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第3章_刚体的定轴转动xtjd-new解析

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刚体的定轴转动

刚体的定轴转动
简明教程
3-1
Hale Waihona Puke 刚体的定轴转动刚体定轴转动 (一维转动)的转动 方向可以用角速度 的正、负来表示.

d 角加速度 dt


>0
z

z

<0
6

第三章 刚体与流体
物理学
简明教程
3-1
刚体的定轴转动
定轴转动的特点 (1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面；
(2) 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
物理学
简明教程
3-1
刚体的定轴转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．) ⑴ 刚体是理想模型 说明： ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
刚体的运动形式：平动、转动．
第三章 刚体与流体
1
物理学
简明教程
3-1
刚体的定轴转动
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同． 特点：各点运动 状态一样，如： v、 a 等都相同． 刚体平动 质点运动
(t )
O
z

沿逆时针方向转动 > 0 沿顺时针方向转动 < 0 角位移 (t t) (t)
ω
r P’(.t+dt)
d
.P(t)
x
d 角速度矢量 lim t 0 t dt
第三章 刚体与流体
方向: 右手螺旋方向
5
物理学
（3）M 0， ω=常量
第三章 刚体与流体
27
物理学
简明教程
3-1
刚体的定轴转动

第3章刚体的定轴转动习题解答..

第3章刚体的定轴转动习题解答..

习题3-1 一汽车发动机曲轴的转速在12s 内由每分钟1200 转匀加快地增添到每分钟 2700 转，求：（ 1）角加快度；（ 2）在此时间内，曲轴转了多少转？解：（1）40 ( / )1rad s 2 90 (rad / s)2t 1 901240 25 (rad / s 2 ) 13 .1( rad / s 2 )6匀变速转动2 2（2）2 12 780 (rad ) n3 9 0(圈)23-2 一飞轮的转动惯量为J ,在 t 0 时角速度为0 ，今后飞轮经历制动过程。

阻力矩M 的大小与角速度的平方成正比，比率系数K 0 。

求：（ 1）当0 3时 ,飞轮的角加快度；（ 2）从开始制动到0 3 所需要的时间。

解：（1）依题意M JK 2 K 2 K 02 (rad / s2 )J 9Jd K 2 t 0 3 Jd 2J（ 2）由dt J 得dt0 K2tK 03-3 如下图，发电机的轮 A 由蒸汽机的轮 B 经过皮带带动。

两轮半径 R A=30cm， R B75cm。

当蒸汽机开动后，其角加快度B0.8πrad/s2，设轮与皮带之间没有滑动。

求（ 1 ）经过多少秒后发电机的转速达到n A=600rev/min？（2）蒸汽机停止工作后一分钟内发电机转速降到300rev/min ，求其角加快度。

解：（1） AA t BB t因为轮和皮带之间没有滑动，所以A 、B 两轮边沿的线速度同样，即ARA BRB2600 (rad / s) 联立得 tARA10(s)又 A20BRB60（2） A2 300 10 (rad / s) A AA( rad / s 2 )60t63-4 一个半径为R1.0m 的圆盘，能够绕过其盘心且垂直于盘面的转轴转动。

一根轻绳绕在圆盘的边沿， 其自由端悬挂一物体。

若该物体从静止开始匀加快降落，在t ＝ 2.0s 内降落的距离 h ＝ 0.4m 。

求物体开始降落后第 3 秒末，盘边沿上任一点的切向加快度与法向加快度。

刚体的定轴转动

刚体的定轴转动

第3章 刚体的定轴转动刚体定轴转动所遵从的力学规律，实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。

重要的概念有转动惯量和力矩。

刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式，但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。

§1 刚体的运动一 刚体刚体是固体物件的理想化模型。

实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。

如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当做刚体处理。

这就是说，刚体是受力时不改变形状和体积的物体。

刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。

既然是一个质点系。

所以关于质点系的基本定律就都可以应用。

当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。

二 刚体的运动形式刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。

如果刚体在运动中，连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动就叫平动。

在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。

因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。

平动是刚体的基本运动形式之一。

转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。

定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。

定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。

刚体不受任何限制的的任意运动。

它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点（可任选）的平动，绕通过基点的瞬时轴的定点转动。

三 刚体定轴转动的运动学描述刚体的定轴转动是最简单的转动情况。

在这种运动中各质元均做圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴。

刚体绕某一固定转轴转动时，各质元作圆周运动的轨道半径不同，所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。

第3章_刚体的定轴转动xtjd

第3章_刚体的定轴转动xtjd

3 g 3 9.8 18.4 (rad/s 2 ) 4l 4 0.40
l 1 1 2 2 （2） mg ml 2 2 3
3 9.8 8.57 (rad/s) 0.40 l 0.4 0.98 (J) （3） AG Ep mg 0.5 9.8 2 2 3g l
r
1 Ek J 2 196 (J) 2
r
(a)
(b)
Ek Fs 98 2 196 (J)
mg
2mg （3） mg T ma 43.6 (rad/s 2 ) 1 ( M 2 m )r Tr J Mr 2 解得： 2 2s 29.5 (rag/s) a r r 重力的功提供滑轮和物体两者的 1 1 2 2 2 E J Mr 21.8 (J) k 动能，不相同。 2 4
3L s 32
完全弹性碰撞：
解得：
J mvL J 1 J 2 1 J 2 1 mv 2 2 2 2
1 J mL2 3
1 v 3 gL 2
1 mgs mv 2 2
3L s 8
第三章习题解答
A JB JA 1 1 A 2 （2） E k J A A ( J A J B ) 2 2 2 1 1 1 2 2 J A A J A ( A ) J A 2 2 2 1 J A A ( A ) 2
C B
第三章习题解答
3-22. 均匀细棒质量为0.5kg、长为0.40m，或绕垂直于棒的一端 的水平 轴在竖直平面内转动。先将棒放在水平位置，然后任其下 落。求：（1）当棒转过60° 时的角加速度；（2）下落到竖直位 置时的角速度；（3）此过程中力矩的功。 1 2 l （1） M G mg sin ml 解： 2 6 3

3第三章 刚体的定轴转动

3第三章 刚体的定轴转动

程. 有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公
式补充方程，然后对这些方程综合求解.
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬 有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张 力. o 解: 受力图如下，设 m 2 m 1 r m' F T1 F T2
怎样的?
3. 动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么?
一、动量矩(角动量)
质量为 m 的质点以速度 v 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 r ，质点相对于原
点的动量矩（角动量） L0 r p r m v 大小 L 0 rm v sin θ
t
0 (1 e ) 0 95 0 8 6(rad s )
（下一页）
1
⑵角加速度随时间变化的规律为： 0 d 2 e 4 5e (rad s ) dt ⑶ t =6 · s 时转过的角度为 0
t t
dt 0 (1 e
dr

力矩的功
W
O o
x


1
2
M d
转动动能
刚体内部质量为 mi 的质量元的速度为 v r i i 动能为
1 2 mi vi
2
刚体定轴转动的总能量（转动动能）
Ek
n
1 2
1
Δm1v1
2
2
1 2
n
Δm2 v2
2
1 2
1 2
mn vn
n
2

2
i 1

第3章 刚体的定轴转动

第3章 刚体的定轴转动

F
Od
r *ϕ
P
方向： 沿轴向（使刚体绕轴逆时针改变运动状态为正） 方向： 沿轴向（使刚体绕轴逆时针改变运动状态为正） 单位： 单位： N ⋅ m （牛⋅米） 定轴转动的刚体受到几个力矩的作用， 定轴转动的刚体受到几个力矩的作用，合力矩是 各力矩的代数和。 各力矩的代数和。
6
3.2 刚体的定轴转动定律
4
3.1 刚体的运动
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时， 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体作 匀变速转动 。 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 质点匀变速直线运动 刚体绕 刚体绕定轴作匀变速转动
v = v 0 + at
x = x 0 + v 0 t + at
1 2
1
3.1 刚体的运动
3.1.2 刚体的定轴转动
转动：组成刚体的各质点都绕某一直线作 组成刚体的各质点都绕某一直线作 圆周运动， 这条线为转轴。 圆周运动， 这条线为转轴。 转轴 若转轴相对于给定的参考系在空间 固定不动，则称为刚体的定轴转动。 固定不动，则称为刚体的定轴转动。 刚体的定轴转动 刚体的一般运动 （如：运行的车轮） 运行的车轮） 随某点(基点) 随某点(基点)的平动 + 过该点 的定轴转动。 的定轴转动。
第3章 刚体的定轴转动 章 3.1 刚体的运动
刚体： 刚体：特殊的质点系 受力时质点系的形状和体积不改变
3.1.1 刚体的平动
在运动过程中刚体上的任 意一条直线在各个时刻的位置 都相互平行 任意质元运动都代表整体运动 任意质元运动都代表整体运动 质元运动都代表整体
A’ A B A”
B’
B”
可用质点运动学和动力学知识研究

第3章刚体的定轴转动


绕通过质心 由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章 刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章 刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章 刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章 刚体的定轴转动
z
M
F
F
O

3.1定轴转动刚体的转动定理解析


h
x
C dx
x
m I x dx L ( L / 2 h )
2
L / 2 h
平行轴定理
质量为 m 的刚 体，如果对其质心轴 的转动惯量为 IC ， 则对任一与该轴平行， d 相距为 的转轴的 转动惯量
注意
d
C
m
O
I O I C md
2
z
I
r
y
Iy
x
y
Ix
2 2 2
x
I z r dm ( x y )dm I x I y
A
mA
C
mC
mB
B
A
mA FN F T1 mA O x PA
FT1
C
mC FT2
FT2
2r
r
2m
B
A
m
课堂练习：在半径分别为R1和R2的 阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳， 各悬挂质量分别为m1、m2的物体， 若滑轮与轴间的摩擦忽略不计，绳 子与滑轮间无相对滑动，滑轮的转 动惯量为I，求滑轮的角加速度和各 绳中的张力T1和T2。
R2
R1
m1g T1 m1a1
a1 R1
m2
1 2 14 2 2 2 I I1 I 2 ml 0 sin ml 0 sin 3 9
例、求通过圆环中心并与圆环所在平面垂直的 转轴的转动惯量。设圆环的半径为R，质量m均 匀分布在圆环上。
dl
m
R
m I R dl mR 2 2R
2
例:有两个半径相同、质量相等的细圆环A和B， A环的质量均匀分布，B环的质量分布不均匀， 它们对通过环心且垂直于环面的轴的转动惯量 C 分别为IA和IB，则：【 】 （A）A环的转动惯量大于B环的转动惯量； （B）A环的转动惯量小于B环的转动惯量； （C）两个圆环的转动惯量相等； （D）无法判断。

第3章刚体的定轴转动


3 – 3 刚体定轴转动定律 3-3-3 刚体定轴转动定律的应用 例3-6 转动惯量为J的圆盘绕一固定轴在水平面上转动 开始时的角速度为 0 设它所受阻力矩与转动角速度 成正比， M k 。求圆盘的角速度变到开始 时角速度一半所需的时间。
解
M k J
d J k dt
2
第三章 刚体的定轴转动
3 – 2 转动动能 转动惯量 3-2-1 转动动能
1 1 2 1 2 2 2 Ek mi vi ( mi ri ) J 2 i 2 i 2 2 3-2-2 转动惯量 J mi ri
转动惯量物理意义：转动惯性的量度. 转动惯性的计算方法 质量离散分布刚体的转动惯量
t
t2
1
Mdt dL J2 J1
L1
L2
冲量矩
t1
t2
M dt
非刚体定轴转动的角动量定理

t2
t1
Mdt J 2 2 J11
第三章 刚体的定轴转动
3 – 4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理

t2
t1
Mdt J 2 J1
三 刚体定轴转动的角动量守恒定律
2 j j 2 11 j
J m r m r m r
2 2 2
第三章 刚体的定轴转动
3 – 2 转动动能 转动惯量
质量连续分布刚体的转动惯量
J m r r dm
2 j j 2 j
dm
：质量元
转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何 形状及转轴的位置.
注意
第三章 刚体的定轴转动
第三章 刚体定轴转动
3 – 3 刚体定轴转动定律

03刚体的定轴转动


的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
24
转动中的功和能
一. 力矩的功
设刚体上P点受到外力 F 的作用， z
位移为 d
r,
dW F ds
功为 d
三. 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚
体做匀变速转动 .
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at 2
0 t
0
0t
1 2
t 2
v2 v02 2a(x x0 )
2 02 2 ( 0 )
5
定轴转动刚体的 转动定律 力矩 角动量 转动惯量
Li
质元mi对转轴Z的角动量为：
x
Liz
Li
cos( π 2
)
mi Riv i
sin
mi ri vi
对组成刚体的所有质元的角动量求和
z
vi
mi
ri Li
Ri
O
y
Lz Liz (rimivi) (miri2)ω
9
Lz Liz miri2 ( miri2 )
i
i
i
令 J miri2
刚体绕OZ轴转动的转动惯量
i
Lz Jω
刚体绕OZ轴转动的角动量
注意：
转动惯量、角动量都是相对量，都必须指明它们是
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g
T2
mA
mAmB mB m
/
2
g
第三章习题解答
3-14. 一根轻绳绕于滑轮边缘，滑轮的质量为M=2.5kg，半径为r=0.20m，如图所 示。现以恒力F=98.0N拉绳的一端，使滑轮由静止开始加速转动，忽略滑轮与轴 承之间的摩擦，试求：（1）滑轮的角加速度；（2）绳子拉下2.0m时滑轮角速 度和获得的动能。（3）若以重量P=98.0N的物体m持在绳的一端，如图所示，再 计算滑轮的角加速度和绳子拉下2.0m时滑轮角速度和获得的动能。这动能和重 力对物体m做的功否相等？
2 5
m0 R2
v2 R2
2 mgh
v
m
2 5
m0
J r2
第三章习题解答
3-28. 长为L、质量为m的均匀细杆，可绕通过其一端并与杆垂直的轴O转动
，如图所示。设杆从水平位置静止释放，求：①杆在水平位置时的角加速度
；②杆落到与水平成60°角时的角速度；③杆落到铅垂位置时杆中心点C的速
第三章习题解答
3-7. 如图所示，质量为m，半径为R的圆盘与质量为m，长为2R的 均质细杆的一端紧密地安装连接在一起，细杆的延长线通过圆心。 试求这个组合刚体对通过细杆的另一端且与纸面垂直的转轴的转动 惯量。
. 解： J 1 m(2R)2 1 m R2 m(3R)2 m,R
3
2
m,2R
10 5 m R2 6
2
2
第三章习题解答
3-26. 如图所示，质量为m0，半径为R的均匀球体可绕通过球心 的光滑竖直轴转动，在球体的赤道上绕有一轻绳，绳的另一端跨
过转动惯量为J，半径为r的定滑轮后，悬挂一质量为m的物体。
试求：当物体由静止开始向下运动，移动了距离h时物体的速度。
解：mgh
1 2
mv
2
1 2
J
v2 r2
1 2
1 2
Mr 2
2mg 43.6 (rad/s 2 )
解得： (M 2m)r
2s
29.5 (rag/s)
r
重力的功提供滑轮和物体两者 的动能，不相同。
Ek
1 2
J 2
1 4
Mr 2 2
21.8 (J)
第三章习题解答
3-18. 一位滑冰者伸开双臂以1.0r/s绕身体中心轴转动，此时她的 转动惯量为1.44kg.m。为了增加转速，她收起了双臂，转动惯量变 为0.48kg.m 。求：（1）她收起双臂后的转速；（2）她收起双臂 前后绕身体中心轴转动的转动动能。
解：（1）
F TA ma
TB ma (TA TB )R
J
J 1 m R2 2
B
A
F
a R
解得： a 2F
5m
a 2F 100 (rad/s2 )
R 5mR
（2） （3）
TA
3 2
ma
3 5
F
60 (N)
2
TB ma 5 F 40 (N)
第三章习题解答
3-13. 图示两物体A和B，质量分别为mB 、mA ，通过滑轮用绳连 接。其中，物体B放在水平光滑的桌面上。绳子的质量可忽略不
解：（1）
n
J0 J
n0
1.44 1.0 0.48
3.0 (rev/s)
（2）
Ek0
1 2
J
2
00
1 2
J
0
(2
n0
)2
1 1.44 (2 1.0)2
2
28.4 (J)
Ek
1 2
J 2
1 2
J (2 n)2
1 2
0.48 (2
3.0)2
85.3
( J)
第三章习题解答
3-19. 如图所示，A、B两个飞轮的轴杆在一条直线上，并可用摩擦
置时的角速度；（3）此过程中力矩的功。
解：（1）
MG
mg
l
sin 26
1 3
m l2
3g 3 9.8 18.4 (rad/s2 )
4l 4 0.40
（2） m g l 1 1 m l2 2
2 23
3g 3 9.8 8.57 (rad/s)
l
0.40
（3）
AG
Ep
mg l 0.5 9.8 0.4 0.98 (J)
3-2. 飞轮做定轴转动，其角速度与时间的关系为 4 0.3t 2 。
求：（1）t=10.0s时的角加速度；（2）从开始转动到t=10.0s的这段 时间内，飞轮转过的角度。
解：（1） d d (4 0.3t 2 ) 0.6t 6.0 (rad/s2 )
dt dt
（2）
dt 10 (4 0.3t 2 )dt 0 (4t 0.1t 3 ) 10 40 0.1103 140 (rad) 0
解：（1） Fr J 1 Mr 2
2
Fr 2F 392 (rad/s2 )
J Mr
（2） 2 2 2 s
r
2s 88.5 (rag/s)
r
F (a)
m (b)
Ek
1 2
J 2
1 2
1 2
Mr 2
2
2F Mr
s r
Fs
98 2
196 (J)
（3） mg T ma
Tr J a r
啮合器C使它们连接，开始时B轮静止，A轮以角速度 A 转动。设
在啮合过程中两飞轮不受其他力矩作用，当两飞轮连接在一起后共
同的角速度为 。若A轮的转动惯量为JA，求（1）B轮的转动惯
量为JB ；（2）啮合前后转动动能的变化。
解：（1） J AA (J A J B )
JB
A
JA
（2）
Ek
1 2
计，绳与滑轮间不打滑。求两物体的加速度及绳中张力。已知滑
轮的质量为m，半径为R。
ห้องสมุดไป่ตู้
解： mA g T1 mAa
mB
m,R
T2 mBa (T1 T2 )R
J
J 1 m R2 2
mA
a R
解得：
a
mA
mA mB
m
/
2
g
T1
mA(mB m / 2) mA mB m / 2
J
A
2 A
1 2
(J A
J B ) 2
AC B
1 2
J
A
2 A
1 2
J A 2
1 2
( A
)J A
1 2
J A A (
A)
第三章习题解答
3-22. 均匀细棒质量为0.5kg、长为0.40m，可绕垂直于棒的一端
的水平 轴在竖直平面内转动。先将棒放在水平位置，然后任其下
落。求：（1）当棒转过60° 时的角加速度；（2）下落到竖直位
第三章习题解答
3-12. 物体A和B叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的轻质细绳相互 连接，如图所示。已知A、B和滑轮的质量都为m=8.0kg，滑轮的半 径为R=0.05m，今用大小为100N的水平力F拉A，假设AB之间、A
与桌面之间、滑轮与其轴之间的摩擦都可以忽略不计，绳与滑轮之 间无相对滑动且绳不可伸长。求：（1）滑轮的角加速度；（2）物 体A与滑轮之间绳中的张力；（3）物体B与滑轮之间绳中的张力， 定滑轮可视为质量均匀的圆盘。