ．－3D ．－210．已知直线l ：mx －（2－m ）y +1－m ＝0，圆C ：x 2+y 2－2x ＝0，则下列结论正确的是（ ） A ．圆心C 到直线l 的最大距离是2 B ．直线l 与圆C 恒有两个公共点C ．存在一个m 值，使直线l 经过圆心CD ．当m ＝1时，圆C 与圆x 2+（y －1）2＝1关于直线l 对称11．设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足0FA FB •=，|FB |≤|F A |≤2|FB |，则椭圆的离心率可以取的值是（ ） A ．617 B ．619 C ．621 D ．35 12．如图，已知直四棱柱ABCD －EFGH 的底面是边长为4的正方形，CG ＝m ，点M 为CG 的中点，点P 为底面EFGH 上的动点，则（ ）A ．当m ＝4时，存在点P 满足P A +PM ＝8B ．当m ＝4时，存在唯一的点P 满足2π=∠APMC ．当m ＝4时，满足BP ⊥AM 的点P 的轨迹长度为22D ．当334=m 时，满足2π=∠APM 的点P 的轨迹长度为π938 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．把4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部保送到甲、乙、丙三所大学，每个学校至少去一名，不同的保送方案有 种．14．已知点P 在圆x 2+y 2＝1上，点A 的坐标为（－2，0），O 为原点，则AO AP •的最大值为 ．15．设x ∈R 且x ≠0，则)2(+x 5)11(-x的展开式中常数项为 ．16．若关于x 的不等式xe x －a （x +3）－alnx ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，8,71227=+=a a S ． （1）求a n ；（2）设n an b 2=，求数列{n b }的前n 项和n T ．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A +（2c +a ）cos B ＝0． （1）求角B 的大小；（2）若b ＝4，△ABC 的面积为3，求a +c 的值．19.已知向量→a ＝（2cos2x ，1），→b ＝（2cos （2x －3π），－1）．令f （x ）＝→→⋅b a（1）求f （x ）的最小正周期及单调增区间． （2）当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ时，求f （x ）的最小值以及取得最小值时x 的值． 20.如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ∥CD ，AB BC CD AD 21===，E 在以AB 为直径的半圆上（不包括端点），平面ABE ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为DE ，BC 的中点． （1）求证：MN ∥平面ABE ；（2）当四棱锥E －ABCD 体积最大时，求二面角N －AE －B 的余弦值．21．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率为26，且该双曲线经过点)22,3(p ． （1）求双曲线C 的方程；（2）设斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2均经过点Q（2，1），且直线l1，l2与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若k1+k2＝1，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）＝alnx．（1）记函数g（x）＝x2－（a+2）x+f（x），当a＞2时，讨论函数g（x）的单调性；（2）设h（x）＝f（x）－x2，若h（x）存在两个不同的零点x1，x2，证明：2e＜a＜x12+x22（e为自然对数的底数）．永州一中2022年上期高二第二次月考答案数学一．选择题（共12小题）1 A2 B 3A4C5B6A7 C8C二．多选题（共4小题）9．：AB．10：BD．11：BD．12：BCD．三．填空题（共4小题）13：36 14：6 15：3 16：[0，e﹣2]四．解答题（共6小题）17．【解答】解：（1）a2+a12＝8⇒a7＝4∵∴a1＝﹣2∴∴a n＝﹣2+n﹣1＝n﹣3；（2）∵a n＝n﹣3，∴b n＝2n﹣3则．214nnT-=18．【解答】解：（1）∵b cos A+（2c+a）cos B＝0，∴sin B cos A+（2sin C+sin A）cos B＝0，化为sin（A+B）+2sin C cos B＝0，∴sin C+2sin C cos B＝0，∵sin C≠0，∴cos B＝﹣，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）由余弦定理可得：42＝a2+c2﹣2ac，可得a2+c2+ac＝16．由S＝ac sin＝，可得ac＝4．∴（a+c）2＝16+ac＝20，解得a+c＝2．19.解：（1）∵向量＝（2cos2x，1），＝（2cos（2x﹣），﹣1）．∴f（x）＝•＝2cos2x2cos（2x﹣）﹣1＝4cos2x（cos2x cos+sin2x sin）﹣1＝2cos22x+2sin2x cos2x﹣1＝cos4x+﹣1＝2sin（4x+）﹣1，故函数f（x）的周期为＝．令﹣+2k，k∈Z，解得﹣，k∈Z，∴f（x）的增区间为[﹣，]，k∈Z．（2）当x∈[，]时，4x+∈[，]，﹣1，故当4x+＝时，函数f（x）取得最小值为﹣2，此时x＝．20．【解答】解：（1）证明：取EC中点F，连接MF，NF，∵AB∥CD，M，N分别为DE，BC的中点，∴NF∥BE，MF∥CD，∴MF∥AB，∵NF∩MF＝F，BE∩AB＝B，∴平面ABE∥平面MNF，∵MN⊂平面MNF，∴MN∥平面ABE；（2）当四棱锥E﹣ABCD体积最大时，E是中点，此时AE＝BE，以E为坐标原点，EB为x轴，EA为y轴，过E作平面ABE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设＝1，则AE＝BE＝，B（，0，0），C（，，），N（，，），A（0，，0），E（0，0，0），＝（0，，0），＝（，，），设平面AEN的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（，0，﹣7），平面ABE的法向量＝（0，0，1），设二面角N﹣AE﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝755 55．∴二面角N﹣AE﹣B 755．21．【解答】解：（1）由离心率为，且c2＝a2+b2，得c2＝3b2，a2＝2b2，即双曲线方程为．又点在双曲线C上，∴，解得b2＝1，a2＝2，∴双曲线C的方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），则由k1+k2＝1，得，即，解得x0＝0，不符合题意，故直线AB的斜率存在．不妨设直线AB的方程为y＝kx+t，代入，整理得（2k2﹣1）x2+4ktx+2t2+2＝0（2k2﹣1≠0），Δ＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由k1+k2＝1，得，即，整理得（2k﹣1）x1x2+（t﹣2k+1）（x1+x2）﹣4t＝0，∴，整理得：t2+（2k﹣2）t﹣1+2k＝0，即（t﹣1）（t+2k﹣1）＝0，∴t＝1或t＝1﹣2k．当t＝1时，直线AB的方程为y＝kx+1，经过定点（0，1）；当t＝1﹣2k时，直线AB的方程为y＝k（x﹣2）+1，经过定点Q（2，1），不符合题意．综上，直线AB过定点（0，1）．22．【解答】（1）解：因为f（x）＝alnx，所以g（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx（x＞0），所以g′（x）＝2x﹣（a+2）+＝，当a＞2时，＞1，所以当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，x∈（1，）时，g′（x）＜0，x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．（2）证明：由h（x）＝f（x）﹣x2＝alnx﹣x2（x＞0），则h′（x）＝﹣2x＝，①若a≤0，则h′（x）＜0恒成立，即h（x）在（0，+∞）上单调递减，h（x）最多有一个零点，不合题意；②若a＞0，令h′（x）＝0得x＝或x＝﹣（舍去），当x∈（0，）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，x∈（，+∞），h′（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）≤h（）＝ln﹣，若h（x）存在两个不同的零点x1，x2，则h（）＞0，即ln ﹣＞0，所以ln＞1，即a＞2e，当a＞2e时，又h（1）＝﹣1＜0，所以h（x）在∈（0，）上恰有一个零点，又e a＞a（a＞0），则h（e a）＝a2﹣（e a）2＜0，又a＞，所以h（x）在（，+∞）上恰有一个零点，所以a＞2e成立，由h（x1）＝h（x2）可得alnx1﹣＝alnx2﹣，即a（lnx1﹣lnx2）＝﹣，可设x1＞x2＞0，则lnx1＞lnx2，则a＝，要证a＜x12+x22，即证＜x12+x22，即证ln＞，设t＝（t＞1），即证lnt＞，设m（t）＝lnt﹣（t＞1），可得m′（t）＝﹣＝＞0恒成立，所以m（t）在（1，+∞）上单调递增，所以m（t）＞m（1）＝0，即lnt＞，则a＜x12+x22，综上可得，2e＜a＜x12+x22．。

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度白塔中学2021-2021学年高二数学下学期第二次月考试题理考试时间是是：120分钟总分：150分一.选择题〔每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合要求.把答案涂在答题卷上.〕 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．抛物线28y x =-的焦点坐标是〔〕A.()0,2- B.()2,0-C.10,32⎛⎫-⎪⎝⎭D.1,032⎛⎫-⎪⎝⎭3．函数()2()ln f x xf e x '=+，那么()f e =()A.e -B.eC.1-D.14．用数学归纳法证明()11113212224n n n n ++⋅⋅⋅+>≥++的过程中，设()111122kf k k k =++⋅⋅⋅+++，从n k =递推到1n k =+时，不等式左边为〔〕A ．()112k f k ++B ．()111212k k f k ++++ C ．()11112121k k f k k +++⋅⋅⋅+-++ D ．()11121k f k k ++-+6．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,且12CA CC CB ==，那么直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为〔〕14.14.1414.1414.A C ,02149与椭C 标轴上的双曲线中心在原点，焦点在坐5.22222222222222=-=-=-=-=-=-=-=+x y D y x C x y y x B x y y x y x y x 或或）的方程为（则双曲线为近线方程有相同的焦点，一条渐圆A ．55B ．53C ．255 D ．35 7．以下不等式在0x>时不成立．．．的是〔〕 A.ln x x <B.e x x <C.ln 1x x e +>D.1xe x >+9．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，如图是函数()()'g x xf x =的图象，那么()f x 的极值点是()A.极大值点2x =-，极小值点0x= B.极小值点2x =-，极大值点0x =C.极值点只有2x =-D.极值点只有0x=二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在答题卷的横线上.〕13．2214(2)dt t+=⎰__________． 14．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式有.15．抛物线24y x =的准线与双曲线22221(00)x y a b a b，-=>>交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，假设FAB ∆为直角三角形，那么双曲线离心率的取值范围是. 16．定义在R 上的函数()f x 满足:()'()1f x f x +>,(0)4f =,那么不等式()3x x e f x e >+的解集为．三.解答题〔17题10分，18-22每一小题12分，一共70分.在答题卷上解答，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.〕〔2〕21i -〔i 是虚数单位〕是关于x 的方程10mx n +-=的根，m 、n ∈R ，求m n +的值。

2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第二次月考数学试题一、单选题1．202220212020819811980⨯⨯⨯⨯等于（ ） A ．19802022A B ．412022A C ．422022A D ．432022A【答案】D【分析】根据排列数公式判断即可；【详解】解：因为19802022一共有20221980143-+=个数，所以4320220A 20222021202081981198⨯⨯⨯⨯=，故选：D2．从2名男生和4名女生中选3人参加校庆汇报演出，其中至少要有一男一女，则不同的选法共有（ ） A ．16种 B ．32种 C ．95种 D ．192种【答案】A【分析】依题意分选出的3人为1男2女和选出的3人为2男1女两类，按分类计数原理求解即可【详解】若选出的3人为1男2女的情况有1224C C 种．若选出的3人为2男1女的情况有2124C C 种．所以至少要有一男一女的选法有21122424C C C C 16+=，故选：A3．下面几种概率是条件概率的是（ ）A ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率B ．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率C ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率D ．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，小明在一次上学途中遇到红灯的概率 【答案】C【分析】根据条件概率的定义一次对选项进行判断即可.【详解】由条件概率的定义：某一事件已发生的情况下，另一事件发生的概率． 选项A ：甲乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率；选项B ：抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率； 选项C ：甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率； 选项D ：一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率． 故选：C4．下列结论正确的是（ ）A ．若()2sin f x x x =+，则()cos 2f x x x '=-+B ．若()f x ()f x '=C ．若()2f x =，则()2f x '=D ．若()()321f x x =-，则()()2321f x x ='- 【答案】B【分析】根据导数运算法则，结合基本函数的导数公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，()2sin f x x x =+，()cos 2f x x x ='+，故A 错误；对于B 选项，()12f x x =，()1212f x x -'=⋅=B 正确；对于C 选项，()2f x π=，()0f x '=，故C 错误；对于D 选项，()()321f x x =-，()()()23'3212621f x x x =-⋅=-，故D 错误． 故选：B 5．函数31226y x x =-+的极小值点是（ ） A ．2 B ．23-C ．2-D ．143【答案】A【分析】利用极值点的定义求解. 【详解】解：由题意得：∵31226y x x =-+， ∴2122y x '=-， 令0y '=，则2x =±，当(),2x ∞∈--时，0y '>，函数31226y x x =-+单调递增 当[]2,2x ∈-时，0y '≤，函数31226y x x =-+单调递减 当()2,x ∈+∞时，0y '>，函数31226y x x =-+单调递增 故2x =是函数的极小值点.故选：A6．将三颗骰子各掷一次，设事件A =“三个点数都不同”，B =“至少出现一个6点”，则条件概率()P B A 的值是（ ） A ．6091B ．12C ．518D ．91216【答案】B【分析】根据题意，计算()P AB ，()P A ，进而结合条件概率公式求解即可.【详解】根据条件概率的含义，()P B A 其含义为在A 发生的情况下，B 发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”的概率，因为()23533C A 5618P AB ==，()363A 569P A ==，所以()()()5118529P AB P B A P A ===． 故选：B7．()()52x y x y +-的展开式中的33x y 系数为（ ） A ．30 B ．10 C ．30- D ．10-【答案】B【分析】求得()5x y -的通项，令3r =和2r =，即可求出答案.【详解】因为()()()()55522x y x y x x y y x y +-=-+-，()5x y -的通项为：()515C rr rr T x y -+=-令3r =，则()33245=C T x y -，令2r =，则()22335=C T x y -，所以33x y 的系数为()()32325512C 110C 2010-+-=-+=．故选：B.8．回文联是我国对联中的一种，用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味，相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”．如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成3位“回文数”的个数为（ ） A ．30 B ．36C ．360D ．1296【答案】B【分析】根据题意，第一步选择第一位数，第二步选择第二位数，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，第一步选择第一位数，有6种方法，第二步选择第二位数，有6种方法，利用分步计数原理，共有6636⨯=种． 故选：B. 二、多选题9．若随机变量X 的分布列如下，则（ ）A ．10t =B ．()10.8P X >=C ．11t =D ．()30.6P X ≥=【答案】AD【分析】由分布列的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】因为()112341t+++=，解得10t =，故A 正确，C 错误． 由分布列可知：()()11110.10.9P X P X >=-==-=，故B 错误；()30.40.20.6P X ≥=+=，故D 正确.故选：AD.10．已知2nx⎛⎝的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是（ ）A ．二项展开式中各项系数之和为63B ．二项展开式中二项式系数最大的项为32160xC ．二项展开式中有常数项D ．二项展开式中系数最大的项为390x【答案】ABC【分析】根据二项式系数和得6n =，进而根据二项式展开式，二项式系数的性质等依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为2nx⎛⎝的二项展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以题中二项式为62x ⎛⎝，二项式展开式的通式公式为：()3666216622rr rrr r r T C x C x ---+==， 对于选项A ，令1x =，可得二项展开式中各项系数之和为63，所以选项A 正确； 对于选项B ，第4项的二项式系数最大，此时3r =，则二项展开式中二项式系数最大的项为336336322462160T C xx -⨯-==，所以选项B 正确；对于选项C ，令3602r -=，则4r =，所以二项展开式中的常数项为36446426260C x -⨯-=，所以选项C 正确；对于选项D ，令第1r +项的系数最大，则()()6161666161662222r r r r r r r r C C C C -----+-+⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，解得5733r ≤≤， 因为*r N ∈，所以2r =时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为 2433362240T C x x ==，所以选项D 错误．故选：ABC11．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ） A ．若任意选科，选法总数为1224C C B ．若化学必选，选法总数为1123C CC ．若政治和地理至多选一门，选法总数为11112222C C C C +D ．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为111222C C C + 【答案】ABC【分析】根据题意，结合分类计数原理和分步计数原理，利用组合数的计算公式，逐项计算，即可求解.【详解】对于A 中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余的四科中任选2科， 根据分步计数原理，可得选法总数为1224C C 种，所以A 正确； 对于B 中，先从物理、历史中选1门，有12C 种选法，若化学必选，再从生物、政治、地理中再选1门，有13C 种选法， 由分步计数原理，可得选法共有1123C C 种，所以B 正确； 对于C 中，先从物理和历史中选1门，有12C 种选法，若从政治和地理中只选1门，再从化学和生物中选1门，有1122C C 种选法， 若政治和地理都不选，则从化学和生物中选2门，只有1中选法， 由分类计数原理，可得共有111222(1)C C C +，所以C 正确； 对于D 中，若物理必选，只有1种选法，若化学、生物只选1门，则在政治、地理中选1门，有1122C C 种选法， 若化学、生物都选，则只有1种选法，由分类计数原理，可得选法总数为11221C C +，所以D 错误. 故选：ABC.12．过点(),0P a 作曲线x y xe =的切线，若切线有且仅有两条，则实数a 的值可以是（ ） A ．2 B ．0 C ．4- D ．6-【答案】AD【分析】设切点为000(,)xx x e ，求得切线方程为：()()000001x x y x e x e x x -=+-，将切线过点(,0)P a ，代入切线方程，得到2000x ax a --=有两个解，结合0∆>，即可求解．【详解】由题意，函数x y xe =，可得(1)x y x e '=+设切点为000(,)xx x e ，则000|(1)x x x y x e ='=+， 所以切线方程为：()()000001x xy x e x e x x -=+-，切线过点(,0)P a ，代入得()()000001x x x e x e a x -=+-，即方程2000x ax a --=有两个不同解，则有240a a ∆=+>，解得0a >或4a ．故选：AD. 三、填空题13．已知X 是一个离散型随机变量，分布列如表，则常数c 的值为__________．【答案】13【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，列出方程组，即可求解.【详解】由离散型随机变量分布列的性质，可得22903809381c c c c c c ⎧-≥⎪-≥⎨⎪-+-=⎩，解得13c =.故答案为：13.14．118除以9的余数是__________. 【答案】8【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】()1111819=-+，展开式的通项公式为()111119kkk C -⋅-⋅，当0k =时，为()11011191C ⋅-⋅=-. 所以118除以9的余数是198-+=. 故答案为：815．已知一个盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，则事件“第二次取到一等品”的概率为__________．【答案】340.75【分析】分析可得所求事件可分为第一次取到的是一等品，第二次取到的是一等品，和第一次取到的是二等品，第二次取到的是一等品，即可求得答案.【详解】设事件“第二次取到一等品”为事件A ，可分为第一次取到的是一等品，第二次取到的是一等品，和第一次取到的是二等品，第二次取到的是一等品，所以()3213343434P A =⨯+⨯=．故答案为：3416．()5231x x ++的展开式中2x 的系数为__________．【答案】95【分析】将2x ，3x ，1看作三个不同的对象，把问题可转化为将5个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题求解.【详解】解：将2x 看作对象甲，3x 看作对象乙，1看作对象丙， 则题设可转化为将5个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题，则要得到2x ，则给甲1个元素，给乙0个元素，给丙4个元素， 或给甲0个元素，给乙2个元素，给丙3个元素，即2x 的系数为1422551395C C ⨯+⨯=．故答案为：95 四、解答题17．已知()727012712x a a x a x a x -=++++.求：(1)1237a a a a ++++；(2)1357a a a a +++. 【答案】(1)2-； (2)1094-.【分析】（1）（2）根据给定的二项式的展开式，利用赋值法计算作答.【详解】(1)依题意，令()7()12f x x =-，当0x =时，0(0)1a f ==，当1x =时，()701234567(1)1211a a a a a a a a f =+++++++=-⨯=-， 所以，1237(1)(0)2a f a a f a =-++++=-.(2)由（1）知，当1x =-时，7012345673218(71)a a a a a a a a f ++==-+---=-， 因此，1357(1)(1)12187109422f f a a a a ----+++===-. 18．某种产品的加工需要经过5道工序．（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ （3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ （4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 【答案】（1）96，（2）36，（3）48，（4）72【分析】（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，再将剩余的4道工序全排列即可；（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，再将剩余的3道工序全排列；（3）先排这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列；（4）先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空【详解】解：（1）先从另外4道工序中任选1道工序放在最后，有14C 4=种不同的排法，再将剩余的4道工序全排列，有4424A =种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有42496⨯=种加工顺序；（2）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有236A =种不同的排法，再将剩余的3道工序全排列，有336A =种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有6636⨯=种加工顺序；（3）先排这2道工序，有222A =种不同的排法，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列，有4424A =种不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有22448⨯=种加工顺序；（4）先排其余的3道工序，有336A =种不同的排法，出现4个空位，再将这2道工序插空，有2412A =种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有61272⨯=种加工顺序，19．已知等差数列{}n a 中11a =，公差为()0d d ≠，n S 为其前n 项和，且1S ，3S ，9S 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前2022项的和2022T ． 【答案】(1)21n a n =- (2)202220224045T =【分析】（1）利用基本量法求解即可；（2）由（1）有21n a n =-，再利用裂项求和求解即可【详解】(1)等差数列{}n a 中11a =，公差为d （0d ≠），n S 为其前n 项和，且1S ，3S ，9S 成等比数列．所以111S a ==，333S d =+，9936S d =+．1S ，3S ，9S 成等比数列．所以()233936d d +=+，又因为0d ≠， 解得2d =．所以21n a n =-． (2)因为21n a n =-，故()()111111212122121n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭． 11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭． 所以21n n T n =+．所以202220224045T =．20．某工厂生产一种航天仪器零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.6，得到的不合格零件可以进行一次技术处理，技术处理费用为100元/件，技术处理后得到合格零件的概率为0.5，得到的不合格零件成为废品． (1)求得到一件合格零件的概率；(2)合格零件以1500元/件的价格销售，废品以100元/件的价格被回收．零件的生产成本为800元/件，假如每件产品是否合格相互独立，记X 为生产一件零件获得的利润，求X 的分布列． 【答案】(1)0.8 (2)答案见解析【分析】（1）设事件A ：“一次性成型即合格”，设事件B ：“经过技术处理后合格”，求得(),()P A P B 的值，结合互斥事件的概率公式，即可求解；（2）根据题意，得到随机变量X 可取700，600，800-，求得相应的概率，即可得出X 的分布列.【详解】(1)解：设事件A ：“一次性成型即合格”，设事件B ：“经过技术处理后合格”， 则()0.6P A =，()()10.60.50.2P B =-⨯=．所以得到一件合格零件的概率为()()0.8P P A P B =+=． (2)解：若一件零件一次成型即合格，则1500800700X =-=． 若一件零件经过技术处理后合格，则1500800100600X =--=． 若一件零件成为废品，则800100100800X =-+=--． 所以X 可取700，600，800-，则()7000.6P X ==，()()60010.60.50.2P X ==-⨯=，()()()80010.610.50.2P X =-=-⨯-=，所以随机变量X 的分布列为21．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A =AB ，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）试确定点F 的位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°． 【答案】（1）见解析（2）当点F 为BC 中点时，平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°【分析】（1）证明PA BC ⊥．AB BC ⊥，推出BC ⊥平面PAB ．得到AE BC ⊥．证明AE PB ⊥，得到AE ⊥平面PBC ．然后证明平面AEF ⊥平面PBC ．（2）分别以,,AB AD AP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方形ABCD 的边长为2，求出为平面AEF 的法向量，平面PCD 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【详解】解：（1）∵P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ∴P A ⊥BC ∵ABCD 为正方形 ∴AB ⊥BC又 P A ∩AB =A ，P A ，AB ⊂平面P AB ∴BC ⊥平面P AB ∴AE ⊂平面P AB ∴AE ⊥BC∵P A =AB ，E 为线段PB 的中点 ∴AE ⊥PB又 PB ∩BC =B ，PB ，BC ⊂平面PBC ∴AE ⊥平面PBC（2）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设正方形ABCD 的边长为2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0）P （0，0，2）E （1，0，1）∴(1,0,1)AE =，(2,2,2)PC =-，(0,2,2)PD =- 设F （2，λ，0）（0≤λ≤2）， ∴(2,,0)AF λ=设平面AEF 的一个法向量为()111,,n x y z =则·0·0n AE n AF ⎧=⎨=⎩∴1111020x z x y λ+=⎧⎨+=⎩ 令y 1=2，则11x z λλ=-⎧⎨=⎩ ∴(,2,)n λλ=-设平面PCD 的一个法向量为()222,,m x y z =则·0·0m PC m PD ⎧=⎨=⎩∴2222200x y z y z +-=⎧⎨-=⎩ 令y 2=1，则2201x z =⎧⎨=⎩ ∴()0,1,1m =∵平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°，∴2cos302m n m n︒===⨯ 解得λ=1，∴当点F 为BC 中点时，平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°【点睛】本题考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直的证明，二面角等基础知识，考查学生的逻辑推理能力，化归与转化能力和空间想象能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算．22．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，抛物线上一点()(),20A m m >到F 的距离为3． (1)求抛物线C 的方程：(2)设直线l 与抛物线C 交于D ，E 两点，抛物线C 在点D ，E 处的切线分别为1l ，2l ，若直线1l 与2l 的交点恰好在直线3y =-上，证明：直线l 恒过定点． 【答案】(1)24x y = (2)证明见解析【分析】（1）由抛物线的定义即可求解；（2）设直线l 的方程并与抛物线方程联立，写出韦达定理和两条切线方程，将两切线方程联立可得交点坐标，根据交点在直线3y =-上，即可得到所求定点. 【详解】(1)由抛物线C ：22x py =上一点(),2A m 到F 的距离为3， 可得232p+=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =． (2)证明：设211,4x D x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x E x ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx n =+，联立方程24y kx nx y=+⎧⎨=⎩，整理得2440x kx n --=，所以216160k n ∆=+>，且124x x k +=，124x x n =-， 又由24x y =，可得=2x y '，所以抛物线C 在点D 处的切线1l 的方程为()211124x x y x x =-+，即21124x x y x =-，同理直线2l 的方程为22224x x y x =-，联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得122x x x +=，124x x y =，又因为直线1l 与2l 的交点恰好在直线y ＝－3上， 所以，1234x x =-即1212x x =-，所以12412x x n =-=-，解得3n =， 故直线l 的方程为3y kx =+，所以直线l 恒过定点()0,3．。

2021-2022学年河南省中原名校高二下学期第二次联考数学（理）试题一、单选题1．若p 是真命题，q 是假命题，则 A ．p q ∧是真命题 B ．p q ∨是假命题 C ．p ⌝是真命题 D ．q ⌝是真命题【答案】D【详解】试题分析：因为p 是真命题，q 是假命题，所以p q ∧是假命题，选项A 错误，p q ∨是真命题，选项B 错误，p ⌝是假命题，选项C 错误，q ⌝是真命题，选项D 正确，故选D.【解析】真值表的应用.2．已知抛物线准线方程为2x =-，则其标准方程为（ ） A ．28x y = B ．28x yC ．28y x =D ．28y x =-【答案】C【分析】根据已知条件，判断抛物线的开口方向并求出p ，即可得到抛物线的标准方程. 【详解】根据题意可知，抛物线开口向右且4p =，故抛物线的标准方程为：28y x =. 故选：C.3．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是它们所在线段的中点，则满足1//A F 平面1BD E 的图形个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】平移直线1A F ，判断平移后的直线：在平面1BD E 上，则1//A F 平面1BD E ，与平面1BD E 交于一点则不平行，即可得解．【详解】①中，平移1A F 至1D F '，可知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与平面1BD E 不平行；②中，由于11//A F D E ，而AF ⊄平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，故1//A F 平面1BD E ； ③中，平移1A F 至1D F '，可知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与平面1BD E 不平行；故选：B ．4．方程22142x y m m+=+-表示椭圆的充要条件是（ ）A ．(4,1)m ∈--B ．(4,1)(1,2)m ∈--⋃-C ．()4,2m ∈-D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】根据4,2m m +-为正数且不相等列不等式求解即可.【详解】方程22112x ym m +=+-表示椭圆则402042m m m m+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，即(4,1)(1,2)m ∈--⋃-； 若(4,1)(1,2)m ∈--⋃-，则22142x y m m+=+-表示椭圆， 所以方程22142x y m m+=+-表示椭圆的充要条件是(4,1)(1,2)m ∈--⋃-， 故选：B5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=【答案】A【分析】由题意将点代入椭圆方程，结合离心率公式即可得解.【详解】依题意可得2222131412a a b a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， 故C 的方程是22143x y +=. 故选：A.【点睛】本题考查了通过椭圆经过的点及离心率确定椭圆方程，考查了运算求解能力，属于基础题.6．如图，点M 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，则异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是（ ）A ．105B ．255C ．55D ．1010【答案】A【分析】连接1AD ，1D M ，根据异面直线所成角的定义，转化为求1D AM ∠（或其补角），然后在三角形1D AM 中用余弦定理即可解得. 【详解】连接1AD ，1D M ，如图：易得11//AD BC ，所以1D AM ∠（或其补角）是异面直线AM 与BC 1所成角， 设正方体的棱长为a ，1AD 2a ，15AM D M ==，在三角形1D AM 中，2221111cos 2AD AM D M D AM AD AM +-∠=⋅⋅222552445222a a a a a +-=⨯⨯105=， 所以异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是105. 故选：A【点睛】本题考查了求异面直线所成角，通过找平行线转化为两条相交直线所成角（或其补角）是解题关键，属于基础题.7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D【详解】试题分析：m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.【解析】点线面的位置关系.8．已知F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为椭圆22221x y a b+=的两个焦点，P 为椭圆上一点且12PF PF ⋅=c 2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．32⎡⎢⎣⎦D ．2⎛ ⎝⎦【答案】C【详解】设222222212(,),2P x y PF PF x c y c x y c ⋅=-+=∴+=， 所以2222222222(2)32[0,]23b a c y b c a c e a b -=∈∴≤≤≤≤-，选C. 9．过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点()1,0F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，O 为坐标原点，若AOB 的面积为83，则双曲线的渐近线方程为A ．32y x =± B ．2y x =± C ．23y x =±D ．2y x =±【答案】B【详解】由题得222222812881(1)1(2)3233AOB b b b AB S a b aa a ∆==∴⨯⨯=∴=+=解（1）（2）得12233a b ==，所以双曲线的渐近线方程为22b y x x a =±=±，故选B.10．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为（ ）A ．12B ．22C ．13D ．16【答案】C【分析】以D 为坐标原点， 1,,D C D A D D ，分别为x 轴，y 输、z 轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图，以D 为坐标原点， 1,,D C D A D D ，分别为x 轴，y 输、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,1,1,1,0,1,0,0,0,2,0D E A C ．从而()11,1,1,1(1,2,0)(1,),0,1E AC D AD ==-=--.设平面1ACD 的法向量为(),,n a b c =，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩，得2a b a c =⎧⎨=⎩， 令2a =，则()2,1,2n =，所以点E 到平面1ACD 的距离为1||212133||D E h n n +-==⋅=．故选：C11．如图所示，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD -，使平面ABD ⊥平面BCD ，则下列说法中不正确．．．的是（ ）A ．平面ACD ⊥平面ABDB ．AB CD ⊥C ．平面ABC ⊥平面ACD D ．AD ⊥平面ABC【答案】D【分析】选项A . 由面面垂直的性质可得到CD ⊥平面ABD ，从而判断；选项B. 由条件可得AB AD ⊥，根据面面垂直可得AB ⊥平面BCD ，从而可判断；选项C. 由线面垂直的判定可得AB ⊥平面ACD ，从而可判断；选项D. 若AD ⊥平面ABC ,则可得则AD AC ⊥，从而得到矛盾，即可判断.【详解】选项A . 由平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =, 又BD CD ⊥，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD 由CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ，故A 正确. 选项B . 由上有CD ⊥平面ABD ，又AB平面ABD ，则AB CD ⊥，故B 正确.选项C . 由上可知AB AD ⊥，AB CD ⊥，且AD CD D =, 所以AB ⊥平面ACD , 又AB平面ABC ,所以平面ABC ⊥平面ACD ，故C 正确.选项D . 由上有CD ⊥平面ABD ，又AD ⊂平面ABD ，则AD CD ⊥若AD ⊥平面ABC ，由AC ⊂平面ABC ,则AD AC ⊥,这与AD CD ⊥相矛盾，故D 不正确. 故选：D12．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，,A B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB ∠=，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】设=AF a ，=BF b ，利用抛物线定义可得2a bMN +=；在ABF 中根据余弦定理，利用,a b 表示出2AB ，结合基本不等式可求得MN AB的最大值.【详解】设抛物线准线为l ，作AP l ⊥，BQ l ⊥，MN l ⊥，垂足分别为,,P Q N ， 设=AF a ，=BF b ，由抛物线定义可知：AF AP a ==，BF BQ b ==，22AP BQa bMN ++∴==， 在ABF 中，由余弦定理得：()2222222cos603AB a b ab a b ab a b ab =+-=+-=+-， ()()()222221334a b a bMN AB a b ab a b a b ++∴=≤=+-+-+（当且仅当a b =时取等号）， 即MN AB的最大值为1.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线中与线段长度有关的最值问题的求解，解题关键是能够结合抛物线的定义，利用焦半径表示出所需的线段长，从而利用基本不等式求得结果. 二、填空题13．已知向量 ()()2,3,1,2,,2a b k =-=，且 a b ⊥，则实数 k = ________________． 【答案】2【分析】0a b a b ⊥⇔⋅=，利用向量的数量积的坐标运算即可. 【详解】0a b a b ⊥⇔⋅=，则22(3)120k ⨯+-⨯+⨯=，解得2k = 故答案为：214．经过点(2,2)A -且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程为_________．【答案】22124x y -= 【详解】由题意设所求双曲线的方程为22(0)2x y λλ-=≠，∵点()2,2-在双曲线上， ∴4422λ=-=-， ∴所求的双曲线方程为2222x y -=-，即22124y x -=．答案：22124y x -=15．函数21()e 2x f x x ax =--是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是______．【答案】1a ≤【分析】对()f x 求导，由题设有e x a x ≤-恒成立，再利用导数求e x y x =-的最小值，即可求a 的范围.【详解】由题设，()e x f x x a '=--，又()f x 在 R 上的单调递增函数， ∴e x a x ≤-恒成立，令e x y x =-，则e 1x y '=-，∴当(,0)x ∈-∞时0y '<，则y 递减；当,()0x ∈+∞时0y '>，则y 递增. ∴min 0|1x y y ===，故1a ≤. 故答案为：1a ≤.16．已知函数()f x '是函数()f x 的导函数,()1e f =,对任意实数x 都有()()20f x f x '->,则不等式()1e ex xf x -<的解集为___________.【答案】()1,∞+ 【详解】令()()2e xf x F x =，则()()()220e xf x f x F x '-'=<，∴()F x 在R 上是减函数． 又()1e ex xf x -<等价于()()1F x F <．∴1x >．故不等式的解集是()1∞+，． 答案：()1∞+，． 点睛：本题考查用构造函数的方法解不等式，即通过构造合适的函数，利用函数的单调性求得不等式的解集，解题时要注意常见的函数类型，如在本题中由于涉及到e x ，故可从以下两种情况入手解决：（1）对于()()0(0)f x f x '+><，可构造函数()()x h x e f x =；（2）对于()()0(0)f x f x '-><，可构造函数()()xf x h x e =．三、解答题17．（1>（2）请用反证法证明：设0b >，0a >，则1a b +与1b a+中至少有一个不小于2．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）应用分析法，将要证的结论转化为证明一个显而易见的结论即可； （2）首先否定结论：假设1a b +与1b a+都小于2成立，结合基本不等式求证一个相互矛盾的结论即可.【详解】证明：（1>只需证：22>只需证：213213a a ++++>只需证：2213421340a a a a ++>++ 只需证：4240>，而4240>显然成立， ∴原不等式得证．（2）假设结论不成立，即1a b +与1b a+都小于2，则11224a b b a +++<+=①而由基本不等式，知：12a a+≥，12b b+≥，当且仅当1,1a b ==时等号成立， ∴1111224a b a b b a a b+++=+++≥+=与①式矛盾，∴假设不成立，原命题成立．18．已知函数()()32391f x x x x x R =--+∈．（1）求函数()f x 的单调区间．（2）若()210f x a -+≥对[]2,4x ∀∈-恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）单调增区间,1,()(3),-∞-+∞ 单调减区间()1,3- （2）252a ≤-【详解】试题分析：（1）对函数()f x 求导，令()0f x '>，解不等式，即得到递增区间，令0fx，解不等式，即得递减区间；（2）若()210f x a -+≥对[]2,4x ∀∈-恒成立，即()21f x a ≥-对[]2,4x ∀∈-恒成立，所以问题转化为求()min 21f x a ≥-成立即可，即求函数()f x 在区间[]2,4-上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在[]2,4-上的最小值，于是可以求出a的取值范围．试题解析：（1）令，解得或，令，解得：.故函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，，∴，∵对恒成立，∴，即，∴19．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的分布列为0 1 2 3Eξ=的数学期望2【详解】试题分析：对于问题（I）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率p；对于问题（II），首先列出两人共命中的次数ξ的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出ξ取各个值时所对应的概率，就可得到ξ的分布列．试题解析：（I）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.由题意得221(1())(1)16P B p -=-=解得34p =或54（舍去），所以乙投球的命中率为34. （II ）由题设知（I ）知1()2P A =，1()2P A =，3()4P B =，1()4P B =， ξ可能取值为0,1,2,3故2111(0)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=，12(1)()()()()()P P A P B B C P B P B P A ξ==⋅+⋅⋅2113117()22444232=⨯+⨯⨯⨯=， 2139(3)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=15(2)1(0)(1)(3)32P P P P ξξξξ==-=-=-==ξ的分布列为171590123232323232E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【解析】1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.20．为推行“新课堂”教学法，某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，若成绩大于70分为“成绩优良”.(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”? 甲班乙班总计成绩优良 成绩不优良(2)从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人，记ξ为所抽取的2人中来自乙班的人数，求ξ的分布列及数学期望. 附:K 2=2(-)()()()()n ad bc a c b d a b c d ++++(n =a +b +c +d )，【答案】(1)表格见解析，能 (2)分布列见解析，23【分析】（1）根据茎叶图中的数据，统计出甲、乙两班“成绩优良”及“成绩不优良”的人数，填入列联表，计算2K 的观测值，与3.841进行比较即可得出结论.（2）根据茎叶图得出ξ的所有可能取值，分别计算概率，列出分布列，根据分布列求数学期望.【详解】(1)根据茎叶图中的数据作出22⨯列联表如表所示：根据22⨯列联表中的数据，得2K 的观测值为2240(104-1610) 3.956 3.84126142020K ⨯⨯⨯≈>⨯⨯⨯=， 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”. (2)样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人，乙班有2人， 所以ξ的所有可能取值为0,1,2，则2426C (0)C P ξ===25，114226C C 8(1)C 15P ξ===， 2226C (2)C P ξ===115， 则随机变量ξ的分布列为：P25 815 115则数学期望2812()012515153E ξ=⨯⨯⨯=++. 21．近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的A 县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量x （单位：千辆）与年使用人次y （单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x 与年使用人次y 的散点图如图所示. x1 2 3 4 5 6 7y 6 11 21 34 66 101 196（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型lg =+y a b x 或指数函数模型(0,0)=⋅>>x y c d c d 对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量x 与年使用人次y 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出y 关于x 的回归方程；（2）已知每辆单车的购入成本为200元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次0.2元，按用户每使用一次，收费1元计算，若投入8000辆单车，则几年后可实现盈利？ 参考数据：其中lg i i v y =，17ni v v =∑.y v 71i ii x y=∑71i ii x v=∑0.541062.14 1.542535 50.12 3.47参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…(),n n x y ，其回归直线ˆˆay bx =-的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑.【答案】（1）x y c d =⋅适宜，0.25ˆ 3.4710x y =⨯；（2）6年.【分析】（1）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜；由x y c d =⋅两边同时取对数得lg lg lg y c x d =+，设lg y v =，则lg lg v c x d =+，根据参考数据以及参考公式首先求出v x ，的回归直线方程进而求出结果；（2）将8000代入回归直线方程可得年使用人次，求出每年收益与总投资，则可求出结果.【详解】（1）由散点图判断，x y c d =⋅适宜作为投放量x 与年使用人次y 的回归方程类型.由x y c d =⋅，两边同时取常用对数得()lg lg lg lg xy c d c x d =⋅=+.设lg y v =，则lg lg v c x d =+.因为4x =， 1.54v =，721140i i x ==∑，7150.12==∑i i i x v ，所以7172217lg 7==-==-∑∑i i i ii x v x vd xx 250.1274 1.5470.251407428-⨯⨯==-⨯.把(4,1.54)代入lg lg =+v c x d ，得lg 0.54c =， 所以ˆ0.540.25vx =+，所以ˆlg 0.540.25y x =+， 则0.540.250.25ˆ10 3.4710x x y+⨯==， 故y 关于x 的回归方程为0.25ˆ 3.4710x y=⨯. （2）投入8千辆单车，则年使用人次为0.2583.4710347⨯⨯=千人次， 每年的收益为347(10.2)277.6⨯-=（千元）， 总投资800020016000001600⨯==千元，假设需要n 年开始盈利，则277.61600⨯>n ，即 5.76>n ， 故需要6年才能开始盈利. 22．已知函数()sin e xxf x =，()0,x π∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若12x x ≠，且()()12f x f x =，证明：122x x π+>．【答案】（1）在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出()cos sin exx x f x -'=，得出当04x π<<时，()0f x '>；当4ππ<<x 时()0f x '<即可求解；（2）通过分析法将原问题转化为证明()112f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭，构造()()2sin cos 2e e x x x xg x f x f x ππ-⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，利用导数研究其单调性即可.【详解】（1）()cos sin e xx xf x -'=，0πx <<，由()0f x '=得4x π=，当04x π<<时，()0f x '>；当4ππ<<x 时()0f x '<，∴()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）∵12x x ≠，且()()12f x f x =， ∴由（1）知，不妨设1204x x ππ<<<<．要证122x x π+>，只需证明212x x π>-，而1422x πππ<-<，()f x 在,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故只需证明()212f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭．又()()12f x f x =，∴只需证明()112f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭．令函数()()22sin sin sin cos 22e e e e x x x x x x x x g x f x f x ππππ--⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=-=- ⎪⎝⎭， 则()2222cos sin sin cos 11e e (cos sin )(cos sin )ee e e e x xxx x x x x x x g x x x x x ππππ---⎛⎫--- ⎪'=+=--=-⋅ ⎪⎝⎭. 当04x π<<时，cos sin 0x x ->，2x x π->，故()0g x '>，∴()g x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上()0444g x g f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()112f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭成立，故122x x π+>成立．。

泉港一中2021-2021学年度高二下学期第二次月考单位：乙州丁厂七市润芝学校 时间：2022年4月12日 创编者：阳芡明数学试题〔文科〕〔考试时间是是：120分钟 总分：150分〕第一卷〔选择题 一共60分〕一．选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1. 设}2|{->∈=x Q x A ，}2|{<∈=x R x B ，，那么以下结论中正确的选项是 ( )A ．A ∈2B ．)2,2(-=⋂B AC ．R B A =⋃D ．B A ⋂∈1 2. a R ∈，那么“1a〞是“11<a〞的 〔 〕 A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件 D ．必要不充分条件 3．命题02,:>∈∀xR x P ，那么命题p ⌝是〔 〕A ．02,00≤∈∃xR x B ．02,≤∈∀xR x C ．02,0<∈∃xR x D ．02,<∈∀xR x 4．假设函数x y a log =的图像经过点〔3,2〕，那么函数1+=x a y 的图像必经过点( ) A.〔2,2〕 B.〔2,3〕 C. 〔3,3〕 D.〔2,4〕 5. 以下函数中,在(0)+∞，上单调递增又是偶函数的是 〔 〕A.3y x =B. y ln x =C.21y x=D.1-=x y 6. 以下命题中，假命题是 ( ) A ．命题“面积相等的三角形全等〞的否命题B．,s i n x R x ∃∈C ．假设xy=0，那么|x|+|y|=0〞的逆命题D ．),,0(+∞∈∀x 23xx< 7．设0.3113211l o g2,l o g ,32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，那么 ( )A 、a b c << B 、 b a c << C 、b c a << D 、a c b << 8. 方程4=+x e x的解所在的区间是 〔 〕 A ．()1,0- B ． ()0,1 C ．()1,2 D ．()2,39.函数y ＝|x|axx(a>1)的图像的大致形状是 ()10. 定义在R 上的函数⎩⎨⎧>---≤-=0)2()1(0)1(log )(2x x f x f x x x f ,那么)2018(f 的值是〔 〕 A ．-11.假设函数()y f x =〔R x ∈〕满足()()1f x f x +=-，且[]1,1x ∈-时，()21f xx =-，函数()lg ,01,0x x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，那么函数()()()h x f x g x =-在区间[-4,5]内的零点的个数为 A ．7 B ．8 C ．9 D ．1012． 函数,log )31()(2xx x f -=实数c b a ,,满足)0(0)()()(c b a c f b f a f<<<<⋅⋅假设实数0x 为方程0)(=x f 的一个解，那么以下不等式中，不可能．．．成立的是 〔 〕 A ．0x a < B ． 0x b > C ．0x c < D ．0x c >第二卷〔非选择题 一共90分〕二.填空题：一共4小题，每一小题5分，一共20分，将答案写在答题纸的相应位置． 13二次函数4)(2++=mx x x f ，假设)1(+x f 是偶函数，那么实数m = ． 14. 3log 1552245log 2log 2+++______．15．函数()()()()3141l o g 1a a x a x f x x x -+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是R 上的单调递减函数，那么a 的取值范围是________．16．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，假设对任意[],x a b ∈，都有 |()()|1f x g x -≤成立，那么称()f x 和()g x 在[],a b 上是“亲密函数〞，区间[],a b 称为“亲密区间〞.假设2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[],a b 上是“亲密函数〞，那么其“亲密区间〞可以是_________.①[1.5，2] ②[2，2.5] ③[3，4] ④ [2，3]三．解答题：本大题有6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 17．(本小题满分是10分)a >0，a ≠1，设p ：函数2+=x a y 在(0，＋∞)上单调递增，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图像与x 轴交于不同的两点．假如p ∧q 真，务实数a 的取值范围．18．(本小题满分是12分)函数)1(log )(2-=x x f 的定义域为A ，函数)32(12)(≤≤-=x x x g 的值域为B.（I ）求B A ⋂；（II ）假设}12|{-≤≤=a x a x C ，且B C ⊆，务实数a 的取值范围.19．〔本小题满分是12分〕 幂函数)()(*322N m xx f m m ∈=--的图象关于y 轴对称，且在〔0，+∞〕上是减函数． 〔1〕求m 的值和函数f 〔x 〕的解析式 〔2〕解关于x 的不等式)21()2(x f x f -<+20.〔本小题满分是12分〕某公司对营销人员有如下规定(1)年销售额x 在8 万元以下,没有奖金,(2) 年销售额x (万元), ]64,8[∈x ,奖金y 万元, x y y a log ],6,3[=∈,且年销售额x 越大,奖金越多,(3) 年销售额超过64万元,按年销售额x 的10%发奖金. (1) 确定a 的值，并求奖金y 关于x 的函数解析式.(2) 某营销人员争取年奖金]10,4[∈y (万元),年销售额x 在什么范围内?21.〔本小题满分是12分〕函数 2()21(0)g x a x a x b a =-++>在区间[2，3]上有最大值4和最小值1。

一中2021-2021-2学期高二年级期中考试试题数学〔理科〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.设是虚数单位，复数在复平面内对应的点在直线上，那么实数的值是〔〕A. 1B. 0C. -1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算得，得到复数在复平面内对应的点为，代入直线的方程，即可求解．【详解】由题意，复数，所以复数在复平面内对应的点为，那么，解得，应选C．【点睛】此题主要考察了复数的运算，以及复数的表示的应用，其中解答熟记复数的运算法那么，准确运算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．2.假设函数，那么〔〕A. 0B. 2C. 1D.【答案】A【解析】求函数f〔x〕=x3﹣f′〔1〕•x2﹣x的导数，得，f′〔x〕=x2﹣2f′〔1〕x﹣1，把x=1代入，得，f′〔1〕=1﹣2f′〔1〕﹣1∴f′〔1〕=0故答案为：A.3.有一段“三段论〞推理是这样的：对于可导函数，假如，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点．以上推理中〔〕A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】【分析】使用三段论推理证明，我们分析出“对于可导函数，假设，且满足当和时导函数值异号时，此时才是函数的极值点〞，得出答案.【详解】对于可导函数，假设，且满足当和时导函数值异号时，此时才是函数的极值点，所以大前提错误应选A【点睛】此题主要考察了三段论以及命题的真假，属于根底题.4.函数在上是单调函数，那么实数a的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求得函数的导数，根据函数在上是单调函数，利用，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数，那么，因为函数在上是单调函数，所以，即，解得，即实数的取值范围是，应选C．【点睛】此题主要考察了利用导数研究函数的单调性求解参数问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题．5.从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，那么所有不同的三位数的个数是 ( 〕A. 36个B. 48个C. 52个D. 54个【答案】B【解析】试题分析：第一类，当从，，中取一个数字，而从中任选两个数字时，组成无重复数字的三位数有个；第二类，当从，，中取一个数字不是，而从中任选两个数字时，组成无重复数字的三位数有个，综上所有不同的三位数的个数是，应选B.考点：排列与组合．6.函数在定义域内可导，的图象如下图，那么导函数可能为〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性判断出导函数函数值的符号，然后结合所给的四个选项进展分析、判断后可得正确的结论．【详解】由图象可知，函数在时是增函数，因此其导函数在时，有〔即函数的图象在轴上方〕，因此排除A、C．从原函数图象上可以看出在区间上原函数是增函数，所以，在区间上原函数是减函数，所以；在区间上原函数是增函数，所以．所以可排除C．应选D．【点睛】解题时注意导函数的符号与函数单调性之间的关系，即函数递增〔减〕时导函数的符号大〔小〕于零，由此可判断出导函数图象与x轴的相对位置，从而得到导函数图象的大体形状．7.用数学归纳法证明“〞，验证n=1时，左边计算所得式子为〔〕A. 1B. 1+2C.D.【答案】D【解析】当时,左边计算的式子为，应选D.8.函数= x ln x，那么以下说法正确的选项是〔〕A. 在上单调递增B. 在上单调递减C. 在上单调递减D. 在上单调递增【答案】C【解析】【分析】求得函数的导数，求得函数的单调区间，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数，那么，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，应选C．【点睛】此题主要考察了利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．9.设函数，那么是〔〕A. 仅有最小值的奇函数B. 仅有最大值的偶函数C. 既有最大值又有最小值的偶函数D. 非奇非偶函数【答案】C【解析】试题分析：先求导，转化为二次函数型的函数并利用三角函数的单调性求其最值，再利用函数的奇偶性的定义进展判断其奇偶性即可．解：∵函数f〔x〕=，∴f′〔x〕=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=，当cosx=时，f′〔x〕获得最小值；当cosx=1时，f′〔x〕获得最大值2．且f′〔﹣x〕=f′〔x〕．即f′〔x〕是既有最大值，又有最小值的偶函数．应选C．点评：纯熟掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及函数的奇偶性是解题的关键．10.函数的图像与x轴切于点，那么的极值为〔〕A. 极大值为，极小值为0B. 极大值为0，极小值为C. 极小值为，极大值为0D. 极小值为0，极大值为【答案】A【解析】【分析】根据题意，求得，得到，再利用导数求得函数的单调性，利用极值的定义，即可求解函数的极大值和极小值，得到答案．【详解】由题意，函数，那么，因为函数的图像与轴切于点，那么，且，联立方程组，解得，即，那么，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数的极大值为，极小值为，应选A．【点睛】此题主要考察了利用导数研究函数的单调性与极值问题，其中解答中准确利用导数求得函数的单调性，再利用函数极值的概念求解是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．11.定义在R上的函数满足：，，是的导函数，那么不等式〔其中e为自然对数的底数〕的解集为〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：令，那么，∵，即，∴恒成立，∴g(x)在R上单调递增，又，∴不等式，∴不等式的解集为，应选B考点：此题考察利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的应用点评：解决此题的关键是根据导函数确定原函数12.函数，且是偶函数，假设函数有且只有4个零点，那么实数的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数的图象对称性，解得的值，化简函数的解析式为，令，把函数有且只有4个零点，转化为在区间上有两个零点，即可求解．【详解】由题意，函数，且是偶函数，所以函数的图象关于对称，那么，所以，解得，此时函数，令，那么，因为函数有且只有4个零点，且的图象关于对称，即函数的图象在有两个零点，所以在区间上有两个零点，即与的图象在有两个交点，当时，，如下图，那么，解得，即实数的取值范围是，应选A．【点睛】此题主要考察了函数的根本性质的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中纯熟应用函数的性质，求得函数的解析式，合理利用换元法和二次函数的性质求解是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于中档试题．二、填空题.13.计算=_____．【答案】【解析】【分析】根据定积分的几何意义求得，由定积分的计算公式，求得，再根据定积分的性质，即可求解．【详解】由定积分的性质可得，根据定积分的几何意义，可知表示的面积，即半径为的一个个圆的面积，所以，又由，所以，【点睛】此题主要考察了定积分的计算，以及定积分的几何意义的应用，其中熟记定积分的计算和定积分的几何意义是解答此题的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题．14.假设，那么=_______．〔用数字答题〕【答案】2021【解析】【分析】由题意，根据二项式的展开式，令和可得，进而得，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可知，令，可得，令，可得，所以，故答案为.【点睛】此题主要考察了二项式定理的应用问题，其中解答中利用二项展开式，合理化简、赋值是解答此类问题的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.15.如图，它满足：〔1〕第n行首尾两数均为n，表中的递推关系类似杨辉三角，那么第n 〔n>1〕行第二个数是____.【答案】【解析】【分析】从数表中的第二行开场，取出数表中每一行的第二个数，构成数列，得到数列满足，那么数表中第n行的第2个数字为数列的第项，利用等差数列的知识，即可求解．【详解】由题意，从第二行开场，取出数表中每一行的第二个数，构成数列满足，那么数列满足，且，所以数表中第n行的第2个数字为数列的第项，所以，即数表中第n行的第2个数字为．【点睛】此题主要考察了数列递推公式和等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中从第二行开场，取出每行的第二个数字，构成一个数列，利用等差数列的知识求解是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于中档试题．16.设有通过一点的k个平面，其中任何三个或者三个以上的平面不一共有一条直线，这k 个平面将空间分成个局部，那么个平面将空间分成_____个局部．【答案】2k【解析】【分析】由个平面时，再添加1个平面，与其它的个面由条交线，条交线将个平面分为2个局部，每一局部将其所在的空间一分为二，所以，即可得到答案．【详解】由题意，可知一个平面能把空间分成2个局部，即，两个相交平面可以把空间分成四4个局部，即，假设第三个平面和前两个平面经过同一个单，且三个平面不经过同一直线，那么这三个平面可以把空间分成8局部，即，那么个平面时，再添加1个平面，与其它的个面由条交线，条交线将个平面分为2个局部，每一局部将其所在的空间一分为二，所以，故答案为：．【点睛】此题主要考察了合情推理的应用，其中解答中根据已有的事实，经过观察、分析、比拟、联想，再进展归纳、类比，然后提出猜测是解答的关键，着重考察了推理与运算的才能，属于中档试题．三、解答题.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.17.〔1〕假设，且，用反证法证明：中至少有一个小于2．〔2〕设非等腰三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，证明：.【答案】〔1〕见证明；〔2〕见证明【解析】【分析】〔1〕利用反证法，即可作出证明；〔2〕利用分析法，即可作出证明．【详解】〔1〕证明：假设，即，，这与矛盾．∴假设不成立∴中至少有一个小于2．〔2〕证明：要证，只要证，只要证，只要证，只要证，只要证，只要证，只要证A，B，C成等差数列，故结论成立.【点睛】此题主要考察了反证法和分析法的应用，其中解答中合理选择反证法和分析法进展证明是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．18.复数满足〔1〕求w在复平面上对应点P的轨迹C．〔2〕在复平面上点Q〔0，4〕向轨迹C做切线，分别切于A、B两点，求直线AB的方程．【答案】〔1〕〔2〕【解析】【分析】〔1〕设，求得，再根据，化简求得，即可得到答案．〔2〕求得过点切线方程分别为，根据点在两条切线上，利用同一法，即可求解．【详解】〔1〕设，那么由得∵复数z满足，∴，即，即w在复平面上对应点P的轨迹C为．〔2〕设切点，那么对应的切线方程分别为，∵Q〔0，4〕在两条切线上，，因此A，B两点都在直线，即AB为：．【点睛】此题主要考察了复数的运算及复数的几何意义的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记复数的运算与几何性质，以及合理利用直线与圆的位置关系的应用是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．19.〔设，是否存在使等式：对任意都成立，并证明你的结论．【答案】〔1〕【解析】试题分析：由，得的值，归纳猜测，再利用数学归纳法证明．试题解析：当时，由，得，当时，由，得，猜测，下面用数学归纳法证明：当时，等式恒成立．〔1〕当时，由上面计算可知，等式成立；〔2〕假设且时，等式成立，即成立，那么当时，，∴当时，等式也成立．由①②知，对一切的自然数n，等式都成立，故存在函数，使等式成立．考点：归纳猜测及数学归纳法的应用．【方法点晴】此题主要考察了归纳猜测、数学归纳法的应用，属于中档试题，此题中根据的值，归纳猜测，再用数学归纳法的一般步骤：〔1〕验证时，命题成立；〔2〕假设时成立，利用假设和条件证明也成立；〔3〕由上述〔1〕〔2〕得命题成立，其中假设时成立，利用假设和条件证明也成立过程中，无视应用假设是解答的一个易错点，同时利用数学的递推关系的运算，作出合理猜测也是此题的一个难点．20.函数.〔1〕设实数使得恒成立，求的取值范围；〔2〕设，假设函数在区间上有两个零点，求的取值范围．【答案】〔1〕〔2〕【解析】【分析】〔1〕由恒成立，即恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解．〔2〕令，得，由〔1〕知，求得函数的单调性与极值，列出相应的不等式，即可求解．【详解】〔1〕由题意，可知恒成立，即恒成立，设，那么，令，解得，当单调递增；当单调递减，所以时，获得最大值,所以实数的取值范围为.〔2〕令，得．由〔1〕知，单调递增；单调递减，且.当时，函数在上有两个零点.所以的取值范围为.【点睛】此题主要考察导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考察了转化与化归思想、逻辑推理才能与计算才能，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可别离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21.函数〔m为常数〕.〔1〕当m=4时，求函数的单调区间；〔2〕假设函数有两个极值点，务实数m的取值范围.【答案】依题意，函数的定义域为〔1，＋∞〕.〔Ⅰ〕当m＝4时，.＝=＝.………………2分令，解得或者.令，解得.可知函数f(x)的单调递增区间为〔1，2〕和〔5，＋∞〕，单调递减区间为．……6分〔Ⅱ〕＝＋x－(m＋2)＝. ………………………8分假设函数y＝f (x)有两个极值点,那么，…………10分解得 m＞3.【解析】(I)利用导数的正负确定其增减区间.〔II〕因为＝＋x－(m＋2)＝，说明函数有两个不同的交点，然后借助二次函数零点的分布借助图像求解.22.设函数.〔1〕假设对定义域内的任意，都有成立，务实数的值；〔2〕假设函数在其定义域上是单调函数，务实数的取值范围；〔3〕假设，证明对任意的正整数，.【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕证明见解析.【解析】试题分析：〔1〕由，得的定义域为，因为对，都有成立，所以是函数的最小值，所以，即可求解的值；〔2〕由，函数在定义域上单调函数，知或者在上恒成立，由此能求出实数的取值范围；〔3〕当时，函数，令，那么，由此入手可以证明.试题解析：〔1〕由,得．∴的定义域为．因为对x∈,都有，∴是函数的最小值，故有．解得．经检验，时，在上单调减，在上单调增．为最小值．故得证．〔2〕∵又函数在定义域上是单调函数，∴或者在上恒成立．假设，那么在上恒成立,即=恒成立,由此得；假设,那么在上恒成立,即=恒成立．因在上没有最小值，∴不存在实数使恒成立．综上所述，实数的取值范围是．〔3〕当时，函数．令，那么．当时，，所以函数在上单调递减．又，当时，恒有，即恒成立．故当时，有．而，．取，那么有．．所以结论成立．考点：利用导数求曲线上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；不等关系的证明. 【方法点晴】此题主要考察了利用导数求闭区间上函数的极值、最值的应用，利用导数研究函数的饿单调性及不等关系的证明，综合性强，难度大，计算繁琐，是高考的重点内容之一，解答时要认真审题，仔细解答，注意合理的进展等价转化，同时着重考察了分类讨论思想和转化与化归思想的应用，平时要注意总结.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。