北京市各区县2014-2015学年高一上学期期末试题分类汇编——三角恒等变换

2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——幂指对（2015年1月·西城期末·2．若幂函数y x =α的图象过点(4,2)，则=α_____．12（2015年1月·延庆期末·7．函数()log 21a y x =++的图像过定点 A ． ()2,1- B ．()2,1 C ． ()1,1-D ．)1,1(（2015年1月·东城期末·13. 求值：⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．278（2015年1月·顺义期末·10．函数y =_____[1,)+∞_______ .（2015年1月·顺义期末·9．函数()f x =的定义域为 (]0,3 .（2015年1月·顺义期末·11．2lg 2lg 25+的值等于 2 .（2015年1月·石景山期末·2.下列算式正确的是 ( )A ．222log (3)log 3log ππ=+B 2==-C ．lg 62lg3= D ． 3322555-==（2015年1月·石景山期末·13. 若函数()f x 的图象与2x y =的图象关于___y 轴_____对称，则函数()f x =__2x -__.（注：填上你认为正确的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）（2015年1月·昌平期末·3）已知函数2()log f x x =，当[1,4]x ∈时，函数()f x 的值域是（A ）[0,1] （B ）[0,2] （C ）[1,2] （D ）[1,4] （2015年1月·昌平期末·9）设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()23x f x x k =-+（k 为常数），则(1)f -= （A ）2 （B ）1 （C ）2- （D ）1-（2015年1月·昌平期末·10）设正数a ，b 满足23log log a b =，则下列结论中，不可能．．．成立的是（A ）1a b << （B ）01b a <<< （C ）a b = （D ）1b a << （2015年1月·昌平期末·11）函数()f x x α=的图象过点(2,4)，则(1)f -=_____ . 1（2015年1月·石景山期末·14. 三个变量123,,y y y 随x 的变化情况如下表：三个变量123,,y y y 中，变量___3y ____随x 呈对数函数型变化，变量__2y _____随x 呈指数函数型变化，变量___1y ____随x 呈幂函数变化.（2015年1月·丰台期末·9.已知变量y 随变量x 变化的数据如下表：则能基本反映这一变化规律的函数模型是（ ） A ． x y 2=B ．2x y =C ．x y 2log =D ．137.0--=x y（2015年1月·延庆期末·13．不等式212>x的解集为____ ___.),1(+∞-（2015年1月·密云期末·6. 函数log =a y x （0>a 且1≠a ）的图象经过点)1,2(-，函数=xy b （0>b 且1≠b ）的图象经过点)2,1(，则下列关系式中正确的是 A ． 22b a >B ． ba 22>C ． b a )21()21(> D ． 2121b a >（2015年1月·顺义期末·11．已知 4.10.9m =，0.94.1n =，0.9log 4.1p =，则这三个数从小到大用“<”连接的顺序是p m n <<_______________ .（2015年1月·昌平期末·4）设 2.50 2.51(),(2.5),22a b c ===，则（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >> （D ）b c a >> （2015年1月·东城期末·6.设2log πa =，12log πb =，2πc -=，则A ．a b c >> B. b a c >> C. a c b >>D. c b a >>（2015年1月·房山期末·6）设3log 2a =，0.3eb =，8cos7c π=，则（A ）b a c << （B ）b c a << （C ）c a b <<（D ）c b a <<（2015年1月·丰台期末·6．已知3π=m ，3log π=n ，πtan =p ，则这三个数的大小关系是（ ）A ．p n m >>B ．m p n >>C ． n m p >>D ．n m p >>（2015年1月·海淀期末·7．设10.52,e ,0.5a b c -===，其中e 2.71828≈，则,,a b c 的大小顺序为 DA.a b c >>B.a c b >>C.b a c >>D.b c a >>（2015年1月·延庆期末·17．已知3.0222,3.0log ,3.0===c b a ，则c b a ,,大小关系是_____ __. b a c >>（2015年1月·昌平期末·7）定义运算,,,,a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩则函数()12xf x =⊕的图象是（A ） （B ） （C ） （D ）（2015年1月·海淀期末·9.已知函数()f x ax b =+的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象 可能是 BA. B. C. D.（2015年1月·海淀期末·12.右图中有五个函数的图象，依据图象用“<”表示出以下五个量,,,,1a b c d 的大小关系，正确的是 CA. 1a c b d <<<<B. 1a d c b <<<<2xxC. 1a c b d <<<<D. 1a c d b <<<<（2015年1月·东城期末·5. 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )A B C D（2015年1月·房山期末·14）已知()f x =ln , 0,2,0,x x x x >⎧⎨+⎩≤ 若0()0f x =，则0x =__________．2-或1（2015年1月·西城期末·3．函数2lg ,0,()4,0,x x f x x x >⎧=⎨-<⎩的零点是_____．2-，1；（2015年1月·房山期末·15）如果函数()f x 的定义域为R ，(2)(1)()f x f x f x +=+-，若(3)lg3lg 2f =-， (2)lg3lg5f =+，则(1)f（2015年1月·丰台期末·10．已知函数22(),1()3(1),1xx x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨⎪->⎩，则()f x 在区间(,2015)-∞内的零点个数为（ ） A ．2015B ．2016C ．2017D ．无数个（2015年1月·密云期末·12. 已知函数21,(01),()2,(10),x x x f x x ⎧+<≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩且5()4f m =，则m 的值为 . 12（2015年1月·顺义期末·14.定义在R 上的函数()f x 满足2,(0()(1)(2),(0)x x f x f x f x x ⎧≤=⎨--->⎩.则(2015)________.f = 12（2015年1月·顺义期末·5.函数131()3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点一定位于下列的哪个区间A. (-1,0)B. (0,1)C. (1, 2)D. (2, 3)（2015年1月·延庆期末·12．已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间),0[+∞上单调递增，若实数a 满足)1(2)(log )(log 212f a f a f ≤+，则a 的取值范围是A ．]221[ B ． ]2,1[ C ． )21,0(D ．]2,0(（2015年1月·石景山期末·10．设函数()log (2)a f x x a =-+在区间(1,)+∞上恒为正值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(0,1)(1,2)⋃D ． 5(1,)2（2015年1月·延庆期末·19．（本题8分）求下列各式的植：（Ⅰ）0323321)12(])2[(2)41(-+-⨯+-；（Ⅱ）2lg 31025lg 4lg 27log +++ . 解：解：（Ⅰ）原式148121+⨯+=2=. ………………………………4分 （Ⅱ）原式2100lg 3log 33++=7223=++=. …………………8分（2015年1月·密云期末·15. （本小题满分13分） 已知函数2()1+log 1=--（）f x x . （I ）求函数()f x 的定义域；（II ）求(5)f 的值； （III ）求函数()f x 的零点.解：（I ）由题：10x ->, ----------------2分1.x ∴>∴函数()f x 的定义域{}1x x >. ----------------4分（II ）2(5)1log (51)121f =-+-=-+= ----------------8分 （III ）令2()1+log 1=--（）=0f x x ， 2log (1) 1.x ∴-=1 2.x ∴-=3.x ∴=∴函数()f x 的零点为3. ----------------13分（2015年1月·西城期末·7．（本小题满分10分）已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数． （Ⅰ）若0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明； （Ⅱ）若0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>． （Ⅰ）解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数； 【 1分】 证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x x ∆=->， 则 212121()()(22)(33)x x x xy f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0xxxxa a <>⇒->；又122133,0(33)0xxxxb b <>⇒->， 所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】 （Ⅱ）解：由(1)()2230xxf x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. （*） 【 6分】 ① 当0,0a b <>时，（*）式化为3()22xa b->， 解得32log ()2ax b>-. 【 8分】② 当0,0a b ><时，（*）式化为3()22xab-<， 解得32log ()2ax b<-.【10分】（2015年1月·东城期末·19．（本题满分9分）已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. （Ⅰ）证明:)(x f 是R 上的偶函数；（Ⅱ）判断)(x f 在(0,)+∞上的单调性，并证明. 19．（本题满分9分）解：（Ⅰ）因为函数)(x f 的定义域是R ，且()e e x x f x --=+=)(x f ， 所以)(x f 是偶函数. （Ⅱ）)(x f 在(0,)+∞上是单调递增函数. 设210x x <<，则112212()()()x x x x f x f x e e e e ---=+-+=1212(e -e )(1)x xx x e---.由210x x <<，得12e <e xx，所以12e -e0xx <.又由210x x <<得210x x --<，所以121x x e--<，所以1210x x e --->.所以，12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <.所以，)(x f 在(0,)+∞上是单调递增函数. （2015年1月·房山期末·21）（本小题满分12分）已知函数()log (21)x a f x =-（0a >，1a ≠）． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）当1a >时，判断函数()f x 的单调性,并用单调性的定义证明；（Ⅲ）若()1f x >，求x 的取值范围． 解：（Ⅰ）由()log (21)x a f x =-，要使函数有意义，则210x-> -----------------2分解得0x >. -----------------2分 ∴函数()f x 的定义域为(0,)+∞ -----------------1分 （Ⅱ）当1a >时，函数()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增 -----------------1分证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，设12x x <，则22112121log (21)log (21)log 21x x x a a a x y y y -∆=-=---=-210x x >>，21221x x ∴>>，即2121210x x->->.∴2121121x x->- 又1a >，所以2121log 021x a x->-，即0y ∆> -----------------2分 因此，函数()f x 在(0,)+∞上是增函数.（Ⅲ）由()log (21)1x a f x =->得 ()log (21)log x a a f x a =->当1a >时，得21xa ->，解得2log (1)x a >+ -----------------2分当01a <<时，得21xa -<，解得20log (1)x a <<+ -----------------2分 综上，当1a >时，x 的取值范围为2(log (1),)a ++∞，当01a <<时，x 的取值范围为2(0,log (1))a +.（2015年1月·丰台期末·17.（本小题满分8分） 已知对数函数()f x 图象经过点()3,8 （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若()1f x >,求x 的范围.解：（Ⅰ）设()x x f a log =（其中0>a 且1≠a ）因为函数()x f 图象经过点()3,8，有()38=f 即38log =a 得2=a所以此函数的解析式为()x x f 2l o g = ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄４分（Ⅱ）由()1>x f 即2log 1log 22=>x ，解得2>x 所以x 的范围是()+∞,2 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 （2015年1月·丰台期末·20. （本小题满分9分） 已知函数2()21x f x a =-+（Ⅰ）求出函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若()f x 是奇函数，求实数a 的值；（Ⅲ）设()(41)()(0)x g x f x x =-≥，且函数()g x 的最小值为21-，求实数a 的值. 解：（Ⅰ）()x f 的定义域为R ┄┄┄┄┄┄┄┄┄２分 （Ⅱ）因为()x f 是奇函数，则 ()()x f x f -=-即⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+--122122xx a a 于是212221221221222=+++⨯=+++=-x x x x xa 得1=a ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 （或由()x f 的定义域为R ，又()x f 是奇函数，则 ()()00f f -=得()00=f 于是01220=+-a 得1=a ，此时()()x f x f -=-满足条件，所以1=a ） （3）由()()()()2222142+-⨯-=-=a a x f x g xxx ()0≥x设()12≥=t t x ，令()222+--=a t at t h当0=a 时，()()122≥+-=t t t h ，无最小值，舍；当0<a 时，()2112+--⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a t a t h ，无最小值，舍；当0>a 时，()2112+--⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a t a t h若1≥a 即110≤<a，()t h 在[)+∞,1单调递增，()()01min ==h t h 不符合舍 若10≤<a 即11≥a ，()21211min -=+--=⎪⎭⎫⎝⎛=a a a h t h 即02522=+-a a 解得2=a （舍）或21=a 综上，a 值为21┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分。

第三章 三角恒等变换章末检测（B ）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( )A ．0 B.12 C.32D ．12．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0]5．化简：＋θ＋cos 120°sin θcos θ的结果为( )A ．1 B.32C. 3 D ．tan θ 6．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )等于( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2x D ．3＋sin 2x7．若函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)的一条对称轴方程为x ＝π2，则a 等于( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．38．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )A ．[－12，32]B ．[－22＋12，22＋12]C ．[－32，12]D ．[－22－12，22－12]9．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( )A ．－75 B.75 C ．－35 D.3510．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为( ) A ．±4 B．4 C ．－4 D ．111．若cos θ2＝35，sin θ2＝－45，则角θ的终边所在的直线方程为( )A ．7x ＋24y ＝0B ．7x －24y ＝0C ．24x ＋7y ＝0D ．24x －7y ＝012．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ的值为( )A ．－πB ．－π C.5π D.2π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是______．14．已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝________.15．若0<α<π2<β<π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝13，则cos α＝________.16．函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)．(1)求α－π2－3π2＋απ－α＋π＋α的值；(2)求cos(2α－3π4)的值．18．(12分)已知函数f (x )＝2cos x sin x ＋23cos 2x － 3. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值； (3)求函数f (x )的单调增区间．19．(12分)已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[－π3，π4]．(1)求a ²b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ²b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．20．(12分)已知△ABC 的内角B 满足2cos 2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →＝b 且a ，b 满足：a ²b ＝－9，|a |＝3，|b |＝5，θ为a ，b 的夹角． (1)求角B ；(2)求sin(B ＋θ)．21．(12分)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴的间距为3π2.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f (32α＋π2)＝2326，求α＋π4π＋2α的值．22．(12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(π6，12)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．第三章 三角恒等变换(B)答案1．D [原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.]2．D [f (x )＝sin 2x －12＝12(2sin 2x －1)＝－12cos 2x ，∴T ＝2π2＝π，f (x )为偶函数．]3．A [∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34.∴tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17.]4．D [f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)．令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，令k ＝0得－π6≤x ≤5π6.由此可得[－π6，0]符合题意．]5．B [原式＝sin 60°cos θ＋cos 60°sin θ－12sin θcos θ＝sin 60°cos θcos θ＝sin 60°＝32.]6．C [f (sin x )＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ，∴f (x )＝2x 2＋2，∴f (cos x )＝2cos 2x ＋2＝1＋cos 2x ＋2＝3＋cos 2x .]7．B [f (x )＝sin(x ＋π3)－a sin(π6－x )＝sin(x ＋π3)－a cos(π3＋x )＝1＋a 2sin(x ＋π3－φ)∴f (π2)＝sin 5π6＋a sin π3＝32a ＋12＝1＋a 2.解得a ＝ 3.]8．B [y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22sin(2x －π4)＋12， ∵x ∈R ，∴－1≤sin(2x －π4)≤1，∴y ∈[－22＋12，22＋12]． 9．B [∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝13.cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θ＝cos 2θ＋2sin θcos θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋2tan θ－tan 2θ1＋tan 2θ＝1＋2³13－191＋19＝75.] 10．C [3cos(2α＋β)＋5cos β＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0，∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α， ∴tan(α＋β)tan α＝－4.]11．D [cos θ2＝35，sin θ2＝－45，tan θ2＝－43，∴tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2＝－831－169＝247.∴角θ的终边在直线24x －7y ＝0上．]12．D [∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝sin θ＋3cos θ＝0.∴tan θ＝－ 3.∴θ＝k π－π3，(k ∈Z )．∴f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)＝±2sin 2x .∵f (x )在[－π4，0]上为减函数，∴f (x )＝－2sin 2x ，∴θ＝2π3.]13.π2解析 ∵f (x )＝12[1－cos(4x －π2)]＝12－12sin 4x ∴T ＝2π4＝π2.14．1解析 ∵sin αcos β＝1，∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1， ∴cos α＝sin β＝0.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1. 15.429解析 cos β＝－13，sin β＝223，sin(α＋β)＝13，cos(α＋β)＝－223，故cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(－223)³(－13)＋223³13＝429. 16．1解析 令x ＋10°＝α，则x ＋40°＝α＋30°， ∴y ＝sin α＋cos(α＋30°)＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30° ＝12sin α＋32cos α ＝sin(α＋60°)． ∴y max ＝1.17．解 (1)sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)⇒cos α＝－55，α∈(0，π)⇒sin α＝255.α－π2－3π2＋απ－α＋π＋α＝－cos α－sin αsin α－cos α＝－13.(2)∵cos α＝－55，sin α＝255⇒sin 2α＝－45，cos 2α＝－35. cos(2α－3π4)＝－22cos 2α＋22sin 2α＝－210.18．解 (1)原式＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2(12sin 2x ＋32cos 2x )＝2(sin 2x cos π3＋cos2x sin π3)＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)当2x ＋π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )有最大值为2.当2x ＋π3＝2k π－π2，即x ＝k π－5π12(k ∈Z )时，f (x )有最小值为－2.(3)要使f (x )递增，必须使2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴函数f (x )的递增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )．19．解 (1)a ²b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝cos 3x 2＋cos x 22＋sin 3x 2－sinx22＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈[－π3，π4]，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x . (2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2(cos x －12)2－32.∵x ∈[－π3，π4]．∴12≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.20．解 (1)2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0，即4cos 2B －8cos B ＋3＝0，得cos B ＝12.又B 为△ABC 的内角，∴B ＝60°.(2)∵cos θ＝a ²b |a |²|b |＝－35，∴sin θ＝45.∴sin(B ＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sin θ＝4－3310. 21．解 (1)由题意，得m ²n ＝0，所以f (x )＝cos ωx ²(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx 2＝sin(2ωx ＋π6)＋12. 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π.又ω>0，所以ω＝13.(2)由(1)知f (x )＝sin(2x 3＋π6)＋12，所以f (32α＋π2)＝sin(α＋π2)＋12＝cos α＋12＝2326.解得cos α＝513.因为α是第一象限角，故sin α＝1213.所以α＋π4π＋2α＝α＋π4cos 2α＝22sin α＋22cos αcos 2α－sin 2α＝2α－sin α＝－13214.22．解 (1)因为f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，所以f (x )＝12sin 2x sin φ＋1＋cos 2x 2cos φ－12cos φ＝12sin 2x sin φ＋12cos 2x cos φ ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． 又函数图象过点(π6，12)，所以12＝12cos(2³π6－φ)，即cos(π3－φ)＝1，又0<φ<π，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π3)，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3)，因为x ∈[0，π4]，所以4x ∈[0，π]，因此4x －π3∈[－π3，2π3]，故－12≤cos(4x －π3)≤1.所以y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为12和－14.。

2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——三角恒等变换1.（2015年1月·顺义期末·4．cos80cos 20sin80sin 20+的值等于A .14 B . 32 C . 34 D . 122.（2015年1月·房山期末·3）cos 25cos35sin 25sin35-的值为A ．0B ．12 C ．22D ．323.（2015年1月·丰台期末·5．已知βα,都是锐角，31tan ,21tan ==βα，则βα+的值为（ ）A ．π4B ．π3C ．π2 D ．3π44.（2015年1月·东城期末·4. ︒⋅︒+︒-︒15cos 15sin 215sin 15cos 22的值为 A .213+ B.32C.62D.21+43 5.（2015年1月·东城期末·7. 为了得到函数ππsin 3cos cos3sin 33y x x =+的图象，可以将函数sin 3y x =图象 A.向右平移π9个单位 B.向右平移π个单位C .向左平移π9个单位D.向左平移π个单位6.（2015年1月·石景山期末·8. 下列函数中，既是偶函数，又在[0,1]上单调递增的是 （ ）A ．cos y x =B ．2y x =-C ．2sin cos y x x =D ．|sin |y x =7.（2015年1月·石景山期末·9．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 （ ）A ．cos 2y x =B ．22cos y x =C ．sin(2)4y x π=+D ．22sin y x =8.（2015年1月·昌平期末·5）函数2()2sin f x x =的周期是 A ．2πB ．πC ．2πD ．4π9.（2015年1月·昌平期末·8）已知2sincos,222αα-=-且cos 0α<，则tan α=A ．33 B ．33- C ．3 D ．3- 10.（2015年1月·延庆期末·9．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是 A ． C B A sin )sin(=+ B C B A cos )cos(=+． C ．C B A tan )tan(=+D ．2sin 2sinCB A =+ 11.（2015年1月·西城期末·5．函数2(sin cos )y x x =-的最小正周期为（ ） A ．2πB ．3π2C ．πD ．π212.（2015年1月·石景山期末·1． 对于任意的R α∈，sin 2α= （ ） A ．2sin αB ．2sin cos ααC ．2cos αD ．22cos sin αα-13.（2015年1月·西城期末·8．当[0,π]x ∈时，函数()cos 3sin f x x x =-的值域是（ ） A ．[2,1]-B ．[1,2]-C ．[1,1]-D ．[2,3]-14.（2015年1月·顺义期末·4．0sin 45sin 75cos 45sin165+的值为 A ．12-B ．32-C ．12D ．3215.（2015年1月·延庆期末·14．已知sin cos 2αα-=，则sin 2α=_1-___. 16.（2015年1月·东城期末·14. 若1tan()42πθ+=,则tan θ=________.13-17.（2015年1月·昌平期末·12）已知4cos 5α=，则cos2α=_________ . 72518.（2015年1月·西城期末·15．函数2()sin sin cos f x x x x =+⋅的最大值是_____．122+ 19.（2015年1月·顺义期末·17. （本小题共13分 已知72sin()410x π-=，3(,)24x ππ∈. （Ⅰ）求cos()4x π-和cos x 的值； （Ⅱ）求sin(2)3x π+的值.解：（Ⅰ）Q324x ππ<<，∴442x πππ<-<，∴22cos()1sin ()4410x x ππ-=--=————４分 ∴cos cos ()cos()cos sin()sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤=-+=---⎢⎥⎣⎦＝35-．—７分（Ⅱ）由（Ⅰ）得3cos 5x =-，Q 324x ππ<<，∴4sin 5x =，———８分 24sin 22sin cos 25x x x ==-，27cos 22cos 125x x =-=-————１０分∴2473sin(2)350x π++=-————１３分 20.（2015年1月·西城期末·17．（本小题满分12分）已知tan 2=-α，其中(,)2π∈πα． （Ⅰ）求πtan()4-α的值； （Ⅱ）求sin 2α的值． 17.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：因为 tan 2=-α，所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα 【 3分】 3=. 【 6分】（Ⅱ）解：由π(,π)2∈α，tan 2α=-， 得 2sin 5α=， 【 8分】 1cos 5α=-. 【10分】所以 4sin 22sin cos 5==-ααα. 【12分】21.（2015年1月·西城期末·19．（本小题满分10分）已知函数()s i n c o f x a x b x =+，其中a ∈Z ，b ∈Z ．设集合{|()0A x f x ==，{|(())0}B x f f x ==，且A B =．（Ⅰ）证明：0b =； （Ⅱ）求a 的最大值．（Ⅰ）证明：显然集合A ≠∅．设 0x A ∈，则0()0f x =． 【 1分】 因为 A B =，所以 0x B ∈， 即 0(())0f f x =，所以 (0)0f =， 【 3分】 所以 0b =． 【 4分】 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin f x a x =，a ∈Z ．① 当0a =时，显然满足A B =． 【 5分】 ② 当0a ≠时，此时{|sin 0}A x a x ==；{|sin(sin )0}B x a a x ==， 即{|sin ,}B x a x k k ==π∈Z ． 【 6分】因为 A B =，所以对于任意x ∈R ，必有sin a x k ≠π (k ∈Z ，且0)k ≠成立． 【 7分】所以对于任意x ∈R ，sin k x aπ≠，所以 1k a π>， 【 8分】 即 ||||a k <⋅π，其中k ∈Z ，且0k ≠．所以 ||a <π， 【 9分】 所以整数a 的最大值是3． 【10分】 22.（2015年1月·密云期末·16. （本小题满分14分） 已知25sin 5θ=-. 其中θ是第三象限角. （Ⅰ）求cos ,tan θθ的值；（Ⅱ）求⎪⎭⎫⎝⎛π-θ4tan 的值； (III) 求πθπθθ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭sin 2sin()cos 22的值. 解：（Ⅰ）25sin 5θ=-且θ是第三象限角，25cos 1sin .5θθ∴=--=- ----------------2分 sin tan 2.cos θθθ∴== ----------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ），t a n t a n 4t a n ()41t a n t a n 4πθπθπθ--=+⋅----------------6分211.1213-==+⨯ ----------------9分(III)πθπθθ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭sin 2sin()cos 22θθθ=++-2cos 2sin 2cos 1----------------12分=-+-+--252552()2()1555=--35.5----------------14分23.（2015年1月·顺义期末·18．（本小题满分14分）已知函数2()cos 3sin cos f x x x x =+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]122ππ上的取值范围； （Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.解：（Ⅰ）因为()f x 1cos 23sin 222x x +=+ π1sin(2)62x =++． ---------------------------------------------------4分所以函数()f x 的最小正周期为π．---------------------------------5分Oxy21-12ππ（Ⅱ）π1()sin(2)62f x x =++．因为122x ππ≤≤，所以ππ7π2366x ≤+≤， 所以1πsin(2)126x -+≤≤，因此π130sin(2)622x ++≤≤，即()f x 的取值范围为3[0]2，-----------------------------10分（Ⅲ）()f x 在[,]1212π11π-上的图象如图所示. ----------------------------14分（其它周期上的图象同等给分） （个别关键点错误酌情给分）24.（2015年1月·顺义期末·19．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2sin f x x x =-.（I ）求(0)f 的值；（II ）求函数()f x 的最大值和最小值，并分别写出使函数取得最大值和最小值时的x 值.解：（I ）2(0)cos0sin 01f =-=. ------------------------------------------------------------------6分 （II ）2222()cos 2sin 12sin sin 3sin 1f x x x x x x =-=--=-+， -------------------8分所以)(x f 最大值是1，最小值是2-. ------------------------------------------------10分 当sin 0x =时，即()x k k Z π=∈时函数()f x 取得最大值1， 当sin 1x =±时，即()2x k k Z ππ=+∈时函数()f x 取得最小值2-.-------13分25.（2015年1月·顺义期末·18．（本小题满分14分）已知函数2()cos 3sin cos f x x x x =+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；O xy1-12π π 12π-23 6π125π 1211π 32π Oxy21-12π π（Ⅱ）求()f x 在区间[,]122ππ上的取值范围； （Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.解：（Ⅰ）因为()f x 1cos 23sin 222x x +=+ π1sin(2)62x =++． ---------------------------------------------------4分所以函数()f x 的最小正周期为π．---------------------------------5分（Ⅱ）π1()sin(2)62f x x =++．因为122x ππ≤≤，所以ππ7π2366x ≤+≤， 所以1πsin(2)126x -+≤≤，因此π130sin(2)622x ++≤≤，即()f x 的取值范围为3[0]2，-----------------------------10分（Ⅲ）()f x 在[,]1212π11π-上的图象如图所示. ----------------------------14分 （其它周期上的图象同等给分） （个别关键点错误酌情给分）26.（2015年1月·顺义期末·19．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2sin f x x x =-.（I ）求(0)f 的值；（II ）求函数()f x 的最大值和最小值，并分别写出使函数取得最大值和最小值时的x 值.解：（I ）2(0)cos0sin 01f =-=. ------------------------------------------------------------------6分（II ）2222()cos 2sin 12sin sin 3sin 1f x x x x x x =-=--=-+， -------------------8分O xy1-12π π 12π-23 6π125π 1211π 32π所以)(x f 最大值是1，最小值是2-. ------------------------------------------------10分 当sin 0x =时，即()x k k Z π=∈时函数()f x 取得最大值1， 当sin 1x =±时，即()2x k k Z ππ=+∈时函数()f x 取得最小值2-.-------13分。

1．已知向量)0,1(),2,1(=-=b a，那么向量a b -3的坐标是A. (4,2)-B. (4,2)--C. (4,2)D. (4,2)-2．已知向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．若2=-c a b ，则向量=c （ ） （A ）(0,18)（B ）(8,14)（C ）(12,12)（D ）(4,20)-3．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD =（ ）（A ）1()2AB AC + （B ）1()2AB AC - （C ）1()2AB BC +（D ）1()2AB BC -4．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =， E 是CD 的中点，那么AE DC ⋅=（ ）（A ）4（B ）2（C （D ）15．已知a ，b 为单位向量，且m ⋅=a b ，则||t +a b ()t ∈R 的最小值为（ ）（A （B ）1（C ）||m（D6．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么||a b -等于（ ）A ．1B C D ．27．已知向量a ，b ，且2A B a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是 （ ）A ．,,A C DB ．,,A B CC ．,,B C DD ．,,A B D8．已知(0,3)AB =，那么AB 等于A .2B .3C .4D .59．已知向量(42)=，a ，(1)m =-，b ，若a ⊥b ，则m 的值为 A ．21 B ．2 C ．21- D ．2- 10.在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AB AC +等于（A ）12AD （B ）AD C ）DA （D ）2AD11.若向量(0,1)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ，则A.()//-a b cB. ()-⊥a b cC. ()0-⋅>a b cD. |||-=a b c | 12．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是A .AB CD = B .AB AD BD -=C .AD AB AC += D .AD BC +=013．若向量)1-,0(=a，)2,3(b =，则向量2a b -r r 的坐标是A. (3,4)-B.(3,4)-C. (3,4)--D. (3,4)14.已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(0,0)A ，(2,2)B ，(0,)C c ，若AB BC ⊥，那么c 的值是A.1-B.3C.3-D.4 15.如果向量(4,2)=-a ，(,1)x =b ，且a ，b 共线，那么实数x = .16.已知ABC ∆是正三角形，若AC AB λ=-a 与向量AC 的夹角大于90，则实数λ的取值范围是______.17.已知()4,2a =-r ，(),5b x =r且//a b r r ，则x 的值为_________.18．已知4=a ，||3b =r ，a r 与b r 的夹角为0120，则||________.a b +=r r19．已知向量),3(),3,1(x b a -=-=，若b a //，则=x _____；若b a ⊥，则x =_____.20．若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，则实数=λ_____．21．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ__． 22. 设向量(,1)m =a ，(2,3)=-b ，若满足//a b ，则m23. 如图，正方形ABCD 的边长为2，P 是线段DC 上的动点（含端点），则BP AC ⋅的取值范围是___.已知向量(4,2)=-a ，(,1)x =b ． （I ） 若a ,b 共线，求x 的值； （II ）若a ⊥b ，求x 的值；（III ）当2x =时，求a 与b 的夹角θ的余弦值.24. （本小题满分13分）已知非零向量a 、b 满足1=a ，且1()()2-=a b a +b ⋅. （Ⅰ）求b ；（Ⅱ）当12a b =⋅时，求向量a 与b 的夹角θ的值.25. （本小题满分13分）已知向量(cos )θθ=a ，(sin ,0)θ=b ，其中θ∈R .（Ⅰ）当π3θ=时，求⋅a b 的值； （Ⅱ）当π[0,]2θ∈时，求2(+)a b 的最大值.26．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )=ααa ，1(2=-b ，其中α是锐角． （Ⅰ）当30︒=α时，求||+a b ； （Ⅱ）证明：向量+a b 与-a b 垂直； （Ⅲ）若向量a 与b 夹角为60︒，求角α． 27．（本小题共13分）在平面直角坐标系xoy 中，已知(0,0)O ，(1,3)A ，(2,5)B , (5,2)C -AB t OA OP +=.B（Ⅰ）当1,t =- 1时分别求点P 的坐标； （Ⅱ）证明：当1t =时OC OP ⊥.27.（本小题共12分）如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，P 是BC 的中点，Q 是CD 上的动点．（Ⅰ）求AP AQ ⋅的最小值； （Ⅱ）求()AP AQ AD +⋅的值．28．（本题12分）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，)0(2>=a a AB .（Ⅰ）当点P 是弧AB 上靠近点B 的三等分点时，求⋅的值； （Ⅱ）求P O '⋅的最大值和最小值. 解：。

2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——三角函数（2015年1月·昌平期末·14）某蒸汽机上的飞轮直径为20cm ，每分钟按顺时针．．．方向旋转180转，则飞轮每秒钟．．．转过的弧度数是_________；轮周上的一点每秒钟．．．经过的弧长为_________.6π- ，60cm π（2015年1月·延庆期末·8．若x x f 3cos )(cos =，则)3(sinπf 的值为A ． 1-B ．23 C ．0D ．1（2015年1月·西城期末·1．已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（ ） （A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)2（2015年1月·西城期末·3．已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α（ ） （A ）3 （B ）4-（C ）3 （D ）3-（A ）3 （B ）3（C ）5π3（D ）7π3（2015年1月·海淀期末·10.为了得到函数sin(2)2y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象 AA. 向右平移4π个单位长度 B. 向左平移4π个单位长度 C. 向右平移2π个单位长度 D. 向左平移2π个单位长度（2015年1月·西城期末·9．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ）（A ）向左平移π3个单位 （B ）向右平移π3个单位 （C ）向左平移2π3个单位（D ）向右平移2π3个单位（2015年1月·海淀期末·11.已知(,)αππ∈-，且sin cos7πα=-，则α= AA. 514π-或914π- B. 914π-或914π C. 514π或514π- D. 514π或914π （2015年1月·密云期末·2．sin 240=A ．B ．12-C ．12D （2015年1月·顺义期末·2．sin120的值等于A .12B .12-CD .（2015年1月·海淀期末·2. 7sin6π=DA.B. C. 12D. 12-（2015年1月·延庆期末·2．已知)2,0[πα∈，与角3π-终边相同的角是A ．3π B ．32π C ．34π D ．35π （2015年1月·延庆期末·3．若0sin >α ，且0cos <α ，则角α是 A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角（2015年1月·延庆期末·4．若角α的终边经过点)4,3(-P ，则tan =α A ．54 B ．53-C ．34-D. 43-（2015年1月·延庆期末·11. 要得到)42sin(π+=x y 的图象只需将x y 2sin =的图象A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向右平移8π个单位D ．向左平移8π个单位（2015年1月·海淀期末·6.若直线x a =是函数()sin f x x =的一条对称轴，则()f a = DA.0B.1C. 1-D. 1或1- （2015年1月·密云期末·5．函数)32sin(2π+=x y 的一个对称中心A ．)0,6(πB ．)0,6(π-C ．)0,12(πD ．)0,12(π-（2015年1月·西城期末·6．如果函数cos()y x =+ϕ的一个零点是3π，那么ϕ可以是（ ） （A ）6π（B ）6π-（C ）3π （D ）3π-（2015年1月·东城期末·2. 已知sin 0,cos 0θθ<>，则角θ是 A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角（2015年1月·房山期末·7）要得到函数cos 2y x =的图象，只需将函数cos(2)5y x π=+的图象（A ）向左平移5π个单位 （B ）向右平移5π个单位 （C ）向左平移10π个单位（D ）向右平移10π个单位（2015年1月·房山期末·8）函数πsin 2()6y x =+的图象（A ）关于点π(,0)6对称 （B ）关于点π(,0)3对称 （C ）关于直线π6x =-对称 （D ）关于直线π3x =对称（2015年1月·丰台期末·4．已知135sin =α，α是第一象限角，则cos(π)α-的值为（ ） A ．513-B ．513C ．1213-D ． 1213（2015年1月·顺义期末·6.先将函数sin 2y x =的图象向右平移3π个长度单位，再作所得图象关于x 轴的对称图形，此时函数的解析式为 A.sin(2)3y x π=- B ．sin(2)3y x π=-+ C.2sin(2)3y x π=-- D.2sin(2)3y x π=-+（2015年1月·昌平期末·6）将函数cos 2y x =的图象上所有的点向右平移12个单位，得到的图象所对应的函数解析式为（A ）1cos(2)2y x =- （B ）1cos(2)2y x =+ （C ）cos(21)y x =- （D ）cos(21)y x =+（2015年1月·顺义期末·8.如图，现要在一块半径为1m 圆心角为3π的扇形金属板AOB 上，A剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点,M N 在OB 上，记MNPQ Y 的面积为S ，则S 的最大值为2 2m2 2（2015年1月·昌平期末·2）已知角α的终边经过点(1P -，则cos α=（A （B ） （C ）12 （D ）12-（2015年1月·丰台期末· 7．已知函数sin()y A x ωϕ=+ππ,(0,0,)22A ωϕ>>-<<的图象如下，则ω与ϕ的值分别为（ ） A ．2,3π B ．2,6π C ．1,23π D ．1,26π（2015年1月·密云期末·4．在下列函数中，既是偶函数又在区间0,1（）上单调递减的函数为A ．xy 1= B ．x y lg = C ．x y cos = D ．2x y =（2015年1月·丰台期末·8． 关于π()3cos(2),R 6f x x x =-∈，下列叙述正确的是（ ）A ． 若12()()3==f x f x ，则12-x x 是2π的整数倍B ． 函数()f x 的图象关于点π(,0)6-对称 C ． 函数()f x 的图象关于直线π6x =对称D ． 函数()f x 在区间π(0,)4上为增函数（2015年1月·密云期末·8.已知函数11()sin cos =+f x x x，在下列结论中： ①π是()f x 的一个周期;②()f x 的图象关于直线x 4π=对称;③()f x 在(,0)2π-上单调递减.正确结论的个数为 A. 0B.1C. 2D. 3（2015年1月·西城期末·12．已知α是第二象限的角，且5sin 13α=，则cos =α1213-． （2015年1月·西城期末·13．若(,)22ππ∈-θ，且tan 1>θ，则θ的取值范围是_(,)42ππ．（2015年1月·石景山期末·11．若cos 2α=，且α的终边过点(,2)P x ，则x = （2015年1月·石景山期末·12．sin α=3cos α，则tan α＝ 3 .（2015年1月·房山期末·12）若角α的终边经过点(2,1)P ，则tan =α ，πtan()4+=α12；3（2015年1月·丰台期末·12．已知点3(,)5P m -为角α的终边与单位圆的交点，则=αcos ；35- （2015年1月·顺义期末·9．已知角α的终边经过点()3,4P ，则sin α的值为____45___. （2015年1月·西城期末·16．关于函数()sin(2)()6f x x x π=-∈R ，给出下列三个结论：① 对于任意的x ∈R ，都有2()cos(2)3f x x π=-； ② 对于任意的x ∈R ，都有()()22f x f x ππ+=-；③ 对于任意的x ∈R ，都有()()33f x f x ππ-=+．其中，全部正确结论的序号是_____． ① ② ③（2015年1月·房山期末·13）已知3cos 5=-α，且α为第二象限的角，则sin()α-= 45- . （2015年1月·顺义期末·12.函数2sin(2)6y x π=+图像的对称中心是_________;对称轴方程是_______. (,0),,21226k k x k Z ππππ-=+∈ （2015年1月·延庆期末·16．已知B A ,是圆O 上两点,2=∠AOB 弧度,2=OA ,则劣弧AB 长度是__ ____.4（2015年1月·东城期末·12. 已知1tan(3)2απ-=-，则πcos()cos()2sin(π+)2cos(π)αααα++---的值是13． （2015年1月·东城期末·15. 函数1π2s i n ()36y x=-的单调递减区间是__[6π2π,6π2π](Z)k k k ++∈_.（2015年1月·丰台期末·14．函数)3πsin(2+=x y )2π0(≤≤x 的值域是 ；[1,2] （2015年1月·顺义期末·12．不等式cos 0x >的解集为_________ππ{|2π2π+,}22x k x k k -<<∈Z _______ .（2015年1月·海淀期末·17. 已知函数sin()y A t ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的图象如右图所示，它刻画了质点P 做匀速圆周运动（如图2）时，质点相对水平直线l 的位置值y （||y 是质点与直线l 的距离（米），质点在直线l 上方时，y 为正，反之y 为负）随时间t （秒）的变化过程. 则（1）质点P 运动的圆形轨道的半径为________米； （2）质点P 旋转一圈所需的时间T =_________秒； （3）函数()f t 的解析式为：__________________； （4）图2中，质点P 首次出现在直线l 上的时刻t =_______秒.（1）2；（2）2；（3）()f t =π2sin(π)6t -；（4）16第17题（图2）（2015年1月·延庆期末·18．设函数)32sin(ππ+=x y ，若对任意R x ∈，存在x 1，x 2使)()()(21x f x f x f ≤≤恒成立，则21x x -的最小值是_______.2（2015年1月·房山期末·16）已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0πϕ<<）的图象与直线y b =（10b -<<）的三个相邻交点的横坐标分别为1，3，7，则()f x 的最小正周期为 ，()f x 取得最大值时x；56,k k +∈Z（2015年1月·丰台期末·18）（本小题满分9分） 已知θ为锐角（Ⅰ）若tan 2θ=，求sin cos sin cos θθθθ+-的值；（Ⅱ）若1)cos (sin sin 2=+θθθ，求θ的值. 解：（Ⅰ）sin cos tan 1213sin cos tan 121θθθθθθ+++===--- ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄４分（Ⅱ）22sin (sin cos )2sin 2sin cos 1cos2sin 21θθθθθθθθ+=+=-+=s i n 2c o sθθ= 由π(0,)2θ∈得2(0,π)θ∈故π24θ=所以π8θ= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分（2015年1月·丰台期末·19. （本小题满分10分） 已知函数()sin(2)sin(2)cos 233f x x x x a ππ=++-++的最大值是（Ⅰ）求常数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间. 解：（Ⅰ）()sin(2)sin(2)cos 233f x x x x a ππ=++-++sin 2cos 2π)4x x ax a=++=++a =a ∴= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄６分（Ⅱ）2ππ2T == 令πππ2π-22π+,242k x k k Z ≤+≤∈解得3πππ-π+,88k x k k Z ≤≤∈ 所以函数()=y f x 的单调递增区间为3ππ[π-,π+],88k k k Z ∈┄┄┄┄┄10分（2015年1月·顺义期末·15．（本小题满分13分）已知4sin 5α=，且02απ<<. （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求cos 2sin()2ααπ++的值. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为4sin 5α=,02απ<<， 故3cos 5α=，所以34tan =α. -------------6分（Ⅱ）23238cos 2sin()12sin cos 1225525ααααπ++=-+=-+=. --------------13分（2015年1月·昌平期末·18）(本小题共14分)在平面直角坐标系xOy 中，角,(0)2παβαβπ<<<<的顶点与原点O 重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于,A B 两点，,A B 两点的横坐标分别为54,135-. （I ）写出cos ,cos αβ的值；（只需写出结果） （II ）求tan β的值； （III ）求AOB ∠的余弦值.解:（Ⅰ）5cos 13α=；4cos 5β=-.（Ⅱ）因为4cos 5β=-，2πβπ<<，所以3sin 5β=. ……………………4分 所以3sin 35tan 4cos 45βββ===--. ……………………6分(Ⅲ) 因为5cos 13α=，02πα<<，所以12sin 13α=. ……………………8分所以cos cos()AOB βα∠=- ……………………9分cos cos sin sin βαβα=+ …………………11分45312513513=-⨯+⨯ 1665=. ……………………14分（2015年1月·延庆期末·21．（本题10分）设函数xxx f tan sin )(=. （Ⅰ）求函数)(x f 的定义域； （Ⅱ）已知)2,0(πα∈，且135)(=αf ，求)4(πα+f 的值. 解：解：（Ⅰ）要使函数)(x f 有意义，只要使0tan ≠x ， ∴函数)(x f 的定义域为,|{R x x ∈且},2Z k k x ∈≠π. ………………3分 （Ⅱ）由x x x cos sin tan =，得x x f cos )(=，∴135cos )(==ααf . …………5分 ∵)2,0(πα∈，∴1312cos 1sin 2=-=αα. ………………7分∴4sinsin 4coscos )4cos()4(παπαπαπα-=+=+f262722131222135-=⨯-⨯=. ………………10分 （2015年1月·石景山期末·17.（本题满分9分）已知02απ<<,4sin 5α=. （I ）求cos α的值；（II ）求tan()4πα+的值；（III ）求sin()cos()tan()2cos()ππαααπα---+的值.解：（I ）02απ<<,4sin 5α=，3cos 5α∴=； …………2分 （II ）4tan 3α=…………4分 tan()74πα+=- …………6分（III ）sin()cos()tan()2cos()ππαααπα---+=sin cos cot cos αααα-=3sin cot cos 5ααα-=-=-. …………9分（2015年1月·石景山期末·18. （本题满分8分）函数()2sin(2)3f x x π=-的部分图象如右图所示．（I ）写出()f x 的最小正周期及图中0x ，0y 的值； （II ）求()f x 在区间[,]46ππ-上的最大值和最小值．解：（I ） ()f x 的最小正周期为π,0512x π=,02y =. …………4分 （II ）因为[,]46x ππ∈-，所以52[,0]36x ππ-∈-. 于是，当203x π-=，即6x π=时，()f x 取得最大值0；当232x ππ-=-，即12x π=-时，()f x 取得最大值2- …………8分yOx0x0y（2015年1月·延庆期末·22．（本题10分）已知函数x x x x f 22cos 32sin sin )(++=. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数的单调减区间； （Ⅲ）当]44[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值.解：解：（Ⅰ）∵1cos 22sin )(2++=x x x fx x 2cos 2sin +=)42sin(2π+=x ， ……………………2分∴)(x f 的最小正周期πωπ==2T . ……………………4分（Ⅱ）由πππππk x k 2234222+≤+≤+得ππππk x k +≤≤+858)(Z k ∈ ∴函数的单调减区间]85,8[ππππk k ++)(Z k ∈. …………………7分（Ⅲ）由]43,4[42]2,2[2]4,4[πππππππ-∈+⇒-∈⇒-∈x x x . ∴当442ππ-=+x 时，即4π-=x 时，)(x f 取得最小值0. …………10分（2015年1月·昌平期末·20）(本小题共16分)已知函数()()12cos2f x x x =+. （I ）求函数()f x 的定义域； （II ）求函数()f x 在区间[,]66ππ-上的最大值和最小值； （III ）求函数()f x 的单调递增．．区间. 解：（Ⅰ）要使函数有意义，只需22x k ππ≠+,即24k x ππ≠+. ………………2分 所以函数()f x 的定义域为,24k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z . ………………3分（Ⅱ）()(12)cos2f x x x =(12x = ………………4分cos22x x = ………………5分2sin(2)6x π=+. ………………7分因为66x ππ-≤≤,所以2662x πππ-≤+≤. ………………8分所以1sin(2)126x π-≤+≤.即12sin(2)26x π-≤+≤.所以当262x ππ+=，即6x π=时,函数()f x 的最大值为2； ……10分当266x ππ+=-；即6x π=-时,函数()f x 的最小值为1-. ……12分(Ⅲ) 因为222262k x k πππππ-≤+≤+， ………………14分所以36k x k ππππ-≤≤+. ………………15分结合定义域，可知函数()f x 单调递增区间为,,,()3446k k k k k ππππππππ⎡⎫⎛⎤---+∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦Z . ………………16分 （2015年1月·东城期末·18．（本题满分10分）已知函数2()22cos 1f x x x ==+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.18．（本题满分10分）解：（Ⅰ）因为2()22cos 1f x x x =+-x x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x .所以)(x f 的最小正周期为π.（Ⅱ）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以 于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1．（Ⅰ）根据函数()sin()f x A x =+ωϕ (0A >，0>ω，π02<<ϕ)的部分图象可得 2A =，------------------1分 5πππ41264T =-=，由此可得()f x 的最小正周期为π， ------------------1分 0>ω，2T π==πω，∴2ω= ------------------2分又π()26f =，∴ππ22π,62k k ϕ⨯+=+∈Z -----------------2分 ∴π2π,6k k ϕ=+∈Z ，而π02<<ϕ∴π6ϕ= ------------------1分∴函数()f x 的解析式为π()2sin(2)6f x x =+ -----------------1分（Ⅱ） ∵ππ[,]212x ∈--，∴π5π2[,0]66x +∈-∴当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0， ------------------2分当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值2- ------------------2分 （2015年1月·顺义期末·18．（本小题满分已知函数2()cos cos f x x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]122ππ（Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.解：（Ⅰ）因为()f x 1cos 222x x +=π1sin(2)62x =++． ---------------------------------------------------4分所以函数()f x 的最小正周期为π．---------------------------------5分（Ⅱ）π1()sin(2)62f x x =++． 因为122x ππ≤≤，所以ππ7π2366x ≤+≤， 所以1πsin(2)126x -+≤≤，因此π130sin(2)622x ++≤≤，即()f x 的取值范围为3[0]2，-----------------------------10分（Ⅲ）()f x 在[,]1212π11π-上的图象如图所示. ----------------------------14分（其它周期上的图象同等给分） （个别关键点错误酌情给分）（2015年1月·顺义期末·19．（本小题满分13分）已知函数2()cos2sin f x x x =-. （I ）求(0)f 的值；（II ）求函数()f x 的最大值和最小值，并分别写出使函数取得最大值和最小值时的x 值.解：（I ）2(0)cos0sin 01f =-=. ------------------------------------------------------------------6分 （II ）2222()cos2sin 12sin sin 3sin 1f x x x x x x =-=--=-+， -------------------8分所以)(x f 最大值是1，最小值是2-. ------------------------------------------------10分 当sin 0x =时，即()x k k Z π=∈时函数()f x 取得最大值1， 当sin 1x =±时，即()2x k k Z ππ=+∈时函数()f x 取得最小值2-.-------13分（2015年1月·顺义期末·20．（本小题共14分）已知向量1,cos )a x x =-r ，(1,2cos )b x =r ，设函数()f x a b =⋅r r .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）若,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）若不等式|()|1f x m -<在,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立求实数m 的取值范围.解：（Ⅰ）)()()21,cos 1,2cos f x a b x x x =⋅=-⋅r r2212cos x x -+2cos 2x x +2sin(2)6x π=+.————4分∴最小正周期T π=当2262x k πππ+=+即6x k ππ=+时()max 2f x =，当2262x k πππ+=-即3x k ππ=-时()min 2f x =-.()k z ∈———7分（Ⅱ）由()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈∴()f x 的单调递增区间为36k x k ππππ-≤≤+k Z ∈.令上式1k = ∴2736x ππ≤≤()'1.又Q ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()'2 又()'1()'2得的 ()f x 的单调递增区间为2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦————11分（Ⅲ）由43x ππ≤≤∴252366x πππ≤+≤1sin 2262x π⎛⎫∴≤+≤ ⎪⎝⎭;∴12sin 26x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭——————————12分要()||1f x m -<恒成立 ，即()||1m f x -<恒成立，∴2sin 212sin 2166x m x ππ⎛⎫⎛⎫+-<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2sin 2162sin 216m x m x ππ⎧⎛⎫>+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪<++ ⎪⎪⎝⎭⎩恒成立∴12m m ⎧>⎪⎨<⎪⎩; 即)1,2m ∈————14分（2015年1月·房山期末·20）（本小题共12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若函数()()g x f x k =-在[0,]2π上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．（20）（本小题共12分） 解：（Ⅰ）由()2cos (sin cos )1f x x x x =+-(1)(1)sin 2 cos 2 x x =+分分 -------------------2分)4x π=+ -------------------2分由222()242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈ -------------------2分解得：3()88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ -------------------2分 所以函数)(x f 的递增区间为3[,]()88k k k Z ππππ-++∈. （Ⅱ）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得24x π+∈5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 可知函数)(x f 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()[1f x ∈，在,82ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，()[1f x ∈-， -------------------2分 所以若函数()()g x f x k =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则[1k ∈.（2015年1月·海淀期末·18.本题满分13分已知函数2()2sin()36f x x ππ=+.（Ⅰ）请用“五点法”画出函数()f x 在一个 周期上的图象（先列表，再画图）； （Ⅱ）求()f x 的单调增区间；（Ⅲ）求()f x 在13[,]24-上的取值范围.18.本题满分13分解：（Ⅰ）函数2()2sin()36f x x ππ=+的周期3T =，-----------------------------------1分)第17题（图1）描点画图如图所示. --------------------------------------------------5分（Ⅱ）函数sin y x =的单调增区间为ππ[2π,2π]()22k k k -+∈Z .-----------------------6分由π2π2π2π()2362k x k k ππ-≤+≤+∈Z ， 得1313()2k x k k -≤≤+∈Z .所以()f x 单调增区间为1[31,3]()2k k k -+∈Z .----------------------------------------------9分（Ⅲ）因为13[,]24x ∈-，所以2πππ2π[,]3663x +∈-， 所以2ππ1sin()[,1]362x +∈- 所以2ππ2sin()[1,2]36x +∈-，即()f x 在13[,]24-上的取值范围是[1,2]-.-------------13分 说明：（Ⅱ）（Ⅲ）问，如果最终结果错误，可细化解题步骤给过程分；如果仅有最终正确结果，无步骤每问各扣1分。

高一数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知，则【答案】【解析】由，因此，.【考点】（1）诱导公式的应用；（2）同角三角函数的基本关系.2.已知0＜β＜＜α＜π，且，，求cos（α＋β）的值．【答案】．【解析】（1）三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角三角函数值，代入展开即可，注意角的范围;（2）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，要熟练掌握公式，不要把符号搞错，很多同学化简不正确;（3）求解较复杂三角函数的最值时，首先化成形式，在求最大值或最小值,寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围．试题解析：解：，，∴＝＝，sin＝＝，∴＝＝＋sin sin＝×＋×＝，∴（α＋β）＝2－1＝2×－1＝－．【考点】根据三角函数值求值．3.若，则，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以，平方得：，故选择D.【考点】三角恒等变换中的求值.4.已知，，且为锐角，则___________．【答案】【解析】由，两式平方相加得：，即有，由为锐角，且，知，从而得，因此，所以，观察式子的结构特点，注意解题技巧的积累．【考点】三角恒等变换之一：求值．5.设且则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，又，，故，即.故选C.【考点】二倍角公式的应用.6.已知，且．（１）求的值；（２）求的值．【答案】(1);(2)【解析】(1)=;(2)因为,由已知易求出,,则.试题解析：(1)原式=,则【考点】1.三角恒等变换;2.三角函数的和角公式与差角公式7.已知向量，，，.（Ⅰ）若，求函数的值域；（Ⅱ）若关于的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）函数的值域为；（Ⅱ）实数的取值范围为.【解析】（Ⅰ）将向量语言进行转换，将问题转化为三角问题，通过换元进一步将问题转化为二次函数在给定区间上的值域问题，从而得以解决；（Ⅱ）通过换元将问题转化为一元二次方程根的分布问题，通过数形结合，最终归结为解一个不等式组的问题.试题解析：（Ⅰ） 1分，，， 2分，，， 3分，， 4分，又，， 6分（Ⅱ）由得，令，，则，关于的方程有两个不同的实数解，，在有两个不同的实数解， 8分令，则应有11分解得 14分【考点】三角恒等变换及三个二次的综合应用.8.设a＝(sin56°－cos56°)， b＝cos50°·cos128°＋cos40°·cos38°，c＝ (cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c的大小关系是 ( ).A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b【答案】B.【解析】因为，，，又因为在内余弦函数单调递减，所以，即c<a<b.【考点】辅助角公式（化一公式），诱导公式，两角和的余弦公式，二倍角的余弦公式，余弦函数单调性.9.求值： ___________.【答案】.【解析】.【考点】三角恒等变形.10. (cos- sin) (cos+sin)= （）A．B．C．D．【解析】显然上式满足平方差公式,所以其等于,发现符合余弦二倍角公式,所以等于．【考点】三角化简．11. 4 sin．cos =_________．【答案】1【解析】根据正弦二倍角公式,可得．【考点】正弦二倍角公式．12.已知，（1）求；（2）求。

三角恒等变换班别 姓名 学号 成绩 一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则α2tan 的值为（ ）A. 47-B. 47C. 18D. 18-2．在cos cos sin sin 0,ABC A B A B ∆->中，··则这个三角形的形状是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形3.已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α的值为（ ）A ．89 B.89- D.4．13sin10-的值是（ ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、145．若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ，则()f x 是（ ）A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数6.已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ）A1010 B 1010- C 10103 D 10103-7.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（ ）A 、向右平移6π个单位B 、向右平移12π个单位C 、向左平移6π个单位D 、向左平移12π个单位8. 函数sin 22x xy =+的图像的一条对称轴方程是 （ ）A 、x =113π B 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=-9. 已知1cos sin 21cos sin x xx x -+=-++，则x tan 的值为 （ ）A 、34B 、34-C 、43D 、43-10.函数44sin cos y x x =+的值域是（ ）A []0,1B []1,1-C 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上） 11.0000sin347cos148sin32cos13+=____________12. 在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = 13．已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为①函数tan()4y x π=+的定义域是,4x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；②已知1sin 2α=，且[0,2]απ∈，则α的取值集合是6π⎧⎫⎨⎬⎩⎭； ③函数sin(2)sin(2)33y x x ππ=++-的最小正周期是π；④函数2cos sin y x x =+的最小值为－1.三、解答题（共6小题，满分80分）15. （本题满分12分）已知1cos ,3β=-7sin()9αβ+=,且(0,)2πα∈(,)2πβπ∈，求cos α的值。

2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——三角函数1.（2015年1月·延庆期末·8．若x x f 3cos )(cos =，则)(sin 3πf 的值为 A ． 1-B ．23 C ．0 D ．12.（2015年1月·西城期末·1．已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（ ） （A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)23.（2015年1月·西城期末·3．已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α（ ） （A ）35（B ）45-（C ）34（D ）34-4.（2015年1月·房山期末·2）下列各角中，与角π3-终边相同的角是 （A ）2π3 （B ）4π3（C ）5π3（D ）7π35.（2015年1月·海淀期末·10.为了得到函数sin(2)2y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象 AA. 向右平移4π个单位长度 B. 向左平移4π个单位长度 C. 向右平移2π个单位长度 D. 向左平移2π个单位长度6.（2015年1月·西城期末·9．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ）（A ）向左平移π3个单位 （B ）向右平移π3个单位 （C ）向左平移2π3个单位（D ）向右平移2π3个单位7.（2015年1月·海淀期末·11.已知(,)αππ∈-，且sin cos7πα=-，则α= AA. 514π-或914π- B. 914π-或914π C. 514π或514π- D. 514π或914π 8.（2015年1月·密云期末·2．sin 240=A.32-B ．12-C ．12D ．329.（2015年1月·顺义期末·2．sin120的值等于A .12B .12-C .32D .32-10.（2015年1月·海淀期末·2. 7sin6π= A.32 B.32-C. 12D. 12- 11.（2015年1月·延庆期末·2．已知)2,0[πα∈，与角3π-终边相同的角是 A ．3π B ．32π C ．34π D ．35π12.（2015年1月·延庆期末·3．若0sin >α ，且0cos <α ，则角α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角13.（2015年1月·延庆期末·4．若角α的终边经过点)4,3(-P ，则tan =α A ．54 B ．53-C ．34-D. 43-14.（2015年1月·延庆期末·11. 要得到)42sin(π+=x y 的图象只需将x y 2sin =的图象A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向右平移8π个单位D ．向左平移8π个单位15.（2015年1月·海淀期末·6.若直线x a =是函数()sin f x x =的一条对称轴，则()f a = DA.0B.1C. 1-D. 1或1- 16.（2015年1月·密云期末·5．函数)32sin(2π+=x y 的一个对称中心A ．)0,6(πB ．)0,6(π-C ．)0,12(πD ．)0,12(π-17.（2015年1月·西城期末·6．如果函数cos()y x =+ϕ的一个零点是3π，那么ϕ可以是（ ）（A ）6π （B ）6π- （C ）3π （D ）3π-18.（2015年1月·东城期末·2. 已知sin 0,cos 0θθ<>，则角θ是 A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角19.（2015年1月·房山期末·7）要得到函数cos 2y x =的图象，只需将函数cos(2)5y x π=+的图象（A ）向左平移5π个单位 （B ）向右平移5π个单位（C ）向左平移10π个单位 （D ）向右平移10π个单位 20.（2015年1月·房山期末·8）函数πsin 2()6y x =+的错误！未找到引用源。

三角恒等变换班别 _________________ 姓名 _____________________ 学号 __________ 成绩 一、选择题（每小题5分，共50分）2.在 ABC 中，cosA ・ cosB sin A-si nB 0,则这个三角形的形状是（） A.锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形13.已知sin cos ，则sin 2的值为（）36.已知等腰三角形顶角的余弦值等于彳，则这个三角形底角的正弦值为 ()10 、10C3.10D3、10AB101010107.要得到函数y 2sin 2x 的图像，只需将y 3sin2x cos2x 的图像（A、向右平移-个单位B 、向右平移12个单位C 向左平移云个单位D 向左平移一个单位 128.函数y sin^ .3cos-的图像的一条对称轴方程是（）2 21.已知tan3,tan 5，则tan2的值为（A. B.C. D.A . 8 94. 1 的sin 10sA 、115.若函数 f （x ） sin 2x （x R ），则A.最小正周期为丄的奇函数2 C.最小正周期为2 n 的偶函数.1C 、4Df (x)是(B.最小正nD.最小正n312.在 ABC 中，已知tanA ,tanB 是方程3x 2 7x 20的13. 已知 tanx 2，则 3sin2x 2cos2x的值为14. 在下列四个命题中:把你认为正确的命题的序号都填在横线上 三、解答题（共6小题，满分80分）1 715. （本题满分 12分）已知 cos -，sin （ ） 一，且 （0,-）392求cos 的值。

A 11 5 5A 、xB 、 xC 、x —33 3 9.已知 1 cosx sinx2， 则tanx 的值为 1 cosx sin xDD3 - 4、C4 -3、B10.函数y .4sin x cos x 的值域是（A 0,11,12’ 21'1、填空题（每小题 5分，共20分. 请把答案填在题中的横线上） 11. sin347 0cos1480 sin32 0 cos130 =cos2x 3sin 2x①函数y tan (x —）的定义域是x x4②已知sin 且 [0,2 ]，则的取值集合是-;③函数y sin(2x -）sin （2x -）的最小正周期是 ；④函数y 2cos x sin x 的最小值为—1.16・（本题满分12分）化简：黯（1 tanxt吨）17. （本题满分14分）求t严J迅sin 12°(4COS212°18. （本题满分14分）已知a为第二象限角，且Sin a =—15 ,求4sin(sin24cos2 1的值.20.（本题满分14分）已知函数y sin 2 x sin2x 3cos 2 x ，求 （1） 函数的最小值及此时的x 的集合。

2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——函数（2015年1月·延庆期末·5．函数x x y -+-=31的定义域为A ．)3,1(B ．]3,1[C ．),3()1,(+∞-∞D ．),0()0,1(+∞（2015年1月·丰台期末·2．函数()lg(1)f x x -的定义域为（ ） A ．(]1,0 B ．[)1,0C ．[]1,0D ．()1,0（2015年1月·顺义期末·3.下列各组函数中表示同一函数的是A. y =2y = B. ||y x =和y =C.2log a y x =和2log a y x =(0,1)a a >≠D.y x =和log x a y a =(0,1)a a >≠ （2015年1月·顺义期末·7.有下列四个命题： ①||,y x ={}2,1,0,1,2x ∈--，则它的值域为{}0,1,4； ②2,2,y x x x R =≠∈，则它的值域为{}|0,4y y y ≥≠，③211x y x -=-，则它的值域为{}|,2y y R y ∈≠；④y ={}|0y y ≥.其中正确命题的个数为A.1B.2C.3D. 4（2015年1月·海淀期末·4.下列函数中，既是奇函数又是(1,1)-上的增函数的是BA. 2x y =B. tan y x =C. 1y x -=D. cos y x = （2015年1月·海淀期末·5.函数1,0,1,0x x y x x -≥⎧=⎨-<⎩的值域是CA. RB. [0,)+∞C. [1,)-+∞D. (1,)-+∞（2015年1月·丰台期末·3．下列函数中是偶函数且在区间(0,)+∞内为单调递增函数的是（ ）A ．x y cos =B ．12y x =C ．2x y -=D ．23log y x =（2015年1月·东城期末·3. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是A ．1y x=B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．2log (1)y x =+ （2015年1月·房山期末·9）心理学家发现，在特定条件下，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间t （单位：分）满足函数关系2y at bt c =++（a ，b ，c 是常数），下表记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，若要学生达到最强接受能力，提出概念所用的时间为 （A ）10分钟 （B ）12分钟 （C ）13分钟 （D ）14分钟（2015年1月·东城期末·16．对于任意两个实数1x ，2x ，定义11212212,,max(,),.x x x x x x x x ≥⎧=⎨<⎩若2()2,()f x x g x x =-=-，则max((),())f x g x 的最小值为________.1-（2015年1月·昌平期末·13）已知函数3, 1,(),1,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则((1))f f =_______ ；若()2f x =，则x = .13， 3log 2 （2015年1月·昌平期末·15）已知函数2()23f x x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 __________ .[1,2]（2015年1月·西城期末·4．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数．若()(2)f m f >，则实数m 的取值范围是_____．(2,2)-（2015年1月·海淀期末·13. 函数22y x x =-在区间[1,2)-上的值域为__[1,3]- _. （2015年1月·顺义期末·13．已知二次函数()f x 满足(0)3f =-，(1)(3)0f f =-=，那么()f x = 223x x +- ． （2015年1月·顺义期末·14．定义在R 上的偶函数cx bax x f ++=2)(的图象如图所示， 则实数a 、b 、c 的大小关系是____a c b >>__ ______ .（2015年1月·海淀期末·14. 方程3221x x +=的解的个数为_____，若有解，则将其解按四舍五入精确到个位，得到的近似解为____ 1 ， 3 __.（2015年1月·海淀期末·16.已知函数：2y x =sin y x =，cos y x =，tan y x =.从中选出两个函数记为()f x 和()g x ，若()()()F x f x g x =+的 图象如图所示，则()F x =__2sin x x +___.（2015年1月·昌平期末·16）已知函数2()sin 11f x x x =+++的最大值为M,最小值为m ,则m M +=_______ . 2（2015年1月·石景山期末·5. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算， 参考数据如下表：那么方程32220x x x +--=的一个近似根精确到为 A ．1.2 B ．1.3C ．1.4D ． 1.5（2015年1月·密云期末·7.如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿着路径--B A M C -运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数关系为)(x f y =，则)(x f y =的图象是 A（2015年1月·丰台期末·15．已知定义域为R 的函数()f x 的图象关于原点对称．当0>x 时，()ln f x x =，则(e)f -= ； 1-（2015年1月·密云期末·14.给出定义：若11< +22m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个判断：①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图象的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为1；④函数=()y f x 在13]22（，上是增函数． 则上述判断中正确的序号是 .(填上所有正确的序号) ①③④（2015年1月·丰台期末·16． 如图，某机器人的运动轨道是边长为1米的正三角形ABC ．开机后它从Ａ点出发，沿轨道先逆时针运动再顺时针运动，每运动6米改变一次运动方向（假设按此方式无限运动下去）．运动过程中随时记录逆时针运动的总路程1s 和顺时针运动的总路程2s ．x 为该机器人的“运动状态参数”，规定：逆时针运动时 x =1s ，顺时针运动时x =2s -．机器人到A 点的距离d 与x 满足函数关系d =()f x ．现有如下结论：①()f x 的值域为[0,1]； ②()f x 是以3为周期的函数；③()f x 是定义在R 上的奇函数； ④()f x 在区间[3,2]--上单调递增．其中正确的有 （写出所有正确结论的编号）．①②④ （2015年1月·顺义期末·17．（本题满分13分） 已知函数1()f x kx x=-，且(1)1f =． （Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅱ）判断函数在),0(+∞上的单调性，并用定义加以证明．解：（Ⅰ）由(1)1f =得2k =；-----------------------------------------6分（Ⅱ）为增函数．在),0(+∞任取两数1x ，2x ．设210x x >>，则2121212112111()()(2)(2)()(2)f x f x x x x x x x x x -=---=-+因为210x x >>，所以210x x ->，21120x x +>， 所以21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，所以()f x 为增函数．------13分（2015年1月·延庆期末·24.（本题12分）设函数54)(2--=x x x f .（Ⅰ）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；（Ⅱ）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，k kx y 3+=的图像位于函数)(x f 图像的上方.解：24.（本题12分） 解]：（Ⅰ）…………………………3分（Ⅱ）当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .)54()3()(2++--+=x x x k x g )53()4(2-+-+=k x k x436202422+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k k x ， ………………………5分 ∵ 2>k ，∴124<-k. ………………………6分 ① 当1241<-≤-k ，即62≤<k 时，取24kx -=， min )(x g ()[]6410414362022---=+--=k k k . ∵ ,64)10(162<-≤k ，∴064)10(2<--k 则0)(min >x g .………9分② 当124-<-k，即6>k 时，取1-=x ，min )(x g ＝02>k . 由 ①、②可知，当2>k 时，在]5,1[-∈x 上0)(>x g ，∴在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方.……12分（2015年1月·西城期末·6．（本小题满分10分）已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a ∈R ． （Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值．（Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--， 所以，()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. 【 2分】由212a-=，得0a =. 【 4分】 解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)(2)f f =成立， 【 2分】 所以 20a -=， 得0a =. 【 4分】 （Ⅱ）解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. ① 当202a-≤，即 2a ≥时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】② 当2012a-<<，即 02a <<时， 因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a-上单调递增， 所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为222()()22a a f -+=-. 【 8分】 ③ 当212a-≥，即 0a ≤时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】（2015年1月·顺义期末·18．（本小题共13分） 已知函数()mf x x x=+，且此函数图象过点(1,5) ． （Ⅰ）求实数m 的值并判断()f x 的奇偶性；（Ⅱ）判断函数()f x 在[)2,+∞上的单调性，并用定义证明你的结论. 解：（Ⅰ）Q ()f x 过点()1,5 ∴4m =.————————2分 ∴()4fx x x =+定义域是()(),00,-∞+∞U ， Q ()4f x x x-=--()f x =- ∴()f x 是奇函数 ；————６分（Ⅱ）()f x 在[)2,+∞上单调递增.———８分 证明：任取[)12,2,x x ∈+∞，,不妨设122x x ≤<,()()21212144f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2112124x x x x x x --=;——————10分 当122x x ≤<时，Q 1240x x ->，210x x ->，120x x >，∴()()210f x f x ->∴()()21f x f x >;∴()f x 在[)2,+∞上单调递增.————————————1３分（2015年1月·顺义期末·19．（本小题共14分） 为了预防冬季流感，某学校对教室用药熏消毒法 进行消毒.已知药物释放过程中室内每立方米空气 中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比， 药物释放完毕后y 与t 的函数关系式为：1()4t a y -=，（a 为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式；（Ⅱ）据测定当空气中每立方米的含药量降低到0.5 毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放完毕，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室.1９. （本小题共14分） （Ⅰ）由图形可设y kt =(00.1)t ≤≤，———２分把点(0.1,1)分别代入y kt =和1()4t ay -=，解得10,0.1k a ==．———８分∴0.110,(00.1)1(),(0.1)4t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩．———１０分 （Ⅱ）依题意0.111()0.542t -<=，解得0.6t > ，又 0.60.10.5-= ∴药物释放完毕0.5小时后学生才能回到教室．———１４分))（2015年1月·石景山期末·19. （本题满分7分） （Ⅰ）证明：函数4()f x x x=+在(0,2]上是减函数； （Ⅱ）已知函数()af x x x=+有如下性质：如果常数0a >，那么该函数在上是减函数，在)+∞上是增函数.设常数(1,9)a ∈，求函数()af x x x=+在[1,3]x ∈上的最大值和最小值. （Ⅰ）证明：设12,x x 是(0,2]内的任意两个不相等的实数，且12x x <，则210x x x ∆=->，2121212121121221212121214444()()()()()4()(4)4()()(1)y f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∆=-=+-+=-+---=-+=--=∆⋅1202x x <<≤，1204x x ∴<<，1240x x ∴-<， 0y ∴∆<.因此，函数4()f x x x=+在(0,2]是减函数. …………3分 （Ⅱ）(1,9)a ∈，13∴<< …………4分所以，函数()af x x x=+在上是减函数，在上是增函数. x ∴=当()f x有最小值 …………5分又(1)1,(3)33a f a f =+=+， 最大值进行如下分类讨论：（ⅰ）当(1)(3)f f ≥时，即39a ≤<时，当1x =时，函数()f x 有最大值1a +；……6分 （ⅱ）当(1)(3)f f <时，即13a <<时，当3x =时，函数()f x 有最大值33a+. ……7分 （2015年1月·密云期末·19. （本小题满分13分）设二次函数2()f x ax bx c =++0,a x R ≠∈满足条件：①21()(1)2≤≤+x f x x ， ②(1)(1)-+=--f x f x ； ③()f x 在R 上的最小值为0.（I ）求(1)f 的值； （II ）求()f x 的解析式；（III ）求最大值(1)m m >，使得存在t R ∈，只要[]1,x m ∈，都有()f x t x +≤成立.解：(I) ∵)1(21)(2x x f x +≤≤在R 上恒成立， ∴211(1)(11)12f ≤≤+= 即(1)1f =. ---------------------------2分 （II ）∵(1)(1)-+=--f x f x ，∴函数图象关于直线1x =-对称，∴1,2.2bb a a-=-= ∵(1)1f =，∴1a b c ++= ---------------------------4分 又∵()f x 在R 上的最小值为0，∴(1)0f -=，即0a b c -+=， 由210b a a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得1412a cb ⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴2111()424f x x x =++； -------------7分 （III ）∵当[1,]x m ∈时， ()f x t x +≤恒成立，∴(1)1f t +≤且()f m t m +≤，由(1)1f t +≤得240t t +≤，解得40t -≤≤ ---------------9分由()f m t m +≤得：222(1)210m t m t t --+++≤，解得11t m t -≤≤-……………（10分）∵40t -≤≤，∴11(4)9m t ≤---，---------------11分当4t =-时，对于任意[1,9]x ∈，恒有211(4)(109)(9)(1)044f x x x x x x --≤-+=--≤， ∴m 的最大值为9. -------------------12分 另解：（酌情给分）2()(1)4f x t x x t x +≤⇔++≤且[1,]x m ∈⇔11t x t x ⎧≥--⎪⎨≤-+⎪⎩在[1,]m 上恒成立⇔max min(1)(1)t x t x ⎧≥--⎪⎨≤-+⎪⎩∵1y x =--在[1,]m上递减，∴max (1)4x --=-，∵1y x =-+在[1,]m 上递减，∴2min (1)11)x m -+=-+=-∴241)t -≤≤-，∴21)4-≥-，21)4≤，∵1m >12≤， ∴9m ≤，∴m 的最大值为9（2015年1月·石景山期末·20. （本题满分7分）对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数．（Ⅰ）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由； 第一组：12()sin ,()cos ,()sin()3f x x f x x h x x π===+；第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ；（Ⅱ）设 ，生成函数()h x ． 若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围.解：（Ⅰ）① 设sin cos sin()3a x b x x π+=+，即1sin cos sin 2a x b x x x +=+，取1,2a b ==，所以()h x 是12(),()f x f x 的生成函数． …………2分② 设222()(1)1a x x b x x x x -+++=-+，即22()()1a b x a b x b x x +--+=-+，则111a b a b b +=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩，该方程组无解．所以()h x 不是12(),()f x f x 的生成函数． …4分 （Ⅱ）122122()2()()2log log log h x f x f x x x x =+=+=12212()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，23()2()0h x h x t ++<，即22223()2()3log 2log t h x h x x x <--=--设2log s x =，则[1,2]s ∈，22223log 2log 32y x x s s =--=--，max 5y =-，故，5t <-． ………7分（2015年1月·昌平期末·19）(本小题共15分)已知函数()2f x x x x =-.（I ）判断函数()f x 的奇偶性并求函数()f x 的零点； （II ）写出()f x 的单调区间；（只需写出结果） （III ）试讨论方程()f x m =的根的情况. 解：（Ⅰ）因为()()2()f x x x x -=----2x x x =-+ (2)x x x =--()f x =-, …………………2分所以()f x 为奇函数. …………………3分 令()0f x =,即20x x x -=,(2)0x x -=.解得：0,=2, 2.x x x ==-所以函数的零点为2,0,2-. …………………6分 （Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；单调递减区间为(1,1)-. …………………9分 (Ⅲ)当1>1m m <-或时，方程()f x m =有一个根； …………………11分 当1m =±时，方程()f x m =有两个根； …………………13分 当11m -<<时，方程()f x m =有三个根. …………………15分（2015年1月·昌平期末·21）(本小题共13分)已知函数()f x 对任意,a b ∈R ,都有()()2()()f a b f a b f a f b ++-=⋅，且(0)0f ≠. （I ） 求(0)f ；（II ）证明：函数()f x 为偶函数；(Ⅲ) 存在正数m ，使得()0f m =，求满足()()f x T f x +=的1个T 值(0)T ≠. 解：（Ⅰ）令0a b ==.则(0)(0)2(0)(0)f f f f +=⋅. 因为(0)0f ≠，所以(0)1f =. ………………3分 （Ⅱ）令0,a b x ==.则()()2(0)()2()f x f x f f x f x +-=⋅=.所以()()f x f x -=.所以函数()f x 为偶函数. ………………7分(Ⅲ)令,a x b m ==. 因为()0f m =,所以()()2()()0f x m f x m f x f m ++-=⋅=. ………………9分即 ()()f x m f x m +=--.………………10分 所以(2)()f x m f x +=-. ………………11分所以(4)(2)()f x m f x m f x +=-+=.所以满足(+)()f x T f x =的一个T 值为4m . ………………13分 （2015年1月·东城期末·21.（本题满分8分）已知函数2()43f x x x a =-++,a ∈R .（Ⅰ）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()y f x =在[1,1]-上存在零点，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数()52g x bx b =+-，b ∈R .当0a =时，若对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得12()()f x g x =，求b 的取值范围． 21．（本题满分8分）解：（Ⅰ）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，则方程()0f x = 的判别式0∆<，即164(3)0a -+<，解得1a >.（Ⅱ）2()43f x x x a =-++的对称轴是2x =，所以()y f x =在[1,1]-上是减函数，()y f x =在[1,1]-上存在零点，则必有：(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≥⎩，即080a a ≤⎧⎨+≥⎩， 解得：80a -≤≤，故实数的取值范围为80a -≤≤；（Ⅲ）若对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使12()()f x g x =，只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =值域的子集.当0a =时，2()43f x x x =-+的对称轴是2x =，所以()y f x =的值域为[1,3]-. 下面求()52g x bx b =+-，[1,4]x ∈的值域. ① 0b =时，()5g x =，不合题意，舍去.② 0b >时，()52g x bx b =+-的值域为[5,52]b b -+，只需要5152 3.b b -≤-⎧⎨+≥⎩， 解得6b ≥.③ 0b <时，()52g x bx b =+-的值域为[52,5]b b +-，只需要5215 3.b b +≤-⎧⎨-≥⎩，解得3b ≤-.综上：实数b 的取值范围6b ≥或3b ≤-. （2015年1月·房山期末·22）（本小题满分12分）设)(x f 和()g x 都是定义在集合M 上的函数，对于任意的x M ∈，都有(())(())f g x g f x =成立，称函数)(x f 与()g x 在M 上互为“H 函数”．（Ⅰ）若函数()21f x x =+，()32g x x =+，判断)(x f 与()g x 在R 上是否互为“H 函数”； （Ⅱ）若函数()2f x x =与()sin g x x =在M 上互为“H 函数”，求集合M ；（Ⅲ）若函数xa x f =)(（0a >，1a ≠）与1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”，求a的取值范围．解：（Ⅰ）)(x f 与()g x 在R 上互为“H 函数” -----------------1分x ∀∈R ,由()21f x x =+，()32g x x =+，则(())2(32)1f g x x =++， -----------------1分 (())3(21)2g f x x =++ -----------------1分 (())(())f g x g f x = -----------------1分 所以)(x f 与()g x 互为“H 函数”（Ⅱ）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2= -----------------1分化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x -----------------1分 解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈， -----------------1分 即集合{|,}M x x k k Z ==π∈ -----------------1分（Ⅲ）由))(()((x f g x g f =得11+=+x x a a（0>a 且1≠a ）变形得，1)1(=-a a x ， -----------------2分由于0>a 且1≠a ，11-=a a x， 因为0>xa ，所以011>-a ，即1>a -----------------2分 （2015年1月·西城期末·8．（本小题满分10分）定义在R 上的函数()f x 同时满足下列两个条件：① 对任意x ∈R ，有(2)()2f x f x +≥+；② 对任意x ∈R ，有(3)()3f x f x +≤+． 设()()g x f x x =-．（Ⅰ）证明：(3)()(2)g x g x g x +≤≤+； （Ⅱ）若(4)5f =，求(2014)f 的值． （Ⅰ）证明：因为()()g x f x x =-，所以(2)(2)2g x f x x +=+--，(3)(3)3g x f x x +=+--．由条件①，②可得(2)(2)2()22()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≥+--=-=； ③ 【 2分】 (3)(3)3()33()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≤+--=-=． ④ 【 4分】所以(3)()(2)g x g x g x +≤≤+． （Ⅱ）解：由③得 (2)()g x g x +≥，所以(6)(4)(2)()g x g x g x g x +≥+≥+≥． 【 6分】由④得 (3)()g x g x +≤，所以(6)(3)()g x g x g x +≤+≤． 【 7分】 所以必有(6)()g x g x +=，即()g x 是以6为周期的周期函数． 【 8分】 所以(2014)(33564)(4)(4)41g g g f =⨯+==-=． 【 9分】 所以(2014)(2014)20142015f g =+=． 【10分】 （2015年1月·密云期末·20.（本小题满分13分）若函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，则称函数)(x f 具有性质P .（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由.①2x y =； ②3y x =.（Ⅱ）若函数)(x f 具有性质P ，且(0)()0f f n ==（2,n >n ∈*N ），求证：对任意{1,2,3,,1}i n ∈-有()0f i ≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f .若成立给出证明，若不成立给出反例.（Ⅰ）证明：①函数()2x f x =具有性质P .11(1)(1)2()222220x x x x f x f x f x -+-++-=+-⋅=>，……………1分即)(2)1()1(x f x f x f ≥++-， 此函数为具有性质P .……………2分②函数3)(x x f =不具有性质P . ……………3分 例如，当1x =-时，(1)(1)(2)(0)8f x f x f f -++=-+=-，2()2f x =-，所以，)1()0()2(-<+-f f f ，……………4分 此函数不具有性质P . （Ⅱ）假设)(i f 为(1),(2),,(1)f f f n -中第一个大于0的值，则0)1()(>--i f i f ， 因为函数()f x 具有性质P ，所以，对于任意n ∈*N ，均有(1)()()(1)f n f n f n f n +-≥--，所以0)1()()2()1()1()(>--≥≥---≥--i f i f n f n f n f n f ， 所以()[()(1)][(1)()]()0f n f n f n f i f i f i =--+++-+>，与0)(=n f 矛盾，所以，对任意的{1,2,3,,1}i n ∈-有()0f i ≤. ……………9分（Ⅲ）不成立.例如2()()x x n x f x x x -⎧=⎨⎩为有理数，为无理数.……………10分证明：当x 为有理数时，1,1x x -+均为有理数，222(1)(1)2()(1)(1)2(112)2f x f x f x x x x n x x x -++-=-++---++-=，当x 为无理数时，1,1x x -+均为无理数，22)1()1()(2)1()1(222=-++-=-++-x x x x f x f x f所以，函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，即函数)(x f 具有性质P . ……………12分 而当],0[n x ∈（2n >）且当x 为无理数时，0)(>x f .所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f ”不成立.……………13分 （其他反例仿此给分， 如0()1x x f x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数,，，0,()1,x x f x ⎧=⎨⎩为整数,为非整数,20,(),x x f x x ⎧=⎨⎩为整数,为非整数,等.）（2015年1月·海淀期末·19.本题满分12分已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：“对于区间(0,)+∞上的任意,a b ，都有()()f a b f b +>成立”.（Ⅰ）求(0)f 的值，并指出()f x 在区间(0,)+∞上的单调性； （Ⅱ）用增函数的定义证明：函数()f x 是(,0)-∞上的增函数；（Ⅲ）判断()f x 是否为R 上的增函数，如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例.19.本题满分12分解：（Ⅰ）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)(0)f f =--，即(0)0f =.----------------------------------------------------2分 ()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.------------------------------------------------------4分（Ⅱ）法1：任取12,x x ∈(,0)-∞，且120x x x ∆=->，则120,0x x ->->，----------------5分 因为对于区间(0,)+∞上的任意,a b ，都有()()f a b f b +>成立，所以211()()()f x f x x f x -=-+∆>-，即21()()0f x f x --->.-------------------7分 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以1221()()()()0y f x f x f x f x ∆=-=--->---------------------------------------8分 所以函数()f x 是(,0)-∞上的增函数.--------------------------------------------------9分 法2：任取12,x x ∈(,0)-∞，且120x x <<，则120x x ->->，且210x x ->，------5分 因为对于区间(0,)+∞上的任意,a b ，都有()()f a b f b +>成立，所以2212[()]()f x x x f x -+->-，即12()()f x f x ->-.-----------------------------7分 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以12()()f x f x ->-，即12()()f x f x <，--------------------------------------------8分 所以函数()f x 是(,0)-∞上的增函数. --------------------------------------------------9分 （Ⅲ）()f x 不一定是R 上的增函数. ---------------------------------------------10分 反例如下：令1,0,()0,0.x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩或者1,0,()0,0,1,0.x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩-----------------------------------------12分。