复数的坐标表示 ppt课件
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复数坐标表示
3 2
Z4
O
2
x
Z5
2
3. 复数的模
复数 z a bi 所对应的点 Z a, b 到坐标原点的距离
叫做 复数 z 的模（或绝对值），记作 z .
y
由复数模的定义：z a2 b2 z 0
注：当 b 0时，复数 z a bi是一个实数a， b
Z：a bi
它的模等于 a 即实数a的绝对值 .
思考 若 a b 呢,复数 z a bi 共有多少个？
10 9 90 个
2.复数的向量表示
y
平面直角坐标系内点 Z a,b
一一对应
b
uuur
位置向量OZ a,b
O
Z：a bi
Hale Waihona Puke ax所以一个复数 z a bi
一一对应
位置向量
uuur OZ
a,
b
uuur
即，我们可以用向量 OZ a,b 表示复数 z a bi
解：
t2 2t 0
t 1 2t 1
0
1 t2 2
uuur
复数 z 对应的点 Z 到原点的距离等于4, 即 OZ 4
满足 z 4的复数 z 对应的点 Z
y
所组成的集合(轨迹）： 是以原点为圆心，半径为4的圆.
Z：x yi 4
或设z x yi x, y R
O
4x
z x2 y2 4 即 x2 y2 16
同理，满足 2 z 4 的复数 z 对应的点Z所组成的集合：
复数的坐标表示方法
➢ x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 y
➢ 表示实数的点都在x 轴上，
表示纯虚数的点都在y轴上. b
Z：a b i
➢ 原点表示实数 0
《电工技术》课件 复数的表示形式及复数的四则运算
B arctan 6 37o
8 B 10370
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516
B 10
其中：
r a2 b2 ψ arctan b
a
j 1900 j 1 900
二、复数的四则运算
1.复数的加减运算 都转换为代数式，将几个相加减的复数 实部加（减），虚部加（减），即得到新的复数。
A1 a1 jb1
A2 a2 jb2
A1 A2 a1 a2 j b1 b2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算
• 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1 A2 A2 2
A1 A2 A1 A2 1 2
3.复数的除法运算 • 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
A1 A1 1 A2 A2 2
A1 A1 1 2
A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
A 3 j4 B 8 j6
求它们的和、差、积、商。
解： A B 38 j 4 6 11 j10 A B 38 j 4 6rctan 4 53o
3
A 5530
B 82 62 10
复数的表示形式及四则运算
一、复数的四种表示形式
虚数单位 j = 1.代数形式： 在复平面上表示
1
j2 = -1
A a jb
a rcosψ
•
b r sinψ
r a2 b2 ψ arctan b
a
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sinψ r (cos ψ jsinψ)
复数的模 复数的辐角
8 B 10370
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516
B 10
其中：
r a2 b2 ψ arctan b
a
j 1900 j 1 900
二、复数的四则运算
1.复数的加减运算 都转换为代数式，将几个相加减的复数 实部加（减），虚部加（减），即得到新的复数。
A1 a1 jb1
A2 a2 jb2
A1 A2 a1 a2 j b1 b2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算
• 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1 A2 A2 2
A1 A2 A1 A2 1 2
3.复数的除法运算 • 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
A1 A1 1 A2 A2 2
A1 A1 1 2
A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
A 3 j4 B 8 j6
求它们的和、差、积、商。
解： A B 38 j 4 6 11 j10 A B 38 j 4 6rctan 4 53o
3
A 5530
B 82 62 10
复数的表示形式及四则运算
一、复数的四种表示形式
虚数单位 j = 1.代数形式： 在复平面上表示
1
j2 = -1
A a jb
a rcosψ
•
b r sinψ
r a2 b2 ψ arctan b
a
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sinψ r (cos ψ jsinψ)
复数的模 复数的辐角
复数的课件ppt
详细描述
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
复数的坐标表示ppt课件
关于x轴对称
例 ： 如z 果 (m复 2)(m 数 21)6 i(mR)在 复 平 的 对 应 点 在 则 m 第 的四 范象 围限 ？，
m20 m2 160
.
5
例3、设复数Z=3a-1+(a-2)i(a∈R)， （1）求a为何值时，表示复数Z的点Z在第二、三象限？ （2）a为何值时，点Z在实轴上,虚轴上？ （3）能否在原点？
( 3 ) l2 o ( m 2 3 g m 3 ) 2 l2 o ( m 2 g ) 1 0
lo 22 (m g (m 2 3 2 m )2 3 ) 0 m 1 1,m 1 1 1(舍 1 )
.
11
例：(已 x 2 ) 知 y(x i,y 虚 R )的 数 模 3 ，为 y的 求范 x
5
O
3 x2y2 5
9x2y2 25
–3
图形:
–5
以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
.
35
x
9
例 ： 设 z复 cos数 isin,则 复 z在 数复 平 面 上
的图形是 | z |？ 1是以原点为圆心的圆 单位
例：满足下数 列 za条 b在 件 i 复 的平 复面上
的 图?形 是
(1)|z|3
(2)2|z|5
解: (1) 10×10=100 个 (2) 10个 (3) 9个 (纯虚数在原点以外的虚轴上)
x
o
.
3
复数的向量表示：
y
b
Z:abi
复数 zabi点Z(a,b)
o ax
向量 OZ（a,b)
复数集中的元素与复平面上以原点为起点的向量也是一一对应的。
为了方便，我们常把复数 zabi看作点 Z(a,b)或看作向量 OZ .
例 ： 如z 果 (m复 2)(m 数 21)6 i(mR)在 复 平 的 对 应 点 在 则 m 第 的四 范象 围限 ？，
m20 m2 160
.
5
例3、设复数Z=3a-1+(a-2)i(a∈R)， （1）求a为何值时，表示复数Z的点Z在第二、三象限？ （2）a为何值时，点Z在实轴上,虚轴上？ （3）能否在原点？
( 3 ) l2 o ( m 2 3 g m 3 ) 2 l2 o ( m 2 g ) 1 0
lo 22 (m g (m 2 3 2 m )2 3 ) 0 m 1 1,m 1 1 1(舍 1 )
.
11
例：(已 x 2 ) 知 y(x i,y 虚 R )的 数 模 3 ，为 y的 求范 x
5
O
3 x2y2 5
9x2y2 25
–3
图形:
–5
以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
.
35
x
9
例 ： 设 z复 cos数 isin,则 复 z在 数复 平 面 上
的图形是 | z |？ 1是以原点为圆心的圆 单位
例：满足下数 列 za条 b在 件 i 复 的平 复面上
的 图?形 是
(1)|z|3
(2)2|z|5
解: (1) 10×10=100 个 (2) 10个 (3) 9个 (纯虚数在原点以外的虚轴上)
x
o
.
3
复数的向量表示：
y
b
Z:abi
复数 zabi点Z(a,b)
o ax
向量 OZ（a,b)
复数集中的元素与复平面上以原点为起点的向量也是一一对应的。
为了方便，我们常把复数 zabi看作点 Z(a,b)或看作向量 OZ .
高中数学一轮复习《复数》课件ppt（29张PPT）
解析 1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，
∴复数1－1 i的共轭复数对应的点的坐标为12，－12，位于第四象限，故选 D.
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
C.1－i
D.1＋i
解析 由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝(21i＋（i1)－ (1－i）i)＝2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
D.－
3 2i
解析 (1)∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，
∴mm2－＋2m≠－0，6＝0，解得 m＝－3，故选 D.
(2)∵z＝1－
3i，∴－zz＝z·－z－z2
＝（1＋|z|23i）2＝1＋2 43i－3＝－12＋
－
23i，∴zz的虚部
为 23.故选 C.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该 满足的条件，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
建立平面直角坐标系来表示复数的 数；除了原点外，虚轴
复平面 平面叫做复平面，__x_轴___叫实轴，y 上的点都表示纯虚数，
轴叫虚轴
各象限内的点都表示
虚数
复数的 设O→Z对应的复数为 z＝a＋bi，则向量 模 O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模
|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2
2.复数的几何意义
2.(新教材必修第二册 P69 例 1 改编)若复数 z＝11＋＋aii为纯虚数，则实数 a 的值为
复数课件ppt免费
02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中，复数是一种常用的数学工具，用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示，可以简化计算过程，方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中，复数常用于表示和处 理信号，如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式，可以方 便地进行信号的频域分析和处理，如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中，复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示，可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性，以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$，其中 $r$ 是模长，$theta$ 是辐角 。
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目录
• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i 是虚数单位。
1.复数的概念复数的坐标表示
x
yபைடு நூலகம்
o
x轴------实轴 y轴------虚轴
例1.辨析： 1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。
产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大充实。
从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？ 自然数集 整数集 有理数集 实数集
我们可以用下面一组方程来形象地说明
数系的发展变化过程：
（1）在自然数集中求方程 x+1＝0的解？ （2）在整数集中求方程 2x+1＝0的解？ （3）在有理数集中求方程 x2-2＝0的解？ （4）在实数集中求方程 x2+1＝0的解？
证明：若复数所对应的点位于第四象限， m 2 m 6 0 m 3或m 2 则 2 即 m m 2 0 2 m 1
不等式解集为空集
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
小结
复数的几何意义（二）
复数z=a+bi
一一对应 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
3 m 2 m 2 m 6 0 得 解：由 2 m 2 或 m 1 m m 2 0
m (3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
回 忆
yபைடு நூலகம்
o
x轴------实轴 y轴------虚轴
例1.辨析： 1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。
产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大充实。
从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？ 自然数集 整数集 有理数集 实数集
我们可以用下面一组方程来形象地说明
数系的发展变化过程：
（1）在自然数集中求方程 x+1＝0的解？ （2）在整数集中求方程 2x+1＝0的解？ （3）在有理数集中求方程 x2-2＝0的解？ （4）在实数集中求方程 x2+1＝0的解？
证明：若复数所对应的点位于第四象限， m 2 m 6 0 m 3或m 2 则 2 即 m m 2 0 2 m 1
不等式解集为空集
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
小结
复数的几何意义（二）
复数z=a+bi
一一对应 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
3 m 2 m 2 m 6 0 得 解：由 2 m 2 或 m 1 m m 2 0
m (3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
回 忆
《复数的概念》课件
《复数的概念》PPT课件
复数是一个数学概念，用来表示实数和虚数的集合。
什么是复数
实数与虚数
复数由实部和虚部组成，形如a+bi。
虚数单位
虚数单位 i 是一个特殊的数，满足 i² = -1。
复数的表示方法
直角坐标形式
用复平面中的点表示复数，实部表示 x 坐标，虚部 表示 y 坐标。
极坐标形式
用模和幅角表示复数，模表示向原点距离，幅角表 示与正实轴的夹角。
分形图形
复数可以表示分形图形如Mandelbrot集合。
旋转变换
复数可以通过乘法实现二维旋转变换。
常见的复数方程
1 一次方程
形如a+bi=c，求出复数的解。
2 二次方程
形如a+bi=0，利用求根公式计算解。
结论和要点
复数的基本概念
复数由实部和虚部组成，可以用不同的表示方法。
复数的运算规则
加减乘除应用相应规则来计算。
复数的四则运算
1
加法和减法
复数的实部和虚部分别相加或相减。
乘法
2
将复数按照分配律相乘，并应用 i² = -1
进行合并。
3
行 简化。
共轭复数和复数模
共轭复数
共轭复数将虚部的符号取反，实部保持不变。
复数模
复数的模是复平面中与原点的距离，可用勾股 定理求得。
复数在几何中的应用
复数是一个数学概念，用来表示实数和虚数的集合。
什么是复数
实数与虚数
复数由实部和虚部组成，形如a+bi。
虚数单位
虚数单位 i 是一个特殊的数，满足 i² = -1。
复数的表示方法
直角坐标形式
用复平面中的点表示复数，实部表示 x 坐标，虚部 表示 y 坐标。
极坐标形式
用模和幅角表示复数，模表示向原点距离，幅角表 示与正实轴的夹角。
分形图形
复数可以表示分形图形如Mandelbrot集合。
旋转变换
复数可以通过乘法实现二维旋转变换。
常见的复数方程
1 一次方程
形如a+bi=c，求出复数的解。
2 二次方程
形如a+bi=0，利用求根公式计算解。
结论和要点
复数的基本概念
复数由实部和虚部组成，可以用不同的表示方法。
复数的运算规则
加减乘除应用相应规则来计算。
复数的四则运算
1
加法和减法
复数的实部和虚部分别相加或相减。
乘法
2
将复数按照分配律相乘，并应用 i² = -1
进行合并。
3
行 简化。
共轭复数和复数模
共轭复数
共轭复数将虚部的符号取反，实部保持不变。
复数模
复数的模是复平面中与原点的距离，可用勾股 定理求得。
复数在几何中的应用
复数的几种表示形式的转换及计算 ppt课件
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
单位：rad/s（弧度/秒）
T
ppt课件
10
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
由
于
主
值arctan（b）〔
，
〕，
若
O
实部为负
数
，
a
22
则arctan（b）
a
才是正确的p辐pt课角件 。
F
a
+1
2
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
3．三角形式： F F（cos jsin）
4．指数形式：
由欧拉公式： e j cos jsin
F F e j
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
ppt课件
4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
2
F1
O
1
+1
复数的乘法
ppt课件
6
3．除法运算：
①代数形式：
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
（（aa21
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
单位：rad/s（弧度/秒）
T
ppt课件
10
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
由
于
主
值arctan（b）〔
，
〕，
若
O
实部为负
数
，
a
22
则arctan（b）
a
才是正确的p辐pt课角件 。
F
a
+1
2
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
3．三角形式： F F（cos jsin）
4．指数形式：
由欧拉公式： e j cos jsin
F F e j
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
ppt课件
4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
2
F1
O
1
+1
复数的乘法
ppt课件
6
3．除法运算：
①代数形式：
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
（（aa21
复数的几何表示ppt课件
指数表示式为
z
3 i
e10 .
内容小结
1.复数的模、辐角、幅角主值; 2.复数的各种表示法.
各种表示法可相互转化,
思考题
1.是否任意复数都有辐角?
它的模为零而辐角不确定.
作业
习题一: 1(2)(4)、2、4(1)(6) 7,8(3)(4)(5)
例4 将通过两点z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直 线用复数形式的方程来表示.
2.用复平面上的向量表示复数
向量 OP与复数 z 一x 一iy对应，故用它表示复数.
y
P
z x iy
z
o
x
注意： 复数 z，点 z，向量 z 可视为同一个概念。
y
z 与 z 在复平面上关于实轴对称. y r
z x yi
O
x
x
z x yi
二、复数的模和幅角
复数z 的模：向量 OP的长度， 记作
由于z 位于第三象限，
arg z arctan ( 1 ) π 3
arctan
1 3
π .
y
3
x
1
arctan y
x
arctan y
x
arctan y x
arctan y x
例2 证明复平面上的三角不等式
(1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
证 两复数的加减运算满足向量的平行四边形法则，
6
6
5π i
z 4e 6 . 习惯上取主辐角
例5 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
z sin i cos ;
5
5
解 r z 1,
sin
复数的几何意义ppt课件(公开课)
阻抗
在交流电路中，电阻、电 感和电容的阻抗可用复数 表示，实部表示电阻，虚 部表示电感和电容。
频域分析
通过傅里叶变换将时域信 号转换为频域信号，频域 信号可用复数表示。
振动与波动的复数描述
简谐振动
简谐振动的位移、速度和加速度可用复数表示，方便进行振幅、 频率和相位的计算。
波的叠加
多个波叠加时，可用复数表示各波的振幅和相位，便于计算合成 波的振幅和相位。
复数的运算与几何意
04
义
复数的加法与减法
01
02
03
加法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$。
减法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i$。
复数的几何意义ppt课 件(公开课)
目录
• 引言 • 复数的表示方法 • 复数的几何解释 • 复数的运算与几何意义 • 复数在几何中的应用 • 复数在其他领域的应用
引言
01
复数的基本概念
01
02
03
04
定义
复数是形如 $a + bi$ 的数， 其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
实部和虚部
在复数 $a + bi$ 中，$a$ 称 为实部，$b$ 称为虚部。
共轭复数
若 $z = a + bi$，则其共轭复 数为 $a - bi$。
模
1、复数的概念与坐标表示
第一讲——复数的概念与坐标表示知识要点1．复数的概念形如(,)+∈a bi a b R 的数叫做复数，用字母z 表示，即(,)=+∈z a bi a b R 。
其中a 叫做复数z 的实部，记作Re z ，b 叫做复数z 的虚部，记作Im z ，i 叫做虚数单位，规定：21=-i 。
（1）对于复数=+z a bi ，如果没有特殊说明，则有,∈a b R ；（2）=+z a bi 是复数的代数形式，并规定：00,0i bi bi ⋅=+=；（3）复数=+z a bi , 当0=b 时，复数=z a 是实数；当0≠b 时，z 叫做虚数；当0=a 且0≠b 时，z 叫做纯虚数；当且仅当0==a b 时，0=z 。
（4）复数全体所组成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
复数(,) z a bi a b R =+∈00b b =⎧⎨≠⎩（）（）实数虚数 口答：1、下列复数：0，13i -，13i -，3-，6i 中，实数是__________，虚数是__________，纯虚数是___________，实部与虚部都是0的复数是___________。
答：实数：0，3-；虚数：13i -，13i -，6i ；纯虚数：13i -，6i ；实部与虚部都是0的复数：0。
2．两个复数相等如果两个复数1(,)=+∈z a bi a b R 和2(,)=+∈z c di c d R 的实部与虚部分别相等，即=a c 且=b d ，那么这两个复数相等，记作+=+a bi c di 。
两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等，即： +=+a bi c di ()()0⇔-+-=a c b d i 00-=⎧⇔⎨-=⎩a c b d =⎧⇔⎨=⎩a c b d3．复平面建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面（如图所示），在这里x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0。
新人教版高中数学必修第二册复数全套PPT课件
C．－3i
D．3
解析：由复数的几何意义可知
―→ OZ
对应的复数为
－3i.故选C.
答案：C
3．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1
B．a≠2或a≠－1
C．a＝2或a＝0
D．a＝0
解析：由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或2.故选C.
答案：C
4．若复数a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，则
∴x22x－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11， 或xy＝＝－－11.， (2)设方程的实数根为x＝m， 则3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
解得a＝11或a＝－751.
复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等， 虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题， 为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思 想的体现． (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能 比较大小的．
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：易知①正确，②③错误，故选A.
答案：A
()
2．在2＋
7
，
2 7
i,8＋5i，(1－
3 )i,0.68这几个数中，纯虚数的
个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由纯虚数的定义可知27i, (1－ 3)i是纯虚数．故选C.
答案：C
[思考发现]
1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为
复数的几何意义(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得.
3.一个向量不管怎么平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复
数可能改变.
3.已知复数 2 + − 2 + ( 2 − 3 + 2)( ∈ )是4 − 20的共轭复数，求的值.
2
解：由题意得，4 − 20的共轭复数为，则 2 + − 2 = 4，
或不等式(组)求解.
2.(1)向量1 对应的复数是5 − 4，向量2 对应的复数是−5 + 4，则1 + 2 对
应的复数是（ ）.
A.−10 + 8
B.10 − 8
C.0
D.10 + 8
答案：C.
(1)由复数的几何意义，得1 = (5, −4)，2 = (−5,4)，
数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系
复数 = +
(, ).
这是复数的一种几何意义.
一一对应
复平面内的点
思考2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，
l
而有序实数对与复数是一一对应的.你能用平面向量来表示复数吗？
如图，设复平面内的点表示复数，连接，显然向量由点唯一确定；反过来，点
即|| = | + | = 2 + 2 ，其中， ∈ .
如果 = 0，那么 = + 是一个实数，它的模就等于||(的绝对值).
例2 设复数z1＝4＋3i，z2＝4－3i.
(1) 在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量；
(2) 求复数z1，z2的模，并比较它们的模大小.
答案：D.
(2)由复数的几何意义，得 = (2, −3)， = (−3,2)，
复数的几何意义课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
高中数学 必修第二册 RJ·A
典例剖析
一、 复数与复平面内的点对应
例1 已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a的值(或取值范围). (1)Z在实轴上；
解 因为z＝(a2－4)＋(2a－3)i， 所以复数z在复平面内对应的点Z的坐标为(a2－4,2a－3). 若点Z在实轴上，则有2a－3＝0， 解得 a＝32.
∴复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限.
高中数学 必修第二册 RJ·A
→ 3.在复平面内，O 为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点 A 关于直线
→ y＝－x 的对称点为 B，则向量OB对应的复数为
A.－2－i C.1＋2i
B.－2＋i D.－1＋2i
B解析 ∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)， →
高中数学 必修第二册 RJ·A
(2)若复数z＝(m＋1)＋(m－2)i，其中m∈R，则复数z对应的点不可能位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B解析 复数z对应的点为(m＋1，m－2).因为m＋1>m－2， 所以点(m＋1，m－2)不可能位于第二象限.
高中数学 必修第二册 RJ·A
0＋2 x0＝32， 若设 D(x0，y0)，则有
－32＋y0＝2，
x0＝3，
解得
故 D(3,7).
y0＝7，
→
→
→
方法二 由已知得OA＝(1,4)，OB＝(0，－3)，OC＝(2,0)，
→
→
所以BA＝(1,7)，BC＝(2,3)，
→→→
→
由平行四边形的性质得BD＝BA＋BC＝(3,10)，而OB＝(0，－3)，于是 D(3,7).
第03讲 复数(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
2 + 2 = 4
所以
，解得 = 1, = ± 3，
− 2 2 + 2 = 4
当 = 1, = 3时， = 1 + 3i，
故 2 = 1 + 3i
2
= 1 + 2 3i + 3i2 = −2 + 2 3i，
3 = −2 + 2 3i 1 + 3i = −2 + 6i2 = −8；
3
A． 2
3
1
B． 2 i C．− 2 D．−
3 − i = 2i，其中为虚数单位，则的虚部为（ A ）
3
2
【解题方法总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括
实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和
虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
【例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数 =
+
−
+
பைடு நூலகம்(
+
+
≠ )
题型三：复数的几何意义
3−i
【例3】（2023·河南郑州·三模）复平面内，复数1+i2023对应的点位于（
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
3−i
3−i
3−i
(3−i)(1+i)
【解析】由题得1+i2023 = 1+i3 = 1−i = (1−i)(1+i) = 2 + i，
别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出
发点．
所以
，解得 = 1, = ± 3，
− 2 2 + 2 = 4
当 = 1, = 3时， = 1 + 3i，
故 2 = 1 + 3i
2
= 1 + 2 3i + 3i2 = −2 + 2 3i，
3 = −2 + 2 3i 1 + 3i = −2 + 6i2 = −8；
3
A． 2
3
1
B． 2 i C．− 2 D．−
3 − i = 2i，其中为虚数单位，则的虚部为（ A ）
3
2
【解题方法总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括
实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和
虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
【例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数 =
+
−
+
பைடு நூலகம்(
+
+
≠ )
题型三：复数的几何意义
3−i
【例3】（2023·河南郑州·三模）复平面内，复数1+i2023对应的点位于（
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
3−i
3−i
3−i
(3−i)(1+i)
【解析】由题得1+i2023 = 1+i3 = 1−i = (1−i)(1+i) = 2 + i，
别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出
发点．
复数的坐标表示ppt课件
(1) | z | 2 (2) 2 | z | 3
解:根据复数模的几何意义可知
(1)表示以原点为圆心,以2为半径的圆;
(2)等价于
| |
z z
| |
3 2
y
表示以原点为圆心, 以2和3为半径的两圆
O 2 3x
所夹的圆环,含圆环的边界.
8
课堂练习
1.已知复数 z a bi, a,b {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9}
半轴为始边、以OZ所在射线
为终边的角.
因为 a r cos ,b r sin
b
Z : a bi
r
O
a
x
所以复数 z a bi, a,b R还可以用 r, 表示为
z r(cos i sin )
这个表达式叫做复数的三角形式,其中 叫做
复数的辐角,0的辐角是任意的.
11
y
b
r
Z : a bi
O
a
x
复数z的模(或绝对值):即向量OZ 的模, 记作| z |或| a bi | ,计算公式为:
| z || a bi | r a2 b2 0
注意到若 b 0 ,则 | z || a |(实数 a的绝对值)
几何意义 复数所对应的点到原点的距离
6
例2.计算下列复数的模:
9
课堂练习答案 1.(1)10个;(2)10个.
2. 2 m 4 3. | z1 |1,| z2 | 22
4.如右图(含边界).
y 2 O 2 3 x
10
(选讲)四、复数的辐角与三角形式
复数 z a bi, a,b R所对应的 y
点为 Z (a,b)
设 r | OZ | ,是以 x 轴的非负
《基础数学(第3册)》教学课件 第10章 复数
概述
数的概念从人类的社会实践中 产生，又随着社会生产力的进步 和数学自身的发展不断得到补充 和完善．从自然数集、整数பைடு நூலகம்、 有理数集到实数集，每一次数的 概念的发展，新的数集都是在原 有数集的基础上“添加”了一种 新的数得来的．复数集的引入实 现了中学阶段数系的最后一次扩 充．
目录
01 02 03 04
2i的实部是0，虚部是 2 其中，2，0是实数；-0.1i，1+3i，1 3i ， 2i 是虚数；-0.1i， 2i 是纯虚数．
10.1 复数的概念及几何表示
10.1.1 复数的概念
例2 已知 (2x y) (x 2 y)i 5 i ，其中 x ，y R ，求x与y．
解 由复数相等的定义，得
特别地，
a bi c di a c ，b d ．
a bi 0 a b 0 ．
10.1 复数的概念及几何表示
10.1.1 复数的概念
有下列两组数： （1）z1=1+i与z2=1-i； （2）z1=-1+2i与z2=-1-2i； 观察上述数可以发现，它们的实部相等，虚部互为相反数． 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，则称这两个数互为共轭复 数．复数z的共轭复数 z 用来表示，即z=a+bi的共轭复数为z a bi
10.1.2 复数的几何表示
例6 求下列复数的模，并比较这些模的大小：
z1 2 3i
z2 1 3i
z3 2 i
解 如图所示，2+3i用点A(2，3)表 示；-2i用点B(0，-2)表示；3用点 C(3，0)来表示；0用点O(0，0)表 示．
10.1 复数的概念及几何表示
10.1.2 复数的几何表示
例5 在复平面内，作出表示下列复数的向量： 2+2i，-3-2i，-4，2i，2-2i．
数的概念从人类的社会实践中 产生，又随着社会生产力的进步 和数学自身的发展不断得到补充 和完善．从自然数集、整数பைடு நூலகம்、 有理数集到实数集，每一次数的 概念的发展，新的数集都是在原 有数集的基础上“添加”了一种 新的数得来的．复数集的引入实 现了中学阶段数系的最后一次扩 充．
目录
01 02 03 04
2i的实部是0，虚部是 2 其中，2，0是实数；-0.1i，1+3i，1 3i ， 2i 是虚数；-0.1i， 2i 是纯虚数．
10.1 复数的概念及几何表示
10.1.1 复数的概念
例2 已知 (2x y) (x 2 y)i 5 i ，其中 x ，y R ，求x与y．
解 由复数相等的定义，得
特别地，
a bi c di a c ，b d ．
a bi 0 a b 0 ．
10.1 复数的概念及几何表示
10.1.1 复数的概念
有下列两组数： （1）z1=1+i与z2=1-i； （2）z1=-1+2i与z2=-1-2i； 观察上述数可以发现，它们的实部相等，虚部互为相反数． 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，则称这两个数互为共轭复 数．复数z的共轭复数 z 用来表示，即z=a+bi的共轭复数为z a bi
10.1.2 复数的几何表示
例6 求下列复数的模，并比较这些模的大小：
z1 2 3i
z2 1 3i
z3 2 i
解 如图所示，2+3i用点A(2，3)表 示；-2i用点B(0，-2)表示；3用点 C(3，0)来表示；0用点O(0，0)表 示．
10.1 复数的概念及几何表示
10.1.2 复数的几何表示
例5 在复平面内，作出表示下列复数的向量： 2+2i，-3-2i，-4，2i，2-2i．
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x轴叫实轴，y轴叫虚轴 表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上
原点表示实数0。
复数集中的元素和复平面上所有的点所组成的集合中的元
素是一一对应的
复数的坐标表示
2
二、复数的向量表示
Z ab i 1 1对 应 有序(a,实 b ) 1 1 数 对 应 z对 OZ
复数集C中的元素与复平面上以原点为始点的向量一一对应 规定 1、实数0与零向量对应 2、复数Z=a+bi(a,b∈R)看作点Z(a,b)或看作向量 O Z 3、相等的向量表示同一个复数。
O2 4 x
复数Z所对应的点Z组成的集合是以原点 O为圆心，分别以2和4为半径的两个圆 围成的圆环（包括边界）
复数Z=a+bi(a,b∈R)的模与表示向量O Z 的模一致，
所以复数的模也可以说成是其对应向量的模
复数的坐标表示
7
例4、求下列复数的模：
(1)Z 1 3 4i
1 (2)Z 2 2 2i
( 3 ) Z 3 cos 15 0 i sin 15 0
(4)Z
4
(t
1 ) t
28
例5、根据条件，在复平面内，画出Z=x+yi(x,y∈R)对 应的点Z所表示的图形
(1) | Z | 1 (2)2 ReZ 4 (3) | Z | 3,ImZ 0
复数的坐标表示
9
复数的坐标表示
3
例1、已知集合A={n|n≤9，n∈N} (1)若一个复数的实部与虚部都是集合A的元素，则可得 多少个不同的复数，并在复平面上作出。 (2)在(1)中的复数中，有多少个虚数？多少个纯虚数？
例2、在复平面内作出表示下列复数的向量 Z1=2+2i Z2=-3-2i Z3=2i Z4=-4 Z5=-2-2i
复数的坐标表示
4
例3、设复数Z=3a-1+(a-2)i(a∈R)， （1）求a为何值时，表示复数Z的点Z在第二、三象限？ （2）a为何值时，点Z在实轴上,虚轴上？ （3）能否在原点？
复数的坐标表示
5
三、复数的模
1、定义：复数Z=a+bi(a,b∈R）所对应的点Z(a,b)到坐标 原点的距离叫复数Z的模（或绝对值），记作|Z|
|Z||ab| i a2b2
特别：
1、b=0,Z=a+bi(a,b∈R)是实数a，它的模于|a| (即实数a的绝对值）
2、Z=0时，|Z|=0.
复数的坐标表示
6
2、模的几何意义：在复平面内表示Z的点到原点的距离。
|Z|=4
y
复数Z所对应的点Z到原点的距离等于4
即以原点为圆心，以4为半径的圆 2＜|Z|≤4
复数的坐标表示
复数的坐标表示
1
一、复平面
1.Zab(ia,bR) 11对 应有序实 (a,b)数
有序实(a数 ,b) 对 11对 应 平面直角坐Z标 (a,b)系
可用平面直角坐标系内点Z(a,b)来表示复数Z=a+bi(a,b∈R)
也可用复数Z=a+bi来描述平面直角坐标系内点Z(a,b) 2.复平面：建立了直角坐标系用来表示复数的平面。
原点表示实数0。
复数集中的元素和复平面上所有的点所组成的集合中的元
素是一一对应的
复数的坐标表示
2
二、复数的向量表示
Z ab i 1 1对 应 有序(a,实 b ) 1 1 数 对 应 z对 OZ
复数集C中的元素与复平面上以原点为始点的向量一一对应 规定 1、实数0与零向量对应 2、复数Z=a+bi(a,b∈R)看作点Z(a,b)或看作向量 O Z 3、相等的向量表示同一个复数。
O2 4 x
复数Z所对应的点Z组成的集合是以原点 O为圆心，分别以2和4为半径的两个圆 围成的圆环（包括边界）
复数Z=a+bi(a,b∈R)的模与表示向量O Z 的模一致，
所以复数的模也可以说成是其对应向量的模
复数的坐标表示
7
例4、求下列复数的模：
(1)Z 1 3 4i
1 (2)Z 2 2 2i
( 3 ) Z 3 cos 15 0 i sin 15 0
(4)Z
4
(t
1 ) t
28
例5、根据条件，在复平面内，画出Z=x+yi(x,y∈R)对 应的点Z所表示的图形
(1) | Z | 1 (2)2 ReZ 4 (3) | Z | 3,ImZ 0
复数的坐标表示
9
复数的坐标表示
3
例1、已知集合A={n|n≤9，n∈N} (1)若一个复数的实部与虚部都是集合A的元素，则可得 多少个不同的复数，并在复平面上作出。 (2)在(1)中的复数中，有多少个虚数？多少个纯虚数？
例2、在复平面内作出表示下列复数的向量 Z1=2+2i Z2=-3-2i Z3=2i Z4=-4 Z5=-2-2i
复数的坐标表示
4
例3、设复数Z=3a-1+(a-2)i(a∈R)， （1）求a为何值时，表示复数Z的点Z在第二、三象限？ （2）a为何值时，点Z在实轴上,虚轴上？ （3）能否在原点？
复数的坐标表示
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三、复数的模
1、定义：复数Z=a+bi(a,b∈R）所对应的点Z(a,b)到坐标 原点的距离叫复数Z的模（或绝对值），记作|Z|
|Z||ab| i a2b2
特别：
1、b=0,Z=a+bi(a,b∈R)是实数a，它的模于|a| (即实数a的绝对值）
2、Z=0时，|Z|=0.
复数的坐标表示
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2、模的几何意义：在复平面内表示Z的点到原点的距离。
|Z|=4
y
复数Z所对应的点Z到原点的距离等于4
即以原点为圆心，以4为半径的圆 2＜|Z|≤4
复数的坐标表示
复数的坐标表示
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一、复平面
1.Zab(ia,bR) 11对 应有序实 (a,b)数
有序实(a数 ,b) 对 11对 应 平面直角坐Z标 (a,b)系
可用平面直角坐标系内点Z(a,b)来表示复数Z=a+bi(a,b∈R)
也可用复数Z=a+bi来描述平面直角坐标系内点Z(a,b) 2.复平面：建立了直角坐标系用来表示复数的平面。