矩阵逆的模(dropping strategy)

关于矩阵广义BottDuffin逆的逆序律矩阵广义BottDuffin逆的逆序律是一种矩阵乘法的性质，它指出当两个矩阵相乘时，其广义BottDuffin逆也具有类似于逆序律的性质。

要了解这个逆序律，我们需要先了解什么是矩阵广义BottDuffin逆。

矩阵广义BottDuffin逆是一个广义逆，它可以看作是矩阵Moore-Penrose逆的一种推广。

对于一个矩阵A，如果它的秩r小于等于它的列数n，那么它的广义BottDuffin逆A+是唯一的满足下列四条性质的矩阵：1. A+AA+A=A+其中，T表示矩阵的转置，+表示矩阵的伪逆。

有了这个定义，我们就可以开始讨论矩阵广义BottDuffin逆的逆序律了。

假设我们有两个矩阵A和B，它们分别是m×n和n×p的矩阵。

我们可以想象将它们拼成一个m×p的方阵C：C = [A B]为了简化问题，我们假设A和B的秩都小于等于它们的列数，也即m≤n 和n≤p。

这种情况下，C的秩也小于等于它的列数p，因此C的广义BottDuffin逆C+是存在的。

(CA)+ = A+C(BA)+B也就是说，当我们将C和A相乘的广义BottDuffin逆取逆之后，得到的结果等于将A 和B相乘的广义BottDuffin逆先加C，再取逆的结果。

这个定理的证明需要用到广义BottDuffin逆的定义和一些矩阵的基本性质，因此比较繁琐。

不过，这个定理可以帮助我们更方便地处理一些矩阵计算问题，尤其是当我们需要求解一些线性方程组时，可以借助这个定理来求解。

总的来说，矩阵广义BottDuffin逆的逆序律是一种重要的矩阵乘法性质，它在矩阵计算和应用中有着广泛的应用。

理解和应用这个性质需要一定的数学知识和技巧，但它可以帮助我们更好地理解和处理矩阵问题。

稀疏矩阵求逆稀疏矩阵是指其中大部分元素都为零的矩阵，其逆矩阵的计算方法与一般矩阵不同。

本文将介绍如何求解稀疏矩阵的逆矩阵。

一、基本概念1.稀疏矩阵稀疏矩阵是指其中大部分元素都为零的矩阵。

在实际应用中，这种矩阵非常常见，比如说图像处理、电子线路中的电容电感导纳矩阵，或者是机械结构中的刚度矩阵等。

2.逆矩阵对于矩阵A，如果存在一个矩阵B，满足AB = BA = I，则矩阵A称为可逆矩阵，而矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。

其中，I代表单位矩阵。

一般地，对于一个n阶方阵A，如果它的行列式不为0，则A就是可逆矩阵。

3.克拉默求逆对于一个2*2矩阵A，它的逆矩阵可以用克拉默公式求解，具体如下：a1 b1A = c1 d1其中，ad-bc != 0逆矩阵为：d1 -b1A^-1= -c1 a1这种方法可以很好地解决小规模矩阵的逆矩阵计算问题，但是对于大规模矩阵，就不再适用了。

因为克拉默求逆的复杂度为O(n^3)，这在大规模矩阵中是无法接受的。

二、基本思路根据定义，矩阵的逆矩阵可以表示为元素个数=1的矩阵之和的形式。

换句话说，我们可以表示矩阵的逆矩阵为：在上述公式中，我们需要计算每个元素的值。

这个值可以通过LU 分解、Gauss-Jordan消元法、矩阵迭代等方法求得。

但这些方法都有一个共同的缺点：复杂度高。

因此，在计算稀疏矩阵的逆矩阵时，我们需要采取一些特殊的方法。

三、稀疏矩阵求逆的特殊方法1.先化为对称矩阵对于一个稀疏矩阵A，我们需要先将它化为对称矩阵，即计算A + A'，其中A'表示A的转置矩阵。

化为对称矩阵后，可以采用LDLT分解或者Cholesky分解方法求逆矩阵，其时间复杂度为O(nnz^1.5)，其中nnz表示非零元素个数。

这种方法的优点是计算速度较快，但是对于稀疏矩阵的存储空间需求较大，可能会导致存储空间不够而出现溢出等问题。

2.特殊的迭代算法本文提到的方法是Wiedemann迭代算法，它的核心思想是构造一个3阶张量的展开核心，使得矩阵-向量的乘积可以转化为张量-向量的乘积。

1.测量空间中的矩阵求逆Function Rect_yu(A()As Double,L As Long,C()As Double)As Double '矩阵求逆Dim T0 As DoubleDim T1 As DoubleDim T2 As DoubleDim T3 As DoubleDim B()As DoubleDim Num As DoubleDim Chay As LongDim Chax As LongChay =0Chax =0ReDim B(L -1,L -1)Num =0Dim add As Doubleadd =1 / Rect(A(),L)For T0 =0 To LFor T3 =0 To LFor T1 =0 To L -1If T1 < T0 ThenChax =0ElseChax =1End IfFor T2 =0 To L -1If T2 < T3 ThenChay =0ElseChay =1End IfB(T1,T2)=A(T1 +Chax,T2 +Chay)Next T2Next T1'Rect(B(),L -1)'调用求行列式值C(T3,T0)=Rect(B(),L -1)*add *((-1)^ (T0 +T3))Next T3Next T0End Function******************************************************************************** ******2.复杂的矩阵求逆Option Explicit'先写一个函数用于交换两个数的函数Private Sub swap(byref a As Double,byref b As Double)Dim c As Doublec = aa = bb = cEnd Sub'下面是求矩阵逆阵的函数Public Function Inv(m() As Double) As Double()Dim i As IntegerDim j As IntegerDim k As IntegerDim n As IntegerDim temp As Double'从第 k 行、第 k 列开始的右下角子阵中选取绝对值最大的元素，并记住次元素在的行号和列号，'在通过行交换和列交换将它交换到主元素位置上.这一步称为全选主元n = UBound(m, 1)Dim iw() As IntegerDim jw() As IntegerDim fMax As DoubleReDim iw(0To n), jw(0To n) As IntegerFor k = 0To nfMax = 0For i = k To nFor j = k To nIf Abs(m(i, j)) > fMax Then fMax = Abs(m(i, j))iw(k) = ijw(k) = jNext jNext iIf iw(k) <> k ThenFor i = 0To nswap m(k, i), m(iw(k), i)Next iEnd IfIf jw(k) <> k ThenFor i = 0To nswap m(i, k), m(i, jw(k))Next iEnd IfNext k''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''在m右边增加一个单位阵，构成一个m的增广矩阵mmDim mm() As DoubleReDim mm(0To n, 0To2 * n + 1)For i = 0To nFor j = 0To nmm(i, j) = m(i, j)Next jNext iFor i = 0To nFor j = n + 1To2 * n + 1If i = j - n - 1Thenmm(i, j) = 1Elsemm(i, j) = 0End IfNext jNext i'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''通过初等行变换(即高斯消去法)使原矩阵变为单位阵，则右边的单位阵即是原矩阵的逆阵For k = 0To n - 1For i = k + 1To ntemp = mm(i, k) / mm(k, k)For j = 0To2 * n + 1mm(i, j) = mm(i, j) - mm(k, j) * tempNext jNext iNext kFor k = n To1Step -1For i = k - 1To0Step -1temp = mm(i, k) / mm(k, k)For j = 2 * n + 1To0Step -1mm(i, j) = mm(i, j) - mm(k, j) * tempNext jNext iNext kFor i = 0To nDim s As Doubles = mm(i, i)For j = 0To2 * n + 1mm(i, j) = mm(i, j) / sNext jNext i'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''输出变换后的右边的矩阵For i = 0To nFor j = 0To nm(i, j) = mm(i, j + n + 1)Next jNext i'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''根据在全选主元过程中所记录的行、列交换的信息进行恢复，恢复的原则如下：在全选主元过程中，'先交换的行（列）后进行恢复；原来的行（列）交换用列（行）交换来恢复。

gauss_jordan法求矩阵的逆先来点预备知识。

矩阵的3种运算我们称之为“⾏初等变换”：1. 交换任意2⾏2. 某⼀⾏的元素全部乘以⼀个⾮0数3. 某⼀⾏的元素加上另⼀⾏对应元素的N倍，N不为0以矩阵实施⾏初等变换等同于在矩阵左边乘以⼀个矩阵。

当要求矩阵A的逆时，在A的右边放⼀个单位矩阵，我们称[A|I]为增⼴矩阵。

对增⼴矩阵实施⾏初等变换，即左乘⼀个矩阵P，如果使得P[A|I]= [PA|P]=[I|P]，则P就是A−1。

通过⼀系列的⾏初等变换把[A|I]变成[I|P]的形式，有很多种途径，⽽数值计算就是要找到⼀种确定性的便于计算机执⾏的⽅法，gauss jordan消元法就是这样⼀种⽅法，第i次迭代时，它让增⼴矩阵的第i⾏乘以⼀个系数，使得增⼴矩阵的第i⾏第i列上的元素变为1，然后让第i⾏以外的其他⾏加上第i⾏上对应元素的N倍，使得其他⾏的第i列上的元素变为0。

下⾯举例说明gauss_jordan消元法的计算过程。

上例中A是⼀个3阶矩阵，所以经过3次迭代得到了它的逆矩阵，每次迭代增⼴矩阵中的每个元素（共3⾏6列18个元素）都要变⼀次，所以算法的时间复杂度为O(2∗n3)观察上⾯增⼴矩阵的变化过程，我们发现在每⼀步迭代的结果中，增⼴矩阵左侧有x列已化为单位矩阵时，右侧就有n-x列保持着单矩阵的样⼦，即总能从增⼴矩阵中抽出n列组成⼀个单矩阵。

同时左侧已化为单位矩阵的那⼏列在以后的⾏初等变换为始终保持不变。

所以，可以把右侧不再是单位矩阵的列存储到左侧已变为单矩阵的列上，这样就不需要额外的内存来存储整个增⼴矩阵了，内存开销减少了⼀半，同时算法的时间复杂度也降为O(n3)（虽然量级上没有变化）。

数值计算的迭代过程往往都伴随着舍⼊误差的累积，所以最终的结果也会有误差，如果这个最终的误差在⼀个可控的范围内，则称该算法为数值稳定的算法，否则为数值不稳定的算法。

什么时候会造成数值不稳定？⽐如算法某⼀步要除以⼀个很⼩的数，⼩到绝对值趋近于0，商趋于⽆穷⼤，此时舍⼊误差⼤到不可控。

矩阵求逆的快速算法在数学和计算机领域中，矩阵是一种十分重要的数学理论工具，它可以描述线性变换和解决大量的实际问题。

其中，矩阵求逆是一项基本的技术，在很多任务中都需要用到。

例如，当有一组矩阵方程需要求解时，就需要对其矩阵进行求逆处理。

然而，求解较大的矩阵的逆矩阵，通常需要很长的运算时间。

因此，人们一直在探索如何更快地计算矩阵的逆矩阵。

本文将介绍一种用于快速计算矩阵逆的算法——Sherman-Morrison公式。

Sherman-Morrison公式Sherman-Morrison公式是一种用于求解矩阵逆的快速算法。

它的核心思想是将原始的矩阵求逆问题转化为逐步地增加和减小一个列向量的问题。

因此，这个算法可以避免直接求解反矩阵所需的海量计算。

具体地，该算法定义了一个特定的公式来计算每次向矩阵增加或减小一个列向量后得到的新矩阵的逆矩阵。

下面，我们以n阶方阵为例，通过具体的数学推导来介绍Sherman-Morrison公式的原理。

假设我们有一个n阶方阵A，在它的右侧增加一个列向量u形成一个新的n+1阶矩阵，即B = [ A | u]现在，我们想要计算原矩阵A的逆矩阵，也就是A^-1，那么为了得到新矩阵B的逆矩阵B^-1，我们可以使用Sherman-Morrison公式。

Sherman-Morrison公式可以表示为:(B + uv^T)^-1 = B^-1 - ( B^-1u) (v^T B^-1)/(1+v^T B^-1u)其中，u和v是列向量，符号“^T”表示向量的转置。

根据Sherman-Morrison公式，我们可以得到矩阵AB^-1的逆：(AB^-1)^-1 = B(A + uv^T)^-1因此，如果我们可以求出B的逆B^-1和(A + uv^T)^-1，我们就可以得到矩阵A的逆矩阵A^-1了。

与传统方法相比，Sherman-Morrison公式的优势在于，它无需直接求解A^-1，而是先求出B的逆B^-1，再计算(A + uv^T)^-1。

矩阵求逆的新算法研究近年来，矩阵求逆问题一直是计算机科学领域中一个备受关注和探讨的重要问题。

在很多科技领域中，计算求逆矩阵的算法是必要的。

例如，机器学习、信号处理等领域，都需要矩阵求逆来解决各种具体问题。

对于小矩阵求逆，一些传统算法已经很成熟，但对于大矩阵而言，传统算法往往会因为时间复杂度高，而导致实际应用出现问题。

因此，研究如何跨越矩阵求逆的限制，使求解更加高效便是当前的热门领域。

技术革新是解决问题的关键。

因此，现在的科学家们致力于研究新的算法和矩阵求逆技术。

这里我们将重点介绍几种矩阵求逆算法，包括传统的Gauss-Jordan算法和其它基于Gaussian求解的算法、Strassen算法，以及近年提出的新算法。

传统的Gauss-Jordan算法是已知的求逆矩阵的最直接方法之一。

其基本思想是把原始矩阵和一个相同的单位矩阵按行拼接成一块新的矩阵，并进行化简，将原始矩阵化为单位矩阵，则在新的矩阵系中，单位矩阵就会变为求解后的逆矩阵。

但是，该算法在处理大矩阵时，会因为计算复杂度高而导致无法实用。

为了解决Gauss-Jordan算法在大矩阵计算上的问题，一些新的基于Gaussian求和的算法被提出来了。

其中之一是随机矩阵采样算法（Random Matrix Sampling）。

这种算法是利用随机采样方法，选取合适数量的矩阵，并用几何级数方法逼近总逆矩阵，从而计算大矩阵的逆矩阵。

将该方法与传统的Gauss-Jordan算法进行对比，实验结果表明，对于大矩阵，随机矩阵采样算法具有高计算效率，且求得的结果与精确值比较接近。

另外一个有趣的算法是Strassen算法，也是基于分治思想的新算法之一。

这种算法能够比传统方法计算大矩阵的逆，且时间复杂度也要小得多。

Strassen算法基于矩阵分割和分治算法的思路，将矩阵分割成4块，然后每一块也进行分解，逐步分治，最终得到矩阵逆。

该算法的优点在于它可以减少科学家们的时间和精力，以及避免计算机处理巨大数据的过程中出现的内存空间问题。

#include"stdio.h"#include"math.h"#define N 5Gauss_J_QN(double Y[N][N*2]){ int k,i,j,p;//记录列主double temp,t;for(i=0;i<N;i++)Y[i][i+N]=1.0;for(i=0;i<N;i++){for(j=i+1,p=i,temp=Y[i][i];j<N;j++){/*******************列选主**********************/if(fabs(Y[j][i])>fabs(temp)){p=j; temp=Y[j][i]; }} //printf(" %.2f ",temp);if(temp==0){printf("_____Y[%d][%d]=%.4f矩阵奇异，没有逆矩阵______\n",i,i,Y[i][i]); break;}/*****************换行、归一*********************/for(j=0;j<N*2;j++){ t=Y[i][j];Y[i][j]=Y[p][j]/temp;if(i!=p)Y[p][j]=t;//printf(" %.2f %.2f %.2f\n",Y[p][j],temp,Y[i][j]);}/**********************消元**********************/for(k=0;k<N;k++)for(j=0,t=Y[k][i];j<N*2;j++){if(i==k) continue;Y[k][j]-=t*Y[i][j];//printf("%.2f %.2f %.2f\n",Y[k][i],Y[i][j],Y[k][j]);}}}void FILE_input(double Y[][N*2]){ FILE *in;int i,j;printf("\n初始矩阵输入格式要求：矩阵附加增光单位阵[A|I]\n");if((in=fopen("初始矩阵输入.txt","r"))==NULL){printf("can not open the input file,please check it!\n");exit(0);}/********************文件输入*************************/for(i=0;i<N;i++)for(j=0;j<N*2;j++){fscanf(in,"%lf,",&Y[i][j]);}fclose(in);printf("_________输入正常_______x[%d][%d]=%lf",i-1,j-1,Y[i-1][j-1]); }void FILE_output(double Y[][N*2]){ FILE *out;int i,j;if((out=fopen("矩阵的求逆输出.txt","w"))==NULL){printf("can not open the 'output' file,please check it!\n");exit(0);}/*******************文件输出*****************************/for(i=0;i<N;i++){ for(j=0;j<N*2;j++)fprintf(out," Y[%d][%d]=%.2f",i,j,Y[i][j]);fprintf(out,"\n");}fclose(out);}void main(){ double Y[N][N*2]={0};//={{1,2,3},{2,1,2},{1,3,4}};FILE_input(Y);Gauss_J_QN(Y);FILE_output(Y);}。

关于矩阵广义BottDuffin逆的逆序律
矩阵广义Bott-Duffin逆是一种广义逆矩阵，与传统的矩阵逆有所不同。

它是由F.J. Duffin和Albert P. Bott提出的，在信号处理和系统理论中有着重要的应用。

正如我们所知，矩阵的逆是一个乘法关系的倒数。

如果一个矩阵A存在逆A^-1，那么
A乘以A^-1等于单位矩阵I，即A*A^-1=I。

对于非方阵和奇异矩阵（即行列式为零的矩阵），它们没有逆矩阵。

在信号处理和系统理论中，我们经常会遇到奇异矩阵。

这种情况下，我们无法使用传
统的矩阵逆来求解问题。

而矩阵广义Bott-Duffin逆则提供了一种解决方案。

矩阵广义Bott-Duffin逆的定义如下：对于一个m×n矩阵A，如果存在一个n×m矩阵B，满足以下条件：
1. ABA=A，即A乘以B乘以A等于A本身；
2. BAB=B，即B乘以A乘以B等于B本身；
关于矩阵广义Bott-Duffin逆的逆序律是指：如果A的广义Bott-Duffin逆是B，那么B的广义Bott-Duffin逆为A，即(B#)#=A。

证明：设B=A#，那么有
ABB#A#BA#A#B=A，
BAA#BA#BA#AB=A。

由于矩阵乘法满足结合律，得到：
进一步利用逆序律，可以推导出：
(B#)#(B#)#(AA#)A=(B#)#，
(A#)#(AB#)(B#)#=(A#)#。

根据逆的唯一性，我们得到(B#)#=A。

矩阵广义Bott-Duffin逆的逆序律得到证明。

M-P 20106O151.210213 512.6M-P20106Classified Index:O151.2U.D.C.:512.6Dissertation for the Master DegreeTHE PRESERVER PROBLEMS ABOUT M-PINVERSES OF MATRIX SPACESCandidate:Hongzhi LiuSupervisor:Professor Hong YouAcademic Degree Applied for:Master of ScienceSpecialty:Pure MathematicsAffiliation:Department of Mathematics Date of Defence:June,2010Degree-Conferring-Institution:Harbin Institute of Technology..M-P M-P.1.M-P M-P.R2R1 u u2=1u3=1M n(R)S n(R)R n×n.S n(R)M-P.R 2R S n(R)M n(R)M-P.R R1u u2=1u3=1 T n(R)R n×n.T n(R)M-P.M-PAbstractPreserving Problems of matrix spaces is an active research subject in Matrix The-ory which concern the characterization of maps between the spaces of matrices that pre-serve some invariants.Since the Generalized Inverses of matrices have wide applications in many areas such as differential equations statics optimal theory so it is still active as a study subject.M-P inverse is an important Generalized Inverses of a matrix the main purpose of this paper is to investigate the maps preserving M-P inverses of matrices.One of important techniques in the study of Preserver Problems is to reduce new Preserver Problems to the known ones such as idempotence rankone preserver and so on.In terms of the particularity and complication of M-P inverses of matrices reducing the linear maps preserving M-P inverses of matrices to the idempotent preserver is more or less difficulty.In this paper We study the problem by searching some particular matrices directly.In the second part of this paper Suppose R is a commutative PID of characteristic 2with a unit u other than1such that u2=1u3=1.We denote by M n(R)andS n(R)the spaces of n×n full matrices and symmetric matrices over R respectively. By searching some particular matrices using the method of characterizing the images of the bases the invertible linear maps from S n(R)to S n(R)preserving M-P inverses of matrices are characterized.When R is a commutative PID with a unit2the linear injections from S n(R)to M n(R)preserving M-P inverses of matrices are characterized also.Suppose R is a commutative integral domain with a unit u other than1such that u2=1u3=1.We denote by T n(R)the space of n×n upper triangular matrices over R.In the third part the linear maps from T n(R)to T n(R)preserving M-P inverses of matrices are characterized.Keywords:Ring Linear Map Space of Symmetric Matrices Space of Upper Triangular Matrices M-P Inverse (I)Abstract (II)1 (1)1.1 (1)1.2 (2)1.3M-P M-P (4)1.4 (6)2M-P (7)2.12M-P (7)2.2S n(R)M n(R)M-P (14)2.3 (17)3M-P (18)3.1 (18)3.2 (22)3.3 (23) (24) (25) (29) (29) (30)11.1.C−.F−.R−.R∗−R.M n(C)−C n×n.M n(F)−F n×n.M n(R)−R n×n.S n(F)−F n.S n(R)−R n.T n(R)−R n.K n(R)−M n(R).GL n(R)−R n.T n(R)∗−T n(R).T K n(R)−T n(R).I n−n.O t−t.[1,n]−{1,2,3,···,n}.E ij−(i,j)10.D ij−E ij+E ji,i=j.A⊕B−A B.A−1−A A.A T−A.σ−.Aσ−σ(a ij)A=(a ij).A−−(a n+1−j,n+1−i)A=(a ij).A∗−(σ(a ij))T.A+−A M-P.diag(d1,···,d n)−n.rank(A)−A.1.2V1,V2V1V2.....19G.Frobenius1897 [1]:1.1[1]M n(C)ϕdet(ϕ(A))=det(A)∀A∈M n(C)ϕ(A)=MAN,∀A∈M n(C)(1-1)ϕ(A)=MA T N,∀A∈M n(C)(1-2) M,N∈M n(C)det(MN)=1.J.Dieudonn´e1949[2]1.2[2]M n(C)ϕϕ(1-1)(1-2)M,N∈M n(C)det(MN)=0.J.Dieudonn´e.L.-K. Hua1951[3]1.3[3]M n(C)ϕϕ(1-1)(1-2)M,N M n(C).A,B rank(A−B)=1.1959M.Marcus R.Purves[4]1.4[4]M nϕϕ(1-1)(1-2)M,N M n.1.5[4]T(A)M n A.M nϕTϕ(1-1)(1-2)M,N∈M n M=N−1.M n=M n(F)F.M.Marcus1962[5]1..:1..[1,6][4,7][10,11][13].2.[8,9][15][16].3.[18][14].4.[19,20]k..M.Omladiˇc P.ˇSemrl[21][22]1.1996[23]..G.Dolinar P.ˇSemrl[24]G.Frobenius det(ϕ(A))=det(A) detϕ(A+λB)=det(ϕ(A)+λϕ(B))G.Frobenius...M-P .1.3M-P M-PA Ax=b x=A−1b AA−1A−1A=AA−1=I(I).AAx=b.x=Xb+(I−XA)yy A X AXA=AX A A g A1.A A−1AA−1A=Ax=A−1b+(I−A−1A)y=A−1b.E.H.Moore1920[25][26].30.1933.2050.1951 A.Hamel E.H.Moore.1955R.Penrose XAXA=A(1-3)XAX=X(1-4)(AX)∗=AX(1-5)(XA)∗=XA(1-6)X A Moore-Penrose Moore-Penrose(M-P)A+.70.[2829][31-34]f M n(F)M n(F)M n(F)A+A f(A)+f(A)+=f(A+)f M n(F)M n(F)M-P.1991[35]23M n(F)M-P[36][37]23M n(F)M-P.[27]23M n(F)M-P[38] 3M n(F)M-P.[39]2 S n(F)M-P[40] 2S n(F)M-P.[41]T n(F)M n(F)M-P T n(F)M-P .M-P[42]2S n(F)M m(F)M n(F)M m(F)M-P.M-P.21u u2=1,u3=12M-P1u u2=1,u3=1M-P .1.4M-P M-P .2M-P2.12M-PR2R1u u2=1,u3=1.A∈S n(R)A+A+∈S n(R)[12][17].f S n(R)S n(R)S n(R)A+A f(A)+f(A)+=f(A+)f S n(R)S n(R)M-PT S n(R)S n(R)M-P..2.1[43]A2=A∈M n(R)P∈GL n(R)A=P diag(I r,O n−r)P−1rank(A)=r.2.2[44]R2A3=A∈M n(R)P∈GL n(R)P AP−1=I p D p O OO I p O OO O I q OO O O O rrank A=2p+q,D p=diag(d1,···,d p),d i=0,∀i∈[1,p],n=2p+q+r.2.3[45]l1,l2,l3,l4R4A,B,C,D∈M n(R)A+l k B+l2k C+l3kD=O(k=1,2,3,4)A=B=C=D=O.2.4f∈T(i)f(E jj)f(E ii)f(E jj)=O,∀i,j∈[1,n],i=j.(ii)f(E jj)f(E ii)f(D ij)+f(E jj)f(D ij)f(E jj)+f(D ij)f(E ii)f(E jj)=O,∀i,j∈[1,n],i=j.∀x∈R∗(E ii+xD ij)+=x−2E jj+x−1D ijf M-Pf(E ii+xD ij)+=f((E ii+xD ij)+)=f(x−2E jj+x−1D ij) M-Pf(x−2E jj+x−1D ij)f(E ii+xD ij)f(x−2E jj+x−1D ij)=f(x−2E jj+x−1D ij)(2-1) f(E ii)=A f(E jj)=B f(D ij)=C(2-1)(x−2B+x−1C)(A+xC)(x−2B+x−1C)=(x−2B+x−1C)(2-2)(2-2)x−4BAB+x−3(BCB+CAB+BAC)+x−2(C2B+BC2+CAC+B)+x−1(C3+C)=O2.3BAB=O,BAC+BCB+CAB=O1),2).2.5∀x∈R∗(A+xB)+=A+x−1C A=A+,C=B+A2B+BA2=O,ABA=O.∀x∈R∗M-P(A+xB)(A+x−1C)(A+xB)=A+xB(A+x−1C)(A+xB)(A+x−1C)=A+x−1Cx2BAB+x(A2B+BA2)+x−1ACA+BCA+ACB=Ox−2CAC+x−1(A2C+CA2)+xABA+ABC+CBA=O2.3A2B+BA2=O,ABA=O.2.6f∈Tf(E ii)f(E jj)=f(E jj)f(E ii)=O ∀i,j∈[1,n],i=j.∀x∈R∗i=jE+ii=E ii(E ii+xE jj)+=E ii+x−1E jj E+jj=E jj(E jj+xE ii)+=E jj+x−1E iif M-Pf(E ii)+=f(E ii)f(E ii+xE jj)+=f(E ii)+x−1f(E jj) f(E jj)+=f(E jj)f(E jj+xE ii)+=f(E jj)+x−1f(E ii)2.5f(E ii)f(E jj)f(E ii)=O(2-3) f(E ii)2f(E jj)+f(E jj)f(E ii)2=O(2-4)f(E jj)f(E ii)f(E jj)=O(2-5) f(E jj)2f(E ii)+f(E ii)f(E jj)2=O(2-6) (2-4)f(E ii)f(E ii)2f(E jj)f(E ii)+f(E jj)f(E ii)2f(E ii)=O(2-3)f(E ii)3=f(E ii)f(E jj)f(E ii)=O.f(E ii)f(E jj)=O.2.7f∈T rank f(E ii)=1,f(E ii)2=f(E ii),∀i∈[1,n].f (E 11)rank f (E 11)=1,f (E 11)2=f (E 11)E +11=E 11f (E 11)+=f (E 11)f (E 11)3=f (E 11).2.2P ∈GL n (R )f (E 11)=PX O O OP −1X =I p D p OOI p O O OI q∈M 2p +q (R ),D p =diag (d 1,d 2,···,d p ). 2.6f (E 11)f (E 22)=f (E 22)f (E 11)=Of (E 11)2f (E 22)=f (E 22)f (E 11)2=O(2-7)f (E 11)2=PI 2p +q O O OP −1(2-7)f (E 22)=PO 2p +q OO ZP −1f (E 22)3=f (E 22)2.2Q ∈GL n −(2p +q )(R )f (E 22)=PI 2p +q OOQO 2p +q O OZ 1I 2p +q O OQ −1P −1Z 1=I p 1D p 1O OO I p 1O O O O I q 1O O O O O r 1∈M n −(2p +q )(R ).P 1=PI 2p +q O OQf (E 11)=P 1X O O OP −11f(E22)=P1 O O O Z1 P−11n f(E ii)W∈GL n(R)f(E ii)=W O O O Z i W−1,∀i∈[1,n],i≥2f rank f(E ii)=02p+q=1P∈GL n(R)f(E11)=P I1O O O P−1rank f(E11)=1,f(E11)2=f(E11).2.8f∈T P∈GL n(R)f(E ii)=P E ii P−1,∀i∈[1,n]P T P=diag(d1,d2,···,d n),d i=0.2.1 2.7P1∈GL n(R)f(E11)=P1E11P−11f(E22)=P1 A B C D1 P−11D1∈M n−1(R) 2.6f(E11)f(E22)=f(E22)f(E11)=OA=B=C=Of(E22)=P1 O O O D1 P−11rank f(E22)=1,f(E22)2=f(E22)D21=1,rank D1=1. 2.1Q1∈GL n−1(R),D1=Q1 I1O O O n−2 Q−11f(E22)=P1 I1O O Q1 E22 I1O O Q−11 P−11P2=P1 I1O O Q1f(E11)=P2E11P−12,f(E22)=P2E22P−12P∈GL n(R)f(E ii)=P E ii P−1,∀i∈[1,n]f(E ii)∈S n(R)(P E ii P−1)T=P E ii P−1P T P E ii=E ii P T PP T P=diag(d1,d2,···,d n)d i=0,∀i∈[1,n].2.9f∈T P∈GL n(R)f(D ij)=P(a ij E ij+a−1ij E ji)P−1,∀i,j∈[1,n],i=ja ij∈R∗.n≥3i j k∀x∈R∗E+kk=E kk,D+ij=D ij(E kk+xD ij)+=E kk+x−1D ijff(E kk)+=f(E kk),f(D ij)+=f(D ij)f(E kk+xD ij)+=f(E kk)+x−1f(D ij)2.5f(E kk)2f(D ij)+f(D ij)f(E kk)2=Of(E kk)f(D ij)f(E kk)=O2.8P∈GL n(R)f(E ii)=P E ii P−1,∀i∈[1,n]f(D ij)=P(a ij)P−1f(D ij)=P(a ii E ii+a jj E jj+a ij E ij+a ji E ji)P−1,∀i,j∈[1,n],i=jn=2n≥2. 2.4f(E ii)f(D ij)f(E ii)=O,f(E jj)f(D ij)f(E jj)=Oa ii=a jj=0.f(D ij)3=f(D ij)a ji=a−1ij.2.1R2R1u u2= 1,u3=1f∈T P∈GL n(R)f(A)=P AP−1,∀A∈S n(R)P∗P=diag(b1,b2,···,b n),b i=0,∀i∈[1,n],P T P=αI n,α,∈R.E ii D ijf(E ii)f(D ij). 2.8 2.9P1∈GL n(R)P1f(E ii)P−11=E ii,P1f(D ij)P−11=a ij E ij+a−1ij E ji,∀i,j∈[1,n],i=jn≥3i,j,k N=E ii+D ij+D ik+D jkN+=E ii+E jj+E kk+D ij+D ik f(N)+=f(N+)f(N)f(N)+f(N)==a jk f(N)(j,k)a ik a−1ijP2=diag(1,a12,···,a1n)P=(P2P1)−1f(A)=P AP−1.n=2P=(diag(1,a12)P1)−1f(A)=P AP−1.f M-P S n(R)A+A(f(A)f(A)+)∗= f(A)f(A)+P∗P AA+=AA+P∗P A=E ii,∀i∈[1,n]P∗P=diag(b1,b2,···,b n),b i=0,∀i∈[1,n].f(A)∈S n(R)f(A)=P AP−1=f(A)T=(P−1)T A T P TA T P T P=P T P A T.A=E ii,∀i∈[1,n]P T P=diag(d1,d2,···,d n)A=D1j d1=d j j d1=d2=···= d nβ=d1P T P=αI n,α∈R.2.2S n(R)M n(R)M-PR2R.f S n(R)M n(R)S n(R)A+A f(A)+f(A)+=f(A+)f S n(R)M n(R)M-P.S n(R)M n(R)M-PS n(R)M-P.2.10[56]A∈K n(R)P∈GL n(R)P−1AP=I p⊕−I q⊕Op+q=rank A.2.11(A,B,C)∈Ψn(R)AB=BA=O,AC=CB,BC=CA,C2= A2+B2.2.1 2.10[30]33R.2.12[55]R A1,A2,···,A n∈K n(R)A i A j=O,∀i,j∈[1,n],i=j P∈GL n(R)A i=e i P E ii P−1,∀i∈[1,n]e i∈R e2i=1.2.13f∈T,P∈GL n(R)(i)P−1f(E ii)P=eE ii,∀i∈[1,n].(ii)P−1f(D ij)P=eD ij,∀i,j∈[1,n],i=j.e∈R e2=1.i,j∈[1,n]E+ii=E ii,E+jj=E jj,D+ij=D ij(E ii±E jj)+=E ii±E jj(E ii+E jj±D ij)+=4−1(E ii+E jj±D ij) (E ii−E jj±D ij)+=2−1(E ii−E jj±D ij) (−E jj±D ij)+=E ii±D ijff(E ii)+=f(E ii),f(E jj)+=f(E jj),f(D ij)+=f(D ij)(f(E ii)±f(E jj))+=f(E ii)±f(E jj)(f(E ii)+f(E jj)±f(D ij))+=4−1(f(E ii)+f(E jj)±f(D ij)) (f(E ii)−f(E jj)±f(D ij))+=2−1(f(E ii)−f(E jj)±f(D ij)) (−f(E jj)±f(D ij))+=f(E ii)±f(D ij)(f(E ii),f(E jj),f(D ij))∈Ψn(R)A=f(E ii),B=f(E jj),C=f(D ij)2.11f(E ii)f(E jj)=f(E jj)f(E ii)=O(2-8)f(D ij)2=f(E ii)2+f(E jj)2(2-9)f(E ii)f(D ij)=f(D ij)f(E jj)(2-10)f(E jj)f(D ij)=f(D ij)f(E ii)(2-11)2.12(2-8)P1∈GL n(R)P−11f(E ii)P1=e i E ii,∀i∈[1,n](2-12) P−11f(D ij)P1=(d ij)(2-8)∼(2-12)f(D ij)3=f(D ij)P−11f(D ij)P1=d ij E ij+d−1ij E ji,∀i,j∈[1,n],i=j(2-13)(2-12)(2-13)(f(E ii)−f(E jj)+f(D ij))2−1(f(E ii)−f(E jj)+ f(D ij))(f(E ii)−f(E jj)+f(D ij))=(f(E ii)−f(E jj)+f(D ij))(i,j)e i=e j i,j e1=e2=···=e n e=e1P−11f(E ii)P1=eE ii,∀i∈[1,n](2-14)P−11f(D ij)P1=e(a ij E ij+a−1ij E ji),∀i,j∈[1,n],i=j(2-15) n≥3i,j,k∈[1,n],D ijk=D ij+D ik+D jk D+=ijk 2−1(−E ii−E jj−E kk+D ijk)f(D ijk)+=2−1f(−E ii−E jj−E kk+D ijk). f(D ijk)2−1f(−E ii−E jj−E kk+D ijk)f(D ijk)=f(D ijk)(2-14)(2-15)a ik=a ij a jkP=P1diag(1,a−112,a−113,···,a−11n)n=2P=P1diag(1,a−112)(i)(ii).2.2R2R f∈T P∈GL n(R)f(A)=eP AP−1,∀A∈S n(R)P∗P=αI n,α,e∈R e2=1.. 2.13P∈GL n(R)e2= 1e∈R f(A)=eP AP−1,∀A∈S n(R)f M-P A+A∈S n(R)(f(A)f(A)+)∗=f(A)f(A)+P∗P AA+=AA+P∗P A=E ii,∀i∈[1,n]P∗P=diag(b1,b2,···,b n),b i=0,∀i∈[1,n]P∗P=αI n.i=j∈[1,n][2−1(E ii+E jj+D ij)]+=2−1(E ii+E jj+D ij)[2−1f(E ii+E jj+D ij)]+=2−1f(E ii+E jj+D ij)P∗P2−1(E ii+E jj+D ij)=2−1(E ii+E jj+D ij)P∗P(i,j)b i=b j i,j b1=b2=···=b n α=b1P∗P=αI n.2.1R2R f S n(R)M-PP∈GL n(R)f(A)=eP AP−1,∀A∈S n(R)P∗P=αI n P T P=βI n,α,β,e∈R e2=1.2.2P T P=βI n.f(A)∈S n(R)f(A)=eP AP−1=f(A)T=e(P−1)T A T P TA T P T P=P T P A T.A=E ii,∀i∈[1,n]P T P=diag(d1,d2,···,d n)A=D1j(1,j)d1=d j jd1=d2=···=d nβ=b1P T P=βI n,β∈R.2.3R M-PS n(R)M n(R)(S n(R))M-P.3M-P3.1R R1u u2=1,u3= 1.f T n(R)T n(R)A∈T n(R)A+A+∈T n(R)f(A)+f(A)+=f(A+)f T n(R)T n(R)M-P..3.1[46]A1,A2,···,A n∈T K n(R)P∈T∗n(R)P−1A i P=εi E g(i)g(i),∀i∈[1,n]εi∈R,ε2i=1g[1,n].3.2[46]A,B,C,D∈M n(R)l1,l2,l3,l4∈R∗A+l k B+l2k C+l3k D=O,∀k∈[1,4]A=B=C=D=O.3.3A,B∈M n(R)A,B∈K n(R)(A+xB)+=A+x−1B,∀x∈R∗AB=BA=O.∀x∈R∗M-P(A+xB)(A+x−1B)(A+xB)=(A+xB)x−1ABA+AB2+B2A+x(A2B+BA2)+x2BAB=O3.2ABA=BAB=O,BA2+A2B=B2A+AB2=O(BA2+A2B)A=BA3=BA=OAB=O.3.4f T n(R)M-P P∈T∗n(R),ε∈R,ε2=1(i)P−1f(E ii)P=εE g(i)g(i),∀i∈[1,n].(ii)P−1f(E ij)P=εE g(i)g(j),g(i)<g(j),∀i,j∈[1,n],i<j.P−1f(E ij)P=εE g(j)g(i),g(i)>g(j),∀i,j∈[1,n],i<j.g[1,n].x∈R∗,i,j∈[1,n],i=j(E ii+xE jj)+=E ii+x−1E jjf M-P(f(E ii)+xf(E jj))+=f(E ii)+x−1f(E jj)f(E ii)+=f(E ii),f(E jj)+=f(E jj)f(E ii)3=f(E ii),f(E jj)3=f(E jj) 3.3f(E ii)=A,f(E jj)=Bf(E ii)f(E jj)=f(E jj)f(E ii)=O,∀i,j∈[1,n],i=j(3-1)(3-1) 3.1P∈T∗n(R),εi∈R,ε2i=1P−11f(E ii)P1=εi E g(i)g(i),∀i∈[1,n](3-2) x∈R∗,i,j,k∈[1,n],i<j,k=i,k=j(E ii−E jj+E ij)+=E ii−E jj+E ij(E ii−E jj+E ij+xE kk)+=E ii−E jj+E ij+x−1E kkf(f(E ii)−f(E jj)+f(E ij))+=f(E ii)−f(E jj)+f(E ij)((f(E ii)−f(E jj)+f(E ij)+xf(E kk))+=f(E ii)−f(E jj)+f(E ij)+x−1f(E kk)3.3A=f(E ii)−f(E jj)+f(E ij),B=f(E kk)(f(E ii)−f(E jj)+f(E ij))f(E kk)=f(E kk)(f(E ii)−f(E jj)+f(E ij))=O(3-1)f(E kk)f(E ij)=f(E ij)f(E kk)=O,∀i,j,k∈[1,n],i<j,k=i,k=j(3-3) x∈R∗(xE ii+E jj+E ij)+=x−1E ii+E jj−x−1E ij (E ii+xE jj+E ij)+=E ii+x−1E jj−x−1E ij (E ii−E jj+xE ij)+=E ii−E jj+xE ijf M-Pf(xE ii+E jj+E ij)+=f(x−1E ii+E jj−x−1E ij) f(E ii+xE jj+E ij)+=f(E ii+x−1E jj−x−1E ij) f(E ii−E jj+xE ij)+=f(E ii−E jj+xE ij)f(xE ii+E jj+E ij)f(x−1E ii+E jj−x−1E ij)f(xE ii+E jj+E ij)=f(xE ii+E jj+E ij)(3-4) f(E ii+xE jj+E ij)f(E ii+x−1E jj−x−1E ij)f(E ii+xE jj+E ij)=f(E ii+xE jj+E ij)(3-5) f(E ii−E jj+xE ij)3=f(E ii−E jj+xE ij)(3-6) (3-4)-(3-6) 3.2f(E ii)f(E ij)f(E ii)=O(3-7)f(E jj)f(E ij)f(E jj)=O(3-8)f(E ij)3=O(3-9) (3-2)P−11f(E ij)P1=(a(ij)st),∀i,j∈[1,n],i<j(3-3)(3-7)(3-8)f(E ij)E g(k)g(k)=E g(k)g(k)f(E ij)=O(3-10)E g(i)g(i)f(E ij)E g(i)g(i)=O(3-11)E g(j)g(j)f(E ij)E g(j)g(j)=O(3-12)(3-10)∼(3-12)P−11f(E ij)P1=a ij E g(i)g(j)+a ji E g(j)g(i),∀i,j∈[1,n],i<ja ij=a(ij)ij,a ji=a(ij)ji.f f(E ij)3=OP−11f(E ij)P1=a ij E g(i)g(j),g(i)<g(j),∀i,j∈[1,n],i<jP−11f(E ij)P1=a ji E g(j)g(i),g(i)>g(j),∀i,j∈[1,n],i<j P−11f(E ij)P1=a ij E g(i)g(j)(3-6)(εi xa ij−εj xa ij)εj=0εi=εj.P−11f(E ij)P1=a ji E g(j)g(i)εi=εj.ε=εi=εj P−11f(E ij)P1=εc ij E g(i)g(j)εc ij E g(j)g(i).i,j,k∈[1,n],i<j<k(I+E ij+E jk)+=(I+E ik−E ij−E jk)ff(I+E ij+E jk)+=f(I+E ik−E ij−E jk)f(I+E ij+E jk)f(I+E ik−E ij−E jk)f(I+E ij+E jk)=f(I+E ij+E jk) P−11f(E ij)P1=εc ij E g(i)g(j)c ik=c ij c jk.fE g(i)g(j)x P−11f(xE ij)P1=E g(i)g(j)xεc ij=1c ij RP=P1diag(1,c−112,c−113,···,c−11n)P−1f(E ij)P=εE g(i)g(j).P−11f(E ij)P1=εc ij E g(j)g(i)P=P1diag(1,c12, c13,···,c1n),P−1f(E ij)P=εE g(j)g(i)(i)(ii).3.5 3.4g[1,n]g(i)g(i)=i,∀i∈[1,n].(ii)g(i)=n+1−i,∀i∈[1,n].n=2n≥3. i,j,k∈[1,n]i<j<k.g(j)<g(i)<g(k)f(I+E ij+E ik)+=f(I−E ij−E ik)f(I+E ij+E ik)f(I−E ij−E ik)f(I+E ij+E ik)=f(I+E ij+E ik)3.4f(E ij)=O f(E ik)=O f.g(j)>g(i)>g(k).g(i)<g(k)<g(j)f(I+E ik+E jk)+=f(I−E ik−E jk)f(I+E ik+E jk)f(I−E ik−E jk)f(I+E ik+E jk)=f(I+E ik+E jk)3.4f(E ik)=O f(E jk)=O f.g(i)>g(k)>g(j).g(i)<g(j)<g(k)g(i)=i,∀i∈[1,n].g(i)>g(j)>g(k)g(i)=n+1−i,∀i∈[1,n]..3.23.1f T n(R)M-P f(i)f(A)=εP AP−1A∈T n(R),P∈T∗n(R),P∗P=diag(b1,b2,···,b n), b i=0,∀i∈[1,n],ε∈R,ε2=1.(ii)f(A)=εP(A−)P−1A=(a ij)∈T n(R),(A−)=(a n+1−j,n+1−i),P∈T∗n(R),P∗P=diag(b1,b2,···,b n),b i=0,∀i∈[1,n],ε∈R,ε2=1.(i)(ii). 3.4 3.5f T n(R)M-PP∈T∗n(R)ε∈R f(A)=εP AP−1A∈T n(R) A+A+∈T n(R)(f(A)f(A)+)∗=f(A)f(A)+P∗P AA+= AA+P∗P.A=E ii,∀i∈[1,n]P∗P=diag(b1,b2,···,b n),b i=0,∀i∈[1,n] .3.3T n(R)M-PT n(R)T n(R) M-P.M-PM-P.M-P.R2R1u u2=1u3=1.S n(R)S n(R)M-P. R2R S n(R)M n(R)M-P.R R1u u2=1u3=1.T n(R)T n(R)M-P.1.S n(R)S n(R)M-P S n(R)S n(R)M-P2.T n(R)T n(R)M-P T n(R)T n(R)M-P3.M-P.1.””””[47-50]2.[51][52]3.[45][46]4.[53][54]..1G.Frobenius.¨Uber Die Darstellung Der Endlichen Gruppen Durch Linear Substitu-tionen.Sitzungsber.Preuss.Akad.Wiss.Berlin.1897:994–10152J.Dieudonn´e.Sur Une G´e n´e ralisation Du Groupe Orthogonal`a Quatre Variables.Archiv der Mathematik.1949,1:282–2873L.-K.Hua.A Theorem on Matrices Over a Sfield and its Applications.Acta Math-ematica Sinica.1951,1:109–1634M.Marcus,R.Purves.Linear Transformations on Algebras of Matrices II:The In-variance of the Elementary Symmetric Functions.Canadian Journal of Mathematics.1959,11:383–3965M.Marcus.Linear Operations on Matrices.Amer.Math.Monthly.1962,69:837–8476 C.G.Cao,X.M.Tang.Determinant Preserving Transformations on SymmetricMatrix Spaces.Electronic Journal of Linear Algebra.2004,11:205–2117L.B.Beasley.Linear Operator on Matrices:the Invariance of Rank-k Matrices.Lin-ear Algebra and 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