学年河南省天一大联考高二下学期阶段性测试数学理

天一大联考2016—2017学年高二年级期末考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.在复平面内，复数21i z i-=+（i 为虚数单位）所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限2.设集合{}2|0,|411x A x B x x x -⎧⎫=≤=-≤≤⎨⎬+⎩⎭，则A B = A. []1,1- B. []4,2- C. (]1,1- D.()1,1-3.已知向量()3,2a =与向量(),3b x =相互垂直，则x =A. -2B. -1C. 1D. 24.某几何体是三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 40B. 30C.20D. 105.执行如图所示的程序框图，则输出S 的等于A. 2450B. 2500C.2550D.26506.如果实数,x y 满足260303x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值为A. -6B. 3C. 6D. 2127.已知三个学生A,B,C 能独立解出一道数学题的概率分别为0.6,0.5,0.4，现让这三个学生各自独立解这道数学题，则该题被解出的概率为A.0.88B.0.90C. 0.92D.0.958.已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足11a =，且243,,a a a 成等差数列，则63S S = A. 78 B. 78- C. 98 D. 98- 9.已知甲、乙、丙、丁、戊五个人在图中矩形的四个顶点及中心，要求甲乙必须站在同一条对角线上，且丙不站在中心，则不同的站法有A. 16种B. 48种C.64种D.84种 10.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移ϕ个单位长度，得到偶函数()y g x =的图象，则ϕ的值可能是A. 8π B. 524π C. 34π D. 1524π 11.已知双曲正弦函数2x x e e shx --=和双曲余弦函数2x x e e chx -+=与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，则下列类比结论中错误的是A. shx 为奇函数，chx 是偶函数B. 22sh x shxchx =C. ()sh x y shxchy chxshy -=-D.()ch x y chxchy shxshy -=+12.已知O 为坐标原点，F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，A,B 分别为双曲线C 的左右顶点，过点F 作x 轴的垂线交双曲线C 于P,Q 两点，连接PA 交y 轴于点E,连接EB 并延长交QF 于点M,若M 恰好为QF 的中点，则双曲线C 的离心率为A. 2B. 52C. 3D. 72二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等差数列{}n a 中，3283,14a a a =+=,则10a = .14.已知某一离散型随机变量X 的分布列如下表所示：则()E X .15.已知随机变量()()()2,,020.34N P P ξμσξξ≤=≥=，则()01P ξ≤≤= .16.若()201722017012201721x a a x a x a x -=++++，则012201722017a a a a ++++= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3cos .c A a C =（1）求C 的值；（2）若1,7b c ==，求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）如图，AD ⊥平面ABC ，//CE AD 且2.AB AC CE AD ===（1）试在线段BE 上确定一点M ，使得//DM 平面ABC ；（2）若AB AC ⊥，求平面BDE 与平面ABC 所成角的余弦值.19.（本题满分12分）若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，设n n n c a b =，则我们经常用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和n S ，记()n S f n =，在这个过程中许多同学常将结果算错.为了减少出错，我们可以代入1n =和2n =进行检验：计算()11S f =，检验是否与11a b 相等；在计算()22S f =检验是否与1122a b a b +相等.如果两处中有一处不等，则说明计算错误，某次数学考试对“错位相减法”进行了考查.现随机抽取100名学生，对他们是否进行检验以及答案是否正确进行了统计，得到数据如下表所示：（1）请完成上表；（2）是否有95%的把握认为检验计算结果可以有效避免计算错误？（3）在调查的100名学生中，用分层抽样的方法从未检验结果的学生中抽取8名学生，进一步调查他们不检验的原因.现从这8人中任取3人，记其中答案正确的学生人数为随机变量X,求X 的分布列和数学期望.20.（本题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>上一点()2,P t 到焦点F 的距离为3.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 作两条相互垂直的直线12,l l ，设1l 与抛物线C 交于,A B 两点，2l 与抛物线C 交于,D E 两点，求AF FB EF FD ⋅+⋅的最小值.21.（本题满分12分）已知函数().xf x e x =- （1）若函数()()21F x f x ax =--的导数()F x '在[)0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）求证：()1111,.234142n f f f f n n N n n *⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++>+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2019-2020学年河南省天一大联考高二第二学期期末数学试卷（理科）B . f (1)= 1A .成］B . -/：;：C . 2 6.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪 田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田, 若将100棵的果树均匀地种植在邪田， 一年后，每棵果树都有60kg 的果子收成，则此圭田中的收成约为（ ）7.根据如图的程序框图，输出的S 的值为（4.已知数列 {a n }是等差数列， 且 1112A.: B .3C . f (1) =1+2+3a 6= 6, a 10= 8，则公差 d =C . 1、选择题（共 12小题）. 1.-2i=(2.A. - 2+2i D . 2+2iC . 2n利用数学归纳法证明f ( n )= 1+2+3+…+ (3n+1)( n €N* )时，第一步应证明（=1+2D . f (1)= 1+2+3+45.已知函数f （x ） = ax 2+b 的图象开口向下,linf (a+A(a)Ax=4,则 a =(A . 25kgB . 50kgC . 1500kgD . 2000kgC. 08在复平面内，虚数z对应的点为A，其共轭复数•.对应的点为B，若点A与B分别在y2 =4x与y=- x上，且都不与原点0重合，则［?：.= （A. - 16B. 0C. 16D. 329.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 这些数叫做三角形数.设第n个三角形数为a n,则下面结论错误的是（A . a n - a n-1= n (n> 1)B. a20 = 210C. 1024是三角形数1 1 1 1 2nD + ----------- +----- 4■… H--- = -------D .引吧巧“ "110 .已知图中的三条曲线所对应的函数分别为(X> 0) y2= x,分的面积为（）11 .在厶ABC 中，/ B = 60°, AD 是/ BAC 的平分线，交BC 于D, BD =, cos/ BAC=—，贝U AD =( )4A . 2B .詁'212.已知方程3x2- . 1 ~ax+a2= 0的两实根为x= x i与x = X2处的切线相互垂直，满足条件的a的个数为( )二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13•已知复数z的实部与虚部之和为2,且|z|= ",贝U z= _____________ .14•某村有农户200户，他们2018年的家庭收入经过统计整理得到如图所示的频率分布直方图.当地政策规定，若家庭收入不足 1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，则15 .若x, y满足约束条件则z= 2x+y的最大值为f (x)= 0仅有两个实根土1，且当x =( - 2, 0)U( 2, +8)时f' (x) > 0 恒成立, 则不等式xf (x )v 0的解集为•解答题：共70分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(I)若f (x) = 3，求tanx;18. 在梯形ABCD 中，AD // BC , AC 丄BD 于点0, BC = 2AD , AC = 9,将厶ABD 沿着BD折起，使得A点到P点的位置，PC = 3, 口.(I)求证：平面PBD丄平面BCD ;(n) M为BC上一点，且BM = 2CM，求证：OM //平面PCD .该村享受国家扶贫政策的有户.16•函数f (x)是连续的偶函数，方程17.已知函数f (x)=sinjc+cosx2 .gin2x-l(n)证明：f'(x)= ―-(x+1 )在19. 已知a, b, c, d为实数.(I)证明：a (a—b) +b (b - c) +c (c—d) +d (d - a) > 0；(n)若ab+bc+cd+da= 4，证明：a, b, c, d中至少有一个不大于1.20. 已知函数f (x) = ( ax2+bx) e x.(1)若x= 0是f (x)的一个极值点，求实数b的值；(H)若a= 2, b= 3,求f ( x)在区间［-2, 0］上的最值.21. 已知抛物线C: y2= 2px ( p> 0)的焦点为F，过F的直线I与抛物线C交于A , B两2点，弦AB的中点的横坐标为一，|AB|= 5.(1 )求抛物线C的方程；(2)若直线I的倾斜角为锐角，求与直线I平行且与抛物线C相切的直线方程.22. 已知函数f (x) = elnx - ax+1.(I)讨论f (x)的单调性；(n)若a> 0,且对任意的x €［1, e］，都有f (x)v a,求a的取值范围.参考答案、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.故选：C . 2.〔 I .丄：,：dx 等于（ ）A• B •n【分析】由定积分的几何意义知:面积等于四分之一个圆的面积，求解即可. 解：由定积分的几何意义知:I 討 # :/ dx 是如图所示的阴影部分的面积，即表示以原点为圆心以2为半径的圆的面积的四分之一， 故 -丄：，dx = —nX 22= n,A . - 2+2iB .- 1 + iC . - 1 - iD . 2+2i解: 1+1 _ (14*1) (>i) — 1 1C . 2n.[■:厂J'dx 是如图所示的阴影部分扇形的面积，其1.故选：B .3. 利用数学归纳法证明 f (n )= 1+2+3+…+ (3n+1)( n €N* )时，第一步应证明(A . f (2 )= 1+2 C . f (1) = 1+2+3D . f (1)= 1+2+3+4【分析】由f (n )的表达式，考虑右边的最后一项，即从 1连续加到3n+1,可得所求结论.解：由 f ( n )= 1+2+3+ …+ ( 3n+1) ( n €N* ),可得 f (1)= 1+2+3+4 ,由数学归纳法的证明步骤，可知第一步应证明： f (1 )= 1+2+3+4 .故选：D .4.已知数列｛a n ｝是等差数列，且 a 6= 6, a 10= 8，则公差d =()【分析】利用等差数列的通项公式即可得出. 解：.a 6= 6, a 1o = 8,故选：A .【分析】先求出函数的变化率，根据极限的定义，结合二次函数的性质即可求出 解: f ( a+ △ x )- f (a ) = a (a+A x ) 2+b - a 3 - b = 2a/ x+a A x 2, •••函数f (x )= ax 2+b 的图象开口向下,故选：B .6.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪 田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，B . f (1)= 1 则公差d ==1'~ =一，5.已知函数f (x ) = ax 2+b 的图象开口向下,Ax-*0Ax=4,贝U a =a 的值.则’| A K —0••• a =±k 汨,Axlim(2a 2+a A x )= 2a 2= 4,若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有60kg的果子收成，则此圭田中的收成约为（ A. 25kgB . 50kgC . 1500kgD . 2000kg【分析】利用几何概型能求出在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的 概率，乘以100得到圭田内果树的棵数，乘以产量得答案. 解：由题意，邪田的面积 _ [-一—- ' : - J I ;内部圭田的面积 s 2=_ir x 呂天5二2Q .则将100棵的果树均匀地种植在邪田，其中在圭田内果树的棵数为荽x IOQ =25 .80•• •一年后，每棵果树都有 60kg 的果子收成，则此圭田中的收成约为 25X 60= 1500kg . 故选：C .解：由题意可知S 是在的前2017个函数值的和.•/ i = 1 时，x =- 1； i = 2 时，x = 丁； i = 3 时，x = 2; i = 4 时，x =— 1；【分析】循环体的算法功能，先研究随着i 的变化，函数值1I P的变化规律（一般是周 期性循环出现），然后判断最后一项是多少, 最终求出结论. A . 1007 B . 1009所以B 正确; 解得n?N ，所以C 不正确,所以鱼oi 产6茂X (-1^23-1 = 1007. 故选：A .&在复平面内，虚数 z 对应的点为A ，其共轭复数•.对应的点为 =4x 与y =- x 上，且都不与原点 0重合，则.I :?A . a n — a n -1= n (n > 1)B. a 20 = 210C. 1024是三角形数1 1 1—-H ----- ■+一- -. 曰1七衍 S 门幻可以看出 1 1-x-1, ,2循环的，周期为3.B ,若点A 与B 分别在y 2：■=(A . - 16 C . 16 D . 32【分析】设出z ,求出A , B 的坐标，根据 A , B 在y 2= 4x 与 y =- x 上求出a , b ;再代入数量积求解即可.解：设z = a+bi ；则z 对应的点为 A (a , b )； 其共轭复数••对应的点为B (a , - b )；又因为：点A 与B 分别在y 2= 4X 与y =- x 上，且都不与原点O 重合;{- 2,甘二觀?t -b=-aE ,( 0, 0) b=4舍;••• A (4, 4), B (4, - 4); ••••■?■ .= 4 X 4+4X( - 4)故选：B .9 •在古希腊，毕达哥拉斯学派把 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,……这些数叫做三 角形数•设第n 个三角形数为 a n ,则下面结论错误的是(【分析】通过数列的项与序号之间的关系，判断选项 A 的正误，然后推出数列的递推关系式，求解数列的和，即可判断选项的正误. 解：1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,……可得a 2- a 1 = 2, a 3- a 2= 3,…得到a n - a n -1 = n ,所以A 正确；累加可得 |n(n+l)贝H a n — 1 = 1+2+3+4+ …+n - 1 =210,-1 ；所以a n =【分析】首先求出被积函数的原函数，进一步求出阴影部分的面积.故选：B .十则AD =(【分析】先由二咅角公式求得• ..进而由平方关系得到 sinZBAD再在△ ABD 中，运用正弦定理即可求得 AD 的值.解：••• AD 是/ BAC 的平分线，：二二一:^［「一匚,由题意知，/ BAD 为锐角,1 1 1---- H -----4- ---- ■+'■■■ 曰 1 a 2 a 3 故选：C .10•已知图中的三条曲线所对应的函数分别为yi=解：根据题意构建方程组 ，解得（负值舍去），同理构建方程组解得11.在△ ABC 中，/ B = 60,AD 是/ BAC 的平分线,BC 于 D , BD = / ■: , cos / BAC•所以D 正确;x ,则阴影部(x > 0), y2= x ,A • 1 + 1 n2sinZBAD• • | 门-•，■—■ ■- 9Y64故选：A.12.已知方程3x2-疮-~ax+a2= 0的两实根为x i, x2，若函数f (x)= x (x - 1)( x+1 )在x= x i与x = X2处的切线相互垂直，满足条件的a的个数为( )A . 1B . 2C . 3D . 4【分析】先根据方程3x2- . | ,ax+a2= 0的两实根为x i, X2,利用韦达定理找到两实根与a的关系，然后利用函数 f (x)= x (x - 1) ( x+1 )在x = x i与x= X2处的切线相互垂直，即f'( X1) f'( X2)=- 1得一等量关系，再将刚才的a与两根的关系式代入，构造出关于a的方程求解即可.解：因为方程3x2-. i -■ax+a2= 0的两实根为X1, X2,所以△= 3a2》0，故a €R,••• f'( x)= 3x2- 1，二f'〔r'(匕)=诣x [ J-1) C3整理得：-:A ■ ■■' , E " - ■ V 1 - 厂--I【分析】设z= a+bi，根据条件求出a, b即可求解结论.在厶ABD中，由正弦定理可得,AD _ BD sinBsinZBAD '、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20 分.13.已知复数z的实部与虚部之和为2,且|z|= ■:，贝U z=_!±j_Vis将韦达定理代入整理得a4- 3a2- 2 = 0故选：B.解：设z= a+bi; a, b €R ；•••复数z的实部与虚部之和为2,且|z|=a+b = 2 且a2+ b2= 2 ；解得：a= b = 1；故z= 1 + i ；故答案为：1 + i.14•某村有农户200户，他们2018年的家庭收入经过统计整理得到如图所示的频率分布直方图•当地政策规定，若家庭收入不足 1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，则该村享受国家扶贫政策的有20户.【分析】由频率分布直方图得家庭收入不足 1.5万元的频率为0.01 X 10= 0.1，由此能求出该村享受国家扶贫政策户数.解：若家庭收入不足 1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，由频率分布直方图得家庭收入不足 1.5万元的频率为0.01 X 10 = 0.1,则该村享受国家扶贫政策的有200X 0.1 = 20 (户).故答案为：20.15•若x, y满足约束条件则z= 2x+y的最大值为10【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出由z= 2x+y 知,目标函数取得最大值.z最大值即可.解：作出变量x, y满足约束条件可行域如图: 所以动直线y=- 2x+z的纵截距z取得最大值时,目标函数取得最大值z= 2 X 5+0 = 10.16.函数f (x)是连续的偶函数，方程f (x)= 0仅有两个实根土1,且当x =( - 2, 0) U( 2, +R)时f'(x)> 0恒成立，则不等式xf (x)v 0的解集为 (-1, 0)U( 1, +心.【分析】结合函数的导数的符号，以及函数的零点，画出函数的示意图，然后求解不等式的解集即可.解：函数f (x)是连续的偶函数，方程 f (x)= 0仅有两个实根土1,且当x=( - 2, 0) U( 2, +R)时f' (x)> 0恒成立，可知函数在x€ (- 2, 0), x€ ( 2, + 时，都是增函数，函数的示意图如图：所以不等式xf (x)v 0的解集为：(-1, 0)U( 1, + R).三•解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(I)若 f (x ) = 3，求 tanx ;3 证明：f '( x )=.【分析】(I)根据同角的三角函数的关系即可求出,-22l-sin2sgin2x ta l18. 在梯形 ABCD 中，AD // BC , AC 丄 BD 于点 0, BC = 2AD , AC = 9,将厶 ABD 沿着 BD 折起，使得A 点到P 点的位置，PC = 3 .门..(I)求证：平面 PBD 丄平面BCD ;(n) M 为BC 上一点，且 BM = 2CM ，求证：OM //平面PCD .【分析】(I)先证明 P0丄平面BCD ，再证明平面 PBD 丄平面BCD ;(n)先证明 0M // DC ,再证明0M //平面PCD .【解答】证明：(I)： AD // BC , BC = 2AD , ••• CO = 2AO ,CO = 6, AO = 3，即 PO = 3, 又：1： '• CO 2+PO 2= PC 2,则 PO 丄CO , •/ AC 丄BD 于点O ,• PO 丄 BD , 又 BD A OC = O , • PO 丄平面BCD , 又PO 在平面PBD 内, •••平面PBD 丄平面BCD ;17.已知函数(x )=sinjc-coss解: (I)sinx+^osxtanx+1ginx-cosstanx^l —3,tanx = 2,证明：(2) f '(n )=(sinx-cosx )2(n)根据导数基本公式和运算法则即可证明.解得n)v AD // BC , BC = 2AD , .B0_=• OM // DC ,又••• OM 不在平面 PCD 内，DC 在平面 PCD 内， • OM //平面 PCD . 19. 已知a , b , c , d 为实数.(I)证明：a (a — b ) +b (b - c ) +c (c — d ) +d (d - a ) > 0； (n)若ab+bc+cd+da = 4，证明：a , b , c , d 中至少有一个不大于1.【分析】(I)要证 a (a — b ) +b (b — c ) +c (c — d ) +d (d — a )> 0,可证 a 2+b 2+c 2+d 2 > ab+bc+cd+da ，再由基本不等式证明；(n)假设 a , b , c , d 都大于 1，贝U a > 1, b > 1,可得 ab > 1，同理 bc > 1, cd > 1, da> 1，得到ab+bc+cd+da >4,与ab+bc+cd+da = 4矛盾，即可说明假设不成立，得到 a ,b ,c ,d 中至少有一个不大于1.【解答】(I)要证 a (a — b ) +b (b — c ) +c (c- d ) +d (d — a ) > 0, 需证 a 2+b 2+c 2+d 2 > ab+bc+cd+da .••• a 2+b 2 > 2ab , b 2+c 2》2bc , c 2+d 2^ 2cd , d 2+a 2》2da , • 2 (a 2+b 2+c 2+d 2)> 2 (ab+bc+cd+da ),则 a 2+ b 2+c 2+d 2>ab+bc+cd+da ，当且仅当 a = b = c = d 时等号成立. • a (a — b ) +b ( b — c ) +c (c — d ) +d (d — a )> 0；(n)假设 a , b , c , d 都大于 1,贝U a > 1, b > 1,「. ab > 1;同理 bc > 1, cd > 1, da > 1.• ab+bc+cd+da > 4, 与 ab+bc+cd+da = 4 矛盾， 故假设不成立，• a , b , c , d 中至少有一个不大于 1. 20. 已知函数 f (x ) = ( ax 2+bx ) e x .(I)若x = 0是f (x )的一个极值点，求实数b 的值；(n)若a = 2, b = 3,求f ( x )在区间［-2, 0］上的最值.又【分析】(I)函数 f (x ) = ( ax 2+bx ) e x .的 f '( x )= e x [ax 2+ (b+2a ) x+b].由 f ' (0)= 0,解得b 即可;(n) a = 2, b = 3 时，f (x ) = ( 2x 2+3x ) e x , f '( x )= e x ( 2x 2+7x+3).可得 f (x)解得b = 0.(x )= ae x (x 2+2x )..显然x = 0是f (x )的一个极值点.(n) a = 2, b = 3 时，f (x ) = ( 2X 2+3X ) f '( x ) = e x ( 2X 2+7X +3),令f '( x )= 0 .可得,f ( 0)= 0,(1 )求抛物线C 的方程;解：(1)设A (x i , y i ) , B (X 2, y 2),因为AB 的中点的横坐标为亍, 根据抛物线定义知 |AB |= |AF |+|BF |= p+X 1+x 2= 5. 所以p+3= 5，解得p = 2, 所以抛物线C 的方程为y 2= 4x •(2)设直线 I 的方程为 y = k (x - 1), k > 0,则由 \V =4x得 k 2x 2-( 2k 2+4) x+k 2递减，在［-*, 0］递增，即可求得(x )在区间［-2, 0］上的最值.解：(I)函数 f (x ) = ( ax 2+bx ) e x 的 f '( x) = e x [ax 2+ (b+2a) x+b].•/ x = 0 是 f (x ) 的一个极值点，••• f '( 0)e x ,可得f (x )在[-2,递减，在［-二，0］递增,21. 2 1所以f (x )在区间［-2, 0］上的最大值为f C-2>-y ，最小值为fe.已知抛物线 C ： y 2= 2px ( p > 0)的焦点为F ，过F 的直线 l 与抛物线C 交于A , B 两点，弦AB 的中点的横坐标为,|AB|= 5.(2)若直线I 的倾斜角为锐角，求与直线 I 平行且与抛物线 C 相切的直线方程. 【分析】(1)由AB 弦的中点坐标可得AB 两点横坐标之和, 由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线 的距离，再由 AB 的弦长求出p 的值，进而求出抛物线的方程; (2)设直线I 的方程与抛物线联立,且由题意可得斜率大于 0,求出斜率，可得切线的斜率，设切线的方程，与抛物线联立, 由题意判别式为 0,进而求出切线直线的方程.3+七.3' 2 '_2Ly=k(x-1)=0 •2 k ^+4 +4所以勺卄矿辽产，即冬性詣，解得k = 2 •' k k"2 _设与直线I平行的直线的方程为y= 2x+b，由，卩滋得4x2+ ( 4b - 4) x+b2= 0.y=2x+bL依题知△=( 4b - 4) 2- 16b2= 0,解得七丄.故所求的切线方程为-厂；丫二.22.已知函数f (x) = elnx - ax+1.(I)讨论f (x)的单调性；(n)若a> 0,且对任意的x €［1, e］，都有f (x)v a,求a的取值范围.【分析】(I)对a分a w 0和a> 0两种情况讨论，利用导数求函数的单调性；(n)当a> 0时，由(I)知f (x )在(0,二)上单调递增，在(―*也°)上单调递a 敦减，再对a分三种情况讨论，利用导数研究函数的最大值，进而建立关于a的不等式得解.解：(I)函数的定义域为(0, + a), ■-5L,(i)当a w 0时，f'( x)> 0恒成立，f (乂)在(0, + a)上单调递增；(ii)当a > 0时，令f'( x) > 0,解得0<芨弋二，令f '( x)v 0，解得^>旦,a if (x)在(0, 土)上单调递增，在—，2°)上单调递减；综上，当a w 0时，f (x)在(0, +a)上单调递增；当a > 0时，f (x)在门•上单调递增，在 -■- 上单调递减;(n)当a> 0时，由(I)知f (x )在(0,—)上单调递增，在(皂，心)上单调递a a减，①当il, 即 a > e 时，f (x)在［1 , e］上单调递减，则 f (x) max= f (1) = 1 - a,3.由1 - a v a,解得包>£,此时实数a的取值范围为［e, +8);②当一.：”：：；,即a< 1 时，f (x)在［1 , e］上单调递增，贝U f (x) max= f (e)= e- ae+1,a由e- ae+1 v a，解得a> 1,•••此时a€?；③当1〈旦V&,即1 v a v e时，f (x)在〔1, 上单调递增，在芦，吕〕上单调递a a减，则i. ：故 1 - elna v a, 即卩elna + a - 1> 0,设g (x)= el nx+x - 1, x € (1, e),则「°：-- .=■,5L••• g (乂)在(1, e) 上单调递增，又g (1)= 0,•对任意x€ (1, e),都有g (x) > 0,• a € (1, e)满足题意；综上所述，实数a的取值范围为(1, +8).。

天一大联考2022—2023学年高二年级阶段性测试（三）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．与向量()3,0,4a =-共线的单位向量可以为（ ）A ．34,0,55⎛⎫--⎪⎝⎭B ．43,,055⎛⎫-⎪⎝⎭C ．43,0,55⎛⎫-⎪⎝⎭D ．34,0,55⎛⎫- ⎪⎝⎭2．下列导数计算错误的是（）A ．211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()eexx--=-'C ．()ln ln 1x x x '=+D ．()21tan sin x x'=3．若数列{}n a 是等差数列，且1596a a a ++=，则5πtan2a =（ ）A ．1B ．-1CD．4．已知函数()f x 满足()()21ln exf x f x '=+（()f x '为()f x 的导函数），则()e f =（ ）A ．e 1-B ．21e+C ．1D ．21e-+5．若直线20x ay a --=与圆222440x y x y ++-+=相切，则（ ）A ．3a =B ．32a =-C ．0a =或32a =-D ．0a =或23a =-6．曲线()ln xf x x=在1x =处的切线方程为（ ）A ．1y x =-B ．22y x =-C ．1122y x =-+D ．1y x =+7．函数()33f x x x =-（[]0,1x ∈）的最大值是（）A ．29-B ．29C ．0D ．18．已知函数()f x 的导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则()f x 在开区间(),a b 内的极大值点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知双曲线()222103x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，点P 在双曲线的右支上，且12PF PF ⊥，则12F PF △的面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．310．若函数()3113f x ax ax =-+的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．33,22⎛⎫-⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭C ．33,,22⋃⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．已知函数()f x 的导函数()f x '满足：对任意的x ∈R 都有()f x x '>，若()()112f k f k k --+≥-，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)0,+∞12．已知直线l ：1x my =+经过抛物线()220y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，点C 为线段AB 的中点，点D 在抛物线的准线上，若CD AB ⊥，且CD AB =，则2m =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等比数列{}n a 中，21a =，8642a a a =+，则4a =______．14．若函数()()21e x f x x mx =++在区间[]1,1-上单调递减，则实数m 的取值范围为______．15．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则点D 到平面1A BE 的距离为______．16．已知直线y ax b =+与曲线ln y x x =-相切，则a b +的最小值是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数()322f x x ax bx a =+++在3x =-处有极值36．（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）当0b >时，求()f x 的单调递增区间．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为24n S n n =+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21n n n a b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：17510n T ≤<．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，点D 为棱AC 的中点，且1BD CC ⊥，侧面11AA C C 为菱形，且160A AC ∠=︒．（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若90ABC ∠=︒，求平面1DB C 与平面1BB C 夹角的余弦值．20．（12分）已知1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，离心率12e =，点E 在椭圆C 上，12EF F △．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设C 的上、下顶点分别为A ，B ，点M 是C 上异于A ，B 的任意一点，直线MA ，MB 分别与x 轴交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，证明：OP OQ ⋅为定值．21．（12分）已知函数()e x f x a x =-，a ∈R ．（Ⅰ）当1ea =时，证明：()ln 10f x x x -+-≥在()0,+∞上恒成立；（Ⅱ）若()f x 有2个零点，求a 的取值范围．22．（12分）已知函数()()211ln 2f x ax a x x =+--，a ∈R ．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当0a >时，证明()322f x a≥-．2022—2023学年高二年级阶段性测试（三）数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．D2．D3．A4．D5．C6．A7．B8．B9．D10．C11．A12．C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．214．(],2-∞-15．116．-1三、解答题：共7017．解析（Ⅰ）由题意知()232f x x ax b =++'．…………………………………（1分）∵()23279336f a b a -=-+-+=，()32760f a b -=-+='，…………………………………（3分）∴3,9a b =⎧⎨=-⎩或6,9,a b =⎧⎨=⎩经检验都符合题意．………………………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）当0b >时，由（Ⅰ）得()326936f x x x x =+++，∴()23129f x x x =++'，………………………………………………………………………………（6分）由()0f x '>，即()()130x x ++>，解得3x <-或1x >-，……………………………………………………………………………………（8分）∴函数()f x 的单调递增区间为(),3-∞-，()1,-+∞．……………………………………………（10分）18．解析（Ⅰ）当1n =时，115a S ==，………………（1分）当2n ≥时，()()221414123n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，………………（3分）15a =也满足该式，………………（4分）所以23n a n =+．………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()217711232522325n n n a b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，………………………………（7分）所以71111117112577923252525n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．……………………（9分）因为函数125y x -=+在()0,+∞上单调递增，……………………………………………………………（10分）所以171175252510n ⎛⎫≤-< ⎪+⎝⎭，即17510n T ≤<．………………………………………………………………………………………（12分）19．解析（Ⅰ）因为AB BC =，点D 为棱AC 的中点，所以BD AC ⊥．…………………………………………………………………………………………（1分）又1BD CC ⊥，1AC CC C ⋂=，所以BD ⊥平面11AA C C ．又1A D ⊂平面11AA C C ，所以1BD A D ⊥．………………（3分）如图，连接1AC ．因为侧面11AA C C 为菱形，且160A AC ∠=︒，所以1AA C △为等边三角形，所以1A D AC ⊥．………………（5分）又AC BD D ⋂=，所以1A D ⊥平面ABC ．………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）的过程可知，可以点D 为坐标原点，分别以DB ，DC ，1DA 所在直线为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系Dxyz ．不妨设2AC =，由题可知()0,0,0D ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()0,1,0A -，(1A ．………………（8分）由11A B AB =，可得(1B ．设平面1DCB 的法向量为()111,,n x y z =，而(1CB = ，()0,1,0DC =，则有1110,0,x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩取1z =，得(n =-．………………（9分）设平面1BB C 的法向量为()222,,m x y z =，而()1,1,0CB =-，(1CB =，则有22220,0,x y x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取2z =，得(3,m =-- ．………………（10分）所以cos ,n m n m n m ⋅===，即平面1DB C 与平面1BB C12分）20．解析（Ⅰ）设C 的半焦距为()0c c >，依题意2221,2122,c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩………………………………………………………………………………（2分）解得224,3.a b ⎧=⎨=⎩…………………………………………………………………………………（4分）所以C 的方程为22143x y +=．…………………………（5分）（Ⅱ）由题意可得(A，(0,B ，设椭圆上任意一点()(000,M x y y ≠，所以直线AM的方程为y x =，直线BM的方程为y x =-．………………（7分）令0y =，得P x =，Q x =．…………………………………………………（9分）所以220022343433x y OP OQ y y -⋅===--，为定值…………………………………………………（12分）21．解析（Ⅰ）当1ea =时，设()()1ln 1ln 1x g x f x x x e x -=-+-=--，则()()11e 0x g x x x-'=->，………………………………（1分）易知()g x '在()0,+∞上单调递增，而()01e 10g '=-=，………………………………（2分）所以当()0,1x ∈时，，()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,+∞上单调递增，…………………………（4分）所以()()min 10g x g ==，………………………………（5分）即()ln 10f x x x -+-≥在()0,+∞上恒成立……………………………………………………（6分）（Ⅱ）由()e 0x f x a x =-=，得e x x a =，令()e x xh x =，则()f x 有2个零点，等价于()ex xh x =与y a =的图象有2个交点………………………………………（7分）由()10ex xh x -'==，得1x =，易知函数()h x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()()max 11eh x h ==，且当0x <时，()0h x <，当x →+∞时，()0h x →，………………（9分）作出函数()h x 的大致图象如下：结合图象可知，当10e a <<时，()ex xh x =与y a =的图象有2个交点，故a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．………………（12分）22．解析（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞………………………………………………………（1分）()()()1111x ax f x ax a x x+-=+--='．……………………………………………………………（2分）若0a ≤，则当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在()0,+∞上单调递减………………………（3分）若0a >，则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '>，………………（4分）故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增………………………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a >时，()f x 在1x a=处取得最小值1111ln 2f a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，………………（6分）所以()322f x a ≥-等价于1131ln 222a a a --≥-，即11ln 10a a--≥．…………………………………（7分）设()ln 1g x x x =--，则()11g x x'=-．……………………………（8分）当()0,1x ∈时，()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增………………………………………………………………………………………………（10分）故当1x =时，()g x 取得极小值且为最小值，最小值为()10g =．…………………………（11分）所以当0x >时，()0g x ≥．从而当0a >时，11ln 10a a --≥，即()322f x a≥-．………………………………………………（12分）。

天一大联考2016——2017学年高二年级阶段性检测（三）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.复数2z i =-的虚部为A.2B. i -C. 1-D.i2.大前提：若函数()f x 是奇函数，则()00f =，小前提：()1g x x=是奇函数，结论：()00f =，则该推理过程A.正确B.因大前提错误导致结论错误C. 因小前提错误导致结论错误D. 因推理形式错误导致结论错误3.复数()2341ii +=-A. 322i -+B. 322i --C. 322i +D. 322i - 4.某高中要从该校三个年级中各选1名学生参加校外的一项知识问答活动，若高一、高二、高三年级分别有5,6,8个学生备选，则不同的选法有A. 19名B. 38名C. 120名D.240名5.若函数()2f x x =由1x =至1x x =+∆的平均变化率的取值范围是()1.9725,2.025，则增量x ∆的取值范围是A. ()0.025,0.025-B. ()0,0.025C. ()0.025,1D.()0.025,0-6.6211x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为 A. 81 B. 243 C. 729 D. 187 7.设复数z 的共轭复数为24i z z z+=+，则在复平面内复数z 对应的点位于 A. 第三象限 B.第二或第四象限 C.第四象限 D.第三或第四象限8.设20sin xdx k π=⎰，则520sin x dx π=⎰A. kB. 2.5kC. 4kD. 5k9. 按如图的规律所拼成的一图案共有1024个大小相同的小正三角形""∆或""∇，则该图案共有A. 16层B. 32层C. 64层D.128层10.已知函数()3232a f x x x ax +=-+在()1,2上不存在最值，则实数a 的取值范围是 A. ()1,2 B.(][),12,-∞+∞ C. (][),36,-∞+∞ D. ()3,611.有7个灯泡排成一排，现要求至少点亮其中的3个灯泡，且相邻的灯泡不能同时点亮，则不同的点亮方法有A. 11种B. 21种C.120种D. 126种12.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()112f =，不等式()1f x x x'≤+的解集为(]0,1，则不等式()2ln 12f x x x ->的解集为 A. ()0,1 B. ()0,+∞ C.()1,+∞ D. ()0,1()1,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数集A 中有n 个元素，其中有一个0，现从A 中任取两个元素x,y 组成有序实数对（x,y ）.在平面直角坐标系中，若（x,y ）对应的点中不在坐标轴上的共有56个，则n 的值为 . 14.22142dt t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰为 . 15.已知正三角形的外接圆的圆心位于该正三角形的高的三等分点处，且外接圆半径的长等于高的三分之二，由此类比，棱长为a 的正四面体的外接球的半径的长为 .16.已知复数z =当2a ≥时，240z t z ++>恒成立，则实数t 的取值范围为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知复数123214121,32,,.z i z i z z z z z z =+=-=-=⋅（1）求34,z z ；（2）在复平面上，复数34,z z 所对应的点分别为,A B ，求AB .18.（本题满分12分）已知数列{}n a 的首项()113,21.n n a a a n N *+==+∈（1）写出数列{}n a 的前5项，并归纳猜想{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中所猜想的通项公式.19.（本题满分12分）将()72x bx +的展开式按x 的次数由大到小的顺序排列，首尾两项的系数之比为128，中间两项的系数之和为840.（1）求实数,a b 的值；（2）求()7210x bx x -+⋅的展开式中的常数项.20.（本题满分12分）已知,,,1a b c R ab bc ca +∈++=，求证：（1）2221a b c ++≥；（2）a b c ++≥21.（本题满分12分）已知函数()3223.33x f x x x =+-- （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）用反证法证明：在[]1,1-上，不存在不同的点()()()()1122,,,x f x x f x ，使得()f x 的图象在这两点处的切线相互平行.22.（本题满分12分）已知函数()(),.x f x e ax g x x a =-=+ （1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（2）若对于任意的[]10,1x ∈，存在[]20,1x ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围.。

河南省天⼀⼤联考2020-2021学年⾼⼆阶段性测试（⼀）+数学（理）含答案2020－2021学年⾼⼆年级阶段性测试(⼀)数学(理科)考⽣注意：1.答题前考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号填写在试卷和答题卡上，并将考⽣号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡对应题⽬的答案标号涂⿊。

如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号。

回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上⽆效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。

⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

1.在△ABC 中，BC ＝10，sinA ＝31，则△ABC 的外接圆半径为 A.30 3 C.20 D.15 2.已知数列{a n }满⾜a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋6，则a 5＝ A.25 B.30 C.32 D.64 3.已知在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－1013bc ，则cosA ＝ A.726 B.513 C.1726 D.12134.已知在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a －20sinA ＝0，sinC ＝110，则c ＝ 2 B.22 C.25 D.2105.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝m ，S 10＝pm ，则p ＝ A.3 B.5 C.6 D.106.⾳乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本⾳“宫”经过⼀次“损”，频率变为原来的3 2，得到“徵”，“徵”经过⼀次“益”，频率变为原来的34，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“徵”“商”“⽻”“⾓”五个⾳阶。

据此可推得上⼀页下⼀页。

天一大联考 2017 — 2018学年高二年级阶段性测试（三）数学（理）考生注意；1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条部码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答希选择题时，将客案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选顼中，只有一项是符合题目要求的。

1.若(1-2i)(a +2i)的实部与虚部相等，则实数a = A. -2 B.32-C.2D.3 2.对于小于41的自然数n ，积(41-n) (42-n)…（54-n ）（55-n ）等于A. 15n 55-AB. 14n 55-AC. n-41n 55-AD. 15n 55-C3.若θθisin -cos z = (i 为虚数单位），则使1z 2-=的θ值可能是A. 0B.2πC. πD. π2 4.若函数d cx bx ax x f +++=23)(有极大值点1x 和极小值点2x (1x <2x )，则导函数)('x f 的大致图象可能为5.用反证法证明命题“等腰三角彤的底角必是锐角"，下列假设正确的是A.等腰三角形的顶角不是锐角B.等腰三角形的底角为直角C.等腰三角形的底角为钝角D.等腰三角形的底角为直角或钝角6.某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生人选的不同选法有16种，则小组中的女生人数为 A.2 B.3 C.4 D.57.观察下面的三个图形,根据前两个图形的规律，可知第三个图中A. 9B. 36C.49D. 1008.在46y 1)1(）（++x 的展开式中，m + n 称为n m y x 项的次数，则所有次数为3的项的系数之和为 A. 45 B.60 C. 120 D.210＞9.函数)(x f 在R 上存在导数，若0)(')1(≤-x f x ,则必有A. )1(2)2()0(f f f ≤+B. )1(2＜)2()0(f f f +C. )1(2)2()0(f f f ≥+D. )1(2＞)2()0(f f f +10.在某种信息的传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息100110至多有三个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.22B. 32C. 42D. 6111.老师和甲、乙两名同学都知導桌上有6张扑克牌:红桃3、红桃6、黑桃5、黑桃A 、方块10、梅花6。

河南省天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（二）理数试题（B 卷）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{|A x y ==，{}2,1,1,2B =--，则A B =（ ）A ．{}12，B ．()1,2C ．{}12--，D ．[1,)+∞ 【答案】A考点：1、集合的表示方法；2、集合的交集.2.在等比数列{}n a 中，若45627a a a =，则19a a =（ ）A ．3B ．6C ．27D ．9 【答案】D 【解析】试题分析：因为等比数列{}n a 中，若45627a a a =3527a ==，得53a =，所以19a a =259a =，故选D.考点：等比数列的性质.3.已知命题p ：0x R ∃∈，200460x x ++<，则p ⌝为（ ） A ．x R ∀∈，2460x x ++≥ B ．0x R ∃∈，200460x x ++> C ．x R ∀∈，200460x x ++> D ．0x R ∃∈，200460x x ++≥【答案】A 【解析】试题分析：因为特称命题的否定是将存在量词改成全称量词，然后否定结论，所以特称命题p ：0x R ∃∈，200460x x ++<的否定是全称命题x R ∀∈，2460x x ++≥，故选A.考点：1、存在量词与全称量词；2、特称命题的否定形式.4.设函数3log ,09,()(4),9,x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩则1(13)2()3f f +的值为（ ）A ．1B ．0C ．2-D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：因为()()3(13)1349log 92f f f =-===，3112()2log 233f ==-，所以1(13)2()3f f +220=-=，故选B.考点：1、分段函数的解析式；2、对数的基本运算. 5.已知向量a ，b 的夹角为23π，且(3,4)a =-，||2b =，则|2|a b +=（ ）A ．．2 C ．D ．84 【答案】C考点：1、向量的模与夹角；2、平面向量的数量积公式. 6.函数13()||f x x x =-的图象大致是（ ）【答案】D 【解析】试题分析：由13()||0f x x x =-=，得1,0,1x x x =-==，所以函数13()||f x x x =-的图象与x 轴有且只有三个交点，只有选项D 符合条件，故选D.考点：函数的图象与性质.7.将函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，22ππϕ-<<）图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，再向右平移6π个单位长度得到函数sin y x =的图象，则ω，ϕ的值分别为（ ） A ．12，6π B ．23π, C ．2,6πD ．1,26π-【答案】A考点：1、三角函数的解析式；2、三角函数图象的变换. 8.曲线cos 16y ax x =+在2x π=处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ）A ．2π- B ．2πC ．2πD ．2π-【答案】A 【解析】试题分析：因为()cos 16y ax x f x =+=，所以()'cos sin f x a x ax x =-，又因为曲线cos 16y ax x =+在2x π=处的切线与直线1y x =+平行，所以2'122a f a πππ⎛⎫=-=⇒=- ⎪⎝⎭，故选A.考点：1、两直线平行的性质；2、利用导数求曲线切线的斜率.9.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐进线交于C ，D 两点，若3||||5AB CD ≥，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．5[,)3+∞ B ．5[,)4+∞ C ．5(1,]3D ．5(1,]4【答案】B 【解析】试题分析：当x c =时代入22221x y a b -=得2b y a =±，则22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22b AB a =,将x c =代入b y x a =±,得bc y a =±,则,,,bc bc C c D c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则223232,,55bcb bc CD AB CD aa a=≥∴≥⨯,即35b c ≥,则22222992525b c c a c ≥⇒-≥,即221625c a ≥,则22516e ≥,则54e ≥，故选B. 考点：1、双曲线的几何性质；2、双曲线的离心率. 10.设函数[]2(2),(1,),()1||,1,1,f x x f x x x -∈+∞⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩若关于x 的方程()log (1)0a f x x -+=（0a >且1a ≠）在区间[]0,5内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(B ．)+∞C ．)+∞D ． 【答案】C考点：1、分段函数的解析式；2、函数与方程及数形结合思想.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、函数与方程及数形结合思想，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解，本题就是根据数形结合思想将方程的根转化为图象交点问题来解答的.11.对于正整数k ，记()g k 表示k 的最大奇数因数，例如(1)1g =，(2)1g =，(10)5g =．设(1)(2)(3)(2)n n S g g g g =++++…．给出下列四个结论：①(3)(4)10g g +=；②*m N ∀∈，都有(2)()g m g m =；③12330S S S ++=；④114n n n S S ---=，2n ≥，*n N ∈．则其中所有正确结论的序 号为（ ）A ．①②③B ．②③④C ．③④D ．②④ 【答案】B考点：1、等差数列前n 项和公式；2、转化与划归思想的应用及新概念问题.【方法点睛】本题通过新定义“()g k 为k 的最大奇数因数”主要考查等差数列前n 项和公式、转化与划归思想的应用，属于难题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题四个命题都围绕“()g k 为k 的最大奇数因数”这一重要性质展开的，只要能正确运用这一条件，将其转化为数列问题就能迎刃而解.12.等腰直角△AOB 内接于抛物线22(0)y px p =>，O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，△AOB 的面积是16，抛物线的焦点为F ，若M 是抛物线上的动点，则||||OM MF 的最大值为（ ）A ．3 B ．3．3D 【答案】C试题分析：因为等腰直角△AOB 内接于抛物线22(0)y px p =>，O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥ 所以，可设()1,,2162ABC A a a S a a ∆=⨯=，得4a =，将()4,4A 代入22y Px =，得2P =，抛物线的方程为24y x =，所以()1,0F ，设(),M x y ，则0x ≥，设()1011t t x =<≤+，则OM MF =====≥=13t =时，“=” 成立.故选C.考点：1、抛物线的标准方程及几何性质；2、配方法圆锥曲线求最值.【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是根据这种思路，利用配方法求||||OM MF 的最大值的. 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.已知1sin cos 2θθ+=，则sin(2)πθ-=． 【答案】34-考点：1、诱导公式；2、同角三角函数关系及正弦的二倍角公式.14. 过点C (3,4)作圆225x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点C 到直线AB 的距离为 ．【解析】试题分析：以OC 为直径的圆方程为()222352,22x y AB ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为圆C 与圆O 225x y +=的公共弦， 所以AB 方程为()()22223252524x y x y ⎡⎤⎛⎫+--+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，化为3450x y +-=，C 到AB 的距离为4d ==，故答案为4.考点：1、两圆公共弦方程的求法；2、圆的标准方程及点到直线距离公式. 15.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a +，21a +，41a +称等比数列，且2312a a +=-，n a = ．【答案】21n --考点：1、等比数列的性质；2、等差数列的通项公式.【方法点睛】本题主要考查等比数列的性质、等差数列的通项公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 16.在△ABC 中，若3sin 2sin C B =，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，则BECF的取值范围为 ． 【答案】17(,)48考点：1、余弦定理的应用；2、正弦定理及求范围问题.【方法点睛】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题，属于难题.求范围问题的常见方法有 ①配方法；②换元法；③不等式法；④图象法；⑤函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将BECF表示为关于t 的函数，再根据方法⑤解答的. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数2()2cos f x x x m =--． （1）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间；（2）若53,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值为0，求实数m 的值． 【答案】（1）T π=；（2）12m =. 【解析】试题分析：（1）()f x 化为1sin(2)62x m π---，可得周期22T ππ==，由222262k x k πππππ-+≤-≤+可得单调递增区间；（2）因为53,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,643x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，进而()f x 的最大值为1102m --=，解得12m =.试题解析：（1）2()2cos f x x x m =--1cos 222xx m +=--1sin(2)62x m π=---，则函数()f x 的最小正周期T π=， 根据222262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，得63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．考点：1、三角函数值的周期性及单调性；2、三角函数在闭区间上的最值. 18.已知圆22(1)25x y -+=，直线50ax y -+=与圆相交于不同的两点A ，B ． （1）求实数a 的取值范围；（2）若弦AB 的垂直平分线l 过点(2,4)P -，求实数a 的值． 【答案】（1）5(,0)(,)12-∞+∞；（2）34a =. 【解析】试题分析：（1）把直线50ax y -+=代入圆的方程，消去y 整理，得22(1)2(51)10a x a x ++-+=，利用；224(51)4(1)0a a ∆=--+>可得结果；（2）根据点斜式可得弦AB 的垂直平分线的方程为1(2)4y x a=-++，根据圆的弦的性质知圆心(1,0)M 必在该直线上，进而求得实数a 的值.试题解析：（1）把直线50ax y -+=代入圆的方程， 消去y 整理，得22(1)2(51)10a x a x ++-+=， 由于直线50ax y -+=交圆于A ，B 两点， 故224(51)4(1)0a a ∆=--+>，即21250a a ->，解得512a >或0a <， 所以实数a 的取值范围是5(,0)(,)12-∞+∞．考点：1、直线与圆的位置关系；2、圆的几何性质.19.已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+…（*n N ∈）． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 【答案】（1）21n a n =-；（2）12362n n -+-. 【解析】试题分析：（1）由12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+…，令1,2n n ==列方程组，可解得等差数列{}n a 首项与公差，进而得{}n a 的通项公式；（2）112122n n n a n ---=，利用“错位相减法”可得数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得1212234,()()12,a a a a a a +=⎧⎨+++=⎩即12234,8,a a a a +=⎧⎨+=⎩所以1111()4,()(2)8,a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =-．（2）由（1）得， 所以122235232112222n n n n n S ----=+++++…，①3252321223222n n n n n S ----=+++++…，②②-①得22122221222222n n n n S ---=+++++-111112123222612212n n n n n -----+=+⨯-=-- ．考点：1、等差数列的通项公式；2、“错位相减法”求和. 20.已知函数2()log ()(1)f x g x k x =+-．（1）若2(log )1g x x =+，且()f x 为偶函数，求实数k 的值；（2）当1k =，2()(1)g x ax a x a =+++时，若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）12k =；（2）[]0,1. 112122n n n a n ---=试题解析：（1）令2log t x =，则2tx =，代入2(log )1g x x =+，得()21t g t =+， ∴2()log (21)(1)x f x k x =++-． ∵函数()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=， ∴22log (21)(1)log (21)(1)x x k x k x -++-=+--，即221log 2(1)21x xk x -+=--+，2log 22(1)x k x =--， ∴2(1)x k x =--对一切x R ∈恒成立，∴2(1)1k -=-，即12k =． （2）设当1k =时，22()log (1)f x ax a x a ⎡⎤=+++⎣⎦，当0a ≠时，要使函数()f x 的值域为R ，则0,0,a >⎧⎨∆≥⎩即220,(1)40,a a a >⎧⎨+-≥⎩解得01a <≤． 综上所述a 的取值范围为[]0,1．考点：1、函数的解析式及奇偶性；2、复合函数的值域. 21.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率12e =，且椭圆C 经过点(2,3)P ，过椭圆C 的左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）设线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求△1PFG 的面积S 的取值范围．【答案】（1）2211612x y +=；（2）9(,3)4.试题解析：（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），则221,2491,c a c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得2216,12,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的方程为2211612x y +=． （2）设直线AB 的方程为(2)y k x =+（0k ≠）．由22(2),34480y k x x y =+⎧⎨+-=⎩消去y 并整理得2222(34)1616(3)0k x k x k +++-=． 易知0∆>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122164+3k x x k -+=，2122164843k x x k -=+， 设00(,)M x y 是AB 的中点，则2020028,436(2).43k x k k y k x k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=+=⎪+⎩线段AB 的垂直平分线MG 的方程为001()y y x x k-=--， 令0y =，得2200222862343434G k k x x ky k k k-=+=+=-+++．因为0k ≠，所以102G x -<<， 因为1113|||||2|22PF G P G S S FG y x ∆==⋅=+，1(,0)2G x ∈-， 所以S 的取值范围是9(,3)4．考点：1、待定系数求椭圆方程；2、直线与椭圆的位置关系和三角形面积公式.【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和三角形面积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a +=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.22.已知函数()ln f x b x =．（1）当1b =时，求函数2()()G x x x f x =--在区间1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值；（2）若在[]1,e 上存在0x ，使得0001()bx f x x +-<-成立，求b 的取值范围． 【答案】（1）21e e --，0；（2）21(,2)(,)1e e +-∞-+∞-. 试题解析：（1）当1b =时，2()()G x x xf x =--2ln (0)x x x x =-->，(21)(1)'()x x G x x+-=，令'()0G x =，得1x =，当x 变化时，()G x ，'()G x 的变化情况如下表：因为111()ln ln 212424G =--=-+<，(1)0G =， 2()1(1)11G e e e e e =--=-->，所以2()()G x x x f x =--在区间1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值分别为：2max ()()1G x G e e e ==--，min ()(1)0G x G ==．（2）设1()ln b h x x b x x +=-+．若在[]1,e 上存在0x ，使得0001()bx f x x +-<-，即0001ln 0bx b x x +-+<成立，则只需要函数1()ln b h x x b x x +=-+在[]1,e 上的最小值小于零．又2221(1)'()1b b x bx b h x x x x +--+=--=[]2(1)(1)x x b x+-+=， 令'()0h x =，得1x =-（舍去）或1x b =+．①当1b e +≥，即1b e ≥-时，()h x 在[]1,e 上单调递减，故()h x 在[]1,e 上的最小值为()h e ，由1()0b h e e b e +=+-<，可得211e b e +>-． 因为2111e e e +>--，所以211e b e +>-． ②当11b +≤，即0b ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递增， 故()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)h ，由(1)110h b =++<， 可得2b <-（满足0b ≤）．考点：1、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值；2、不等式成立问题. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式成立问题，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()'0f x >，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()'0f x <，解不等式得x 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.。

天一大联考2017—2018学年高二年级阶段性测试(三)数学(理科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若的实部与虚部相等，则实数（）A. -2B.C. 2D. 3【答案】B【解析】分析：首先将所给的复数利用四则运算法则进行计算，然后结合实部虚部的表达形式得到关于实数a的方程，解方程即可求得实数a的值.详解：由题意可得：，该复数的实部与虚部相等，则：，求解关于实数a的方程可得：.本题选择B选项.点睛：复数中，求解参数(或围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数围的基本思想是复数问题实数化.2. 对于小于41的自然数，积等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用排列数、组合数公式逐项写出所给算式的表达形式，结合题意选择符合题意的选项即可.详解：由排列数公式可知：，，；本题选择A选项.点睛：排列数、组合数公式是高中的基础公式，熟练掌握：(1)排列数公式；(2)组合数公式，这是正确计算的关键．3. 若 (为虚数单位)，则使的值可能是（）A. 0B.C.D.【答案】B【解析】分析：首先计算的结果，结合所得的结果分别令实部、虚部相等，得到关于的三角方程，求解三角方程即可求得的值.详解：由题意可得：，结合可得：，对比选项可知：.本题选择B选项.点睛：复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题畴.4. 若函数有极大值点和极小值点，则导函数的大致图象可能为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：首先确定所给函数的导函数为是，然后结合函数的极值确定函数的单调性，由函数的单调性即可确定函数的大致图象.详解：三次函数的导函数为二次函数，其图象与轴有两个交点，结合函数的极值可知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；则导函数在区间上为正数，在区间上为负数，在区间上为正数；观察所给的函数图象可知，只有C选项符合题意.本题选择C选项.点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若f(x)在(a，b)有极值，那么f(x)在(a，b)绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．5. 用反证法证明命题“等腰三角形的底角必是锐角”,下列假设正确的是（）A. 等腰三角形的顶角不是锐角B. 等腰三角形的底角为直角C. 等腰三角形的底角为钝角D. 等腰三角形的底角为直角或钝角【答案】D【解析】分析：反证法的假设需要写出命题的反面，结合题意写出所给命题的反面即可.详解：反证法的假设需要写出命题的反面.“底角必是锐角”的反面是“底角不是锐角”，即底角为直角或钝角.本题选择D选项.点睛：应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.6. 某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生人数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】分析：设有女生x人，结合题意得到关于女生人数的组合方程，求解关于x的方程即可确定女生人数.详解：设有女生x人，则有男生6-x人，于是有，即（6-x)（5-x)（4-x)=24，整理可得：，解得x=2.本题选择A选项.点睛：组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．7. 观察下面的三个图形，根据前两个图形的规律，可知第三个图中（）A. 9B. 60C. 120D. 100【答案】D【解析】分析：由题意，观察分析前两个圆中部数据和外部数据的关系，归纳出数据的特点，然后求解实数的值即可.详解：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的算术平方根的和：，，据此可得：.解得：，所以“x”处该填的数字是100.本题选择D选项.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．8. 在的展开式中，称为项的次数，则所有次数为3的项的系数之和为（）A. 45B. 60C. 120D. 210【答案】C【解析】分析：由题意结合次数的定义和二项式定理展开式定理得到所有次数为3的项的系数的表达式，然后结合组合数计算公式即可求得系数的值.详解：由条件得，次数为3的项有，这些项的系数和为.本题选择C选项.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．9. 函数在上存在导数，若，则必有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：由题意结合不等式的性质确定导函数的符号，结合导函数的符号即可确定函数的单调性，最后，利用单调性即可确定题中不等式的符号.详解：，则x>1时；x<1时.故f(x)在上为增函数或常数函数，在上为减函数或常数函数.故，，即f(0)+f(2)≤2f(1).本题选择A选项.点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.10. 在某种信息的传输过程中，用6个数字的一个排列〔数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息100110至多有三个对应位置上的数字相同的信息个数为（）A. 22 B. 32 C. 42 D. 61【答案】C【解析】分析：由题意，分类讨论可知0个、1个、2个和3个对应位置的数字相同，结合组合数公式和加法原理即可求得最终结果.详解：至多有三个对应位置相同，包含0个、1个、2个和3个，即与信息100110至多有三个对应位置上的数字相同的信息个数为：.本题选择C选项.点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．11. 老师和甲、乙两名同学都知道桌上有6扑克牌：红桃3、红桃6、黑桃5、黑桃A、方块10、梅花6.老师从中挑选一,将这牌的花色告诉甲同学,将牌上的点数告诉乙同学.随后发生了下面一段对话：甲：“我不知道这牌是什么.”乙：“我本来也不知道这牌是什么，但是听了你说的话，我就知道了.”甲：“现在我也知道了.”根据他们的对话,这牌是A. 红桃3B. 红桃6C. 黑桃D. 梅花6【答案】B【解析】分析：由题意首先分析甲的说法，然后结合甲的说法分析乙的说法，据此即可确定老师挑选的牌面.详解：一开始，甲仅凭花色无法判断这牌是什么，说明这牌的花色在6牌里不是唯一的，可能是红桃或黑桃；乙仅凭数字无法判断这牌是什么，说明这牌的数字也不是唯一的，只能是6，结合甲的话，乙就知道了这牌是红桃6，甲根据乙的话也就知道答案了.所以这牌是红桃6.本题选择B选项.点睛：虽然合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法作出的探索性的判断，经历观察、试验、猜想、证明等数学活动即可得出正确合理的结论.12. 已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先求得导函数，由原函数单调递增求得函数的单调递增区间，结合题意将原问题转化为子区间的问题，得到关于m的不等式组，求解不等式组即可求得实数m的取值围.详解：因为，令可得-2≤x≤2，所以要使函数f(x）在区间上单调递增，则区间（2m，m+1）是区间（-2，2）的子区间，所以，求解不等式组可得：，据此可得：-1≤m<1.本题选择D选项.点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 由曲线，坐标轴及直线围成的图形的面积等于__________．【答案】【解析】分析：首先确定函数图象，然后结合函数图象和定积分的几何意义即可求得曲线所围成的图形的面积.详解：绘制函数的图象如图所示，结合定积分的几何意义可得，所求面积值为：.故答案为：．点睛：(1)一定要注意重视定积分性质在求值中的应用；(2)区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负.14. 对偶数构成的数列2,4,6,8,10,…进行如下分组：第一组含一个数；第二组含两个数；第三组含三个数；第四组含四个数.……试观察猜想每组各数之和与组的编号数的关系式为__________．【答案】【解析】分析：由题意结合所给的前四组数据归纳出和的特点，然后结合归纳出的算式计算与组的编号数的关系式即可.详解：由于，，，，，据此猜想第n组各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)=n3+n.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．15. 已知某质点的位移 (单位：)与时间 (单位：)的关系式为，则该质点的瞬时速度的最小值为__________.(用含有的式子表示)【答案】【解析】分析：对位移函数进行求导，结合导函数的物理意义确定瞬时速度的单调性，由单调性即可求得该质点的瞬时速度的最小值.详解：质点在t时的瞬时速度为s'=t2+bt+1，因为b>0，所以s'=t2+bt+1在时单调递增，所以该质点的瞬时速度的最小值为.点睛：导数的几何意义为切线的斜率，曲线中切线斜率的物理意义为瞬时速度，据此结合函数的单调性即可确定速度的最小值，注意转化思想的应用.16. 图中共有__________个矩形.【答案】45【解析】分析：结合图形进行分类，利用排列组合的性质求解每类中矩形的个数，然后利用加法原理即可求得图中矩形的个数.详解：如图所示，由排列组合知识可知，在矩形中，含有矩形的个数为，在矩形中，含有矩形的个数为，除去上面考虑过的情况，在矩形中，含有矩形的个数为，在矩形中，含有矩形的个数为，综上可得：图中矩形的个数为：.(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设复数（其中).（Ⅰ）若复数为纯虚数，求的值；（Ⅱ）若复数在复平面对应的点在第二或第四象限，数的取值围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值围是.【解析】分析：(Ⅰ)复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，据此可得：，解得；(Ⅱ)由题意可知实部虚部符号相反，据此得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得实数的取值围是.详解：（Ⅰ）因为复数为纯虚数，所以所以.（Ⅱ）因为对应的点在第二或第四象限，所以或解不等式组得或，即的取值围是.点睛：这个题目考查了复数问题，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要部为0，也要求虚部不为0.18. 已知二项式（Ⅰ）若，展开式中含项的系数为960，求的值；（Ⅱ）若展开式中各项系数和为，且，求展开式的所有二项式系数之和.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）32．【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合二项式展开式的通项公式可得，据此计算可得；（Ⅱ）由题意可得,据此可得，,则二项式系数之和为.详解：（Ⅰ）的展开式通项为，令，得，解得（Ⅱ）因为展开式中各项系数和为，所以,故或或，又因为，所以，,所以展开式的所有二项式系数之和为.点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．19. 是否存在正整数，使得对任意正整数都能被36整除？若存在，求出的最小值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】答案见解析【解析】分析：由题意计算可得，，，.猜想最小的正整数的值为9，即.用数学归纳法讨论可知成立，假设时成立，可证得时成立，即可证得猜想成立.详解：由，得，，，.要使得对都能被36整除，最小的正整数的值为9，由此猜想最小的正整数的值为9，即.下面用数学归纳法证明：（1）当时，显然成立.（2）假设时，能被36整除，即能被36整除.当时，，由于是2的倍数，故能被36整除.这就是说，当时，也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数都有能被36整除，的最小值为9.点睛：1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.20. 某商场根据销售某种商品的经验发现,该商品每日的销售量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/干克时，每日可售出该商品11千克.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，则销售价格为多少时，商场每日销售该商品所获得的利润最大？【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得时，，代入函数解析式可得的值；（Ⅱ）根据利润等于销量乘以销售价格与成本的差，列函数关系式（三次函数），利用导数研究函数单调性变化规律，确定函数最值.试题解析：解：（Ⅰ）因为时，，所以，故（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而于是，当变化时，的变化情况如下表：由上表可得，是函数在区间的极大值点，也是最大值点.所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.视频21. 对于函数，设是函数的导数是的导数，若方有实数解，则称点为函数的“拐点”.（Ⅰ）证明：三次函数的拐点是其图象的对称中心(提示：可将函数化为的形式)（Ⅱ）若设，计算的值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）4035．【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合拐点的定义可得的拐点为.据此计算可得的图象可由的图象按向量平移得到，则图象关于点对称.即三次函数的拐点是其图象的对称中心.（Ⅱ）由题意结合(Ⅰ)的结论可得的拐点即的对称中心为.据此倒序相加可得.详解：（Ⅰ）对于三次函数，，，令，得.又，所以的拐点为.因为则的图象可由的图象按向量平移得到，而是奇函数，图象关于点对称，所以图象关于点对称.即三次函数的拐点是其图象的对称中心.（Ⅱ）由题意得，所以，令，得，所以的拐点为点，即的对称中心为.所以，若，则，令则所以，所以，所以，即.点睛：求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．22. 设，，其中.（Ⅰ）证明；（Ⅱ）设函数，若在上单调递增，求的值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2．【解析】分析：（Ⅰ）构造函数，则，讨论可得的最小值为，故成立.（Ⅱ）构造函数.由题意可得在上恒成立.二次求导可知的最小值为.故.构造函数，则在上递增，在上递减，据此计算可得.详解：（Ⅰ）令，所以，所以在上单调递增，且易知当时，，当时，，所以的最小值为，所以成立.（Ⅱ）由题意得.则.易知当或时，均有.因为函数在上单调递增，所以在上恒成立.的导函数，令，得，当时，，递减；当时，，递增.则的最小值为.所以.令，则，则在上递增，在上递减，所以，当且仅当时取等号.所以............................。

2019-2020学年河南省天一大联考高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．＝（）A．﹣2+2i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．2+2i2．dx等于（）A．B．πC．2πD．4π3．利用数学归纳法证明f（n）＝1+2+3+…+（3n+1）（n∈N*）时，第一步应证明（）A．f（2）＝1+2B．f（1）＝1C．f（1）＝1+2+3D．f（1）＝1+2+3+44．已知数列{a n}是等差数列，且a6＝6，a10＝8，则公差d＝（）A．B．C．1D．25．已知函数f（x）＝ax2+b的图象开口向下，＝4，则a＝（）A．B．C．2D．﹣26．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有60kg的果子收成，则此圭田中的收成约为（）A．25kg B．50kg C．1500kg D．2000kg7．根据如图的程序框图，输出的S的值为（）A．1007B．1009C．0D．﹣18．在复平面内，虚数z对应的点为A，其共轭复数对应的点为B，若点A与B分别在y2＝4x与y＝﹣x上，且都不与原点O重合，则•＝（）A．﹣16B．0C．16D．329．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，……这些数叫做三角形数．设第n个三角形数为a n，则下面结论错误的是（）A．a n﹣a n﹣1＝n（n＞1）B．a20＝210C．1024是三角形数D．10．已知图中的三条曲线所对应的函数分别为y1＝（x＞0），y2＝x，y3＝x，则阴影部分的面积为（）A．1+ln2B．ln2C．1D．211．在△ABC中，∠B＝60°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，BD＝，cos∠BAC＝，则AD＝（）A．2B．C．D．12．已知方程3x2﹣ax+a2＝0的两实根为x1，x2，若函数f（x）＝x（x﹣1）（x+1）在x＝x1与x＝x2处的切线相互垂直，满足条件的a的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z的实部与虚部之和为2，且|z|＝，则z＝．14．某村有农户200户，他们2018年的家庭收入经过统计整理得到如图所示的频率分布直方图．当地政策规定，若家庭收入不足1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，则该村享受国家扶贫政策的有户．15．若x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为．16．函数f（x）是连续的偶函数，方程f（x）＝0仅有两个实根±1，且当x＝（﹣2，0）∪（2，+∞）时f'（x）＞0恒成立，则不等式xf（x）＜0的解集为．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若f（x）＝3，求tan x；（Ⅱ）证明：f′（x）＝．18．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于点O，BC＝2AD，AC＝9，将△ABD沿着BD 折起，使得A点到P点的位置，PC＝3．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BCD；（Ⅱ）M为BC上一点，且BM＝2CM，求证：OM∥平面PCD．19．已知a，b，c，d为实数．（Ⅰ）证明：a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0；（Ⅱ）若ab+bc+cd+da＝4，证明：a，b，c，d中至少有一个不大于1．20．已知函数f（x）＝（ax2+bx）e x．（Ⅰ）若x＝0是f（x）的一个极值点，求实数b的值；（Ⅱ）若a＝2，b＝3，求f（x）在区间[﹣2，0]上的最值．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，弦AB的中点的横坐标为，|AB|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l的倾斜角为锐角，求与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程．22．已知函数f（x）＝elnx﹣ax+1．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＞0，且对任意的x∈[1，e]，都有f（x）＜a，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．＝（）A．﹣2+2i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．2+2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：＝．故选：C．2．dx等于（）A．B．πC．2πD．4π【分析】由定积分的几何意义知：dx是如图所示的阴影部分扇形的面积，其面积等于四分之一个圆的面积，求解即可．解：由定积分的几何意义知：dx是如图所示的阴影部分的面积，即表示以原点为圆心以2为半径的圆的面积的四分之一，故dx＝π×22＝π，故选：B．3．利用数学归纳法证明f（n）＝1+2+3+…+（3n+1）（n∈N*）时，第一步应证明（）A．f（2）＝1+2B．f（1）＝1C．f（1）＝1+2+3D．f（1）＝1+2+3+4【分析】由f（n）的表达式，考虑右边的最后一项，即从1连续加到3n+1，可得所求结论．解：由f（n）＝1+2+3+…+（3n+1）（n∈N*），可得f（1）＝1+2+3+4，由数学归纳法的证明步骤，可知第一步应证明：f（1）＝1+2+3+4．故选：D．4．已知数列{a n}是等差数列，且a6＝6，a10＝8，则公差d＝（）A．B．C．1D．2【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．解：∵a6＝6，a10＝8，则公差d＝＝，故选：A．5．已知函数f（x）＝ax2+b的图象开口向下，＝4，则a＝（）A．B．C．2D．﹣2【分析】先求出函数的变化率，根据极限的定义，结合二次函数的性质即可求出a的值．解：f（a+△x）﹣f（a）＝a（a+△x）2+b﹣a3﹣b＝2a2△x+a△x2，则＝（2a2+a△x）＝2a2＝4，∴a＝±，∵函数f（x）＝ax2+b的图象开口向下，∴a＝﹣，故选：B．6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有60kg的果子收成，则此圭田中的收成约为（）A．25kg B．50kg C．1500kg D．2000kg【分析】利用几何概型能求出在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的概率，乘以100得到圭田内果树的棵数，乘以产量得答案．解：由题意，邪田的面积；内部圭田的面积．则将100棵的果树均匀地种植在邪田，其中在圭田内果树的棵数为．∵一年后，每棵果树都有60kg的果子收成，则此圭田中的收成约为25×60＝1500kg．故选：C．7．根据如图的程序框图，输出的S的值为（）A．1007B．1009C．0D．﹣1【分析】循环体的算法功能，先研究随着i的变化，函数值的变化规律（一般是周期性循环出现），然后判断最后一项是多少，最终求出结论．解：由题意可知S是的前2017个函数值的和．∵i＝1时，x＝﹣1；i＝2时，x＝；i＝3时，x＝2；i＝4时，x＝﹣1；可以看出的值是按﹣1，，2循环的，周期为3．所以＝1007．故选：A．8．在复平面内，虚数z对应的点为A，其共轭复数对应的点为B，若点A与B分别在y2＝4x与y＝﹣x上，且都不与原点O重合，则•＝（）A．﹣16B．0C．16D．32【分析】设出z，求出A，B的坐标，根据A，B在y2＝4x与y＝﹣x上求出a，b；再代入数量积求解即可．解：设z＝a+bi；则z对应的点为A（a，b）；其共轭复数对应的点为B（a，﹣b）；又因为：点A与B分别在y2＝4x与y＝﹣x上，且都不与原点O重合；∴⇒，（0，0）舍；∴A（4，4），B（4，﹣4）；∴•＝4×4+4×（﹣4）＝0；故选：B．9．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，……这些数叫做三角形数．设第n个三角形数为a n，则下面结论错误的是（）A．a n﹣a n﹣1＝n（n＞1）B．a20＝210C．1024是三角形数D．【分析】通过数列的项与序号之间的关系，判断选项A的正误，然后推出数列的递推关系式，求解数列的和，即可判断选项的正误．解：1，3，6，10，15，21，28，36，45，……可得a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，…得到a n﹣a n﹣1＝n，所以A正确；累加可得则a n﹣1＝1+2+3+4+…+n﹣1＝﹣1；所以a n＝，a20＝＝210，所以B正确；，解得n∉N，所以C不正确，＝＝．所以D正确；故选：C．10．已知图中的三条曲线所对应的函数分别为y1＝（x＞0），y2＝x，y3＝x，则阴影部分的面积为（）A．1+ln2B．ln2C．1D．2【分析】首先求出被积函数的原函数，进一步求出阴影部分的面积．解：根据题意构建方程组，解得（负值舍去），同理构建方程组解得，所以＝＝．故选：B．11．在△ABC中，∠B＝60°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，BD＝，cos∠BAC ＝，则AD＝（）A．2B．C．D．【分析】先由二倍角公式求得，进而由平方关系得到，再在△ABD中，运用正弦定理即可求得AD的值．解：∵AD是∠BAC的平分线，，∴，由题意知，∠BAD为锐角，∴，∴，在△ABD中，由正弦定理可得，，∴．故选：A．12．已知方程3x2﹣ax+a2＝0的两实根为x1，x2，若函数f（x）＝x（x﹣1）（x+1）在x＝x1与x＝x2处的切线相互垂直，满足条件的a的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据方程3x2﹣ax+a2＝0的两实根为x1，x2，利用韦达定理找到两实根与a的关系，然后利用函数f（x）＝x（x﹣1）（x+1）在x＝x1与x＝x2处的切线相互垂直，即f′（x1）f′（x2）＝﹣1得一等量关系，再将刚才的a与两根的关系式代入，构造出关于a的方程求解即可．解：因为方程3x2﹣ax+a2＝0的两实根为x1，x2，所以△＝3a2≥0，故a∈R，且，∵f′（x）＝3x2﹣1，∴整理得：将韦达定理代入整理得a4﹣3a2﹣2＝0所以所以，满足条件的a有两个．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z的实部与虚部之和为2，且|z|＝，则z＝1+i．【分析】设z＝a+bi，根据条件求出a，b即可求解结论．解：设z＝a+bi；a，b∈R；∵复数z的实部与虚部之和为2，且|z|＝，∴a+b＝2且a2+b2＝2；解得：a＝b＝1；故z＝1+i；故答案为：1+i．14．某村有农户200户，他们2018年的家庭收入经过统计整理得到如图所示的频率分布直方图．当地政策规定，若家庭收入不足1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，则该村享受国家扶贫政策的有20户．【分析】由频率分布直方图得家庭收入不足1.5万元的频率为0.01×10＝0.1，由此能求出该村享受国家扶贫政策户数．解：若家庭收入不足1.5万元，则可以享受一定的国家扶贫政策，由频率分布直方图得家庭收入不足1.5万元的频率为0.01×10＝0.1，则该村享受国家扶贫政策的有200×0.1＝20（户）．故答案为：20．15．若x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为10．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出z最大值即可．解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图：由z＝2x+y知，所以动直线y＝﹣2x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．结合可行域可知当动直线经过点B（5，0）时，目标函数取得最大值z＝2×5+0＝10．故答案为：10．16．函数f（x）是连续的偶函数，方程f（x）＝0仅有两个实根±1，且当x＝（﹣2，0）∪（2，+∞）时f'（x）＞0恒成立，则不等式xf（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．【分析】结合函数的导数的符号，以及函数的零点，画出函数的示意图，然后求解不等式的解集即可．解：函数f（x）是连续的偶函数，方程f（x）＝0仅有两个实根±1，且当x＝（﹣2，0）∪（2，+∞）时f'（x）＞0恒成立，可知函数在x∈（﹣2，0），x∈（2，+∞）时，都是增函数，函数的示意图如图：所以不等式xf（x）＜0的解集为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若f（x）＝3，求tan x；（Ⅱ）证明：f′（x）＝．【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数的关系即可求出，（Ⅱ）根据导数基本公式和运算法则即可证明．解：（Ⅰ）＝＝3，解得tan x＝2，证明：（2）f′（Ⅱ）＝＝＝．18．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于点O，BC＝2AD，AC＝9，将△ABD沿着BD 折起，使得A点到P点的位置，PC＝3．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BCD；（Ⅱ）M为BC上一点，且BM＝2CM，求证：OM∥平面PCD．【分析】（Ⅰ）先证明PO⊥平面BCD，再证明平面PBD⊥平面BCD；（Ⅱ）先证明OM∥DC，再证明OM∥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC＝2AD，∴CO＝2AO，∴CO＝6，AO＝3，即PO＝3，又∵，∴CO2+PO2＝PC2，则PO⊥CO，∵AC⊥BD于点O，∴PO⊥BD，又BD∩OC＝O，∴PO⊥平面BCD，又PO在平面PBD内，∴平面PBD⊥平面BCD；（Ⅱ）∵AD∥BC，BC＝2AD，∴，又，故，∴OM∥DC，又∵OM不在平面PCD内，DC在平面PCD内，∴OM∥平面PCD．19．已知a，b，c，d为实数．（Ⅰ）证明：a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0；（Ⅱ）若ab+bc+cd+da＝4，证明：a，b，c，d中至少有一个不大于1．【分析】（Ⅰ）要证a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0，可证a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da，再由基本不等式证明；（Ⅱ）假设a，b，c，d都大于1，则a＞1，b＞1，可得ab＞1，同理bc＞1，cd＞1，da ＞1，得到ab+bc+cd+da＞4，与ab+bc+cd+da＝4矛盾，即可说明假设不成立，得到a，b，c，d中至少有一个不大于1．【解答】（Ⅰ）要证a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0，需证a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da．∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+d2≥2cd，d2+a2≥2da，∴2（a2+b2+c2+d2）≥2（ab+bc+cd+da），则a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da，当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立．∴a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣d）+d（d﹣a）≥0；（Ⅱ）假设a，b，c，d都大于1，则a＞1，b＞1，∴ab＞1；同理bc＞1，cd＞1，da＞1．∴ab+bc+cd+da＞4，与ab+bc+cd+da＝4矛盾，故假设不成立，∴a，b，c，d中至少有一个不大于1．20．已知函数f（x）＝（ax2+bx）e x．（Ⅰ）若x＝0是f（x）的一个极值点，求实数b的值；（Ⅱ）若a＝2，b＝3，求f（x）在区间[﹣2，0]上的最值．【分析】（Ⅰ）函数f（x）＝（ax2+bx）e x．的f′（x）＝e x[ax2+（b+2a）x+b]．由f′（0）＝0，解得b即可；（Ⅱ）a＝2，b＝3时，f（x）＝（2x2+3x）e x，f′（x）＝e x（2x2+7x+3）．可得f（x）在[﹣2，﹣]递减，在[﹣，0]递增，即可求得（x）在区间[﹣2，0]上的最值．解：（Ⅰ）函数f（x）＝（ax2+bx）e x的f′（x）＝e x[ax2+（b+2a）x+b]．∵x＝0是f（x）的一个极值点，∴f′（0）＝0．解得b＝0．当b＝0时，f′（x）＝ae x（x2+2x）．．显然x＝0是f（x）的一个极值点．∴b＝0．（Ⅱ）a＝2，b＝3时，f（x）＝（2x2+3x）e x，f′（x）＝e x（2x2+7x+3），令f′（x）＝0．可得或x＝﹣3．可得f（x）在[﹣2，﹣]递减，在[﹣，0]递增，∵，f（0）＝0，所以f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值为，最小值为．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，弦AB的中点的横坐标为，|AB|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l的倾斜角为锐角，求与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程．【分析】（1）由AB弦的中点坐标可得AB两点横坐标之和，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，再由AB的弦长求出p的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线l的方程与抛物线联立，且由题意可得斜率大于0，求出斜率，可得切线的斜率，设切线的方程，与抛物线联立，由题意判别式为0，进而求出切线直线的方程．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB的中点的横坐标为，所以．根据抛物线定义知|AB|＝|AF|+|BF|＝p+x1+x2＝5．所以p+3＝5，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），k＞0，则由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．所以，即，解得k＝2．设与直线l平行的直线的方程为y＝2x+b，由得4x2+（4b﹣4）x+b2＝0．依题知△＝（4b﹣4）2﹣16b2＝0，解得．故所求的切线方程为．22．已知函数f（x）＝elnx﹣ax+1．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＞0，且对任意的x∈[1，e]，都有f（x）＜a，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）对a分a≤0和a＞0两种情况讨论，利用导数求函数的单调性；（Ⅱ）当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在上单调递增，在上单调递减，再对a分三种情况讨论，利用导数研究函数的最大值，进而建立关于a的不等式得解．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），，（i）当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；（ii）当a＞0时，令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减；综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在上单调递增，在上单调递减，①当，即a≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减，则f（x）max＝f（1）＝1﹣a，由1﹣a＜a，解得，∴此时实数a的取值范围为[e，+∞）；②当，即a≤1时，f（x）在[1，e]上单调递增，则f（x）max＝f（e）＝e﹣ae+1，由e﹣ae+1＜a，解得a＞1，∴此时a∈∅；③当，即1＜a＜e时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，则，故1﹣elna＜a，即elna+a﹣1＞0，设g（x）＝elnx+x﹣1，x∈（1，e），则，∴g（x）在（1，e）上单调递增，又g（1）＝0，∴对任意x∈（1，e），都有g（x）＞0，∴a∈（1，e）满足题意；综上所述，实数a的取值范围为（1，+∞）．。

某某省天一大联考2020-2021学年高二数学下学期期中试题理（含解析）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的某某、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知z＝(2－i)(1＋3i)，则z的虚部为A.－1B.－iC.5D.5i2.用反证法证明“三个孩子中恰有一个男孩”时，正确的反设为A.三个孩子都是男孩B.三个孩子都是女孩C.三个孩子中至少有两个男孩D.三个孩子都是女孩或至少有两个男孩3.设函数f(x)＝(x－2)lnx－x2的导函数为f'(x)，则f'(1)＝A.－1B.1C.－3D.34.教学楼共有6层楼，每层都有南、北两个楼梯，从一楼到六楼共有( )种走法。

A.25B.52C.62D.26对应的点位于第二象限，则z对应的点位于5.已知z为复数，在复平面内，ziA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限33 D.不确定7.已知函数f(x)＝－13x 3＋2x 2＋ax －1在区间(－1，1)上是增函数，则实数a 的取值X 围是 A.[4，9] B.[3，＋∞) C.[－2，5] D.[5，＋∞)8.(1＋x ＋21x)6的展开式中，常数项为 A.45B.66C.76D.909.一组密码由0至9中的六个互不相同的数字组成，包含四个偶数和两个奇数，且0不能放在首位，这样的密码个数为A.28900B.31200C.46800D.5270010.函数f(x)＝ln(2x －x 2)＋x 的单调递减区间为2) B.(1，＋∞) C.(1，2)D.(011.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且对任意x ∈R ，f'(x)－f(x)<0，若f(2)＝e 2，f(t)<e t ，则t 的取值X 围是A.(0，2)B.(2，＋∞)C.(0，e 2)D.(e 2，＋∞)12.设z 1，z 2是复数，则下列命题中真命题的个数是①若z 1·z 1＝z 2·z 2，则|z 1|＝|z 2|； ②若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2；③若z 12＝z 22，则|z 1|＝|z 2|； ④若|z 1|＝|z 2|，则z 12＝z 22。