2019-2020高中数学2-3圆的方程2-3-4圆与圆的位置关系自我小测新人教B版必修2

2.3.4 圆与圆的位置关系自我小测1．已知0＜r＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是( ) Ａ.外切B．相交C．外离D．内含2．内切两圆的半径长是方程x2＋px＋q＝0的两个根，已知两圆的圆心距为1，其中一圆的半径为3，则p＋q等于( )Ａ.1 B．5 C．1或5 D．以上都不对3．已知圆C1：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆C2：x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为( )Ａ.x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝04．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )Ａ.4 B． C．8 D．5．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}，且A∩B＝B，则a的取值范围是( )Ａ.a≤1 B．a≥5C．1≤a≤5 D．a≤56．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b应满足的关系式是( )Ａ.a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝07．若a2＋b2＝1，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系为__________．8．与圆C1：(x－1)2＋y2＝1，圆C2：(x－4)2＋(y＋4)2＝4均外切的圆中，面积最小的圆的方程是__________．9．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切；(2)圆C1与圆C2内含？10．已知一个圆和圆C1：x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x y＝0相切于点M(3，，求该圆的方程．11．如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM||PN|.试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程．参考答案1．解析：设圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．两圆的圆心距离d(O.显然有|r|r.所以两圆相交．答案：B2．解析：设方程的两根为x 1，x 2，由x 2＋px ＋q ＝0，得1212,,x x p x x q +=-⎧⎨=⎩因为其中一个圆半径为3，不妨设x 2＝3，因为两圆内切，所以|x 1－3|＝1.所以x 1＝4或x 1＝2.当x 1＝4时，p ＝－7，q ＝12，p ＋q ＝5.当x 1＝2时，p ＝－5，q ＝6，p ＋q ＝1.答案：C3．解析：由平面几何知识，知线段AB 的垂直平分线即为两圆心所在的直线，把两圆分别化为标准式可得两圆心分别为C 1(2，－3)，C 2(3,0)，因为C 1C 2所在直线的斜率为3，所以直线方程为y －0＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.答案：C4．解析：因为两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，所以两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a ，a)，(b ，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a 2，(4－b)2＋(1－b)2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，所以a ＋b ＝10，ab ＝17.所以(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab ＝100－4×17＝32，所以|C 1C 2|＝8. 答案：C5．解析：由A∩B＝B 知B ⊆A ，故0≤a－1≤4，即1≤a≤5.答案：C6．解析：利用两圆的公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．把两圆分别化成一般式方程，作差可得公共弦方程为(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它经过圆心(－1，－1)，代入后有a2＋2a＋2b＋5＝0.答案：B7．解析：因为圆(x－a)2＋y2＝1的圆心为(a,0)，半径r1＝1；圆x2＋(y－b)2＝1的圆心为(0，b)，半径r2＝1，所以圆心距d 1.所以|r1－r2|＜d＜r1＋r2＝2，两圆相交．答案：相交8．解析：当三圆圆心在一条直线上时，所求圆面积最小．设所求圆的圆心坐标为(a，b)，已知两圆圆心之间的距离为d＝(1－4)2＋(0＋4)2＝5，所以所求圆半径为1.由已知可知141a--＝25，所以a＝115，40b---＝25，所以b＝－85，所以所求圆的方程为115x⎛⎫-⎪⎝⎭2＋85y⎛⎫+⎪⎝⎭2＝1.答案：115x⎛⎫-⎪⎝⎭2＋85y⎛⎫+⎪⎝⎭2＝19．分析：充分利用两圆位置关系的判定公式(几何法)．解：配方得C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.(1)由圆C1与圆C23＋2.即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m1＝－5，m2＝2.故当m＝－5或2时，圆C1与圆C2外切．(2)由圆C1与圆C23－2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＜1. 解得－2＜m＜－1.故当－2＜m＜－1时，圆C1与圆C2内含．10．解：圆C1方程化为(x－1)2＋y2＝1，其圆心C1(1,0)，半径为r1＝1.设所求圆的圆心为C(a，b)，半径为r.因为M(3)在圆上，所以r.因为两圆外切，所以|C1C|＝11又因为直线CM⊥l，所以k CM·k l＝－1.1，解得b－.②1＝1＋2|a－3|.当a≥3＝1＋2(a－3)＝2a－5，所以a＝4.代入②可得，b＝0，半径r 2.此时圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.当a＜3＝1－2(a－3)＝－2a＋7，所以a＝0.代入②可得，b＝－，半径r 6.此时圆的方程为x2＋(y＋2＝36.综上所述，该圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋)2＝36.11．解：如图所示，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)．设动点P(x，y)．由题意得|PM|2＝|O1P|2－|O1M|2＝(x＋2)2＋y2－1.同理，可得|PN|2＝(x－2)2＋y2－1.因为|PM||PN|，所以|PM|2＝2|PN|2.所以(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即x2＋y2－12x＋3＝0.所以动点P的轨迹方程是x2＋y2－12x＋3＝0.。

圆与圆的位置关系(解析版)圆与圆的位置关系（解析版）圆与圆的位置关系是几何学中常见的问题。

在解析几何中，我们可以通过方程和图形的分析来确定两个圆之间的位置关系。

本文将详细介绍圆与圆的位置关系及其解析方法。

I. 两个圆的位置关系当给定两个圆的方程时，我们可以通过以下几种情况来判断它们的位置关系：1. 相离(disjoint)如果两个圆不相交，它们互相分离，也就是说没有公共点。

我们可以通过计算它们的半径之和和两个圆心之间的距离来判断。

如果半径之和小于圆心之间的距离，即 r1 + r2 < d，那么两个圆相离。

2. 外切（tangent exterior）如果两个圆的外部只有一个公共点，我们称它们相切于外部。

这意味着两个圆心之间的距离等于它们的半径之和，并且没有其他公共点。

我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。

如果半径之和等于圆心之间的距离，即 r1 + r2 = d，那么两个圆相切于外部。

3. 内切（tangent interior）如果两个圆的内部只有一个公共点，我们称它们相切于内部。

这意味着两个圆的半径之差等于它们的圆心之间的距离，并且没有其他公共点。

我们可以通过计算两个圆的半径之差和两个圆心之间的距离来判断。

如果圆心之间的距离等于半径之差，即 d = |r1 - r2|，那么两个圆相切于内部。

4. 相交（intersect）如果两个圆有两个公共点，我们称它们相交。

这意味着两个圆心之间的距离小于半径之和，并且有两个公共点。

我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。

如果半径之和大于圆心之间的距离，即 r1 + r2 > d，那么两个圆相交。

II. 解析方法在解析几何中，我们可以利用两个圆的方程来求解它们的位置关系。

假设第一个圆的方程为(x - h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2，第二个圆的方程为(x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2，其中(h1, k1)和(h2, k2)分别代表两个圆的圆心坐标，r1和r2分别代表两个圆的半径。

圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用 检测题一、题组对点训练对点练一 圆与圆的位置关系1．两圆x2＋y2＝r2，(x －3)2＋(y ＋1)2＝r2外切，则正实数r 的值是________． 解析：由题意得，2r ＝(3－0)2＋(－1－0)2＝10，即r ＝102. 答案：1022．已知圆C ：x2＋y2－8x ＋15＝0，直线y ＝kx ＋2上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最小值是________．解析：将圆C 的方程化为标准方程，得(x －4)2＋y2＝1，故圆心为C(4,0)，半径r ＝1.又直线y ＝kx ＋2上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以点C 到直线y ＝kx ＋2的距离小于或等于2，即|4k －0＋2|k2＋1≤2，解得－43≤k ≤0，所以实数k 的最小值是－43. 答案：－433．圆O1：x2＋y2－4y ＋3＝0和圆O2：x2＋y2－16y ＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．内含解析：选D 因为r1＝1，r2＝8，|O1O2|＝(0－0)2＋(2－8)2＝6，则|O1O2|＜r2－r1.所以两圆内含．4．若两圆x2＋y2＝m 和x2＋y2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(121，＋∞)C．[1,121] D．(1,121)解析：选C x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d＝(0＋3)2＋(0－4)2＝5，若两圆有公共点，则|6－m|≤5≤6＋m，∴1≤m≤121.5．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则(a－4)2＋(b＋1)2＝1. ①(1)若两圆外切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝1＋2＝3, ②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有(a－2)2＋(b＋1)2＝|2－1|＝1, ③联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.对点练二直线与圆的方程的应用6．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h ，则A(0.8，h －3.6)所在圆的方程为： x2＋(y ＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h －3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米)．7．某公园有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A(2，2)，B(0,22)，设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝b2，由A 、B 两点在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝42，b ＝52，由实际意义知a ＝0，b ＝2，∴圆的方程为x2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．8．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．所以DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km. 二、综合过关训练1．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( )A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b)，则b ＝6(b ＝－6舍去)．再由a2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.2．已知点M 在圆C1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4上，点N 在圆C2：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：选C 由题意知圆C1的圆心C1(－3,1)，半径长r1＝2；圆C2的圆心C2(1，－2)，半径长r2＝2.因为两圆的圆心距d＝[1－(－3)]2＋[(－2)－1]2＝5＞r1＋r2＝4，所以两圆相离，从而|MN|的最大值为5＋2＋2＝9.故选C.3．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9解析：选D 设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.4．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )A．4 B．4 2C．8 D．8 2解析：选C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a ＝__________.解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y＝1a，利用圆心(0,0)到直线的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a1＝22－(3)2＝1，解得a＝1.答案：16．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；(2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径长为r1＝3，圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1,0)，半径长为r2＝1，两圆的圆心距d＝(1＋1)2＋(－2－0)2＝22，又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．(2)不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．理由如下：圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3.假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，即(m＋1)2＜0，此不等式无解．故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．7．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆相离，即轮船不会受到台风的影响．。

高中数学2-3圆的方程2-3-4圆与圆的位置关系课堂探究新人教B版必修2课堂探究探究一圆与圆位置关系的判断判断两圆的位置关系的方法有两种：(1)(几何法)利用两圆圆心之间的距离d与两圆的半径r1，r2的关系判断：①外离d>r1＋r2；⇔②外切d＝r1＋r2；⇔③相交|r1－r2|＜d＜r1＋r2；⇔④内切d＝|r1－r2|；⇔⑤内含d＜|r1－r2|.⇔(2)(代数法)两圆的位置关系，可利用两圆方程所构成的方程组或的解判断，当方程组无解时，两圆外离或内含；当方程组有唯一解时，两圆外切或内切；当方程组有两解时，两圆相交．22112222()()21,()()22x a y b rx a y b r⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩22111222220,0,x y D x E y Fx y D x E y F⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩【典型例题1】已知圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x ＋2y＋3＝0.试判断两圆的位置关系，若有交点，求出交点坐标．解：变为标准方程：C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.圆心坐标分别为(1,0)和(2，－1)，圆心距d＝，半径分别为r1＝2，r2＝r1－r2＝2－，r1＋r2＝2所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以两圆相交．由2222230,4230, x y xx y x y⎧+--=⎪⎨+-++=⎪⎩解得或3,xy=⎧⎨=⎩1,2.xy=⎧⎨=-⎩故其交点坐标为(3,0)，(1，－2)．②探究二两圆的公切线问题求两圆的公切线时，要先判断两圆的位置关系，再确定公切线的条数．【典型例题2】 (1)圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有( )Ａ.2条 B．3条C．4条 D．0条解析：由x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，得圆心和半径分别为O1(－2,2)，r1＝1；由x2＋y2－4x－10y＋13＝0，得圆心和半径分别为O2(2,5)，r2＝4.因为d(O1，O2)＝5，r1＋r2＝5，即r1＋r2＝d(O1，O2)，所以两圆外切，由平面几何知识得两圆有3条公切线．答案：B(2)判断圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y ＋4＝0的公切线条数，并求公切线的方程．思路分析：首先判断两圆的位置关系，得出公切线的条数，再求公切线方程．解：将圆C1化为标准方程：(x＋1)2＋(y－3)2＝36，将圆C2化为标准方程：(x－2)2＋(y＋1)2＝1，得圆C1的圆心坐标：C1(－1,3)，半径r1＝6，圆C2的圆心坐标：C2(2，－1)，半径r2＝1.所以|C1C2|＝＝又|C1C2|＝|r1－r2|＝5，即两圆内切，所以圆C1与圆C2有一条公切线．公切线的方程为x2＋y2＋2x－6y－26－(x2＋y2－4x＋2y＋4)＝0，即3x－4y－15＝0.检验知直线3x－4y－15＝0是两圆的公切线．探究三两圆的公共弦问题1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程：若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y ＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y ＋F1－F2＝0.2．公共弦长的求法：(1)(代数法)将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)(几何法)求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．【典型例题3】已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度．思路分析：只有当两圆相交时，才能将两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，才能求公共弦的长度．解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，得C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5所以r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2.所以两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.(3)方法一：两方程联立，得方程组两式相减得x＝2y－4，③把③代入②得y2－2y＝0，所以y1＝0，y2＝2.故114, 0,x y =-⎧⎨=⎩220,2. xy=⎧⎨=⎩所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．所以两圆的公共弦长为＝方法二：两方程联立，得方程组2222210240,2280,x y x y y x y ⎧+-+-=⎪⎨+++-=⎪⎩x 两式相减得x －2y ＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程．由x2＋y2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心为C(1，－5)，半径r ＝圆心C 到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝＝设公共弦长为2l ，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l ＝，所以公共弦长为点评 求两相交圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长时，一般不用求交点坐标的方法求解，常用两方程相减消去二次项，得到公共弦所在直线的方程，再由勾股定理求弦长这种方法求解．探究四 利用两圆的位置关系求参数问题利用两圆位置关系求参数取值或范围的步骤：(1)化圆的方程为标准方程，写出圆心坐标和半径；(2)计算出两圆的圆心距；(3)通过圆心距与半径和及半径差的关系列出参数满足的等式或不等式，进而求出参数的取值或范围．【典型例题4】 (1)圆x2＋y2＝r2与圆(x －3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r 的值是()Ａ. B.C ．5解析：由题意知＝2r ，解得r＝答案：D(2)若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是( ).m＜1 B．m>121C．1≤m≤121 D．1＜m＜121解析：x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d＝＝5，若两圆有公共点，则|6－|≤5≤6＋，所以1≤m≤121.答案：C探究五圆系方程1．同心圆的圆系方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中a，b为定值，r为参数，r>0.2．半径相等的圆系方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中r>0且r 是定值，a，b是参数．3．过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．4．过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．若λ＝－1，则方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，表示过两圆交点的直线方程．【典型例题5】求经过圆x2＋y2＋6x－4＝0和圆x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．思路分析：解法一：首先求出交点坐标，然后用待定系数法求解；解法二：利用圆系方程求解．解法一：解方程组2222640,6280,x y x y y ⎧++-=⎪⎨++-=⎪⎩x 得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b)，因圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4.解得a ＝，故圆心为，17,22⎛⎫-⎪⎝⎭半径为＝ 故圆的方程为2＋2＝，12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭72y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭892即x2＋y2－x ＋7y －32＝0.解法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x －4＋λ(x2＋y2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为，代入x －y －4＝0求得λ＝－7.33,11λλλ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭故所求圆的方程为x2＋y2－x ＋7y －32＝0.点评 求圆的方程方法较多，但利用圆系方程或圆的几何性质求解，运算量小且简单．探究六 易错辨析易错点：因方程丢解而致误【典型例题6】 已知集合A ＝{(x ，y)|x2＋y2＝4}，B ＝{(x ，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝a2}，若A∩B中有且仅有一个元素，求a的值．错解：由条件A∩B中有且仅有一个元素可知两圆相切，所以|O1O2|＝5＝a＋2或5＝a－2.所以a＝3或a＝7.错因分析：把a误认为是正数而导致丢解．正解：由A∩B中有且仅有一个元素，可知两圆相切，所以|O1O2|＝5＝|a|＋2或5＝||a|－2|，解得a＝±3或a＝±7.综上所述，可知a的值为±3或±7.。

圆与圆的位置关系知识集结知识元圆与圆的位置关系及其判定知识讲解圆与圆的位置关系位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|一、几何方法：设，则有：与外离与外切与相交与内切与内含二、代数方法：方程组（1）有两组不同实数解⇔两圆相交；（2）有两组相同实数解⇔两圆相切；（3）无实数解⇔两圆外离或内含．例题精讲圆与圆的位置关系及其判定例1.圆x2+y2+2x+6y+9=0与圆x2+y2﹣6x+2y+1=0的位置关系是（）A．相交B．外切C．相离D．内切例2.已知圆，圆分别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．7B．8C．10D．13例3.已知两圆相交于A（﹣1，3），B（﹣6，m）两点，且这两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+2c的值为（）A．﹣1B．26C．3D．2两圆的公切线条数及方程知识讲解一、两圆的公切线条数：（1）当两圆内切时有1条公切线；（2）当两圆外切时有3条公切线；（3）相交时有2条公切线；（4）相离时有4条公切线；（5）内含时无公切线．例题精讲两圆的公切线条数及方程例1.圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0公切线条数为（）A．1B．2C．3D．4例2.两圆（x﹣m）2+y2=9和x2+（y+n）2=4恰有3条公切线，则m+n的最大值为（）A．10B．10C．5D．5例3.若两圆x2+y2﹣2ax+4y+a2﹣5=0和x2+y2+2x﹣2ay+a2﹣3=0有3条公切线，则a=（）A．﹣1或﹣2B．﹣1或﹣5C．﹣2或2D．﹣5或2例4.已知圆C1：（x﹣1）2+y2=2和圆C2：（x﹣3）2+（y﹣2）2=r2恰好有3条公切线，则圆C2的周长为（）A．πB．πC．2πD．4π圆系方程知识讲解一、圆系方程圆系：具有某种共同性质的圆的集合，称为圆系．（1）同心圆系为常数，为参数．（2）圆心共线且半径相等圆系为常数，圆心在直线上移动．（3）过两已知圆的交点的圆系方程为即．当时，方程变为表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心垂直的直线．（4）过直线与圆交点的圆系方程设直线与圆相交，则方程表示过直线与圆的两个交点的圆系方程．例题精讲圆系方程例1.经过两圆x 2+y 2=9和（x+4）2+（y+3）2=8的交点的直线方程为（）A ．8x+6y+13=0B ．6x﹣8y+13=0C ．4x+3y+13=0D ．3x+4y+26=0例2.圆心在直线x﹣y﹣4=0上，且经过两圆x 2+y 2﹣4x﹣3=0，x 2+y 2﹣4y﹣3=0的交点的圆的方程为（）A ．x 2+y 2﹣6x+2y﹣3=0B ．x 2+y 2+6x+2y﹣3=0C ．x 2+y 2﹣6x﹣2y﹣3=0D ．x 2+y 2+6x﹣2y﹣3=0例3.已知圆方程C 1：f（x，y）=0，点P 1（x 1，y 1）在圆C 1上，点P 2（x 2，y 2）不在圆C 1上，则方程：f（x，y）﹣f（x 1，y 1）﹣f（x 2，y 2）=0表示的圆C 2与圆C 1的关系是（）A ．与圆C 1重合B ．与圆C 1同心圆C ．过P 1且与圆C 1圆心相同的圆D ．过P 2且与圆C 1圆心相同的圆相交弦问题知识讲解一、两圆相交公共弦：(1)两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x＋E 1y＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x＋E 2y＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x＋(E 1－E 2)y＋F 1－F 2＝0.(2)公共弦长的求法：①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．例题精讲相交弦问题例1.两圆（x﹣2）2+（y+3）2=13和（x﹣3）2+y2=9交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0例2.两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2+2x+2y﹣14=0，则经过两圆的公共弦长为（）A．B．C．D．例3.'已知圆C1：x2+y2+2x﹣6y+1=0，圆C2：x2+y2﹣4x+2y﹣11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“圆与圆的位置关系及其盘点”的题目补充.例题精讲备选题库例1.圆x2+4x+y2=0与圆（x-2）2+（y-3）2=r2有三条公切线，则半径r=（）A．5B．4C．3D．2例2.圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的公切线个条数为（）A．1B．2C．3D．4例3.如果圆（x-a）2+（y-a）2=1（a>0）上总存在点到原点的距离为3，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．例4.圆x2+y2=4与圆x2+y2-2x+4y-4=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．内含圆的线性规划问题知识讲解利用线性规划的知识处理圆的相关问题.例题精讲圆的线性规划问题例1.'已知点P（x，y）在圆x2+y2﹣6x﹣6y+14=0上（1）求的最大值和最小值；（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；（3）求x+y的最大值与最小值．'例2.'已知点P（x，y）是圆（x+2）2+y2=1上任意一点．（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x﹣2y的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值．'例3.'.已知点P（x，y）在圆（x﹣2）2+y2=1上运动，分别求下列各式的最大值和最小值．（1）z=2x+y；（2）z=；（3）z=x2+2x+y2﹣2y．'直线与圆的综合应用知识讲解1．直线与圆的位置关系【知识点的认识】1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲直线与圆的综合应用例1.'已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．'例2.'已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点M（，）．（1）求圆C的标准方程；（2）已知N（2，1），经过原点，且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点．（ⅰ）求证：+为定值；（ii）求|PN|2+|QN|2的最大值．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“直线与圆的综合应用”的题目补充.例题精讲备选题库由直线x=0上的一点向圆（x-3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．C．D．3例2.若直线l：ax-by+2=0（a>0，b>0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则当取最小值直线l的斜率为（）A．2B．C．D．例3.过点（1，3）且与圆（x+1）2+y2=4相切的直线方程为（）A．5x-12y+31=0B．y=3或4x+3y-13=0C．x=1或5x-12y+31=0D．x=1或5x+12y-41=0例4.若圆C：x2+（y-4）2=18与圆D：（x-1）2+（y-1）2=R2的公共弦长为6，则圆D的半径为（）A．5B．2C．2D．2当堂练习单选题练习1.已知动直线y=kx-1+k（k∈R）与圆C：x2+y2-2x+4y-4=0（圆心为C）交于点A、B，则弦AB最短时，△ABC的面积为（）A．3B．6C．D．2若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1无交点，则点P（b，a）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．不能确定练习3.经过点P（2，-1）且被圆C：x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦最短时的直线l的方程为（）A．2x-y-6=0B．2x+y-6=0C．x+2y=0D．x-2y=0练习4.阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点P与两定点M，N的距离之比为λ（x>0，且λ≠1），则点P的轨迹就是圆．事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立．已知点M（2，0），点P为圆O：x2+y2=16上的点，若存在x轴上的定点N（t，0）（t>4）和常数λ，对满足已知条件的点P均有|PM|=|PN|，则λ=（）A．1B．C．D．练习5.若函数y=-的图象与直线x-2y+m=0有公共点，则实数m的取值范围为（）A．[-2-1，-2+1]B．[-2-1，1]C．[-2+1，-1]D．[-3，1]填空题练习1.若圆x2+（y-1）2=4上恰有2个不同的点到直线的距离为1，则m的取值范围为________________练习2.圆C：（x-1）2+y2=1的圆心到直线l：x-y+a=0（a>0）的距离为，则a的值为___．练习3.已知直线x+y-2=0与圆O：x2+y2=r2（r>0）相交于A，B两点，C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且3=5，则r=___．练习4.已知圆C经过直线x+y+2=0与圆x2+y2=4的交点，且圆C的圆心在直线2x-y-3=0上，则圆C的方程为__________________．解答题练习1.'已知圆C：x2+y2+4x-4ay+4a2+1=0，直线l：ax+y+2a=0。

2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程章末综合测评2（含解析）新人教A 版必修2一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与点B (2，－1,6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9D.86【解析】 由空间直角坐标系中两点间距离公式得： |AB |＝－3－2＋＋2＋－2＝86.【答案】 D2．当圆x 2＋y 2＋2x ＋ky ＋k 2＝0的面积最大时，圆心坐标是( ) A ．(0，－1) B ．(－1,0) C ．(1，－1)D ．(－1,1)【解析】 圆的标准方程得：(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋k 22＝1－3k 24，当半径的平方1－3k 24取最大值为1时，圆的面积最大．∴k ＝0，即圆心为(－1,0)．【答案】 B3．圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内含D ．内切【解析】 把圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0分别化为标准式为(x －2)2＋(y －3)2＝1和(x －4)2＋(y －3)2＝9，两圆心间的距离d ＝－2＋－2＝2＝|r 1－r 2|，所以两圆的位置关系为内切，故选D.【答案】 D4．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝0【解析】 依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0，故选A.【答案】 A5．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【解析】 由题意知点在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．【答案】 B6．若P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0 【解析】 圆心C (1,0)，k PC ＝0－－1－2＝－1，则k AB ＝1，AB 的方程为y ＋1＝x －2， 即x －y －3＝0，故选D. 【答案】 D7．圆心在x 轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝1 B ．(x ＋2)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －2)2＝1【解析】 设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a －2)2＋(1－0)2＝1，解得a ＝2.故所求圆的方程是(x －2)2＋y 2＝1.【答案】 A8．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．36B ．18C ．6 2D ．5 2【解析】 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52＞32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝6 2.【答案】 C9．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对【解析】 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－2＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 【答案】 C10．若圆(x －5)2＋(y －1)2＝r 2(r >0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则实数r 的取值范围为( )A ．[4,6]B ．(4,6)C ．[5,7]D ．(5,7)【解析】 因为圆心(5,1)到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为1，则4<r <6.【答案】 B11．已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －3)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋3)2＝2【解析】 设点(－2,2)关于直线x －y －1＝0的对称点为Q (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －2m ＋2×1＝－1，m －22－n ＋22－1＝0，解得m ＝3，n ＝－3，所以圆C 2的圆心坐标为(3，－3)，所以圆C 2的方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝2，故选D.【答案】 D12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2【解析】 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知A (1,2,3)，B (5,6，－7)，则线段AB 中点D 的坐标为________.【解析】 设D (x ，y ，z )，由中点坐标公式可得x ＝1＋52＝3，y ＝2＋62＝4，z ＝3－72＝－2，所以D (3,4，－2)．【答案】 (3,4，－2)14．以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________． 【解析】 原点O 到直线的距离d ＝1532＋42＝3，设圆的半径为r ，∴r 2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x 2＋y 2＝25.【答案】 x 2＋y 2＝2515．若圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心C 到直线l 的距离为2，且l 与直线3x ＋4y －1＝0平行，则直线l 的方程为________________．【解析】 圆心为(－1,2)． 设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0， 由点到直线的距离公式，得－＋4×2＋D |32＋42＝2，即|5＋D |5＝2， 解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为：3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0. 【答案】 3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0 16．若x ，y ∈R ，且x ＝1－y 2，则y ＋2x ＋1的取值范围是________． 【解析】 x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)，此方程表示半圆，如图，设P (x ，y )是半圆上的点，则y ＋2x ＋1表示过点P (x ，y )，Q (－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.又k BQ ＝3，∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程． 【解】 法一：∵圆心在y 轴上， 设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵该圆经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋－b2＝r 2，32＋－b 2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，r 2＝10.所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 法二：线段AB 的中点为(1,3)，k AB ＝2－43－－＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)， 即y ＝2x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r 为＋2＋－2＝10，∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.18．在三棱柱ABO ­A ′B ′O ′中，∠AOB ＝90°，侧棱OO ′⊥面OAB ，OA ＝OB ＝OO ′＝2.若C 为线段O ′A 的中点，在线段BB ′上求一点E ，使|EC |最小．【解】 如图所示，以三棱柱的O 点为坐标原点，以OA ，OB ，OO ′所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)，B (0,2,0)，O (0,0,0)，A ′(2,0,2)，B ′(0,2,2)，O ′(0,0,2)．由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)， 设E 点坐标为(0,2，z )，根据空间两点间距离公式得 |EC |＝－2＋－2＋z －2＝z －2＋5，故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5，此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点． 19．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，过点P (2，－1)作圆C 的切线，切点为A ，B . (1)求直线PA ，PB 的方程； (2)求过P 点的圆C 的切线长．【解】 (1)切线的斜率存在，设切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.圆心到直线的距离等于2，即|－k －3|k 2＋1＝2， ∴k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1， 故所求的切线方程为y ＋1＝7(x －2)或y ＋1＝－(x －2)，即7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0. (2)在Rt △PAC 中|PA |2＝|PC |2－|AC |2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8， ∴过P 点的圆C 的切线长为2 2.20．(本小题满分12分)点A (0,2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．【解】 设点M (x ，y )，因为M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC . 又∵∠BAC ＝90°，∴|MA |＝12|BC |＝|MB |.∵|MB |2＝|OB |2－|OM |2，∴|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以7为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图1所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2,3)，C (2,1)．图1(1)求以线段AC 为直径的圆E 的方程；(2)若B 点的坐标为(－2，－2)，求直线BC 截圆E 所得的弦长． 【解】 (1)AC 的中点E (0,2)即为圆心， 半径r ＝12|AC |＝1242＋－2＝5，所以圆E 的方程为x 2＋(y －2)2＝5.(2)直线BC 的斜率k ＝1－－2－－＝34， 其方程为y －1＝34(x －2)，即3x －4y －2＝0.点E 到直线BC 的距离为d ＝|－8－2|5＝2，所以BC 截圆E 所得的弦长为25－22＝2. 22. (本小题满分12分)如图2，已知圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0，点A (0,6)．图2(1)求圆心在直线y ＝x 上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；(2)若过点A 的直线m 与圆C 交于P ，Q 两点，且圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，求直线m的方程．【解】 (1)由x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0， 化为标准方程：(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50. 所以圆C 的圆心坐标为C (－5，－5)， 又圆N 的圆心在直线y ＝x 上，所以当两圆外切时，切点为O ，设圆N 的圆心坐标为(a ，a )， 则有a －2＋a －2＝a －2＋a －2，解得a ＝3，所以圆N 的圆心坐标为(3,3)，半径r ＝32， 故圆N 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18.(2)因为圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，所以CP ⊥CQ .所以点C 到直线m 的距离为5.当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴，所以此时直线m 的方程为x ＝0.当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y ＝kx ＋6， 即kx －y ＋6＝0.所以|－5k ＋5＋6|1＋k 2＝5，解得k ＝4855. 所以此时直线m 的方程为4855x －y ＋6＝0，即48x－55y＋330＝0，故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0.。

2019-2020年新人教b版高中数学必修二2.3.4《圆与圆的位置关系》word说课稿济北中学赵金威一、教材分析：1、教材的地位和作用：◆本节课是人教B版必修二第二章第三单元第4节的内容；◆是初中内容《圆与圆的位置关系》的延续；◆是本单元平面直角坐标系中的基本公式和圆的方程的综合应用；◆是后续学习坐标法研究圆锥曲线的铺垫所以，它在教材中起着承前启后的重要作用。

2、教学目标：根据《课程标准》的要求和教材特点，结合高一学生的认知能力，我确定如下教学目标：【知识与技能目标】掌握两圆位置关系的判断方法；【过程与方法目标】通过两圆位置关系的探究过程，体验数形结合，转化，函数，方程等数学思想方法，提高用代数方法解决几何问题的能力，感受坐标法在研究几何问题中的作用；【情感态度价值观目标】通过师生互动，生生互动的教学活动，培养学生锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度，激发学生学数学，爱数学的情感。

3、重点难点：◆重点：圆与圆的位置关系的判断；◆难点：坐标法研究两圆的位置关系；◆重难点突破：在学生已有知识和方法的基础上，通过教师引导，学生观察思考、小组讨论、交流合作的办法来实现重难点突破。

二、教法学法分析：◆教法：新《课程标准》指出：教师是教学活动中的组织者，引导者，合作者。

根据这一理念，在教学过程中，我主要采用以下教学方法：启发式引导，探索式研究，互动式讨论。

◆学法：学生作为主体，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果的重要因素，因此，在学法的选择上，我主要采用：自主探究，合作交流的形式。

◆教学手段：借助多媒体和实物投影仪辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高课堂效率。

三、教学过程分析这节课，为了体现学生的主体地位，我以学生的学为立足点，设计了如下的教学过程：（一）情景引入屏幕出示xx，提出开放性问题：你想到了什么？同学各抒己见，教师做总结：xx是让中国人永难忘记的一年，同时，它还与我们今天要学习的内容有关。

2019-2020学年高一数学必修二第三节:圆的方程1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x －a )2＋(y －b )2＝t 2(t ∈R)表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＝0不一定表示圆．( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F>0.()答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√2．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C.3D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.3．(教材习题改编)圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________．解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．半径r ＝12|AB |＝12[1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2. 答案：x 2＋(y －3)2＝24．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________． 解析：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝－34a 2－a ＋1，因为该方程表示圆，所以－34a 2－a ＋1>0，即3a 2＋4a －4<0，所以－2<a <23.答案：⎝⎛⎭⎫－2，23 5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4. 即a 2＜1，故－1＜a ＜1. 答案：(－1,1)考点一 求圆的方程 (重点保分型考点——师生共研)(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.❶(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；❷(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程.❸[学审题]①由此条件可知，直线AB 的方程可设为x ＝my ＋2.如果设为点斜式，则需讨论斜率的存在性；②若坐标原点O 在圆M 上，则OA ⊥OB ； ③由此可知PA ⊥PB ，|MO |＝|MP |.解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)法一：由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP ―→·BP ―→＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516. 法二：由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )． 又圆M 过坐标原点O 和点P (4，－2)， ∴|MO |＝|MP |，即(m 2＋2)2＋m 2＝(m 2－2)2＋(m ＋2)2， 整理得2m 2－m －1＝0， 解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516. [解题师说]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心的方法求圆的标准方程，其关键是确定圆心，确定圆心的主要方法有：(1)当题目条件中出现直线与圆相切时，可利用圆心在过切点且与切线垂直的直线上来确定圆心位置；(2)当题目条件中出现直线与圆相交，可考虑圆心在弦的垂直平分线上； (3)当题目条件出现两圆相切时，可考虑切点与两圆的圆心共线．[冲关演练]1．已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________________．解析：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y －5＝0，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22， 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 答案：(x －1)2＋(y ＋4)2＝82．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2543．(2018·广东七校联考)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为________________．解析：法一：∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )， 又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |， 又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2＝2|a |，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7， 即2r 2＝(a －b )2＋14.① 由于所求圆与y 轴相切， ∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 答案：(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9考点二 与圆有关的轨迹问题 (重点保分型考点——师生共研)也出现在解答题中，难度适中，属于中低档题.[典题领悟]设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285. [解题师说]1．掌握“3方法”2．明确“5步骤”3．关注1个易错点此类问题在解题过程中，常因忽视对特殊点的验证而造成解题失误．(如典题领悟)[冲关演练]在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.考点三 与圆有关的最值问题 (题点多变型考点——追根溯源)角度(一) 斜率μ＝y －bx －a型最值问题 1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝± 3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3. [题型技法] 形如μ＝y －bx －a型的最值问题，可转化过定点(a ，b )的动直线斜率的最值问题求解．如本题y x ＝y －0x －0表示过坐标圆点的直线的斜率．角度(二) 截距μ＝ax ＋by 型最值问题2．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y －x 的最大值和最小值． 解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.[题型技法] 形如μ＝ax ＋by 型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解．如本题可令b ＝y －x ，即y ＝x ＋b ，从而将y －x 的最值转化为求直线y ＝x ＋b 的截距的最值问题．另外，此类问题也常用三角代换求解．由于圆的方程可整理为(x －2)2＋y 2＝3，故可令⎩⎨⎧ x －2＝3cos θ，y ＝3sin θ，即⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋2，y ＝3sin θ，从而y －x ＝3sin θ－3cos θ－2＝6sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－2，进而求出y －x 的最大值和最小值．角度(三) 距离μ＝(x －a )2＋(y －b )2型最值问题3．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值． 解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.[题型技法] 形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方求最值．如本题中x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，从而转化为动点(x ，y )与坐标原点的距离的平方．[题“根”探求]看个性角度(一)是求μ＝y －bx －a型最值问题； 角度(二)是将角度一中的yx 变换为y －x ，即求μ＝ax ＋by 型最值问题； 角度(三)则是将所求问题变为求距离的平方的最值问题找共性求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为：[冲关演练]1．(2018·厦门模拟)已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为( )A ．6 B.112C ．8D.212解析：选B x 2＋y 2－2y ＝0可化为x 2＋(y －1)2＝1，则圆C 为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小，直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离d ＝165，又|AB |＝32＋42＝5，∴△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫165－1＝112.2．已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1，则z ＝y ＋1x 的最大值与最小值分别为________和________．解析：由题意，得y ＋1x 表示过点A (0，－1)和圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上的动点(x ，y )的直线的斜率．当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y ＝kx －1，即kx －y －1＝0，则|2k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝4±73，所以z max ＝4＋73，z min ＝4－73. 答案：4＋73 4－73(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)， 又由该圆过点(1,0)，得其半径为1， 故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.2．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：选D 因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.3．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为( ) A ．1 B ．2 C.2D ．4解析：选B 由半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝124a 2＋4b 2＝2，得a 2＋b 2＝2. ∴点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2，故选B.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 5．(2018·成都高新区月考)已知圆C 经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，则该圆的面积是( )A ．5πB ．13πC ．17πD ．25π解析：选D 法一：设圆心为(a ，a ＋1)，半径为r (r >0)，则圆的标准方程为(x －a )2＋(y－a －1)2＝r 2，又圆经过点A (1，1)和点B (2，－2)，故有⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－a )2＝r 2，(2－a )2＋(－3－a )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，r ＝5，故该圆的面积是25π. 法二：由题意可知圆心C 在AB 的中垂线y ＋12＝13⎝⎛⎭⎫x －32，即x －3y －3＝0上．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故圆心C 为(－3，－2)，半径r ＝|AC |＝5，圆的面积是25π. 6．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：选A 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)． 根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.7．(2018·广州综合测试)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝d ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.答案：x 2＋(y －1)2＝28．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2，|2a |>2，解得a <－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)9．(2018·德州模拟)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝910．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝2B 级——中档题目练通抓牢1．(2018·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：选B 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．(2018·银川模拟)方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B ．一个圆 C ．两个圆D ．两个半圆解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，选D.3．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D 由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0平行，且它们之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由x ＋y ＝0和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.4．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为 ________________.解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝435．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意可知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π46．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410， ∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.7．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→＝0. 又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )， ∴x 2－3x ＋y 2＝0. 易知直线l 的斜率存在， 故设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时， 圆心到直线l 的距离d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得 9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)． 又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．C 级——重难题目自主选做1．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋22≤22，解得16－210≤t ≤16＋210， 所以m ＋2n 的最大值为16＋210. (2)记点Q (－2,3)，因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率k ，所以直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.由直线MQ 与圆C 有公共点， 得|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.2．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．解：(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，|PC |＝2， 设P (a ，2a )，则a 2＋(2a －4)2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝⎛⎭⎫65，125.(2)证明：设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0， 即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝165，所以该圆必经过定点(0,4)和⎝⎛⎭⎫85，165.(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．以M (1,0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝8 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．(x ＋1)2＋y 2＝16解析：选A 因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，所以圆心M (1,0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝|1－0＋3|2＝2 2. 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝8.2．若圆C 的半径为1，圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 因为圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.3．(2018·兰州模拟)若直线ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)把圆(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则12a＋2b 的最小值为( )A ．10B ．8C ．5D ．4解析：选B ∵圆(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16的圆心坐标为(－4，－1)，直线ax ＋by ＋1＝0把圆分成面积相等的两部分，∴该直线过点(－4，－1)，∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1，∴12a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b (4a ＋b )＝4＋8a b ＋b 2a≥4＋28a b ×b 2a ＝8，当且仅当a ＝18，b ＝12时取“＝”，故选B.4．(2018·湖北七市(州)联考)关于曲线C ：x 2＋y 4＝1，给出下列四个命题： ①曲线C 有两条对称轴，一个对称中心；②曲线C 上的点到原点距离的最小值为1； ③曲线C 的长度l 满足l >42；④曲线C 所围成图形的面积S 满足π<S <4. 上述命题中，真命题的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A ①将(x ，－y )，(－x ，y )，(－x ，－y )代入，方程不变，确定曲线C 关于x 轴，y 轴对称，关于原点对称，故①正确．②x 2＋y 4＝1⇒0≤x 2≤1,0≤y 4≤1，故x 2＋y 2≥x 2＋y 2·y 2＝x 2＋y 4＝1，即曲线C 上的点到原点的距离为x 2＋y 2≥1，故②正确；③由②知，x 2＋y 4＝1的图象位于单位圆x 2＋y 2＝1和边长为2的正方形之间，如图所示，其每一段弧长均大于2，所以l >42，故③正确；④由③知，π×12<S <2×2，即π<S <4，故④正确．选A.5．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D 由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0平行，且它们之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由x ＋y ＝0和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.6．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是________． 解析：圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(1，3)，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝47．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2，|2a |>2，解得a <－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)8．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝59．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→＝0. 又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )， ∴x 2－3x ＋y 2＝0. 易知直线l 的斜率存在， 故设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时， 圆心到直线l 的距离d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得 9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)． 又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．10．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋22≤22，解得16－210≤t ≤16＋210， 所以m ＋2n 的最大值为16＋210. (2)记点Q (－2,3)，因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率k ，所以直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.由直线MQ 与圆C 有公共点， 得|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2.可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·银川模拟)方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B ．一个圆 C ．两个圆D ．两个半圆解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，选D.2．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为 ________________.解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝433．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意可知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π44．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，则圆C 的方程为________________．解析：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)， 所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－6， 其方程为y ＋1＝－6(x －4)， 即y ＝－6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝⎛⎭⎫x －132上，即5x ＋7y －50＝0上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0解得圆心坐标为(3,5)， 所以半径为(9－3)2＋(6－5)2＝37， 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37. 答案：(x －3)2＋(y －5)2＝375．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ ―→·MQ ―→的最小值．解：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ ―→·MQ ―→＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以PQ ―→·MQ ―→＝x ＋y －2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2， 又⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4min ＝－1， 所以PQ ―→·MQ ―→的最小值为－4.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为2 2 的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0) 的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8.因为直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ，所以O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝8，b a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. 由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋y 2＝16，(x ＋2)2＋(y －2)2＝8，解得x ＝45或x ＝0(舍去)． 所以存在点Q ⎝⎛⎭⎫45，125，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．。

第四章圆与方程考点1求圆的方程1．求圆的方程的常用方法有待定系数法、几何法等，运用待定系数法时，要充分利用题目中提供的三个条件来确定三个独立的参数；使用几何法时，要充分利用圆的有关性质，如垂径定理、“半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形”等．2．如果已知条件容易求得圆心坐标、半径，则一般选用圆的标准方程，否则选用圆的一般方程．[典例1] 过点A(1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25B．(x－1)2＋(y－3)2＝2C．(x－5)2＋(y－5)2＝25D．(x－1)2＋(y－1)2＝1解析：选A 由题意可设圆心为(a，a)，则半径r＝a，圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，又点A(1,2)在圆上，∴(1－a)2＋(2－a)2＝a2，解得a＝1或a＝5.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25.[对点训练]1．经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q两点的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10， ①又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.由已知，|x 1－x 2|＝6(其中x 1，x 2是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根)， ∴D 2－4F ＝36， ②①、②联立组成方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.考点2直线与圆的位置关系判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d ，然后比较所求距离d 与半径r 的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系．[典例2] 已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 由圆C 与y 轴相切得|a |＝r ， ①又圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0， ②圆心C (a ，b )到直线y ＝x 的距离为d ＝|a －b |2，由于弦心距d ，半径r 及弦的一半构成直角三角形，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＋(7)2＝r 2. ③ 联立①②③解方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，b 1＝1，r 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－3，b 2＝－1，r 2＝3.故圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. [对点训练]2．直线x ＋3y －2＝0被圆(x －1)2＋y 2＝1截得的线段的长为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 解析：选C 圆心到直线的距离d ＝|1＋0－2|12＋32＝12，∴弦长l＝2r2－d2＝ 3.3．已知直线l经过坐标原点，且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为________．解析：设切线方程为y＝kx，代入圆方程中，得(1＋k2)x2－4x＋3＝0.由Δ＝0，解得k＝－33⎝⎛⎭⎪⎫舍去k＝33，所以直线l的方程为x＋3y＝0.答案：x＋3y＝0考点3圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断)．(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长．(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.[典例3] (2016·九江高一检测)求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则a－12＋b2＝r＋1. ①又所求圆过点M的切线为直线x＋3y＝0，故b＋3a－3＝ 3. ②|a＋3b|2＝r. ③解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－43，r＝6.故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.[对点训练]4．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4相切，则正实数r的值为__________．解析：当两圆外切时，两圆心的距离d＝5，由题意，得r＋2＝5，∴r＝3；当两圆内切时，由题意知，r－2＝5，即r＝7.答案：3或7（时间120分钟 满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与点B (2，－1,6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9 D.86解析：选D 由空间直角坐标系中两点间距离公式得： |AB |＝－3－22＋4＋12＋0－62＝86.2．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞解析：选A 由题意得1＋1＋4m >0，解得m >－12.3．(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D r ＝12＋12＝2，∴所求方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，选D. 4．点A (2a ，a －1)在以点C (0,1)为圆心，半径为5的圆上，则a 的值为( ) A ．±1 B ．0或1 C ．－1或15 D ．－15或1解析：选D 由题意，已知圆的方程为x 2＋(y －1)2＝5，将点A 的坐标代入圆的方程可得a ＝1或a ＝－15.5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 3解析：选D 直线方程为y ＝3x ，圆的方程化为x 2＋(y －2)2＝22，∴r ＝2，圆心(0,2)到直线y ＝3x 的距离为d ＝1，∴半弦长为22－12＝3，∴弦长为2 3.6．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：选C 因为点P (2,2)为圆(x －1)2＋y 2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P (2,2)的连线与过点P (2,2)的切线垂直．因为圆心(1,0)与点P (2,2)的连线的斜率k ＝2，故过点P (2,2)的切线斜率为－12，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为2，因此a ＝2.7．一条光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上，则光走过的最短路程为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D A (－1,1)关于x 轴的对称点B (－1，－1)，圆心C (2,3)，所以光走过的最短路程为|BC |－1＝4.8．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：选D 当CM ⊥l ，即弦长最短时，∠ACB 最小， ∴k l ·k CM ＝－1，∴k l ＝12，∴l 的方程为： x －2y ＋3＝0.9．圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4外切，则m 的值为( ) A ．2 B ．－5 C ．2或－5 D ．不确定解析：选C 圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9的圆心为(－2，m )，半径长为3，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(m ，－1)，半径长为2.依题意有－2－m2＋m ＋12＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0，解得m ＝2或m ＝－5.10．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m: ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )A ．4B ．2 C.85 D.125解析：选A P 为圆上一点，则有k OP ·k l ＝－1，而k OP ＝4－1－2－2＝－34，∴k l ＝43，∴a ＝4，∴m 的直线方程为4x －3y ＝0，l 的直线方程为4x －3y ＋20＝0.∴l 与m 的距离为|20|42＋32＝4.11．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC为圆的直径，∴四边形PACB 的外接圆方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54， ①圆C ：(x －1)2＋y 2＝1， ②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．12．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析：选A 由题意知，圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9的圆心分别为C 1(2,3)，C 2(3,4)，且|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4，点C 1(2，3)关于x 轴的对称点为C (2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|＝|PC |＋|PC 2|≥|CC 2|＝52，即|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在如图所示的长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，∴B 1(a ，b ，c )．答案：(a ，b ，c )14．设A 为圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上一动点，则A 到直线x －y －5＝0的最大距离为________．解析：圆心到直线的距离d ＝|2－2－5|2＝522，则A 到直线x －y －5＝0的最大距离为522＋1. 答案：522＋115．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．解析：(数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3.在Rt △OBC 中可得：∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3，∴所求劣弧长为2π.答案：2π16．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程是________．解析：设动点P 的坐标为(x ，y )，依题意有|PO |＝r sin 30°＝112＝2，∴x 2＋y 2＝4，即所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.答案：x 2＋y 2＝4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2016·绍兴高一检测)已知圆C 的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 的方程为y ＝x ＋m ，求当m 为何值时，(1)直线平分圆； (2)直线与圆相切．解：(1)∵直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m ＝0. (2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， ∴d ＝|1－1＋m |12＋－12＝|m |2＝2，m ＝±2 2. 即m ＝±22时，直线l 与圆相切．18．(本小题满分12分)已知直线l 1：x －y －1＝0，直线l 2：4x ＋3y ＋14＝0，直线l 3：3x ＋4y ＋10＝0，求圆心在直线l 1上，与直线l 2相切，截直线l 3所得的弦长为6的圆的方程．解：设圆心为C (a ，a －1)，半径为r ， 则点C 到直线l 2的距离d 1＝|4a ＋3a －1＋14|5＝|7a ＋11|5.点C 到直线l 3的距离d 2＝|3a ＋4a －1＋10|5＝|7a ＋6|5.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|7a ＋11|5＝r ，⎝ ⎛⎭⎪⎫|7a ＋6|52＋32＝r 2.解得a ＝2，r ＝5，即所求圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝25.19．(本小题满分12分)一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得A (6，－2)，设圆的半径长为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10，所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设A ′(x 0，－3)(x 0＞0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得2x 0＝251，即当水面下降1米后，水面宽251米．20．(本小题满分12分)已知点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上运动，N (4,0)，点P (x ，y )为线段MN 的中点．(1)求点P (x ，y )的轨迹方程；(2)求点P (x ，y )到直线3x ＋4y －86＝0的距离的最大值和最小值．解：(1)∵点P (x ，y )是MN 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y .将用x ，y 表示的x 0，y 0代入到x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋y 2＝1.此式即为所求轨迹方程．(2)由(1)知点P 的轨迹是以Q (2,0)为圆心，以1为半径的圆． 点Q 到直线3x ＋4y －86＝0的距离d ＝|6－86|32＋42＝16. 故点P 到直线3x ＋4y －86＝0的距离的最大值为16＋1＝17，最小值为16－1＝15.21．(本小题满分12分)已知圆C: x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解：把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件． 当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)， 即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |1＋k2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4，|PO |2＝x 2＋y 2. ∵|PM |＝|PO |，∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2， 整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0，22．(本小题满分12分)已知圆C: x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB .设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1x 1·y 2x 2＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0. ①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，消去y 得： 2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， ∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)， ②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)． ③把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0成立， 故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.模块综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·临沂高一检测)过点A (3，－4)，B (－2，m )的直线l 的斜率为－2，则m 的值为( )A ．6B ．1C ．2D ．4 解析：选A 由题意知k AB ＝m ＋4－2－3＝－2，∴m ＝6.2．(2016·温州高一检测)直线y －2＝mx ＋m 经过一定点，则该点的坐标为( ) A ．(－1,2) B ．(2，－1) C ．(1,2) D ．(2,1)解析：选A 将直线方程化为y －2＝m (x ＋1)，则当x ＝－1时，y ＝2，即直线过定点(－1,2)．3．在空间直角坐标系中，点B 是A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于( )A.14B.13 C ．2 3 D.11解析：选B 点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影为B (0,2,3)，∴|OB |＝02＋22＋32＝13.4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0 D ．x －2y ＋3＝0解析：选A 结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－12，直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.5．(2015·广东高考)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交解析：选D 由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．6．动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( ) A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16 D ．x 2＋(y －1)2＝16 解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得： 2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π解析：选C 根据三视图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R ＝3，圆锥半径R ＝3，高为4，所以V 组合体＝V 半球＋V 圆锥＝12×43π×33＋13π×32×4＝30π.8．(2015·浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β.( )A ．若l ⊥β，则α⊥βB ．若α⊥β，则l ⊥mC ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m解析：选A A 中，由面面垂直的判定，故正确；选项B 中，当α⊥β时，l ，m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，l ∥β时，α、β可以相交；选项D 中，α∥β时，l ，m 也可以异面，故选A.9．设长方体的长，宽，高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2解析：选B 由题可知，球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R ＝4a 2＋a 2＋a 2，解得R ＝62a ，所以球的表面积S ＝4πR 2＝6πa 2.10．过点P (－2,4)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A.285 B.125C.85D.25解析：选B 直线l 1的斜率k ＝－a3，l 1∥l ，又l 过P (－2,4)，∴l 的直线方程为y －4＝－a3(x ＋2)，即ax ＋3y ＋2a －12＝0.又直线l 与圆相切， ∴|2a ＋3×1＋2a －12|a 2＋9＝5，∴a ＝－4，∴l 1与l 的距离为d ＝125.11．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A 圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0，故选A. 12．(2015·新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 由正视图和俯视图可知，该几何体是一个半球和一个半圆柱的组合体，圆柱的半径和球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为12×4πr 2＋πr ×2r ＋πr 2＋2r ×2r＝5πr 2＋4r 2＝16＋20π，解得r ＝2，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2016·宁波高一检测)若直线l 1：ax ＋y ＋2a ＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0互相平行，则实数a ＝________.解析：由两直线平行的条件A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0得⎩⎨⎧a 2－1＝0，3a －2a ≠0，得a ＝±1.答案：±114．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析：直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，当切点为(2，－1)时，半径最大为2－12＋－1－02＝2，此时圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝215．(2015·湖南高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.解析：由直线与圆的位置及圆的性质，可求得圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为r2，∴|5|32＋42＝r2，∴r ＝2. 答案：216．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ­BD ­C ，有如下三个结论． ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角． 说法正确的命题序号是________． 解析：如图所示，①取BD 中点E ，连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a .由①知∠AEC 是直二面角A ­BD ­C 的平面角，∴∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点(m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 解：(1)因为l 1与l 2相交于点(m ，－1)，所以点(m ，－1)在l 1、l 2上，将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1. 又因为m ＝1，把(1，－1)代入l 1，所以n ＝7. 故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，m ×－1－2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8·m ＝0，得m ＝0. 则l 1为y ＝－n8，由于l 1在y 轴上的截距为－1，所以－n8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8.18．(本小题满分12分)(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确. 19．(本小题12分)如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.证明：(1)∵B 1C 1CB 为正方形，∴E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1中点，∴DE 为△B 1AC 的中位线，∴DE ∥AC ，又DE ⊄平面A 1C 1CA ，AC ⊂平面A 1C 1CA ，∴DE ∥平面AA 1C 1C .(2)在直三棱柱中，平面ACB ⊥平面B 1C 1CB ，又平面ACB ∩平面B 1C 1CB ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，且AC ⊥BC ，∴AC ⊥平面B 1C 1CB ， ∴AC ⊥BC 1， 又B 1C 1CB 为正方形， ∴B 1C ⊥BC 1，AC ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面ACB 1，又AB 1⊂平面ACB 1，∴BC 1⊥AB 1.20．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (a,0)(a >0)，B (0，a )，C (－4,0)，D (0,4)，设△AOB 的外接圆圆心为E .(1)若⊙E 与直线CD 相切，求实数a 的值；(2)设点P 在⊙E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的⊙E 是否存在？若存在求出⊙E 的标准方程；若不存在，说明理由．解：(1)直线CD 的方程为y ＝x ＋4，圆心E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，半径r ＝22a .由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋42＝22a ，解得a ＝4. (2)∵|CD |＝－42＋42＝42，∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD 的距离为3 2.又圆心E 到直线CD 距离为22(定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，需⊙E 的半径2a2＝52，解得a ＝10， 此时，⊙E 的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50.21．(本小题满分12分)(2015·四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG . 解：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示． (2)平面BEG ∥平面ACH .证明如下：因为ABCD ­EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG . 又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ， 于是四边形BCHE 为平行四边形， 所以BE ∥CH .又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ， 所以BE ∥平面ACH . 同理BG ∥平面ACH . 又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .(3)证明：连接FH ，与EG 交于点O ，连接BD . 因为ABCD ­EFGH 为正方体， 所以DH ⊥平面EFGH .因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG .又EG ⊥FH ，DH ∩FH ＝H ，所以EG ⊥平面BFH D. 又DF ⊂平面BFHD ，所以DF ⊥EG . 同理DF ⊥BG . 又EG ∩BG ＝G ， 所以DF ⊥平面BEG .22．(本小题满分12分)(2015·广东高考)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)． (2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴＝0.又∵＝(3－x ，－y )，＝(－x ，－y )，∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)． 又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．(3)由题意知直线L 表示过定点(4,0)，斜率为k 的直线，把直线L 的方程代入轨迹C的方程x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，化简得(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0， 其中53<x ≤3，记f (x )＝(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2， 其中53<x ≤3.若直线L 与曲线C 只有一个交点，令f (x )＝0.当Δ＝0时，解得k 2＝916，即k ＝±34，此时方程可化为25x 2－120x ＋144＝0，即(5x －12)2＝0，解得x ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3，∴k ＝±34满足条件．当Δ>0时，①若x ＝3是方程的解，则f (3)＝0⇒k ＝0⇒另一根为x ＝0<53，故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意．②若x ＝53是方程的解，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝0⇒k ＝±257⇒另外一根为x ＝6423，53<6423≤3，故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意．③若x ＝3和x ＝53均不是方程的解，则方程在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3上有且仅有一个根，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53·f (3)<0⇒－257<k <257.故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意． 综上所述，k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪－257，257时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C只有一个交点．。

2．2 圆的一般方程填一填二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形(1)变形：把方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.(2)结论：①当D 2＋E 2－4F >0时，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以12D 2＋E 2－4F 为半径的圆．②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有一组解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－D 2，y ＝－E2，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2.③当D 2＋E 2－4F <0时，方程无实数解，所以不表示任何图形．当D 2＋E 2－4F >0时，称二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0为圆的一般方程.判一判1.2．圆的一般方程和圆的标准方程可以互化．(√)3．若方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆，则E ≠0.(√)4．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程．(×)5．圆x 2＋y 2＋ax －2ay ＝0过原点．(√)6．圆x 2＋y 2－Dx －Ey ＋F ＝0的圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.(×)7．若D 2＋E 2－4F <0，则方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形．(√)8．若直线l 将圆x 221)．(√)想一想1.提示：x 2＋y 2＋F ＝02．若二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，需满足什么条件？提示：①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4AF >0. 3．待定系数法求圆的一般方程的步骤是什么？提示：(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. (2)根据已知条件，建立关于D ，E ，F 的方程组． (3)解此方程组，求出D ，E ，F 的值．(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程． 4．求与圆有关的轨迹问题的方法有哪些？提示：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 思考感悟：练一练1．若方程x 2＋y 2＋x －y ＋m ＝0表示的曲线是一个圆，则m 的取值范围是( )A ．m ≤12B ．m ＝12C ．m >12D ．m <12答案：D2．圆x 2＋y 2＋2x －3y ＝0的圆心坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C ．(2,3) D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－32 答案：A 3．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43 答案：B4．圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0的周长为________． 答案：22π5．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的一般方程为________．答案：x 2＋y 2－4y ＋3＝0知识点一 二元二次方程与圆的关系1.(1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)．解析：(1)D ＝1，E ＝0，F ＝1，D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3<0，所以方程(1)不表示任何图形．(2)D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2，D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0，所以方程(2)表示点(－a,0)． 2．下列方程能表示圆吗？若能表示圆，求出圆心坐标和半径．(1)2x 2＋y 2－7x ＋5＝0；(2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋yt ＝0.解析：(1)不能表示圆，因为方程中x 2，y 2的系数不相同． (2)知识点二 求圆的一般方程3.与圆x 2A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0解析：设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋m ＝0，由该圆过点(1，－1)，得m ＝8，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0.答案：B4．已知圆过A (2,2)，C (3，－1)，且圆关于直线y ＝x 对称，求圆的一般方程．解析：设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，9＋1＋3D －E ＋F ＝0，－D 2＝－E 2，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝1，F ＝－12.所以所求的圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋y －12＝0.知识点三 求动点的轨迹方程(或轨迹)5.已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，则圆C 的圆心的轨迹是( ) A ．点 B ．直线 C ．线段 D ．圆解析：∵圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，∴(1－a )2＋(0－b )2＝1，即(a －1)2＋b 2＝1，∴圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径长的圆． 答案：D 6.如图，经过圆x 2＋y 2＝4上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q .求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．解析：设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.所以x 2＋2综合知识 圆的一般方程7.已知A 解析：方法一 设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.所以△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. 方法二 设所求的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋2－b 2＝r 2，5－a2＋3－b2＝r 2，3－a2＋－1－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，r 2＝5.故所求的圆的方程为(x －4)2＋(y －1)2＝5.8．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解析：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分， 故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285.因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.基础达标一、选择题1．圆2x 2＋2y 2＋6x －4y －3＝0的圆心坐标和半径分别为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和4 B ．(3,2)和4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和192 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1和19解析：由一般方程的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，易知圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1，半径为192.答案：C2．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( ) A ．圆内 B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外解析：先化成标准方程(x －a )2＋(y －1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0－a )2＋(0－1)2＝a 2＋1>2a ，即原点在圆外．答案：B3．若动圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0C ．x 2＋y 2＝0D ．x 2－y 2＝0解析：圆心M 的坐标(x ，y )应满足y ＝x 或y ＝－x ，等价于x 2－y 2＝0. 答案：D4．已知点P (2,1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(1,2) 解析：由题意圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，1在直线x ＋y －1＝0上，从而有－a2＋1－1＝0，所以a ＝0，所以圆C 的圆心坐标为(0,1)，故选A.答案：A5．下列四条直线中，将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：由题意，知圆心是(1,2)，将圆平分的直线必过圆心，所以将圆心的坐标代入各选项验证知选C.答案：C6．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4解析：由题知直线l 1，l 2过已知圆的圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋4＝0，－D 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，所以D ＋E ＝4.答案：D7．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：设圆心为C (m,0)(m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2， 整理，得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A. 答案：A 二、填空题8．圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)的圆心为________，半径为________．解析：圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2其圆心为(－a,0)，半径为|a |. 答案：(－a,0) |a |9．已知圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，则a ＝________.解析：圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心C (1,4)，因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋1＝0的圆心到直线ax －y ＋1＝0的距离为1，所以d ＝|a －4＋1|a 2＋1＝1，解得a ＝43.答案：4310．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值为________．解析：圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为(x 2－2x ＋1)＋(y 2＋2y ＋1)＝2，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，由题意即为在圆上找一点到线段AB 的距离最小即可，k AB ＝2－00－－2＝1，直线AB ：y －2＝x ，所以线段AB ：y ＝x ＋2(－2≤x ≤0)，圆心(1，－1)到其距离d ＝|1＋2－－1|12＋12＝22， 所以圆上某点到线段AB 的距离最小值为22－2＝2，因为|AB |＝－2－02＋0－22＝22，所以S △ABC min ＝12|AB |×2＝12×22×2＝2.答案：211．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析：由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.答案：512．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程为________．解析：设动圆圆心为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4m ＋22＝2m ＋1，y ＝2m2＝m ，整理得x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝0三、解答题13．判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径．(1)x 2＋y 2－x ＋14＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)；(3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是否表示圆，关键看将该方程配方转化为圆的标准方程的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4后，D 2＋E 2－4F 是否大于0，若大于0则表示圆，否则不表示圆．方法一 (1)将原方程转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝0，表示一个点，坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.(2)将原方程转化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2(a ≠0)， 表示圆，圆心为(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)将原方程转化为x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，表示圆，圆心为(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.方法二 (1)因为D 2＋E 2－4F ＝(－1)2＋02－4×14＝0，所以表示一个点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. (2)因为D 2＋E 2－4F ＝4a 2＋0－0＝4a 2>0(a ≠0)，所以表示圆．又因为－D 2＝－a ，－E 2＝0，12D 2＋E 2－4F ＝12·4a 2＝|a |，所以圆心为(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)因为D 2＋E 2－4F ＝02＋(2a )2＋4＝4(1＋a )2>0， 所以表示圆．又因为－D 2＝0，－E2＝－a ，12D 2＋E 2－4F ＝1＋a 2， 所以圆心为(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.14．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，求它的外接圆的方程．解析：由题意得，等腰三角形顶点的坐标为(0,5)或(0，－5)．当顶点坐标为(0,5)时，设三角形外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧25＋5E ＋F ＝0，16－4D ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝－95，F ＝－16.所以圆的方程为x 2＋y 2－95y －16＝0.当顶点坐标是(0，－5)时，同理可得圆的方程为x 2＋y 2＋95y －16＝0.综上，它的外接圆的方程为x 2＋y 2－95y －16＝0或x 2＋y 2＋95y －16＝0.能力提升15.已知曲线C ：(1＋a )x (1)当a 取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点； (3)当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．解析：(1)当a ＝－1时，方程为x ＋2y ＝0，为一条直线；当a ≠－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －21＋a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4a 1＋a 2＝4＋16a 21＋a 2表示圆． (2)证明：方程变形为x 2＋y 2－4x ＋a (x 2＋y 2＋8y )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋8y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝165，y ＝－85.故C 过定点A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，－85.(3)因为圆恒过点A ，B ，所以以AB 为直径的圆面积最小，则圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－45.所以21＋a ＝85，解得a ＝14.16．已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．解析：(1)方法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1， 所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)． 方法二 同方法一得x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16，化简得x 2＋y 2－2x－3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．方法三 设AB 中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知，|CD |＝12|AB |＝2，由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．设C (x ，y )，则直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．。