高二数学阶段性测试卷(教师版) 2020.10

卜人入州八九几市潮王学校顶级名校二零二零—二零二壹高二数学10月阶段性检测试题文一、选择题1、假设实数a ，b ，c ，d 满足a b >，c d >，那么以下不等式成立的是〔〕 A ．a c b d +>+ B ．a c b d ->-C ．ac bd >D ．a b d c> 2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1222a S -=．那么过点()()2,,1,n n A n a B n a ++的直线 斜率为〔〕A ．4B ．4-C ．2D ．2- 3、函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，那么8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭〔〕A ．1B ．12C ．-1D ．12-4、假设不等式()()21120m x m x -+-+>的解集为R ，那么m 的范围是〔 〕 A.[)1,9 B.()1,9 C.(](),19,-∞⋃+∞ D.()(),19,-∞⋃+∞5、设0a >，0b >3a 与3b 的等比中项，那么12a b+的最小值是〔〕A ．B ．3+．4D ．36、三角形ABC 中，AB AC ==3DB AD =，连接CD 并取线段CD 的中点F ， 那么AF CD ⋅的值是〔〕 A ．5-B ．154-C ．52-D ．2- 7、数列{}n a 的通项公式为23nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么数列{}n a 中的最大项为()A ．89B ．23C ．6481D ．1252438、假设,x y 满足3010x y x y x k -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，且2z x y =+的最大值为6，那么k 的值是〔〕A ．-1B ．-7C ．1D ．72,1()11,1x x f x x x +⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩那么123201()()()()101101101101f f f f ++++的值是〔〕 A ．199B ．200 C10.设各项均不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，109a a >，且S 10＝0，那么使不等式121110na a a +++＞成立的正整数n 的最小值是〔〕 A ．9B ．10C ．11D ．1211.我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数21,2,3,,n 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ， 如图三阶幻方的315N =，那么9N 的值是〔〕 A ．41 B ．45C ．369D ．32112、假设直线1x ya b+=经过点()cos ,sin M αα，那么〔〕 A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b +≤D ．22111a b+≥ 二、填空题13．,a b →→是单位向量，且0a b →→⋅=，假设25c a b →→→=-，那么a →与c →夹角的正弦值是。

高二数学阶段性测试题（含答案）一、单选题1．已知ABC 的三个顶点()3,0A 、()1,2B -、()1,3C -，则ABC 的中线AD 的长是（ ）A B ．3 C D ．12 2．“01t <<”是“曲线2211x y t t+=-表示椭圆”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数3x y a -=（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在椭圆221x y m n +=（0m >，0n >）上，则m n +的最小值为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．184．圆1C ：2220x y x +-=与圆2C ：()()2224x y a +++=有且仅有一条公切线，则=a （ ）A ．16B ．25C ．36D ．16或365．已知1F ､2F 是椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥.若12PF F △的面积为9，则b =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为 （ ）A ．1B ．2CD 17．已知圆22(1)4x y -+=内一点P (2，1)，则过P 点的最短弦所在的直线方程是（ ） A ．10x y --= B ．30x y +-= C ．30x y ++= D ．2x =8．已知圆224x y +=，直线l ：y x b =+，若圆224x y +=上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，则b 的取值范围为( )A ．()1,1-B ．[]1,1-C ．⎡⎣D ．( 9．设直线1:370l x y +-= 与直线2:10l x y -+=的交点为P ,则P 到直线:20l x ay a ++-=的距离最大值为 （ ）A B ．4 C ．DA B C D 11．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l ：280x y +-=与椭圆C ：2211612x y +=相切于点P ，椭圆C 的焦点为1F ，2F ，由光学性质知直线1PF ，2PF 与l 的夹角相等，则12F PF ∠的角平分线所在的直线的方程为（ ） A ．210x y --=B ．10x y -+=C ．210x y -+=D ．10x y --=12．已知点(4,0)A 和(2,2)B ，M 是椭圆221259x y +=上的动点，则||||MA MB +最大值是（ ）A．10+B ．10-C ．8D ．8二、填空题(共0分) 13．已知(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,0,1)C ，(,1,2)D x ，若A ，B ，C ，D 四点共面，则x =___________．14．已知12,F F 为椭圆C ：221164x y +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，左、右顶点为A 、B ，3FA =，1FB =．则直线12y x =+被椭圆C 截得的弦长为_____________． 16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，斜率为12的直线l 经过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点（点A 在第一象限），设12AF F △的内切圆半径为1r ，12BF F △的内切圆半径为2r ，若123r r =，则椭圆的离心率e =______． 三、解答题17．已知圆C 过点()6,0A ，()1,5B ，且圆心在直线1l 上，直线1l 过点()4,0D -且与直线2:2710l x y -+=平行。

HY中学2021-2021学年高二数学10月阶段检测试卷〔含解析〕本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，满分是150分.考试用时120分钟.第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1.假设，那么以下不等式成立的是( ).A. B. C. D.【答案】B【解析】∵a＞b＞c，∴a﹣c＞b﹣c＞0，∴．应选B．2.等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，那么以下各数也为定值的是( ).A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，所以是定值，是定值考点：等差数列通项公式求和公式及性质点评：此题用到的知识点，性质：假设那么，此性质在数列题目中应用广泛3.数列中，=2，＝1，假设为等差数列，那么等于〔〕.A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】【分析】由为等差数列，结合求出数列的公差，再由等差数列的通项公式，求出，即可得到答案．【详解】由数列为等差数列，那么公差，所以，所以，应选C．【点睛】此题主要考察了等差数列的通项公式及其应用，其中熟记等差数列的概念和通项公式的灵敏应用是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．4.在等差数列等于( ).A. 13B. 18C. 20D. 22【答案】A【解析】【分析】由的第2个等式减去第1个等式，利用等差数列的性质得到差为公差的3倍，且求出得值，然后再由所求得式子减去第2个等式，利用等差数列的性质，也得到其公差为，把的值代入即可求得答案．【详解】设等差数列的公差为，由，那么，即，又由，所以，应选A．【点睛】此题主要考察了等差的性质的综合应用，是一道根底题，其中熟记等差数列的性质，通过两式相减求得得值是解答的关键，着重考察了推理与运算才能．5.假设关于的不等式的解集是，那么实数的值是( ).A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】利用关于的不等式的解集，可得方程的两根为，利用韦达定理，即可求解．【详解】由题意，关于的不等式的解集为，所以方程的两根为，由韦达定理可得，解得，应选D．【点睛】此题主要考察了一元二次不等式的应用，其中解答中熟记一元二次不等式和一元二次方程，以及一元二次函数之间的关系的互相转化是解答的关键，着重考察了推理与计算才能．6.各项均为实数的等比数列前项之和记为．假设，，那么等于〔〕．A. 150B.C. 150或者D. 400或者【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的前项和的公式化简，分别得到关于的两个关系式，求得公比的值，然后利用等比数列的前项和公式代入的值，即可求解．【详解】根据等比数列的前项和的公式化简得：，所以，得到，即，解得〔舍去〕，，那么，所以，应选A．【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式及前项和公式的应用，其中解答中纯熟应用等比数列的通项公式和前项和公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能．7.不等式对于一切恒成立，那么的取值范围〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】当时不等式即为，对一切恒成立，当时，利用二次函数的性质列出满足的条件，结合两种情况，即可得到答案．【详解】当时不等式即为，对一切恒成立，当时，那么须，解得，所以，综上所述，实数的取值范围是，应选B．【点睛】此题主要考察了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中纯熟应用一元二次函数的图象与性质，注意对二次项系数的分类讨论是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题．8.数列前项的和为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把数列分成一个等差数列和一个等比数列，然后根据等差数列和等比数列的前项和公式，即可求解．【详解】由题意，数列的通项公式为，所以该数列的前项和为，应选A．【点睛】此题主要考察了等差数列和等比数列的前项和公式的应用，其中把数列分为一个等差数列和一个等比数列，分别利用等差数列和等比数列的前项和公式求和是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能．9.等差数列,的前项和分别为,,假设,那么=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】∵ ，而∴ ，应选B.10.为等差数列，假设且它的前项和有最大值，那么当获得最小正值时〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由于前项和有最大值，所以，根据，有，，，所以，，结合选项可知，选C.考点：等差数列的根本性质.11.数列的前项和为＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋，那么的值是( ).A. 13B. －76C. 46D. 76【答案】B【解析】【分析】由可得，求得，即可得到答案．【详解】∵S n=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+〔﹣1〕n﹣1〔4n﹣3〕∴S15=〔1﹣5〕+〔9﹣13〕+…〔49﹣53〕+57=〔﹣4〕×7+57=29S22=〔1﹣5〕+〔9﹣13〕+〔17﹣21〕+…+〔81﹣85〕=﹣4×11=﹣44S31=〔1﹣5〕+〔9﹣13〕+〔17﹣21〕+…+〔113﹣117〕+121=﹣4×15+121=61∴S15+S22﹣S31=29﹣44﹣61=﹣76应选：B．【点睛】此题主要考察了数列的前项和的应用，其中解答中认真审题，主要数列前项和公式的合理运用是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．12.设等差数列的前项和为,假设那么等于( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】试题分析：所以公差得所以解得，应选C．考点：等差数列的性质及其前项和【名师点睛】此题考察等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考察学生的计算才能．属中档题二．填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上) 13.设是递增等差数列，前三项的和为，前三项的积为，那么它的首项是_____．【答案】【解析】设等差数列的公差为∵前三项的积为48即解得∵数列是单调递增的等差数列，故答案为214.假如数列的前n项和，那么此数列的通项公式_______________.【答案】2n－1【解析】【分析】利用数列中和的关系，计算可得数列构成以为首项，2为公比的等比数列，进而计算可得结论．【详解】当时，，整理得，又由当时，，即，所以数列构成首项为1，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式为．【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式的求解，其中解答中熟记数列中和的关系是解答此题的关键，平时注意解题方法的积累与总结，着重考察了推理与运算才能．的不等式的解集不是空集，那么实数的取值范围是____.【答案】【解析】试题分析：不等式变形为，不等式有解，所以解不等式得实数的取值范围是考点：三个二次关系16.假设数列满足(k为常数)，那么称为等比差数列，叫做公比差.是以2为公比差的等比差数列，其中,那么________.【答案】384【解析】【分析】由题意，令，分别求出的值，即可得到答案．【详解】由数列满足，且，令，得，所以，又由，所以，又由，所以．【点睛】此题主要考察了数列的递推公式的应用，其中解答中正确理解数列的递推关系式，分别代入求解是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分. 解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17.,都是正数，并且.求证：【答案】证明见解析【解析】【分析】要证，只需要证明即可【详解】证明：(a5 + b5 ) (a2b3 + a3b2) = ( a5a3b2) + (b5a2b3 )= a3 (a2b2 ) b3 (a2b2) = (a2b2 ) (a3b3)= (a + b)(a b)2(a2 + ab + b2)∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0又∵a b，∴(a b)2> 0 ∴(a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) > 0即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2.【点睛】此题主要考察了不等式的证明，用综合法证明，属于根底题。

（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二高二数学阶段检测试卷一、填空题:(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．)1．A,B,C 为空间三点,经过这三点的平面有 个.2.两个球的半径之比为1∶2，那么两个球的表面积之比为________． 3．已知a,b 是两条异面直线，直线c 平行于直线a,那么直线c 与直线b 的位置关系是____________．4. 空间中直线l 和三角形的两边AC ，BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是________．5. 以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角，可能为钝角的有________个．6．过平面外一点能作 条直线与这个平面平行． 7. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为916， 则正方体的棱长为________． 8.如右图所示的水平放置的平面图形的直观图，它所表示的平面图形ABCD 是9.如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，y C BD A x若PA′∶AA′＝3∶4，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________.10.已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别是3和5，则A，B的中点P到平面α的距离是________．11.若圆锥的全面积是底面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为________度．12. 已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为________．13. 在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是________．①BC∥面PDF；②面PDF⊥面ABC；③DF⊥面PAE；④面PAE⊥面ABC.AB D C14. 设α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，直线AB 与CD 交于O ， 若AO ＝8，BO ＝9，CD ＝51，则CO ＝________．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.(本题14分)已知：平面α∩平面β=b ，直线a ∥α，a ∥β，求证：a ∥b 。

2020-2021学年高二数学10月阶段检测试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)⒈若a b c >>，则下列不等式成立的是( ).A.11a c b c >-- B. 11a cb c<-- C. ac bc > D. ac bc < 2．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，1182a a a ++是一个定值，则下列各数也为定值的是( ).A ．7SB ．8SC ．13SD ．15S 3．已知数列{}n a 中，3a =2，7a ＝1，若1{}2na 为等差数列，则11a 等于（ ）. A ．1 B ．12 C ．23D ． 2 4. 在等差数列963852741,29,45,}{a a a a a a q a a a n ++=++=++则中等于( ).A ． 13B ． 18C ． 20D ．225. 若关于x 的不等式02882<++mx mx 的解集是{}17-<<-x x ，则实数m 的值是( ). A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.各项都是实数的等比数列{}n a ，前n 项和记为n S ，若70,103010==S S ,则40S 等于（ ） A.150 B. 200- C.150或200- D.400或50-7.不等式 04)3(2)3(2<--+-x a x a 对于一切R x ∈恒成立，那么a 的取值范围( ).A ．(－∞，－3)B ．(－1，3]C ．(－∞，－3]D ．(－3，3) 8.数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为( ) .A 22112n n n ++- .B 2212nn n ++- .C 22121n n n -+-+ .D 2212n n n ++9.等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n n ab =( ).A23.B 2131n n -- .C 2131n n ++ .D2134n n -+ 10．已知{}n a 为等差数列，若11011-<a a ，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n ＝( ).A ．11B ．17C ．19D ．2111．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋)34()1(1---n n ，则312215S S S -+的值是( ).A ．13B ．－76C ．46D ．76 12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若,3,0,211==-=+-m m m S S S 则m 等于( )A.3B.4C.5D.6二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是___________． 14．如果数列{}n a 的前n 项和*,12N n a S n n ∈-=，则此数列的通项公式=n a _______________.15．若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ______________________． 16.若数列{}n a 满足k a a a a nn n n =-+++112(k 为常数)，则称{}n a 为等比差数列，k 叫做公比差.已知{}n a 是以2为公比差的等比差数列，其中,2,121==a a ,则=5a . 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、(10分)已知a ,b 都是正数，并且a b ≠，求证：552332a b a b a b +>+18. (10分) 数列{}n a 中，11=a ，当2≥n 时，其前n 项和n S 满足)21(2-⋅=n n n S a S ．（1）求n S 的表达式； ((2)设n b ＝ 12+n S n,求数列{}n b 的前n 项和n T ．19.(12分)(本小题满分12分)已知1)1()(2++-=x aa x x f . (1)当21=a 时，解不等式0)(≤x f . (2)若a ＞0，解关于x 的不等式0)(≤x f .20．(12分)某商店采用分期付款的方式促销一款价格为每台6000元的电脑．商店规定，购买时先支付货款的13，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息．(1)已知欠款的月利率为0.5%，到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？(2)假设货主每月还商店a 元，写出在第i (i ＝1,2，…，36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式．21．(12分)已知等比数列{}n b 的公比为q ，与数列{}n a 满足nan b 3= （*N n ∈）（1）证明数列{}n a 为等差数列；（2）若83b =，且数列{}n a 的前3项和339S =，求{}n a 的通项，（3）在(2)的条件下，求12nnT a a a =+++22.（14分）已知数列{}n a 满足1221nn n a a -=+-(n N +∈，且2)n ≥，481a =．⑴求数列的前三项1a ，2a ，3a ； ⑵数列2n na p +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求实数p 的值； ⑶求数列{}n a 的前n 项和n S ．高二数学上学期考试答案一．选择题 BCCAD ABABC BC 二．填空题 13. 2 14. 2n －115. (－∞，－6]∪[2，＋∞) 16. 38417、证明：552332532523()()()()a b a b a b a a b b a b +-+=-+- (2)分3223223322()()()()a a b b a b a b a b =---=-- …………4分 222()()()a b a b a ab b =+-++ …………6分∵a ,b 都是正数，∴0a b +>, 220a ab b ++>又∵a b ≠，∴2()0a b -> ∴222()()()0a b a b a ab b +-++> …………9分即：552332a b a b a b +>+. …………10分18. 解：①1121212121)21)(()2(----+--=--=≥-=n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S S n S S a 得由得)2(211≥=---n S S S S n n n n …………3分)2(2111≥=-∴-n S S n n …………5分 )(121,12121}1{1N n n S n S ，S S n nn ∈-=-=∴∴为公差的等差数列以为首项是以 …………6分(2) )121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n …………7分12)1211(21)121121....5131311(21+=+-=+--++-+-=∴n nn n n T n …………10分 19．解：(1)当a ＝12时，不等式f(x)＝x 2－52x ＋1≤0，…………1分即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)≤0，解得12≤x ≤2. ………3分故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ≤2. …………4分(2)因为不等式f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －a)≤0， …………6分 当0＜a ＜1时，有1a＞a ，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|a ≤x ≤1a ； …………8分当a ＞1时，有1a＜a ，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1a ≤x ≤a ； …………10分 当a ＝1时，原不等式的解集为{1}． …………11分综上所述,当0＜a ＜1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|a ≤x ≤1a ；当a ＞1时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1a ≤x ≤a ；当a ＝1时，原不等式的解集为{1}. …………12分 20、解 (1)因为购买电脑时，货主欠商店23的货款，即6000×23＝4000(元)，又月利率为0.5%，到第一个月底的欠款数应为4000(1＋0.5%)＝4020(元)． …………3分 (2)设第i 个月底还款后的欠款数为y i ，则有y 1＝4000(1＋0.5%)－a ， …………4分y 2＝y 1(1＋0.5%)－a ＝4000(1＋0.5%)2－a(1＋0.5%)－a ，…………5分 y 3＝y 2(1＋0.5%)－a＝4000(1＋0.5%)3－a(1＋0.5%)2－a(1＋0.5%)－a ，…………6分 …y i ＝y i －1(1＋0.5%)－a ＝4000(1＋0.5%)i－a(1＋0.5%)i －1－a(1＋0.5%)i －2－…－a ，……9分由等比数列的求和公式，得y i ＝4000(1＋0.5%)i－a (1＋0.5%)i－10.5%(i ＝1,2，…，36)．……11分答: 到第一个月底的欠款数应为4020元,第i 个月底还款后的欠款数为 4000(1＋0.5%)i－a (1＋0.5%)i－10.5%. ……12分21．(1)证明：设}{n b 的公比为q ∵nan b 3= （*N n ∈）∴n nb a 3log = （*N n ∈） ……1分∴q b b b b a a nn n n n n 3133131log log log log ==-=-+++（与n 无关的常数） ∴{}n a 为等差数列，公差为q 3log . ……3分(2)解: ∵8833339a b S ⎧==⎨=⎩ 即11713339a d a d +=⎧⎨+=⎩解出1152a d =⎧⎨=-⎩ ……5分∴152(1)172na n n =--=- …………6分(3)由1720na n =-≥得8n ≤，1720n a n =-≤可得9n ≥∴{}n a 的前8项均为正，从第9项开始为负 …………7分 I )当8n ≤时，12nnT a a a =+++212(15172)(16)162n n na a a n n n n +-⨯=+++==-=-+ …………9分(II )当9n ≥时12n nT a a a =+++128910()n a a a a a a =+++-+++1281289102()()n a a a a a a a a a =+++-+++++++)16(28)115(22n n +--⨯+⨯= 2128(16)16128n n n n =--=-+ …………11分综上所述： {=n T )9(12816)8(,1622≥+-≤+-n n n n n n …………12分22.解⑴由1221nn n a a -=+-(n N +∈，且2)n ≥得 44322181a a =+-=，得333a =同理，得213a =，15a =………………………………………………………………3分 ⑵对于n N ∈，且2n ≥，∵1112211122222n n n n n n n n n na p a p a a p p---++---+-===- …………5分 又数列2n na p +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， ∴1122n n n n a p a p--++-是与n 无关的常数， ∴ 10p +=，1p =- ………………………………………………………………7分⑶由⑵知，等差数列2n na p +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为1，∴111(1)122n n a a n n --=+-=+， 得12)1(+⋅+=nn n a ．……………………9分∴ 12n n S a a a =+++23223242(1)2n n n =⨯+⨯+⨯+++⨯+， …………10分记23223242(1)2n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯，则有234122232422(1)2n n n T n n +=+⨯+⨯+⨯++⨯++⨯，两式相减，得 1322)1()222(22+⋅+-++++⨯=-n n n n T …………12分112)1(21244++⋅+---+=-n n n n T12+⋅-=-n n n T12+⋅=∴n n n T …………13分故 112(21)n n n S n n n ++=⨯+=+．………………………………………………14分【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。

2019-2020学年高二数学上学期10月阶段性考试试题（含解析）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，计50分．）1.若，则下列描述的大小关系正确的为A. B. C. D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】利用不等式的基本性质即可得出正确答案．【详解】由题意，可得c2＞0，两边同乘以可得，所以A正确．故选：A．【点睛】本题考查不等式的基本性质的运用，属于基础题．2.已知等比数列中，，则的值是A. 5B. 6C. 14D. 16【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质可知•＝，代入即可求解.【详解】由等比数列的性质可知，•＝，又所以，故选：D．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题.3.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第15项是A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】由已知中数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， (1)1，2项2，3项3，…n项n，此时共有1+2+3+…+n项，进而可得第15项的值．【详解】∵数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…有1项1，2项2，3项3，…n项n，累加值从1到n，共有1+2+3+…+n项，令15，解得：n≤5．故数列的第15项是：5，故选A.【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．4.已知的内角，且则边上的中线的长为A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】【分析】在△ABD中，利用余弦定理即可得出．【详解】如图所示，∵D是BC边的中点，BC＝4，∴BD＝2．在△ABD中，由余弦定理可得：AD2＝AB2+BD2﹣2AD•BDcosB ＝12+22﹣2×1×2×cos60°＝3．∴．故选C．【点睛】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．5.已知一个正三棱柱的底面边长为，且侧棱长为底面边长的2倍,则该正三棱柱的体积为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由题意得到正三棱柱的高，代入体积公式计算即可．【详解】设正三棱柱底面边长a，则高为2a，∴正三棱柱的体积V•2a．故选D．【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，属于基础题．6.直线与圆的位置关系为A. 相离B. 相交C. 相切D. 相交或相切【答案】A【解析】【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到选项．【详解】圆（x﹣1）2+（y+1）2＝4的圆心坐标（1，﹣1），半径为：2．圆心到直线的距离为：3＞2．圆与直线相离．故选：A．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于基本知识的考查．7.《九章算术》是我国古代内容极丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，前七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数．【详解】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8＝15，S7＝28，设公差为d，由a2+a5+a8＝15，得3a5＝15，∴a5＝5，由S7＝28，得7a4＝28，∴a4＝4，则d＝a5﹣a4＝1，∴a9＝a5+4d＝5+4×1＝9．故选：D．【点睛】本题考查等差数列的通项公式及性质的应用，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．8.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意和等差数列的性质可得：，化简可得．【详解】由题意和等差数列的性质可得：故选：D．【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．9.已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．【详解】一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（2，3），∴a＜0，且2，3是方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，∴，解得b＝﹣5a，c＝6a，其中a＜0；∴不等式bx2-ax+c＜0化为﹣5ax2﹣ax+6a＜0，即5x2+x-6<0，解得x，因此所求不等式的解集为（，）．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次不等式解法以及一元二次方程的根与系数的关系，是基础题．10.已知等差数列满足（），若存在两项，使得，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设等差数列公差为d，运用求和公式，可得d，再由通项公式可得s+t＝6，再由（s+t）（），化简整理，再由基本不等式即可得到最小值．【详解】设等差数列的公差为d，则，，解得d＝3，由于＝2a1+12，则a1+3（s﹣1）+a1+3（t﹣1）＝2a1+12，则有s+t＝6，则（s+t）（）（5）（5+2）＝，当且仅当t＝2s＝4时，取得最小值，且为．故选B．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查基本不等式的运用：求最值，注意1的代换，考查运算能力，属于中档题和易错题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分．）11.若直线y＝kx＋1与直线2x＋y－4＝0垂直，则k＝__________．【答案】【解析】因为直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，所以由题意知－2·k＝－1，解得k＝.12.已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】不等式可转化为x+m0，利用基本不等式的性质可得x的最小值，即可得出．【详解】由题意原不等式可转化为x+m0，∵x∈[1，3]，∴x4，当且仅当x＝2时取等号．∵不等式x+m0对一切x∈[1，3]恒成立，∴m+4>0，解得m＞﹣4，故答案为：m＞﹣4．【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.已知，则的最小值为_______.【答案】4【解析】【分析】利用2x+y＝3x•y﹣2（）2﹣2，解不等式即可求最值．【详解】由题意结合基本不等式可得2x+y＝3x•y﹣2（）2﹣2（当且仅当2x＝y时取等号）整理得3（2x+y）2-8（2x+y）﹣16≥0即（2x+y﹣4）[3（2x+y）+4]≥0，又2x+y＞0，所以2x+y≥4（当且仅当2x＝y=2时取等号）则2x+y的最小值是4故答案为4．【点睛】此题主要考查基本不等式的用法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.设数列满足,则数列的前2020项之和为______.【答案】【解析】【分析】由题意可知数列{an+1+an}是等比数列，易得an+1+an＝8，由累加法结合等比数列的求和公式可得．【详解】由题意可得可得数列{an+1+an}是等比数列，又由已知可得a3＝2a2+3a1，代入已知可得a2＝5，所以数列{an+1+an}的首项是8，公比是3，∴an+1+an＝8，n依次取1，3，5，…，2019，可得a2+a1＝8，a4+a3＝8，a6+a5＝8，…a2020+a2019＝8，以上式子加起来可得数列的前2020项之和为：，故答案为：．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等比数列的证明，考查了分析能力及逻辑推理能力，属中档题．三、解答题：（本大题共6小题，计80分．）15.解下列关于的不等式．（1）；（2）．【答案】（1）{x|x＞或x<﹣1}；（2）[a，a +1]．【解析】【分析】（1）利用分式不等式的解法，移项通分化简解之；（2）首先分解因式，判断两个根的大小，得到解集．【详解】（1）变形为，即，所以（3x-1）（x+1）>0，所以x＞或x<﹣1；不等式的解集为{x|x＞或x<﹣1}；（2）不等式变形为（x﹣a）（x﹣a﹣1）0，因为a +1> a，所以不等式的解集为[a，a +1].【点睛】本题考查了分式不等式和一元二次不等式的解法；关键是正确转化，属于基础题．16.已知，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos，进而根据两角差的正弦函数公式即可计算得解．（2）由（1）可得tanα，利用二倍角的正切函数公式可得tan2α的值．【详解】∵ sin＝，∴ cos＝＝，可得tan ＝＝.(1)sin ＝sin cos－cos sin＝×－×＝.(2) ∵由（1）可得tan，可得：tan2α.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，二倍角的正切函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.设数列前项和为，对任意，都有．（1）求证：数列为等差数列；（2）若，求满足的最大正整数．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1可得递推关系，再利用等差数列的定义即可得出；（2）直接利用等差数列前n项和公式即可得出．【详解】（1）∵，∴时，．∴．∴．∴．∴是以为首项，2为公差的等差数列．（2）∵由（1）可得，代入已知可得：=，∴,解得n<17，∴满足题意的最大正整数．【点睛】本题考查了等差数列的定义及通项公式、前n项和公式的应用，考查了计算能力，属于基础题.18.如图（示意），公路AM、AN围成是一块顶角为钝角α的角形耕地，其中．在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路、的距离、分别为，．现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园．设，，其中．（1）试建立间的等量关系；（2）为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置,使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．【答案】（1）3x＋2y＝xy；（2）当AB＝10km时，最小面积为30km2【解析】【分析】（1）过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA．设AB＝x，AC＝y．由S△ABC＝S△ABP+S△APC，求得面积的表达式，从而求得x，y的关系.（2）运用基本不等式可得最小值．【详解】（1）过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F．因为P到AM，AN的距离分别为3，2，即PE＝3，PF＝2．由S△ABC＝S△ABP＋S△APC＝⋅x⋅3⋅y⋅2＝(3x＋2y)①所以S△ABC＝x⋅y②，即3x＋2y＝xy．（2）因为3x＋2y≥2，所以xy≥2．解得xy≥150．当且仅当3x＝2y取“＝”，即x＝10，y＝15．所以S△ABC＝xy有最小值30．所以：当AB＝10km时，该工业园区的面积最小，最小面积为30km2【点睛】本题考查数学模型法在实际问题中的运用，考查函数最值的求法，注意运用基本不等式求最值的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.设是等差数列，是等比数列.已知.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足其中.（i）求数列的通项公式；（ii）求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值.【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意得，解得，故，.所以，的通项公式为，的通项公式为. (Ⅱ)(i).所以，数列的通项公式为.(ii).【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.20.已知数列满足,.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）设数列满足,其中.记的前项和为.是否存在正整数,使得成立？若存在,请求出所有满足条件的；若不存在,请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3），见解析【解析】【分析】（1）由条件，可得，从而可得{}是公比为的等比数列，由此可求数列{an}的通项公式；（2）由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，可得所求和．（3）先通过列举法写出{Sn}的前8项，再对m，n的奇偶分类讨论，利用{Sn}的单调性来说明仅有一对符合题意的m，n.【详解】（1）由已知可得：，即，所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，所以，即.(2)Tn＝1•2•3•n•（）n，Tn＝1••2••（）n n•（）n+1，作差得：Tn＝n n•（）n+1＝n•（）n+1，所以(3)由已知可得，，，，，，，.1°当同时为偶数时，可知；设,则，因为，所以数列单调递增，则≥5时，，即{S2n}在≥5时单调增，所以不成立；故当同时为偶数时，可知；2°当同时为奇数时，设,则，因为，所以数列单调递增，则当≥2时，，即≥2时，，数列在≥2时单调递增，而，，，故当同时为奇数时，不成立；3°当为偶数，为奇数时，显然时，不成立，若，则，∵，∴，由2°可知，∴，∴当为偶数，为奇数时，不成立；4°当为奇数，为偶数时，显然时，不成立，若，则，若，则，即，∴时，不成立;若，由1°知,又记满足，所以单调递增，，所以时，不成立；综上：存.【点睛】本题考查了等比数列的证明，错位相减法求和的方法，考查了数列的单调性的应用，考查了分析问题解决问题的能力，考查了严谨的思维逻辑能力，属于难题.2019-2020学年高二数学上学期10月阶段性考试试题（含解析）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，计50分．）1.若，则下列描述的大小关系正确的为A. B. C. D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】利用不等式的基本性质即可得出正确答案．【详解】由题意，可得c2＞0，两边同乘以可得，所以A正确．故选：A．【点睛】本题考查不等式的基本性质的运用，属于基础题．2.已知等比数列中，，则的值是A. 5B. 6C. 14D. 16【答案】D【解析】【分析】由等比数列的性质可知•＝，代入即可求解.【详解】由等比数列的性质可知，•＝，又所以，故选：D．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题.3.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第15项是A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】由已知中数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…有1项1，2项2，3项3，…n项n，此时共有1+2+3+…+n项，进而可得第15项的值．【详解】∵数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…有1项1，2项2，3项3，…n项n，累加值从1到n，共有1+2+3+…+n项，令15，解得：n≤5．故数列的第15项是：5，故选A.【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．4.已知的内角，且则边上的中线的长为A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】【分析】在△ABD中，利用余弦定理即可得出．【详解】如图所示，∵D是BC边的中点，BC＝4，∴BD＝2．在△ABD中，由余弦定理可得：AD2＝AB2+BD2﹣2AD•BDcosB＝12+22﹣2×1×2×cos60°＝3．∴．故选C．【点睛】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．5.已知一个正三棱柱的底面边长为，且侧棱长为底面边长的2倍,则该正三棱柱的体积为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由题意得到正三棱柱的高，代入体积公式计算即可．【详解】设正三棱柱底面边长a，则高为2a，∴正三棱柱的体积V•2a．故选D．【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，属于基础题．6.直线与圆的位置关系为A. 相离B. 相交C. 相切D. 相交或相切【答案】A【解析】【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到选项．【详解】圆（x﹣1）2+（y+1）2＝4的圆心坐标（1，﹣1），半径为：2．圆心到直线的距离为：3＞2．圆与直线相离．故选：A．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于基本知识的考查．7.《九章算术》是我国古代内容极丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，前七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数．【详解】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8＝15，S7＝28，设公差为d，由a2+a5+a8＝15，得3a5＝15，∴a5＝5，由S7＝28，得7a4＝28，∴a4＝4，则d＝a5﹣a4＝1，∴a9＝a5+4d＝5+4×1＝9．故选：D．【点睛】本题考查等差数列的通项公式及性质的应用，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．8.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意和等差数列的性质可得：，化简可得．【详解】由题意和等差数列的性质可得：故选：D．【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．9.已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．【详解】一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（2，3），∴a＜0，且2，3是方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，∴，解得b＝﹣5a，c＝6a，其中a＜0；∴不等式bx2-ax+c＜0化为﹣5ax2﹣ax+6a＜0，即5x2+x-6<0，解得x，因此所求不等式的解集为（，）．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次不等式解法以及一元二次方程的根与系数的关系，是基础题．10.已知等差数列满足（），若存在两项，使得，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设等差数列公差为d，运用求和公式，可得d，再由通项公式可得s+t＝6，再由（s+t）（），化简整理，再由基本不等式即可得到最小值．【详解】设等差数列的公差为d，则，，解得d＝3，由于＝2a1+12，则a1+3（s﹣1）+a1+3（t﹣1）＝2a1+12，则有s+t＝6，则（s+t）（）（5）（5+2）＝，当且仅当t＝2s＝4时，取得最小值，且为．故选B．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查基本不等式的运用：求最值，注意1的代换，考查运算能力，属于中档题和易错题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分．）11.若直线y＝kx＋1与直线2x＋y－4＝0垂直，则k＝__________．【答案】【解析】因为直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，所以由题意知－2·k＝－1，解得k＝.12.已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】不等式可转化为x+m0，利用基本不等式的性质可得x的最小值，即可得出．【详解】由题意原不等式可转化为x+m0，∵x∈[1，3]，∴x4，当且仅当x＝2时取等号．∵不等式x+m0对一切x∈[1，3]恒成立，∴m+4>0，解得m＞﹣4，故答案为：m＞﹣4．【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.已知，则的最小值为_______.【答案】4【解析】【分析】利用2x+y＝3x•y﹣2（）2﹣2，解不等式即可求最值．【详解】由题意结合基本不等式可得2x+y＝3x•y﹣2（）2﹣2（当且仅当2x＝y时取等号）整理得3（2x+y）2-8（2x+y）﹣16≥0即（2x+y﹣4）[3（2x+y）+4]≥0，又2x+y＞0，所以2x+y≥4（当且仅当2x＝y=2时取等号）则2x+y的最小值是4故答案为4．【点睛】此题主要考查基本不等式的用法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.设数列满足,则数列的前2020项之和为______.【答案】【解析】【分析】由题意可知数列{an+1+an}是等比数列，易得an+1+an＝8，由累加法结合等比数列的求和公式可得．【详解】由题意可得可得数列{an+1+an}是等比数列，又由已知可得a3＝2a2+3a1，代入已知可得a2＝5，所以数列{an+1+an}的首项是8，公比是3，∴an+1+an＝8，n依次取1，3，5，…，2019，可得a2+a1＝8，a4+a3＝8，a6+a5＝8，…a2020+a2019＝8，以上式子加起来可得数列的前2020项之和为：，故答案为：．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等比数列的证明，考查了分析能力及逻辑推理能力，属中档题．三、解答题：（本大题共6小题，计80分．）15.解下列关于的不等式．（1）；（2）．【答案】（1）{x|x＞或x<﹣1}；（2）[a，a +1]．【解析】【分析】（1）利用分式不等式的解法，移项通分化简解之；（2）首先分解因式，判断两个根的大小，得到解集．【详解】（1）变形为，即，所以（3x-1）（x+1）>0，所以x＞或x<﹣1；不等式的解集为{x|x＞或x<﹣1}；（2）不等式变形为（x﹣a）（x﹣a﹣1）0，因为a +1> a，所以不等式的解集为[a，a +1].【点睛】本题考查了分式不等式和一元二次不等式的解法；关键是正确转化，属于基础题．16.已知，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos，进而根据两角差的正弦函数公式即可计算得解．（2）由（1）可得tanα，利用二倍角的正切函数公式可得tan2α的值．【详解】∵ sin＝，∴ cos＝＝，可得tan＝＝.(1)sin ＝sin cos－cos sin＝×－×＝.(2) ∵由（1）可得tan，可得：tan2α.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式，二倍角的正切函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.设数列前项和为，对任意，都有．（1）求证：数列为等差数列；（2）若，求满足的最大正整数．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1可得递推关系，再利用等差数列的定义即可得出；（2）直接利用等差数列前n项和公式即可得出．【详解】（1）∵，∴时，．∴．∴．∴．∴是以为首项，2为公差的等差数列．（2）∵由（1）可得，代入已知可得：=，∴,解得n<17，∴满足题意的最大正整数．【点睛】本题考查了等差数列的定义及通项公式、前n项和公式的应用，考查了计算能力，属于基础题.18.如图（示意），公路AM、AN围成是一块顶角为钝角α的角形耕地，其中．在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路、的距离、分别为，．现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园．设，，其中．（1）试建立间的等量关系；（2）为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置,使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．【答案】（1）3x＋2y＝xy；（2）当AB＝10km时，最小面积为30km2【解析】【分析】（1）过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA．设AB＝x，AC＝y．由S△ABC＝S△ABP+S△APC，求得面积的表达式，从而求得x，y的关系.（2）运用基本不等式可得最小值．【详解】（1）过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F．因为P到AM，AN的距离分别为3，2，即PE＝3，PF＝2．由S△ABC＝S△ABP＋S△APC＝⋅x⋅3⋅y⋅2＝(3x＋2y)①所以S△ABC＝x⋅y②，即3x＋2y＝xy．（2）因为3x＋2y≥2，所以xy≥2．解得xy≥150．当且仅当3x＝2y取“＝”，即x＝10，y＝15．所以S△ABC＝xy有最小值30．所以：当AB＝10km时，该工业园区的面积最小，最小面积为30km2【点睛】本题考查数学模型法在实际问题中的运用，考查函数最值的求法，注意运用基本不等式求最值的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.设是等差数列，是等比数列.已知.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足其中.（i）求数列的通项公式；（ii）求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得的值.【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意得，解得，故，.所以，的通项公式为，的通项公式为.(Ⅱ)(i).所以，数列的通项公式为.(ii).【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.20.已知数列满足,.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）设数列满足,其中.记的前项和为.是否存在正整数,使得成立？若存在,请求出所有满足条件的；若不存在,请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3），见解析【解析】【分析】（1）由条件，可得，从而可得{}是公比为的等比数列，由此可求数列{an}的通项公式；（2）由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，可得所求和．（3）先通过列举法写出{Sn}的前8项，再对m，n的奇偶分类讨论，利用{Sn}的单调性来说明仅有一对符合题意的m，n.【详解】（1）由已知可得：，即，所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，所以，即.(2)Tn＝1•2•3•n•（）n，Tn＝1••2••（）n n•（）n+1，作差得：Tn＝n n•（）n+1＝n•（）n+1，所以(3)由已知可得，，，，，，，.1°当同时为偶数时，可知；设,则，因为，所以数列单调递增，则≥5时，，即{S2n}在≥5时单调增，所以不成立；故当同时为偶数时，可知；2°当同时为奇数时，设,则，因为，所以数列单调递增，则当≥2时，，即≥2时，，数列在≥2时单调递增，而，，，故当同时为奇数时，不成立；3°当为偶数，为奇数时，显然时，不成立，若，则，∵，∴，由2°可知，∴，∴当为偶数，为奇数时，不成立；4°当为奇数，为偶数时，显然时，不成立，若，则，若，则，即，∴时，不成立;若，由1°知,又记满足，所以单调递增，，所以时，不成立；综上：存.【点睛】本题考查了等比数列的证明，错位相减法求和的方法，考查了数列的单调性的应用，考查了分析问题解决问题的能力，考查了严谨的思维逻辑能力，属于难题.。

2020-2021学年第一学期省熟中十月阶段学习质量检测高二数学试题 (选择填充题部分)一、单项选择题(每题5分,共40分)1、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,381327a a a ++=,则15S =( ) A.9B.135C.270D.13522、下列命题中,为假命题的是( ) A.0x R ∃∈,0cos 0x = B . x R ∀∈,20x ≥ C.x R ∀∈,31x >D.0x R ∃∈,0lg 1x >3、已知a c >,b d >,则下列结论正确的是( ) A.ab cd >B.0ab cd ad bc +-->C.()()22a b c d +>+D.a b c d ->-4、已知不等式20x bx c +-<的解集为{}6|3x x <<,则不等式()2120bx c x ++->-的解集为( ) A.129x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 B.129xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ C.129x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或D.129x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭5、南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为( ) A.99B.131C.139D.1416、已知:0p a b >>,11:q a b a>-则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7、已知数列{}n a 满足11a =,1n a +=,n N +∈,则2020a =( )A.121C.1218、已知数列{}n a 是正项等比数列,若325a a -=,则428a a +的最小值为( ) A.40B.20C.10D.5二、多项选择题(每题5分,部分答对得3分,答错不得分,共20分)9、“关于x 的不等式220x ax a -+>对x R ∀∈恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A.113a << B.01a ≤≤ C.102a <<D.0a ≥10、已知递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1718S S =,则下列各式中为正的是( ) A.17aB.1720a a +C.35SD.4010S S -11、下列说法正确的是( )A.“23k παπ=+,k Z ∈”是“tan α=;B.已知两平面αβ⊥,“直线l α⊥”是“//l β”的既不充分也不必要条件;C.对于函数()sin f x x ω=,“函数最小正周期为2π”是“1ω=”的充分不必要条件;D.等比数列{}n a ,{}n b 的公比分别为1q ,2q ,则“{}n n a b +为等比数列”是“12q q =”的充要条件 12、若实数x 、y 满足5454yxx y -=-,则下列关系中可能成立的是( ) A.x y =B.1x y <<C.01x y <<<D.0y x <<三、填充题(每题5分,共20分。

学2020-2021学年高二数学上学期10月阶段性学情调查试题（含解析）一、选择题：1. 无论m为何值，直线恒过定点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将直线方程变形为，从而可求得答案【详解】直线方程可变形为，即，所以直线恒过定点．故选：B【点睛】此题考查直线恒过定点问题，解题的关键是对直线方程的变形，属于基础题2. 已知向量，，分别是直线、的方向向量，若，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】∵∥，∴∥，∴，∴．选D．3. 已知点为线段上一点且，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设,根据C为线段上一点且，由求解.【详解】设为线段上一点且，，即.故选：C【点睛】本题主要考查空间向量的共线定理的应用，属于基础题.4. 已知，，若，，且平面，则实数、、分别为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出．【详解】∵⊥，∴，解得．∴．∵平面，∴，，∴，化为，解得，∴．故选：B．【点睛】本题考查了数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理，属于中档题．5. 已知，，，，则向量与之间的夹角为（）.A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】由，两边平方得到，然后再由，，整理求解.【详解】因为，所以，两边平方得：，即，所以，因为，所以.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算以及夹角的求法，属于基础题.6. 若两条平行直线与之间距离是，则（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】利用两条直线平行的性质求出，再利用两条平行线间的距离求出，从而可得的值.【详解】由题意直线与平行，则两条直线的斜率相等，即，又直线间的距离为，即，解得，所以.故选：A【点睛】本题考查了两条直线平行的性质、两条平行线间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.7. 已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为（）A. 20B. －4C. 0D. 24【答案】B【解析】【分析】结合直线垂直关系，得到a的值，代入垂足坐标，得到c的值，代入直线方程，得出b的值，计算，即可．【详解】直线的斜率为,直线的斜率为,两直线垂直,可知，将垂足坐标代入直线方程，得到，代入直线方程，得到，所以，故选B．【点睛】考查了直线垂直满足的条件，关键抓住直线垂直斜率之积为-1，计算，即可，难度中等．8. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )A B. 或C. D. 或【答案】D【解析】当直线过原点时，直线方程为y=x，即4x﹣3y=0；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a．则3+4=a，得a=7．∴直线方程为x+y﹣7=0．∴过点M（3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x﹣3y=0或x+y﹣7=0．故选：D9. 已知直线的方程是，的方程是，则下列各图形中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于D：l1:y=ax+b,l2:y=bx-a.由l1可知a<0,b<0,对应l2也符合,10. 圆关于直线对称的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，设要求圆的圆心为C，其坐标为，分析可得要求圆的半径，且点与关于直线对称，列出方程组，求出a、b的值，即可得C的坐标，即可得出圆的标准方程.【详解】解：根据题意，设要求圆的圆心为C，其坐标为，圆的圆心为，半径，若要求圆与圆关于直线对称，则要求圆的半径且点与关于直线对称，则有，解得：，即要求圆的圆心为；则要求圆的方程为；故选：A.【点睛】本题考查利用待定系数法求圆的标准方程，还涉及点关于直线对称的问题，考查解题分析和计算能力.11. “”是“为圆方程”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】分析】根据圆的一般方程表示圆的条件和充分必要条件的判断可得选项.【详解】方程表示圆需满足或，所以“”是“为圆方程”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查圆的一般方程和充分条件与必要条件的判断，属于基础题.12. 下列命题正确的是（）A. 是向量，不共线的充要条件B. 在空间四边形中，C. 在棱长为1的正四面体中，D. 设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面【答案】B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）••••（）•（）••0，故B正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故 D错误．故选B．【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题．二、填空题：13. 已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为_________【答案】【解析】【分析】先求出条件中所给的直线的倾斜角是，根据要求的直线的倾斜角是它的二倍，得到要求的直线的倾斜角是，即直线与横轴垂直，又知直线过的点，写出直线的方程．【详解】∵直线的倾斜角是45°，直线倾斜角是直线的两倍，∴要求直线的倾斜角是，∵直线过点，∴直线的方程是，故答案为【点睛】本题考查直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，考查两条直线的斜率的关系，考查过定点和已知直线的斜率的方程的写法，属于基础题．14. 圆的圆心到直线的距离为，则__________．【答案】【解析】分析：将圆化为标准方程，求出圆心，根据点到直线距离公式可得结果.详解：的标准方程为，则圆心为，圆心到直线的距离为，解得，故答案为0.点睛：本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，由圆的标准方程求圆心，以及得到直线距离公式，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.15. 圆心在直线上，且经过点、的圆的一般方程是______．【答案】【解析】【分析】设圆的方程为，由已知条件建立方程组，解之可得答案.【详解】设圆的方程为，则圆心是，由题意知，解得所以所求圆的一般方程是．故答案为：.【点睛】本题考查求圆的方程，运用待定系数法设圆的一般方程，建立方程组是一种常用的方法，属于基础题.16. 过点且与点、距离相等的直线方程是________.【答案】或【解析】【分析】分两种情况讨论：①所求直线与直线平行；②所求直线过线段的中点.由此可求得所求直线的方程.【详解】分以下两种情况讨论：①所求直线与直线平行，由于直线的斜率为，且所求直线过点，此时，所求直线方程为，即；②所求直线过线段的中点，由于所求直线过点，此时，所求直线的方程为.综上所述，所求直线方程为或.故答案为：或.【点睛】本题考查到两点等距离的直线方程的求解，解题时要注意所求直线与平行和所求直线过线段的中点这两种情况进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题.17. 已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_______．【答案】【解析】【分析】结合函数的图像，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围，进而求出倾斜角的范围即可.【详解】解：如图所示：设直线过点时直线的斜率为，直线过点时直线的斜率为，则，，，所以要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：,所以倾斜角的取值范围.故答案为：.【点睛】本题考查了求直线的斜率问题，斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的思想，是一道基础题.三、解答题：18. 已知直线.（1）若直线的倾斜角为，求实数a的值；（2）若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；（3）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据直线，得到，再根据斜率与倾斜角的关系求解.（2）根据直线，令得，再求解.（3）根据直线与直线平行，则有求解，然后根据两平行直线间的距离公式求解.【详解】（1）因为直线，所以，又因为直线的倾斜角为，所以，解得.（2）因为直线，令得，，解得.（3）因为直线与直线平行，所以，解得，所以直线，两平行直线与之间的距离.【点睛】本题主要考查正弦得倾斜角，斜率，截距以及两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19. 如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）；；（2）．【解析】【分析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【详解】（1），因为，同理可得，所以．（2）因为，所以，因为，所以．所以异面直线与所成角的余弦值为．【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了利用空间向量计算线段的长度，考查了异面直线所成角的向量求法，属于中档题.20. 如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值；（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，通过可证得结论；（2）根据二面角的空间向量求法可求得结果；（3）利用共线向量和向量线性运算表示出，根据直线与平面所成角的空间向量求法可构造方程求得，从而得到，求解的模长即为所求结果.【详解】（1）以为原点可建立如下图所示空间直角坐标系则，，，，，，（2）由（1）知：，平面，平面又，平面，平面平面的一个法向量为设平面的法向量则，令，则，二面角的正弦值为（3）由（1）知：，设，平面，平面又，平面，平面平面的一个法向量为设为直线与平面所成角则，解得：则，即的长为【点睛】本题考查空间向量法解决立体几何中的垂直关系证明、二面角的求解、根据线面角求解其他量的问题；考查学生对于空间向量法的掌握情况，属于常考题型.学2020-2021学年高二数学上学期10月阶段性学情调查试题（含解析）一、选择题：1. 无论m为何值，直线恒过定点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将直线方程变形为，从而可求得答案【详解】直线方程可变形为，即，所以直线恒过定点．故选：B【点睛】此题考查直线恒过定点问题，解题的关键是对直线方程的变形，属于基础题2. 已知向量，，分别是直线、的方向向量，若，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】∵∥，∴∥，∴，∴．选D．3. 已知点为线段上一点且，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设,根据C为线段上一点且，由求解.【详解】设为线段上一点且，，即.故选：C【点睛】本题主要考查空间向量的共线定理的应用，属于基础题.4. 已知，，若，，且平面，则实数、、分别为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出．【详解】∵⊥，∴，解得．∴．∵平面，∴，，∴，化为，解得，∴．故选：B．【点睛】本题考查了数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理，属于中档题．5. 已知，，，，则向量与之间的夹角为（）.A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】由，两边平方得到，然后再由，，整理求解.【详解】因为，所以，两边平方得：，即，所以，因为，所以.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算以及夹角的求法，属于基础题.6. 若两条平行直线与之间距离是，则（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】利用两条直线平行的性质求出，再利用两条平行线间的距离求出，从而可得的值.【详解】由题意直线与平行，则两条直线的斜率相等，即，又直线间的距离为，即，解得，所以.故选：A【点睛】本题考查了两条直线平行的性质、两条平行线间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.7. 已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为（）A. 20B. －4C. 0D. 24【答案】B【解析】【分析】结合直线垂直关系，得到a的值，代入垂足坐标，得到c的值，代入直线方程，得出b的值，计算，即可．【详解】直线的斜率为,直线的斜率为,两直线垂直,可知，将垂足坐标代入直线方程，得到，代入直线方程，得到，所以，故选B．【点睛】考查了直线垂直满足的条件，关键抓住直线垂直斜率之积为-1，计算，即可，难度中等．8. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )A B. 或C. D. 或【答案】D【解析】当直线过原点时，直线方程为y=x，即4x﹣3y=0；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a．则3+4=a，得a=7．∴直线方程为x+y﹣7=0．∴过点M（3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x﹣3y=0或x+y﹣7=0．故选：D9. 已知直线的方程是，的方程是，则下列各图形中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于D：l1:y=ax+b,l2:y=bx-a.由l1可知a<0,b<0,对应l2也符合,10. 圆关于直线对称的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，设要求圆的圆心为C，其坐标为，分析可得要求圆的半径，且点与关于直线对称，列出方程组，求出a、b的值，即可得C的坐标，即可得出圆的标准方程.【详解】解：根据题意，设要求圆的圆心为C，其坐标为，圆的圆心为，半径，若要求圆与圆关于直线对称，则要求圆的半径且点与关于直线对称，则有，解得：，即要求圆的圆心为；则要求圆的方程为；故选：A.【点睛】本题考查利用待定系数法求圆的标准方程，还涉及点关于直线对称的问题，考查解题分析和计算能力.11. “”是“为圆方程”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】分析】根据圆的一般方程表示圆的条件和充分必要条件的判断可得选项.【详解】方程表示圆需满足或，所以“”是“为圆方程”的充分不必要条件，【点睛】本题考查圆的一般方程和充分条件与必要条件的判断，属于基础题.12. 下列命题正确的是（）A. 是向量，不共线的充要条件B. 在空间四边形中，C. 在棱长为1的正四面体中，D. 设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面【答案】B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）••••（）•（）••0，故B正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故 D错误．故选B．【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题．二、填空题：13. 已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为【答案】【解析】【分析】先求出条件中所给的直线的倾斜角是，根据要求的直线的倾斜角是它的二倍，得到要求的直线的倾斜角是，即直线与横轴垂直，又知直线过的点，写出直线的方程．【详解】∵直线的倾斜角是45°，直线倾斜角是直线的两倍，∴要求直线的倾斜角是，∵直线过点，∴直线的方程是，故答案为【点睛】本题考查直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，考查两条直线的斜率的关系，考查过定点和已知直线的斜率的方程的写法，属于基础题．14. 圆的圆心到直线的距离为，则__________．【答案】【解析】分析：将圆化为标准方程，求出圆心，根据点到直线距离公式可得结果.详解：的标准方程为，则圆心为，圆心到直线的距离为，解得，故答案为0.点睛：本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，由圆的标准方程求圆心，以及得到直线距离公式，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.15. 圆心在直线上，且经过点、的圆的一般方程是______．【答案】【解析】【分析】设圆的方程为，由已知条件建立方程组，解之可得答案.【详解】设圆的方程为，则圆心是，由题意知，解得所以所求圆的一般方程是．故答案为：.【点睛】本题考查求圆的方程，运用待定系数法设圆的一般方程，建立方程组是一种常用的方法，属于基础题.16. 过点且与点、距离相等的直线方程是________.【答案】或【解析】【分析】分两种情况讨论：①所求直线与直线平行；②所求直线过线段的中点.由此可求得所求直线的方程.【详解】分以下两种情况讨论：①所求直线与直线平行，由于直线的斜率为，且所求直线过点，此时，所求直线方程为，即；②所求直线过线段的中点，由于所求直线过点，此时，所求直线的方程为.综上所述，所求直线方程为或.故答案为：或.【点睛】本题考查到两点等距离的直线方程的求解，解题时要注意所求直线与平行和所求直线过线段的中点这两种情况进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题.17. 已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为_______．【答案】【解析】【分析】结合函数的图像，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围，进而求出倾斜角的范围即可.【详解】解：如图所示：设直线过点时直线的斜率为，直线过点时直线的斜率为，则，，，所以要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：,所以倾斜角的取值范围.故答案为：.【点睛】本题考查了求直线的斜率问题，斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的思想，是一道基础题.三、解答题：18. 已知直线.（1）若直线的倾斜角为，求实数a的值；（2）若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；（3）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据直线，得到，再根据斜率与倾斜角的关系求解.（2）根据直线，令得，再求解.（3）根据直线与直线平行，则有求解，然后根据两平行直线间的距离公式求解.【详解】（1）因为直线，所以，又因为直线的倾斜角为，所以，解得.（2）因为直线，令得，，解得.（3）因为直线与直线平行，所以，解得，所以直线，两平行直线与之间的距离.【点睛】本题主要考查正弦得倾斜角，斜率，截距以及两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19. 如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）；；（2）．【解析】【分析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【详解】（1），因为，同理可得，所以．（2）因为，所以，因为，所以．所以异面直线与所成角的余弦值为．【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了利用空间向量计算线段的长度，考查了异面直线所成角的向量求法，属于中档题.20. 如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点.（1）证明：；（2）求二面角的正弦值；（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，通过可证得结论；（2）根据二面角的空间向量求法可求得结果；（3）利用共线向量和向量线性运算表示出，根据直线与平面所成角的空间向量求法可构造方程求得，从而得到，求解的模长即为所求结果.【详解】（1）以为原点可建立如下图所示空间直角坐标系则，，，，，，（2）由（1）知：，平面，平面又，平面，平面平面的一个法向量为设平面的法向量则，令，则，二面角的正弦值为（3）由（1）知：，设，平面，平面又，平面，平面平面的一个法向量为设为直线与平面所成角则，解得：则，即的长为【点睛】本题考查空间向量法解决立体几何中的垂直关系证明、二面角的求解、根据线面角求解其他量的问题；考查学生对于空间向量法的掌握情况，属于常考题型.。

浙江严州中学2011—2012学年度上学期10月阶段考试高二数学文试题一、选择题（每小题4分，共40分）1. 直线1x =的倾斜角和斜率分别是( ) A.45°,1 B.135°,-1 C.90°,不存在 D.180°,不存在2.设有两条直线a ，b 和两个平面α、β，则下列命题中错误．．的是（ ）A ．若//a α，且//a b ，则b α⊂或//b αB ．若//a b ，且,a b αβ⊥⊥，则//αβC ．若//αβ，且,a b αβ⊥⊥，则//a bD ．若a b ⊥，且//a α，则b α⊥ 3. 过点(2，0)，且斜率为3的直线方程为 （ ）A ．32y x =+B ．32y x =-C ．3(2)y x =-D ．3(2)y x =+ 4．已知二面角α－AB －β为︒30，P 是平面α内的一点，P 到β的距离为1．则P 在β内的射影到AB 的距离为 （ ） A ．23B ．3C ．43D5．如图所示的直观图，其平面图形的面积为A ． 6B ． 3C ． 23D ． 26. 设l ，m 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是 （ ）A ．若l ⊥m ，m ⊥α，则l ⊥α或 l ∥αB ． 若l ⊥γ，α⊥γ，则l ∥α或 l ⊂αC ． 若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 或 l 与m 相交D ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β或 l ⊂β7．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位cm ）， 可得这个几何体的体积是（ ） Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cm Ｄ．34000cm8．已知点A(1,2)、B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是A ． 4x+2y=5B ．4x-2y=5C ． x+2y=5D ． x-2y=59．二如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是 （ ） A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角10．面角α—EF —β是直二面角，C ∈EF ，AC ⊂α，BC ⊂β,∠BCF=45°,∠ACB=60°，则AC 与平面β所成的角等于 （ ） A ．60°B ．30°C ．45°D ．75°CA 1二、填空题（第小题5分，共20分）11. 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于_____________.12.已知PA 垂直于ABCD Y 所在的平面，若PC BD ⊥， 则ABCD Y 一定是 .13. 已知定点(2,5)A -，动点B 在直线30x y -+=上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是 .14.设直线l 和平面βα、，且βα⊄⊄l l ,，给出如下三个论断:①α⊥l ；②βα⊥；③β//l ，从中任取两个作条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个．．命题是 ．三、解答题（本大题共5小题, 共60分，解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤）15 (本题满分12分) 如图, 三棱柱111ABC A B C -中，1CC ABC ⊥面，AC ＝3，BC ＝4，AB=5,点D 是AB 的中点， （I ）求证：1AC BC ⊥；（II ）求证：11//AC CDB 面；16 (本题满分12分)如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，E 为CD 的中点.将沿ADE ∆AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，得到几何体D-ABCE. （Ⅰ）求证：ADE BE 平面⊥（II ）求BD 和平面ADE所成角的正切值.17 (本题满分12分) 如图, 四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是正方形,P A ⊥底面ABCD , E , F 分别是AC , PB 的中点. (Ⅰ) 证明: EF ∥平面PCD ；(Ⅱ) 若P A ＝AB , 求EF 与平面P AC 所成角的大小.ABD ECBAA BCDPEFBDP18(本题满分12分)如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ；(II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； （III ）求二面角C-PA-B 的大小的余弦值．19 (本题满分12分)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.侧视（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6的正方体1111ABCD A B C D -?试画出图形；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体1111ABCD A B C D - 的棱1CC 的中点为E, 求平面1AB E 与平面ABCD 所成二面 角的余弦值.参考答案一、选择题（每小题4分，共40分）CDCBA BBBDC二、填空题（第小题5分，共20分）菱形(3,0)-①③⇒②15(本题满分12分)（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1；……………（6分）（II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1，∵ DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴ AC 1//平面CDB 1；………（6分）16(本题满分12分)（1）ADEBE AEBE AB BE AE 面⊥∴⊥∴===,2,2Θ………………(6分)（2）BD 和面CDE 所成角的正弦值为32………………(6分) 17 (本题满分12分)(Ⅰ) 证明: 如图, 连结BD , 则E 是BD 的中点.又F 是PB 的中点, 所以EF ∥PD .因为EF 不在平面PCD 内,所以EF ∥平面PCD . …………………(5分) (Ⅱ) 解: 连结PE .因为ABCD 是正方形， 所以BD ⊥AC . 又P A ⊥平面ABC ， 所以P A ⊥BD .ABC DPE F因此BD ⊥平面P AC .故∠EPD 是PD 与平面P AC 所成的角. 因为EF ∥PD ,所以EF 与平面P AC 所成的角的大小等于∠EPD.因为P A ＝AB ＝AD , ∠P AD ＝∠BAD ＝ο90, 所以Rt △P AD ≌ Rt △BAD . 因此PD ＝BD . 在Rt △PED 中, sin ∠EPD ＝21=PD ED , ∠EPD =ο30.所以EF 与平面P AC 所成角的大小是ο30. …………………(7分)18 (本题满分12分)(I) ∵PC ⊥平面ABC ，⊂AB 平面ABC ，∴PC ⊥AB ．∵CD ⊥平面PAB ，⊂A B 平面PAB ，∴CD ⊥AB ． 又C CD PC =I ，∴AB ⊥平面PCB ． ………（4分） (II) 过点A 作AF//BC ，且AF=BC ，连结PF ，CF ．则 PAF ∠为异面直线PA 与BC 所成的角． 由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ， ∴CF ⊥AF ．由三垂线定理，得PF ⊥AF ．则AF=CF=2，PF=6 CF PC 22=+，在PFA Rt ∆中， tan ∠PAF=26AFPF==3， ∴异面直线PA 与BC 所成的角为3π． ………（4分）（III ）取AP 的中点E ，连结CE 、DE ．∵PC=AC=2， ∴CE ⊥PA ，CE=2．∵CD ⊥平面PAB ， 由三垂线定理的逆定理，得DE ⊥PA ． ∴CED ∠为二面角C-PA-B 的平面角．由(I) AB ⊥平面PCB ，又∵AB=BC ，可求得BC=2． 在PCB Rt ∆中，PB=6B C PC 22=+，32622PB BC PC CD =⨯=⋅=． 在CDE Rt ∆中， cos CED ∠=332342CEDE=-=． ∴二面角C-PA-B 大小的余弦值为33………（4分） 19 (本题满分12分)（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD 是边长为6的 正方形，高为CC 1=6，故所求体积是7266312=⨯⨯=V ………（4分）（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍， 故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体， 其拼法如图2所示.证明:∵面ABCD 、面ABB 1A 1、面AA 1D 1D 为全等的A BC DD 1A 1B 1C 1正方形，于是D D AA C A ABB C ABCD C V V V 1111111---== 故所拼图形成立. ………（4分）（Ⅲ）方法一：设B 1E ，BC 的延长线交于点G ， 连结GA ，在底面ABC 内作BH ⊥AG ，垂足为H ， 连结HB 1，则B 1H ⊥AG ，故∠B 1HB 为平面AB 1E 与 平面ABC 所成二面角或其补角的平面角. 在Rt △ABG 中，180=AG ，则512180126=⨯=BH ，5182121=+=BB BH H B ，32cos 11==∠HB HB HB B ，故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±. ………（4分）。

江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测一．填空题（共14题，每题5分，共70分；请将答案写在答题纸指定区域） 1.命题“2,80x Q x ∃∈-=”的否定是 .2.椭圆22110064x y +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为7，则点P 到右焦点的距离为 .3.双曲线22221124x y m m-=+-的焦距为 . 4.抛物线2y x =的准线方程为 .5.“四边形四条边相等”是“四边形是正方形”的 条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出一个填写)6.已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x =±，则该双曲线的离心率为 . 7.已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是____________．9.已知0,1a a >≠，命题p ：函数log (1)a y x =+在(0，+∞)上单调递减，命题q ：曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则实数a 的取值范围是 ．10.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为____ __.11.已知点(0,2)A ，抛物线22,(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥，则p ＝__________.12.已知椭圆E ：22142x y +=，直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为1(1,)2-，则l 的方程为 .13.已知直线10x y -+=上有两点,A B ，且2AB =，动点P 在抛物线22y x =上，则PAB ∆面积的最小值是 .14．在椭圆2214x y +=中，12,F F 为椭圆的左右焦点，P 是直线4x =上的一个动点．则∠APB 取得最大值时线段OP 的长为 ．二．解答题（共6题，90分.每题都应写出必要的计算过程） 15.（本题14分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程.(1) 1a b ==，焦点在x 轴上的椭圆；（2）与双曲线221164x y -=有相同焦点，且经过点的双曲线.16.（本题14分）设命题:p 方程22191x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线2214x y k-=的离心率()1,2e ∈．（1）若“p 且q ”为真命题，求k 的取值范围； （2）当6k =时，求双曲线的焦点到渐近线的距离.17.（本题14分）已知抛物线C 以直线2360x y -+=与坐标轴的交点为焦点， （1）求抛物线C 的标准方程；（2）设（1）中焦点在x 轴上的抛物线为1C ,直线l 过点(0,2)P 且与抛物线1C 相切，求直线l 的方程.18.（本题16分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过点(0,1)M ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若=2，求直线l 的方程．19.（本题16分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x = 2．过椭圆的上顶点A 作一条与x轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q ． （1）求椭圆的方程；（2）若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．20.（本题16分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点)0,1(F ，离心率为22，过F 作两条互相垂直的弦CD AB ,，设CD AB ,的中点分别为N M ,.（1）求椭圆的方程； xyOP QA （第19题图）（2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦CD AB ,的斜率均存在，求FMN 面积的最大值.江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测参考答案18：解：（1）设椭圆方程为，因为，所以，所求椭圆方程为…（5分）（2）由题得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y=kx+1则由得（3+4k 2）x 2+8kx ﹣8=0，且△＞0．（8分）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由=2得x 1=﹣2x 2…..又，（12分）所以消去x 2得解得所以直线l 的方程为，即x ﹣2y+2=0或x+2y ﹣2=0…（16分）19．解： ⑴因为c a ＝22，a2c= 2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝１．故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． ………………………………………………4分⑵解法一 设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1， – y 1)．因为k AP ＝y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1．令y = 0，解得m ＝－x 1y 1－1. ………………………………………………8分因为k AQ ＝ －y 1－1x 1－0＝－y 1＋1x 1，所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1x 1x ＋1．令y ＝0，解得n ＝x 1y 1＋1． ………………………………………………12分所以mn ＝－x 1y 1－1⨯ x 1y 1＋1＝x 211－y 21． ………………………………………………14分又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22+ y 2= 1上，所以x 212 + y 21= 1，即1－y 21= x 212，所以x 211 – y 21＝2，即mn ＝2．所以mn 为常数，且常数为2． ………………………………………………16分解法二 设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y = kx +1，令y = 0，得m ＝－1k． ………………………………………………6分联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y = kx + 1，x 22+ y 2＝1， 消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，解得x A ＝0，x P =－4k 1 + 2k 2， ……………8分所以y P ＝k ×x P ＋1＝1－2k21＋2k2，则Q 点的坐标为(－4k 1 + 2k 2，－1－2k21＋2k2)．………………………………………10分所以k AQ ＝－1－2k 21＋2k 2－1－4k 1 + 2k 2＝12k ，故直线AQ 的方程为y ＝12k x ＋1．令y ＝0，得n ＝－2k ， …………………………………………14分 所以mn ＝(－１k)⨯(－2k )＝2．所以mn 为常数，常数为2．…………………………………………16分20. 解：（1）由题意：1,c c a =，则1,1a b c ===，（每个1分） ……3分 椭圆的方程为2212x y += ……4分（2）,AB CD 斜率均存在，设直线AB 方程为：(1)y k x =-，12121122(,),(,),(,(1))22x x x xA x yB x y M k ++-，22(1),220,y k x x y =-⎧⎨+-=⎩ 得2222(12)4220k x k x k +-+-=， ……5分212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故2222(,)1212k k M k k -++， ……6分 将上式中的k 换成1k -，则同理可得：222(,)22kN k k ++， ……8分 如22222122k k k =++，得1k =±，则直线MN 斜率不存在， 此时直线MN 过点2(,0)3，下证动直线MN 过定点2(,0)3P . ……9分（法一）若直线MN 斜率存在，则 22224222(33)3122222221122MNk kk k k k k k k k k k k ---+-++===⨯---++， 直线MN 为22232()2212k k y x k k k--=⨯-+-+，……11分 令0y =，得222222212312232323k k x k k k -+-=+⨯=⨯=+++， 综上，直线MN 过定点2(,0)3. ……12分（法二）动直线MN 最多过一个定点，由对称性可知，定点必在x 轴上，设23x =与x 轴交点为2(,0)3P ，下证动直线MN 过定点2(,0)3P .当1k ≠±时，PMk =22223122221123kkk k kk -+=⨯--+，……10分 同理将上式中的k 换成1k-，可得221()3312211PMkk k k k -==⨯--， ……11分则PM PN k k =，直线MN 过定点2(,0)3P . ……12分（3）由第（2）问可知直线MN 过定点2(,0)3P ，故S △FMN =S △FPM +S △FPN 221111||||2322312k kk k-=⨯+⨯++ 2222421||(33)1||(1)6(2)(12)2252k k k k k k k k ++==⨯++++ ……13分221(||)1||2225k k k k +=++，令1||[2,)||t k k =+∈+∞，S △FMN 21()22(2)5tf t t ==⨯-+21221t t =⨯+ ……14分 则()f t 在[2,)t ∈+∞单调递减， ……15分当2t =时()f t 取得最大值，此时S △FMN 取得最大值19，此时1k =±. ……16分。