复数在复平面上对应的点的坐标

共轭复数在复平面内对应的点
共轭复数在复平面中的几何表示以及相关定理
1. 共轭复数在复平面内的表示
共轭复数指的是具有相同实部但虚部符号相反的两个复数，如a+bi和a-bi就是共轭复数。

在复平面上，一个复数a+bi所对应的点在平面上的位置为(a,b)，其中a是实部，b是虚部。

而该复数的共轭复数a-bi所对应的点则是(a,-b)。

2. 共轭复数的性质
(1) 如果一个复数的实部和虚部都是实数，那么它一定是实数。

(2) 任何一个复数a+bi和它的共轭复数a-bi的和是一个实数：(a+bi)+(a-bi)=2a
(3) 任何一个复数a+bi和它的共轭复数a-bi的积是一个实数：(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2
(4) 任何一个非零复数a+bi都可以表示成a+bi=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r=|a+bi|是这个复数的模，θ是这个复数在平面坐标系中与正实轴所成的夹角，并且其共轭复数为a-bi=r(cosθ-isinθ)
(5) 如果复数a+bi的重心为原点(0,0)，那么它的共轭复数a-bi所对应的点就在复平面上关于x轴对称。

3. 共轭复数的应用
共轭复数广泛应用于解析几何、信号处理、电路等领域。

其中，共轭复数主要用于消除虚数因素，使得问题的求解更为简单。

例如，在信号处理中，可以借助共轭复数来进行复杂信号的分析与处理；在电路理论中，可以用共轭复数表示电路中的相位关系，从而进行正弦波的计算和分析。

总之，共轭复数在复平面中的几何表示及其相关定理，为复杂计算提供了一种简单易懂的方法，而其应用也为现代科学技术的发展提供了极大的便利。

(完整版)复数练习题含答案一、单选题1．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ）A ．4BC ．2D ．102．设复数21iz =-+，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（1，-1）D ．（-1，-1）3．已知复数z 满足()2i 32i +=+z 则||z =（ ）AB C D 4．设集合A 实数 ，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集SC ，则下列结论正确的是（ ） A ．AB C =B ．A B =C ．()S A B ⋂=∅D ．SSABC5．已知 i 是虚数单位，复数412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．复数z 满足()12i z =，i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A ．BC ．D 7．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+C ．2i -D ．2i +9．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ）A ．22i --B ．22i +C ．22i -+D ．22i +或22i -+11．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ）A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i12．设复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则a b -=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 13．设i 12z =+，则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ）A ．1B C ．15D ．515．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．i16．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 17．若5i2iz =+，则||z =（ ）A ．2B C ．D ．318．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-19．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A ．1i -B ．1i +C ．2i +D ．2i -20．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题21．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______.22．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i+-z 为实数，则=a ________． 23．已知i34i z =+，求|z |=___________24．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 25．计算：()()12i 34i 2i-+=+_________．26．已知复数1i z =+，则2z z+=____________ 27．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.28．若()i 1)（，x y x x y R +=-∈，则2x y +的值为__________. 29．已知复数z 满足211iz -=+，则z 的最小值为___________； 30．已知复数z 为纯虚数且满足1-3z =|z |+3i ，则z =________ 31．已知i 为虚数单位，复数21iz =-的虚部为___________. 32．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________.33．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________.34．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．35．已知关于x 的方程，()()()221i i 0,,R x x ab a b a b ++++++=∈总有实数解，则a b +的取值范围是__________.36．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．37．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 38．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.39．若复数z 满足|z －i|＝3，则复数z 对应的点Z 的轨迹所围成的图形的面积为________.40．若i 为虚数单位，复数z 满足42ii 12iz --=+，则z =___________.三、解答题 41．定义运算ab ad bc c d=-，如果()()32i 3i 1x y x y x y++++=-，求实数x ，y 的值．42．在复平面内，复数()22234i z a a a a =--+--（其中i 为虚数单位，R a ∈）．(1)若复数z 为纯虚数，求a 的值； (2)若复数z >0，求a 的值． 43．（1）化简：2320211i i i i +++++；（2）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值． 44．已知复数1i -+，34i --，43i +，4i ，5i -．(1)在如图所示复平面内，作出各复数对应的向量； (2)求各复数的模；(3)求各复数的共轭复数，并在复平面内作出这些共轭复数对应的向量． 45．复数()()11i z m m =++-对应的点在直线40x y +-=上，求实数m 的值．【参考答案】一、单选题 1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．D8．B 9．D 10．D 11．D 12．A 13．D 14．A 15．B 16．D 17．B 18．B 19．A 20．C二、填空题21．1 22．3-23．15##0.22425．43i-##3i4-+ 26．27．3528．1291##1-30．i31．132．13i+33．1##1+34．83 35．[)2,+∞36．③37．1239．9π 40．1 三、解答题41．1x =-，2y = 【解析】 【分析】根据题意得到()()()3i 32i x y x x y y +++=++，列出方程组求解即可. 【详解】 由定义运算ab ad bc c d=-，得32i 32i 1x y x y y y+=++-，所以()()()3i 32i x y x x y y +++=++ 因为x ，y 为实数，所以有323x y x yx y +=+⎧⎨+=⎩，解得1x =-，2y =.42．(1)2a = (2)4a = 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得a 的值. （2）根据复数能比较大小列式，从而求得a 的值. (1)由于z 为纯虚数，所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，可得2a =．(2)由于z 与0可以比较大小，所以z 为实数，且0z >，所以2220340a a a a ⎧-->⎨--=⎩，可得4a =．43．（1）1i +；（2）5． 【解析】 【分析】（1）根据123*i i +i i 0,n n n n n N +++++=∈求解（2）根据实系数一元二次方程根的特点，韦达定理求解 【详解】（1）因为123*i i +i i 0,n n n n n N +++++=∈， 所以2320211i i i i +++++，()()2345678910111i i i i i i i i ++i i i =++++++++++()201720182019202020162021+i i i i i i +++++， 1i =+.（2）由实系数一元二次方程的复数根共轭， 故另一个根为12i -， ∴(12i)(12i)5k =+-= 44．(1)见解析(2)1i -+34i 5--=，43i 5+=，4i 4=，=(3)见解析 【解析】 【分析】（1）直接作出各复数所对应的向量即可； （2）直接利用复数的模的计算公式计算即可；（3）写出各复数的共轭复数，再作出各共轭复数所对应的向量即可. (1)解：设复数1i -+，34i --，43i +，4i ，对应的向量分别为,,,,OA OB OC OD OE ，则()()()()(1,1,3,4,4,3,0,4,0,OA OB OC OD OE =-=--===， 如图，在复平面内，作出各复数对应的向量，(2)解：1i =112-++34i 9165--+=， 43i =1695++=， 4i =0164+，5i =055-+=(3)解：1i -+的共轭复数为1i --，对应向量为()1,1OM =--，34i --的共轭复数为34i -+，对应向量为()3,4ON =-， 43i +的共轭复数为43i -，对应向量为()4,3OT =-， 4i 的共轭复数为4i -，对应向量为()0,4OP =-，5i 5i ，对应向量为(5OQ =，如图，在复平面内作出这些共轭复数对应的向量，45．2m = 【解析】 【分析】求得z 对应的点的坐标并代入直线40x y +-=，由此求得m 的值. 【详解】z 对应点为()1,1m m +-，将()1,1m m +-代入直线40x y +-=得1140,2m m m ++--==.。

复数对应的点在复平面上，复平面将平面分为四个象限，分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

判断复数对应的点所在的象限可以通过复数的实部和虚部的正负关系来确定。

具体规则如下：
- 如果复数的实部和虚部都是正数，那么对应的点位于第一象限。

- 如果复数的实部是负数而虚部是正数，那么对应的点位于第二象限。

- 如果复数的实部和虚部都是负数，那么对应的点位于第三象限。

- 如果复数的实部是正数而虚部是负数，那么对应的点位于第四象限。

例如，假设有一个复数z = 3 + 4i，其中实部为3，虚部为4。

由于实部和虚部都是正数，因此对应的点位于第一象限。

需要注意的是，复数的实部和虚部可以为零，此时对应的点落在坐标轴上。

根据正负关系仍然可以确定所在象限，但要特别处理实部或虚部为零的情况。

复数一、复数的概念1. 虚数单位i（1） 它的平方等于1-，即 2i 1=-；（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．（3） i 的乘方： 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式．2. 复数的定义形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数， ,a b 分别叫做复数的实部与虚部3. 复数相等 i i a b c d +=+，即,a c b d ==，那么这两个复数相等4. 共轭复数 i z a b =+时，i z a b =-． 性质：z z =；2121z z z z ±=±；1121z z z z ⋅=⋅； );0()(22121≠=z z z z z 二、复平面及复数的坐标表示1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2. 复数的坐标表示 点(,)Z a b3. 复数的向量表示 向量OZ ．4. 复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，z =．三、复数的运算1. 加法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．2. 减法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．3. 乘法 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±.4. 乘方 m n m n z z z +⋅= ()m n mn z z = 1212()n n n z z z z ⋅=⋅5. 除法 ()()()()()()()()22a bi c di ac bd bc ad i a bi a bi c di c di c di c di c d+-++-++÷+===++-+. 6. 复数运算的常用结论 （1） 222(i)2i a b a b ab +=-+， 22(i)(i)a b a b a b +-=+（2） 2(1i)2i +=， 2(1i)2i -=-（3） 1i i 1i +=-， 1i i 1i-=-+ （4） 1212z z z z ±=±， 1212z z z z ⋅=⋅， 1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭，z z =．（5） 2z z z ⋅=， z z =（6） 121212z z z z z z -≤+≤+ （7） 1212z z z z ⋅=⋅，1212z z z z ⋅=⋅，nn z z = 四、复数的平方根与立方根1. 平方根 若2(i)i a b c d +=+，则i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根． （1的平方根是i ±．） 2. 立方根 如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．（1） 1的立方根： 21,,ωω．12ω=-+，212ωω==--，31ω=． 210ωω++=． （2） 1-的立方根：111,22z z -=+=-． 五、复数方程1. 常见图形的复数方程（1） 圆：0z z r -=（0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）（3） 椭圆： 122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，长轴长为2a 的椭圆（4） 双曲线： 122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，实轴长为2a 的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根（1）求根公式：1,21,21,20 20 20 2b x a b x a b x a ⎧-∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪-±∆<=⎪⎩一对实根一对相等的实根一对共轭虚根 （2） 韦达定理：1212b x x a cx x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

广东省部分中学2023高中数学必修二第七章复数重点知识归纳单选题1、z=(2+i)2−4在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B分析：将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.z=(2+i)2−4=−1+4i，则z在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B.2、已知i是虚数单位，则复数z=2−i20202+i2021对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D分析：先化简i2020,i2021，再利用复数的除法化简得解.z=2−i20202+i2021=12+i=2−i(2+i)(2−i)=2−i5.所以复数对应的点(25,−15)在第四象限，故选：D小提示：名师点评复数z=x+yi(x,y∈R)对应的点为(x,y)，点(x,y)在第几象限，复数对应的点就在第几象限.3、在复平面内，复数z=5i3−4i（i为虚数单位），则z对应的点的坐标为（）A．(3,4)B．(−4,3)C．(45,−35)D．(−45,−35)分析：根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解.因为z =5i 3−4i =5i (3+4i )(3−4i )(3+4i )=3i−45=−45+35i ，所以z =−45−35i ，所以复数z 所对应的点的坐标为(−45,−35).故选:D .4、若复数z 满足z ⋅(2+i)=z ⋅(1−i)+1，则复数z 的实部为（ ）A ．−32B ．−1C ．−12D ．1答案：D分析：利用复数的四则运算以及共轭复数的概念，根据对应相等即可求解.设z =a +bi (a 、b ∈R )，则(a +bi)⋅(2+i)=(a −bi)⋅(1−i)+1，化简得(2a −b)+(a +2b)i =(a −b +1)−(a +b)i ，根据对应相等得：{2a −b =a −b +1a +2b =−(a +b ) ，解得a =1，b =−23，故选：D.5、若复数z 满足(z -1)i =1+i 其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z̅=（）A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i答案：D分析：根据复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求解.因为(z -1)i =1+i ，所以z =1+2i i =(1+2i )i i×i =2−i ，所以z =2+i .故选：D.6、已知i为虚数单位，则1+3i1−2i=（）. A．−2−3i B．−1−iC．−1+i D．3+2i答案：C分析：利用复数的除法化简可得结果.1+3i 1−2i =(1+3i)⋅(1+2i)(1−2i)⋅(1+2i)=−5+5i5=−1+i，故选：C.7、复数a+b i(a,b∈R)的平方是一个实数的充要条件是（）. A．a=0且b≠0B．a≠0且b=0C．a=b=0D．ab=0答案：D分析：利用充要条件的定义和复数的运算判断即可因为(a+b i)2=a2+2ab i+(b i)2=a2−b2+2ab i为实数，所以ab=0，反之，当ab=0时，复数a+b i(a,b∈R)的平方是一个实数，所以复数a+b i(a,b∈R)的平方是一个实数的充要条件是ab=0，故选：D8、设z=-3+2i，则在复平面内z对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限分析：先求出共轭复数再判断结果.由z=−3+2i,得z=−3−2i,则z=−3−2i,对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．小提示：本题考点为共轭复数，为基础题目．9、已知复数z对应的点在第二象限，z为z的共轭复数，有下列关于z的四个命题：甲：z+z=−2；乙：z−z=2i；丙：z⋅z=4；丁：z÷z=−12−√32i．如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁答案：B分析：设z=a+b i,z=a−b i，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项.设z=a+b i,z=a−b i，由于z对应点在第二象限，所以a<0,b>0，z+z=2a<0，z−z=2b i，z⋅z=a2+b2，z =a+b ia−b i=(a+b i)2(a−b i)(a+b i)=a2−b2+2ab ia2+b2=a2−b2a2+b2+2aba2+b2i.甲⇒2a=−2,a=−1，乙⇒2b=2,b=1，丙⇒a2+b2=4，丁⇒a 2−b2a2+b2=−12,2aba2+b2=−√32⇒b=−√3a，由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，b的值应为√3.10、复数11−3i 的虚部是（ ）A ．−310B ．−110C ．110D ．310 答案：D分析：利用复数的除法运算求出z 即可.因为z =11−3i =1+3i (1−3i)(1+3i)=110+310i ，所以复数z =11−3i 的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.填空题11、已知复数z 满足|z −1−2i |=2，则|z |的最大值为___________.答案：2+√5分析：设z =a +b i,ab ∈R ，由已知条件求出复数z =a +b i 对应的点(a,b)的轨迹为圆，根据复数模的几何意义和圆的性质即可求解.设z =a +b i,ab ∈R ，由|z −1−2i |=2，可得|a −1+(b −2)i |=2，则√(a −1)2+(b −2)2=2，即(a −1)2+(b −2)2=4，复数z =a +b i 对应的点(a,b)的轨迹是以A(1,2)为圆心，半径r =2的圆，而|z|表示复数z 对应的点到坐标原点O 的距离，所以|z|的最大值就是|OA|+r =√12+22+2=2+√5.所以答案是：2+√5.12、已知|z|=1，k ∈R 且z 是复数，当|z 2+kz +1|的最大值为3，则k =_______.分析：由|z|=1可知，z⋅z=1，化简|z2+kz+1|可得其最值为|k|+2，进而求出k的值. 设z=a+b i，a，b∈R，因为|z|=1，所以|z|2=1，z⋅z=1，所以|z2+kz+1|=|z2+kz+z⋅z|=|z(z+z+k)|，因为z+z=a+b i+a−b i=2a∈R，所以|z2+kz+1|=|z(z+z+k)|=|z+z+k|⋅|z|=|2a+k|，因为|z|=√a2+b2=1，所以a∈[−1,1]，所以|z2+kz+1|max=|k|+2=3，解得，k=±1，所以答案是：±1.13、已知复数z＝√3+i(1−√3i)2，则z·z̅＝________.答案：14分析：化简z,计算z·z̅即可.z＝√3+i(1−√3i)2＝√3i2(1−√3i)2＝√3i)(1−√3i)2＝1−√3i＝√3i)(1−√3i)(1+√3i)＝−√34+i4z̅=−√34−i4z⋅z̅=316+116=14所以答案是：14解答题14、（1）已知关于x的实系数方程x2+mx+n=0，若1+√2i是方程x2+mx+n=0的一个复数根，求出m，（2）已知z ∈C ，z +3i ，z 3−i 均为实数，且复数(z +ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.答案：（1）{m =−2,n =3.（2）(3,12) 解析：（1）把1+√2i 代入方程x 2+mx +n =0即可求解；（2）设z =x +yi(x,y ∈R)，计算出z +3i ，z 3−i 均为实数，即虚部为0，求出x ,y 的值，(z +ai)2=72+6a −a 2+18(a −3)i ，根据所在象限列不等式组得解.（1）由题得(1+√2i)2+m(1+√2i)+n =−1+m +n +2√2i +m √2i =0，∴{−1+m +n =02√2+m √2=0解得{m =−2n =3 （2）设z =x +yi(x,y ∈R)，∵z +3i =x +(y +3)i 为实数，∴y =−3.∵z 3−i =x−3i 3−i =110(x −3i)(3+i)−110[(3x +3)+(x −9)i]为实数，∴x =9，∴z =9−3i .∵(z +ai)2=81−(a −3)2+18(a −3)i =72+6a −a 2+18(a −3)i ，∴由已知得{72+6a −a 2>0,18(a −3)>0,解得3<a <12，即a 的取值范围是(3,12). 小提示：此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于根据复数的运算法则准确计算求解.15、已知z ＝cos θ－sin θ＋√2＋i(cos θ＋sin θ).(1)当θ为何值时，|z|取得最大值，并求此最大值；(2)若θ∈(π，2π)，求arg z (用θ表示).答案：(1)当θ=2kπ−π4(k ∈Z )时，|z | 取最大值为2√2 ，(2)argz ={θ2+9π8,θ∈(π,7π4)θ2−7π8,θ∈[7π4,2π) .分析：（1）按照复数模的定义求解即可；（2）按照复数的辐角主值的定义求解即可.由复数模的定义可得：|z|=√(cosθ−sinθ+√2)2+(cosθ+sinθ)2=√4+2√2(cosθ−sinθ)=2√1+cos(θ+π4)，显然当cos(θ+π4)=1时最大，即θ=2kπ−π4(k∈Z)，最大值为2√2；(2)设argz=α，z=cosθ−sinθ+√2+i(cosθ+sinθ)=√2[1+cos(θ+π4)+isin(θ+π4)]，实部为1+cos(θ+π4)＞0(5π4≤θ+π4≤9π2)，虚部为sin(θ+π4)，tanα=sin(θ+π4 )1+cos(θ+π4)=tan(θ2+π8)，∴当θ∈(π,7π4)即θ+π4∈(5π4,2π)时，sin(θ+π4)＜0，此时复数z对应的点在第四象限，θ2+π8∈(5π8,π)，α=θ2+π8+π=θ2+9π8，当θ∈[7π4,2π)即θ+π4∈[2π,9π4)，sin(θ+π4)＞0，此时复数z对应的点在第一象限（或x轴的非负半轴上），θ2+π8∈[π,9π8)，∴α=θ2+π8−π=θ2−7π8，∴argz={θ2+9π8,θ∈(π,7π4)θ2−7π8,θ∈[7π4,2π)；综上，当θ=2kπ−π4(k∈Z)时，|z|最大，最大值为2√2，argz={θ2+9π8,θ∈(π,7π4)θ2−7π8,θ∈[7π4,2π).。

复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。

本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。

一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。

3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。

4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。

5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。

6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。

二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。

4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。

三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。

2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。

3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。

(完整版)复数基础练习题附答案一、单选题1．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．设复数21iz =-+，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（1，-1）D ．（-1，-1）4．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.5．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．47．若复数(32)(1)i ai +-在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围为（ ）A ．32,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．23,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭8．已知复数z 满足()1i 1z +=，则z 的虚部为（ ） A ．12- B ．1i 2-C ．12D ．1i 29．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4-11．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 13．集合M ={x |x =i n +1，n ∈N}（i 为虚数单位）的真子集的个数是（ ） A ．1 B ．15 C ．3 D ．16 14．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3 15．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ）A ．4BC ．2D ．1016．已知复数z 满足()21i 68i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．10B ．5 CD．17．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限18．若复数4i1iz =-，则复数z 的模等于（ ） AB ．2C．D ．419．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-20．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题21i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．22．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 23．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________.24．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 25．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________． 26．计算：3i1i+=-___________.27．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．28．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.29．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________．30．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R ，若z =，则t 的值为___________. 31．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______. 32．已知4cos isin 1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1z 的辐角主值为________． 33．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．34．把复数z 的共轭复数记作z ，已知()12i 43i z +=+（其中i 是虚数单位），则z =______．35．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________. 36．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．37．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.38．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 39．设i 是虚数单位，复数z =，则z =___________. 40．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________. 三、解答题41．设复数3cos isin z θθ=+.求函数()tan arg 02y z πθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的最大值以及对应的θ值.42．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋（x 2－2x －15）i 的点Z ：(1)位于第三象限； (2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上．43．（1）解方程()20x x x C +=∈；（2）已知32i -+是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，求实数,p q 的值.44．复数cos isin 33ππ+经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，求n 的值．45．如图，向量OZ 与复数1i -+对应，把OZ 按逆时针方向旋转120°，得到OZ ．求向量OZ '对应的复数（用代数形式表示）．【参考答案】一、单选题 1．B 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B 7．A 8．A 9．D 10．C 11．A 12．D 13．B14．B 15．B 16．B 17．B 18．C 19．B 20．B 二、填空题21．1-1- 22．12i -##2i+1- 23．22425．1i -+（答案不唯一）2627．825i 625- 28．72930．2或2- 31．i - 32．2312π3334．2i +##i 2+ 35．1 36．③ 37．12 38．039．40．13i + 三、解答题41．3πθ=时，函数y【解析】 【分析】由3cos isin z θθ=+求得()1arg 3tg z tg θ=，再由两角差的正切建立关于tg θ的函数，()2arg 3y tg z tg tg θθθ=-=+，再由基本不等式法求解． 【详解】 解：解：由02πθ<<得0tg θ>.由3cos isin z θθ=+得sin 1(arg )3cos 3tg z tg θθθ==. 故213(arg )113tg tg y tg z tg θθθθ-=-=+23tg tg θθ=+∵3tg tg θθ+≥∴23tg tg θθ≤+当且仅当302tg tg πθθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭时，即tg θ=时，上式取等号. 所以当3πθ=时，函数y42．(1)－3<x <2 (2)2<x <5 (3)x ＝－2 【解析】 【分析】根据复数的几何意义即可求解. (1)当实数x 满足22602150x x x x ⎧+-<⎨--<⎩，即－3<x <2时，点Z 位于第三象限； (2)当实数x 满足22602150x x x x ⎧+->⎨--<⎩ ，即2<x <5时，点Z 位于第四象限； (3)当实数x 满足（x 2＋x －6）－（x 2－2x －15）－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上；综上，（1）()3,2x ∈- ，（2）()2,5x ∈ ，（3）2x =- . 43．（1）0x =或i x =±；（2）12,26p q ==. 【解析】 【分析】（1）设出()i ,x a b a b =+∈R ，带入等式，再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案.（2）将32i -+带入()220,x px q p q R ++=∈，化简后再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案. 【详解】（1）设()i ,x a b a b =+∈R ，由20x x +=，得222i 0a b ab -+，所以220,0,a b ab ⎧⎪-=⎨=⎪⎩当0a =时，1,1,0b =-； 当0b =时，0a =. 所以0x =或i x =±.（2）因为32i -+是方程()220,x px q p q ++=∈R 的一个根，所以()22(32i)32i 0p q -++-++=，整理，得()310212i 0q p p -++-=， 即()2120,3100p q p ⎧-=⎨-+=⎩解得12,26p q ==. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.解本类题型的关键在于利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部. 44．()61Z k k -∈. 【解析】 【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意：cos isin cos isin cos isin 333333nn n ππππππ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，可得cos cos ,sin sin 3333n n ππππ==-， ∴()2Z 33n k k πππ=-∈，()61Z n k k =-∈. 45．1313i 22-+- 【解析】 【分析】复数的旋转用相应的三角函数公式即可. 【详解】如上图，将Z 逆时针旋转到'Z ，即是向量'OZ 对应的复数：()()()1313131i cos120isin1201i 2︒︒⎛⎫-+-++=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 1313-+.。

复平面与复数的极坐标表示与计算复平面与复数是数学中的重要概念，它们在数学、物理、工程等领域中得到广泛应用。

复平面是一个由实数轴和虚数轴构成的平面，复数是由实部和虚部组成的数。

在复平面中，复数可以用极坐标表示，这种表示方式更加直观且方便进行计算。

一、复平面的构建复平面是由实数轴和虚数轴构成的平面。

实数轴表示实部，虚数轴表示虚部。

复平面的原点是0，实数轴的正方向是向右，虚数轴的正方向是向上。

根据这个构建，我们可以将复数表示为一个有序对(x, y)，其中x是实部，y是虚部。

二、复数的极坐标表示复数的极坐标表示是另一种表示方式，它使用复数的模和辐角来表示。

复数的模表示复数到原点的距离，辐角表示复数与正实数轴的夹角。

复数的极坐标表示可以通过以下公式计算得到：z = r(cosθ + isinθ)其中，r是复数的模，θ是复数的辐角。

三、复数的模与辐角的计算复数的模可以通过勾股定理计算得到：|r| = √(x^2 + y^2)其中，x是复数的实部，y是复数的虚部。

复数的辐角可以通过反三角函数计算得到：θ = arctan(y/x)需要注意的是，当x为0时，辐角的计算需要特殊处理。

当y大于0时，辐角为π/2；当y小于0时，辐角为-π/2。

四、复数的乘法与除法复数的乘法可以通过极坐标表示进行计算。

假设有两个复数z1和z2，它们的极坐标分别为(r1, θ1)和(r2, θ2)。

复数的乘法可以通过以下公式计算得到：z1 * z2 = r1 * r2 (cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2))复数的除法可以通过乘以倒数来实现。

假设有两个复数z1和z2，它们的极坐标分别为(r1, θ1)和(r2, θ2)。

复数的除法可以通过以下公式计算得到：z1 / z2 = (r1 / r2) (cos(θ1 - θ2) + isin(θ1 - θ2))五、复数的指数形式表示复数还可以用指数形式表示。

指数形式的复数可以通过欧拉公式得到：e^(iθ) = cosθ + isinθ其中，e是自然对数的底数，i是虚数单位。