13.2 复数的坐标表示(含答案)

3 2
Z4
O
2
x
Z5
2
3. 复数的模
复数 z a bi 所对应的点 Z a, b 到坐标原点的距离
叫做 复数 z 的模（或绝对值），记作 z .
y
由复数模的定义：z a2 b2 z 0
注：当 b 0时，复数 z a bi是一个实数a， b
Z：a bi
它的模等于 a 即实数a的绝对值 .
思考 若 a b 呢,复数 z a bi 共有多少个？
10 9 90 个
2.复数的向量表示
y
平面直角坐标系内点 Z a,b
一一对应
b
uuur
位置向量OZ a,b
O
Z：a bi
Hale Waihona Puke ax所以一个复数 z a bi
一一对应
位置向量
uuur OZ
a,
b
uuur
即，我们可以用向量 OZ a,b 表示复数 z a bi
解：
t2 2t 0
t 1 2t 1
0
1 t2 2
uuur
复数 z 对应的点 Z 到原点的距离等于4, 即 OZ 4
满足 z 4的复数 z 对应的点 Z
y
所组成的集合(轨迹）： 是以原点为圆心，半径为4的圆.
Z：x yi 4
或设z x yi x, y R
O
4x
z x2 y2 4 即 x2 y2 16
同理，满足 2 z 4 的复数 z 对应的点Z所组成的集合：
复数的坐标表示方法
➢ x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 y
➢ 表示实数的点都在x 轴上，
表示纯虚数的点都在y轴上. b
Z：a b i
➢ 原点表示实数 0

拓展提升
9.在平面直角坐标系中，规定把一 个正方形先沿着x轴翻折，再向右 平移2个单位称为1次变换．如图， 已知正方形ABCD的顶点A、B的坐 标分别是（-1，-1）、（-3，-1）， 把正方形ABCD经过连续7次这样的 变换得到正方形A′B′C′D′，求B的 对应点B′的坐标.
解：∵正方形ABCD，点A、B的坐标分别是(-1，-1)、(-3，-1)， ∴根据题意，得第1次变换后的点B的对应点的坐标为(-3+2，1)， 即(-1，1)， 第2次变换后的点B的对应点的坐标为(-1+2，-1)，即(1，-1)， 第3次变换后的点B的对应点的坐标为(1+2，1)，即(3，1)， 第n次变换后的点B的对应点的为：当n为奇数时为(2n-3，1)，当 n为偶数时为(2n-3，-1)， ∴把正方形ABCD经过连续7次这样的变换得到正方形A′B′C′D′， 则点B的对应点B′的坐标是(11，1)．
解得a＝－8，b＝－5；
称的点的特征列方
(2)∵A、B关于y轴对称，
程(组)求解．
∴2a－b＋2b－1＝0，5＋a＝－a＋b，
解得a＝－1，b＝3，
∴(4a＋b)2016＝1.
例3 已知点P(a＋1，2a－1)关于x轴的对称点在第一
象限，求a的取值范围．
解：依题意得P点在第四象限，
a+1＞0 2a 1＜0.
（简称：纵轴纵相等） 练一练: 1.点P(-5, 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为 __(_5_,__6_)___. 2.点M(a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称，则a=__2___, b =__-_5__.
例1 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),

例5.（1）满足|z|= 5(z∈C)的 复数z对应的点在复平面上将 构成怎样的图形？ 设z = x+yi(x、y∈R)
| z | x 2 y 2 5
5
y
–5 O
5 x
x 2 y 2 25
图形: 以原点为圆心,5为半径的圆上
–5
五、模的几何意义
例5.（2）满足 3<|z|<5
(z∈C)的复数z对应的点在复平 5
四、复数的模
例4.求证：下列四个复数在复平面内对应的点 在同一个圆上. 2 2 z1 1 ，z2 i，z3 cos15 sin 15i，z4 i 2 2 2 2 证明： OZ1 1 0 1
OZ 2
Hale Waihona Puke 0 1 12 2
OZ 3
cos 15 sin 15 1
(1) | Z | 1
( 2)2 Re Z 4 ( 3) | Z | 3, Im Z 0
五、模的几何意义
例7、复数Z ( x 1) 2xi, 且满足 | Z | 2, (1)求实数x的取值范围; (2)求 | Z | 的最小值.
六、课堂小结
1.复数的坐标表示；
2.复数的向量表示； 3.复数的模；
y
面上将构成怎样的图形？
设z = x+yi(x、y∈R)
3 x2 y2 5
3
O
5
–5 –3
3
5 x
9 x 2 y 2 25
–3
–5
图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内
五、模的几何意义
例6、根据条件，在复平面内，画出Z=x+yi,(x,y∈R)对应 的点Z所表示的图形.

-实际应用：将轴对称的知识应用于解决实际问题，培养学生的实际操作能力和应用意识。
举例：在讲解轴对称的定义时，可以通过折纸等实际操作，让学生直观感受轴对称图形的特点。在坐标表示方面，可以结合具体图形，如矩形、正方形等，让学生学会如何找到对称轴并给出其坐标方程。
2.教学难点
-对称轴的确定：对于一些复杂的轴对称图形，如何准确地找到对称轴是学生学习的难点。
6.引导学生感悟数学的对称美，培养审美情趣和创新义：轴对称图形的基本概念是本节课的核心，教师需通过生动的实例，使学生理解轴对称图形的特征，明确对称轴在图形中的关键作用。
-掌握坐标表示轴对称的方法：教会学生如何利用坐标表示轴对称图形，以及如何通过坐标关系找到对称轴，这是本节课的重点。
在实践活动中，学生分组讨论的环节比较活跃，他们能够提出一些很有见地的观点。不过，我也观察到有些小组在讨论时，个别成员参与度不高，我适时地给予了鼓励和指导，让他们都能融入到讨论中来。
小组讨论后，学生们的成果展示让我感到惊喜。他们不仅能够理解轴对称在实际生活中的应用，还能创造性地设计出一些具有轴对称特点的图案。这一点说明学生们已经能够将所学知识内化并运用到实际中。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了轴对称的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对轴对称的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中，我发现学生们对轴对称的概念和坐标表示的理解程度参差不齐。我尝试通过引入日常生活中的实例来激发他们的兴趣，比如折纸和设计图案，这样做的效果还不错，大部分学生都能积极参与进来。

2
z1 cos15 i sin15 , z2 | 2 3i | 3i 4.设 z C 且 | z | 3,| Re z | 2 ,在复平面内, 复数 z 对应的点 Z 的集合是什么图形?
0
课堂练习答案
1.(1)10个;(2)10个. 2. 2 m 4 3. | z1 | 1,| z2 | 22 4.如右图(含边界).
例1.(1)在复平面内,描出下列复数的点：
2 5i, 4 i, 2 4i,5, 3i (2)写出向量OA, OB, OC, OD, AB 所表示的复数
解: (1)如图红点 (2) OA 3
y
OB 3 2 i OC 3 3i O
A
x
C
D
复数 z的模(或绝对值):即向量OZ 的模, 记作 | z | 或 | a bi | ,计算公式为:
三、复数的模 复数 z a bi,(a, b R) 直角坐标系中的点 Z ( a, b) 平面向量 OZ
y
b
Z : a bi
r
O
a
x
| z || a bi | r a b 0
2 O
2
y
3 x
(选讲)四、复数的辐角与三角形式 复数 z a bi, a, b R 所对应的 y Z : a bi 点为 Z ( a, b ) b r 设 r | OZ | , 是以 x 轴的非负 半轴为始边、以 OZ 所在射线 a x O 为终边的角. 因为 a r cos , b r sin 所以复数 z a bi, a, b R还可以用 r , 表示为
二、复数的几何意义II 复数 z a bi,(a, b R) 直角坐标系中的点 Z (a, b)

x
yபைடு நூலகம்
o
x轴------实轴 y轴------虚轴
例1.辨析： 1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。
产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大充实。
从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？ 自然数集 整数集 有理数集 实数集
我们可以用下面一组方程来形象地说明
数系的发展变化过程：
（1）在自然数集中求方程 x+1＝0的解？ （2）在整数集中求方程 2x+1＝0的解？ （3）在有理数集中求方程 x2-2＝0的解？ （4）在实数集中求方程 x2+1＝0的解？
证明：若复数所对应的点位于第四象限， m 2 m 6 0 m 3或m 2 则 2 即 m m 2 0 2 m 1
不等式解集为空集
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
小结
复数的几何意义（二）
复数z=a+bi
一一对应 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b)
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。
3 m 2 m 2 m 6 0 得 解：由 2 m 2 或 m 1 m m 2 0
m (3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
回 忆

例5：如题图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分 别为A(－4，1)，B(－1，－1)，C(－3，3)． (1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′； (2)作出△ABC关于x轴对称的图形△A″B″C″.
（1）如答图所示. （2）如答图所示.
课堂小结
1.在平面直角坐标系中，一个点关于x轴或y轴的对称点的坐标有 什么规律？如何判断两个点是否关于x轴或y轴对称？
自主探究
1.请同学们完成课本69页表格和图13.2-4
如图.
思考以下问题： （1）关于x轴对称的点的坐标与已知点的坐标有怎样的关系？再找 几个点，分别画出它们关于x轴的对称点，还符合上述规律吗？
（横坐标相等，纵坐标互为相反数；画图略；符合） （2）关于y轴对称的点的坐标与已知点的坐标有怎样的关系？再找 几个点，分别画出它们关于y轴的对称点，还符合上述规律吗？
(5；1；2；1；2；5；5；4.与四边形 ABCD关于x轴对称的图形如图(四边形 A″B″C″D″)
小组讨论
1.已知点P(2a＋b，－3a)与点P′(8，b＋2)． (1)若点P与点P′关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点P与点P′关于y轴对称，求a，b的值．
(1)a＝2，b＝4. (2)a＝6，b＝－20
【题型二】坐标与图形变化 例4：如图，平面直角坐标系中有四盏相同的灯笼．已知A，B，C，D 的坐标分别是(－1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一 盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是( C ) A．将B向左平移4.5个单位长度 B．将C向左平移4个单位长度 C．将D向左平移5.5个单位长度 D．将C向左平移3.5个单位长度
（横坐标互为相反数，纵坐标相等；画图略；符合）

O A X
a (a 0) | a | = | OA | a(a 0)
z=a+bi Z (a,b)
O
x
2
| z | = |OZ| a b
2
能否把绝对值概念推广到复数范围呢？
复数的模
说明： （1） z 0 ，当且仅当 z 0 时 z 0 ； （2）复数 z 的模表示复数 z a bi a, b R 所对应的点 Z a , b 到原点的距离．
例题讲解
例 5、设 Z C ，满足条件 2 | Z | 4 的点 z 的集合 是什么图形？
的元素是一一对应的， z a bi Z (a, b) ；
一一对应
③复数 z a bi 中 z 的书写是用小写字母，复平面内点
Z (a, b) 中 Z 的书写是用大写字母．
实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义: 实数a在数轴上所 复数 z=a+bi在复 对 应的点 A到原点 O 平面上对应的点Z(a,b) 的距离。 到原点的距离。 a y
例 2、已知集合 A 0,1, 2, ,8,9 ，设复数 z a bi ，
a、b 可以取集合 A 中的任意一个整数．
求： （1）复数 z a bi 共有多少个？
（2）复数 z a bi 共有多少个实数？
（3）复数 z a bi 共有多少个纯虚数？
（4）复数 z a bi 的模等于 1 共有多少个？
例题讲解
例 1、说出下列复数的实部、虚部，并出它们的模： （1） z 5i ； （3） z 5 5i ； （2） z 3 4i ； (4) z cos i sin
（5） z 1 mi(m R) ；（6） z 4a 3ai(a 0) ．

复数的坐标表示1、复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数bi a z +=（,a b R ∈），都可以由一个有序实数对(,)a b 唯一确定。

由于有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做 实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的复数为000i +=.在复平面内的原点(0,0)表示实数0；实轴上的点(2,0)表示实数2；虚轴上的点(0,1)-表示纯虚数－i ；虚轴上的点(0,5)表示纯虚数5i ；一般的虚数对应的点在四个象限内，如复数23i -对应的点为(2,3)-在第四象限.2、复数与点、向量之间的对应关系： 复数z a bi =+（,a b R ∈）←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b←−−−→一一对应复平面内的向量OZ3、复数的模(绝对值)与复数z 对应的向量OZ 的模r 叫做复数bi a z +=的模(也叫绝对值)记作z . 由模的定义可知：),0(22R r r b a r bi a z ∈≥+==+=复数和向量进行类比推理：（表中,,,,,a b c d x y R ∈）z z 表示原点(0,0)O 到(,)Z x y 的距离. 12z z -表示复数12,z z 对应的点12,Z Z 之间的距离.例如：4z =表示复数z 对应的点所组成的集合是“以原点为圆心，以4为半径的圆” 类似：(23)4z i -+=表示复数z 对应的点的集合是“以(2,3)为圆心，以4为半径的圆”；12z z i -=+表示复数z 对应的点的集合是“以(1,0)、(0,2)-为端点的线段的中垂线” 【例题讲解】1、（1）复数3z i =-对应的点在第 象限；（2）复数(3)(2)i m i +-+对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是 （3）设222log (33)log (3)z m m i m =--+-（m R ∈），若z 对应的点在直线210x y -+=上,则m 的值是 .2、（2）“满足2z i z i -++=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆”是否正确？（3）已知复数),(R y x yi x z ∈+=，且111zx =的点在复平面上所表示的曲线是（ ）A ．直线B ． 圆C ． 椭圆D ．抛物线3、（1）复数cos sin z i =+θθ（(0,2)θπ∈）在复平面上所对应的点的轨迹是 （2）若（1）中条件改为[0,]θπ∈，则复数z 对应的点的轨迹是4、（1）已知复数12312,1,34z i z i z i =-+=-=-，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C ,若(.)O C O A O B R λμλμ=+∈，则λμ+的值是___________.（2）已知复数123,,z z z 满足12121z z z z ==-=，则12z z +=5、（1）已知121,32z i z i =+=-，求12z z -；（2）已知11,12,3z C z i z z ∈=+-=，求z 对应的点Z 的轨迹方程；变题：已知z C ∈，112z i =+，12z z -≤，则z 对应的点Z 的轨迹是 （3）已知12,23,12z C z i z i ∈=+=+且12z z z z -=-，求z 对应的点Z 的轨迹方程6、若z C ∈,且221z i +-=，则22z i --的最小值是变题：已知1,z =求6z i z ++-的最小值及取到最小值时的z【同步精练】1、O 为复平面中坐标原点，O A对应的复数为13i -，将A 点向右平移3个单位，再向上平移1个单位后对应点为B ，则OB对应的复数为2、已知复习11z i =-，235z i =-+分别和复平面上的点,A B 对应，则（1）写出向量AB和BA 对应的复数；（2）求,A B 两点之间的距离.3、复数1212,,z z z z +分别表示点，,,A B C 为原点，且1212z z z z +=-，则四边形O A C B 的形状是__ _；4、在复平面上复数32i --，45i -+，2i +所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形A B C D 的对角线B D 所对应的复数是5、已知集合{}P z z i z i =+=-，{}11Q z z =+=，则P Q =6、若复数z 满足4z i z i -++=，则z 在复平面内对应的点Z 的轨迹是7、若复数z 满足221z z +--=，则z 在复平面内对应的点Z 的轨迹是8、若22,z z i z -=-=z =9、已知复数z 满足21z -=，求z 的取值范围.10、已知复数z 满足12z i z i --=++，求z 的取值范围.11、求使12log 434x i i -≥+成立的x 的取值范围.。

第2课时用坐标表示轴对称●情景导入十一黄金周，北京吸引了许多游客．一天，小红在天安门广场玩，一位外国友人问小红西直门的位置，可小红只知道东直门的位置，不过，小红想了想，就准确地告诉了他．你知道为什么吗？如图是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的．如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，各个地点的地理位置就可以用坐标表示出来．提问：根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？对称点的坐标与已知点的坐标有怎样的关系？这节课将学习用坐标表示轴对称．【教学与建议】教学：以老北京地图为例引入新课，让学生感受到用坐标描述对称的重要性．建议：在教学时，先出示老北京地图，让学生进行观察，感受各个位置之间的关系，然后建立平面直角坐标系．●归纳导入 1.如图①：(1)图中两个圆脸有什么关系？(2)已知右边圆脸上右眼的坐标为B(4，3)，左眼的坐标为A(2，3)，嘴角两个端点的坐标分别为C(4，1)，D(2，1).你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼、右眼及嘴角两端点的坐标吗？图①图②2．在平面直角坐标系中，将坐标分别为(2，2)，(4，2)，(4，4)，(2，4)的点用线段依次连接起来形成一个图案(如图②)．(1)将各个点的纵坐标不变，横坐标分别乘－1，再将所得的各个点用线段依次连接起来，所得的图案与原图案相比有何变化？(2)将各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘－1，再将所得的各个点用线段依次连接起来，所得的图案与原图案相比有何变化？如图②，师生共同归纳：(1)将各个点的纵坐标不变，横坐标乘－1，得到相应的四个点分别为A1(－2，2)，B1(－4，2)，C1(－4，4)，D1(－2，4).顺次连接各点所得到的图案和原图案比较．归纳：它们是关于__y轴__对称的，且横坐标__互为相反数__，纵坐标__不变__．(2)将各个点的横坐标不变，纵坐标乘－1，得到相应的四个点分别为A2(2，－2)，B2(4，－2)，C2(4，－4)，D2(2，－4).顺次连接各点所得到的图案和原图案比较，归纳：它们是关于__x轴__对称的，且纵坐标__互为相反数__，横坐标不变．【教学与建议】教学：通过轴对称图形的研究，激发学生探究坐标特点，归纳在坐标的变化中掌握坐标规律．建议：教学中注意渗透数形结合思想．命题角度1 求已知点关于x 轴、y 轴对称的点的坐标两点关于x 轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；两点关于y 轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数．【例1】在平面直角坐标系中，点A (3，4)与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标为(A) A ．(－3，4) B ．(－3，－4) C ．(3，－4) D ．(3，4)【例2】在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(－3，1)，作点A 关于y 轴的对称点，得到点A ′，再将点A ′向下平移2个单位长度，得到点A ″，则点A ″的坐标是(__3__，__－1__).【例3】如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A 的坐标是(a ，b )，则经过2 023次变换后所得的图形中点A 的对应点的坐标是__(－a ，b )__．――→第1次关于x 轴对称――→第2次关于y 轴对称 ――→第3次关于x 轴对称 ――→第4次关于y 轴对称命题角度2 根据轴对称的点的坐标特征确定字母的取值在平面直角坐标系中，若成轴对称的两个点的坐标中包含字母，则先根据轴对称的坐标特征确定字母的值，再求含有字母的式子的值．【例4】点P (1，2)关于y 轴对称的点的坐标是P ′(a ，b )，则a －b ＝__－3__． 【例5】若点M (a ，－3)与点N (－4，b )关于x 轴对称，则a ＝__－4__，b ＝__3__；若这两点关于y 轴对称，则a ＝__4__，b ＝__－3__．命题角度3 作规则图形关于坐标轴的对称图形(1)计算已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标；(2)根据对称点的坐标描点；(3)依次连接所描各点得到对称图形．【例6】如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (－1，5)，B (－5，3)，C (－3，－1).作出△ABC 关于x 轴、y 轴的对称图形．解：如图所示，△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2即为所求作的图形．命题角度4 作规则图形关于直线x ＝m (或y ＝n )(m ，n 为常数)对称的图形推广轴对称的点的坐标特征，可得：对于点A (x 1，y 1)与点B (x 2，y 2)，如果它们关于直线x ＝m 对称，那么x 1＋x 2＝2m ，y 1＝y 2；如果它们关于直线y ＝n 对称，那么x 1＝x 2，y 1＋y 2＝2n .【例7】在平面直角坐标系中，直线l 是经过点(1，0)且平行于y 轴的直线，点A (m －1，3)与点B (2，n －1)关于直线l 对称，则(m ＋n )2 023的值为(D)A ．0B ．1C ．32 023D ．52 023【例8】若点P (－2，1)与点Q (a ，b )关于直线l ：y ＝－1对称，则a ＋b ＝__－5__.高效课堂 教学设计1．在平面直角坐标系中，探索并掌握关于x 轴、y 轴对称的点的坐标规律． 2．利用关于x 轴、y 轴对称的点的坐标规律，作出关于x 轴、y 轴对称的图形．▲重点利用坐标的变化规律在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x 轴和y 轴对称的图形． ▲难点能根据平面直角坐标系中轴对称点的坐标特点解决实际问题．◆活动1 新课导入用多媒体展示北京城风光图片及北京城形象地图．老北京的地图(教材P 69图13.2－3)中，西直门和东直门是关于中轴线对称的．如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，对应于如教材图13.2－3所示的东直门的坐标，你能找到西直门的位置和坐标吗？学生指出西直门的位置或坐标，由此指出用坐标表示轴对称，能够很方便确定一个地方的位置． ◆活动2 探究新知1．教材P 69 思考下面的内容． 提出问题：(1)你能完成下表吗？已知点 A (2，－3) B (－1，2) C (－6，－5) D ()12，1 E (4，0) 关于x 轴的对称点 A ′(__2__，__3__) B ′(__－1__，__－2__) C ′(__－6__，__5__) D ′(__12 __，__－1__)E ′(_4_，_0_) 关于y 轴的对称点A ″(__－2__，__－3__)B ″(__1__，__2__)C ″(__6__，__－5__)D ″(__－12__，__1__)E ″(_－4_，_0_)(2)根据上面的表格，你发现关于x 轴的对称点的坐标有什么规律？ (3)关于y 轴的对称点的坐标有什么规律？ 学生完成并交流展示． ◆活动3 知识归纳1．点(x ，y )关于x 轴对称的点的坐标为__(x ，－y )__． 2．点(x ，y )关于y 轴对称的点的坐标为__(－x ，y )__． ◆活动4 例题与练习 例1 教材P 70 例2.例2 已知点A (a ，4－b )与点B (1－b ，2a ). (1)若点A ，B 关于x 轴对称，求a ，b 的值； (2)若点A ，B 关于y 轴对称，求a ，b 的值．解：(1)由题意，得{a ＝1－b ，4－b ＝－2a ，解得{a ＝－1，b ＝2； (2)由题意，得{－a ＝1－b ，4－b ＝2a ，解得{a ＝1，b ＝2. 例3 △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 向右平移6个单位长度，作出平移后的△A 2B 2C 2，并写出△A 2B 2C 2各顶点的坐标； (3)观察△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．解：(1)△A 1B 1C 1如图所示；(2)∵△ABC 向右平移6个单位长度，∴A ，B ，C 三点的横坐标加6，纵坐标不变，作出△A 2B 2C 2如图所示，A 2(6，4)，B 2(4，2)，C 2(5，1)；(3)△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2关于图中直线l ：x ＝3对称． 练习1．教材P 70～71 练习第1，2，3题． 2．下列判断正确的是(C )A ．点(－3，4)与(3，4)关于x 轴对称B ．点(3，－4)与点(－3，4)关于y 轴对称C ．点(3，4)与点(3，－4)关于x 轴对称D ．点(4，－3)与点(4，3)关于y 轴对称3．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用(－1，0)表示，右下角方子的位置用(0，－1)表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是(B )A ．(－2，1)B ．(－1，1)C ．(1，－2)D ．(－1，－2)（第3题图）（第4题图）4．如图，以长方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标是(3，2)，则点B的坐标是__(3，－2)__，点C的坐标是__(－3，－2)__，点D的坐标是__(－3，2)__．◆活动5课堂小结1．关于x轴、y轴对称的点的坐标之间的关系．2．在坐标系中，作关于x轴(或y轴)的轴对称图形．1．作业布置(1)教材P71～72习题13.2第2，3，4，5，7题；(2)对应课时练习．2．教学反思。

复数复数包括实部和虚部。

复数r 可以用直角坐标或极坐标两种形式表示，如下：r a jb =+ （直角坐标）||r r e φ= （极坐标）下式是从直角坐标变换到极坐标的公式：幅值||r =相角 11tan ,0tan ,0b a a b a a φπ−−⎧>⎪⎪=⎨⎪±<⎪⎩在复平面上也可以用直角坐标或极坐标形式表示复数，如图1：图1：复平面表示：直角坐标，极坐标欧拉恒等式欧拉恒等式：cos sin j e j φφφ=+上式也可以用sin ，cos 与e 的级数展开式表示：357cos 3!5!7!φφφφφ=−+−+K246sin 12!4!6!φφφφ=−+−+K234512!3!4!5!j e j j j φφφφφφ=+−−+++K代入：2345cos sin 12!3!4!5!j j j j j e φφφφφφφφ+=+−−+++=K复指数假设φ是以ω恒速增长的时间函数：()t t φω= 则()r t 变为：()j t r t e ω=如图2，()r t 在复平面上的轨迹是一个半径为1的圆。

画出()r t 实部与虚部随时间变化的曲线（图3），观察得：实部{}Re ()cos r t t ω=，对应的虚部{}Im ()sin r t t ω=。

·令变量()r t 用如下形式表示：()st r t e = 其中s 是复数：s j σω=+图2：()j t r t e ω=复平面图图3：()r t 实部，虚部随时间变化的曲线 ·()r t 在复平面上的路径是怎样的呢？假设：()()st j t t r t e e e e j t σωσ+ω===⋅可以将上式看作是一个随时间变化的量值（t e σ）乘上一个以ω速率在单位圆上旋转的点。

由j t e ω随时间变化的曲线图（图4），可以看出三个明显的区域：1．0σ>时，这种情况不稳定。

2．0σ=时，j t e ω的值为常量。

课题：§13．2．3 用坐标表示轴对称教学目标（一）〔知识与技能〕1．在平面直角坐标系中，探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律．2．利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x 轴、y•轴对称的图形．（二）〔过程与方法〕1．在探索关于x轴，y轴对称的点的坐标的规律时，•发展学生数形结合的思维意识．2．在同一坐标系中，•感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．（三）〔情感、态度与价值观〕在探索规律的过程中，提高学生的求知欲和强烈的好奇心．教学重点1．理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．2．在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识．教学难点：用坐标表示轴对称．教学方法：探索发现法．教具准备：坐标纸．学具准备：坐标纸．教学过程一、提出问题，创设情境[活动1]1．如图：（1）观察上图中两个圆脸有什么关系？（2）已知右边图脸右眼的坐标为（4，3），左眼的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1），左端点的坐标为（2，1）．你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？2．在平面直角坐标系中，将坐标为（2，2），（4，2），（4，4），（2，4），（2，2）的点用线段依次连结起来形成一个图案．（1）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案与原图案相比有何变化？（2）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案又与原图案相比有何变化？设计意图：通过有趣的轴对称图形的研究，激发学生探究坐标特点的好奇心，是一种形到数的探究，接着又从对坐标实施变化，引起图案的变化，•使学生在坐标的变化中产生对每对关于x轴、y轴对称的点的坐标规律的探究．师生行为：[生]1．（1）观察可发现图中的两个圆脸关于y轴对称．（2）我们可以设右脸中的左眼为A点，右眼为B点，则A（2，3），B（4，3），•嘴角的左右端为D（2，1），C（4，1）．根据轴对称的性质，A与A1关于y轴对称，则A1到y轴的距离和A•到y轴的距离相等，A1、A到x轴的距离也相等，∵A1在第二象限，∴A1的坐标为（-2，3）．同理，B1、C1、D1的坐标分别为（-4，3）、（-4，1）、（-2，1）． 2．师生共同完成[生]在直角坐标系中根据坐标描出四个点并依次连结如图．A（2，2），B（4，2），•C（4，4），D（2，4）．（1）纵坐标不变，横坐标乘以-1，得到相应四个点为A1（-2，2），B1（-4，2），C1（-4，4）•，D1（-2，4）．顺次连结所得到的图案和原图案比较，不难发现它们是关于y轴对称的．（2）横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到相应的四个点为A2（2，-2），B2（4，-2），C2（4，-4），D2（2，-4）．顺次连结所得到的图案和原图案比较，可得它们是关于x轴对称的．[师]A（2，2）与A1（-2，2）关于y轴对称，B（4，2）与B1（-4，2）关于y轴对称，C（4，4）与C1（-4，4）关于y轴对称，D（2，4）与D1（-2，4）关于y轴对称．那么关于y轴对称的点具有什么规律呢？A（2，2）与A2（2，-2）关于x轴对称，B（4，2）与B2（4，-2）关于x轴对称，C（4，4）与C2（4，-4）关于x轴对称，D（2，4）与D2（2，-4）关于x轴对称．那么关于x轴对称的点有何规律呢？这节课我们就来研究关于x轴，y轴对称的每对对称点坐标的规律．二、导入新课[活动2]在如图所示的平面坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入表格中．看看每对对称点的坐标有怎样的规律．再和同学讨论一下．已知点A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（，1），E（4，0）．关于x轴的对称点A′（____，____）B′（_____，______）C•′（•_____，•_____）••D′（____，_____）E′（_____，_____）．关于y轴的对称点A″（_____，____）B″（_____，______）C″（•_____，•_____）••D″（____，_____）E″（_____，_____）．设计意图：通过学生动手操作，分别作A，B，C，D，E关于x轴、y轴的对称点A′，B′，C′，D′，E′；A″，B″，C″，D″，E″，并且求出它们的坐标，观察，归纳它们坐标之间的关系．师生行为：教师引导，学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对称点坐标的规律．[生]如图，我们先在直角坐标系中描出A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（，1），E（4，0）点．我们先在坐标系中作出A点关于x轴的对称点，即过A作x轴的垂线交x轴于M点，•M点的坐标为（2，0）．在AM的延长线上截A′M=AM，则A′就是A点关于x轴的对称点，所以A′在第一象限，因为A′M=AM，所以A′的纵坐标为3，因为AA′⊥x 轴，即AA′∥y轴，•所以A′的横坐标为2，即A′的坐标为（2，3）．同理可求得B，C，D，E关于x轴的对称点B′，C′，D′，E′的坐标分别为B′（-1，•-2），C′（-6，5），D′（，-1），E′（4，0）．列表如下：续表D （，1）ED′（，-1）E[师]观察上表每对对称点坐标之间的关系，你发现什么规律？ [生]每对对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．[师]我们不仿再找几对关于x轴对称的点，写出它们的坐标，还有上面的规律吗？学生亲自动手进一步尝试，在学生认可的情况下明确关于x轴对称的每对对称点的坐标的规律．[师生共析]关于x轴对称的每对对称点的坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数．接着我们再来作出A，B，C，D，E关于y轴的对称点，并求出它们的坐标．[生]同样，我们先作出A关于y轴的对称点A″，并求出A″的坐标．过A作y轴的垂线AN，垂足为N，则N点坐标为（0，-3），然后在AN的延长线上截A″N，使A″N=AN，则A″就是所求的A关于y轴的对称点．A″在第三象限，AA″⊥y轴，•且AN=A″N，所以A″的坐标为（-2，-3），同理可求得B，C，D，E关于y轴的对称点B″，C″，D″，E″的坐标分别为B″（1，2），C″（6，-5），D″（-，1），E″（-4，0）．列表如下：续表D（，1）ED″（，1）E[师]观察上表，比较每对关于y轴的对称点的坐标，你能发现什么规律？[生]关于y轴对称的每一对对称点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数．例2(教材P70)三、随堂练习（教科书P70练习）四、课时小结本节课的主要内容（由学生在教师的引导下共同回忆总结）：1．在直角坐标系中，探索了关于x轴，y轴对称的对称点坐标规律．2．利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，作已知图形的轴对称图形，体现了数形结合的数学思想．五、课后作业教科书习题13．2─2、3、4题，第6题、第7题（学有余力的同学做）．六、教学反思：本节课通过学生熟悉、向往的北京城内天安门、长安街、东直门等的方位引入新课，能强烈地吸引学生的注意力，较好地激发学生的学习兴趣.本节课采用探究、发现式教学法，通过找具有一定代表性的分别位于四个象限及坐标轴的一些点的对称点及坐标，寻找关于坐标轴对称的点的坐标的一般规律，培养学生观察、归纳、分析问题、解决问题的能力，并通过研究线段之间关系发现点的坐标之间关系，使学生体验数形结合思想.寻找规律后检验其正确性是科学研究问题的一个必不可少的步骤，“请你想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的”，目的在于培养学生形成良好的科学研究方法，并通过一系列的练习培养学生思维的流畅性，也使学生特别是学有困难的学生都能达到基本的学习目标.然后通过把对称轴是坐标轴变成了直线x=3和y=-4的变式探究，使学生再次体验数形结合的思想，并拓展到直线x=m和y=n，使学生学会通过寻找线段之间的关系来求点的坐标，形成方法.最后一个练习中的图案匠心独具设计成一只美丽的蝴蝶，能较好地激发学生的学习兴趣，符合八年级学生的心理特征，也是本节课所学内容的一个较好运用.。

第一讲——复数的概念与坐标表示知识要点1．复数的概念形如(,)+∈a bi a b R 的数叫做复数，用字母z 表示，即(,)=+∈z a bi a b R 。

其中a 叫做复数z 的实部，记作Re z ，b 叫做复数z 的虚部，记作Im z ，i 叫做虚数单位，规定：21=-i 。

（1）对于复数=+z a bi ，如果没有特殊说明，则有,∈a b R ；（2）=+z a bi 是复数的代数形式，并规定：00,0i bi bi ⋅=+=；（3）复数=+z a bi , 当0=b 时，复数=z a 是实数；当0≠b 时，z 叫做虚数；当0=a 且0≠b 时，z 叫做纯虚数；当且仅当0==a b 时，0=z 。

（4）复数全体所组成的集合叫做复数集，用字母C 表示。

复数(,) z a bi a b R =+∈00b b =⎧⎨≠⎩（）（）实数虚数 口答：1、下列复数：0，13i -，13i -，3-，6i 中，实数是__________，虚数是__________，纯虚数是___________，实部与虚部都是0的复数是___________。

答：实数：0，3-；虚数：13i -，13i -，6i ；纯虚数：13i -，6i ；实部与虚部都是0的复数：0。

2．两个复数相等如果两个复数1(,)=+∈z a bi a b R 和2(,)=+∈z c di c d R 的实部与虚部分别相等，即=a c 且=b d ，那么这两个复数相等，记作+=+a bi c di 。

两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等，即： +=+a bi c di ()()0⇔-+-=a c b d i 00-=⎧⇔⎨-=⎩a c b d =⎧⇔⎨=⎩a c b d3．复平面建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面（如图所示），在这里x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0。

复数的坐标表示方法（最新版2篇）篇1 目录1.复数的基本概念2.复数的坐标表示方法3.复数的几何意义4.复数的运算规则5.复数在实际应用中的重要性篇1正文复数是我们数学中一个重要的概念，它是实数的扩展。

复数是由实部和虚部组成的，形式为 a+bi，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i^2=-1。

复数的坐标表示方法是一种直观且易于理解的方法，它将复数与平面直角坐标系中的点一一对应。

复数的坐标表示方法是这样的：在平面直角坐标系中，横坐标表示实部，纵坐标表示虚部。

例如，复数 3+4i 在坐标系中的位置就是 (3, 4)。

这个方法使得我们可以直观地看到复数在平面上的位置，也可以帮助我们更好地理解复数的几何意义。

复数的几何意义也非常重要。

我们可以将复数看作是平面上的向量，实部是向量在 x 轴上的分量，虚部是向量在 y 轴上的分量。

这样，复数的加法和减法就可以看作是向量的加法和减法，复数的乘法可以看作是向量的数量积。

这种几何意义使得我们可以通过几何方法来理解复数的运算规则。

复数在实际应用中也有着重要的地位。

例如，在电气工程中，复数可以用来表示电流和电压；在信号处理中，复数可以用来表示信号和系统；在量子力学中，复数也是描述粒子状态的重要工具。

篇2 目录1.复数的基本概念2.复数的坐标表示法3.复数的几何意义4.复数的运算与坐标表示5.复数的应用篇2正文1.复数的基本概念复数是实数的扩展，它由实部和虚部组成，通常表示为 a+bi 的形式，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i^2=-1。

复数在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。

2.复数的坐标表示法复数在复平面上的坐标表示法是一种直观的表示方法。

复平面与直角坐标系类似，不同的是，复平面的横坐标表示实部，纵坐标表示虚部。

例如，复数 3+4i 在复平面上的坐标为 (3, 4)。

3.复数的几何意义复数在复平面上的坐标表示法具有几何意义。

13.2（1）复数的坐标表示上海市久隆模范中学李天洋一、教学目标设计掌握复平面的概念、复数集与复平面上的点的集合之间的一一对应关系，进一步运用类比思想.二、教学重点及难点复平面上的点集和复数集之间的一一对应关系.复数与复平面的向量的一一对应关系的理解三、教学用具准备多媒体设备四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习引入1.复习直角坐标系及一对有序的实数（a，b）与直角坐标平面内的点z（a，b）间的一一对应关系.2.讨论复数z＝a+bi与有序数对（a，b）的关系及直角坐标平面内的点z（a，b）之间的关系，从而引入复平面及其相关概念.[说明]通过复习直角坐标系类比学习复平面，学生可以类比学习知识，这是数学中很常用的思想方法.而且通过类比思想得到的知识，即便是新知，但也可以和以前的知识联系起来.这里可以设计这样的问题“已知有序实数对（a ，b ）与直角坐标平面内的点z （a ，b ）一一对应，那么复数z ＝a+bi 与有序数对（a ，b ）是否也是一一对应呢？”学生很容易理解复数z ＝a+bi和平面上的点一一对应，从而引入复平面及相关概念，这样平面和数的理解就变成简单的回忆.二．学习新课1.建立复平面，并规定实轴，虚轴，讨论实数，虚数，纯虚数与复平面上的点的对应关系，特别要指出虚轴上原点所表示的数不是纯虚数，而是实数零.2.概念辨析：在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.在复平面内，对应于虚数的点都在虚轴上.在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.[说明]最后一个命题是错误的，其他命题都是正确的，用以考察学生对前面复平面概念的理解.3.例题分析例1． 已知集合A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，设复数z ＝a+bi ，a ，b 可以取集合A中的任意一个整数，问1）复数z ＝a+bi 共有多少个？2）复数z ＝a+bi 中有多少个实数？3）复数z ＝a+bi 中有多少个纯虚数？课堂小练习：课本p77 T1，2在复平面内，若i i m i m z 6)4()1(2-+-+=所对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围.答案：(3,4)4.复数的向量表示研究复数z ＝a+bi ，复平面上对应点Z （a ，b ），向量OZ 三者之间的关系，这里主要研究向量和前两者的关系.在复平面内以原点为起点，点Z （a ，b ）为终点的向量OZ ，由点Z （a ，b ）唯一确定．因此复平面内的点集与复数集C 之间存在一一对应关系，而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应，常把复数z=a+bi 用点Z （a ，b ）或向量表示，并规定相等向量表示同一复数．5.例题分析例2. 在复平面上作出表示下列复数的向量z 1＝2+2i ，z 2＝-3-2i ，z 3＝2i ，z 4＝-4，z 5＝2-2i三、巩固练习 课本p77 T3四、课堂小结1. 复平面的基本概念.2. 复数向量的表示.五、作业布置：课本p77 T4 练习册 p47 T4 p48 T2补充作业： 已知：复数i m m m m m m m z 62232222-+++---=在复平面上对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围. 答案：（-0.5，0）六、教学设计说明这节课主要是把复数从数到形的一个形态转换，由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．因此在例题和练习的选择上以基本概念练习为主，加强概念的理解.同时在练习上也以及时练习为主，在每个例题后面都配了相关的练习，为的也是能够及时巩固知识.。

专题七复数的概念及运算知识精讲一知识结构图二.学法指导1.判断复数概念方面的命题真假的注意点（1）正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系；（2）注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同； （3）注意通过列举反例来说明一些命题的真假. 2.复数分类的关键（1）利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式(,)z a bi a b R =+∈时应先转化形式. （2）注意分清复数分类中的条件设复数(,)z a bi a b R =+∈，则①z 为实数⇔0b =，②z 为虚数⇔0b ≠，③z 为纯虚数⇔0a =，0b ≠，④00z a =⇔=，且0b =. 3.利用复数与点的对应解题的步骤（1）首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标. （2）根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系. 4.复数与向量的对应和转化对应：复数z 与向量OZ 是一一对应关系. 转化：复数的有关问题转化为向量问题求解.解决复数问题的主要思想方法有：（一）转化思想：复数问题实数化；（二）数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；（三）整体化思想：利用复数的特征整体处理.5.用复数加、减运算的几何意义解题的技巧（1）形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. （2）数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中. 6.常见结论在复平面内，1z ，2z 对应的点分别为A ，B ，12z z +对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB 为平行四边形；若1212z z z z +=-，则四边形OACB 为矩形；若12=z z ，则四边形OACB 为菱形；若12=z z 且1212z z z z +=-，则四边形OACB为正方形.7.两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等. 8.两个复数代数形式的除法运算步骤 （1）首先将除式写为分式；（2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.三.知识点贯通 知识点1复数的概念复数的概念：(,)z a bi a b R =+∈全体复数所构成的集合{}|,C a bi a b R =+∈，叫做复数集. 例题1.1. 给出下列说法：①复数23i +的虚部是3i ；②形如()a bi b R +∈的数一定是虚数；③若a R ∈，0a ≠，则()3a i +是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数.其中错误说法的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的概念判断．【详解】复数23i +的虚部是3，①错；形如()a bi b R +∈的数不一定是虚数，②错；只有当a R ∈，30a +≠时，()3a i +是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误． 故选：C ．【点睛】本题考查复数的概念，掌握复数定义是解题关键．知识点二复数的分类复数(,)z a bi a b R =+∈，则①z 为实数⇔0b =，②z 为虚数⇔0b ≠，③z 为纯虚数⇔0a =，0b ≠，④00z a =⇔=，且0b =.例题2：2. 实数x 分别取什么值时，复数()2262153x x z x x i x --=+--+是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？【答案】（1）5x =（2）3x ≠-且5x ≠（3）2x =-或3x = 【解析】 【分析】根据复数的分类求解．【详解】（1）当x 满足2215030x x x ⎧--=⎨+≠⎩，即5x =时，z 是实数.（2）当x 满足2215030x x x ⎧--≠⎨+≠⎩，即3x ≠-且5x ≠时，z 是虚数.（3）当x 满足22603215030x x x x x x ⎧--=⎪+⎪⎪--≠⎨⎪+≠⎪⎪⎩，即2x =-或3x =时，z 是纯虚数.【点睛】本题考查复数的分类，掌握复数的定义是解题关键．知识点三复数相等的充要条件复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a bi c di a c +=+⇔=且b d =. 例题3.3. 若复数()()2190z m m i =++-<，则实数m 的值等于_________________.【答案】-3 【解析】 【分析】复数能比较大小时，它一定是实数，由此可得．【详解】∵0z <，∴29010m m ⎧-=⎨+<⎩，∴3m =-.故答案为：3-．【点睛】本题考查复数的定义，属于基础题．4. 已知关于x 的方程()()21230x i x m i +-+-=有实数根，求实数m 的值.【答案】112m = 【解析】 【分析】设a 是原方程的实根，代入方程后由复数相等的概念求解．【详解】设a 是原方程的实根，则()()21230a i a m i +-+-=，即()()23210aa m a i ++-+=，所以230a a m ++=且210a +=，所以12a =-且2113022m ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，所以112m =.【点睛】本题考查复系数方程有实数根问题，解题时可设出实数根为a ，代入方程后利用复数相等的定义求解．知识点四复数与复平面内的点、向量的一一对应复数的几何意义例题4.5. 在复平面内，点A ，B ，C 对应的复数分别为14i +，3i -，2，O 为复平面的坐标原点.（1）求向量OA OB +和AC 对应的复数； （2）求平行四边形ABCD 的顶点D 对应的复数.【答案】（1）OA OB +对应的复数为1i +，AC 对应的复数为14i -（2）37i + 【解析】 【分析】（1）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数；（2）可利用AC 与BD 互相平分，结合中点坐标公式求出D 点坐标，然后可得对应复数．【详解】（1）由已知得,,OA OB OC 所对应的复数分别为14i +，3i -，2， 则()1,4OA =，()0,3OB =-，()2,0OC =， 因此()1,1OA OB +=，()1,4AC OC OA =-=-， 故OA OB +对应的复数为1i +，AC 对应的复数为14i -.（2）由已知得点A ，B ，C 的坐标分别为()()1,40(32,0)-，，，，则AC 的中点为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，由平行四边形的性质知BD 的中点也3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，若设00(,)D x y ，则有000322322x y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩， 解得0037x y =⎧⎨=⎩，故()3,7D .所以D 对应的复数为37i +.【点睛】本题考查复数的几何意义，掌握复数的几何意义是解题关键．(,)z a bi a b R =+∈在复平面上对应点,()Z a b ，对应向量(,)OZ a b =．知识点五复数的模及其应用复数(,)z x yi x y R =+∈，则z = 例题5.6. 设（1+i ）a ＝1+bi （i 是虚数单位），其中a ，b 是实数，则|a +bi |＝（ ） A. 1B.C. D. 2【答案】B 【解析】【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得a 与b 的值，再由复数模的计算公式即可求解.【详解】由（1+i ）a ＝1+bi ，得a +ai ＝1+bi ，∴1a a b =⎧⎨=⎩，则a ＝b ＝1.∴|a +bi |＝|1+i |.故选：B.7. 已知复数z 满足z ＋|z|＝2＋8i ，求复数z. 【答案】z ＝－15＋8i. 【解析】【详解】试题分析：法一：设z ＝a ＋bi(a 、b⇔R)，则代入方程得解得⇔z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z|＋8i. ⇔|z|⇔R ，⇔2－|z|是z 的实部，于是|z|＝，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2.⇔|z|＝17.代入z ＝2－|z|＋8i ，得z ＝－15＋8i.考点：本题主要考查复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数方程的解法． 点评：典型题，作为复数方程问题，其一般思路就是本题所给出的几种方法，应用方法一时，要特别注意复数的模非负．知识点六复数加法与减法的运算复数加法与减法的运算法则（1）设1z a bi =+，2z c di =+是任意两个复数，则①()()12z z a c b d i +=+++；②()()12z z a c b d i -=-+-.（2）对任意123,,z z z C ∈，有①1221z z z z +=+；②()()123123z z z z z z ++=++. 例题6.8. （1）计算：1143(2)3232i i i ⎛⎫⎛⎫++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知复数z 满足1352z i i +-=-，求z . 【答案】（1）1i +（2）4z i =+. 【解析】 【分析】（1）由复数加减法法则计算； （2）根据复数加减法定义计算．【详解】（1）11431413(2)21132323322i i i i i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++---=+-+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）因为1352z i i +-=-，所以()()52134z i i i =---=+.【点睛】本题考查算数的加减法运算，掌握复数加减法法则是解题关键．知识点七复数代数形式加减运算的几何意义复数加减法的几何意义如图所示，设复数12,z z 对应向量分别为12,OZ OZ ，四边形12OZ ZZ 为平行四边形，向量OZ 与复数12z z +对应，向量12Z Z 与复数12z z -对应.例题7.9. 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 对应复数分别为0，32i +，24i -+，试求①AO 所表示的复数，BC 所表示的复数； ②对角线CA 所表示的复数；③对角线OB 所表示的复数及OB 的长度.【答案】①32i --，32i --②52i -③16i + 【解析】 【分析】①由AO OA =-，BC AO =可得； ②由CA OA OC =-计算可得；③由OB OA OC =+可得对应复数，再由模的运算计算出模． 【详解】①AO OA =-，∴AO 所表示的复数为32i --.∵BC AO =，∴BC 所表示的复数为32i --. ②∵CA OA OC =-，∴CA 所表示的复数为()()322452i i i +--+=-.③对角线OB OA OC =+，它所对应的复数()()322416z i i i =++-+=+，21OB ==.【点睛】本题考查复数的几何意义，掌握复数几何意义及向量的线性运算是解题基础．知识点八复数代数形式的乘法运算1复数代数形式的乘法法则已知1z a bi =+，2z c di =+，,,,a b c d R ∈，则()()()()12·z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++.2复数乘法的运算律对于任意123,,z z z C ∈，有：（1）交换律：1221··z z z z = （2）结合律：()()123123····z z z z z z = （3）乘法对加法的分配律：()1231213··z z z z z z z +=+ 例题8.10. 计算：①()()()12342i i i -+-+； ②()()3434i i +-； ③()21i +.【答案】①2015i -+.②25③2i . 【解析】 【分析】根据复数乘法法则计算．【详解】①()()()()()1234211222015i i i i i i -+-+=--+=-+. ②()()()()2234343491625i i i +-=-=--=.③()221122i i i i +=++=.【点睛】本题考查复数的乘法运算，掌握复数乘法法则是解题关键．知识点九复数代数形式的除法运算复数代数形式的除法法则；2222()()ac bd bc ada bi c di i c d c d +-+÷+=+++（,,,abcd R ∈，且0c di +≠） 例题9. 11.31ii++＝（ ） A. 1＋2i B. 1－2i C. 2＋i D. 2－i【答案】D 【解析】【分析】由题意结合复数的除法运算即可得解.【详解】由题意()()()()3134221112i i i ii i i i +-+-===-++-， 故选：D.【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算法则、细心计算是解题关键，属于基础题.12. 若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为 A. 3+5i B. 3－5iC. －3+5iD. －3－5i【答案】A 【解析】 【详解】()()117211715253 5.255i i i i z i i ++++====+- 【考点定位】本题考查复数的基本运算之一除法，其中涉及分母实数化，这是复数运算中的常考点视频五易错点分析易错一复数的虚部例题10.13. 复数2i - 的虚部是A. iB. 2-C. 1D. 2【答案】C【解析】【详解】22i i -=-+的虚部为1，选C.误区警示求复数的实部、虚部，应先把复数化成(,)z a bi a b R =+∈的形式，a 为实部，b 为虚部. 易错二复数的几何意义例题11.14. 已知复数12312,2,12z i z i z i =+=-+=--在复平面上对应的点是一个正方形的3个顶点，求这个正方形的第4个顶点对应的复数.【答案】2i -【解析】【分析】分别写出所给三个复数在复平面内对应的点坐标,设第四个点的坐标为(),D x y .根据正方形对边平行且相等可知AD BC =,即可求得点D 的坐标.【详解】设复数12312,2,12z i z i z i =+=-+=--在复平面上分别对应点 ()()()2,2,1, 11,,2A B C ---设正方形的第四个顶点对应的坐标是(,)D x y ,则其对应的复数为x yi +,则AD BC =, 又(1,2),(1,3)AD x y BC =--=-(1,2)(1,3)x y ∴--=-11,23x y ∴-=-=-2,1x y ∴==-故这个正方形的第四个顶点对应的复数是2i -【点睛】本题考查了复数与复平面内对应的点坐标表示方法,由几何关系求复数,属于基础题.错误区警示复数与复平面内的点、向量一一对应，复数(,)z a bi a b R =+∈对应的点为(,)a b ，此点坐标即为对应向量的坐标.。