第三章 上下文无关语言与下推自动机a. {w | w 至少含有3个1} S →A1A1A1A A →0A|1A|εb. {w | w 以相同的符号开始和结束}S →0A0|1A1 A →0A|1A|εc. {w | w 的长度为奇数}0, ε→ε0,ε→ε 0,ε→ε1,ε→ε0,ε→εS →0A|1A A →0B|1B|ε B →0A|1Ad.{w | w 的长度为奇数且正中间的符号为0} S →0S0|1S1|0S1|1S0|0e.{w | wS →A1AA →0A1|1A0|1A|AA|εf.{w | w=w R }S →0S0|1S1|1|0g.空集 S →S3.6 给出产生下述语言的上下文无关文法： a ． 字母表{a,b}上a 的个数是b 的个数的两倍的所有字符串组成的集合。
S →bSaSaS|aSbSaS|aSaSbS|εb ．语言{a n b n |n ≥0}的补集。
见问题3.25中的CFG: S →aSb|bY|Ta T →aT|bT|εc ．{w#x | w, x ∈{0,1}*且w R 是x 的子串}。
S →UV0,ε→0,0→0,ε→1,0→0,1→0,ε→0,0→U→0U0|1U1|WW→W1|W0|#V→0V|1V|εd．{x1#x2#⋯#x k|k≥1, 每一个x i∈{a,b}* , 且存在i和j使得x i＝x j R}。
S→UVWU→A|εA→aA|bA|#A|#V→aVa|bVb|#B|#B→aB|bB|#B|#W→B|ε3.14解：添加新起始变元S0, 去掉B→εS0→A S0→AA→BAB|B|εA→BAB|AB|BA|B|εB→00|εB→00去掉A→ε, 去掉A→BS0→A S0→AA→BAB|AB|BA|B|BB A→BAB|AB|BA|00|BBB→00 B→00去掉S0→A, 添加新变元S0→BAB|AB|BA|00|BB S0→VB|AB|BA|UU|BBA→BAB|AB|BA|00|BB A→VB|AB|BA|UU|BBB→00 B→UUV→BAU→03.15 证明上下文无关语言类在并,连接和星号三种正则运算下封闭---答案。
a.A⋃B方法一：CFG。
设有CFG G1＝(Q1,∑,R1,S1)和G2=(Q2,∑,R2,S2)且L(G1)=A, L(G2)=B。
构造CFG G=(Q,∑,R,S0)，其中Q= Q 1⋃Q 2⋃{S 0}, S 0是起始变元，R= R 1⋃R 2⋃{S 0→ S 1|S 2}.方法二：PDA 。
设P 1=(Q 1,∑,Γ1,δ1,q 1,F 1)识别A ，P 2=(Q 1,∑,Γ2,δ2,q 2,F 2)是识别B 。
则如下构造的P=(Q,∑,Γ,δ,q 0,F)识别A ⋃B ，其中 1) Q=Q 1⋃Q 2⋃{q 0}是状态集， 2) Γ＝Γ1⋃Γ2，是栈字母表， 3) q 0是起始状态，4) F ＝F 1⋃F 2是接受状态集，5) δ是转移函数，满足对任意q ∈Q, a ∈∑ε,b ∈Γεδ(q,a,b)=.,)(,,)(,,,,),,,(),,,()},,(),,{(221102121else b Q q b Q q b a q q b a q b a q q q εεεδδεεΓ∈∈Γ∈∈===⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∅若若若b. 连接AB方法一：CFG 。
设有CFG G 1＝(Q 1,∑,R 1,S 1)和G 2=(Q 2,∑,R 2,S 2)且L(G 1)=A, L(G 2)=B 。
构造CFG G=(Q,∑,R,S 0)，其中Q= Q 1⋃Q 2⋃{S 0}, S 0是起始变元，R= R 1⋃R 2⋃{S 0→ S 1S 2}.方法二：PDA 。
设P 1=(Q 1,∑,Γ1,δ1,q 1,F 1)识别A ，P 2=(Q 1,∑,Γ2,δ2,q 2,F 2)是识别B ，而且P 1满足在接受之前排空栈(即若进入接受状态，则栈中为空)这个要求。
则如下构造的P=(Q,∑,Γ,δ,q 1,F)识别A ⋃B ，其中 1) Q=Q 1⋃Q 2是状态集，2) Γ＝Γ1⋃Γ2，是栈字母表， 3) q 1是起始状态，4) F ＝F 1⋃F 2是接受状态集，5) δ是转移函数，满足对任意q ∈Q, a ∈∑ε,b ∈Γεδ(q,a,b)=.,,)(,),,,(),,(),(,),,,(,,)},,{(),,(,)(,),,,(222111211111else b Q q b a q b a F q b a q b a F q q b a q b F Q q b a q ∅Γ∈∈≠∈==∈⋃Γ∈-∈⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧εεδεεδεεδδ若若若若c. A *方法一：CFG 。
设有CFG G 1＝(Q 1,∑,R 1,S 1)，L(G 1)=A 。
构造CFG G=(Q,∑,R,S 0)，其中Q= Q 1 ⋃{S 0}, S 0是起始变元，R= R 1⋃{S 0→S 0S 0|S 1|ε}.方法二：PDA 。
设P 1=(Q 1,∑,Γ1,δ1,q 1,F 1)识别A ，而且P 1满足在接受之前排空栈(即若进入接受状态，则栈中为空)这个要求。
则如下构造的P=(Q,∑,Γ,δ,q 1,F)识别A *，其中 1) Q=Q 1⋃{q 0}是状态集， 2) Γ＝Γ1，是栈字母表， 3) q 0是起始状态，4) F ＝F 1⋃{q 0}是接受状态集，5) δ是转移函数，满足对任意q ∈Q, a ∈∑ε,b ∈Γεδ(q,a,b)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∅===≠∈==∈⋃-∈.,,,),(),,(),(,),,,(,,)},,{(),,(,),,,(0111111111else b a q q q b a F q b a q b a F q q b a q F Q q b a q εεεεδεεδδ若若若若第四章图灵机证明：要证这四种运算下图灵可识别语言类封闭，只需设计出图灵机来识别此种语言。
设A和B是图灵可识别语言，A=L(M1)，B=L(M2)，M1和M2是两个图灵机。
a．M=“对于输入w：1) 在输入w上并行运行M1和M2；2) M1和M2中有一个停机且接受，则接受；若都停机且拒绝，则拒绝。
”M识别A1⋃A2。
所以图灵可识别语言类对并运算是封闭的。
b. M＝“输入w，1)出所有将w分成两段的方式(|w|+1种).2)对于i=1,2,⋯重复以下步骤：3)对于每一种分段方式，在第一段上运行M1i步，在第二段上运行M2i步，或者直到停机。
若都接受，则接受。
”M识别A1 A2。
所以图灵可识别语言类对连接运算是封闭的。
c．M＝“输入w，1)列出w的所有分段的方式(2|w|-1种).2)对于i=1,2,⋯重复以下步骤：3)对于每一种分段方式，分别在每一段上运行M1 i步，或者直到停机。
若M1接受所有段，则接受。
”M识别A*。
所以图灵可识别语言类对星号运算是封闭的。
d．M= “对于输入w：1)在输入w上运行M1。
若M1接受，则转(2)；若M1拒绝，则拒绝。
2)在w上运行M2。
若M2接受，则接受；若M2拒绝，则拒绝。
”M识别A⋂B。
所以图灵可识别语言类对并运算封闭。
第五章可判定性停机问题是不可判定的（第二版P111、第一版P115）：证明：为证明B是不可数的，必须证明在B和N之间不存在对应。
下面用反证法证之。
假设在B和N之间存在对应f，现在的任务是证明它没有应有的性质。
因为它是一个对应，必须能将N的所有元素与B的所有元素进行配对。
如果能找到B中的一个x，它和N中的任何元素都不能配对，则找到了矛盾。
为此，实际构造出这样一个x。
方法如下：在选择它的每一位数字时，都使得：x不同于某个无限序列，且此无限序列已与N中的一个元素配对。
这样就能保证x 不同于任何已配对的无限序列。
用一个例子来说明这个思路。
假设对应f存在，且设f(1) = 010101…，f(2) = 101010…，f(3) =…等等。
则f将1和010101…配对，将2和101010…配对，依此类推。
要保证对每个n都有x ≠ f(n)。
为保证x ≠ f(1)，只要保证x的第一位数字不同于f(1)= 010101…的第一位数字，即不是数字0，令它为1。
为保证x ≠ f(2)，只要保证x的第二位数字不同于f(2) = 101010…的第一位数字，即不是数字0，令它为1。
以这种方法继续下去，就能够得到x的所有数字。
不难知道，对任意n，x都不是f(n)，因为x与f(n)在第n位上不同见课本证明：构造DFA N，使L(N)={含奇数个1的字符串}。
构造图灵机F=“对于输入<M>，其中M是DFA，1)构造DFA D，使L(D)=L(M)∩L(N)。
2)检测L(D)是否为空。
(E DFA可判定检测)。
3)若L(D)＝ ，则接受；否则拒绝。
”证明：构造如下TM：D=“输入<M>,1)构造DFA M1使得L(M1)= L(M)R。
2)检测M1与M是否等价。
3)若等价，则接受；否则拒绝。
”D判定S。
第六章归约性。
