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2021-2022学年四川省成都七中高三（上）一诊数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|0<x<3}，N={x|13≤x≤6}，则M∪N=()A. {x|0<x≤6}B. {x|13≤x<3} C. {x|3<x<6} D. {x|0<x≤13}2.已知z=2−i，则z(z−+i)的虚部是()A. 2B. −2C. 2iD. −2i3.如图所示的几何体是由一个正方体截去一个小正方体而得到，则该几何体的左(侧)视图为()A.B.C.D.4.已知向量a⃗=(2,−1)，a⃗⋅b⃗ =5，|a⃗+b⃗ |=8，则|b⃗ |=()A. 5B. 6C. 7D. 85.已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为()A. 13B. 12C. 9D. 66.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为()A. 116B. 18C. 14D. 127. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5−a 3=12，a 6−a 4=24，则Sna n=( )A. 2n −1B. 2−21−nC. 2−2n−1D. 21−n −18. 设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px(p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)9. 星等分为两种：目视星等与绝对星等但它们之间可用公式M =m +5−5lg d3.26转换，其中M 为绝对星等，m 为目视星等，d 为距离(单位：光年).现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5，且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为34°，则牛郎星与织女星之间的距离约为( )(参考数据：100.906≈8.054，100.716≈5.199，cos34°≈0.8)A. 26光年B. 16光年C. 12光年D. 5光年10. 若α∈(π2,π)，cosα=(2−sinα)tan2α，则tanα=( )A. √1515B. −√1515C. √53D. −√5311. 在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =A 1A 1=1，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法正确的个数是( ) ①当λ=1时，△AB 1P 的周长为定值； ②当μ=1时，三棱锥P −A 1BC 的体积为定值； ③当λ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BP ； ④当μ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P.A. 1B. 2C. 3D. 412. 若a =ln(ln 3)2，b =2ln(ln2)，c =2ln2，则a ，b ，c 的大小关系为( )二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 曲线y =2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为 ．14. 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 216−y 29=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为______． 15. 已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−3π4,π4]上单调递增，且直线y =−2与函数f(x)的图象在[−2π,0]上有且仅有一个交点，则实数ω的取值范围是______． 16. 已知正数x ，y 满足x +4y =x 2y 3，则8x +1y 的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 巳知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=36，_____．请在①a 3=5；②a 2+a 4+a 6=21，③S 7=49，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n3n }的前n 项和T n ．18. 某投资公司2012年至2021年每年的投资金额x(单位：万元)与年利润增量y(单位：万元)的散点图如图：该投资公司为了预测2022年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y 关于x 的两个回归模型；模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程：y ̂=2.50x −2.50； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y =blnx +a 的附近，对投资金额x 做交换，令t =lnx ，则y =b ⋅t +a ，且有∑t 10=22.00，∑y 10=230，(1)根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程；(2)分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量(结果保留两位小数)；(3)根据下列表格中的数据，比较两种模型相关指数R 2，并说明谁的预测值精度更高、更可靠．回归模型 模型① 模型② 回归方程y ̂=2.50x −2.50y ̂=blnx +a ∑(10i=1y i ,y ̂i )2102.2836.19附：样本(t i ,y i )(i =1,2,…,n)的最小乘估计公式为b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)，a ̂=y −−b ̂t −；相关指数R 2=1−∑(n i=1y i −y ̂)2∑(ni=1y i −y −)2．参考数据：ln2≈0.6931，ln5≈1.6094．19. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M 、N 分别是CC 1与A 1B 的中点，△ABA 1为等边三角形，CA =CA 1，A 1A =A 1M =2BC ．(Ⅰ)求证：MN//平面ABC；(Ⅱ)(i)求证：BC⊥平面ABB1A1；(ii)求二面角A−MN−B的正弦值．20.已知两圆C1：(x−2)²+y²=54，C2：(x+2)²+y²=6，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切．(1)求动圆圆心M的轨迹方程C；(2)过点A(3,0)的直线与曲线C交于P，Q两点．P关于x轴的对称点为R，求△ARQ面积的最大值．21.已知x∈[0,+∞)，函数f(x)=e x+sinx，函数g(x)=ax2+2x+1．(1)若a=1，证明：f(x)+x≥g(x)+sinx；2(2)f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cos k t,y =sin k t(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcosθ−16ρsinθ+3=0．(1)当k =1时，C 1是什么曲线？(2)当k =4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标．23. 已知函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|．(1)画出y =f(x)的图象；(2)求不等式f(x)>f(x +1)的解集．答案和解析1.【答案】A≤x≤6}，【解析】解：∵集合M={x|0<x<3}，N={x|13∴M∪N={x|0<x≤6}．故选：A．利用并集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为z=2−i，则z(z−+i)=(2−i)(2+i+i)=(2−i)(2+2i)=4+2+2i=6+2i，所以虚部为2，故选：A．利用复数的运算性质以及共轭复数的性质即可求解．本题考查了复数的运算性质，涉及到复数虚部的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处是一个看得到的小正方形．故选：B．找到从左向右看得到的图形即可．本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握侧视图是从左向右看得到的视图．4.【答案】C【解析】解：因为a⃗=(2,−1)，所以|a⃗|=√22+(−1)2=√5，又因为a⃗⋅b⃗ =5，|a⃗+b⃗ |= 8，所以|a⃗+b⃗ |²=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =8²，所以|b⃗ |²=64−2⋅5−5=49，所以|b⃗ |=7故选：C．根据向量运算性质列方程，解方程求解．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．5.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．【解答】解：F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|=6，所以|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，取等号，所以|MF1|⋅|MF2|的最大值为9．故选：C．6.【答案】B【解析】解：点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，则有(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)，共8种不同的跳法(线路)，符合题意的只有(下，下，右)这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为P=18．故选：B．先利用列举法得到共8种不同的跳法，再利用概率公式求解即可．本题考查概率的求法，利用列举法是关键，是基础题．【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算求解能力，属于较易题．根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．【解答】解：设等比数列的公比为q，∵a5−a3=12，∴a6−a4=q(a5−a3)，∴q=2，∴a1q4−a1q2=12，∴12a1=12，∴a1=1，∴S n=1−2n1−2=2n−1，a n=2n−1，∴S na n =2n−12n−1=2−21−n，故选：B．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．利用已知条件转化求解E、D坐标，通过k OD⋅k OE=−1，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：将x=2代入抛物线y2=2px，可得y=±2√p，OD⊥OE，可得k OD⋅k OE=−1，即2√p2⋅−2√p2=−1，解得p=1，所以抛物线方程为：y2=2x，它的焦点坐标(12,0)．故选：B．【解析】解：∵M=m+5−5lg d3.26，∴d=3.26×10m+5−M5，由题意可知，M牛=2.19，m牛=0.77，M织=0.5，m织=0.03，设地球与牛郎星距离为d1，地球与织女星距离为d2，织女星与牛郎星距离为d，则d1=3.26×100.77+5−2.195=3.26×100.716≈3.26×5.199≈17，d2=3.26×100.03+5−0.55=3.26×100.906≈3.26×8.054≈26，d2=d12+d22−2d1d2cos34°=172+262−2×17×26×0.8=257，故d=√257≈16，故牛郎星与织女星之间的距离约为16光年．故选：B．根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：由cosα=(2−sinα)tan2α，得tan2α=cosα2−sinα，即sin2αcos2α=cosα2−sinα，∴2sinαcosα1−2sin2α=cosα2−sinα，∵α∈(π2,π)，∴cosα≠0，则2sinα(2−sinα)=1−2sin2α，解得sinα=14，∴cosα=−√1−sin2α=−√154，则tanα=sinαcosα=−√1515．故选：B．把已知等式变形，然后切化弦，整理后求得sinα，进一步求得cosα，再由商的关系得答案．本题考查二倍角公式、同角三角函数基本关系式的应用，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】C【解析】解：对于①，当λ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故点P 在线段CC 1上，此时△AB 1P 的周长为AB 1+B 1P +AP ， 当点P 为CC 1的中点时，△AB 1P 的周长为√5+√2， 当点P 在点C 1处时，△AB 1P 的周长为2√2+1， 故周长不为定值，故①错误；对于②，当μ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故点P 在线段B 1C 1上， 因为B 1C 1//平面A 1BC ，所以直线B 1C 1上的点到平面A 1BC 的距离相等， 又△A 1BC 的面积为定值，所以三棱锥P −A 1BC 的体积为定值，故②正确；对于③，当λ=12时，取线段BC ，B 1C 1的中点分别为M ，M 1，连结M 1M ，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 在线段M 1M 上，当点P 在M 1处时，A 1M 1⊥B 1C 1，A 1M 1⊥B 1B ， 又B 1C 1∩B 1B =B 1，所以A 1M 1⊥平面BB 1C 1C ，又BM 1⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1M 1⊥BM 1，即A 1P ⊥BP ， 同理，当点P 在M 处，A 1P ⊥BP ，故③正确；对于④，当μ=12时，取CC 1的中点D 1，BB 1的中点D ，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 在线的DD 1上，当点P 在点D 1处时，取AC 的中点E ，连结A 1E ，BE ，因为BE ⊥平面ACC 1A 1，又AD 1⊂平面ACC 1A 1，所以AD 1⊥BE ， 在正方形ACC 1A 1中，AD 1⊥A 1E ， 又BE ∩A 1E =E ，BE ，A 1E ⊂平面A 1BE ，故AD 1⊥平面A 1BE ，又A 1B ⊂平面A 1BE ，所以A 1B ⊥AD 1， 在正方形ABB 1A 1中，A 1B ⊥AB 1，又AD 1∩AB 1=A ，AD 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，所以A 1B ⊥平面AB 1D 1， 因为过定点A 与定直线A 1B 垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P ，故④正确．故选：C ．判断当λ=1时，点P在线段CC1上，分别计算点P为两个特殊点时的周长，即可判断①；当μ=1时，点P在线段B1C1上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断②；当λ=12时，取线段BC，B1C1的中点分别为M，M1，连结M1M，则点P在线段M1M上，分别取点P在M1，M处，得到均满足A1P⊥BP，即可判断③；当μ=12时，取CC1的中点D1，BB1的中点D，则点P在线的DD1上，证明当点P在点D1处时，A1B⊥平面AB1D1，利用过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，即可判断④．本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于难题．12.【答案】D【解析】解：∵a=2ln(|ln3π|)=2ln(lnπ3)，b=2ln(ln2)，c=2ln21e，而函数f(x)=2lnx在定义域(0,+∞)上单调递增，0<lnπ3<ln2<1<21e，∴a<b<c，故选：D．根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可判断．本题主要考查了对数函数的性质，以及利用函数的单调性比较大小，是基础题．13.【答案】5x−y+2=0【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程．【解答】解：因为y=2x−1x+2，(−1,−3)在曲线上，所以y′=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5(x+2)2，所以y′|x=−1=5，则曲线y=2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为：y−(−3)=5[x−(−1)]，即5x−y+2=0．故答案为：5x−y+2=0．14.【答案】16【解析】解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得||PF1|−|PF2||=|m−n|=2a=8，所以m2−2mn+n2=64，因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=100，即m2+n2=100，所以mn=16，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=mn=16．故答案为：16．判断四边形PF1QF2为矩形，利用双曲线的定义及勾股定理求解即可．本题主要考查双曲线的性质，双曲线的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．15.【答案】[14,2 3 ]【解析】解：∵函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−3π4,π4]上单调递增，∴ω×(−3π4)≥−π2，且ω×π4≤π2，求得0<ω≤23．且直线y=−2与函数f(x)的图象在[−2π,0]上有且仅有一个交点，ωx∈[−2ωπ,0]，∴−5π2<−2ωπ≤−π2，求得14≤ω<54．综上可得，实数ω的取值范围为[14,23 ]，故答案为：[14,2 3 ].由题意利用正弦函数的图象和性质，求得实数ω的取值范围．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．16.【答案】2√2【解析】解：令1y =m ，8x +1y =t(t >0)， ∵x +4y =x 2y 3， ∴8t−m+4m=(8t−m)2⋅(1m)3，即m 4−t 2m 2+16=0，令m 2=a ，则a 2−t 2a +16=0，所以关于a 的方程a 2−t 2a +16=0有两个正实根，∴{△=t 4−64≥016>0，∴t ≥2√2，当x =4(√2+1)，y =12时取等号， ∴8x +1y 的最小值是2√2． 故答案为：2√2．利用换元法得到关于a 的方程a 2−t 2a +16=0有两个正实根，再利用根与系数的关系即可求解．本题考查了换元法的应用，一元二次方程有两个正实根的求解，属于中档题．17.【答案】解：(1)选①a 3=5．设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+6×52d =36，a 1+2d =5，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1． 选②a 2+a 4+a 6=21， 设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+6×52d =36，3a 1+9d =21，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1． 选③S 7=49，设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+6×52d =36，7a 1+7×62d =49，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1．(2)a n3n =2n−13n．数列{an3n }的前n 项和T n =13+332+533+⋯…+2n−13n，∴13T n =132+333+⋯…+2n−33n +2n−13n+1，相减可得：23T n =13+2(132+133+⋯…+13n )−2n−13n+1=13+2×19[1−(13)n−1]1−13−2n−13n+1，化为：T n =1−n+13n．【解析】(1)选①a 3=5.设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的通项公式与求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．选②a 2+a 4+a 6=21，设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的通项公式与求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．选③S 7=49，设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．(2)a n3n =2n−13n.利用错位相减法可得数列{an3n}的前n 项和T n ． 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵∑t i 10i=1=22.00，∑y i 10i=1=230， ∴t −=2.2，y −=23，b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)=∑t i 10i=1y i −10t −⋅y−∑t i 210i=1−10t−2=569−10×2.2×2350.92−10×2.2×2.2=25，则a ̂=y −−b ̂t −=23−25×2.2=−32，故模型②中y 关于x 的回归方程为y ̂=25lnx −32．(2)当x =20时，模型①的年利润的预测值为y ̂=2.5×20−2.5=47.5 (万元)， 当x =20时，模型②年利润的预测值为y ̂=25ln20−32=25×(2ln2+ln5)−32≈25×(2×0.6931+1.6094)−32=42.89(万元)．(3)由表格中的数据可得，102.28>36.19，即102.28∑(10i=1y i−y−)2>36.19∑(10i=1y i−y −)2， ∴模型①的相关指数R 2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，故当x=20时，模型②的预测值比模型①的预测值进度更高，更可靠．【解析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．(2)将x=20分别代入两个线性回归方程中，即可求解．(3)根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：取BB1的中点P，连接MP，NP，又M是CC1的中点，则MP//BC，∵MP⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MP//平面ABC，又N是A1B的中点，∴NP//A1B1，而AB//A1B1，∴NP//AB，∵NP⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴NP//平面ABC，∵MP∩NP=P，MP、NP⊂平面MNP，∴平面PMN//平面ABC，∵MN⊂平面PMN，∴MN//平面ABC．(Ⅱ)(i)证明：设BC=1，则A1A=A1M=2，依题意CA1=CA=C1A1，∴A1M是等腰△A1CC1底边上的中线，则A1M⊥CC1，∴AC=A1C1=√A1M2+MC12=√5，∵△ABA1为等边三角形，∴AB=AA1=BA1=2，∴AB2+BC2=5=AC2，∴AB⊥BC，同理，A1B2+BC2=A1C2，∴A1B⊥BC，∵A1B∩AB=B，A1B、AB⊂平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1．(ii)解：∵BC⊥平面ABB1A1，AN⊂平面ABB1A1，∴AN⊥BC，∵正△ABA1中，N为BA1中点，∴AN⊥BA1，又BC∩BA1=B，BC、BA1⊂平面A1BC，∴AN⊥平面A1BC，又AN⊂平面AMN，∴平面AMN⊥平面A1BC，设A1C∩AM=Q，连接QN，则QN 为平面AMN 与平面A 1BC 的交线， 过B 作BH ⊥QN 于点H ，则BH ⊥平面AMN ， ∵MN ⊂平面AMN ，∴BH ⊥MN ， 过B 作BG ⊥MN 于点G ，连接HG ， 又BG ∩BH =B ，BG 、BH ⊂平面BGH ，∴MN ⊥平面BGH ，又GH ⊂平面BGH ，∴MN ⊥GH ， ∴∠BGH 是二面角A −MN −B 的平面角，由(i)知BC =1，CM =1，∴BM =√2， △BMA 1中，BA 1=A 1M =2，BM =√2， ∴由余弦定理得cos∠MBA 1=222×2×√2=√24， ∵N 为BA 1中点，∴BN =1， ∴△BMN 中，由余弦定理可得 MN =√12+2−2×1×√2×√24=√2，∵S △BMN =12BM ·BN ·sin∠MBN =12BG ·MN∴BG =√2×1×√78√2=√78，∵CM//AA 1，CM ：AA 1=1:2，∴CQ ：QA 1=1:2， 又A 1C =√5，∴A 1Q =2√53， Rt △A 1BC 中，cos∠BA 1C =BA1CA 1=√5，∴△A 1NQ 中，由余弦定理可得 QN =(2√53)2√532√5=√53， ∴cos∠QNA 1=(√53)2+12−(2√53)22×√53×1=−√55， ∴sin∠QNA 1=sin∠BNH =2√55，在Rt △BHN 中，sin∠BNH =BHBN ， ∴BH =BN ·2√55=2√55，∴二面角A −MN −B 的正弦值为sin∠BGH =BH BG=√3235=4√7035．【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，题目较难． (Ⅰ)取BB 1的中点P ，证得MP//平面ABC ，NP//平面ABC ，进而平面PMN//平面ABC ，由此能证明MN//平面ABC ．(Ⅱ)(i)设BC =1，则A 1A =A 1M =2，CA 1=CA =C 1A 1，从而A 1M 是等腰△A 1CC 1底边上的中线，则A 1M ⊥CC 1，AC =A 1C 1=√A 1M 2+MC 12=√5，推导出AB ⊥BC ，同理A 1B ⊥BC ，由此能证明BC ⊥平面ABB 1A 1．(ii)由AN ⊥BC ，AN ⊥BA 1，知AN ⊥平面A 1BC ，从而平面AMN ⊥平面A 1BC ，设A 1C ∩AM =Q ，则QN 为平面AMN 与平面A 1BC 的交线，过B 作BH ⊥QN 于点H ，则BH ⊥平面AMN ，又过B 作BG ⊥MN 于点G ，则MN ⊥平面BGH ，从而∠BGH 是二面角A −MN −B 的平面角，由此能求出二面角A −MN −B 的正弦值．20.【答案】解：(1)由题意可知，圆C 1的圆心(2,0)，半径为3√6，圆C 2的圆心(−2,0)，半径为√6， 设圆M 的半径为R ，则|MC 1|+|MC 2|=(3√6−R)+(√6+R)=4√6>4=|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 则2a =4√6，2c =4，所以a =2√6，c =2，b =√a 2−b 2=2√5， 故动圆圆心M 的轨迹方程C 为x 224+y 220=1； (2)由题得直线斜率不为0，设直线的方程为x =my +3，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则R(x 1,−y 1)，由{x =my +35x 2+6y 2=120，可得(5m 2+6)y 2+30my −75=0，Δ=(30m)2+4×75(5m 2+6)>0恒成立，由韦达定理可得y 1+y 2=−30m5m 2+6，y 1y 2=−755m 2+6， 由椭圆的对称性，不妨设m <0，则x 1<3，y 1>0，x 2>3，y 2<0，如图所示，则S △PQR =12×2y 1×(x 2−x 1)=y 1×(x 2−x 1)，S △PAR =12×2y 1×(3−x 1)=y 1×(3−x 1)，S △ARQ =S △PQR −S △PAR =y 1×(x 2−x 1)−y 1×(3−x 1)=y 1(x 2−3)=y 1(my 2+3−3)=my 1y 2=m ×(−755m 2+6)=75−5m+6−m ≤2√(−5m)×6−m =5√304， 当且仅当−5m =6−m ，即m =−√305时取等号，故△ARQ 面积的最大值为5√304．【解析】(1)设圆M 的半径为R ，由椭圆的定义得到点M 的轨迹，求出椭圆方程即可；(2)由题得直线斜率不为0，设直线的方程为x =my +3，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，与椭圆联立方程组由韦达定理可得y 1+y 2=−30m 5m 2+6，y 1y 2=−755m 2+6，S △ARQ =S △PQR −S △PAR =my 1y 2=m ×(−755m 2+6)，计算可得△ARQ 面积的最大值．本题考查了动点轨迹方程的求解，椭圆定义的理解与应用，椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，直线与圆的位置关系的理解与应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】(1)证明：当a =12时，令G(x)=f(x)+x −g(x)−sinx =e x −12x 2−x −1(x ≥0)，则G′(x)=e x −x −1，G ″(x)=e x −1≥0，所以G′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以G′(x)≥G′(0)=0，所以G(x)在[0,+∞)上单调递增，所以G(x)≥G(0)=0，所以f(x)+x ≥g(x)+sinx ；(2)e x +sinx −(ax 2+2x +1)，由题意得，ℎ(x)min ≥0，因为ℎ′(x)=e x −2ax −2+cosx ，ℎ′(0)=0，ℎ″(x)=e x −sinx −2a ，ℎ″(0)=1−2a ，ℎ″′(x)=e x −cosx ≥0，则ℎ″(x)在[0,+∞)上单调递增，当a ≤12时，ℎ″(0)=1−2a ≥0，则ℎ″(x)≥ℎ″(0)≥0，ℎ′(x)单调递增，ℎ′(x)≥ℎ′(0)=0， 则ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，ℎ(x)≥ℎ(0)=0，符合题意；当a >12时，ℎ″(0)=1−2a <0，由(1)的结论可得ℎ″(x)在[0,+∞)上单调递增，ℎ″(1+2a)=e 1+2a −2a −sin(1+2a)≥1+(1+2a)−2a −1>0，故必然存在x 0∈(0,1+2a)使得，x ∈(0,x 0)时，ℎ″(0)<0，则ℎ′(x)在(0,x 0)上单调递减，此时ℎ′(x)<ℎ′(0)=0，则ℎ(x)在(0,x 0)上单调递减，此时ℎ(x)<ℎ(0)=0，不符合题意，综上，a 的范围为(−∞,12].【解析】(′)把a =12代入后，构造函数令G(x)=f(x)+x −g(x)−sinx ，对其求导，然后结合导数与单调性关系即可证明；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，然后对函数求导，结合导数与单调性关系分析导数符号，再由函数的性质及零点判定定理可求．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了利用导数及函数性质证明不等式，求解与不等式恒成立问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于难题．22.【答案】解：(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =cost y =sint ，(t 为参数)， 消去参数t ，可得x 2+y 2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4t y =sin 4t，(t 为参数)， 两式作差可得x −y =cos 4t −sin 4t =cos 2t −sin 2t =2cos 2t −1，∴cos 2t =x−y+12，得x =cos 4t =(x−y+12)2， 整理得：(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1)．由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，又x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴4x −16y +3=0．联立{(x −y)2−2(x +y)+1=04x −16y +3=0，解得{x =16936y =4936(舍)，或{x =14y =14． ∴C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).【解析】(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =cost y =sint ，(t 为参数)，利用平方关系消去参数t ，可得x 2+y 2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4t y =sin 4t，(t 为参数)，消去参数t ，可得(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1).由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得4x −16y +3=0.联立方程组即可求得C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．23.【答案】解：函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|={x +3,(x ≥1)5x −1,(−13≤x <1)−x −3,(x <−13)， 图象如图所示(2)由于f(x +1)的图象是函数f(x)的图象向左平移了一个1单位所得，(如图所示)直线y =5x −1向左平移一个单位后表示为y =5(x +1)−1=5x +4，联立{y =−x −3y =5x +4，解得横坐标为x =−76， ∴不等式f(x)>f(x +1)的解集为{x|x <−76}.【解析】(1)将函数零点分段，即可作出图象；(2)由于f(x+1)是函数f(x)向左平移了一个1单位，作出图象可得答案；本题考查了绝对值函数的解法，分段作出图象是解题的关键．属于基础题．。
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【考点梳理】考点一：直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2d <r d ＝r d >r代数法：由Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0考点二：直线与圆的方程解决实际问题审题→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．【题型归纳】题型一：判断直线与圆的位置关系1．（2021·全国高二单元测试）直线10mx y -+=与圆22(2)(1)5x y -+-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与m 的值有关2．（2021·浙江高二期末）直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 的大小有关3．（2021·北京房山·高二期末）已知直线10l kx y k -+-=：和圆C ：2240x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定题型二：由直线与圆的位置关系求参数4．（2021·云南省云天化中学高二期末（文））直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，则a =（）A ．1-B ．1C ．3-D ．35．（2021·内蒙古赤峰市·）若直线()200,0ax by a b --=>>被圆22 2210x y x y +-++=截得的弦长为2，则11a b+的最小值为（）A ．14B ．4C ．12D ．26．（2020·大连市红旗高级中学）若直线:1l y kx =-与圆()()22:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()22:23D x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定题型三：圆的弦长问题7．（2021·汕头市澄海中学高二月考）若圆22:160C x x y m +++=被直线3440x y ++=截得的弦长为6，则m =（）A ．26B ．31C ．39D ．438．（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期中）圆22:(2)4C x y -+=与直线40x y --=相交所得弦长为（）A ．1B ．2C ．2D ．229．（2021·湖北十堰市·高二期末）直线3410x y ++=被圆220x y x y +-+=所截得的弦长为（）A ．710B ．57C ．75D ．145题型四：圆的弦长求参数或者切线方程10．（2021·上海闵行中学高二期末）圆()()22134x y -+-=截直线10ax y +-=所得的弦长为23，则a =（）A ．43-B ．34-C ．3D ．211．（2021·广西河池市·高二期末（文））已知斜率为1-的直线l 被圆C ：222430x y x y ++-+=截得的弦长为6，则直线l 的方程为（）A ．2210x y ++=或2230x y +-=B ．0x y +=或20x y +-=C ．2220x y +-=或22320x y ++=D ．20x y +-=或220x y ++=12．（2021·长春市第二十九中学高二期末（理））直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（）A ．9B ．4C ．12D ．14题型五：直线与圆的应用13．（2021·广东深圳市·高三月考）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度最接近（）A ．13.1米B ．13.7米C ．13.2米D ．13.6米14．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（）A ．230米B ．202米C ．430米D ．125米15．（2020·重庆市万州沙河中学高二月考）一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（）小时A ．1B ．2C ．3D ．4题型六：直线与圆的位置关系的综合应用16．（2021·贵州遵义市·高二期末（理））已知O 圆心在直线2y x =+上，且过点()1,0A 、()2,1B ．（1）求O 的标准方程；（2）已知过点()3,1的直线l 被所截得的弦长为4，求直线l 的方程．17．（2020·永丰县永丰中学高二期中（文））已知圆C 经过点()()1,0,2,1A B ，且圆心在直线:l y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求22y x +-的取值范围．18．（2020·黑龙江哈尔滨·哈九中高二期中（文））已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,8，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，且直线l 过定点()1,0.（1）求点M 的轨迹方程；（2）记（1）中求得的图形的圆心为C ，（i ）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（ii ）若直线l 与圆C 交于,P Q 两点，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【双基达标】一、单选题19．（2021·嘉兴市第五高级中学高二期中）直线:1l y x =-截圆22:1O x y +=所得的弦长是（）A ．2B ．3C ．2D ．120．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考）经过点()2,3P -作圆22:224C x y x ++=的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为（）A ．50x y --=B ．50x y +-=C ．50x y -+=D ．50x y ++=21．（2021·云南保山市·高二期末（文））若直线m ：0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的距离的最小值为（）A ．1B ．3C ．2D ．2322．（2021·四川省乐至中学高二期末）圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=(),a b R ∈对称，则ab 的取值范围是（）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭23．（2021·全国高二专题练习）直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN =，则k 的值是（）A ．34-B ．0C ．0或34-D ．3424．（2021·广西桂林市·（理））圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个25．（2021·全国）已知圆C 的方程为22(3)(4)1x y -+-=，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线．若切线长的最小值为15，则直线l 的斜率为（）A ．4B ．-4C ．34-D ．43-26．（2021·全国高二期中）在平面直角坐标系中，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=与直线1(2)()y m x m R +=-∈相切，则面积最大的圆的标准方程为（）A ．22(1)(1)4x y -+-=B ．22(1)(1)5x y -+-=C ．22(1)(1)6x y -+-=D ．22(1)(1)8x y -+-=27．（2021·山西晋中·高二期末（理））已知圆22:20C x y x +-=，直线:10l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）A ．0x y +=B ．0x y -=C ．2210x y -+=D ．2210x y ++=28．（2021·克拉玛依市第一中学高二月考）已知圆22:4210C x y x y +--+=及直线():2l y kx k k R =-+∈，设直线l 与圆C 相交所得的最长弦长为MN ，最短弦为PQ ，则四边形PMQN 的面积为（）A ．42B ．22C ．8D ．82【高分突破】一：单选题29．（2021·全国高二专题练习）已知圆()()22224244100x y mx m y m m m +--++++=≠的圆心在直线70x y +-=上，则该圆的面积为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π30．（2021·南昌市豫章中学（文））若圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，则实数a 的取值范围是（）A ．2921,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．91,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．2921,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭31．（2021·浙江丽水·高二期中）已知圆22:1O x y +=，直线:20l x y ++=，点P 为l 上一动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB （切点为A ，B ），当四边形PAOB 的面积最小时，直线AB的方程为（）A ．10x y -+=B ．20x y -+=C ．10x y ++=D ．20x y +-=32．（2021·云南师大附中（理））已知在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，则r =（）A ．23B ．26C ．42D ．833．（2021·四川（理））已知圆221x y +=与直线310ax by ++=（a ，b 为非零实数）相切，则2213a b+的最小值为（）A ．10B ．12C ．13D ．1634．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二其他模拟（理））若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．()3,3-C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭35．（2021·全国高二专题练习）已知三条直线1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，3:0l ax by c ++=，其中m ，n ，a ，b ，c 为实数，m ，n 不同时为零，a ，b ，c 不同时为零，且2a c b +=．设直线1l ，2l 交于点P ，则点P 到直线3l 的距离的最大值是（）A ．52102+B ．105822+C ．58102+D ．105222+二、多选题36．（2021·全国高二专题练习）已知直线:20l kx y k -+=和圆22:16O x y +=，则（）A ．直线l 恒过定点()2,0B ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若1k =-，直线l 被圆O 截得的弦长为437．（2020·河北武强中学高二月考）直线l 经过点()5,5P ，且与圆22:25C x y +=相交，截得弦长为45，则直线l 的方程为（）A ．250x y --=B ．250x y -+=C ．250x y -+=D ．250x y --=38．（2021·全国高二专题练习）设直线():1l y kx k =+∈R 与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的为（）A ．l 与C 可能相离B ．l 不可能将C 的周长平分C ．当1k =时，l 被C 截得的弦长为322D ．l 被C 截得的最短弦长为439．（2021·山东菏泽·高二期末）已知直线:(2)10l mx m y m --+-=，圆22:20C x y x +-=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 恒有两个公共点B ．圆心C 到直线l 的最大距离是2C ．存在一个m 值，使直线l 经过圆心CD ．当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称三、填空题40．（2021·合肥百花中学高二期末（理））设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于,A B 两点，则AB =__________．41．（2021·绵阳市·四川省绵阳江油中学（文））已知点(),x y 在圆22(2)(3)1x y -++=上，则x y +的最大值是________．42．（2021·上海高二期中）在平面直角坐标系中，过点()2,2M 且与圆2220x y x +-=相切的直线方程为__________．43．（2021·江苏南京市·南京一中高二期末）已知直线1l ：()0kx y k R +=∈与直线2l ：220x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆()()22232x y +++=上的动点，则AB 的最大值为___________.四、解答题44．（2021·合肥百花中学高二期末（理））已知圆22:20C x y x my +-+=，其圆心C 在直线y x =上．（1）求m 的值；（2）若过点(1,1)-的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．45．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）已知圆C 经过()2,4，()1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.（1）求圆C 的方程；（2）若12OM ON ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程.46．（2021·台州市书生中学高二期中）已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=．（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）设l 与圆C 交与不同两点,A B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（3）若直线过点()1,1P ，且P 点分弦AB 为12AP PB =，求此时直线l 的方程．47．（2020·安徽六安市·立人中学高二期中（理））已知圆C 经过两点(1,3),(3,1)P Q ---，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=．（1）求圆C 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 一定相交；（3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．48．（2020·吉安县立中学（文））已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ，动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系【答案详解】1．A 【详解】10mx y -+=过定点()0,1，且()22(214501)+-=<-，故()0,1在圆内，故直线和圆相交.故选：A 2．A 【详解】直线l ：1=-+y ax a ，即()11y a x =-+恒过()1,1，而221124+=<，故()1,1点在圆内，故直线与圆必然相交．故选：A ．3．A 【详解】直线方程整理为(1)10k x y --+=，即直线过定点(1,1)P ，而22114120+-⨯=-<，P 在圆C 内，∴直线l 与圆C 相交．故选：A ．4．B 【详解】由22240x y x y ++-=，得22(1)(2)5x y ++-=，则圆心坐标为(12)-，，又直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，由圆的对称性可知，该圆的圆心(12)-，在直线30x y a ++=上，则3(1)121a =-⨯--⨯=，故选：B ．5．D 【详解】由圆的方程22 2210x y x y +-++=，可得圆心坐标为(1,1)-，半径为1r =，因为直线20ax by --=被圆截得的弦长为2，可直线20ax by --=必过圆心(1,1)-，代入可得2a b +=，又因为0,0a b >>，则1111111()()(2)(22)2222b a b aa b a b a b a b a b+=⋅++=⋅++≥⋅+⋅=，当且仅当b aab=时，即1a b ==时，等号成立，所以11a b+的最小值为2.故选：D.6．A 【详解】由圆C 方程知其圆心()2,1C ，半径为2，直线l 与圆C 相切，221121k k --∴=+，解得：23k =±，由圆D 方程知其圆心()2,0D ，半径3r =，∴圆心D 到直线l 距离2211k d k -=+；当23k =+时，()()2222323330843231d r +-=-=-<+++，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；当23k =-时，()()2222323330843231d r --=-=-<--+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；综上所述：圆D 与直线l 相交.故选：A.7．C 【详解】将圆化为22(8)64(64)x y m m ++=-<，所以圆心到直线3440x y ++=的距离d =24445-+=，该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，所以224364m +=-，解得39.m =8．D 【详解】圆22:(2)4C x y -+=的圆心坐标为()20，，半径为2，圆心到直线40x y --=的距离为204211d --==+，故弦长为：24222-=，故选：D.9．C 【详解】由220x y x y +-+=可得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则圆心坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径22r =，所以圆心到直线3410x y ++=的距离为22113412211034d ⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭==+，所以所求弦长为22725r d -=.故选：C.10．B 【详解】由题意圆心到直线的距离为()()2222222222232241111a a a d r d a a a a +++=∴=-=-∴=∴=+++34-故选：B 11．B 【详解】圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y ++-=，设直线l 的方程为0x y m ++=，可知圆心到直线l 的距离为2262(2)22⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，有|1|222m +=，有0m =或2-，直线l 的方程为0x y +=或20x y +-=．故选：B【详解】将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=，故该圆圆心为(1,2)-，半径为3.因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，即1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D.13．C 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y 轴上，设圆的半径为r ，则圆的方程为222(+)x y r r +=，∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点(6,3)-,∴2236(3+)r r +-=，∴152r =∴圆的方程为2215225(+)24x y +=，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为(,4)t -，则244t =，∴211t =±，∴当水面下降1米后，水面宽度为411，约为13.2，故选：C.14．C 【详解】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于y 轴负半轴上，设该圆的圆心为()0,a -，0a >，则该圆的方程为()222x y a a ++=，记水面下降前与圆的两交点为A ，B ；记水面下降1米后与圆的两交点为C ，D ；由题意可得，()10,4A --，则()()222104a a -+-+=，解得292a =，所以圆的方程为222292922x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，水面位下降1米后，可知C 点纵坐标为5y =-，所以2222929522x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2120x =，则此时的桥在水面的跨度为22120430CD x ===米.故选：C.15．B根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束，所以:14030AB x y l +=，即:341200AB l x y +-=，因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为221202434OO -'==+，所以22220MN MO OO '=-=，所以监测时间持续2010=2小时，故选：B.16．（1）()2225x y +-=；（2）1y =或34130x y +-=.由点()1,0A 、()2,1B 可得AB 中点坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭，10121AB k -==-，所以直线AB 的垂直平分线的斜率为1-，可得直线AB 的垂直平分线的方程为：1322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭即20x y +-=，由202x y y x +-=⎧⎨=+⎩可得：02x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()0,2O ，()()2210025r OA ==-+-=，所以O 的标准方程为()2225x y +-=，（2）设直线的方程为()13y k x -=-即310kx y k --+=，圆心()0,2O 到直线的距离2131k d k --=+，则()2222134521k k ⎛⎫--⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭可得()222135211k k +=-=+，即2430k k +=，解得：0k =或34k =-，所以直线l 的方程为10y -=或()3134y x -=--，即1y =或34130x y +-=17．（1）22(1)(1)1x y -+-=；（2）4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【详解】（1）设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=由题意得222222(1)(0)(2)(1)a b r a b r b a ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪=⎩，解得1a b r ===所以，圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=（2）由（1）得()()22111x y -+-=，则圆心为()1,1，半径为1；而22y x +-表示圆上的点(,)P x y 与定点()2,2M -连线的斜率，当过点()2,2M -的直线与圆相切时，不妨设直线方程为：()22y k x +=-，即220kx y k ---=，则圆心()1,1到直线220kx y k ---=的距离为212211k k k ---=+，解得43k =-，因此22y x +-的取值范围是4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；18．【详解】（1）设(),M x y ，()00,A x y ，M 是线段AB 中点，006282x x y y+⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，整理可得：002628x x y y =-⎧⎨=-⎩，A 在圆2216x y +=上，()()22262816x y ∴-+-=，整理可得M 点轨迹方程为：()()22344x y -+-=.（2）（i ）由（1）知：圆心()3,4C ，半径2r =，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，是圆的切线，满足题意；当直线l 斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离23421k k d k --==+，解得：34k =，:3430l x y ∴--=；综上所述：直线l 的方程为1x =或3430x y --=；（ii ）由直线l 与圆C 交于,P Q 两点知：直线l 斜率存在且不为0，设其方程为：()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离22342411k k k d k k ---==++，()2222222144222CPQd d S PQ d d r d d d⎡⎤-+=⋅=-=-≤=⎢⎥⎣⎦（当且仅当224d d -=，即22d =时取等号），由22d=得：()222421k k -=+，解得：1k =或7k =，∴CPQ 面积的最大值为2，此时l 方程为：10x y --=或770x y --=.19．C圆心（0,0）到直线10x y --=的距离|1|122d -==，因为圆的半径为1，则弦长为2212122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：C.20．A 【详解】由题意，圆22:224C x y x ++=，可得圆心坐标为(1,0)C -，点()2,3P -在圆C 内，则过点P 且被点P 平分的弦所在的直线和圆心与P 的连线垂直，又由3012(1)CP k --==---，所以所求直线的斜率为1，且过点()2,3P -，可得所求直线方程为(3)1(2)y x --=-⨯-，即50x y --=．故选：A 21．B 【详解】根据题意，圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径为2，设圆心到直线0kx y +=的距离为d ，则221k d k =+，若直线0kx y +=被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则2222r d =-，所以214d +=，又0d >，解得3d =，所以2321k d k==+，解得3k =±，点()0,23A 与直线m 上任意一点P 的最小值为点到直线的距离122331d k ==+，故选:B ．22．A 【详解】解：把圆的方程化为标准方程得：22(1)(2)4x y ++-=，∴圆心坐标为(1,2)-，半径2r =，根据题意可知：圆心在已知直线220ax by -+=上，把圆心坐标代入直线方程得：2220a b --+=，即1b a =-，则设2211(1)24m ab a a a a a ⎛⎫==-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当12a =时，m 有最大值，最大值为14，即ab 的最大值为14，则ab 的取值范围是(-∞，1]4．故选：A ．23．C由题意，知23MN =，圆心为(3，2).设圆的半径为r ，则2r =，所以圆心到直线的距离224312MN d r ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.由点到直线的距高公式，得232311k k -+=+，解得0k =或34k =-.故选：C.24．B 【详解】由222420x x y y -+++=，得22(1)(2)3x y -++=，则圆心为(1,2)-，半径3r =，因为圆心(1,2)-到直线2220x y -+=的距离为22222243381d +++==>+，且2242243333133d ++--=-=<，所以圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有2个，故选：B25．C 【详解】解：由22(3)(4)1x y -+-=，得圆心(3,4)C ，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线，要使切线长最小，即要使圆心到直线l 的距离最小，根据题意作图，如图所示：圆的半径为1，切线长为15，∴圆心到直线l 的距离等于221(15)4+=，∴由点到直线的距离公式得2|3345|49a a ⨯+-=+，解得4a =，此时直线l 的斜率为34-．故选：C ．26．B 【详解】解：根据题意，直线1(2)y m x +=-，恒过定点(2,1)-，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=，其圆心为(1,1)，半径为r ，若圆的面积最大，即圆心到直线l 的距离最大，且其最大值22(12)(11)5CP =-++=，即圆的面积最大时，圆的半径5r =，此时圆的方程为：22(1)(1)5x y -+-=，故选：B ．27．A 【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0，半径为1r =.依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△，而21PA PC =-，当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB ⋅最小.结合图象可知，此时切点为()()0,0,1,1-，所以直线AB 的方程为y x =-，即0x y +=.故选：A28．A 【详解】将圆C 方程整理为：()()22214x y -+-=，则圆心()2,1C ，半径2r =；将直线l 方程整理为：()12y k x =-+，则直线l 恒过定点()1,2，且()1,2在圆C 内；最长弦MN 为过()1,2的圆的直径，则4MN =；最短弦PQ 为过()1,2，且与最长弦MN 垂直的弦，21112MN k -==-- ，1PQ k ∴=，∴直线PQ 方程为21y x -=-，即10x y -+=，∴圆心C 到直线PQ 的距离为21122-+==d ，22224222PQ r d ∴=-=-=；∴四边形PMQN 的面积114224222S MN PQ =⋅=⨯⨯=.故选：A.29．A 【详解】圆的方程可化为()()()222210x m y m m m -+--=≠，其圆心为(),21m m +.依题意得，2170m m ++-=，解得2m =，∴圆的半径为2，面积为4π，故选：A 30．A 【详解】解:将圆的方程化为标准形式得圆()()22216x a y -++=,所以圆心坐标为(),2a -,半径为4r =因为圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，所以圆心到直线的距离d 满足15d r ≤+=,即4455a d +=≤,解得:2921,44a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:A31．C 【详解】设四边形PAOB 的面积为S ，2||||||PAO S S AO AP AP === ，222||||||||1AP OP OA OP =-=-，所以，当||OP 最小时，||AP 就最小，|002|||22min o l OP d -++===，所以||211min min S AP ==-=．此时OP l ⊥.所以||||||||1OA AP PB OB ====，四边形PAOB 是正方形，由题得直线OP 的方程为y x =，联立20y x x y =⎧⎨++=⎩得(1,1)--P ，所以线段OP 的中点坐标为11(,)22--，由题得直线AB 的斜率为1,-所以直线AB 的方程为11()[()]22y x --=---，化简得直线AB 的方程为10x y ++=.故选：C 32．C 【详解】解：因为圆()2222x y r ++=的圆心为()2,0-，半径为r ，圆心()2,0-到直线40x y +-=的距离22432d --==，因为在圆()2222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，所以32242r =+=．故选：C ．33．D 【详解】因为圆221x y +=与直线310ax by ++=相切，所以2200113a b++=+，所以2231a b +=，所以()2222222222222213133310616310a b a b a b ab b a b b a a ⎛⎫+=+=++≥+⋅= ⎪⎭+⎝，取等号时2214a b ==，所以2213a b +的最小值为16.故选：D.34．C 【详解】由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-=曲线()()22231x y -+-=表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，2233411k kk-+-∴≤+，即221k k -≤+，解得3333k -≤≤.故选：C.35．D 【详解】由于1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，且()0mn n m +⋅-=，12l l ∴⊥，易知直线1l 过原点，将直线2l 的方程化为()()130n x m y ---=，由1030x y -=⎧⎨-=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以，直线2l 过定点()1,3M ，所以10OM =，因为2a c b +=，则2a cb +=，直线3l 的方程为02a c ax y c +++=，直线3l 的方程可化为1022y y a x c ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由02102y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以，直线3l 过定点()1,2N -，如下图所示：设线段OM 的中点为点E ，则13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，若点P 不与O 或M 重合，由于OP PM ⊥，由直角三角形的性质可得EP EO EM ==；若点P 与O 或M 重合，满足12l l ⊥.由上可知，点P 的轨迹是以OM 为直径的圆E ，该圆圆心为13,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为102.设点E 到直线3l 的距离为d ，当3EN l ⊥时，d EN =；当EN 不与3l 垂直时，d EN <.综上，22135212222d EN ⎛⎫⎛⎫≤=-+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，点P 到直线3l 的距离的最大值为521022OM EN ++=.故选：D.36．BC 【详解】解：对于A 、C ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200x y +=⎧⎨-=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点(2,0)-，故A 错误；因为直线l 恒过定点(2,0)-，而()2220416-+=<，即(2,0)-在圆22:16O x y +=内，所以直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于B ，直线0:220l x y -+=的斜率为12，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确；对于D ，1k =-时，直线:20l x y ++=，圆心到直线的距离为22002211d ++==+，所以直线l 被圆O 截得的弦长为()22222242214r d -=-=，故D 错误.故选：BC.37．BD 【详解】圆心为原点，半径为5，依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()55y k x -=-，即550kx y k -+-=，所以()2225552521k k k -=-⇒=+或12k =.所以直线l 的方程为25520x y -+-⨯=或1155022x y -+-⨯=，即250x y --=或250x y -+=.故选：BD38．BD 【详解】对于A 选项，直线l 过定点()0,1，且点()0,1在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交，A 选项错误；对于B 选项，若直线l 将圆C 平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，B 选项正确；对于C 选项，当1k =时，直线l 的方程为10x y -+=，圆心C 到直线l 的距离为22d =，所以，直线l 被C 截得的弦长为2225322⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，圆心C 到直线l 的距离为2111d k =≤+，所以，直线l 被C 截得的弦长为2254d -≥，D 选项正确.故选：BD.39．AD 【详解】解：由直线:(2)10l mx m y m --+-=，即(1)210m x y y +--+=，得10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线l 过定点1(2P ，1)2，圆22:20C x y x +-=化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)C ，22112||(1)(0)1222PC =-+-=< ，点P 在圆C 内部，∴直线l 与圆C 恒有两个公共点，故A正确；圆心C 到直线l 的最大距离为2||2PC =，故B 错误； 直线系方程(2)10mx m y m --+-=不包含直线10x y +-=（无论m 取何值），而经过1(2P ，1)2的直线只有10x y +-=过(1,0)C ，故C 错误；当1m =时，直线l 为0x y -=，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径为1，圆22(1)1y x +-=的圆心坐标为(0,1)，半径为1，两圆的圆心关于直线0x y -=对称，半径相等，则当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称，故D 正确．故选：AD ．40．22【详解】圆22(1)4x y ++=的圆心为()0,1-，半径为2，则圆心()0,1-到直线的距离为()22011211++=+-，所以()2222222AB =-=，故答案为：2241．21-【详解】令t x y =+，则y x t =-+，t 表示直线在y 轴上的截距，所以x y +的最大值是直线在y 轴上截距的最大值，此时直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即2312td --==，解得21t =-.故答案为：21-42．x =2或3420x y +=-.【详解】圆2220x y x +-=的标准式为：()2211x y -+=，容易验证x =2与圆相切，若切线的斜率存在，则设其方程为：()22220y k x kx y k -=-⇒-+-=，于是圆心到直线的距离2|2|3141k d k k -+==⇒=+，则切线：310342042x y x y -+=⇒-+=.故答案为：x =2或3420x y +=-.43．522+解：因为直线1l ：()0kx y k R +=∈恒过定点(0,0)O ，直线2l ：220x ky k -+-=恒过定点(2,2)C ，且12l l ⊥，所以两直线的交点A 在以OC 为直径的圆D 上，且圆的方程为22:(1)(1)2D x y -+-=，要求AB 的最大值，转化为在22:(1)(1)2D x y -+-=上找上一点A ，在()()22232x y +++=上找一点B ，使AB 最大，根据题意可知两圆的圆心距为22(12)(13)5+++=，所以AB 的最大值为522+，故答案为：522+44．（1）2m =-；（2）20x y -+=或0x y +=．【详解】解：（1）圆C 的标准方程为：222(1)()124m m x y -++=+，所以，圆心为(1,)2m -由圆心C 在直线y x =上，得2m =-．所以，圆C 的方程为：22(1)(1)2x y -+-=．（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1(1)y k x -=+，即10kx y k -++=，由于直线l 和圆C 相切，得2|2|21k k =+解得：1k =±所以，直线方程为：20x y -+=或0x y +=．45．（1）()()22231x y -+-=；（2）1y x =+.【详解】解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则依题意，得()()()()22222224,13,10,a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为()()22231x y -+-=（2）设直线l 的方程为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y kx =+，代入22(2)(3)1x y -+-=并整理，得22(1)4(1)70k x k x +-++=，∴1224(1)1k x x k++=+，12271x x k =+∴()()()212121212241118121k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=+=+ ，即()24141k k k +=+，解得1k =，又当1k =时0∆>，∴1k =，∴直线l 的方程为1y x =+46．（1）圆()22:15C x y +-=的圆心()0,1C ，半径为5，所以圆心()0,1C 到直线l 的距离为22151m m d m m --=<=<+，所以直线l 与圆C 相交，故对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）当M 与P 不重合时，连接,CM CP ，则CM MP ⊥，所以222CM MP CP +=，设()(),1M x y x ≠，则()()()22221111x y x y +-+-+-=，整理得()222101x y x y x +--+=≠，当M 与P 重合时，1x y ==也满足22210x y x y +--+=，故弦AB 的中点M 的轨迹方程为22210x y x y +--+=;（3）设()()1122,,,A x y B x y ，由12AP PB =，得12AP PB = ，所以()121112x x -=-，即2132x x =-，又()221015mx y m x y -+-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，消去y 得()22221250m x m x m +-+-=，所以212221m x x m +=+，()()4222441516200m m m m ∆=-+-=+>，由2121223221x x m x x m =-⎧⎪⎨+=⎪+⎩得21231m x m +=+，将21231m x m+=+带入()22221250m x m x m +-+-=得1m =±，所以此时直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=.47．（1）因为(1,3),(3,1)P Q ---，所以PQ 的中垂线为11(2)2y x +=+上，由24011(2)2x y y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()2,1C ，又半径||5r PC ==，∴圆C 的方程为22(2)(1)25x y -+-=．（2）直线l 的方程可化为(3)(25)0k x x y ----=，令30250x x y -=⎧⎨--=⎩可得3x =，1y =-，∴直线l 过定点(3,1)M -，由22(32)(11)25-+--<可知M 在圆内，∴直线l 与圆C 一定相交．（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，弦长为L ，则2222225L r d d =-=-，∵0||d CM ≤≤，即05d ≤≤，∴4510L ≤≤，即弦长的取值范围是[45,10]．48．（1）224x y +=；（2）15±；（3）存在，(1,1)-.（1）由题，设点P 的坐标为(,)x y ，因为||2||PA PB =，即2222(4)2(1)x y x y +-=+-，整理得224x y +=，所以所求曲线E 的轨迹方程为224x y +=．（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ∠= ，由圆的性质，可得点O 到边CD 的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=的距离为2411k =+，解得15k =±，所以所求直线l 的斜率为15±．（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4(,)22t t -，且经过坐标原点，即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上，由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y +--=，即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=，由t R ∈且()440t x y y +--=，可得0440x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以直线MN 过定点(1,1)-．。
2021-2022学年四川省成都七中育才学校七年级（上）期中数学试卷1. 以下各式不是代数式的是( )A. πa +bB. 1xC. 5=3+aD. 02. −3.5的倒数是( )A. −72B. −27C. 72D. 273. 单项式−πa 3b 3的系数和次数分别是( )A. −13、4B. −π、3C. −13、3D. −π3、44. 如果一个n 棱柱有18个顶点，那么底面边数n 以及面数m 分别为( )A. n =9，m =9B. n =9，m =11C. n =6，m =6D. n =6，m =85. 今年是中国共产党建党100周年，在100年波澜壮阔的历史进程中，中国共产党从最初的50多名党员，发展到拥有92000000名党员的世界第一大执政党，数字92000000用科学记数法可表示为( )A. 9.2×107B. 0.92×107C. 0.92×108D. 92×1066. −3在数轴上位置的描述，正确的是( )A. 在点−4的左边B. 在点−2和原点之间C. 由点1向左平移4个单位得到D. 和原点的距离是−37. 下列式子化简不正确的是( )A. +(−2)=−2B. −|−4|=−4C. |−5|=−5D. −(−3)=38. 用一个平面去截①圆锥；②圆柱；③球；④五棱柱，能得到截面是圆的是( )A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④9. 在下列说法中：①如果a >b ，则有|a|>|b|；②0既不是正数，也不是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若m +n =0，则m 、n 互为相反数．正确的个数有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个10. 如图五个正方形中各有四个数，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，可推测出m 的值为( )A. 0B. 1C. 4D. 811.多项式a2b+2ab4−38是______次______项式．12.如图，是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面上，与“祝”相对的面上的汉字是______．13.一个长方形的长和宽分别为5、4，绕它的一边所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积______(结果保留π)．14.今年的“十⋅一”黄金周是7天的长假，青城山风景区在7天假期中每天旅游人数变化如表(正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少)日期1日2日3日4日5日6日7日人数变化+1.1−0.6+0.2−0.4−0.2+0.4−0.5单位：万人若9月30日的旅游人数为0.1万人，七天中旅游人数最多的一天比最少的一天多______万人．15.直接写出下列各题的答案：(1)(−2)2=______；3(2)−16=______；=______；(3)−235(4)−t−t=______；=______；(5)(−3)÷3×13(6)9−33=______；(7)若n为正整数，则(−1)2n+(−1)2n+1=______；(8)(−0.125)2021×82020=______．16. 有理数的计算：(1)−2+5−(−12)+(−7)； (2)|−6|−(−1812)+2314；(3)2×(−3)2−14×(−22)；(4)5×(−27)+(−7)×27−(−16)×(−27).17. 代数式的化简：(1)2a −3b 2−5a −4b 2； (2)2x 2−3xy −(3+x 2−12xy)；(3)先化简，再求值5ab 2−2(a 2b +4ab 2)+3(ab 2−1)，其中|a|=2，|b −1|=2．18. 已知关于x ，y 的两个单项式2ax 3m−1y 3与4x 5y 2n+1互为相反数，求5m +3n −a 的值．19.一个几何体是由若干个棱长为1cm的小正方体搭成的，从左面、上面看到的几何体的形状图如图所示：(1)该几何体最少由______个小立方体组成，最多由______个小立方体组成．(2)将该几何体形状固定好，当几何体体积达到最大时，画出此时的主视图并求出几何体的表面积．20.运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，初一15班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现某淘宝店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买a条裙子和b顶帽子(b≥2a)．(1)请用含a、b的代数式分别表示出两种方案的实际费用；(2)当a=10，b=54时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明．(3)当a=12时，方案一一定更便宜吗？如果是，说明理由；如果不是，请求出当方案一更便宜时b应满足的最大值．21. 若a 的相反数等于它本身，b 是到原点的距离等于2的负数，c 是最大的负整数，则a −b +c 的值为______．22. x ，y 表示两个数，规定新运算“※”及“△”如下：x※y =3x +2y ，x △y =xy ，那么[(−2)※1]△(−4)=______．23. 观察下列图形的规律，第3个图形中共有______个点，第7个图形中共有______个点．24. 幻方是一种很神奇的数列图，最早出现于春秋时期，现有25个连续正整数组成了一个五阶幻方，其正中间恰好是代表我们21级的数字21，其每行5个数之和、每列5个数之和、以及两条对角线上的5个数之和均为有理数n ，则2n −3=______． 25. 现有2021个关于x 、y 、z 三个字母一起构成的十次单项式，每个单项式的三个字母的指数都不相同，则这些单项式之和的项数最大不会超过______． 26. 已知A =3x 2+bx +2y −xy ，B =ax 2−3x −y +xy ．(1)若A +B 的值与x 无关，求a b ．(2)若|a −2|+(b +1)2=0且x +y =67，xy =−2时，求2A −3B 的值．27. 根据|x|={x(x ≥0)−x(x <0)，我们可以化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x −1|时，可令x −1=0，得到零点值x =1，则|x −1|={−x +2(x ≤1)x −1(x >1).类似地，我们可以化简|x −1|+|x +2|：当x ≤1时，原式=−(x −1)−(x −2)=−2x +3； 当1<x ≤2时，原式=x −1−(x −2)=1； 当x >2时，原式=x −1+x −2=2x −3． 综上所述，原式={−2x +3(x ≤1)3(1<x ≤2)2x −3(x >2)．(1)化简|x +3|−|x −4|时，先确定零点值分别为x =______和x =______． (2)仿照上面的做法，化简|x +3|−|x −4|．(3)仿照上面的做法，化简|x −3|+2|x −1|−|2x +4|．28. 如图，数轴上点A 、B 、C 对应的数分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 使得x 1−a y b−2z 12与x 3y 5z c 互为同类项．动点P 从A 点出发沿数轴以每秒5个单位的速度向右运动，当点P 运动到点C 之后立即以原速沿数轴向左运动，动点P 从A 点出发的同时动点Q 从B 点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动．设运动的时间为t 秒，(1)填空：a =______，b =______，Q 点在数轴上所表示的数为______(用t 的代数式表示)．(2)在整个运动过程中，t 取何值时CP =2CQ ？(3)若动点P 从A 点出发的同时动点M 也从点C 出发沿数轴向左运动，运动速度为每秒2个单位长度，是否存在正数n 使得nQM +PM 在一段时间内为定值，如果不存在，说明理由；如果存在，求出正数n ．答案和解析1.【答案】C【解析】解：5=3+a为等式，不是代数式，其它的都是代数式．故选：C．利用代数式的定义判断即可．本题主要考查了代数式，解题的关键是熟记代数式的定义．2.【答案】B【解析】解：根据倒数的定义，−3.5的倒数是−27．故选：B．根据倒数的定义解决此题．本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键．3.【答案】D【解析】解：根据单项式的次数与系数的定义，单项式−πa3b3的系数和次数分别是−π3、4．故选：D．根据单项式的次数与系数的定义解决此题．本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的次数与系数的定义是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：由于n棱柱有2n个顶点，3n条棱，n+2个面，所以当一个n棱柱有18个顶点时，这个棱柱是9棱柱，故有11个面，因此n=9，m=11，故选：B．根据棱柱的顶点，棱的条数，面数的关系进行判断即可．本题考查认识立体图形，掌握棱柱的顶点，棱的条数，面数的关系是解决问题的关键．5.【答案】A【解析】解：数字92000000用科学记数法可表示为9.2×107，故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．据此解答即可．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．6.【答案】C【解析】解：A、−3>−4，则−3在−4的右边，故A选项错误；B、−3<−2<0，则−3在−2的左边，故B选项错误；C、点1向左平移4个单位得到−3，故C选项正确；D、−3和原点的距离是3，故D选项错误；故选：C．比较−3和选项中的数的大小，依据右边的数总是大于左边的数即可判断．本题考查了利用数轴表示有理数的大小，理解数轴上右边的数总是大于左边的数是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：A.+(−2)=−2，原式化简正确，不符合题意；B.−|−4|=−4，原式化简正确，不符合题意；C.|−5|=5，原式化简不正确，符合题意；D.−(−3)=3，原式化简正确，不符合题意；故选：C．根据绝对值、相反数的定义解答即可．本题考查了绝对值、相反数的定义，掌握绝对值、相反数的定义是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：圆锥，如果截面与底面平行，那么截面就是圆；圆柱，如果截面与上下面平行，那么截面是圆；球，截面一定是圆；五棱柱，无论怎么去截，截面都不可能有弧度．故选B．根据圆锥、圆柱、球、五棱柱的形状特点判断即可．本题考查几何体的截面，关键要理解面与面相交得到线．9.【答案】C【解析】解：①如果a>b，如1>−2，|1|=1，|−2|=2，但|1|<|−2|，那么|a|>|b|不一定成立，故①不正确．②0既不是正数也不是负数，故②正确．③根据绝对值的定义，当a≥0，则|a|=a，即0或正数的绝对值等于本身，故③不正确．④根据等式的性质，m+n=0，则m=−n，那么m与n互为相反数，故④正确．综上：正确的共2个．故选：C．根据绝对值、有理数分类和相反数解决此题即可．本题主要考查绝对值、相反数的性质，熟练掌握绝对值、相反数是解决本题的关键．10.【答案】D【解析】解：由前四个正方形内数的规律可知：每个正方形左上、左下、右上三个数是连续的三个偶数，故第五个正方形左下和右上两数分别为：−2，0．而每个正方形右下的数=左上的数×左下的数+右上的数，故m=(−4)×(−2)+0=8．故选：D．观察前四个正方形规律是：左上、左下、右上三个数是连续的三个偶数，右下=左上×左下+右上，可得m的值．本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．11.【答案】五三【解析】解：多项式a2b+2ab4−38含有a2b、2ab4、−38三项，其中2ab4的次数最高为五次，∴多项式a2b+2ab4−38是五次三项式，故答案为：五、三．根据多项式的项及次数的概念进行分析解答．本题考查了多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．12.【答案】功【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“祝”与“功”是相对面，故答案是：功．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．13.【答案】80π或100π【解析】解：以长方形边长为5的边为轴，旋转一周，得到的是底面半径为4，高为5的圆柱体，因此体积为π×42×5=80π，以长方形边长为4的边为轴，旋转一周，得到的是底面半径为5，高为4的圆柱体，因此体积为π×52×4=100π，以不同的边为轴旋转，可以得到不同的圆柱体，得出不同情况下旋转所得到的圆柱体的底面半径和高，根据圆柱体体积的计算方法进行计算即可．不同考查点、线、面、体，理解“面动成体”，掌握圆柱体体积的计算方法是解决问题的前提．14.【答案】1.1【解析】解：10月1日有游客：0.1+1.1=1.2(万人)，10月2日有游客：1.2−0.6=0.6(万人)，10月3日有游客：0.6+0.2=0.8(万人)，10月4日有游客：0.8−0.4=0.4(万人)，10月5日有游客：0.4−0.2=0.2(万人)，10月6日有游客：0.2+0.4=0.6(万人)，10月7日有游客：0.6−0.5=0.1(万人)；7天中旅客最多的是1日为1.2万人，最少的是7日为0.1万人，则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多1.2−0.1=1.1(万人)；故答案为：1.1．根据表格得出1日到7日每天的人数，找出旅客人数最多的与最少的，相减计算即可得到结果．此题考查了正数和负数以及有理数的加减混合运算，弄清题目中正数与负数的意义是解本题的关键．15.【答案】49−1−85−2t−13−180−0.125【解析】解：(1)(−23)2=49，故答案为：49；(2)−16=−1，故答案为：−1；(3)−235=−85，故答案为：−8；(4)−t−t=−2t，故答案为：−2t；(5)(−3)÷3×13=−1×13=−1，3；故答案为：−13(6)9−33=9−27=−18，故答案为：−18；(7)∵n为正整数，∴(−1)2n+(−1)2n+1=1+(−1)=0，故答案为：0；(8)(−0.125)2021×82020=(−0.125)2020×82020×(−0.125)=[(−0.125)×8]2020×(−0.125)=(−1)2020×(−0.125)=1×(−0.125)=−0.125，故答案为：−0.125．(1)根据有理数的乘方进行计算即可；(2)根据有理数的乘方进行计算即可；(3)根据有理数的乘方进行计算即可；(4)根据合并同类项法则进行计算即可；(5)根据有理数的乘除法则进行计算即可；(6)先根据有理数的乘方进行计算，再根据有理数的减法法则进行计算即可；(7)先算乘方，再根据有理数的加法法则求出答案即可；(8)先根据积的乘方的逆运算进行计算，再求出答案即可．算法则进行计算和化简是解此题的关键．16.【答案】解：(1)−2+5−(−12)+(−7)=−2+5+12−7=(−2+5)+(12−7)=3+5=8；(2)|−6|−(−1812)+2314=6+1812+2314=6+18+23+24+14=4734； (3)2×(−3)2−14×(−22)=2×9−14×(−4)=18+1=19；(4)5×(−27)+(−7)×27−(−16)×(−27)=(−5−7−16)×27=−28×27=−4×2=−8．【解析】(1)先化简，再计算加减法即可求解；(2)先计算绝对值，再计算加减法即可求解；(3)先算乘方，再算乘法，最后算减法；(4)根据乘法分配律简便计算．本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．17.【答案】解：(1)2a−3b2−5a−4b2=−3a−7b2．xy)(2)2x2−3xy−(3+x2−12xy=2x2−3xy−3−x2+12xy−3．=x2−52(3)5ab2−2(a2b+4ab2)+3(ab2−1)=5ab2−2a2b−8ab2+3ab2−3=−2a2b−3．∵|a|=2，|b−1|=2，∴a=±2，b−1=±2．∴a=±2，b=3或−1．∴当a=2，b=3时，原式=−2×22×3−3=−27；当a=2，b=−1时，原式=−2×22×(−1)−3=5；当a=−2，b=3时，原式=−2×(−2)2×3−3=−27；当a=−2，b=−1时，原式=−2×(−2)2×(−1)−3=5．综上：原式=−27或5．【解析】(1)根据合并同类项法则解决此题．(2)根据整式的加减混合运算法则，先去括号，再合并同类项．(3)根据整式的加减混合运算法则，先计算乘法，再计算加减，最后根据绝对值的定义求出a与b并代入求值．本题主要考查整式加减混合运算、绝对值，熟练掌握整式的加减混合运算法则、绝对值是解决本题的关键．18.【答案】解：根据题意得，3m−1=5，2n+1=3，2a=−4∴m=2，n=1，a=−2，∴5m+3n−a=5×2+3×1+2=15．【解析】根据关于x，y的两个单项式2ax3m−1y3与4x5y2n+1互为相反数，得系数互为相反数，相同字母指数相等，列式计算，求出m、n、a，代入代数式计算．本题考查了代数式的求值、单项式，掌握两个单项式互为相反数，得系数互为相反数，相同字母指数相等，列式计算是解题关键．19.【答案】914【解析】解：(1)如图，在俯视图上的相应位置摆放相应数量的小立方体如下：所以最少需要9个，最多需要14个，故答案为：9，14；(2)当几何体体积达到最大时，其主视图如下：当几何体体积达到最大时，这个几何体的表面积为(9+6+6)×2+4=21×2+4= 42+4=46(cm2).(1)根据左视图和俯视图，在相应位置上摆放相应数量的小立方体直至“最多”或“最少”，进而得出答案；(2)当体积最大时，即(1)中需要几何体最多时的摆法，依据俯视图得出主视图，进而求出表面积．本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．20.【答案】解：根据题意得，(1)方案一：90a+12(b−2a)=(66a+12b)(元)，方案二：0.8(90a+12b)=(72a+9.6b)(元)；(2)当a=10，b=54时，方案一：66a+12b=66×10+12×54=660+648=1308(元)，方案二：72a+9.6b=72×10+9.6×54=1238.4(元)，∵1308>1238.4，∴方案二便宜；(3)当a=12方案一：(792+12b)(元)，方案二：(864+9.6b)(元)864+9.6b−(792+12b)=72−2.4b(元)∵b的值不确定，∴72−2.4b无法确定它的大小，∴当a=12时，方案一不一定更便宜，∴当方案一更便宜时，∴72−2.4b>0，∴b<30，∵b为正整数，∴b应满足的最大值为29，∴b=29时，方案一便宜．【解析】(1)方案一：a条裙子的总价+(b−2a)顶帽子的总价=实际总费用，方案二：(a(2)根据(1)化简后的代数式把a=10，b=54，分别代入求值后进行比较；(3)把a=12分别代入(1)化简后的代数式，求它们的差，再根据方案一更便宜列不等式，根据实际问题就出b应满足的最大值．本题考查了代数式的求值、列代数式，掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，根据已知条件找到关系式是解题关键．21.【答案】1【解析】解：∵a是相反数等于它本身的数，b是到原点的距离等于2的负数，c是最大的负整数，∴a=0，b=−2，c=−1，∴a−b+c=0+2−1=1．故答案为：1．先根据题意确定a、b、c的值，再把它们的值代入代数式求值即可．本题主要考查的是有理数的相关知识．相反数等于它本身的数是0，最大的负整数是−1．22.【答案】16【解析】解：∵(−2)※1=3×(−2)+2×1=−6+2=−4，∴[(−2)※1]△(−4)=(−4)△(−4)=(−4)×(−4)=16，故答案为：16．先根据x※y=3x+2y计算出(−2)※1=−4，再根据x△y=xy计算[(−2)※1]△(−4)= (−4)△(−4)即可得出答案．本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握新定义及有理数的混合运算顺序和运算法则．23.【答案】1437+12【解析】解：∵第1个图中点的个数是2=31+12， 第2个图中点的个数是5=32+12，第3个图中点的个数是14=33+12，第4个图中点的个数是42=34+12， …，∴第n 个图中点的个数是3n +12， ∴第7个图中点的个数是37+12． 故答案为：14；37+12．根据前几个图形中点的个数，可以发现第n 个图中点的个数是3n +12，从而可以得到第7个图形点的个数． 本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形的变化特点发现规律．24.【答案】207【解析】解：由题意知：五阶幻方最中间的数是21，则25个连续正整数为9～33，∵每行5个数之和、每列5个数之和、以及两条对角线上的5个数之和均为有理数n ， ∴n =5×21=105，∴2n −3=2×105−3=207，故答案为：207．由正中间恰好是代表我们21级的数字21，则这25个数为9，10，11，...，33个数，根据每行5个数之和、每列5个数之和、以及两条对角线上的5个数之和均为有理数n ，求出n ，代入所求运算即可．本题考查数字变化类、一元一次方程的应用，幻方等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25.【答案】24【解析】解：∵关于x、y、z三个字母一起构成的十次单项式，每个单项式的三个字母的指数都不相同，∴x、y、z三个字母的指数的可能组合为：1，2，7；1，3，6；1，4，5；2，3，5；而每个组合有6种排列顺序，∴x、y、z三个字母的指数的可能组合为：(24种)1，2，7；1，7，2；7，1，2；7，2，1；2，1，7；2，7，1；1，3，6；1，6，3；3，1，6；3，6，1；6，1，3；6，3，1；1，4，5；1，5，4；4，1，5；4，5，1；5，4，1；5，1，4；2，3，5；2，5，3；3，2，5；3，5，2；5，2，3；5，3，2；∴2021个关于x、y、z三个字母一起构成的十次单项式最多有24种不同的单项式．∴合并同类项后这些单项式之和的项数最大不会超过24．故答案为：24．利用十次单项式的定义及题意列举出x、y、z三个字母的指数可能性即可得出结论．不同只有考查了单项式的意义，合并同类项，充分利用十次单项式的定义及题意列举出x、y、z三个字母的指数可能性是解题的关键．26.【答案】解：(1)∵A=3x2+bx+2y−xy，B=ax2−3x−y+xy，∴A+B=(3x2+bx+2y−xy)+(ax2−3x−y+xy)=(3+a)x2+(b−3)x+y，∵与x无关，∴a=−3，b=3，则a b=(−3)3=−27；(2)∵|a−2|≥0，(b+1)2≥0，|a−2|+(b+1)2=0，∴a=2，b=−1，则2A−3B=2(3x2+bx+2y−xy)−3(ax2−3x−y+xy)=(6−3a)x2+(2b+9)x+7y−5xy=7x+7y−5xy=7(x+y)−5xy，当x+y=67，xy=−2时，原式=7×67−5×(−2)=6+10=16．【解析】(1)把A与B代入A+B中化简，根据结果与x的值无关，确定出a与b的值，即可求出所求；(2)利用非负数的性质求出a与b的值，此题考查了整式的加减−化简求值，以及非负数的性质：绝对值及偶次方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．27.【答案】−34【解析】解：(1)根据题意知，化简|x+3|−|x−4|时，先确定零点值分别为x=−3和x=4，故答案为：−3，4；(2)当x<−3时，原式=−3−x−(4−x)=−3−x−4+x=−7；当−3≤x≤4时，原式=x+3−(4−x)=2x−1；当x>4时，原式=x+3−(x−4)=7；综上，原式={−7x<−32x−1−3≤x≤4 7x>4．(3)当x<−2时，原式=3−x+2(1−x)−(−2x−4)=9−x；当−2≤x≤1时，原式=3−x+2(1−x)−(2x+4)=−5x+1；当1<x≤3时，原式=3−x+2(x−1)−(2x+4)=−x−3；当x>3时，原式=x−3+2(x−1)−(2x+4)=x−9；综上，原式={9−x(x<−2)−5x+1(−2≤x≤1)−x−3(1<x≤3)x−9(x>3)．(1)由x+3=0和x−4=0可得答案；(2)分x<−3、−3≤x≤4、x>4这三种情况，依次去绝对值符号、去括号、合并同类项即可；(3)分x<−2、−2≤x≤1、1<x≤3、x>3这四种情况，依次去绝对值符号、去括号、合并同类项即可．本题主要考查整式的加减和绝对值的性质，解题的关键是根据绝对值的性质分类讨论，并熟练掌握去括号、合并同类项法则．28.【答案】−2 7 7+t【解析】解：(1)∵x 1−a y b−2z 12与x 3y 5z c 互为同类项，∴1−a =3，b −2=5，c =12．∴a =−2，b =7，Q 点在数轴上所表示的数为7+t ．故答案是：−2；7；7+t ；(2)根据题意，知CP =|14−5t|，CQ =|5−t|，所以|14−5t|=2|5−t|，解得t 1=43，t 2=247；(3)存在，n =1，理由如下：根据题意知，QM =|5−3t|，PM 2=|5t −14−2t|，t ≥145 PM 1=|14−7t|，t <145nQM +PM =n|5−3t|+|14−7t|，nQM +PM =n|5−3t|+|7t −14|， ∵与t 无关，∴3n −7=0，解得n =73；3n −3=0，解得n =1．综上所述，n 的值是73或1．(1)根据同类项的定义作答；(2)CP =|14−5t|，CQ =|5−t|，则|14−5t|=2|5−t|，解该方程即可；(3)存在，n =1，理由如下：根据题意知，QM =|5−3t|，PM 2=|5t −14−2t|，t ≥145；PM 1=|14+7t|，t <145；根据题意列出方程并解答即可．本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴和同类项，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答，难度较大．。
第十五章 分式选拔卷（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2021·南昌市心远中学八年级期末）关于分式()271x x -+，下列说法不正确的是（ ）A ．当1x =-时，分式没有意义B ．当7x >时，分式的值为正数C ．当7x <时，分式的值为负数D ．当7x =时，分式的值为零2．（2021·山西祁县·八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是（ ）A ．222a b a b --B ．211x x -+C ．22x y x y +-D ．222()a b a b -+3．（2021·浙江拱墅·）你听说过著名的牛顿万有力定律吗？任何两个物体之间都有吸引力，如果设两个物体的质量分别为m 1，m 2，它们之间的距离是d ，那么它们之间的引力就是f ＝122gm m d （g 为常数），人在地面上所受的重力近似地等于地球对人的引力，此时d 就是地球的半径R ．天文学家测得地球的半径约占木星半径的445，地球的质量约占木星质量的1318，则站在地球上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的（ ） A ．52倍B ．25倍C ．25倍D ．4倍4．（2021·成都市八年级期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示： 老师22211x x x x x-÷--→甲22211x x x x x --⋅-→乙22211x x x x x --⋅-→丙2(2)11x x x x x --⋅-→丁22x - 接力中，自己负责的一步出现错误的是（） A ．只有乙B ．甲和丁C ．乙和丙D ．乙和丁5．（2021·安徽太湖·七年级期末）在2020年3月底新过师炎疫情在我国得到快速控制，教育部要求低风险区错时、错峰开学，某校在只有初三年级开学时，一段时间用掉120瓶消毒液，在初二、初一年级也错时、错峰开学后，平均每天比原来多用4瓶消毒液，这样120瓶消毒液比原来少用5天，若设原来平均每天用掉x 瓶消毒液，则可列方程是（ ） A ．12012054x x -=+B ．12012054x x -=-C ．12012054x x +=+D ．12012054x x+=- 6．（2020·浙江杭州·八年级期中）设m ，n 是实数，定义关于@的一种运算如下：22@()()m n m n m n =+--，则下列结论：①若0mn ≠，m@8n =，则223944163m m n n ÷=；②@()@@m n k m n m k -=-；③不存在非零实数m ，n ，满足22@5m n m n =+；④若设2m ，n 是长方形的长和宽，若该长方形的周长固定，则当m n =时，@m n 的值最大． 其中正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．47．（2021·安徽霍邱·七年级期末）已知关于x 的分式方程10327333x k x x --=---的解满足2＜x ＜5，则k 的取值范围是（ ）A ．﹣7＜k ＜14B ．﹣7＜k ＜14且k ≠0C ．﹣14＜k ＜7且k ≠0D ．﹣14＜k ＜7 8．（2021·浙江越城·七年级期末）已知关于x 的分式方程3x m x +-﹣1＝1x 无解，则m 的值是（ ）A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣2或﹣3D ．0或39．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校）若2a ≠，则我们把22a-称为a 的“友好数”，如3的“友好数”是2223=--，2-的“友好数”是212(2)2=--，已知13a =，2a 是1a 的“友好数”，3a 是2a 的“友好数”，4a 是3a 的“友好数”，……，依此类推，则2021a =（ ）A ．3B ．2-C ．12D ．4310．（2021·重庆巴蜀中学）若a 为整数，关于x 的不等式组2(1)4340x xx a +<+⎧⎨-<⎩有解，且关于x 的分式方程11222ax x x-+=--有正整数解，则满足条件的a 的个数（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
2021-2022学年河南省新乡市高二（上）期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 数列23，45，69，817，1033，⋯的一个通项公式为( )A. a n =2n2n +1B. a n =2n+22n +1C. a n =n+12n+1−1D. a n =2n+22n+1+22. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b =4，A =π6，sinB =23，则a =( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知M =a 2+a ，N =3a −1，则( )A. M <NB. M >NC. M ≤ND. M ≥N4. 设数列{a n }为等比数列，且a 2a 18=6a 7，则必有( )A. a 7=√6B. a 7=6C. a 12=6D. a 13=65. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin2A <0，则△ABC 的形状是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 不确定6. 若各项均不为零的等差数列{a n }满足a 2=3a 1，则a5a 3=( )A. 95B. 53C. 75D. 737. 若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列选项中能使△ABC 有两解的是( )A. a =8，b =4，c =3B. A =40°，B =80°，c =6C. a =10，b =6，sinA =14D. b =8，c =4，C =30°8. 设数列{a n +n}是等比数列，且a 1=3，a 2=6，则a 8=( )A. 246B. 504C. 512D. 10149. 已知a =√c +1+√c +4，b =√c +2+√c +3，则( )A. a >b >1B. b >a >1C. a >1>bD. b >1>a10. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bcosC =4sinA −2√3cosB ，c =2√3，a =4，则B =( )A. π6B. π4C. π3D. π211.2021年9月10日，小王开始读小学一年级，小王父母决定给他开一张银行卡，每月的16号存钱至该银行卡(假设当天存钱当天到账).用于小王今后的教育开支．2021年9月16日小王父母往卡上存入500元．以后每月存的钱数比上个月多100元，则他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到100000元的时间为()A. 2024年11月16日B. 2024年12月16日C. 2025年1月16日D. 2025年2月16日12.已知正实数x，y满足2xy−2x−y=0.则12x−1+2y−1的最小值为()A. 2B. 2√2C. 4D. 4√2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足约束条件{x−y≥0x+y≤1y+1≥0，则z=2x−y的最小值为______．14.已知a>1，则4a+9a−1的最小值是______．15.在等差数列{a n}中．已知a1+a2+a3=16，a14+a15+a16=53，则{a n}的前16项和为______．16.雾灵山，位于河北承德市兴隆县内．雾灵山历史上曾称伏凌山、孟广硎山、五龙山，明代始称雾灵山．雾灵山主峰的海拔超过1000米，为了测量主峰的海拔，甲和乙分别在海拔都为1000米的A，B两点观测主峰的最高点P(PO与海拔1000米所在平面垂直，O为垂足，且A，B都在O的正东方向)，从A点和B点观测到P点的仰角分别为60°，50°，且AB=286米，则雾灵山主峰的海拔约为______米．(结果精确到整数，取√3=1.732，tan50°=1.2，286×√3×1.2=594.4)三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知(b−c)(sinB+sinC)=sinA(a−2csinB)．(1)求B；(2)若b=2，A=2B，求△ABC的周长．18.等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3+a5=26，S5=45．(1)求{a n}的通项公式；(2)若S n>240，求n的最小值．19.已知函数f(x)=x2+ax−3．(1)当a=2时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)<3的解集为(−3,2)，求关于x的不等式ax2+(a+b)x+b>0的解集．20.已知某种大型气垫船的最大航速是68海里/小时，该船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比，若船速为40海里/小时，则船每小时的燃料费用为1800元，其余费用(不论船速为多少)都是每小时800元，甲、乙两地相距80海里，船从甲地匀速航行到乙地．记该船从甲地到乙地所需的总费用为y(元)，船速为x(海里/小时)．(1)试把y表示为x的函数；(2)当船速(海里/小时)为多少时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？最少费用为多少元？21.如图，在△ABC中，∠ACB=π2，BC=√2，延长AB至D，使得∠ADC=π6．(1)若BD=2，求△ABC的面积；(2)求△BCD面积的取值范围．22.在数列{a n}中，a1=1，a n−a n−1=2n−1−1(n≥2)．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=a n+n−1a n a n+1，记数列{b n}的前n项和为S n，证明：S n<1．答案和解析1.【答案】A【解析】解：分子为偶数，即为2n ，分母为2n +1， 则数列23，45，69，817，1033，⋯的一个通项公式为a n =2n2n +1． 故选：A ．由题意，根据分子，分母的变化规律，求出该数列的通项公式． 本题主要考查数列的通项公式的求法，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：在△ABC 中，由正弦定理有a sinA =bsinB ， 所asin π6=423，解得a =3．故选：A ．由正弦定理可求解．本题考查正弦定理，属基础题．3.【答案】D【解析】解：∵M =a 2+a ，N =3a −1， ∴M −N =a 2+a −3a +1=(a −1)2≥0， 故选：D ．作差即可比较大小关系．本题考查了作差法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：因为数列{a n }为等比数列，且a 2a 18=6a 7，所以a 12q 18=6a 1q 6，因为q ≠0，所以a1q12=6，即a13=6．故选：D．由已知结合等比数列的通项公式即可直接求解．本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：在△ABC，∵A∈(0,π)，∴sinA>0，又sin2A=2sinAcosA<0，∴cosA<0，∴A为钝角，∴△ABC为钝角三角形，故选：A．在△ABC，由sin2A=2sinAcosA<0，可得A为钝角，从而得到答案．本题考查三角形的形状判断，考查二倍角的正弦的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=3a1，∴a1+d=3a1≠0，化为：d=2a1，∴a5a3=a1+4da1+2d=9d15a1=95，故选：A．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：对于A，∵a=8，b=4，c=3，∴△ABC有一解；对于B，A=40°，B=80°，则C=60°，又c=6，故△ABC有一解；对于C，△ABC中，a=10>6=b，由大边对大角，可知，B<A，且B为锐角，∵sinA=1，∴A为锐角或钝角，因此△ABC有两解；4=1⇒B=90°，对于D，△ABC中，b=8>4=c，C=30°，由正弦定理可得sinB=bsinCc可知，△ABC有一解；故选：C．由已知结合正弦定理及三角形中的结论：“大边对大角”分别检验各选项即可判断．本题主要考查了正弦定理及三角形中的“大边对大角”结论在三角形中解的个数的应用，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：因为数列{a n+n}是等比数列，且1+a1=4，2+a2=8，故公比q=2，则8+a8=4⋅27=512，所以a8=504．故选：B．由已知结合等比数列的性质先求出公比，然后结合通项公式可求．本题主要考查了等比数列的通项公式，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：∵c+1≥0，∴c+4≥3，c+3≥2，∴a=√ c+1+√c+4>1，b=√c+2+√c+3>1，∵a2=2c+5+2√ c2+5c+4，b2=2c+5+2√c2+5c+6，又c2+5c+4−(c2+5c+6)=−2<0，∴√ c2+5c+4<√c2+5c+6，∴a<b，∴b>a>1．故选：B．利用作差法和平方法即可求出．本题考查了不等式的大小比较，考查了转化与运算能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由bcosC=4sinA−2√3cosB，c=2，a=4，得bcosC=asinA−ccosB，由正弦定理和两角和公式，可得sinBcosC=sinAsinA−sinCcosB，所以sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，所以sin(B+C)=sinAsinA，所以sinA=sinAsinA，又sinA≠0，所以sinA=1，所以A=π2，所以b=√a2−c2=2，所以sinB=24=12，又0<B<π2，所以B=π6．故选：A．由bcosC=4sinA−2√3cosB，c=2，a=4，得bcosC=asinA−ccosB，再运正弦定理边化角可求得A=π2，从而可求B．本题考查正弦定理边化角各三角恒等变换，属中档题．11.【答案】C【解析】解：由题可知，小王父母从2021年9月开始，每月所存钱数依次成首项为500，公差为100的等差数列，其前n项和为500n+100n(n−1)2=50n2+450n，令50n2+450n≥100000，即n2+9n≥2000，∵402+9×40<2000，412+9×41>2000，∴第41个月的16号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到100000元，故2025年1月16日他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到100000元．故选：C．根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握等差数列的前n 项和公式是解本题的关键，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：∵2xy −2x −y =0， ∴12x−1+2y−1=4x+y−32xy−2x−y+1=4x +y −3，由2xy −2x −y =0，可得2−2y −1x =0，即1x +2y =2， ∴4x +y =12(4x +y)(1x+2y)=12(6+yx+8x y)≥12(6+2√8)=3+2√2，当且仅当y x=8x y时，等号成立， ∴最小值为2√2． 故选：B ．首先通分化简，再利用巧用“1”的方法求解基本不等式即可． 本题主要考查了基本不等式的运用，属于基础题．13.【答案】−1【解析】解：由约束条件件{x −y ≥0x +y ≤1y +1≥0，作出可行域如图，联立{y =−1x +y =0，解得A(−1,−1)，化目标函数z =2x −y 为y =2x −z ，由图可知，当直线y =2x −z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最小值为−1．故答案为：−1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】16【解析】解：∵a>1，∴4a+9a−1=4a−4+9a−1+4≥2√4×9+4=16，当且仅当4a−4=9a−1时，等号成立，∴最小值为16，故答案为；16．把原式构造成4a−4+9a−1+4，在运用基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式的运用，属于基础题．15.【答案】184【解析】解：因为等差数列{a n}中，a1+a2+a3=16，a14+a15+a16=53，所以a1+a2+a3+a14+a15+a16=3(a1+a16)=69，所以a1+a16=23，则{a n}的前16项和为S=8(a1+a16)=184．故答案为：184．由已知结合等差数列的性质可求a1+a16，然后结合等差数列的求和公式可求．本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．16.【答案】2117【解析】【分析】先根据题意作出图形如图所示，设PO=x，表示出OA，OB，根据题意得√3x−1.2x=√3×1.2×286=594.4，求解即可．本题考查解三角形，属基础题． 【解答】解：根据题意作出图形如图所示，PO ⊥OB ，∠PAO =60°，∠PBO =50°， 设PO =x ，在△POA 中，可得OA =xtan∠PAO =xtan60∘=√3， △POB 中，可得OB =xtan∠PBO =xtan50∘=x 1.2，所以x1.2√3=286，所以√3x −1.2x =√3×1.2×286=594.4， 所以1.732x −1.2x =594.4，所以x ≈1117，所以雾灵山主峰的海拔约为1117+1000=2117． 故答案为：2117．17.【答案】解：(1)因为(b −c)(sinB +sinC)=sinA(a −2csinB)，所以由正弦定理可得(b −c)(b +c)=a(a −2csinB)，整理可得a 2+c 2−b 2=2acsinB ， 又由余弦定理可得a 2+c 2−b 2=2accosB ， 所以sinB =cosB ，可得tanB =1， 又B ∈(0,π)， 所以B =π4．(2)因为B =π4，b =2，A =2B =π2，C =π−A −B =π4， 所以c =b =2，a =√b 2+c 2=√4+4=2√2， 所以△ABC 的周长a +b +c =2+2+2√2=2√2+4．【解析】(1)由正弦定理化简已知等式可得a 2+c 2−b 2=2acsinB ，根据余弦定理，同角三角函数基本关系式可求得tanB =1，结合范围B ∈(0,π)，可求B 的值． (2)由已知可求A ，利用三角形的内角和定理可求C 的值，利用勾股定理可求a 的值，即可得解△ABC 的周长的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的内角和定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)设{a n }的公差为d ，则{2a 1+6d =26,5a 1+10d =45,解得{a 1=1,d =4,故a n =a 1+(n −1)d =4n −3．(2)由(1)可知，S n =na 1+n(n−1)d2=2n 2−n ，由二次函数的性质知S n 单调递增， 因为S 11=231，S 12=276，所以当n ≥12时，S n >240，故n 的最小值为12．【解析】(1)利用等差数列通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n }的通项公式．(2)由等差数列的首项和公差，求出前n 项和公式，由此能求出结果．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(1)a =2时，求不等式f(x)<0即为x 2+2x −3<0，解得x ∈(−3,1)；(2)∵关于x 的不等式x 2+ax −3<3即x 2+ax −6<0的解集为(−3,2)可知方程x 2+ax −6=0的解集为{−3,2}，∴−3+2=−a ，解得a =1，∴关于x 的不等式ax 2+(a +b)x +b >0即为x 2+(1+b)x +b >0，可化为(x +1)(x +b)>0， 当b =1时，解集为{x|x ≠−1}，当b >1时，解集为{x|x <−b 或x >−1}， 当b <1时，解集为{x|x <−1或x >−b}．【解析】(1)a =2时，求不等式f(x)<0即为x 2+2x −3<0，解得x ∈(−3,1)； (2)由关于x 的不等式f(x)<3的解集为(−3,2)求得a 值，然后可求得关于x 的不等式ax 2+(a +b)x +b >0的解集．本题考查一元二次不等式解法，考查数学运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)设每小时的燃料费用为E ，则E =ax 2，∵船速为40海里/小时，则船每小时的燃料费用为1800元， ∴1800=402×a ，解得a =98，即E =98x 2， ∵从甲地到乙地所需的时间为80x 小时， ∴y =98x 2⋅80x+800⋅80x=90x +64000x，∵该船的最大航速是68海里/小时， ∴0<x ≤68， 故y =90x +64000x(0<x ≤68)．(2)由(1)可知，y =90x +64000x(0<x ≤68)，90x +64000x≥2√90x ⋅64000x=4800，当且仅当90x =64000x，即x =803时，等号成立，故当船速为803海里/小时时，船从甲地到乙地所需的总费用最少，最少费用为4800元．【解析】(1)设每小时的燃料费用为E ，则E =ax 2，结合船速为40海里/小时，则船每小时的燃料费用为1800元，解得a =98，即E =98x 2，再根据甲地到乙地所需的时间为80x 小时，即可求解．(2)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于中档题．21.【答案】解：(1)在△BCD 中，∠BDC =∠ADC =π6，由正弦定理有BC sin∠BDC =BDsin∠BCD ，又BC =√2，BD =2，所以sin∠BCD =BDsin∠BDCBC=√22， 因为∠BCD 为锐角，所以∠BCD =π4，所以∠ABC =∠BCD +∠BDC =5π12，在Rt △ABC 中，BC =√2，∠ABC =5π12，则AC =BCtan∠ABC =2√2+√6， 故S △ABC =12AC ⋅BC =2+√3；(2)在Rt △ABC 中，设∠ABC =θ，则∠CBD =π−θ，∠BCD =θ−π6， 在△BCD 中，由正弦定理有BCsin∠BDC =BDsin∠BCD ，得BD =2√2sin(θ−π6)，所以S △BCD =12BC ⋅BDsin∠CBD =12×√2×2√2sin(θ−π6)sinθ=2sinθsin(θ−π6)， =2sinθ(√32sinθ−12cosθ)=√3sin 2θ−sinθcosθ=√32−(12sin2θ+√32cos2θ)=√32−sin(2θ+π3)，由∠BCD =θ−π6，得θ>π6，又θ为锐角， 所以θ∈(π6,π2)，2θ+π3∈(2π3,4π3)，所以sin(2θ+π3)∈(−√32,√32)，故△BCD面积的取值范围为(0,√3).【解析】(1)由正弦定理有BCsin∠BDC =BDsin∠BCD，可得sin∠BCD=√22，得∠BCD=π4，从而求得AC=BCtan∠ABC=2√2+√6，可求面积；(2)设∠ABC=θ，正弦定理可求得BD=2√2sin(θ−π6)，从而S△BCD=12BC⋅BDsin∠CBD=√32−sin(2θ+π3)，由θ的范围可求得面积的范围．本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练掌握正余弦定理、两角差的正弦公式和辅助角公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵a1=1，a n−a n−1=2n−1−1(n≥2)，∴a1=1，a2−a1=21−1，a3−a2=22−1，......a n−a n−1=2n−1−1(n≥2)．累加得：a n=1+2+22+...+2n−1−(n−1)=1×(1−2n)1−2−n+1=2n−n，验证a1=1成立，则a n=2n−n；证明：(2)b n=a n+n−1a n a n+1=2n−n+n−1(2n−n)(2n+1−n−1)=12n−n−12n+1−n−1，∴S n=b1+b2+b3+...+b n=(121−1−122−2)+(122−2−123−3)+...+(12n−n−12n+1−n−1)=121−1−12n+1−n−1=1−12n+1−n−1．∵n≥1时，2n+1>n+1，∴12n+1−n−1>0，则S n=1−12n+1−n−1<1．【解析】(1)由已知数列递推式，利用累加法求数列的通项公式；(2)利用裂项相消法求和，即可证明S n<1．本题考查数列不等式的证明，训练了利用累加法求数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．。
2021-2022学年河南省开封市五县高二（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若椭圆x24+y2a2=1与双曲线x2a2−y22=1有相同的焦点，则实数a为()A. 1B. −1C. ±1D. 不确定2.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则cd(a+b)2的最大值为()A. 14B. 12C. 1D. 24.如图，把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1，P2，……，P7，F是椭圆的左焦点，则|P1F|+|P2F|+⋯+|P7F|=()A. 35B. 30C. 25D. 205.在抚顺二中运动会开幕式中，某班级的“蝴蝶振翅”节目获得一致称赞，其形状近似于双曲线，在“振翅”过程中，双曲线的渐近线与对称轴的夹角α为某一范围内变动，π6≤α≤π3，则该双曲线的离心率取值范围是()A. [43,4] B. [2√33,4] C. [2√33,2] D. [43,2]6.在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形7.已知x>0，y>−1，且4x +1y+1=3，则x+y的最小值为()A. 4B. 3C. 2D. 18.“a=12”是“直线l1：2ax+4y+3=0与直线l2：x−(a−1)2y−5=0垂直”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块10.下列五个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题p：∃x∈R，x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0<a<1，则log a(a+1)<log a(1+1a)”是真命题；⑤命题“集合{x|x2−2x+1=0,x∈R}有2个子集”是假命题．其中正确命题的序号是()A. ②③B. ①②C. ④⑤D. ③④11.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在某个太极图案中，阴影部分可表示为A ={(x,y)|x 2+(y −1)2≤1或{x 2+y 2≤4x 2+(y +1)2≥1x ≤0}，设点(x.y)∈A ，则z =3x +4y 的最大值与最小值之和为( ) A. −1B. 19C. 1D. 2012. 已知点A 是椭圆x 22+y 2=1的上顶点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线y =ax +b(a >0)将三角形AF 1F 2分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A. (1−√22,12) B. (1−√22,13] C. (0,1)D. [13,12)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内到两个定点A ，B 距离之比是常数λ(λ>0,λ≠1)的点P 的轨迹是圆．若两定点A ，B 的距离为3，动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹围成的区域的面积为______． 14. 记不等式组{x +y ≥62x −y ≥0表示的平面区域为D ，命题p ：∃(x,y)∈D ，2x +y ≥9；命题q ：∀(x,y)∈D ，2x +y ≤12.给出了四个命题：①p ∨q ：②￢p ∨q ：③p ∧￢q ；④￢p ∧￢q ，这四个命题中，所有真命题的编号是______.(把所有正确的命题序号都填上)15. 在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 边所对的角，若a ，b ，c 成等差数列，则B 的取值范围是______．16. 函数y =√x 2+4+√x 2+6x +18的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p ：∃x 0∈{x|−1≤x ≤1}，x 02−x 0−m ≥0是假命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x −3a)(x −a −2)<0的解集为A.若x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC．(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)求sinB+sinC的最大值．19.设{a n}是首项为1的等比数列，数列{b n}满足b n=na n，已知a1，3a2，9a3成等差数3列．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)记S n和T n分别为{a n}和{b n}的前n项和.证明：T n<S n．220.等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)设b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n，求数列{1b n21. 已知圆C 1：x 2+y 2−2mx −4my +5m 2−4=0，圆C 2：x 2+y 2=1．(1)若圆C 1、C 2相交，求m 的取值范围；(2)若圆C 1与直线l ：x +2y −4=0相交于M 、N 两点，且|MN|=4√55，求m 的值；(3)已知点P(2,0)，圆C 1上一点A ，圆C 2上一点B ，求|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值的取值范围．22. 已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点为M(1,34)，求k 的值；(2)若OA ⊥OB ，求证：原点O 到直线l 的距离为定值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：椭圆x24+y2m2=1得∴c1=√4−m 2，∴焦点坐标为(√4−m 2,0)(−√4−m 2,0)，双曲线：x2m2−y22=1有则半焦距c2=√m 2+2∴√4−m 2=√m 2+2则实数m=±1故选：C．先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得．本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，主要考查了椭圆双曲线的标准方程．在求曲线方程的问题中，巧识方程，解题时要充分注意．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于拔高题．利用祖暅原理可得：A、B在等高处的截面积恒相等”，可得：A、B的体积相等，即可判断出p与q的关系．【解答】解：设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等．由“A、B在等高处的截面积恒相等”，由祖暅原理，可得：A、B的体积相等．因此可得：A、B的体积不相等，必然：A、B在等高处的截面积不恒相等．即p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故答案选A．3.【答案】A【解析】解：∵x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，∴x+y=a+b，xy=cd．又x>0，y>0．∴cd(a+b)2=xy(x+y)2≤xy4xy=14，当且仅当x=y>0时取等号．故选：A．利用等差数列、等比数列的性质、基本不等式即可得出．熟练掌握等差数列、等比数列的性质、基本不等式是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：由椭圆x225+y216=1，得a=5．设椭圆的右焦点为F′，由椭圆的对称性，知|P1F|=|P7F′|，|P2F|=|P6F′|，|P3F|=|P5F′|，∴|P1F|+|P2F|+⋯+|P7F|=(|P7F|+|P7F′|)+(|P6F|+|P6F′|)+(|P5F|+|P5F′|)+|P4F|=7a=35．故选：A．由椭圆方程求得a，设椭圆的右焦点为F′，由椭圆的对称性，可得|P1F|+|P2F|+⋯+ |P7F|=7a，则答案可求．本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．5.【答案】C【解析】解：设双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y=bax，则tanα=ba，∵π6≤α≤π3，∴√33≤tanα≤√3，即√33≤ba≤√3，∴13≤b 2a 2=c 2−a 2a 2≤3求得2√33≤ca ≤2，故选：C ．先表示出渐近线方程，利用求得tanα=ba ，根据α的范围确定tanα范围，进而确定ba 的范围，同时利用c =√a 2+b 2转化成a 和c 的不等式关系求得ca 的范围，即离心率的范围． 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的理解和运用．6.【答案】D【解析】解：由正弦定理asinA =bsinB 化简已知的等式得：sinAcosA =sinBcosB ， ∴12sin2A =12sin2B ，∴sin2A =sin2B ，又A 和B 都为三角形的内角， ∴2A =2B 或2A +2B =π，即A =B 或A +B =π2， 则△ABC 为等腰或直角三角形． 故选D利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2A =sin2B ，由A 和B 都为三角形的内角，可得A =B 或A +B =90°，从而得到三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，其中正弦定理很好得解决了三角形的边角关系，利用正弦定理化简已知的等式是本题的突破点．7.【答案】C【解析】解：因为x >0，y >−1，且4x +1y+1=3，所以x +y =x +y +1−1=13(x +y +1)(4x +1y+1)−1=13(5+4(y+1)x+xy+1)−1≥13(5+2√4y+4x⋅xy+1)−1=2，当且仅当4y+4x=xy+1且4x +1y+1=3，即y =0，x =2时取等号，此时x +y 取得最小值2．故选：C ．利用“乘1法”，结合基本不等式即可得出．本题考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是乘1法的应用，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由题，直线l1：2ax+4y+3=0，所以斜率k1=−a2，直线l2：x−(a−1)2y−5=0，所以斜率k2=1(a−1)2，因为直线l1：2ax+4y+3=0与直线l2：x−(a−1)2y−5=0垂直，所以k1k2=−1，即−a2×1(a−1)2=−1，解得a=12或a=2，所以“a=12”是“直线l1：2ax+4y+3=0与直线l2：x−(a−1)2y−5=0垂直”的充分不必要条件．故选：A．可先根据“直线l1：2ax+4y+3=0与直线l2：x−(a−1)2y−5=0垂直”计算出a的取值，再由充要条件进行判断即可．本题考查了命题的充分条件，必要条件，属于基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．由题意可得从内到外每环之间构成等差数列，且公差d=9，a1=9，根据等差数列的性质即可求出n=9，再根据前n项和公式即可求出．【解答】解：设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差d=9，a1=9，由等差数列的性质可得S n，S2n−S n，S3n−S2n成等差数列，且(S3n−S2n)−(S2n−S n)=n2d，则n2d=729，则n=9，则三层共有扇面形石板S3n=S27=27×9+27×262×9=3402块，故选：C．10.【答案】A【解析】解：对于①，“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；故①不正确；对于②，命题p：∃x∈R，x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0；故②正确；对于③，若命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，则命题p是假命题，命题q一定是真命题；故③正确；对于④，若若0<a<1，则1a >1，所以a<1a，所以a+1<1a+1，因为y=log a x单调递减，所以log a(a+1)>log a(1+1a)，故④不正确；对于⑤，集合{x|x2−2x+1=0,x∈R}={1}的子集为{1}和⌀，子集有2个故是真命题，所以⑤不正确；所以正确命题的序号是②③，故选：A．根据否命题是同时否定条件和结论可判断①；根据特称命题的否定变量词否结论可判断②；根据或与非命题真假的判断可判断③；根据不等式的性质以及对数函数的单调性可判断④；解方程求得集合中的元素，进而可得集合子集的个数可判断⑤；进而可得正确答案．否命题是同时否定条件和结论，命题的否定只否定结论，存在量词的否定是全称量词，本题属于基础题．11.【答案】A【解析】解：如图，作直线3x+4y=0，当直线上移与圆x2+(y−1)2=1相切时，z= 3x+4y取最大值，此时，圆心(0,1)到直线z =3x +4y 的距离等于1， 即√32+42=1，解得z 的最大值为：4+5=9，当下移与圆x 2+y 2=4相切时，3x +4y 取最小值， 同理有√32+42=2，即z 的最小值为−10．∴z =3x +4y 的最大值与最小值之和是9+(−10)=−1． 故选：A ．结合图形，平移直线z =3x +4y ，当直线与阴影部分相切时取得最值，分别求其最大最小值即可．本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力，属于中档题目．12.【答案】A【解析】解：因为点A 是椭圆x 22+y 2=1的上顶点，F 1，F 2分别是椭圆左右焦点，所以a 2=2，b 2=1，从而有c 2=a 2−b 2=1， 所以A(0,1)，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，由题意，三角形AF 1F 2的面积为12⋅F 1F 2⋅OA =1， 设直线y =ax +b(a >0)与x 轴的交点为M(−ba ,0)，由直线y =ax +b(a >0)将三角形AF 1F 2分割为面积相等的两部分，可得b >0， 所以−ba <0，故点M 在射线OF 1上， 设直线y =ax +b 和AF 2的交点为N ， 则由{y =ax +b x +y =1可得点N 的坐标为(1−b a+1,a+ba+1)，①若点M 和点F 1重合，如图：则点N 为线段AF 2的中点，故N(12,12)，把F 1、N 两点的坐标代入直线y =ax +b ，求得a =b =13， ②若点M 在点O 和点F 1之间，如图：此时b >13，点N 在点F 2和点A 之间，由题意可得三角形NMF 2的面积等于12，即12⋅MF 2⋅y N =12， 即12×(1+ba )⋅a+ba+1=12，可得a =b 21−2b>0，求得b <12， 故有13<b <12， ③若点M 在点F 1的左侧，则b <13，由点M 的横坐标−ba <−1，求得b >a ， 设直线y =ax +b 和AF 1的交点为P ， 则由{y =ax +b y =x +1求得点P 的坐标为(1−b a−1,a−ba−1)，此时，由题意可得，三角形APN 的面积等于12，即12(1−b)|x N −x P |=12， 即12(1−b)|1−ba+1−1−ba−1|=12，化简可得2(1−b)2=|a 2−1|， 由于此时13>b >a >0，所以2(1−b)2=|a 2−1|=1−a 2，两边开方可得√2(1−b)=√1−a 2<1，所以1−b <√2，化简可得b >1−√22，故有1−√22<b <13，综上，b 的取值范围应是(1−√22,12)，故选：A ．由题意，A(0,1)，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，先求出直线y =ax +b(a >0)与x 轴的交点为M(−ba,0)，由−ba<0，可得点M 在射线OF 1上．再求出直线y =ax +b(a >0)和AF 2的交点N 的坐标，分三种情况讨论即可得b 的取值范围．本题主要考查直线与椭圆的位置关系，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．13.【答案】4π【解析】 【分析】本题考查轨迹方程的求法，是基本知识的考查． 设出动点坐标，利用已知条件列出方程，化简求解即可． 【解答】解：根据本题圆的定义知平面内到两个定点A ，B 距离之比是常数λ(λ>0,λ≠1)的点P 的轨迹是圆．又动点P 满足|PA|=2|PB|，A ，B 的距离为3， 所以PAPB =2，P 点的轨迹为圆． 设A(−32,0)，B(32,0)，P(x,y)，|PA|=√(x +32)2+y 2，|PB|=√(x −32)2+y 2，∴(x +32)2+y 2=4(x −32)2+4y 2， 化简得，(x −52)2+y 2=4． ∴r =2，S =πr 2=4π． 故答案为4π．14.【答案】①③【解析】解：作出不等式组{x +y ≥62x −y ≥0表示的平面区域为D ，在图形可行域范围内可知：命题p ：∃(x,y)∈D ，2x +y ≥9，是真命题，则￢p 假命题， 命题q ：∀(x,y)∈D ，2x +y ≤12，是假命题，则￢q 真命题， 所以由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：①p ∨q 真；②￢p ∨q 假；③p ∧￢q 真；④￢p ∧￢q 假， 故①③真命题． 故答案为：①③．画出平面区域为D ，再去判断命题的真假即可．本题考查了简易逻辑的有关判定、线性规划问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】(0,π3]【解析】解：由题意可得：2b =a +c ． 由余弦定理可得：cosB =a 2+c 2−b 22ac=3(a 2+c 2)−2ac8ac=38(a c +c a )−14≥38×2−14=12.当且仅当a =c =b 时取等号． 又B ∈(0,π)，∴B ∈(0,π3]. 故答案为：(0,π3].由题意可得：2b =a +c.利用余弦定理、基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列的性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】√34【解析】解：y =√x 2+4+√x 2+6x +18=√(x −0)2+(0−2)2+√(x +3)2+(0−3)2，可看作点(x,0)与点(0,2)和(−3,−3)的距离之和， 所求最小值为距离和的最小值， 点(0,2)关于x 轴对称的点为(0,−2)，(0,−2)和(−3,3)两点的距离为√32+52=√34，综上所述，函数y =√x 2+4+√x 2+6x +18的最小值为√34， 故答案为：√34．y =√x 2+4+√x 2+6x +18=√(x −0)2+(0−2)2+√(x +3)2+(0−3)2，可看作点(x,0)与点(0,2)和(−3,−3)的距离之和，即可得出答案． 本题考查函数的最值，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)命题p ：∃x 0∈{x|−1≤x ≤1}，x 02−x 0−m ≥0是假命题，所以命题￢p ：∀x ∈{x|−1≤x ≤1}，x 2−x −m <0是真命题． 所以m >x 2−x ，−1≤x ≤1时，f(x)=x 2−x 有最大值为f(−1)=2， 所以实数m 的取值集合B ={m|m >2}； (2)由题意可知，A ⊊B 且A ≠⌀，不等式(x −3a)(x −a −2)<0对应方程(x −3a)(x −a −2)=0的根为x =3a 或x =a +2，①若3a >a +2，即a >1时，A ={x|2+a <x <3a}， 若x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，则x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，即A ⊊B ， 所以2+a ≥2，解得a ≥0，此时a ∈(1,+∞)； ②若3a <a +2，即a <1时，A ={x|3a <x <2+a}， 所以3a ≥2，得a ≥23，此时23≤a <1，综上所述，实数a的取值范围是[23,1)∪(1,+∞)．【解析】(1)根据命题p与它的否定命题一真一假，写出￢p，再求实数m的取值集合B；(2)根据充分条件和必要条件与不等式的关系进行转化求解．本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，以及根据定义转化为集合关系的应用问题，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设asinA =bsinB=csinC=2R则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC∵2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC 方程两边同乘以2R∴2a2=(2b+c)b+(2c+b)c整理得a2=b2+c2+bc∵由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA故cosA=−12，A=120°(Ⅱ)由(Ⅰ)得：sinB+sinC=sinB+sin(60°−B)=√32cosB+12sinB=sin(60°+B)故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．【解析】(Ⅰ)根据正弦定理，设asinA =bsinB=csinC=2R，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．(Ⅱ)根据(Ⅰ)中A的值，可知c=60°−B，化简得sin(60°+B)根据三角函数的性质，得出最大值．本题主要考查了余弦函数的应用．其主要用来解决三角形中边、角问题，故应熟练掌握．19.【答案】解：(1)∵a1，3a2，9a3成等差数列，∴6a2=a1+9a3，∵{a n}是首项为1的等比数列，设其公比为q，则6q =1+9q 2，∴q =13， ∴a n =a 1q n−1=(13)n−1，∴b n =na n 3=n ⋅(13)n ．(2)证明：由(1)知a n =(13)n−1，b n =n ⋅(13)n ， ∴S n =1×[1−(13)n ]1−13=32−12×(13)n−1，T n =1×(13)1+2×(13)2+⋯+n ⋅(13)n ，① ∴13T n =1×(13)2+2×(13)3+⋯+n ⋅(13)n+1，②①−②得，23T n =12[1−(13)n ]−n(13)n+1， ∴T n =34−14×(13)n−1−n 2(13)n ，∴T n −S n 2=34−14×(13)n−1−n 2⋅(13)n −[34−14×(13)n−1]<0， ∴T n <S n 2．【解析】本题考查了等差数列与等比数列的性质，等比数列的前n 项和公式和利用错位相减法求数列的前n 项和，考查了方程思想和转化思想，属中档题．(1)根据a 1，3a 2，9a 3成等差数列，{a n }是首项为1的等比数列，求出公比q ，进一步求出{a n }和{b n }的通项公式；(2)分别利用等比数列的前n 项和公式和错位相减法，求出S n 和T n ，再利用作差法证明T n <S n 2．20.【答案】解：(1)设数列{an}的公比为q ，由a 32=9a 2a 6． 得a 32=9a 42． 所以q 2=19．由条件可知q >0，故q =13．由2a 1+3a 2=1，得2a 1+3a 1q =1， 所以a 1=13．故数列{a n }的通项式为a n =13n ．(2)b n =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a n=log 3(a 1a 2…a n )=log 3(3−(1+2+3+⋯+n))=−(1+2+3+⋯+n)=−n(n+1)2．故1b n=−2n(n+1)=−2(1n −1n+1)，数列{1b n}的前n 项和：T n =1b 1+1b 2+⋯+1b n=−2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1)]=−2n n+1．所以数列{1b n}的前n 项和为：T n =−2nn+1．【解析】本题考查数列求和以及通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，为中档题．(1)利用已知条件求出数列的公比与首项，然后求数列{a n }的通项公式．(2)利用对数运算法则化简b n =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a n ，然后化简数列{1b n}的通项公式，利用裂项相消法求和即可．21.【答案】解(1)圆C 1的圆心为C 1 (m,2m)，半径r 1=2，圆C 2的圆心C 2(0,0)，半径r 2=1， 因为圆C 1，C 2相交，所以圆心距|r 1−r 2|<|C 1C 2|<|r 1+r 2|， 即1<√m 2+(2m)2<3，解得−3√55<m <−√55或√55<m <3√55(2)圆心C 1到直线l ：x +2y −4=0的距离d =√5，结合d 2+(MN 2)2=r 12，即(5m−4)25+45=4，解得m =0或m =85(3)由向量加减运算得|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PA⃗⃗⃗⃗⃗ −(−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )|， 由−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 联想到作出圆C 2：x 2+y 2=1关于定点P(2,0)的对称圆C 3：(x −4)2+y 2=1， 延长BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与圆C 3交于点B 1，则−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −(−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )|=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 即|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |就是圆C 1上任意一点A 与圆C 3上任一点B 1的距离． 所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =|C 1C 3|−3=√(m −4)2+(2m)2−3=√5m 2−8m +16−3=√5(m −45)2+645−3=8√55−3 所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值的取值范围是[8√55−3,+∞)【解析】(1)根据|r 1−r 2|<|C 1C 2|<r 1+r 2，即可求解m 的取值范围； (2)由C 1到直线l 的距离为√5，利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形即可求解m 的值．(3)通过作圆C 2的对称圆C 3，找到B 的对称点B 1，然后将|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |转化为|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即圆C 1与圆C 3上两个动点之间距离．最后通过圆心距与两圆半径解决即可． 本题考查了圆的方程的综合引用．属难题．22.【答案】解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴{3x 12+4y 12=123x 22+4y 22=12，得3(x 1−x 2)(x 1+x 2)+4(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0， 解得k =y 1−y 2x 1−x 2=−3(x 1+x 2)4(y 1+y 2)=−1；证明：(2)当斜率k 存在时，设直线l 的方程为y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{3x 2+4y 2=12y =kx +m ，得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0． ∴x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，∵OA ⊥OB ，∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)⋅4m 2−123+4k 2−8k 2m 23+4k 2+m 2=7m 2−12−12k 23+4k 2=0，∴m 2=127(1+k 2)，原点O 到直线l 的距离d =√1+k2=2√217； 当直线l 的斜率不存在时，设直线l 为x =m ， 则A(m,√3(4−m 2)2)，B(m,−√3(4−m 2)2)，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得m 2−3(4−m 2)4=0，解得|m|=2√217． 综上可知，原点O 到直线l 的距离为定值2√217．【解析】(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，把A 、B 的坐标代入椭圆方程，利用作差法即可求得直线l 的斜率k 的值；(2)当斜率k存在时，设直线l的方程为y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及向量数量积为0可得k与m的关系，再由点到直线的距离公式求解原点O到直线l的距离为定值；当直线l的斜率不存在时，设直线l为x=m，直接运算可得原点O到直线l的距离为定值．本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用作差法求直线的斜率，考查运算求解能力，是中档题．。
2021-2022学年四川省遂宁市安居区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列二次根式是最简二次根式的是()A. √0.3B. √15C. √27D. √232.若x<1，则化简√(x−2)2+|4−x|的正确结果是()A. 2B. −2C. 6D. 6−2x3.√18的同类二次根式是()A. √27B. √24C. √72D. √1084.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是()A. 2x2−x−y2=0B. x(x−2)=0=8C. ax2+bx+c=0D. x−1x5.现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为950m2，那么小道的宽度应是()A. 1mB. 1.5mC. 2mD. 2.5m6.下列说法正确的是()A. “购买l张彩票就中奖”是不可能事件B. “概率为0.0001的事件”是不可能事件C. “任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次7.已知关于x的一元二次方程(k+1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为()A. k≥0B. k≤0且k≠−1C. k<0且k≠−1D. k≤08.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()A. B. C. D.9.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−3,6)、B(−9,−3)，以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是()A. (−1,2)B. (−9,18)C. (−9,18)或(9,−18)D. (−1,2)或(1,−2)10.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=10√2米，背水坡CD的坡度i=1：√3，则背水坡的坡长CD为()米．A. 20B. 20√3C. 10D. 20√211.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是()A. 5√714B. √35C. √217D. √211412.如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE⋅OP；③S△AOD=S四边形OECF；其中正确结论的个数()A. 1B. 3C. 2D. 0二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）13.若代数式√x−1x+2有意义，则x的取值范围是______．14.若方程(m−2)x|m|−x−2=0是一元二次方程，则m的值为______．15.如图，l1//l2//l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若ABBC =13，DF=10，则EF的长为______．16.设m、n是一元二次方程x2+3x−7=0的两个根，则m2+5m+2n=______．17.如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离点N18米的点A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到点C，此时从镜子中恰好看到楼顶的点M，已知小明的眼睛(点B)到地面的高度BC是1.6米，则高楼MN的高度是______．18.若a2=b3=c4≠0，则a+b−ca−b+c=______ ．19.如图，已知AD是△ABC的中线，G是△ABC的重心，联结BG并延长交边AC于点E，联结DE，那么S△ABC：S△GED 的值为______．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）20.计算：(1)2sin245°−6cos30°+3tan45°+4sin60°；(2)2sin30°+(π−3.14)0+|1−√2|−(−1)2018．21.解下列方程．(1)x2−4x+1=0；(2)(y+2)2=(3y−1)2．22.先化简，再求值：a2−1a−2a+1−a2−2aa−2+a，其中a=1+√3．23.如图，小明在A处看见前面山上有个气象站，仰角为30°，当笔直向山的方向前进4千米后，小明看气象站的仰角为60°，你能算出这个气象站离地面的高度CD吗？是多少？24.为解方程(x2−1)2−5(x2−1)+4=0，我们可以将x2−1视为一个整体，然后设x2−1=y，则原方程可化为y2−5y+4=0，解此方程得y1=1，y2=4．当y=1时，x2−1=1，所以x=±√2；当y=4时，x2−1=4，所以x=±√5．所以原方程的根为x1=√2，x2=−√2，x3=√5，x4=−√5．以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：(1)(x2−x)(x2−x−4)=−4；(2)x4+x2−12=0．25.有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小明先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字(若指针指在分界线上则重转)，小刚再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和是3的倍数，则小明赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小刚赢，你认为这个游戏公平吗？请说明理由．26.如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC运动，速度为4cm/s.设P，Q两点同时运动，运动时间为t s(0<t<4)，当△QBP与△ABC相似时，求t的值．27.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，若该商品每件降价x元．(1)该商品每星期可卖出______件(用含x的代数式表示)；(2)销售该商品要想每星期盈利6120元，每件商品应降价多少元？28.如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．(1)求证：△BFM∽△NFA；(2)求证：DF2=FM⋅FN；(3)若AC=BC，DN=12，ME：EN=1：2，求线段AC的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A.被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B.是最简二次根式，故本选项符合题意；C.被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D.被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简及绝对值，熟练应用二次根式的性质与化简的计算方法进行求解是解决本题的关键．由已知可得x−2<−1<0，4−x>3>0，原式可化为|x−2|+4−x，根据绝对值的定义进行计算即可得出答案．【解答】解：∵x<1，∴x−2<−1<0，−x>−1，∴4−x>−1+4，即4−x>3>0，∴√(x−2)2+|4−x|=|x−2|+4−x=−(x−2)+4−x=−x+2+4−x3.【答案】C【解析】解：√18=3√2，A、√27=3√3，与√18不是同类二次根式，故此选项错误；B、√24=2√6，与√18不是同类二次根式，故此选项错误；C、√72=6√2，与√18，是同类二次根式，故此选项正确；D、√108=6√3，与√18不是同类二次根式，故此选项错误；故选：C．直接利用二次根式的性质化简，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案．此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．4.【答案】B【解析】解：A.是二元二次方程，故本选项不符合题意；B.是一元二次方程，故本选项符合题意；C.当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D.是分式方程，故本选项不符合题意；故选：B．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．5.【答案】A【解析】解：设小道的宽度为x m，依题意得：(40−2x)(26−x)=950，整理得：x2−46x+45=0，解得：x1=1，x2=45．又∵40−2x>0，∴x<20，设小道的宽度为xm ，则剩余部分的面积与长(40−2x)m 、宽(26−x)m 的矩形面积相等，结合种植花草的面积为950m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合(40−2x)为正值即可确定小道的宽度．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：“买l 张彩票就中奖”的可能性很小，但有可能，因此选项A 不符合题意； 概率再小，有可能发生，是可能事件，因此选项B 不符合题意； 任意一个三角形的内角和都是180°，因此选项C 是正确的，任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的不一定是5次，可能是其它情况，因此选项D 不符合题意； 故选：C ．逐项进行判断，得出答案即可．考查随机事件、不可能事件，必然事件的意义，理解随机事件、必然事件、不可能事件的意义是正确判断的前提．7.【答案】C【解析】解：∵关于x 的一元二次方程(k +1)x 2−2x +1=0有两个不相等的实数根， ∴{k +1≠0△=(−2)2−4×(k +1)×1>0， 解得：k <0且k ≠−1． 故选：C ．根据二次项系数非零及根的判别式Δ>0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式Δ>0，找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB=√32+12=√10，AC=√2，BC=2，∴AC：BC：AB=√2：2：√10=1：√2：√5，A、三边之比为1：√5：2√2，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似；B、三边之比为√2：√5：3，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似；C、三边之比为1：√2：√5，图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似；D、三边之比为2：√5：√13，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似．故选：C．9.【答案】D【解析】解：∵点A(−3,6)，以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是(−1,2)或(1,−2)，故选：D．根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k解答．本题考查的是位似变换的概念和性质．10.【答案】A【解析】解：由题意得：四边形AEFD是矩形，∴DF=AE，∵迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=10√2米，∴DF=AE=10√2×sin45°=10(米)，∵背水坡CD的坡度i=1：√3，∴tanC=i=DFCF =√3=√33，∴∠C=30°，∴CD=2DF=2AE=20(米)，故选：A．由AB的坡角α=45°，求出AE的长，再由背水坡CD的坡度i=1：√3得出∠C=30°，然后由含30°角的直角三角形的性质即可求解．此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题．熟练掌握坡度坡角的概念，由锐角三角函数定义求出AE的长是解题的关键．11.【答案】D【解析】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=180°−∠BAC=60°，在Rt△ACD中，AC=2，∴AD=ACcos60°=2×12=1，CD=ACsin60°=2×√32=√3，∵AB=4，∴BD=AB+AD=4+1=5，在Rt△BDC中，BC=√BD2+CD2=√52+(√3)2=2√7，∴sinB=CDBC =√327=√2114，故选：D．先求出120°的补角为60°，然后再把60°放在直角三角形中，所以过点C作CD⊥AB，交BA 的延长线于点D，在Rt△ACD中可求出AD与CD的长，最后在Rt△BDC中利用勾股定理求出BC即可解答．本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．由四边形ABCD是正方形，得到AB=AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP，故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2=OD⋅OP，由OD≠OE，得到OA2≠OE⋅OP，故②错误；根据全等三角形的性质得到CF=BE，DF=CE，进而证明△ADF≌△DCE，得出S△ADF=S△DCE，于是得到S△ADF−S△DFO=S△DCE−S△DOF，即S△AOD=S四边形OECF，故③正确．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∵BP=CQ，∴AP=BQ，在△DAP与△ABQ中，{AD=AB∠DAP=∠ABQ AP=BQ，∴△DAP≌△ABQ(SAS)，∴∠P=∠Q，∵∠Q+∠QAB=90°，∴∠P+∠QAB=90°，∴∠AOP=90°，∴AQ⊥DP，故结论①正确；∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠P，∴△DAO∽△APO，∴AOOD =OPOA，∴AO2=OD⋅OP，∵AE>AB，∴AE>AD，∴OD≠OE，∴OA2≠OE⋅OP，故结论②错误；在△CQF与△BPE中，{∠FCQ=∠EBP CQ=BP∠Q=∠P，∴△CQF≌△BPE(ASA)，∴CF=BE，∴DF=CE，在△ADF与△DCE中，{AD=CD∠ADC=∠DCE DF=CE，∴△ADF≌△DCE(SAS)，∴S△ADF=S△DCE，∴S△ADF−S△DFO=S△DCE−S△DOF，即S△AOD=S四边形OECF，故结论③正确．13.【答案】x≥1【解析】解：由题意得：x−1≥0且x+2≠0，解得：x≥1，故答案为：x≥1．根据二次根式有意义的条件、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．14.【答案】−2【解析】解：∵关于x的方程(m−2)x|m|−x−2=0是一元二次方程，∴|m|=2，m−2≠0，解得m=−2；故答案为：−2．根据一元二次方程的定义得到m−2≠0且|m|=2，然后解方程和不等式即可得到满足条件的m的值．本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．15.【答案】152【解析】解：∵ABBC =13，∴BCAC =34，∵l1//l2//l3，∴EFDF =BCAC=34，∴EF10=34，∴EF=152，故答案为：152．利用平行线分线段成比例定理求解即可．本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．16.【答案】1【解析】解：∵m是一元二次方程x2+3x−7=0的根，∴m2+3m−7=0，∴m2=−3m+7，∴m2+5m+2n=−3m+7+5m+2n=2(m+n)+7，∵m、n是一元二次方程x2+3x−7=0的两个根，∴m+n=−3，∴m2+5m+2n=2×(−3)+7=1．故答案为：1．先根据一元二次方程根的定义得到m2=−3m+7，则m2+5m+2n可化为2(m+n)+ 7，再根据根与系数的关系得到m+n=−3，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba ，x1x2=ca．17.【答案】19.2米【解析】解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C=∠MNA=90°，∵∠BAC=∠MAN，∴△BCA∽△MNA，∴BCMN =ACAN，即1.6MN =1.518，∴MN=19.2，∴高楼MN的高度是19.2米．故答案为：19.2米．利用△BCA∽△MNA，根据对应边成比例即可解答．本题主要考查了相似三角形的实际应用，利用相似三角形的性质是解题的关键．18.【答案】13【解析】解：设a2=b3=c4=k，则a=2k，b=3k，c=4k，所以a+b−ca−b+c =2k+3k−4k2k−3k+4k=k3k=13．故答案为13．设a2=b3=c4=k，利用比例性质得到a=2k，b=3k，c=4k，然后把它们代入原式进行分式的运算即可．本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质)．19.【答案】12【解析】解：∵AD 是△ABC 的中线，G 是△ABC 的重心，∴BE 为△ABC 的中线，BG =2GE ，∴S △BDG =2S △GED ，∴S △BDE =3S △GED ，∵D 点为BC 的中点，∴S △BCE =2S △BDE =6S △GED ，∵E 点为AC 的中点，∴S △ABC =2S △BCE =12S △GED ，即S △ABC ：S △GED =12．故答案为：12．根据三角形重心的性质得到BE 为△ABC 的中线，BG =2GE ，再利用三角形面积公式得到S △BDE =3S △GED ，接着利用D 点为BC 的中点得到S △BCE =6S △GED ，然后利用E 点为AC 的中点得到S △ABC =12S △GED ．本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了三角形面积公式．20.【答案】解：(1)原式=2×(√22)2−6×√32+3×1+4×√32=2×12−3√3+3+2√3=1−3√3+3+2√3=4−√3；(2)原式=2×12+1+√2−1−1=1+1+√2−1−1=√2．【解析】(1)原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；(2)原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可求出值．此题考查了实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21.【答案】解：(1)x 2−4x +1=0，x 2−4x =−1，x 2−4x +4=−1+4，即(x −2)2=3，∴x −2=±√3，∴x 1=2+√3，x 2=2−√3．(2)(y +2)2=(3y −1)2，(y +2)2−(3y −1)2，=0，[(y +2)+(3y −1)][(y +2)−(3y −1)]=0，(4y +1)(−2y +3)=0，∴4y +1=0或−2y +3=0，∴y 1=−14，y 2=32．【解析】(1)配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．22.【答案】解：原式=(a+1)(a−1)(a−1)2−a(a−2)a−2+a =a+1a−1−a +a=a+1a−1，当a =1+√3时，原式=√3+11+3−1 =√3√3 =2√3+33．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算即可． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 23.【答案】解：能算出这个气象站离地面的高度CD ，理由如下：由题意得：∠CAB =30°，∠CBD =60°，AB =4千米，∴∠ACB=∠CAB=30°，∴CB=AB=4千米，在Rt△BCD中，sin∠CBD=CDCB =CD4=sin60°，∴CD4=√32，解得：CD=2√3(千米)，即这个气象站离地面的高度CD为2√3千米．【解析】证∠ACB=∠CAB=30°，得CB=AB=4千米，然后在Rt△BCD中，由锐角三角函数定义求出CD的长即可．本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证出BC=AB是解题的关键．24.【答案】解：(1)(x2−x)(x2−x−4)=−4，设x2−x=a，则原方程可化为a2−4a+4=0，解此方程得：a1=a2=2，当a=2时，x2−x=2，即x2−x−2=0，因式分解得：(x−2)(x+1)=0，解得：x1=2，x2=−1，所以原方程的解是x1=2，x2=−1；(2)x4+x2−12=0，设x2=y，则原方程化为y2+y−12=0，因式分解，得(y−3)(y+4)=0，解得：y1=3，y2=−4，当y=3时，x2=3，解得：x=±√3；当y=−4时，x2=−4，无实数根，所以原方程的解是x1=√3，x2=−√3．【解析】(1)设x2−x=a，原方程可化为a2−4a+4=0，求出a的值，再代入x2−x=a 求出x即可；(2)设x2=y，原方程化为y2+y−12=0，求出y，再把y的值代入x2=y求出x即可．本题考查了用换元法解一元二次方程和用因式分解法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．25.【答案】解：此游戏公平，理由如下：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有9种等可能的结果，即(2,1)(2,3)(2,5)(4,1)(4,3)(4,5)(6,1)(6,3)(6,5)；得到的两数字之和是3的倍数的有3个，得到的两数字之和是7的倍数有3个，则小刚赢的概率=小明赢的概率=39=13，所以这个游戏公平．【解析】画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求出各自的概率，从而得出游戏的公平性．本题考查了游戏公平性、列表法或树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．26.【答案】解：∵动点P从点A开始沿AB运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC运动，∴AP=2t cm，BP=(8−2t)cm，BQ=4t cm，∵∠PBQ=∠ABC，∴当BPAB =BQBC时，△BPQ∽△BAC，即8−2t8=4t16，解得t=2；当BPBC =BQBA时，△BPQ∽△BCA，即8−2t16=4t8，解得t=0.8；即经过2秒或0.8秒时，△QBC与△ABC相似，∴t的值为2或0.8．【解析】分两种情况讨论，列出比例式可求解．本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．27.【答案】(300+20x)【解析】解：(1)∵每降价1元，每星期可多卖出20件，∴当该商品每件降价x元时，每星期可卖出(300+20x)件．故答案为：(300+20x)．(2)依题意得：(60−x−40)(300+20x)=6120，整理得：x2−5x+6=0，解得：x1=2，x2=3．答：每件商品应降价2元或3元．(1)利用每星期的销售量=300+20×每件降低的价格，即可用含x的代数式表示出该商品每星期的销售量；(2)利用销售该商品每星期获得的利润=每件的销售利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出销售量；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．28.【答案】(1)证明∵DF⊥AB，AD，BE是△ABC的高，∴∠BFD=∠AFD=∠AEB=∠ADB=90°，∴∠FBM=90°−∠BAC，∠N=90°−∠BAC，∴∠FBM=∠N，又∵∠BFD=∠AFD，∴△BFM∽△NFA；(2)证明：∵△BFM∽△NFA，∴FBFN =FMFA，∴FM⋅FN=FB⋅FA，∵∠FBD+∠FDB=90°，∠FBD+∠FAD=90°，∴∠FDB=∠FAD，∵∠BFD=∠AFD，∠FDB=∠FAD，∴△BFD∽△DFA，∴FBDF =DFFA，∴DF2=FM⋅FN；(3)解：∵AC=BC，∴∠BAC=∠ABC，∵∠ABC+∠FDB=∠BAC+∠N=90°，∴∠FDB=∠N=∠FBM，∴△ENM∽△FBM∽△FDB，∴FMFB =FBFD=12，∴FB=2FM，FD=2FB=4FM，∵DF2=FM⋅FN，∴(4FM)2=FM⋅(4FM+12)，解得：FM=1或0(舍去)，∴FB=2，FD=4，FN=FD+DN=16，∵AFFN =12，∴AF=8，AB=AF+BF=10，在Rt△BFD中，BD=√BF2+DF2=2√5，在Rt△ADB与Rt△ADC中，AD2=AB2−BD2=AC2−CD2，∴AC2−(AC−2√5)2=102−(2√5)2，解得：AC=5√5．【解析】(1)利用同角的余角相等可得∠FBM=∠N，从而证明结论；(2)由(1)相似得FBFN =FMFA，从而证明△BFD∽△DFA，即可得出结论；(3)由△ENM∽△FBM∽△FDB，得FMFB =FBFD=12，则FB=2FM，FD=2FB=4FM，由(2)知DF2=FM⋅FN，代入即可求出FM的长，从而解决问题．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．。
2021-2022学年云南省普通高中高二（上）期末语文试卷阅读下面的文字，完成下面小题。
①在《红楼梦》以前，很少有小说家从自己的生活经历撷取素材，而曹雪芹声明他之所写乃是自己的“身前身后事”，这不但为小说创作开辟了一个新的领域，也由于题材切近作者亲身经历和感受，加强了作品现实性的深度和情感力度。
而叙事与抒情的完美结合，正是这部小说无与伦比的艺术魅力的重要表现。
②从叙事的角度说，《红楼梦》特别令人赞叹的是其中真实而丰满的细节描写。
中国古代小说从魏晋小说的“粗陈梗概”，到宋元说书的矜奇尚异，细节描写往往失之简陋、夸张，而《红楼梦》则不然，它完全是以丰富的生活细节构成了小说叙事的主体，这些“家庭琐事、闺阁闲情”不但真实可信，而且内涵深刻，具有以小见大的艺术容量，充分显示了曹雪芹对现实生活敏锐的观察力和表现力。
比如贾宝玉在姐妹们都在场时向林黛玉使的一个眼色，林黛玉马上就能会意，表现了他们两人不同一般的默契（42回）；因是小老婆所生而倍感委屈的探春，洗一次脸也很讲礼数，其实是要摆小姐的谱以显示自己的身份（55回）；中秋夜宴，众人强颜欢笑，从桂花阴里发出一缕凄凉笛音，暗示了贾府的日暮途穷（75回），等等。
当我们读到这些既琐碎、又显然经过作者艺术加工的细节时，一种在日常生活中领悟人生真谛的阅读快感便油然而生。
③更值得称道的是，《红楼梦》没有停留在琐屑的生活细节的描写中，而是深入挖掘了日常生活中的诗意，使整部作品始终洋溢着充沛的抒情性。
这种抒情性不仅表现在它对中国古代小说传统的韵散结合手法的娴熟运用上，更表现在它对传统诗学理想的汲取。
用脂评的话说，就是“此书之妙皆从诗词句中泛出者”。
曹雪芹创造性地吸收和运用了中国古代诗歌、绘画等艺术手法，使小说充满了诗情画意。
这既表现在宝黛共读《西厢》、黛玉葬花、宝钗扑蝶等众多优美场景的构思中，也表现在人物形象的塑造上。
例如林黛玉纤弱清丽的倩影、幽怨含情的眉眼、哀婉缠绵的低泣，以及她所住的那个静谧高雅的潇湘馆，使她在群芳云集的大观园中，独具一种“风流态度”。
2021-2022学年贵州省毕节市高三（上）诊断性数学试卷（文科）（一）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =ln(1−2x)}，B ={x|y =√x +2}，则A ∩B =( )A. [−2,12)B. [−2,12]C. [0,12)D. [0,12]2. 若复数z 满足(1+i)2z =1−i(i 是虚数单位)，则z =( )A. −12+12iB. −12−12iC. 12−12iD. 12+12i3. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(1,−2)，c ⃗ =(x,−1)，若c ⃗ ⊥(a ⃗ +2b ⃗ )，则x =( )A. 1B. 2C. −2D. −14. 某商场为了解销售活动中某商品销售量y 与活动时间x 之间的关系，随机统计了某5次销售活动中的商品销传量与活动时间，并制作了如表：由表中数据，销售量y 与活动时间x 之间具有线性相关关系，算得线性回归方程为y ̂=b ̂x +6.25，则b ^的值为( )A. 10.75B. 10.25C. 9.75D. 9.255. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S20212021=S 20202020+1且a 1=3，则( )A. a n =2n +1B. a n =n +1C. S n =2n 2+nD. S n =4n 2−n6. 函数f(x)=xlnx −2在x =1处的切线方程为( )A. 2x +y =0B. 2x −y −4=0C. x −y −3=0D. x +y +1=07. 已知函数f(x)=sin(2x +π6)，若将f(x)的图象向右平移π6个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则( )A. g(x)=sin(4x −π6) B. g(x)=sin4x C. g(x)=sinxD. g(x)=sin(x −π6)8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 36B. 24C. 12D. 69.我国古代的《易经》中有两类最基本的符号：“─”和“--”，其中“─”在二进制中记作“1”，“--”在二进制中记作“0”.如符号“”对应二进制数1100(2)，化为十进制数计算如下：1100(2)=1×23+1×22+0×21+0×20=12.若从这两类符号中各取两个符号按照上面的方式任意叠放，则得到的二进制数所对应的十进制数小于6的概率为()A. 16B. 13C. 12D. 2310.酒驾是严近危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车，假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，他至少经过t小时才能驾驶机动车，则整数t的值为()(lg2≈0.301,lg3≈0.477)A. 14B. 15C. 16D. 1711.已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A是C的左顶点，过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，O为坐标原点，且PO平分∠APM，则C的离心率为()A. 2B. √2C. 3D. √312.已知f(x)=m+√x−2，若存在实数a，b(a<b)，使得f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]，则实数m的取值范围是()A. (74,+∞) B. [74,+∞) C. [74,2) D. (74,2]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等比数列{a n}中，a5⋅a6⋅a7=8，a3=14，则公比q=______．14.已知M(x0,y0)是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，若点P(−1,0)满足MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，则x0的取值范围是______．15. 已知三棱锥P −ABC 中，PC ⊥平面ABC ，∠PBC =45°，PC =AC =2，AB =2√3，这个三棱锥的外接球的表面积为______．16. 函数y =f(x)的图象关于点M(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y =f(x +a)−b 为奇函数，给出下列四个结论： ①f(x)=x +3x−2−1图象的对称中心是(2,1)；②f(x)=x +3x−2−1图象的对称中心是(2,−1)；③类比可得函数y =f(x)的图象关于直线x =a 成轴对称图形的充要条件是y =f(x +a)为偶函数：④类比可得函数y =f(x)的图象关于直线x =a 成轴对称图形的充要条件是y =f(x −a)为偶函数．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，比知bcosC +√32c =a ，a =√3c.(1)求角C 的大小：(2)再从①acosB =32，②a +c =1+√3，③asinA =32，这三个条件任选一个作为已知条件，求△ABC 的面积．18. 2021年10月16日，搭载“神州十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将每天关注这件大事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽收了100人进行分析，得到下表(单位：人)：(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？(2)现从抽取的女性入群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，求其中至少有1人是“天文爱好者”的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．19.如图1，正方形ABCD中，DM=12MA=1，CN=12NB=1，将四边形CDMN沿MN折起到四边形PQMN的位置，使得∠QMA=60°(如图2)．(1)证明：平面MNPQ⊥平面ABPQ；(2)若E，F分别为AM，BN的中点，求三棱锥F−QEB的体积．20.已知F是椭圆C：x22+y2=1的右焦点，过点F作圆x2+y2=12的倾斜角为锐角的切线l，且l与C交于M，N两点．(1)求|MN|；(2)求过点M，N且与直线x=2相切的圆的圆心坐标．21.设函数f(x)=x−ae x(a∈R)．(Ⅰ)求函数f(x)的极值：(Ⅱ)若f(x)≤ax在x∈[0,+∞)时恒成立，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2√3sinθ．(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程和参数方程；(2)设点A 的直角坐标为(0,2)，M 为C 上的动点，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点．23. 已知函数f(x)=2|x +1|−|x −2|．(1)求不等式f(x)<1的解集；(2)对∀x ≥0，∃m ∈[12,2]，使得f(x)≥2m 2−am +1成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由1−2x>0得x<12，∴A={x|x<12}，由x+2≥0得x≥−2，∴B={x|x≥−2}，∴A∩B={x|−2≤x<12}，故选：A．先求出集合A，B，再利用并集运算的定义求解．本题主要考查了集合间的基本运算，是基础题．2.【答案】B【解析】解：z(1+i)2=1−i，∴2zi=1−i，∴−2z=i(1−i)=1+i，∴z=−12−12i，故选：B．根据复数的运算即可得结果．本题考查复数的运算，考查学生的运算能力，属于容易题．3.【答案】D【解析】解：由题意可得a⃗+2b⃗ =(3,−3)．又因为c⃗⊥(a⃗+2b⃗ )，所以有c⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=3x+(−1)×(−3)=0，解得x=−1，故选：D．先由a⃗,b⃗ 的坐标求得a⃗+2b⃗ 的坐标，再根据c⃗⊥(a⃗+2b⃗ )，可得c⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=0，代人坐标求解即可．本题考查向量垂直，数量积的坐标运算，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由表可得，x −=2+4+5+6+85=5，y −=25+40+60+70+805=55，∵线性回归方程为y ̂=b ̂x +6.25，∴55=b ̂×5+6.25，解得b ̂=9.75． 故选：C ．根据已知条件，求出x ，y 的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解． 本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S20212021=S 20202020+1且a 1=3，∴S 20212021−S 20202020=20202d −20192d =1，∴d =2，∴a n =3+(n −1)×2=2n +1.故A 正确，B 错误； S n =3n +n(n−1)2×2=n 2+2n ，故C ，D 错误．故选：A ．由等差数列前n 项和公式得S 20212021−S 20202020=20202d −20192d =1，从而d =2，由此能求出结果．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：由f(x)=xlnx −2，得f′(x)=lnx +1， ∴f′(1)=lnx +1=1，又f(1)=−2，∴函数f(x)=xlnx−2在x=1处的切线方程为y+2=1×(x−1)，即x−y−3=0．故选：C．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再求出f(1)的值，利用直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．7.【答案】D【解析】解：∵f(x)=sin(2x+π6)，∴将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得f(x−π6)=sin[2(x−π6)+π6]=sin(2x−π6)，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)=sin(x−π6)，故选：D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律解决即可．本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，熟练掌握其图象变化规律是解决问题的关键，考查逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：根据三视图知，该几何体是以俯视图为底面的三棱锥，且PA⊥底面ABC，如图所示；AC=6，PA=3，AB=5，BC=5，结合图中数据，计算该三棱锥的体积为V=13S△ABCℎ=13×12×6×4×3=12．故选：C．根据三视图知该几何体是三棱锥，结合图中数据求出它的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是中档题．9.【答案】B【解析】解：从这两类符号中各取两个符号按照上面的方式任意叠放，可组成的二进制数为1100(2)，1010(2)，0011(2)，0101(2)，0110(2)，1001(2)，共6个，1100(2)=12，1010(2)=1×23+0×22+1×21+0×20=10，0011(2)=0×23+0×22+1×21+1×20=3，0101(2)=0×23+1×22+0×21+1×20=5，0110(2)=0×23+1×22+1×21+0×20=6，1001(2)=1×23+0×22+0×21+1×20=9，所以小于6的数有2个，所以P=26=13．故选：B．可组成的二进制数为1100(2)，1010(2)，0011(2)，0101(2)，0110(2)，1001(2)，共6个，再将其分别转换为十进制数后，即可得解．本题考查古典概型，二进制与十进制的转换，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由题意得，100×(1−10%)t<20，即t>log0.90.2，即t>lg0.2lg0.9=lg2−12log3−1≈15.3，故整数t的值为16，故选：C．由题意得100×(1−10%)t<20，由指数与对数的互化知t>log0.90.2，从而利用换底公式求值．本题考查了指数运算及对数运算，同时考查了函数在实际问题中的应用，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：如图所示，取双曲线的渐近线y =ba x ，可得直线F 2P 的方程为：y =−ab (x −c)，联立{bx −ay =0ax +by −ac =0，解得P(a 2c ,ab c ). ∴直线AP 的方程为：y =abc −0a 2c−(−a)(x +a)，化为：bx −(a +c)y +ab =0．∵PO 平分∠APM ，∴点O 到直线PM ，PA 的距离相等， ∴a 2c=ab √b 2+(a+c)2，化为：c 2−ac −2a 2=0，即e 2−e −2=0， ∵e >1，解得e =2． 故选：A ．如图所示，取双曲线的渐近线y =ba x ，可得直线F 2P 的方程，联立解得P 坐标．根据PO 平分∠APM ，可得点O 到直线PM ，PA 的距离相等，即可得出离心率．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、角平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：函数f(x)=m +√x −2在定义域[2,+∞)上单调递增， 要使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]，则{f(a)=m +√a −2=af(b)=m +√b −2=b，即{√a −2=a −m √b −2=b −m， ∴问题转化为函数y =√x −2与y =x −m 在[2,+∞)上有两个交点， 即方程x −m =√x −2在[2,+∞)上有两个根， 令√x −2=t ≥0，则x =t 2+2，则方程t 2+2−m =t(t ≥0)有两个根，即方程t 2−t +2=m(t ≥0)有两个根，令g(t)=t 2−t +2，t ≥0，则函数y =g(t)与y =m 在t ≥0时有两个交点， g(t)的对称轴为t =12，g(12)=14−12+2=74，g(0)=2，画出图像，如图所示，由函数y =g(x)的图形可得74<m ≤2， 即实数m 的取值范围是(74,2]， 故选：C ．先判断函数的单调性，根据定义域和值域列出方程组，由方程组将问题转化为两个函数的交点个数问题，再利用数形结合法即可求出m 的取值范围．本题主要考查了函数的定义域和值域，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，是中档题．13.【答案】2【解析】解：∵等比数列{a n }中，a 5⋅a 6⋅a 7=8，a 3=14， ∴{a 1q 4⋅a 1q 5⋅a 1q 6=8a 1q 2=14， 解得公比q =2． 故答案为：2．由等比数列通项公式列出方程组，能求出公比q ．本题考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】[0,√5−2)【解析】解：∵F 是抛物线y 2=4x 的焦点，∴F(1,0)． ∵MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，∴(1−x 0,−y 0)⋅(−1−x 0,−y 0)=x 02−1+y 02<0， 又y 02=4x 0， ∴x 02+4x 0−1<0，解得−2−√5<x0<√5−2，又x0≥0，∴0≤x0<√5−2，∴x0的取值范围是[0,√5−2)，故答案为：[0,√5−2)．利用数量积运算性质、抛物线的标准方程、不等式的解法即可得出．本题考查了数量积运算性质、抛物线的标准方程、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】20π【解析】解：根据题意，如图：PC⊥平面ABC，∠PBC=45°，PC=2，则CB=2，又由AC=2，AB=2√3，故△ABC为等腰三角形，且cos∠ACB=AC2+BC2−AB22AC⋅BC =−12，则∠ACB=120°，取AB的中点E，连接CE并延长到点D，使ED=CE，易得CE=12BC=1，则有DC=DA=DB=2，故D为△ABC的外心，过点D作DO//CP，使O与P在平面ABC的同侧，且OD=12PC=1，则有OP=OC=OB=OA=√1+4=√5，则O为三棱锥P−ABC的外接球的球心，且其外接球半径R=OP=√5，故其外接球的表面积S=4πR2=20π；故答案为：20π．根据题意，求解△ABC可得△ABC为等腰三角形，且∠ACB=120°，分析其外接圆圆心，进而可得三棱锥P−ABC的外接球的球心，求出其半径，由球的表面积公式计算可得答案．本题考查多面体外接球的表面积与体积，关键是确定球的球心，属于中档题．16.【答案】①③【解析】解：函数y=x+3x 是奇函数，对称中心为(0,0)，将y=x+3x图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位可得f(x)=x−2+3x−2+1=x+3x−2−1的图象，所以f(x)=x+3x−2−1图象的对称中心是(2,1)，故①正确，②错误，若函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形，图象向左平移|a|个单位长度可得y=f(x+a)关于x=0即y轴对称，所以y=f(x+a)为偶函数，故③正确，④错误，所以所有正确结论的序号是①③，故答案为：①③．根据y=x+3x 是奇函数，对称中心为(0,0)，由图象的平移变换可得f(x)=x+3x−2−1的对称中心，可判断①②，将y=f(x)的图象向左平移|a|个单位长度可得y=f(x+a)，可判断③④，进而可得正确答案．本题主要考查了函数图象的对称性，考查了函数图象的变换，是基础题．17.【答案】解：(1)由题可知，bcosC+√32c=a，由正弦定理得：sinBcosC+√32sinC=sinA，又因为在△ABC中，sinA=sin(B+C)，所以sinBcosC+√32sinC=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，则√32sinC=cosBsinC，又sinC>0，所以cosB=√32，而0<B<π，所以B=π6．因为a=√3c，由正弦定理得sinA=√3sinC，则sin(B+C)=sin(π6+C)=√3sinC，所以12cosC+√32sinC=√3sinC，即cosC=√3sinC，所以tanC=sinCcosC =√33，而0<C<π，所以C=π6．(2)由(1)得B=π6，C=π6，则A=2π3，若选①，acosB=32，则acosπ6=√32a=32，解得：a=√3，由正弦定理asinA =bsinB，可得√3√32=b12，解得：b=1，所以△ABC的面积为：S=12absinC=12×√3×1×12=√34；若选②，a+c=1+√3，由正弦定理asinA =csinC，可得√32=c12，所以a=√3c，所以a+c=√3c+c=1+√3，解得：c=1，故a=√3，所以△ABC的面积为：S=12acsinB=12×√3×1×12=√34；若选③，asinA=32，则asin2π3=√32a=32，解得：a=√3，由正弦定理asinA =bsinB，可得√3√32=b12，解得b=1，所以△ABC的面积为：S=12absinC=12×√3×1×12=√34．【解析】(1)根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式进行化简可得出B=π6，由正弦定理、两角和的正弦公式以及同角三角函数关系可求出tanC=√33，从而可得出角C的大小；(2)由(1)得B=π6，C=π6，则A=2π3，若选①：可得出a=√3，再根据正弦定理求出b，最后根据三角形的面积公式S=12absinC即可求出△ABC的面积；若选②：先根据正弦定理求得a=√3c，结合条件即可求出a，c，最后根据S=12acsinB 即可求出△ABC的面积；若选③：可得出a=√3，再根据正弦定理求出b，最后根据三角形的面积公式S=12absinC即可求出△ABC的面积．本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)2×2列联表如下：∵K 2=100×(20×15−30×35)250×50×55×45≈9.091>7.879，∴能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关．(2)从抽取的女性入群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，则5人中“天文爱好者”为5×2020+30=2人，“非天文爱好者”为5×3020+30=3人 故其中至少有1人是“天文爱好者”的概率P =C 21C 31+C 22C 52=710．【解析】(1)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．(2)根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及古典概型的概率公式，即可求解． 本题主要考查独立性检验公式的应用，以及分层抽样的定义，属于基础题．19.【答案】(1)证明：因为在正方形ABCD 中，DM =12MA =1，CN =12NB =1，所以QM ⊥QP ，QM =1，AM =2， 又因为∠AMQ =60°，所以在△AMQ 中，由余弦定理得AQ 2=AM 2+QM 2−2AM ⋅QM ⋅cos∠AMQ =4+1−2×1×2×12=3，所以AQ 2+QM 2=AM 2， 所以AQ ⊥QM ， 又因为AQ ∩QP =Q ， AQ ，QP ⊂平面ABPQ ， 所以QM ⊥平面ABPQ ，又QM⊂平面MNPQ，所以平面MNPQ⊥平面ABPQ；(2)解：由(1)知，AQ⊥QM，QM⊥QP，因为在正方形ABCD中，DM=12MA=1，CN=12NB=1，所以四边形CDMN为矩形，所以MN⊥MQ，MN⊥DM，所以MN⊥MQ，MN⊥MA，因为MQ∩MA=M，MQ，MA⊂平面AMQ，所以MN⊥平面AMQ，因为MN⊂平面ABNM，所以平面ABNM⊥平面AMQ，过Q作QH⊥AM于H，则QH⊥平面ABNM，即QH⊥平面BEF，QH=QMsin60°=√32，所以V F−QEB=V Q−BEF=13⋅S△BEF⋅QH=13×(12×3×1)×√32=√34，即三棱锥F−QEB的体积为√34．【解析】(1)证明QM⊥AQ和QM⊥QP结合线面垂直、面面垂直的判定即可得证；(2)根据几何关系，利用等体积法，由锥体体积公式即可得解．本题考查了面面垂直的证明，三棱锥的体积的计算，属于中档题．20.【答案】解：(1)由椭圆C：x22+y2=1，可得半焦距c=√2−1=1，∴右焦点F(1,0)，设切线l的斜率为k>0，则l的方程为：y=k(x−1)，∴√k 2+1=√22，k >0，解得k =1．∴l 的方程为：y =x −1． 联立{y =x −1x 22+y 2=1，化为：3x 2−4x =0，解得x =0或43，由x =0，代入y =x −1，解得y =−1； 由x =43，代入y =x −1，解得y =13． 不妨设M(0,−1)，N(43,13). ∴|MN|=√(0−43)2+(−1−13)2=4√23．(2)由M(0,−1)，N(43,13)，可得线段MN 的中点Q(23,−13)， 设过点M ，N 且与直线x =2相切的圆的圆心坐标为(a,b)． 则−13−b23−a ×1=−1，√a 2+(b +1)2=|2−a|，联立解得：a =−2+2√63，b =3+2√63；a =−2+2√63，b =3−2√63． ∴圆心坐标为(−2+2√63,3+2√63)，(−2+2√63,3−2√63).【解析】(1)由椭圆C ：x 22+y 2=1，可得右焦点，设切线l 的斜率为k >0，可得l 的方程，根据圆的切线性质，可得斜率k.l 的方程与椭圆方程联立解得M ，N 坐标．利用两点间的距离公式可得即可得出|MN|．(2)由M(0,−1)，N(43,13)，可得线段MN 的中点Q(23,−13)，设过点M ，N 且与直线x =2相切的圆的圆心坐标为(a,b)，根据相互垂直的直线斜率之间的关系、圆的性质即可得出圆心坐标．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、两点间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由题可知f′(x)=1−ae x ，①当a ≤0，f′(x)≥0，f(x)在R 上单调递增，∴f(x)没有极值； ②当a >0，f′(x)=0时，x =ln 1a ．当x ∈(−∞,ln 1a )时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x ∈(ln 1a ,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； ∴f(x)在x =ln 1a 时取得极大值ln 1a −1，没有极小值﹒ 综上所述，当a ≤0时，f(x)无极值；当a >0时，f(x)有极大值ln 1a −1，无极小值； (Ⅱ)f(x)≤ax ⇒x ≤ax +ae x ⇒x ≤a(x +e x ) ∵x ∈[0,+∞)，∴a ⩾xx+e x ，令g(x)=xx+e x ,x ⩾0，则原问题⇔a ≥g(x)max ，x ∈[0,+∞)， ∵g′(x)=x+e x −x(1+e x )(x+e x )2=e x (1−x)(x+e x )2，1−x >0⇒x <1，∴x ∈[0,1)，g′(x)>0，g(x)单调递增；x ∈(1,+∞)，g′(x)<0，g(x)单调递减； ∴g(x)max =g(1)=11+e ，∴a ⩾11+e ﹒ ∴a 的取值范围为[11+e ,+∞)．【解析】(Ⅰ)求出f′(x)，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令f′(x)>0求得x 的范围，可得函数f(x)增区间，f′(x)<0求得x 的范围，可得函数f(x)的减区间；根据单调性即可求得f(x)的极值﹒(Ⅱ)参变分离，将问题转化为用导数求函数的最值问题﹒本题主要考查利用导数研究函数的极值，利用导数研究不等式恒成立问题等知识，属于中等题．22.【答案】解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=2√3sinθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x 2+y 2=2√3y ，整理得x 2+(y −√3)2=3， 转换为参数方程为{x =√3cosθy =√3+√3sinθ(θ为参数)；(2)设点A 的直角坐标为(0,2)，M 为C 上的动点，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设点P(x,y)， 根据AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −2)=√3⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3(√3cosθ,√3+√3sinθ−2)， 整理得{x =3cosθy =5−2√3+3sinθ(θ为参数)；故C 1的参数方程为{x =3cosθy =5−2√3+3sinθ(θ为参数)；圆心坐标为(0,5−2√3)，所以两圆心距为3√3−5，两圆的半径为√3和3， 故3√3−5<3−√3，故两圆相内含，故没有公共点．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用两圆的位置关系的应用判断有没有公共点．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两圆的位置关系的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)f(x)=2|x +1|−|x −2|={−x −4,x ≤−13x,−1<x <1x +4,x ≥1，∵f(x)<1， ∴{−x −4<1x ≤−1或{3x <1−1<x <1或{x +4<1x ≥1，解得−5<x ≤−1或−1<x <13， 即不等式的解集为{x|−5<x <13}；(2)∀x ≥0，f(x)={3x,0≤x <1x +4 ,x ≥1，为增函数，∴f(x)min =0，∵∃m ∈[12,2]，使得f(x)≥2m 2−am +1成立，∴∃m ∈[12,2]，使得2m 2−am +1≤0成立， ∴∃m ∈[12,2]，使得a ≥2m +1m ， 令y =2m +1m ，m ∈[12,2]，∵y =2m +1m ≥2√2，当且仅当m =√22时取等号，∴a ≥2√2，故a 的取值范围为[2√2,+∞)．【解析】(1)化绝对值函数为分段函数，再解不等式即可；(2)先求出函数f(x)的最小值，则原不等式转化为得a ≥2m +1m ，利用基本不等式求出2m+1的最小值即可．m本题考查了绝对值不等式的解法和存在性问题以及基本不等式的应用，属于中档题．第21页，共21页。
2021-2022学年四川省绵阳市高三（上）一诊数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|−1<x ≤1}，B ={−1,0,1}，则A ∩B =( )A. {−1,0}B. {−1,1}C. {0,1}D. {−1,0,1}2. 设函数f(x)={x +2,(x ≤0),√x,(x >0),若f(a)=f(a −2)，则f(5−a)=( )A. 2B. 0或1C. 2或√5D. √53. 若0<a <b ，则下列结论正确的是( )A. lna >lnbB. b 2<a 2C. 1a <1bD. (12)a >(12)b4. 已知函数f(x)对任意实数x ，满足f(x)+f(−x)=0，当x ≥0时，f(x)=2x −m(m 为常数)，则f(1−log 23)=( )A. 12B. −12C. 13D. −135. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若−5，S 3，S 6成等差数列，则S 9−S 6的最小值为( )A. 25B. 20C. 15D. 106. 设x ，y 满足约束条件{x +y −5≤02x +y −8≤0y ≤3，则z =3x +4y 的最大值是( )A. 12B. 17C. 18D. 3927. “ln(x +2)<0”是“x <−1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数f(x)=sinx+x cosx在(−π2, π2)上的图象大致为( )A.B.C.D.9. 通常人们用震级来描述地震的大小．地震震级是对地震本身大小的相对量度，用M表示，强制性国家标准GB17740—1999《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动最大值(A/T)max 进行测定，计算公式如下：M =log(A/T)max +1.66lgΔ+3.5(其中Δ为震中距)，已知某次某地发生了4.8级地震，测得地震面波质点运动最大值为0.01，则震中距大约为( )A. 58B. 78C. 98D. 11810. 已知a =(1681)−14，b =log 32+log 23，c =23log 23，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c >b >aB. b >a >cC. a >c >bD. b >c >a11. 把函数f(x)=3sin(2x +π6)的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g(x 1)=g(x 2)−6，x 1，x 2∈[−π,π]，则x 1−x 2的最大值为( )A. 3π4B. πC. 7π4D. 2π12. 设D ，E 为△ABC 所在平面内两点，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 32AB ⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗−32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. −AB ⃗⃗⃗⃗⃗+32AC ⃗⃗⃗⃗⃗二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知平面向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(m,−1)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|b ⃗ |=______． 14. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=2，S 7=35，则a 6=______． 15. 若β∈(π2,π)，sinβ=13，若3sin(α+2β)=sinα，则tan(α+β)=______．16.已知函数f(x)=2x2−ax，若不等式|f(x)|≤1任意的x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在极坐标系中，已知点M(2,0)，曲线C1是以极点O为圆心，以OM为半径的半圆，曲线C2是过极点且与曲线C1相切于点(2,π2)的圆．(1)分别写出曲线C1，C2的极坐标方程；(2)直线θ=α(0<α<π,ρ∈R)与曲线C1，C2分别相交于点A，B(异于极点)，求△ABM面积的最大值．18.已知函数f(x)=−13x3+ax2+3a2x−53．(1)若a=−1时，求f(x)在区间[−4,2]上的最大值与最小值；(2)若函数f(x)仅有一个零点，求实数a的取值范围．19.已知函数f(x)=|x+m|−|x−2m|(m>0)的最大值为6．(1)求m的值；(2)若正数x，y，z满足x+y+z=m，求证：√xy+√xz≤√m．20.已知函数f(x)=(x−2)e x+ax2−bx，其图象在点(0,f(0))处的切线斜率为−3．(1)求b的值；(2)若f(x)>−e−1在上恒成立，求实数a的取值范围．21.已知S n是数列{a n}的前n项和，S n=2a n−2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求a1a2−a2a3+⋅⋅⋅+(−1)n+1a n a n+1．22.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π2，点M(−7π24,−2)是该函数图象的一个最低点．(1)求函数f(x)的解析式及函数f(x)的单调递增区间；(2)若x∈[−π8,π8]，求函数y=f(x)的值域．23.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从以下三个条件中任选一个：①btanC=(2a−b)tanB；②2ccosB=2a−b；③accosA+a2(cosC−1)=b2−c2，解答如下的问题．(1)求角C的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，且a=mb，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|−1<x≤1}，B={−1,0,1}，∴A∩B={0,1}．故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由函数解析式可知，x>0时，f(x)单调递增，当x≤0时，f(x)也是单调递增函数，所以若f(a)=f(a−2)，0≤a−2<a，所以f(a−2)=(a−2)+2=a，f(a)=√a，所以a=√a，解得a=0或1，(a=0舍去)，所以a=1，所以f(5−a)=f(4)=√4=2，故选：A．根据解析式可知x>0时，f(x)单调递增，当x≤0时，f(x)也是单调递增函数，所以要满足f(a)=f(a−2)，只能是0≤a−2<a，代入解析式可得a，从而求得f(5−a)．本题考查了分段函数求值，以及函数单调性，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：对于A，因为函数f(x)=lnx在(0,+∞)上单调递增，又0<a<b，则f(a)<f(b)，即lna<lnb，故A错误；对于B ，因为函数f(x)=x 2在(0,+∞)上单调递增， 又0<a <b ，则f(a)<f(b)，即a 2<b 2，故B 错误； 对于C ，0<a <b ，由不等式的性质可得1a >1b ，故C 错误； 对于D ，因为函数f(x)=(12)x 在(0,+∞)上单调递减， 又0<a <b ，则f(a)>f(b)，即(12)a >(12)b ，故D 正确． 故选：D ．由对数函数的性质即可判断A ；由二次函数的性质即可判断B ；由不等式的性质即可判断C ；由指数函数的性质即可判断D ．本题主要考查不等式的基本性质，考查函数思想与逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：函数f(x)对任意实数x ，满足f(x)+f(−x)=0，即有f(−x)=−f(x)， 且f(0)=0，当x ≥0时，f(x)=2x −m(m 为常数)， 则f(0)=1−m =0，解得m =1，所以f(1−log 23)=−f(log 23−1)=−(2log 23−1−1)=−(32−1)=−12， 故选：B ．由奇函数f(x)在x =0处有定义，可得f(0)=0，求得m 的值，由奇函数的定义和已知解析式，结合对数的运算性质，可得所求值．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，以及对数的运算性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为{a n }是正项等比数列， 所以S 3，S 6−S 3，S 9−S 6仍然构成等比数列， 所以(S 6−S 3)2=S 3(S 9−S 6)， 又−5，S 3，S 6成等差数列，所以S 6−5=2S 3，S 6−S 3=S 3+5，所以S9−S6=(S6−S3)2S3=(S3+5)2S3=S3+25S3+10，又正项等比数列{a n}，所以S3>0，所以S3+25S3+10≥2√S3×25S3+10=20，当且仅当S3=5时，等号成立，所以S9−S6的最小值为20，故选：B．利用等比数列前n项和的性质表示出S9−S6，再表示成同一变量S3，然后利用基本不等式求出其最小值即可．本题考查了等比数列的性质，等差数列等比数列综合，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组解得A(2,3)，由z=3x+4y，得y=−34x+z4，由图可知，当直线y=−34x+z4过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3×2+4×3=18．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．7.【答案】A【解析】解：由ln(x+2)<0，得0<x+2<1，解得−2<x<−1，由−2<x<−1可以推出x<−1，反之x<−1不能推出−2<x<−1，所以“ln(x+2)<0”是“x<−1”的充分不必要条件，故选：A．求解不等式ln(x+2)<0得−2<x<−1，由充分必要条件的定义判断即可．本题考查了对数不等式解法，充分必要条件的判定，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：函数f(x)=sinx+xcosx 在(−π2, π2)为奇函数，则其图象关于原点对称，因为f(π4)=sinπ4+π4cosπ4>0，故选项B，D错误，又f(π4)=sinπ4+π4cosπ4>1，故选项C错误．故选：A．利用特殊值f(π4)，即可判断得到答案．本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意得：设震中距为x，则4.8=lg0.01+3.5+1.66lgx，易得lg0.01=−2，整理得lgx近似等于1.99，即lgx=1.99，因为lg100=2，且1.99<2，可得x等于98，故选：C．由题意列出方程，再由对数运算进行求解即可．本题考查函数的实际应用，属于容易题．10.【答案】B【解析】解：∵a =(1681)−14=32，b =log 32+log 23>log 31+log 22√2>32， c =23log 23=log 2323<log 2232=32，∴b >a >c ． 故选：B ．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】C【解析】解：将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到y =3sin[2(x −π6)+π6]=3sin(2x −π6)， 再把横坐标缩短到原来的12倍，得到g(x)=3sin(2⋅2x −π6)=3sin(4x −π6)， 由题意，要使g(x 1)=g(x 2)−6，x 1，x 2∈[−π,π]，只需g(x 1)=g(x)min ，g(x 2)=g(x)max ，故4x 1−π6=−π2+2kπ,k ∈Z ，x 1=−π12+kπ2,k ∈Z ……①，4x 2−π6=π2+2kπ,k ∈Z ，x 2=π6+kπ2,k ∈Z ……②，由①式，当k =2时，x 1的最大值为11π12；由②式，k =−2时，x 2的最小值为−5π6，故x 1−x 2的最大值为11π12−(−5π6)=7π4．故选：C ．先根据图像的平移变换、伸缩变换的规律求出g(x)的解析式，然后根据正弦函数的性质求出g(x)的最值点的横坐标，根据给的范围求出结果． 本题考查三角函数的图像变换以及性质，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =32(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：B ．利用平面向量基本定理，向量的线性运算即可求解．本题主要考查平面向量基本定理，向量的线性运算，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：根据题意，向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(m,−1)， 若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ =m −√3=0，解可得m =√3， 即b ⃗ =(√3,1)，则|b ⃗ |=√3+1=2； 故答案为：2．根据题意，由向量垂直的判断方法可得a ⃗ ⋅b ⃗ =m −√3=0，求出m 的值，进而计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，注意向量垂直的判断方法，属于基础题．14.【答案】7【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 7=35，得7a 1+21d =35，又a 1=2，所以14+21d =35，解得d =1， 所以a 6=a 1+5d =2+5=7． 故答案为：7．设等差数列{a n }的公差为d ，根据a 1=2，S 7=35，可求出d 值，从而利用a 6=a 1+5d 进行求解即可．本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．15.【答案】√22【解析】解：∵β∈(π2,π)，sinβ=13， ∴cosβ=−√1−sin 2β=−2√23，则tanβ=sinβcosβ=−√24． sin2β=2sinβcosβ=−4√29，cos2β=cos 2β−sin 2β=79．3sin(α+2β)=3sinαcos2β+3cosαsin2β=73sinα−4√23cosα=sinα，∴43sinα=4√23cosα，得tanα=√2．∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−√24+√21−(−√24)×√2=√22． 故答案为：√22．由已知求得tanβ，展开3sin(α+2β)=sinα的左边，求得tanα，再由两角和的正切求解tan(α+β)的值．本题考查三角函数的化简求值，考查两角和与差的三角函数，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】[1,2√2]【解析】解：f(x)=2x 2−ax ，不等式|f(x)|≤1对任意的x ∈[0,1]恒成立⇔−1≤2x 2−ax ≤1⇔−1≤ax −2x 2≤1对任意的x ∈[0,1]恒成立，(∗) ①当x =0时，−1≤0≤1，成立；②当x ≠0时，(∗)式化为2x −1x ≤a ≤2x +1x 对任意的x ∈(0,1]恒成立⇔∀x ∈(0,1]，(2x −1x)max ≤a ≤(2x +1x)min ，∵y =2x −1x 在(0,1]上单调递增，故(2x −1x)max =2×1−1=1③，又2x +1x ≥2√2x ⋅1x =2√2(当且仅当2x =1x ，即x =√22时取等号)，而√22∈(0,1]，符合题意，即(2x +1x )min =2√2④， 由③④得1≤a ≤2√2，即a ∈[1,2√2]， 故答案为：[1,2√2].不等式|f(x)|≤1对任意的x ∈[0,1]恒成立⇔−1≤ax −2x 2≤1对任意的x ∈[0,1]恒成立，(∗)；分x =0与x ≠0两类讨论，可得实数a 的取值范围．本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查运算求解算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)已知点M(2,0)，曲线C 1是以极点O 为圆心，以OM 为半径的半圆，曲线C 1是过极点且与曲线C 1相切于点(2,π2)的圆． 所以：曲线C 1的极坐标方程为ρ=2(0≤θ≤π)；曲线C 2是过极点且与曲线C 1相切于点(2,π2)的圆，整理得：x 2+(y −1)2=1， 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ．(2)由于直线θ=α(0<α<π,ρ∈R)与曲线C 1，C 2分别相交于点A ，B(异于极点)， 所以S △ABM =S △AOM −S △BOM =12×2×2×sinα−12×2×2sinα⋅sinα=2sinα−2sin 2α=−2(sinα−12)2+12；当α=π6或5π6时，S △ABM 的最大值为12．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用三角形的面积公式和分割法的应用及二次函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，分割法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意得f′(x)=−x 2+2ax +3a 2=−(x −3a)(x +a)，当a =−1时，f′(x)=−(x −1)(x +3)，x ∈[−4,2]， 由f′(x)>0，解得−3<x <1，由f′(x)<0，解得−4≤x <−3或1<x ≤2，所以函数f(x)在区间(−3,1)上单调递增，在区间(−4,−3)，(1,2)上单调递减， 又f(−4)=−253，f(−3)=−323，f(1)=0，f(2)=−73， 所以函数f(x)在区间(−4,−2)上的最大值为0，最小值为−323． (2)函数f(x)只有一个零点，因为f′(x)=−x 2+2ax +3a 2=−(x −3a)(x +a)， ①当a <0时，由f′(x)>0，解得3a <x <−a ， 所以函数f(x)在区间(3a,−a)上单调递增，由f′(x)<0，解得x<3a或x>−a，所以函数f(x)在区间(−∞,3a)，(−a,+∞)上单调递减，又f(0)=−53<0，所以只需要f(−a)<0，解得−1<a<0，所以实数a的取值范围为(−1,0)．②当a=0时，显然f(x)只有一个零点成立，③当a>0时，由f′(x)>0，解得−a<x<3a，即f(x)在区间(−a,3a)上单调递增，由f′(x)<0，解得x<−a或x>3a，即函数f(x)在区间(−∞,−a)，(3a,+∞)上单调递减，又f(0)=−53<0，所以只需f(3a)<0，解得0<a<√533，综上，实数a的取值范围为(−1,√533).【解析】(1)根据题意可得当a=−1时，f′(x)=−(x−1)(x+3)，x∈[−4,2]，分析f′(x)的正负，f(x)的单调性，最值．(2)函数f(x)只有一个零点，又f′(x)=−(x−3a)(x+a)，分三种情况：①当a<0时，②当a=0时，③当a>0时，分析f(x)的零点，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．19.【答案】(1)解：由题意得f(x)=|x+m|−|x−2m|≤|(x+m)−(x−2m)|=|3m|，因为函数f(x)的最大值为6，所以|3m|=6，即m=±2．因为m>0，所以m=2．(2)证明：由(1)知，x+y+z=2，因为x>0，y>0，z>0，所以2=x+y+z=(x2+y)+(x2+z)≥2√xy2+2√xz2，当且仅当x2=y=z时，即x=1，y=z=12等号成立，即√2×√xy+√2×√xz≤2=m2，所以√xy+√xz≤√m，当且仅当x=1,y=z=12时，等号成立．【解析】(1)利用绝对值三角不等式求出f(x)的最大值，让最大值等于6即可得m的值；(2)由(1)知，x+y+z=2，由2=x+y+z=(x2+y)+(x2+z)利用基本不等式即可求证．本题主要考查绝对值不等式的解法，利用基本不等式证明不等式的方法等知识，属于中等题．20.【答案】解：(1)由题意可得f′(x)=(x−1)e x+2ax−b，因为函数f(x)的图象在点(0,f(0))的切线的斜率为−3，所以f′(0)=−b−1=−3，解得b=2．(2)因为f(x)>−e−1恒成立，所以f(1)=−e+a−2>−e−1，即a>1，所以f(x)≥(x−2)e x+x2−2x(当x=0时，取“=”)，令g(x)=(x−2)e x+x2−2x，则g′(x)=(x−1)e x+2(x−1)=(x−1)(e x+2)，由g′(x)>0，得x>1，由g′(x)<0，得x<1，所以函数g(x)在区间(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(1)=−e−1，所以g(x)≥−e−1(当x=1时，取“=”)，所以f(x)>−e−1，综上所述，a的取值范围为a>1．【解析】(1)求导得f′(x)=(x−1)e x+2ax−b，由导数的几何意义可得k切=f′(0)=−3，解得b，即可得出答案．(2)由于f(1)=−e+a−2>−e−1，即a>1，则f(x)≥(x−2)e x+x2−2x(当x=0时，取“=”)，令g(x)=(x−2)e x+x2−2x，求导，分析g′(x)的正负，即可得出f(x)的单调性，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．21.【答案】解：(1)当n=1时，S1=2a1−2=a1，解得a1=2．∵S n=2a n−2，①∴当n≥2时，S n−1=2a n−1−2.②①−②得a n=2a n−1，整理得a n=2a n−1(n≥2)．∴数列{a n}是以首项为2，公比为2的等比数列．∴a n=2n．(2)由(1)得(−1)n+1a n a n+1=−2×(−4)n．∴T n=a1a2−a2a3+⋯+(−1)n+1a n a n+1=−2−4[1−(−4)n]1−(−4)=85[1−(−4)n]．【解析】(1)利用公式法求解即可得出{a n}得通项公式；(2)先求出(−1)n+1a n a n+1的通项公式可得其是一个等比数列，再利用等比数列求和公式进行求解．本题主要考查数列通项公式的求解，等比数列前n项和公式等知识，属于中等题．22.【答案】解：(1)∵函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π2=2πω，∴ω=4，∵点M(−7π24,−2)是该函数图象的一个最低点，∴A=2，可得2cos[4×(−7π24)+φ]=−2，可得4×(−7π24)+φ=π+2kπ，k∈Z，可得φ=2kπ+13π6，k∈Z，又∵|φ|<π2，∴φ=π6，∴函数f(x)的解析式为f(x)=2cos(4x+π6)，令2kπ−π≤4x+π6≤2kπ，k∈Z，解得12kπ−7π24≤x≤12kπ−π24，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间是：[12kπ−7π24,12kπ−π24]，k∈Z．(2)∵x∈[−π8,π8 ]，∴4x+π6∈[−π3,2π3]，∴cos(4x +π6)∈[−12,1]，∴f(x)=2cos(4x +π6)∈[−1,2]，即函数y =f(x)的值域是[−1,2]．【解析】(1)由已知利用余弦函数的周期公式可求ω，又点M(−7π24,−2)是该函数图象的一个最低点，可求A =2，结合范围|φ|<π2，可求φ的值，进而可求函数f(x)的解析式，进而根据余弦函数的单调性即可求解． (2)由题意可求范围4x +π6∈[−π3,2π3]，进而根据余弦函数的性质即可求解．本题主要考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查了余弦函数的性质，属于中档题．23.【答案】解：(1)选择条件①：由btanC =(2a −b)tanB ，得bsinC cosC =(2a−b)sinBcosB，由正弦定理可得，sinBsinCcosB =(2sinA −sinB)sinBcosC ， ∴sinCcosB =2sinAcosC −sinBcosC ，∴2sinAcosC =sinCcosB +sinBcosC =sin(C +B)=sinA ， ∵A ∈(0,π)，∴sinA ≠0， ∴cosC =12，又C ∈(0,π2)， ∴C =π3．选择条件②：由正弦定理可得，2sinCcosB =2sinA −sinB ， 又sinA =sin(C +B)，∴2sinCcosB =2sin(C +B)−sinB =2(sinCcosB +cosCsinB)−sinB ， 化简整理得2cosCsinB =sinB ，由sinB >0，故cosC =12， 又0<C <π2， ∴C =π3．选择条件③：由己知得，b 2+a 2−c 2=accosA +a 2cosC ， 由余弦定理，得b 2+a 2−c 2=2abcosC ， ∵b 2+c 2−a 2=accosC +c 2cosA ， ∴2abcosC =accosA +a 2cosC ， ∵a >0，∴2bcosC =ccosA +acosC ，由正弦定理，有2sinBcosC =sinCcosA +sinAcosC =sin(A +C)=sinB ， ∵sinB ≠0，∴cosC =12， 又C ∈(0,π2)，∴C =π3． (2)∵a =mb ， ∴m =ab =sinAsinB =sin(B+π3)sinB=12+√32tanB ，∵△ABC 为锐角三角形，则B ∈(π6,π2)， ∴tanB >√33， ∴12<m <2．【解析】(1)选择条件①：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求cosC 的值，结合范围C ∈(0,π2)，可求C 的值．选择条件②：由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinB >0，可求cosC =12，结合0<C <π2，可求C 的值． 选择条件③：由余弦定理，正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得cosC =12，结合范围C ∈(0,π2)，可求C 的值．(2)由题意利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求m =12+√32tanB ，可求范围B ∈(π6,π2)，利用正切函数的性质即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换以及正切函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．。
2021-2022学年天津市部分区高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共36.0分）1. 在空间直角坐标系中，已知点A(1,−2,3)，B(−3,0,1)，则线段AB 的中点坐标是( )A. (−1,−1,2)B. (1,1,−2)C. (2,2,−4)D. (−2,−2,4)2. 圆心为(1,−1)且过原点的圆的方程是( )A. (x +1)2+(y −1)2=1B. (x +1)2+(y +1)2=1C. (x −1)2+(y +1)2=2D. (x −1)2+(y −1)2=23. 点(0,−1)到直线y =x +1的距离为( )A. 1B. √2C. √3D. 24. 设a ∈R ，直线l 1：ax +y −1=0与直线l 2：2x +(a +1)y +1=0平行，则a =( )A. −2B. 1C. −2或1D. −135. 若圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：x 2+y 2−2x +2√3y +m =0外切，则实数m =( )A. 2B. 3C. −2D. −36. 在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，若BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x,y,z)=( )A. (1,1,1)B. (1,1,−1)C. (1,−1,1)D. (−1,1,1)7. 过点(1,2)作圆(x +1)2+y 2=1的两条切线，切点分别为A.B ，则直线AB 的方程为( )A. 2x +2y +1=0B. 2x +2y −1=0C. x +y +1=0D. x +y −1=08. 设m ∈R ，过定点A 的动直线mx −y =0和过定点B 的动直线x +my −4m −3=0交于点P ，则|PA|+|PB|的取值范围是( )A. [√5,2√5]B. [2√5,5]C. [5,5√2]D. [5,10]9. 已知点P 在圆(x −5)2+(y −5)2=16上，点A(0,4)，B(2,0)，则( )A. 点P 到直线AB 的距离小于8B. 点P 到直线AB 的距离大于2C. 当∠PBA 最小时，|PB|=2√3D. 当∠PBA 最大时，|PB|=3√2二、单空题（本大题共6小题，共24.0分）10. 已知空间向量a ⃗ =(2,−1,5)，b ⃗ =(λ,1,1)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数λ=______．11.已知平行直线l1：2x+y−1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离．12.设空间向量a⃗=(1,2,−3)，则a⃗在坐标平面Oxy上的投影向量是______．13.已知a∈R，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，则a=______．14.若斜率为−√3的直线与x轴的非负半轴交于点A，且与圆x2+(y−2)2=4相切于点B，则|AB|=______．15.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，E，F，M分别为AB，BC，PQ的中点．设㫒面直线EM与AF所成角为θ，则cosθ=______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．(1)求证：D1F⊥AE；(2)求直线EF和CB1所成角的大小．17.已知圆C：x2+y2+mx−2y=0(m∈R)，其圆心在直线x+y=0上．(1)求m的值；(2)若过点(1,1)的直线l与C相切，求l的方程．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)求证：PB//平面ACE；(2)设PA=AB=1，AD=2，求平面ACE与平面ADE所成角的正弦值．19.在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线x−√3y=0平行；②过点(−4,0)；③与直线√3x+y+2=0垂直．问题：已知直线l过点P(−1,√3)，且____．(1)求l的方程；(2)若l与圆x2+y2=9相交于点P，Q，求弦PQ的长．20.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD= CD=√2，且E是D1D的中点．(1)求点D1到平面AB1C的距离；(2)设F为棱A1B1上的点，若直线EF和平面ABCD所成，求线段A1F的长．角的正弦值为√55答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为点A(1,−2,3)，B(−3,0,1)，所以线段AB的中点坐标是(−1,−1,2)．故选：A．利用空间中两点的中点坐标公式进行求解即可得到答案．本题考查了空间中点的坐标的计算，解题的关键是掌握空间中两点的中点坐标公式．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查求圆的标准方程，已知圆心，先求出圆的半径，可得圆的方程．属于基础题．【解答】解：圆心为(1,−1)且过原点的圆的半径为√(1−0)2+(−1−0)2=√2，故圆心为(1,−1)且过原点的圆的方程为(x−1)2+(y+1)2=2，故选：C．3.【答案】B【解析】解：直线方程化为一般式x−y+1=0，=√2，∴点(0,−1)到直线的距离d=√12+(−1)2故选：B．把直线方程化为一般式，直接利用点到直线距离公式求解．本题主要考查了点到直线距离公式，是基础题．4.【答案】B【解析】解：当a =0或−1时，两直线显然不平行， 当a ≠0且a ≠−1时，由k 1=k 2得−a =−2a+1， 解得a =1或−2，若a =−2，则两直线重合，不符合题意， 所以a 的值为1， 故选：B ．根据两直线平行斜率相等，求出a 的值，需要注意验算求出的a 的值，排除两直线重合的情况．本题主要考查了两直线平行时的斜率关系，是基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，圆C 1：x 2+y 2=1，圆心为(0,0)，半径为R =1，圆C 2：x 2+y 2−2x +2√3y +m =0，即(x −1)2+(y +√3)2=4−m ，圆心为(1,−√3)，半径r =√4−m ，若圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：x 2+y 2−2x +2√3y +m =0外切，则有|C 1C 2|=√1+3=2=1+√4−m ， 解可得m =3， 故选：B ．根据题意，分析两圆的圆心与半径，由两圆外切可得|C 1C 2|等于半径和，解可得m 的值，即可得选项．本题考查圆与圆位置关系的判断，注意两圆相切的判断方法，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又因BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x =−1，y =1，z =1， 故选：D ．利用向量的加法公式，对向量BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 进行分解，进而求出x ，y ，z 的值．本题考查向量的基本知识，基本运算，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：设圆(x +1)2+y 2=1的圆心M ，则M(−1,0)， 设P(1,2)，因为A ，B 为切点，即PA ⊥MA ，PB ⊥MB ， 所以A ，B 在以MP 为直径的圆上，由题意可知MP 的中点(0,1)，且|MP|=√(1+1)2+22=2√2， 所以以MP 为直径的圆的方程为x 2+(y −1)2=2， 可知A ，B 所在的直线方程为两圆的交线，联立{x 2+(y −1)2=2(x +1)2+y 2=1，两式相减可知：2x +2y +1=0，故选：A ．由题意求出已知圆的圆心M 的坐标，因为A ，B 为切点，所以可知A ，B 在以MP 为直径的圆上，由题意求出以PM 为直径的圆的方程，两圆联立求出交点弦AB 所在的直线的方程． 本题考查圆的切点弦所在的方程的求法及圆的性质，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：直线mx −y =0过定点A(0,0)，直线x +my −4m −3=0过定点B(3,4)， ①当m =0时，过定点A 的直线方程为y =0，过定点B 的直线方程为x =3， 两直线垂直，此时P(3,0)， ∴|PA|+|PB|=3+4=7，②当m ≠0时，直线mx −y =0的斜率为m ，直线x +my −4m −3=0的斜率为−1m ， ∵m ×(−1m )=−1，∴两直线垂直，即点P 可视为以AB 为直径的圆上的点，当点P 与点A 或点B 重合时，|PA|+|PB|有最小值，最小值为|AB|=5，当点P 不与点A ，点B 重合时，△PAB 为直角三角形，且|PA|2+|PB|2=|AB|2=25，， 由基本不等式可知|PA|+|PB|≤2√|PA|2+|PB|22=5√2，当且仅当|PA|=|PB|=5√22时，等号成立，∴|PA|+|PB|∈[5,5√2]，故选：C．先求出定点A，B的坐标，对m分m=0和m≠0两种情况讨论，当m=0时求出|PA|+ |PB|=7，当m≠0时，两直线垂直，则点P可视为以AB为直径的圆上的点，若点P与点A或点B重合时|PA|+|PB|有最小值5，若点P不与点A，点B重合时，利用勾股定理结合基本不等式可求出|PA|+|PB|的最大值，从而得到|PA|+|PB|的取值范围．本题主要考查了含参数的直线过定点问题，考查了两直线的位置关系，同时考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：点P在圆(x−5)2+(y−5)2=16上，圆的圆心(5,5)，半径为4，点A(0,4)，B(2,0)，直线AB的方程为：x2+y4=1，即2x+y−4=0，圆心到直线的距离为：|10+5−4|√5=11√55>4，∴点P到直线AB的距离的范围为[11√55−4,11√55+4]，∵11√55<5，∴11√55−4<1，11√55+4<10，∴点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故A错误，B错误；如图，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大(P点位于P1时∠PBA最小，位于P2时∠PBA最大)，此时|BC|=√(5−0)2+(5−2)2=√34，∴|PB|=√|BC|2−42=3√2，故C错误，D正确．故选：D．求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式，求解判断A、B，求解PB判断C、D即可．本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想，是中档题．10.【答案】−2【解析】解：∵空间向量a⃗=(2,−1,5)，b⃗ =(λ,1,1)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =2λ−1+5=0，解得实数λ=−2．故答案为：−2．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】2√55【解析】【分析】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题．直接利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：平行直线l1：2x+y−1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离：√22+12=2√55．故答案为：2√55．12.【答案】(1,2,0)【解析】解：根据空间向量在平面内点的投影的关系，a⃗=(1,2,−3)，在Oxy平面内的投影向量为b⃗ =(1,2,0)．故答案为：(1,2,0)．直接利用向量在坐标平面内的投影的关系求出结果．本题考查的知识要点：向量在坐标平面内的投影，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13.【答案】−1【解析】解：由题意可得a2=a+2，解得a=−1或2，当a=−1时，方程为x2+y2+4x+8y−5=0，表示圆，当a=2时，方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0，不表示圆，所以a的值为−1，故答案为：−1．由圆的一般方程的特征可得a2=a+2，解出a的值，再代入检验即可．本题主要考查了圆的一般方程，考查了学生的运算求解能力，是基础题．14.【答案】2√3【解析】解：斜率为−√3的直线与x轴非负半轴交于A，圆的圆心为C(0,2)，圆与x轴相切，A在x轴上，所以AO，AB为圆的切线，AB的斜率为−√3，可得tan∠BAO=√3，可得∠BAC=30°，所以cot∠BAC=√3，如图所示，由圆C的方程可得，圆的半径为|BC|=2，由于B为切点，所以AB⊥BC，所以|AB|=|BC|⋅cot∠BAC=2√3，故答案为：2√3．跳步，可图象中原点为O由题意如图可得AB与半径BC的关系，再由切线的斜率可得|AB|的值．本题考查直线与圆相切的性质，直线斜率的应用，属于中档题．15.【答案】√3030【解析】解：如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AQ 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，E ，F ，M 分别为AB ，BC ，PQ 的中点．设AB =2，则E(1,0,0)，M(0,1,2)，A(0,0,0)，F(2,1,0)，EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2)，AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0)， 设㫒面直线EM 与AF 所成角为θ，则cosθ=|EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1√6⋅√5=√3030． 故答案为：√3030． 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AQ 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出㫒面直线EM 与AF 所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】解：(1)证明：以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，D 1(0,0,1),E(1,1,12)，F(0,12,0)，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,−1),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,12)， 则D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以D 1F ⊥AE ．(2)B 1(1,1,1)，C(0,1,0)，故CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−12,−12)， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+0−12=−32， |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+14+14=√32,|CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2， cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−32√32⋅√2=−√32，则〈EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB⃗⃗⃗⃗⃗ 1〉=150°． 故直线EF 和CB 1所成角为30°．【解析】(1)以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明D 1F ⊥AE ．(2)求出CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−12,−12)，利用向量法能求出直线EF 和CB 1所成角． 本题考查线线垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：(1)圆C 的标准方程为：(x +m 2)2+(y −1)2=1+m 24， 所以圆心为(−m2,1) 由圆心在直线x +y =0上得−m 2+1=0，解得m =2．所以圆C 的方程为：(x +1)2+(y −1)2=2．(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y −1=k(x −1)，即kx −y −k +1=0，由于直线l 和圆C 相切得√2=√k 2+1解得：k =±1所以直线方程为：x +y −2=0或x −y =0．【解析】(1)把圆的方程化为一般方程，求出圆心坐标代入直线x +y =0上，即可求出m 的值．(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y −1=k(x −1)，利用圆心到直线l 的距离等于半径求出k 的值，从而得到直线l 的方程．本题主要考查了圆的一般方程，考查了直线与圆的位置关系，是基础题．18.【答案】(1)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接EO ，则O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以OE//PB ，又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，故PB//平面AEC ；(2)解：以点A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),D(0,2,0),E(0,1,12),B(1,0,0),C(1,2,0)， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,12),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0)， 设平面AEC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{y +12z =0x +2y =0， 令x =2，则y =−1，z =2，故n⃗ =(2,−1,2)， 由题意可得，平面ADE 的一个法向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，记平面ACE 与平面ADE 夹角为θ，所以cosθ=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=21×3=23， 则sinθ=√1−cos 2θ=√53， 故平面AEC 与平面ADE 夹角的正弦值为√53．【解析】(1)连接BD ，交AC 于点O ，连接EO ，由中位线定理证明OE//PB ，利用线面平行的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面AEC 的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可． 本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：(1)选条件①：因为直线x −√3y =0的斜率为√33，直线l 与直线x −√3y =0平行， 所以直线l 的斜率为k =√33，依题意，直线l 的方程为y −√3=√33(x +1)，即x −√3y +4=0．选条件②：因为直线l 过点(−4,0)及(−1,√3)，所以直线l 的斜率为k =√33， 依题意，直线l 的方程为y −√3=√33(x +1)，即x −√3y +4=0． 选条件③：因为直线√3x +y +2=0的斜率为−√3，直线l 与直线√3x +y +2=0垂直， 所以直线l 的斜率为k =√33，依题意，直线l 的方程为y −√3=√33(x +1)， 即x −√3y +4=0．(2)圆x 2+y 2=9的圆心(0,0)到直线x −√3y +4=0的距离为d =4√12+(√3)2=2， 又圆x 2+y 2=9的半径为r =3，所以|PQ|=2√r 2−d 2=2√5．【解析】(1)选①：根据条件得到直线l 的斜率k =√33，根据点斜式即可求解； 选②：由两点坐标求得直线斜率k =√33，再由点斜式方程即可求解； 选③：根据两直线垂直得到直线l 的斜率k =√33，进而根据点斜式即可求解； (2)求得圆心到直线的距离d ，再由弦长公式即可求得答案．本题主要考查直线方程的求解，直线与圆的位置关系，圆的弦长公式等知识，属于中等题．20.【答案】解：(1)以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，D(−1,1,0)，A 1(0,0,2)，B 1(1,0,2)，C 1(0,2,2)，D 1(−1,1,2)，因为E 为D 1D 的中点，则E(−1,1,1)，因为AC −=(0,2,0),AB 1−=(1,0,2),AD 1−=(−1,1,2)，设平面AB 1C 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则令z =1，则x =−2，故m⃗⃗⃗ =(−2,0,1)， 所以|cos <m ⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√6=2√3015， 设点D 1到平面AB 1C 的距离为d ，则d =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1||cos〈m ⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=4√55， 所以点D 1到平面AB 1C 的距离为4√55； (2)由题意，设A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]，则F(λ,0,2)，所以EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ+1,−1,1)， 又AA⃗⃗⃗⃗⃗ 1=(0,0,2)是平面ABCD 的一个法向量， 因为直线EF 和平面ABCD 所成角的正弦值为√55， 则|cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗ 1>|=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×√(λ+1)2+2=√55， 整理可得λ2+2λ−2=0，又λ∈[0,1]，解得λ=√3−1 故线段A 1F 的长为√3−1．【解析】(1)用向量数量积计算点到平面距离问题；(2)用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值，列方程求解．本题考查了棱柱的结构特征，考查了点到平面距离问题，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．。
2021-2022学年河北省九师联盟高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 直线√3ax +ay +1=0(a ∈R 且a ≠0)的倾斜角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62. 如图在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 为MN 上一点．且MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ .则OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13a⃗ +13b ⃗ +13c ⃗ B. 13a⃗ +13b ⃗ +16c ⃗ C. 13a ⃗ +16b ⃗ +13c ⃗ D. 16a ⃗ +13b ⃗ +13c ⃗ 3. 设P 是椭圆C ：x 2a 2+y 26=1(a >√6)上任意一点，F 为C 的右焦点，|PF|的最小值为√2，则椭圆C 的离心率为( )A. 12B. √22 C. √32 D. √234. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，|F 1F 2|=10.点M是双曲线左支上的一点，若|OM|=√a 2+b 2，4|MF 1|=3|MF 2|，则双曲线的标准方程是( )A. x 24−y 221=1B. x 221−y24=1 C. x 2−y 224=1D. x 224−y 2=15. 已知{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是( )A. a ⃗ +b ⃗ ，b ⃗ +c ⃗ ，a ⃗ −c ⃗B. a ⃗ +2b ⃗ ，b ⃗ ，a⃗ −c ⃗C. 2a ⃗ +b ⃗ ，b ⃗ +2c ⃗ ，a ⃗ +b ⃗ +c ⃗D. a ⃗ +c ⃗ ，b ⃗ +2a ⃗ ，b ⃗ −2c ⃗6. 如图，某圆锥SO 的轴截面SAC 是等边三角形，点B 是底面圆周上的一点，且∠BOC=60°，点M 是SA 的中点，则异面直线AB 与CM 所成角的余弦值是( )A. 13B. √74C. 34D. √327. 已知圆C 的方程为(x −1)2+y 2=4，直线l ：(3−2t)x +(t −1)y +2t −1=0恒过定点A ，若一条光线从点A 射出，经直线x −y −5=0上一点M 反射后到达圆C 上的一点N.则|AM|+|MN|的最小值是( )A. 3B. 4C. 5D. 68. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+1=1(a >0)的右焦点为F ，过点F 作直线l 与C 交于A ，B 两点，若满足|AB|=5的直线l 有且仅有1条，则双曲线C 的离心率为( )A. 3√65B. 32C. √6D. 32或√6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设直线l 的方程为x −y +m =0，圆C 的方程为x 2+y 2−4x −4y =0，圆C 上存在4个点到直线l 的距离为√2，则实数m 的取值可能为( )A. −1B. −2C. 0D. 210. 已知椭圆E 经过A(−2,0)，B(−1,√22)，C(√2,√22).D(−√3,−12)中的三个点，则下列命题为真命题的是( )A. 椭圆E 的方程为y 24+x 2=1 B. 点B 不在椭圆E 上C. 椭圆E 上的点与其焦点距离的最大值为2+√3D. 椭圆的一个顶点和它的两个焦点相连所得三角形的面积为√311.已知边长为2的菱形ABCD1中，∠AD1C=60°(如图1所示)，将△AD1C沿对角线AC折起到△ADC的位置(如图2所示)，点P为棱BD上任意一点(点P不与B，D重合)，则下列说法正确的是()A. 四面体ABCD体积的最大值为1B. 当BD=√6时，Q为线段CA上的动点，则线段PQ长度的最小值为√62C. 当BD=√6时，点C到平面PAB的距离为2√155D. 三棱锥P−ACD的体积与点P的位置无关12.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x24+y22=1有公共焦点，C的左、右焦点分别为F1，F2，且经过点T(√52,12)，则下列说法正确的是()A. 双曲线C的标准方程为x2−y2=1B. 若直线y=λx与双曲线C无交点，则|λ|>1C. 设A(√2,1)，过点B(0,1)的动直线与双曲线C交于P，Q两点(异于点A)，若直线AP与直线AQ的斜率存在，且分别记为k1，k2，则k1+k2=√2D. 若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M，N，则△OMN(O为坐标原点)的面积为定值1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若倾斜角为α的直线m被直线l1：x+y−1=0与l2：x+y−3=0所截得的线段长为2，则α=______.(用弧度表示)14.已知圆C1：x2+(y−a)2=9与圆C2：(x−a)2+y2=1有四条公共切线，则实数a的取值可能是______.(填序号)①−3；②−2；③2√2；④2√3．15.如图所示，二面角α−l−β为30°，A∈α，D∈β，过点A作AB⊥l，垂足为B，过点D作CD⊥l，垂足为C，若AB=√3，BC=1，CD=1.则AD的长度为______．16.已知椭圆E：x24+y2=1，P为E的长轴上任意一点，过点P作斜率为12的直线l与E交于M，N两点，则|PM|2+|PN|2的值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，已知A(3,−2)，B(5,4)，且边AB上的中线CD在y轴上的截距为2．(1)求直线CD的一般式方程；(2)若点C在x轴上方，△ACD的面积为392，且过点C的直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．18.已知在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF=ED=1，CD=3，EF//DC，ED⊥CD.点E，F在平面ABCD内的射影落在直线CD上．(1)设G为AB边上任意一点，求证：三棱锥G−CEF的体积为定值；(2)当G为AB中点时，求平面GCF与平面BCF夹角的余弦值．19.已知圆C：x2+y2−2x+my=0和圆外一点P(4,3)，过点P作圆C的切线，切线长为√11．(1)求圆C的标准方程；(2)若圆M：x2+(y+2)2=8，求证：圆C和圆M相交，并求出两圆的公共弦长．20.已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△P′AB为等边三角形(如图1所示)，△P′AB沿着AB折起到△PAB的位置，且使平面PAB⊥平面ABCD，M是棱AD的中点(如图2所示)．(1)求证：PC⊥BM；(2)求直线PC与平面PBM所成角的余弦值．21.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，点P(2,3)在E上，F为E的右焦点．(1)求双曲线E 的方程；(2)设Q 为E 的左顶点，过点F 作直线l 交E 于A ，B(A,B 不与Q 重合)两点，点M 是AB 的中点，求证：|AB|=2|MQ|．22. 设线段GH 的长为3，且其端点G ，H 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足HP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PG ⃗⃗⃗⃗⃗ .记动点P 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)设圆O ：x 2+y 2=5，过点C(0,1)作互相垂直的两条直线l 1，l 2，其中l 1与曲线E 的一个交点为D(不与C 重合)，l 2与圆O 相交于A ，B 两点，求△ABD 的最大面积．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题意得直线的斜率k =−√3， 设倾斜角为α，则tanα=−√3， 因为α∈[0,π]，所以α=2π3．故选：C ．由已知先求出直线的斜率，然后结合直线的倾斜角与斜率关系求解即可． 本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵M ，N 分别是OA ，BC 的中点，且MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13×12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23×12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16a ⃗ +13b ⃗ +13c ⃗ ， 故选：D ．利用空间向量线性运算法则和空间向量基本定理即可得出．本题考查了空间向量线性运算法则和空间向量基本定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：P 是椭圆C ：x 2a 2+y 26=1(a >√6)上任意一点，F 为C 的右焦点，|PF|的最小值为√2，可得a −c =√2，所以a −√a 2−6=√2，解得a =2√2， 所以e =ca =√8−62√2=12．故选：A ．利用已知条件推出a，然后求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．4.【答案】C【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．点M是双曲线左支上的一点，若|OM|=√a2+b2，MF1⊥MF2，4|MF1|=3|MF2|，∵|MF2|−|MF1|=2a，∴|MF1|=6a，|MF2|=8a，|F1F2|=10，可得a=1，c=5，所以b=√24，则双曲线的标准方程是：x2−y224=1．故选：C．由题意可得MF1⊥MF2，4|MF1|=3|MF2|，结合双曲线的定义，可得a，b的值，进而求出双曲线的方程．本题考查双曲线的简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：∵a⃗+b⃗ =(b⃗ +c⃗ )+(a⃗−c⃗ )，a⃗+b⃗ +c⃗=12(2a⃗+b⃗ )+12(b⃗ +2c⃗ )，a⃗+c⃗=1 2(b⃗ +2a⃗ )−12(b⃗ −2c⃗ )，∴A，C，D中的向量共面，不能作为空间的基底，对于B，假设a⃗+2b⃗ ，b⃗ ，a⃗−c⃗共面，则存在λ，μ使得a⃗+2b⃗ =λb⃗ +μ(a⃗−c⃗ )，∴{μ=1λ=2−μ=0，无解，∴a ⃗ +2b ⃗ ，b ⃗ ，a ⃗ −c ⃗ 不共面，可以作为空间的一组基底． 故选：B ．根据已知条件，结合空间向量的共面定理，即可求解．本题考查了基底定义的理解与应用，以及空间向量共面定理的运用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：以过点O 且垂直于平面SAC 的直线为x 轴，直线OC ，OS 分别为y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设OC =2，则根据题意可得A(0,−2,0)，B(√3,1,0)，C(0,2,0)，M(0,−1,√3)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,0)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3,√3)， 设异面直线AB 与CM 所成角为θ，则cosθ=|cos〈AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|√3×0+3×(−3)+0×√3|√3+9⋅√9+3=34． 故选：C ．建立空间直角坐标系，分别得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后根据空间向量夹角公式计算即可． 本题主要考查空间向量及其应用，异面直线所成的角余弦值的计算等知识，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：直线l 可化为3x −y −1−t(2x −y −2)=0，令{3x −y −1=02x −y −2=0，解得{x =−1y =−4， 所以点A 的坐标为(−1,−4)，设点A(−1,−4)关于直线x −y −5=0的对称点为B(a,b)，则{b+4a+1=−1a−12−b−42−5=0，解得{a =1b =−6，所以点B 坐标为(1,−6)，由线段垂直平分线的性质可知，|AM|=|BM|，所以|AM|+|MN|=|BM|+|MN|≥|BN|≥|BC|−r =6−2=4(当且仅当B ，M ，N ，C 四点共线时，等号成立)，所以|AM|+|MN|的最小值为4． 故选：B ．根据已知条件，先求出定点A ，再求出点A(−1,−4)关于直线x −y −5=0的对称点为B(a,b)，再由线段垂直平分线的性质可知，|AM|=|BM|，所以|AM|+|MN|=|BM|+|MN|≥|BN|≥|BC|−r =6−2=4(当且仅当B ，M ，N ，C 四点共线时，等号成立)，即可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+1=1(a >0)的实轴长为2a ，通径为：2a 2+2a=2a +2a >2a ，过点F 作直线l 与C 交于A ，B 两点，若满足|AB|=5的直线l 有且仅有1条， 可得2a =5，解得a =52，所以c =√2a 2+1=3√62， 所以双曲线的离心率为：ca =3√6252=3√65． 故选：A ．求出双曲线的实轴长，通径的长，结合已知条件求解离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．9.【答案】AC【解析】解：圆C 的方程为x 2+y 2−4x −4y =0可化为(x −2)2+(y −2)2=8， 所以圆心C(2,2)，半径长为2√2，当圆心(2,2)到直线l 的x −y +m =0距离小于√2时圆C 上存在4个点到直线l 的距离为√2， 所以√2<√2，解得−2<m <2，故选：AC ．由图形可知圆心(2,2)到直线l 的x −y +m =0距离小于√2时圆C 上存在4个点到直线l 的距离为√2，所以√2<√2，求解可得m 的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．10.【答案】BCD【解析】解：对于A，根据椭圆的对称性可知，点B，C的纵坐标相同，横坐标的绝对值不同，所以点B，C有且只有一个点在椭圆E上，则A，D必在椭圆上，设椭圆E的方程为x2m2+y2n2=1(m>0,n>0)，将点A，D代入椭圆方程得{4m =13 m +14n=1，解得m=4，n=1，故椭圆E的方程为x24+y2=1，故A错误，对于B，将点B，C分别代入椭圆E的方程中易得，点B不在椭圆E上，点C在椭圆E上，故B正确，对于C，椭圆E上的点到其焦点的最大值为a+c=2+√3，故C正确，对于D，椭圆的一个定点(此顶点为上顶点或下顶点)和它的两个焦点相连接所得三角形面积S=12×2c×b=√3，故D正确．故选：BCD．根据椭圆的对称性可知，点B，C的纵坐标相同，横坐标的绝对值不同，所以点B，C有且只有一个点在椭圆E上，则A，D必在椭圆上，将A，D代入椭圆中，即可求出椭圆方程，再结合椭圆的性质，即可依次求解．本题主要考查命题的真假判断与应用，以及椭圆的性质，属于中档题．11.【答案】ABC【解析】解：对于A，取AC中点O，连接DO，BO，当DO⊥平面ABC时，四面体ABCD体积的最大，此时，V D−ABC=13⋅S△ABC⋅OD=13⋅12⋅2⋅2⋅sin60°⋅2⋅sin60°=1，所以A对；对于B，因为BD=√6，OD=OB=√3，BD2=OD2+OB2，所以∠DOB=90°，取BD 中点M ，连接OD ，OD 为AC 与BD 公垂线段， 所以PQ 长度的最小值为OM =12⋅BD =√62，所以B 对；对于C ，设点C 到平面PAB 的距离为ℎ， 因为V D−ABC =V C−ABD ，所以1=13⋅12⋅BD ⋅AM ⋅ℎ，即1=13⋅12⋅√6⋅(√62)⋅ℎ，解得ℎ=2√155，所以C 对； 对于D ，因为三棱锥P −ACD 的体积与点P 到平面ACD 的距离有关， 所以三棱锥P −ACD 的体积与点P 的位置有关，所以D 错． 故选：ABC ．A 根据棱锥体积公式计算判断；B 求公垂线段长度判断；C 用等体积法计算判断；D 用棱锥体积公式判断．本题以命题真假判断为载体，考查了异面直线距离问题，考查了三棱锥体积问题，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：对于A 选项，由题意a 2+b 2=4−2=2，且54a 2−14b 2=1，联立{x 2−y 2=1y =tx +1解得a =b =1，所以双曲线C 的标准方程为x 2−y 2=1，故A 正确；对于B 选项，因为双曲线C 的渐近线方程为y =±x ，所以直线y =λx 与双曲线C 无交点，则|λ|≥1，故B 错误；对于C 选项，过点B 的动直线斜率存在且不为0，故设该动直线为y =tx +1(t ≠0)． 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立得(1−t 2)x 2−2tx −2=0，所以{1−t 2≠0Δ=4t 2+8(1−t 2)>0，解得t 2<2且t 2≠1且t ≠0，x 1+x 2=2t 1−t 2，x 1x 2=−21−t 2， 则k 1+k 2=1x−√22x−√2=1x−√22x−√2=12√2t(x 12x x −√2(x +x )+2=−4t 1−t 2−2√2t 21−t 2−21−t 2−2√2t1−t2+2=√2t 2−2√2t−2t 2=√2，故C 正确；对于选项D ，由于动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点， 且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M ，N ，当直线l 的斜率不存在时，l ：x =±1，|MN|=2，S △QMN =12×1×2=1； 当动直线l 的斜率存在时，且斜率k ≠±1时，不妨设直线l ：y =kx +m(m ≠0)，故由{y =kx +mx 2−y 2=1⇒(1−k 2)x 2−2mkx −m 2−1=0， 从而Δ=(−2mk)2−4(1−k 2)(−m 2−1)=0，化简得k 2=m 2+1.又因为双曲线C 的渐近线方程为y =±x ， 故由{y =kx +m y =x ⇒{x =m1−k y =m 1−k ，从而点M(m 1−k ,m 1−k )． 同理可得，N(−m 1+k ,m1+k )，所以|MN|=√(m 1−k+m 1+k )2+(m 1−k −m 1+k )2=2|m|√k 2+1|1−k 2|，又因为原点O 到直线l ：kx −y +m =0的距离d =√k 2+1，所以S △OMN =12|MN|d =m 2|1−k 2|， 又由k 2=m 2+1，所以S △OMN =m 2|1−k 2|=1，故△OMN 的面积为定值1，故D 正确． 故选：ACD ．对A ，根据椭圆与双曲线共焦点及双曲线过点T 建立方程组解出a ，b ，进而得到答案； 对B ，结合双曲线的渐近线即可判断B ；对C ，设出动直线方程并代入双曲线方程，进而结合根与系数的关系求得答案； 对D ，考虑动直线斜率存在和不存在两种情况，若斜率存在，设出直线的斜截式y =kx +m(m ≠0)，并代入双曲线方程，根据判别式为0得到k ，m 间的关系，然后解出点M 的坐标，求出|MN|和O 到直线的距离，最后求出面积．本题主要考查双曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的三角形面积问题等知识，属于中等题．13.【答案】π2【解析】解；设A(0,1)，B(0,3)，则AB =2，因为倾斜角为α的直线m 被直线l 1：x +y −1=0与l 2：x +y −3=0所截得的线段长为2，所以l 与y 轴平行，故直线的倾斜角π2． 故答案为：π2．由题意，可得以l 与y 轴平行，然后结合倾斜角的范围求解即可．本题主要考查了直线倾斜角的求解，解题的关键是确定直线的位置，属于基础题．14.【答案】①④【解析】【分析】由题意可知两圆相离，再由两圆的圆心距之和大于半径之和求解． 本题考查圆的切线方程，考查两圆位置关系的应用，是基础题． 【解答】解：∵圆C 1：x 2+(y −a)2=9与圆C 2：(x −a)2+y 2=1有四条公共切线， ∴两圆相离，两圆的圆心距d =√2|a|，则有√2|a|>1+3=4，可得a <−2√2或a >2√2． 结合选项可知，实数a 的取值可以是−3和2√3． 故答案为：①④．15.【答案】√2【解析】解：∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，且二面角α−l −β为30°， ∴<BA⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=30°， 又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+1+1+2×√3×1×cos150°=5−2×√3×√32=2，∴|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，即AD 的长度为√2． 故答案为：√2．依题意，<BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=30°，而AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再两边同时平方即可得解． 本题考查空间中两点间距离的求解，考查向量数量积及模的求解，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．16.【答案】5【解析】解：椭圆E ：x 24+y 2=1，P 为E 的长轴上任意一点(t,0)，过点P 作斜率为12的直线l ：y =12(x −t)，t ∈[−2,2]，联立{y =12(x −t)x 24+y 2=1，消去y 并化简可得：x 2−tx +12t 2−2=0，设：M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，可得x1+x2=t，x1x2=12t2−2，|PM|2+|PN|2=(x1−t)2+y12+(x2−t)2+y22=54(x12+x22)−52t(x1+x2)+52t2=54[(x1+x2)2−2x1x2]−52t(x1+x2)+52t2=5．故答案为：5．求出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，求解M、N的坐标，然后求解|PM|2+|PN|2的值．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由题意得D(4,1)，又直线CD过点(0,2)，关键两点式得直线CD的方程为y−12−1=x−40−4，即x+4y−8=0；(2)∵△ACD的面积为392，点D是线段AB的中点，∴△ABC的面积为39．设点C(8−4t,t)(t>0)，点C到直线AB的距离为d，∵|AB|=√(5−3)2+(4+2)2=2√10，∴12⋅|AB|⋅d=39，解得d=√10．∵直线AB的方程为y+2=4+25−3(x−3)，即3x−y−11=0，∴点C到直线AB的距离d=√10=√10解得t=4(t=−2舍去)，则点C的坐标为(−8,4)．当直线l过原点时，直线l的方程为y=−12x，即x+2y=0；当直线l不过原点时，设直线l的方程为xa +yb=1，将点C的坐标代入得：−8a +4a=1，解得a=−4，此时直线l的方程为x+y+4=0．综上所述，直线l的方程为x+2y=0或x+y+4=0．【解析】(1)由已知求得D点坐标，结合直线CD过点(0,2)，写出直线方程的两点式，整理得答案；(2)求出|AB|，再由三角形面积求得C点坐标，写出AB所在直线方程，由点到直线距离公式列式求得C点坐标，然后分直线过原点与不过原点求解直线l的方程．本题考查了直线方程的求法，考查点到直线距离公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AB//CD ，∵CD ⊂平面CDEF ，AB ⊄平面CDEF ， ∴AB//平面CDEF ，∴点G 到平面CDEF 的距离为定值， 又∵△CEF 的面积为定值， ∴三棱锥G −CEF 的体积为定值；(2)∵点E ，F 在平面ABCD 内的射影落在直线CD 上， ∴平面CDEF ⊥平面ABCD ，∵ED ⊥CD ，平面CDEF ∩平面ABCD =CD ，ED ⊂平面CDEF ， ∴ED ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，则ED ⊥AD ，又AD ⊥CD ，故DA ，DC ，DE 两两互相垂直， 以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(3,3,0),C(0,3,0),F(0,1,1),G(3,32,0)，∴FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1),FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,12,−1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0,0)， 设平面GCF 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅FC⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −z =0m ⃗⃗⃗ ⋅FG⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +12y −z =0，则可取m⃗⃗⃗ =(1,2,4)，设平面BCF 的一个法向量为n ⃗ =(a,b,c)，则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3a =0n ⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b −c =0，则可取n ⃗ =(0,1,2)， 设平面GCF 与平面BCF 夹角为θ，则cosθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=√21⋅√5=2√10521，∴平面GCF与平面BCF夹角的余弦值为2√10521．【解析】(1)先证明AB//平面CDEF，可知点G到平面CDEF的距离为定值，又△CEF的面积为定值，则三棱锥G−CEF的体积为定值；(2)建立空间直角坐标系，求出平面GCF与平面BCF的法向量，利用向量的夹角公式得解．本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求二面角的余弦值，同时还涉及了三棱锥的体积，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)圆C的标准方程为(x−1)2+(y+m2)2=1+m24，所以圆心(1,−m2)，半径r=√1+m24，由勾股定理可得32+(3+m2)2=1+m24+(√11)2，解得m=−2；(2)由(1)得圆C的圆心C(1,1)，半径r1=√2，圆M的圆心M(0,−2)，半径r2=2√2，因为|CM|=√10，r2−r1<∣CM∣<r1+r2，所以圆C与圆M相交，设两圆相交于A，B两点，则两圆的方程相减得直线AB的方程为x+3y−2=0，圆心C到直线AB的距离d=∣1+3−2∣√10=√105，所以∣AB∣=2√r12−d2=2√2−25=4√105，所以两圆的公共弦长为4√105．【解析】(1)利用切线长定理求得m的方程32+(3+m2)2=1+m24+(√11)2，解此方程可得m的值，(2)两圆方程相减可得公共弦的方程，再用圆的弦第公式可求弦长．本题考查圆中的切弦长定理，以及公共弦所在直线方程和圆中的弦长问题，属基础题．20.【答案】(1)证明：取AB中点O，CD中点E，连接PO，OE，因为ABCD是正方形，△PAB为等边三角形，所以OE⊥AB，PO⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥OE，所以OB、OE、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，P(0,0,√3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，M(−1,1,0)， PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)， 所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1⋅(−2)+2⋅1+(−√3)⋅0=0， 所以PC ⊥BM ；(2)解：由(1)知PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√3)， 设平面PBM 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)， {m ⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +y =0m⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3z =0，令x =√3，m ⃗⃗⃗ =(√3,2√3,1)，设PC 与平面PBM 成角为θ， sinθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|PC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√34⋅2√2=√38，cosθ=√1−sin 2θ=√1−38=√104．【解析】(1)只要证明PC 与BM 方向向量数量积为零即可；(2)用向量数量积计算直线与平面成角正弦值即可．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意可得{e =ca =2c 2=a 2+b 24a 2−9b 2=1，解得a 2=1，b 2=3，所以双曲线E 的方程为x 2−y 23=1；(2)证明：当直线l 的斜率为0时，此时A ，B 中有一个点与Q 重合，不符合题意， 当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x =ty +2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{x =ty +2x 2−y 23=1，整理可得：(3t 2−1)y 2+12ty +9=0，则{Δ=122t 2−4(3t 2−1)×9>03t 2−1≠0，可得t 2≠13， 且y 1+y 2=−12t 3t 2−1，y 1y 2=93t 2−1，因为QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1)(x 2+1,y 2)=(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=(ty 1+3)(ty 2+3)+y 1y 2=(1+t 2)y 1y 2+3t(y 1+y 2)+9=9(t 2+1)3t 2−1+3t(−12t)3t 2−1+9=0，所以QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以可证得|AB|=2|MQ|．【解析】(1)由离心率及过的点的坐标，求出a ，b 的值，进而求出双曲线的方程； (2)分直线l 的斜率为0不为0两种情况讨论，设直线l 的方程，与双曲线联立求出两根之和及两根之积，求出QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的数量积为0可知△QAB 为直角三角形，进而可证得：|AB|=2|MQ|．本题考查求双曲线的方程及直线与双曲线的综合，以及用数量积为0证明直角三角形的性质，属于中档题．22.【答案】解：(1)设点P(x,y)，G(a,0)，H(0,b)，由|GH|=3得，a 2+b 2=9．由HP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PG ⃗⃗⃗⃗⃗ 得{x =23a y =13b，所以{a =3x 2b =3y ， 代入a 2+b 2=9，得x 24+y 2=1， 即所求曲线E 的方程为x 24+y 2=1．(2)当直线l 1的斜率k 存在且不为0时，可设l 1：y =kx +1，l 2：y =−1k x +1 联立方程组{y =kx +1,x 24+y 2=1,整理得(1+4k 2)x 2+8kx =0， 解得x 1=0，x 2=−8k1+4k 2，所以|CD|=√1+k 2|x 1−x 2|=8|k|√1+k 21+4k2， 而圆心O(0,0)到直线l 2的距离d =√1+(−1k)2=√1+k 2，|AB|=2√r 2−d 2=2√4k 2+5√1+k2， 所以S △ABD =12|CD|⋅|AB|=8|k|√4k 2+51+4k 2=2×4|k|⋅√4k2+51+4k 2≤16k 2+4k 2+51+4k 2=5，当且仅当4|k|=√4k 2+5，即k =±√156时取等号．当直线l 1的斜率不存在时，|CD|=2，|AB|=4，可得S △ABD =4<5； 当直线l 1的斜率为0时，C ，D 重合，与题意不符． 综上所述，△ABD 的最大面积为5．【解析】(1)设点P(x,y)，G(a,0)，H(0,b)，根据a 2+b 2=9及HP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PG ⃗⃗⃗⃗⃗ 计算即可． (2)假设l 1，l 2方程，l 1与椭圆方程联立可得|CD|，根据圆的弦长公式得到|AB|，然后计算S △ABD 并结合基本不等式可得结果．本题主要考查轨迹方程的求解，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．。
2021-2022学年四川省绵阳市江油市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC=35°，则∠BDC=()A. 85°B. 75°C. 70°D. 55°3.已知a，b是方程x2−3x−4=0的两根，则代数式a+b的值为()A. 3B. −3C. 4D. −44.对于抛物线y=(x−1)2−3，下列说法错误的是()A. 抛物线开口向上B. 当x>1时，y>0C. 抛物线与x轴有两个交点D. 当x=1时，y有最小值−35.已知点M(m,−1)与点N(3,n)关于原点对称，则m+n的值为()A. 3B. 2C. −2D. −36.已知圆心角度数为60°，半径为30，则这个圆心角所对的弧长为()A. 20πB. 15πC. 10πD. 5π7.已知非负数a，b，c满足a+b=3且c−3a=−6，设y=a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m−n的值是()A. 16B. 15C. 9D. 78.如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE=3，⊙O的直径为15，则AC长为()B. 13C. 12D. 119.已知(−1,y1)，(−2,y2)，(−4,y3)是抛物线y=2x2+8x+m上的点，则()A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y3<y1<y2D. y2<y1<y310.甲、乙两位同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是()A. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B. 一个袋子中有2个白球和1个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率C. 抛一枚硬币，出现正面的概率D. 任意写一个整数，它能被2整除的概率11.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是()A. x(x−2)=0B. x2−1−y=0C. x2+1=x2−2xD. ax2+c=012.电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为()A. 2+2x+2x2=18B. 2(1+x)2=18C. (1+x)2=18D. 2+2(1+x)+2(1+x)2=18二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，则弧BC的长为______cm．14.函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示，过点(−1,0)，对称轴为x=2，下列结论正确的是______．①4a+b=0；②24a+2b+3c<0；③若A(−3,y1)，B(−0.5,y2)，C(3.5,y3)三点都在抛物线上，y1<y2<y3；④当x>−1时，y随x增大而增大．15.如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为______．16.如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A、M、C三点的抛物线．其中A点离地面1.4米，M点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为______米．17.若关于x的一元二次方程(k−2)x2+4x+2=0有实数根，则k的取值范围是______．18.如图，把△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，若∠A=35°，则∠CDE的度数为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.解下列一元二次方程：(1)x2+10x+16=0；四、解答题（本大题共6小题，共48.0分）20.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．(1)猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；(2)若AB=4，AD=3，求BD的长．21.如图，AB为圆O的直径，取OA的中点C，过点C作CD⊥AB交圆O于点D，D在AB的上方，连接AD，BD，点E在线段CA的延长线上，且∠ADE=∠ABD．(1)求∠ABD的度数；(2)求直线DE与圆O的公共点个数．22.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,−2)，点P是x轴上的一个动点．(1)A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．(2)求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．23.已知二次函数y=ax2+bx的图象过点(2,0)，(−1,6)．(1)求二次函数的关系式，并在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；(2)根据图象，写出当y<0时，x的取值范围；(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．24.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=(x−2)2的顶点为C，与y轴正半轴交于点B，一次函数y=kx+4(k≠0)图象与抛物线交于点A、点B，与x轴负半轴交于点D，若AB=3BD．(1)求点A的坐标；(2)联结AC、BC，求△ABC的面积；(3)如果将此抛物线沿y轴正方向平移，平移后的图象与一次函数y=kx+4(k≠0)图象交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ//x轴时，试问该抛物线平移了几个单位长度？25.为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展以学习“四史”(党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史)为主题的书画展，为了解作品主题分布情况，在学生上交的作品中，随机抽取了50份进行统计，并根据调查统计结果绘制了统计图表(频)：率=频数总数主题频数频率A党史60.12B新中国史20mC改革开放史0.18D社会主义发展史15n合计501请结合上述信息完成下列问题：(1)m=______，n=______．(2)请补全频数分布直方图．(3)若该校要同时开设两门课程(例如，课程BC和课程CB代表同一种情况)，请直接写出同时开设课程BC的概率．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A.不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D.不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】D【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=35°，∴∠CAB=55°，∴∠BDC=∠CAB=55°，故选：D．由AB是直径可得∠ACB=90°，由∠ABC=35°可知∠CAB=55°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度数，即可得出答案．本题考查了圆周角定理，由AB是直径求出∠ACB=90°是解题的关键．3.【答案】A故选：A．根据根与系数的关系可得出a+b=3，此题得解．本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于−ba 、两根之积等于ca是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵a=1>0，∴抛物线开口向上，∵二次函数为y=a(x−ℎ)2+k顶点坐标是(ℎ,k)，∴二次函数y=(x−1)2−3的图象的顶点坐标是(1,−3)，∴抛物线顶点(1,−3)，开口向上，对称轴是x=1，抛物线与x轴有两个交点，当x=1时，y有最小值−3，故A、C、D正确，故选：B．根据二次函数的性质，二次函数的顶点式即可判断；此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a(x−ℎ)2+k顶点坐标是(ℎ,k)，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5.【答案】C【解析】解：∵点M(m,−1)与点N(3,n)关于原点对称，∴m=−3，n=1，故m+n=−3+1=−2．故选：C．利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，进而求出即可．此题主要考查了关于原点对称点的坐标，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．6.【答案】C【解析】解：圆心角是60°，半径为30的扇形的弧长是60π×30180=10π，故选：C．根据弧长公式求出答案即可．本题考查了弧长公式，注意：一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧的长度是nπr180．7.【答案】D【解析】解：∵a+b=3，c−3a=−6，∴b=3−a，c=3a−6，∵b，c都是非负数，∴{3−a≥0①3a−6≥0②，解不等式①得，a≤3，解不等式②得，a≥2，∴2≤a≤3，y=a2+b+c=a2+(3−a)+3a−6，=a2+2a−3，∴对称轴为直线a=−22×1=−1，∴a=2时，最小值n=22+2×2−3=5，a=3时，最大值m=32+2×3−3=12，∴m−n=12−5=7．故选：D．用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入y整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．本题考查了二次函数的最值问题，用a表示出b、c并求出a的取值范围是解题的关键，难点在于整理出y关于a的函数关系式．8.【答案】C【解析】解：连接OF ，∵DE ⊥AB ，AB 过圆心O ，∴DE =EF ，AD⏜=AF ⏜， ∵D 为弧AC 的中点，∴AD⏜=DC ⏜， ∴AC⏜=DAF ⏜， ∴AC =DF ，∵⊙O 的直径为15，∴OF =OA =152，∵AE =3，∴OE =OA −AE =92，在Rt △OEF 中，由勾股定理得：EF =√OF 2−OE 2=√(152)2−(92)2=6， ∴DE =EF =6，∴AC =DF =DE +EF =6+6=12，故选：C ．根据垂径定理求出DE =EF ，AD⏜=AF ⏜，求出AC ⏜=DF ⏜，求出AC =DF ，求出EF 的长，再求出DF 长，即可求出答案．本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，解此题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，是中考常见题目．9.【答案】D【解析】解：抛物线的对称轴为直线x =−82×2=−2，∴(−1,y 1)关于对称轴的对称点为(−3,y 1)∵a =2>0，∴x <−2时，y 随x 的增大而减小，∵−4<−3<−2，∴y2<y1<y3．故选：D．求出抛物线的对称轴为直线x=−2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．10.【答案】B，故此选项不符合题意；【解析】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16≈0.33，B、一个袋子中有2个白球和1个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率13故此选项符合题意；C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为1，故此选项不符合题意；2D、任意写出一个整数，能被2整除的概率为1，故此选项不符合题意．2故选：B．根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．11.【答案】A【解析】解：A、x(x−2)=0是一元二次方程，符合题意；B、x2−1−y=0不是一元二次方程，不符合题意；C、x2+1=x2−2x不是一元二次方程，不符合题意；D、ax2+c=0，当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：A．根据一元二次方程的定义(含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)进行判断即可．本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)．12.【答案】D【解析】解：设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：2+2(1+x)+2(1+x)2=18．故选：D．第一天为2，根据增长率为x得出第二天为2(1+x)，第三天为2(1+x)2，根据三天累计为18，即可得出关于x的一元二次方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13.【答案】15π【解析】解：∵AB=18cm，AB，AC夹角为150°，=15π(cm)，∴弧BC的长为：150π×18180故答案为15π．根据AB，AC夹角为150°和弧长计算公式可以得到弧BC的长．本题考查弧长计算公式，明确弧长公式是nπr是解答本题的关键．18014.【答案】①②③=2，【解析】解：∵对称轴为x=− b2a∴b=−4a，∴b+4a=0，故①正确；由图象可知，a<0，∴2b=−8a，又图象过点(−1,0)，∴a−b+c=0，∴b=a+c=−4a，∴c=−5a，∴24a+2b+3c=24a−8a−15a=a<0，故②正确；设点C(3.5,y3)关于对称轴对称的点为C′，则C′(0.5,y3)，此时，A、B、C′三点都位于对称轴的左侧，∵−3<−0.5<0.5，且在x<2时，y随x的增大而增大，∴y1<y2<y3，故③正确．由图象可知，当x>−1时，y随x的先增大，后减小，故④错误．综上，①②③正确．故答案为：①②③．=2，所以b=−4a，可判断①正确；由图象知a<0，当由对称轴为x=2，可得− b2ax=−1时，y=a−b+c=0，可得b=a+c=−4a，从而c=−5a，又2b=−8a，代入24a+2b+3c中化简即可判断②正确；找到C(3.5,y3)的对称点C′，使A、B、C′三点在抛物线对称轴的左边，利用增减性即可判断③正确；观察图象可知④错误．本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象与系数是解本题的关键所在．15.【答案】24【解析】解：∵直角三角形的三边长为连续的偶数，∴可设最小的直角边为x，则另一直角边为x+2，斜边长为x+4．∴根据勾股定理得：x2+(x+2)2=(x+4)2．解得x1=−2(不合题意，舍去)x2=6．∴周长为6+8+10=24．故答案是：24．根据偶数的特点，设最小的直角边为x，则另一直角边为x+2，斜边长为x+4，根据勾股定理可求得三边的长，从而不难求得其周长．本题主要考查了一元二次方程的应用，认识平面图形，勾股定理．需注意连续偶数相隔2，利用勾股定理求得解后应根据实际情况判断舍值与否．16.【答案】14【解析】解：设抛物线的解析式为y=a(x−6)2+3.2，将点A(0,1.4)代入，得：36a+3.2=1.4，解得：a=−0.05，则抛物线的解析式为y=−0.05(x−6)2+3.2；当y=0时，−0.05(x−6)2+3.2=0，解得：x1=−2(舍)，x2=14，所以足球第一次落地点C距守门员14米．故答案为：14．设抛物线的解析式为y=a(x−6)2+3.2，将点A(0,1.4)代入求出a的值即可得解析式，求出y=0时x的值即可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及将实际问题转化为二次函数问题的能力．17.【答案】k≤4且k≠2【解析】解：∵关于x的一元二次方程(k−2)x2−4x+2=0有实数根，∴△≥0且k−2≠0，即(−4)2−4(k−2)×2≥0且k−2≠0解得k≤4且k≠2．故答案为：k≤4且k≠2．因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，得关于k的不等式，求解即可．本题考查了一元二次方程根的判别式．解决本题的关键是能正确计算根的判别式．本题易忽略二次项系数不为0．18.【答案】55°【解析】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，∴∠DCB=90°，∠B=∠EDC，∵∠A=35°，∴∠B=90°−∠A=55°，故答案为：55°．根据旋转的性质可得∠DCB=90°，∠B=∠EDC，求出∠B的度数即可．本题主要考查了旋转的性质，熟记旋转前后对应角相等是解题的关键．19.【答案】解：(1)x2+10x+16=0，(x+2)(x+8)=0，x+2=0或x+8=0，∴x1=−2，x2=−8；(2)x(x+4)=8x+12，x2+4x−8x−12=0，x2−4x−12=0，(x+2)(x−6)=0，x+2=0或x−6=0，∴x1=−2，x2=6．【解析】(1)利用因式分解——十字相乘法解一元二次方程；(2)利用因式分解——十字相乘法解一元二次方程．本题考查解一元二次方程，掌握因式分解(十字相乘)法的技巧(把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数)是解题关键．20.【答案】(1)猜想：△EAD是等腰三角形．证明：∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵AB为直径，∴∠C=90°，∵AE为切线∴AE⊥AB，∴∠E+∠1=90°，∴∠E=∠3，而∠4=∠3，∴∠E=∠4，∴AE=AD，∴△EAD是等腰三角形．(2)解：∵∠2=∠1，∴Rt△BCD∽Rt△BAE，∴CD：AE=BC：AB，即AEAB =DCBC=34，设CD=3x，BC=4x，则BD=5x，在Rt△ABC中，AC=AD+CD=3x+3，∵(4x)2+(3+3x)2=42，解得x1=725，x2=−1(舍去)，∴BD=5x=75．【解析】(1)利用角平分线和∠C=∠BAE=90°，得出∠E=∠4，从而得到AD=AE可得三角形的形状；(2)先证明△BCD∽△BAE，利用相似比得到得出即AEAB =DCBC=34，若设CD=3x，则BC=4x，BD=5x，再利用勾股定理得到(4x)2+(3+3x)2=42，然后解方程求出x后计算5x 即可．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；也考查了利用勾股定理和相似比进行几何计算．21.【答案】解：(1)如图，连接OD，∴OA=OD，∵点C为OA的中点，CD⊥AB，∴AD=OD，∴OA=OD=AD，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∴∠ABD=30°；(2)如图，∵∠ADE=∠ABD，∴∠ADE=30°，∵∠ADO=60°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线，∴直线DE与⊙O的公共点个数为1．【解析】(1)如图，连接OD，根据等腰三角形的性质得到AD=OD.推出△OAD是等边三角形．得到∠AOD=60°.于是得到∠ABD=30°．(2)根据三角形的内角和定理得到∠ODE=90°.由垂直的定义得到OD⊥DE.推出DE是⊙O的切线．于是得到结论．本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．22.【答案】解：(1)A1(−2,2)，B1(−2,−2)，如图，(2)设P点坐标为(t,0)，OA=√22+22=2√2，当OP=OA时，P点坐标为(−2√2,0)或(2√2,0)；当AP=AO时，P点坐标为(4,0)，当PO=PA时，P点坐标为(2,0)，综上所述，P 点坐标为(−2√2,0)或(2√2,0)或(4,0)或(2,0)．【解析】(1)利用关于原点对称和y 轴对称的点的坐标特征写出点A 1，A 2的坐标，然后描点；(2)先计算出OA 的长，再分类讨论：当OP =OA 或AP =AO 或PO =PA 时，利用直角坐标系分别写出对应的P 点坐标．本题考查了关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O 的对称点是P′(−x,−y).也考查了等腰三角形的性质．23.【答案】解：(1)∵二次函数y =ax 2+bx 的图象过点(2,0)，(−1,6)，则{4a +2b =0a −b =6， 解得：{a =2b =−4， ∴二次函数的关系式为y =2x 2−4x =2(x −1)2−2，∴对称轴为直线x =2，顶点为(1,−2)，令y =0，则x =0或2，∴抛物线与x 轴的交点为(0,0)和(2,0)图象如图所示：(2)由图象知，当y <0时，x 的取值范围为0<x <2；(3)y =2x 2−4x =2(x −1)2−2，由平移的性质，把图象向右平移3个单位后的函数解析式为：y =2(x −1−3)2−2=2x 2−16x +30，∴平移后图象所对应的函数关系式为y =2x 2−16x +30．【解析】(1)根据函数图象经过点(2,0)，(−1,6)，用待定系数法求函数解析式，再根据函数解析式确定图象顶点坐标及图象与x、y轴交点坐标即可画出图象；(2)根据图象即可得出答案；(3)根据图象平移“左加右减、上加下减”特点即可写出函数解析式．本题主要考查了抛物线与x轴的交点，根据解析式画函数图象、二次函数图象与性质、函数图象平移规律的综合应用，关键是求平移后的抛物线解析式方法的运用．24.【答案】解：(1)作AE⊥x轴与点E，则BO//AE，将x=0代入y=(x−2)2得y=4，∴点B坐标为(0.4)．∵AB=3BD，∴BOAE =BDDA=14，∴AE=4BO=16，将y=16代入y=(x−2)2得16=(x−2)2，解得x=6或x=−2(舍)，∴点A坐标为(6,16)．(2)作CF//y轴交AB于点F，将(6,16)代入y=kx+4得16=6k+4，解得k=2，∴y=2x+4，将x=2代入y=2x+4得y=8，∴点F坐标为(2,8)，∴FC=8，∴S△ABC=S△BCF+S△ACF=12FC⋅(x C−x B)+12FC⋅(x A−x C)=12×8×(2−0)+12×8×(6−2)=24．(3)设抛物线向上平移m个单位，则点P坐标为(0,4+m)，由题意可得P，Q关于对称轴对称，∴点Q坐标为(4,4+m)，将(4,4+m)代入y=2x+4得4+m=8+4，解得m=8，∴该抛物线平移了8个单位．【解析】(1)作AE⊥x轴与点E，则BO//AE，先通过抛物线解析式求出点B坐标，通过AB=3BD可得点A纵坐标，将其代入二次函数解析式求解．(2)作CF//y轴交AB于点F，由S△ABC=S△BCF+S△ACF求解．(3)设抛物线向上平移m个单位，则点P坐标为(0,4+m)，根据抛物线的对称性可得点Q 坐标，进而求解．本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．25.【答案】0.40.3【解析】解：(1)由统计图表可知：m=2050=0.4，∴n=1−0.12−0.18−0.4=0.3，故m=0.4，n=0.3；(2)补全直方图如下：(3)列表如下：∴一共有12种情况，开设课程B，C的有2种情况，∴开设课程B、C的概率为212=16．(1)先由频数和频率的关系求出m的值，再由频率的和为1求出n的值；(2)由C组的频率求出C组的频数即可补全图形；(3)四个里面选两个，利用列表法，即可求出概率．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．。
2021-2022学年四川省成都七中高三（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）)6的展开式中，x3项的系数为()1.在(x2−1xA. −20B. −15C. 15D. 20(其中i为虚数单位)的虚部为()2.复数z=4−3i2+iA. −2B. −1C. 1D. 23.设全集U={0,1,2,3,4,5,6}，集合A={1,2,4}，B={1,3,5}，则A∩(∁U B)=()A. {0,6}B. {1,4}C. {2,4}D. {3,5}4.已知直线ax+by−1=0(a>0,b>0)与圆x2+y2=4相切，则log2a+log2b的最大值为()A. 3B. 2C. −2D. −35.青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图2中12名青少年的视力测量值a i(i=1,2,3,⋯,12)(五分记录法)的茎叶图(图1)，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是()A. 4B. 5C. 6D. 76.已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为()A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π7.如果直线l与两条曲线都相切，则称l为这两条曲线的公切线．如果曲线C1：y=lnx和曲线C2：y=x−ax(x>0)有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是()A. (−∞,0)B. (0,1)C. (1,e)D. (e,+∞)8.“α为第二象限角”是“sinα−√3cosα>1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.抛物线y2=2px(p≠0)上的一点P(−9,12)到其焦点F的距离|PF|等于()A. 17B. 15C. 13D. 1110.关于函数f(x)=sinxcos(x−π6)的叙述中，正确的有()①f(x)的最小正周期为2π；②f(x)在区间[−π6,π3]内单调递增；③f(x+π3)是偶函数；④f(x)的图象关于点(π12,0)对称．A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④11.攒尖在中国古建筑(如宫殿、坛庙、园林等)中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状．始建于1752年的廓如亭(位于北京颐和园内，如图)是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观．其檐平面呈正八边形，上檐边长为a，宝顶到上檐平面的距离为ℎ，则攒尖坡度(即屋顶斜面与檐平面所成二面角的正切值)为()A. (√2+1)ℎ2aB. 3(√2−1)ℎ2aC. (√2+1)ℎ3aD. 2(√2−1)ℎa12. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1，∠BAD =60°，E 是BC 的中点，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 命题“∃x ∈N ，2x <x 2”的否定是______．14. 若不等式4x −2a+x +2>0对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______． 15. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，且两条渐近线互相垂直，若C 上一点P 满足|PF 1|=3|PF 2|，则∠F 1PF 2的余弦值为______． 16. 已知某品牌电子元件的使用寿命X(单位：天)服从正态分布N(98,64)．(1)一个该品牌电子元件的使用寿命超过100天的概率为______；(2)由三个该品牌的电子元件组成的一条电路(如图所示)在100天后仍能正常工作(要求K 能正常工作，A ，B 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立)的概率为______．(参考公式：若X ～N(μ,σ2)，则P(μ−0.25σ<X ≤μ+0.25σ)=0.2.)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 设M 为不等式|x +1|+4≥|3x −1|的解集．(1)求M ；(2)若a ，b ∈M ，求|ab −a −b|的最大值．)内存在极值点α．18.已知函数f(x)=e x−ksinx在区间(0,π2(1)求实数k的取值范围；(2)求证：在区间(0,π)内存在唯一的β，使f(β)=1，并比较β与2α的大小．19.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，E是BC的中点．(1)求证：BD1//平面C1DE；(2)已知∠ABC=120°，AA1=√2AB，求直线A1D与平面C1DE所成角的正弦值．20.某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为4：1.现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表(单位：件)，且每件产品都有各自生产线的标记．(1)请将2×2列联表补充完整，并根据独立性检验估计：大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关？(2)为进一步了解产品出现等级差异的原因，现将样本中所有二等品逐个进行技术检验(随机抽取且不放回).设甲生产线的两个二等品恰好检验完毕时，已检验乙生产线二等品的件数为ξ，求随机变量的分布列及数学期望．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．21.已知n∈N∗，数列{a n}的首项a1=1，且满足下列条件之一：①a n+1=a n2+12n；②2na n+1=(n+1)a n.(只能从①②中选择一个作为已知)(1)求{a n}的通项公式；(2)若{a n}的前n项和S n<m，求正整数m的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，伯努利双纽线C(如图)的普通方程为(x 2+y 2)2=2(x 2−y 2)，直线l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα(其中α=(0,π4)，t 为参数)． (1)为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求C 和l 的极坐标方程； (2)设A ，B 是C 与x 轴的交点，M ，N 是C 与l 的交点(四点均不同于O)，当α变化时，求四边形AMBN 的最大面积．23. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的短轴长为2√3，左顶点A 到右焦点F 的距离为3． (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N(不同于A)，且直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：l 经过定点．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由于(x2−1x)6的展开式的通项公式为T r+1=(−1)r C6r⋅x12−3r，令12−3r=3，可得r=3，故展开式中含x3项的系数为：(−1)3⋅C63=−20．故选：A．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，即可求解结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：z=4−3i2+i =(4−3i)(2−i)(2+i)(2−i)=8−6i−4i+3i24−i2=5−10i5=−2i+1，∴复数z的虚部为−2．故选：A．利用i2=−1，将分式化为整式，从而得到虚部的值．该题考查虚数的化简，属于基础题型．3.【答案】C【解析】解：全集U={0,1,2,3,4,5,6}，集合A={1,2,4}，B={1,3,5}，所以∁U B={0,2,4,6}，A∩(∁U B)={2,4}．故选：C．根据补集与交集的定义计算即可．本题考查了补集与交集的运算问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：因为直线ax+by−1=0与圆x2+y2=4相切，所以√a2+b2=2，即a2+b2=14，而log2a+log2b=log2ab≤log2a2+b22=log2142=−3，当且仅当a=b=√24时，等号成立，所以log2a+log2b的最小值为−3．故选：D．根据点到直线的距离公式可得a2+b2=14，再结合对数的运算性质和基本不等式，即可得解．本题考查直线与圆的位置关系，利用基本不等式求最值，对数的运算性质等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：由程序框图可知，该程序实现了统计a i≤4.3的个数，由茎叶图知，a i≤4.3共有5个，故选：B．该程序实现了统计a i≤4.3的个数，结合茎叶图得到答案．本题综合考查了茎叶图与程序框图，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个圆锥和一个半球组成的几何体；如图所示：故S表=12×4⋅π⋅12+π×1×√(√3)2+12=4π．故选：B．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，球体和圆锥体的表面积，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：设曲线C1：y=lnx上一点A(x1,lnx1)，由y=lnx，得y′=1x ，∴y′|x=x1=1x1，可得曲线C1：y=lnx在A处的切线方程为y−lnx1=1x1(x−x1)；设曲线C2：y=x−ax (x>0)上一点B(x2,1−ax2)，由y=1−ax ，得y′=ax，则y′|x=x2=a x22，可得曲线C2：y=x−ax (x>0)在B处的切线方程为y−1+ax2=ax22(x−x2)．则{1x1=ax22lnx1−1=1−2ax2，可得√x1(lnx1−2)=−2√a．令f(x)=√x(lnx−2)，f′(x)=2√x −2)+√x⋅1x=2√x．当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)min=f(1)=−2，∴要使曲线C1和曲线C2有且仅有两条公切线，则关于x的方程√x(lnx−2)=−2√a有两不同解，又当x→0时，f(x)→0，∴−2<−2√a<0，得0<√a<1，即0<a<1则常数a的取值范围是(0,1)．故选：B．设曲线C1：y=lnx上一点A(x1,lnx1)，曲线C2：y=x−ax (x>0)上一点B(x2,1−ax2)，利用导数求得两曲线在切点处的切线方程，再由两切线的斜率相等，切线在y轴上的截距相等，可得√x1(lnx1−2)=−2√a，令f(x)=√x(lnx−2)，利用导数求其最小值，得到−2√a的范围，进一步求得a的范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，训练了利用导数求最值，是中档题．8.【答案】A【解析】解：由sinα−√3cosα>1⇔12sinα−√32cosα>12⇔sin(α−π3)>12，当α为第二象限角时，∴2kπ+π2<α<2kπ+π，∴2kπ+π6<α−π3<2kπ+2π3，k∈Z．∴12<sin(α−π3)≤1，满足sinα−√3cosα>1；当sinα−√3cosα>1即sin(α−π3)>12时，例如取α=π时，满足sin(α−π3)=sin2π3=√3 2>12，但α=π不满足在第二象限．由上分析可知“α为第二象限角”是“sinα−√3cosα>1”的充分不必要条件．故选：A．由sinα−√3cosα>1⇔12sinα−√32cosα>12⇔sin(α−π3)>12，依次可解决此题．本题考查三角函数图象性质、三角恒等变换及充分、必要条件的判定，考查数学运算能力及推理能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：因为点P(−9,12)在抛物线y2=2px上，所以122=−18p，解得p=−8，所以抛物线方程为y2=−16x，焦点F的坐标为(−4,0)，所以|PF|=√(−9+4)2+122=13．故选：C．将点P的坐标代入抛物线方程中求出p，从而可得焦点F的坐标，利用两点间的距离公式求解即可．本题主要考查抛物线的方程，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：f(x)=sinx(cosxcosπ6+sinxsinπ6)=sinx(√32cosx+12sinx)=√3 2sinxcosx+12sin2x=√34sin2x+12×1−cos2x2=√34sin2x−14cos2x+14=12sin(2x−π6)+14，所以f(x)的最小正周期T=π，①错误；当x∈[−π6,π3]时，2x−π6∈[−π2,π2]，此时正弦函数为单调递增函数，故②正确；f(x+π3)=12sin[2(x+π3)−π6]+14=12sin(2x+π2)+14=12cos2x+14，令g(x)=f(x+π3)，所以g(x)=12cos2x+14g(−x)=12cos(−2x)+14=12cos2x+14=g(x)，又函数定义域为R，故函数f(x+π3)是偶函数，③正确；令2x−π6=kπ，k∈Z，解得x=π12+kπ2，k∈Z，所以f(x)的对称中心为(π12+kπ2,14)k∈Z，当k=0时，f(x)有一个对称中心为(π12,14)，故④错误；故选：C．先将解析式进行化简整理，根据整理之后的解析式对选项进行逐一验证．本题考查了命题的真假判断，涉及到了三角函数的性质，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：由题意，上檐平面的八边形如图所示，其中AB=a，∠OAB=∠OBA=67.5°，且E为AB的中点，所以OE =AEtan∠OAB ，又2tan∠OAB1−tan 2∠OAB =tan2∠OAB =tan135°=−1， 解得tan∠OAB =1+√2，tan∠OAB =1−√2(舍)， 又AE =a2， 所以OE =1+√22a ，由题意可知，攒尖坡度为ℎOE=2ℎ(1+√2)a=2(√2−1)ℎa． 故选：D ．根据正八边形的性质，结合二倍角正切公式以及正切的定义，求出上檐平面中心到檐边的距离，再根据题设求攒尖坡度即可．本题考查了立体几何的信息题，正八边形几何性质的应用，两角和的正切公式的应用，攒尖坡度的理解，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：如图，在平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1，∠BAD =60°，E 是BC 的中点，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+12+32×2×1×12=6，故选：D ．以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底分别表示出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用向量数量积运算性质代入计算即可． 本题考查平面向量数量积运算性质，属于中档题．13.【答案】∀x∈N，2x≥x2【解析】解：根据题意，命题“∃x∈N，2x<x2”是特称命题，则其否定为：∀x∈N，2x≥x2；故答案为：∀x∈N，2x≥x2．根据题意，由特称命题与全称命题的关系，分析可得答案．本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．14.【答案】(−∞,32)【解析】解：令t=2x，则t>0，所以不等式转化为t2−2a t+2>0在(0,+∞)上恒成立，令f(t)=t2−2a t+2，其图象开口向上，且对称轴为t=2a−1>0，所以Δ=22a−8<0，解得a<32，所以实数a的取值范围为(−∞,32)．故答案为：(−∞,32)．利用换元法将问题转化为t2−2a t+2>0在(0,+∞)上恒成立，利用二次函数图象与性质，列式求解即可．本题考查了不等式恒成立问题的求解，换元法的理解与应用，二次函数图象与性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．15.【答案】13【解析】解：由双曲线的定义可得|PF1|=|PF2|+2a=3|PF2|，可得|PF2|=a，|PF1|=3a，因为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直，所以a=b，c=√2a故|F1F2|=2√2a，在△PF1F2中，cos∠F1PF2=a2+9a2−8a22×a×3a =13．故答案为：13．依题意可得可得a =b ，运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，即可求解． 本题考查双曲线的定义和性质，主要是渐近线方程的求法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】0.4 32125【解析】解：由题意可知，μ=98，σ=8， 所以P(X >100)=1−P(μ−0.25σ<X≤μ+0.25σ)2=0.4；由题意，要使电路能正常工作的概率为P =25×25×25+25×(1−25)×25+25×25×(1−25)=32125． 故答案为：0.4；32125．利用正态分布曲线的对称性求解P(X >100)，由相互独立事件的概率乘法公式求解电路能正常工作的概率．本题考查了正态分布曲线的应用，相互独立事件的概率乘法公式的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，考查了运算能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)x <−1时，−x −1+4≥−3x +1，解得x ≥−1，不合题意；−1≤x <13时，x +1+4≥1−3x ，解得：x ≥−1，故−1≤x <13，x ≥13时，x +1+4≥3x −1，解得：x ≤3，故13≤x ≤3， 综上，不等式的解集是M =[−1,3]；(2)|ab −a −b|=|ab −a −b +1−1|=|(a −1)(b −1)−1| ∵a ∈[−1,3]，b ∈[−1,3]， ∴a −1∈[−2,2]，b −1∈[−2,2]，∴|(a −1)(b −1)−1|≤|(a −1)(b −1)|+1=|a −1||b −1|+1≤5， 当且仅当a −1=b −1=±2时“=”成立， 故|ab −a −b|的最大值是5．【解析】(1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集M即可；(2)根据绝对值不等式的性质以及a，b的取值范围求出|ab−a−b|的最大值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质，是中档题．18.【答案】(1)解：函数f(x)=e x−ksinx，则f′(x)=e x−kcosx，因为f(x)在区间(0,π2)内存在极值点α，所以f′(α)=0，则k=e αcosα且α∈(0,π2)，则k′=e α(cosα+sinα)cos2α>0，所以函数k=e αcosα在(0,π2)上单调递增，则k>1，当k>1时，f′′(x)=e x+ksinx>0在(0,π2)上恒成立，则f′(x)在(0,π2)上单调递增，又f′(0)=1−k<0，f′(π)=eπ+k>0，则当x∈(0,α)时，f′(x)<0，则f(x)单调递增，当x∈(α,π2)时，f′(x)>0，则f(x)单调递减，所以f(x)在x=α处取得极小值，符合题意．综上所述，实数k的取值范围为(1,+∞)；(2)证明：要证明在区间(0,π)内存在唯一的β，使f(β)=1，只需证明g(x)=e x−ksinx−1在区间(0,π)内存在唯一的β，因为g′(x)=e x−kcosx，由(1)可知，g(x)在(0,α)上单调递减，在(α,π2)上单调递增，又x∈[π2,π)时，g′(x)>0，则g(x)单调递增，综上所述，g(x)在(0,α)上单调递减，在(α,π)上单调递增，又g(0)=0>g(α)，g(π)=eπ−1>0，所以g(x)在(0,α)内无零点，在(α,π)内存在一个零点，故存在唯一的β∈(0,π)，使得g(β)=0，即在区间(0,π)内存在唯一的β，使f(β)=1；由(1)可知，eα=kcosα>1，所以g(2α)=e2α−ksin2α−1=e2α−2sinα⋅eα−1=eα(eα−2sinα)−1，令ℎ(x)=e2x−2e x sinx−1，x∈(0,π2)，则ℎ′(x)=2e x[e x−(cosx+sinx)]，令y=e x−(cosx+sinx)，则y′=e x+sinx−cosx>0，故函数y=e x−(cosx+sinx)在(0,π2)上单调递增，所以y>0，即ℎ′(x)>0，故ℎ(x)在(0,π2)上单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，故在α∈(0,π2)上，g(2α)>0，所以g(2α)>g(β)=0，又g(x)在(α,π)上单调递增，且α<β，2α<π，所以β<2α．【解析】(1)求出f′(x)，利用极值点的定义得到f′(α)=0，则k=e αcosα且α∈(0,π2)，利用导数研究函数k=e αcosα的单调性，即可得到k的取值范围，然后验证即可；(2)将问题转化为证明g(x)=e x−ksinx−1在区间(0,π)内存在唯一的β，利用导数结合(1)中的结论，即可证明；表示出g(2α)，构造函数ℎ(x)=e2x−2e x sinx−1，x∈(0,π2)，利用导数研究函数ℎ(x)的单调性以及取值情况，可得ℎ(x)>ℎ(0)=0，从而g(2α)> g(β)=0，再利用g(x)的单调性，即可比较得到答案．本题考查了导数的综合应用，利用导数研究函数单调性的运用，函数极值点的理解与应用，函数零点存在性定理的应用，综合性强，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，转化化归数学思想方法的运用，属于难题．19.【答案】(1)证明：由题设，连接CD 1交DC 1于O ，易知：O 是CD 1的中点，连接OE ，∵E 是BC 的中点，∴OE//BD 1，又OE ⊂面C 1DE ，BD 1不在面C 1DE 内， ∴BD 1//面C 1DE ．(2)解：底面ABCD 是菱形，∠ABC =120°，即∠DAB =60°，若F 为AB 中点，则DF ⊥AB ，∴∠ADF =30°，故在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中有DF ⊥DC 、DD 1⊥DC 、DD 1⊥DF ， ∴可构建以D 为原点，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系， 设AA 1=√2AB =√2， ∴D(0,0,0),E(√34,34,0),C 1(0,1,√2),A 1(√32,−12,√2)， 则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√34,34,0),DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√2),DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,√2)， 若m⃗⃗⃗ =(x,y,z)是面C 1DE 的一个法向量， 则{DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =√34x +34y =0DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =y +√2z =0，令x =√3，则m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,√22)， ∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||DA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√3×3√2=√63，故直线A 1D 与平面C 1DE 所成角的正弦值√63．【解析】(1)连接CD 1交DC 1于O ，连接OE ，易得OE//BD 1，再根据线面平行的判定即可证结论．(2)F 为AB 中点，结合已知可构建以D 为原点，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，设AA 1=√2AB =√2，写出对应点坐标，并求出直线A 1D 的方向向量和平面C 1DE 的法向量，由空间向量夹角的坐标表示求直线A 1D 与平面C 1DE 所成角的正弦值． 本题主要考查线面平行的证明，空间向量的应用，线面角的计算等知识，属于中等题．20.【答案】解：由题意可得，一共抽样50个，产量之比为4：1，按分层抽样抽取，故甲生产线抽取50×45=40，乙生产线抽取50×15=10， 故甲生产线抽取一等品40−2=38， 乙生产线抽取二等品10−7=3，填表如下：所以K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=50(38×2−2×7)240×10×45×5≈5.556>5.024，故有97.5%把握认为产品的等级差异与生产线有关；(2)依题意得，检验顺序的所有可能为甲甲乙乙乙，甲乙甲乙乙，乙甲甲乙乙，甲乙乙甲乙，乙甲乙甲乙，乙乙甲甲乙，甲乙乙乙甲，乙甲乙乙甲，乙乙甲乙甲，乙乙乙甲甲，共10种可能，ξ的所有可能取值为：0，1，2，3， P(ξ=0)=110， P(ξ=1)=210=15，P(ξ=2)=310， P(ξ=3)=410=25， 所以ξ的分布列为：所以E(ξ)=0×110+1×15+2×310+3×25=2．【解析】(1)分析题意完成2×2列联表，直接套公式求出K2，对照参数下结论；(2)直接求出概率，写出分布列，套公式求出数学期望．本题考查了独立性检验，离散型随机变量的均值问题，属于基础题．21.【答案】解：(1)若选择条件①：由a n+1=a n2+12n，得a n+1⋅2n+1=a n⋅2n+2，即a n+1⋅2n+1−a n⋅2n=2，又n=1时，a1×21=2，所以{a n⋅2n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，所以a n⋅2n=2+2(n−1)=2n，即a n=2n2n；若选择条件②：由2na n+1=(n+1)a n，得a n+1n+1=12×a nn，又n=1时，a11=1，所以数列{a nn }是以1为首项，以12为公比的等比数列，所以a nn =(12)n−1，即a n=n2n−1=2n2n；(2)由(1)可知S n=221+422+623+⋯+2n2n，则12S n=222+423+⋯+2n−22n+2n2n+1，两式相减得12S n=1+222+223+⋯+22n−2n2n+1=1+2(122+123+⋯+12n)−n2n=1+2×14[1−(12)n−1]1−12−n2n=2−n+22n，所以S n=4−2n+42n<4，故正实数m的最小值为4．【解析】(1)若选择条件①：根据a n+1=a n2+12n可得a n+1⋅2n+1=a n⋅2n+2，即a n+1⋅2n+1−a n⋅2n=2，结合a1×21=2即可得到{a n⋅2n}的通项公式，进一步可得{a n}的通项公式；若选择条件②：由2na n+1=(n+1)a n可得a n+1n+1=12×a nn，结合a11=1即可求出{a nn}的通项公式，进一步可得{a n}的通项公式；(2)由(1)可知S n=221+422+623+⋯+2n2n，则12S n=222+423+⋯+2n−22n+2n2n+1，从而两式相减并化简整理可得出S n =4−2n+42n<4，进一步即可确定正整数m 的最小值．本题考查数列的递推公式，错位相减求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)伯努利双纽线C(如图)的普通方程为(x 2+y 2)2=2(x 2−y 2)，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ2=2cos2θ；直线l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα(其中α∈(0,π4)，t 为参数)，转换为直角坐标方程为y =tanαx ；转换为极坐标方程为θ=α(α∈(0,π4))，(2)当θ=0时，则ρ2=2，所以A(−√2,0)，B(√2,0)；又θ=α，且α∈(0,π4)，是经过原点，结合伯努利双纽线C 的对称性知：点M 和N 的纵标和横标互为相反数；若点M 在第一象限，则点N 在第三象限； 所以S 四边形AMBN =2S △ABM =|AB|⋅y M =2√2⋅|y M |， 联立{ρ2=2cos2θθ=α，则ρ=√2cos2α，y M =ρsinα，所以y M =√2sin 2α(1−2sin 2α)=2√12sin 2α−sin 4α=2√116−(14−sin 2α)2，由于α∈(0,π4)， 所以sin 2α∈(0,12)， 所以0<y M ≤12．故当y M =12时S 四边形AMBN =2S △ABM =|AB|⋅y M =2√2⋅|y M |=√2．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用三角函数的关系式的变换和二次函数性质的应用求出四边形面积的最大值． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式，三角函数的关系式的变换，二次函数性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)由题意可得{2b =2√3a +c =3a 2=b 2+c 2，解得{b =√3a =2c =1，所以椭圆方程为x 24+y 23=1， 离心率e =c a =12，证明：(2)当直线l 的斜率存在时，可设l ：y =kx +m ，代入椭圆方程x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，所以{x 1+x 2=−8km 3+4k x 1x 2=4m 2−123+4k 2， 由(1)可知，点A(−2,0)，离心率e =12，因为直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以k AM ⋅k AN =−12，所以k AM ∗k AN =k 2x 1x 2−km(x 1+x 2)+m 2x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=−12， 把{x 1+x 2=−8km 3+4k 2x 1x 2=4m 2−123+4k 2代入，整理得5m 2−8km −4k 2=0， 即(m −2k)(5m +2k)=0，所以m =2k 或m =−25k ，由直线l ：y =kx +m ，当m =2k 时，y =kx +2k =k(x +2)经过定点(−2,0)，与A 重合，舍去， 当m =−25k 时，v =kx −25k =k(x −25)经过B 定点(25,0)．所以l 过定点(25,0)．【解析】(1)用待定系数法求出椭圆C 的方程；(2)运用“设而不求法“，结合韦达定理和直线恒过定点的求法，可得直线l 经过定,0).点(25本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于难题．。
2021-2022学年辽宁省六校协作体高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知a⃗=(1,k,−2)，b⃗ =(2k,2,4)，若a⃗⊥b⃗ ，则实数k的值为()A. −2B. −1C. 2D. 12.直线l1：2x+y−1=0与直线l2：4x+2y+3+a(2x+y−1)=0(实数a为参数)的位置关系是()A. l1与l2相交B. l1与l2平行C. l1与l2重合D. l1与l2的位置关系与a的取值有关3.已知椭圆x2+my2=1(m>0)的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m=()D. 4A. 2B. 2C. 144.方程x√1−y2+y√1−x2=1的对应曲线图形是()A. B.C. D.5.如图，在四面体D−ABC中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列正确的是()A. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDEB. 平面ABD⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面ABDD. 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE6.方程x2−xcosθ+sinθ=0的两个不等实根为m，n，那么过点A(m2,m)，B(n2,n)的直线与圆x2+y2=1的位置关系是()A. 相交B. 相切或相交C. 相切D. 与θ的大小有关7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与直线y=kx交于A，B两点，点P为C上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，C的左、右焦点分别为F1，F2.若k1k2=14，且C的焦点到渐近线的距离为1，则()A. a=4B. C的离心率为√62C. 若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为2D. 若△PF1F2的面积为2√5，则△PF1F2为钝角三角形8.设F1、F2是椭圆mx2+y2=m(0<m<1)的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，若|PF2|2|PF1|的最小值是13，则m的值为()A. √34B. 89C. √32D. 19二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知直线l：(t+2)x+(t−1)y+3=0，则下述正确的是()A. 直线l的斜率可以等于0B. 直线l的斜率一定存在C. 当t=−0.5时，直线的倾斜角为π4D. 点P(1,3)到直线l的最大距离为2√210.如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点.将△ADE沿DE折起，使A到A′，且平面A′DE⊥平面BCDE，连接A′B，A′C.则下列结论中正确的是()A. BD ⊥A′CB. 四面体A′CDE 的外接球表面积为8πC. BC 与A′D 所成角的余弦值为34D. 直线A′B 与平面A′CD 所成角的正弦值为√6411. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(x 0,y 0)和曲线C ：x 2+my 2=1，则对于直线l ：x 0x +my 0y =1，下列说法正确的是( )A. 若x 0=12，y 0=12，m =1，则直线l 与曲线C 没有交点 B. 若x 0=12，y 0=1，m =−1，则直线l 与曲线C 有二个交点C. 若x 0=12，y 0=√62，m =12则直线l 与曲线C 有一个交点 D. 直线l 与曲线C 的位置关系和P 在哪里无关12. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，长轴长为4，点P(√2,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是( )A. 离心率的取值范围为(0,12)B. 当离心率为√24时，|QF 1|+|QP|的最大值为4+√62C. 存在点Q 使得QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0D. 1|QF 1|+1|QF 2|的最小值为1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知点P(1,1)和圆C ：x 2+y 2−2mx +4y +m +6=0，若过点P 作圆C 的切线有两条，则实数m 的取值范围是______．14. 对任意的实数，求点P(−2,2)到直线(2+λ)x −(1+λ)y −2(3+2λ)=0的距离d 的取值范围为______．15. 如图，在直角△ABC 中，C =π2，BC =20，AB =40，现将其放置在平面α的上面，其中点A 、B 在平面α的同一侧，点C ∈平面α，BC 与平面α所成的角为π6，则点A 到平面α的最大距离是______． 16. 设P 是椭圆M ：x 22+y 2=1上的任一点，EF 为圆N ：x 2+(y −2)2=1的任一条直径，则PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知动点C 与两个定点A(0,0)，B(3,0)的距离之比为√22．(1)求动点C 的轨迹方程T ；(2)若△ABC 边BC 的中点为D ，求动点D 的轨迹方程．18. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，点D 在棱A 1B 1上，E ，F 分别是CC 1，BC 的中点，AE ⊥A 1B 1，AA 1=AB =AC =2． (1)证明：DF ⊥AE ；(2)当D 为A 1B 1的中点时，求平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．19. 已知圆C ：x 2+y 2−4x −4y +4=0．(1)若过点P(1,0)的直线l 与圆C 相交所得的弦长为2√3，求直线l 的方程； (2)若Q 是直线l′：3x +4y +6=0上的动点，QA ，QB 是圆C 的两条切线，A ，B 是切点，求四边形QACB 面积的最小值．20.直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，A1A=AB，E为BB1延长线上的一点，D1E⊥面D1AC.设AB=2．(Ⅰ)求二面角E−AC−D1的大小；(Ⅱ)在D1E上是否存在一点P，使A1P//面EAC？若存在，求D1P：PE的值；不存在，说明理由．21.2020年9月下旬，中国海军为应对台湾海峡的局势，派出3艘舰艇在台湾附近某海域进行实弹演习．某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如图A，B，C，且OA=OB=OC=3，假想敌舰艇在某处发出信号A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早4v0(注：信号传播速度为v0)，C处舰艇保持静默．(1)建立适当的坐标系，并求假想敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)在A，B两处舰艇对假想敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到假想敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的距离最少是多少？22.设实数k≠0，椭圆D：x26+y22=1的右焦点为F，过F且斜率为k的直线交D于P、Q两点，若线段PQ的中点为N，点O是坐标原点，直线ON交直线x=3于点M．(1)若点P的横坐标为1，求点Q的横坐标；(2)求证：MF⊥PQ；(3)求|PQ||MF|的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意，a⃗=(1,k,−2)，b⃗ =(2k,2,4)，若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =2k+2k−8=4k−8=0，解可得k=2；故选：C．根据题意，由空间向量数量积的计算公式有a⃗⋅b⃗ =2k+2k−8=4k−8=0，解可得k 的值，即可得答案．本题考查空间向量数量积的计算，注意空间向量的坐标，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：对于直线l1：2x+y−1=0与直线l2：4x+2y+3+a(2x+y−1)=0(实数a为参数)，∵直线4x+2y+3=0和直线2x+y−1=0平行，直线l2：4x+2y+3+a(2x+y−1)=0是和直线l1：2x+y−1=0平行的一组直线系，l1与l2平行，故选：B．由题意利用平行直线系方程，得出结论．本题主要考查平行直线系方程的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：椭圆x2+my2=1(m>0)化为标准方程：x2+y 21m=1，因为椭圆的焦点在y轴上，所以a2=1m，b2=1，再由长轴长是短轴长的两倍，可得a2=4b2，即4=1m，解得m=14，故选：C．将椭圆的方程化为标准方程，可得a2，b2的值，再由长轴长是短轴长的两倍，可得a2= 4b2，求出m的值．本题考查椭圆的定义及性质的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：方程x√1−y2+y√1−x2=1，可知x∈[−1,1]，y∈[−1,1]，显然x<0，y<0，方程不成立，排除C；又√1−y2∈[0,1]，√1−x2∈[0,1]，所以xy<0，不成立，排除B、D，故选：A．利用方程判断x，y的值的范围，即可判断曲线的图形．本题考查曲线与方程的应用，判断x，y的范围的解题的关键，是中档题．5.【答案】A【解析】解：因为AB=CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE，因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE，又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，故选：A．证明平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE，即可得出结论．本题考查平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵方程x2−xcosθ+sinθ=0的两个不等实根为m，n，∴m+n=cosθ，mn=sinθ，∵A(m2,m)，B(n2,n)，(x−m2)，化简整理可得，x−(m+n)y+mn=0，∴直线AB的方程为y−m=m−nm2−n2即x −cosθy +sinθ=0， ∵圆心(0,0)到直线AB 的距离d =√cos 2θ+1≤1，∴直线与圆为位置关系是相交或相切． 故选：B ．根据斜率公式，求出直线AB 的方程，再结合韦达定理，以及点到直线的距离公式，即可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：对于A ：设点A(x 1,y 1)，B(−x 1,−y 1)，P(x 0,y 0)， 则x 12a 2−y 12b 2=1，且x 02a 2−y 02b 2=1， 两式相减得x 02−x 12a 2=y 02−y 12b 2，所以y 02−y 12x 02−x 12=b 2a 2，因为k PA ⋅k PB =(y 0−y 1)(x 0−x 1)⋅(y 0+y 1)(x 0+x 1)=14，所以b 2a 2=14，b a =12，所以双曲线C 的渐近线方程为y =±12x ， 因为焦点(c,0)到渐近线y =12x 的距离为1， 所以√5=1， 所以c =√5，所以a =2，b =1，故A 错误；对于B ：离心率为√52，B 错误；对于C ：不妨设点P 在C 的右支上， 记|PF 2|=t ，则|PF 1|=4+t ， 因为PF 1⊥PF 2， 所以(t +4)2+t 2=20，解得t =√6−2或t =−√6−2(舍去)，所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|=12(√6−2)(√6+2)=1，故C 错误；对于D ：设P(x 0,y 0)，因为S △PF 1F 2=12⋅2c|y 0|=√5|y 0|=2√5， 所以|y 0|=2， 将|y 0|=2代入C ：x 24−y 2=1，得x 02=20， 即|x 0|=2√5，由对称性，不妨取P 的坐标为(2√5,2)， 则|PF 2|=√(2√5−√5)2+22=3， 所以|PF 1|=√(2√5+√5)2+22=7， 因为cos∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||PF 1|=9+20−492×3×2√5<0，所以∠PF 2F 1为钝角，所以△PF 1F 2为钝角三角形，故D 正确． 故选：D ．对于A ，B ：设点A(x 1,y 1)，B(−x 1,−y 1)，P(x 0,y 0)，把点A ，B 坐标代入双曲线的方程，两式相减得x 02−x 12a 2=y 02−y 12b 2，推出k PA ⋅k PB =(y 0−y 1)(x 0−x 1)⋅(y 0+y 1)(x 0+x 1)=14，解得a ，b ，c ，即可判断A ，B 是否正确；对于C ：不妨设点P 在C 的右支上，记|PF 2|=t ，则|PF 1|=4+t ，由于PF 1⊥PF 2，则(t +4)2+t 2=20，解得t ，进而可得△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|，即可判断C 是否正确； 对于D ：设P(x 0,y 0)，S △PF 1F 2=12⋅2c|y 0|=√5|y 0|=2√5，解得|y 0|，代入C ：x 24−y 2=1，得|x 0|=2√5，由对称性，不妨取P 的坐标为(2√5,2)，计算|PF 2|，|PF 1|，由余弦定理可得cos∠PF 2F 1<0，推出∠PF 2F 1为钝角，即可判断D 是否正确． 本题考查双曲线的性质，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：令|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=s ，|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=t ，则|PF 2|2|PF 1|=s 2t，其最小值为13， 则s 2t 的最小值为13．由椭圆mx 2+y 2=m ，得x 2+y 2m=1，∵0<m <1，∴椭圆的长轴长为2． ∴s 2t=(2−t)2t =t 2−4t+4t=t +4t−4≥13，∴t +4t≥133，由t +4t =133，解得t =43或t =3(舍)， 由对勾函数的单调性可知，当t 有最大值为a +c =43时，s 2t有最小值为13， 即1+c =43，得c =13． ∴m =1−(13)²=89． 故选：B ．由题意画出图形，再由|PF 2|2|PF 1|的最小值为13，结合对勾函数的单调性可知当|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取最大值为a +c 时成立，求得c 值，即可求出m ．本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，训练了利用“对勾函数”的单调性求函数最值，是中档题．9.【答案】ACD【解析】解：A.由直线l ：(t +2)x +(t −1)y +3=0，令t +2=0，可得t =−2，直线化为：y −1=0，此时直线的斜率为0，正确；B .令t −1=0，解得t =1，直线化为：x +1=0，此时直线的斜率不存在，不正确；C .t =−0.5时，直线的倾斜角θ满足：tanθ=2−0.51−(−0.5)=1，可得θ=π4，正确； D .直线l ：(t +2)x +(t −1)y +3=0，化为：t(x +y)+2x −y +3=0，令{x +y =02x −y +3=0，解得{x =−1y =1，因此直线经过定点Q(−1,1)，当PQ ⊥l 时，点P(1,3)到直线l 的距离取得最大值|PQ|=√(−1−1)2+(1−3)2=2√2，正确． 故选：ACD ．A .由直线l ：(t +2)x +(t −1)y +3=0，令t +2=0，解得t ，即可判断出正误；B .令t −1=0，解得t ，即可判断出正误；C .t =−0.5时，利用直线的倾斜角与斜率的关系即可判断出正误；D .直线l ：(t +2)x +(t −1)y +3=0，化为：t(x +y)+2x −y +3=0，令{x +y =02x −y +3=0，解得直线经过定点Q ，当PQ ⊥l 时，点P 到直线l 的距离取得最大值|PQ|，即可判断出正误本题考查了直线过定点问题、斜率的计算公式及其应用、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：将△ADE 沿DE 折起，使A 到A′，且平面A′DE ⊥平面BCDE ，连接A′B ，A′C ． ∴EB ，ED ，EA′两两垂直，以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，对于A ，B(1,0,0)，D(0,√3,0)，A′(0,0,1)，C(2,√3,0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，A′C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,−1)，∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A′C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+3=1≠0，∴BD 与A′C 不垂直，故A 错误； 对于B ，取CE 中点F ，连接DF ，∵DE ⊥DC ，∴FE =FD =FC =12CE =12√3+4=√72，过F 作FO ⊥平面CDE ，四面体A′CDE 的外接球球心O 在直线OF 上，设OF =t ，由OD =OA′=R ，得74+x 2=74+(1−x)2，解得x =12，∴R =√74+14=√2，∴四面体A′CDE 的外接球表面积为：S =4πR 2=8π，故B 正确； 对于C ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，A′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−1)， 设BC 与A′D 所成角的为θ， 则cosθ=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|A′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√4⋅√4=34， ∴BC 与A′D 所成角的余弦值为34，故C 正确；对于D ，A′B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，A′C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3,0)，A′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−1)， 设平面A′CD 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅A′C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +√3y =0n ⃗ ⋅A′D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3y −z =0，取x =√3，得n ⃗ =(√3,−2,−2√3)，∴直线A′B 与平面A′CD 所成角的正弦值为： sinθ=|A′B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||A′B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3√3√2⋅√19=3√11438，故D 错误．故选：BC ．将△ADE 沿DE 折起，使A 到A′，且平面A′DE ⊥平面BCDE ，连接A′B ，A′C ，则EB ，ED ，EA′两两垂直，以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间位置关系等基础知识，主要考查数学运算、逻辑推理等能力，是中档题．11.【答案】ABC【解析】解：x 0=12，y 0=12，m =1，曲线C ：x 2+y 2=1，则对于直线l ：x +y =2，圆的圆心到直线的距离为：√2=√2，所以直线l 与曲线C 没有交点，所以A 正确； x 0=12，y 0=1，m =−1，曲线C ：x 2−y 2=1，则对于直线l ：x −2y =2，直线经过(2,0)与(0,−1)，双曲线的渐近线方程为y =±x ，所以直线与双曲线有两个交点，所以B 正确；x 0=12，y 0=√62，m =12，直线l ：2x +√6y =4与曲线C ：x 2+12y 2=1，联立，消去y 可得：4x 2−4x +1=0，解得x =12，所以直线l 与曲线C 有一个交点，所以C 正确； 由B 、C 选项，可知直线l 与曲线C 的位置关系和P 在哪里有关，所以D 不正确． 故选：ABC ．通过x 0、y 0、m 的值，判断曲线与直线的位置关系，判断选项的正误即可．本题考查切线与方程的位置关系的应用，直线与双曲线以及直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．12.【答案】BD【解析】 【分析】本题考查椭圆的方程和性质，向量的数量积，属于较难题． 由题意可得a ，由点P(√2,1)在椭圆内部，解得√2<b <2． 对于A ：e =ca∈(0,√22)，即可推出A 是否正确； 对于B ：|QF 1|+|QP|=4−|QF 2|+|QP|≤4+|PF 2|，当点Q ，F 2，P 共线且Q 在x 轴下方时，取得等号，即可判断B 是否正确；对于C ：若QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|OQ|=c ，但是c =ae ∈(0,√2)，b ∈(√2,2)，推出|OQ|min =b >c ，即可判断C 是否正确；对于D ：由基本不等式可得(|QF 1|+|QF 2|)(1|QF 1|+1|QF 2|)≥4，又|QF 1|+|QF 2|=4，即可判断D 是否正确． 【解答】解：因为长轴长为4， 所以2a =4，即a =2， 因为点P(√2,1)在椭圆内部， 所以222+1b 2<1，即√2<b <2， 对于A ：e =c a =√1−(b a)2∈(√1−(22)2,(√22)，所以e ∈(0,√22)，故A 不正确；对于B ：|QF 1|+|QP|=4−|QF 2|+|QP|≤4+|PF 2|， 当点Q ，F 2，P 共线且Q 在x 轴下方时，取得等号， 由e =√24，即ca =c2=√24，解得c =√22，所以F 2(√22,0)，所以|PF 2|=(√22)=√62，所以|QF 1|+|QP|的最大值为4+√62，故B 正确；对于C ：若QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|OQ|=12|F 1F 2|=c ， 由A 选项知，c =ae ∈(0,√2)，b ∈(√2,2)， 所以|OQ|min =b >c ，所以不存在Q 使得QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故C 不正确； 对于D ：(|QF 1|+|QF 2|)(1|QF 1|+1|QF 2|)=(2+|QF 2||QF 1|+|QF 1||QF 2|)≥2+2=4，当且仅当|QF 1|=|QF 2|=2时，等号成立， 又|QF 1|+|QF 2|=4，所以1|QF 1|+1|QF 2|≥1，故D 正确．故选：BD ．13.【答案】(−∞,−1)∪(2,12)【解析】解：点P(1,1)，圆C ：x 2+y 2−2mx +4y +m +6=0，即(x −m)2+(y +2)2=m 2−m −2，若过点P 作圆C 的切线有两条，则点P 在圆C 外部，∴{12+12−2m +4+m +6>0m 2−m −2>0，解得m <−1或2<m <12． ∴实数m 的取值范围是(−∞,−1)∪(2,12)． 故答案为：(−∞,−1)∪(2,12)．化圆的方程为标准方程，由题意，点P 在圆C 外部，由此可得关m 的不等式组求解． 本题考查了点与圆的位置关系的应用问题，解题时应利用点到圆心的距离与半径的关系进行判断，是基础题．14.【答案】[0,4√2)【解析】解：由题意，直线(2+λ)x −(1+λ)y −2(3+2λ)=0，可得{2x −y −6=0x −y −4=0，解得{x =2y =−2，直线过定点Q(2,−2)，PQ ⊥l 时，d 取得最大值√(−2−2)2+(2+2)2=4√2， 直线l 过P 时，d 取得最小值0， ∴d 的取值范围[0,4√2]， 故答案为：[0,4√2].由题意，直线过定点Q(2,−2)，PQ ⊥l 时，d 取得最大值，直线l 过P 时，d 取得最小值0，可得结论．本题考查求d 的取值范围，正确运用点到直线的距离公式是关键．15.【答案】30【解析】解：如图，过B 作BB 1⊥α，交α于B 1，过A 作AA 1⊥α，交α于A 1，因为在Rt △ABC 中，∠ACB =π2,BC =20,AB =40，则AC =√AB 2−BC 2=20√3，当A ，B ，B 1，C 四点共面时，点A 到α的距离最大．因为BB 1⊥α，所以∠BCB 1是BC 与平面α所成的角，则∠BCB 1=π6，则∠ACA 1=π3， 于是，AA 1=AC ×sin π3=20√3×√32=30，即A 到α的最大距离为30． 故答案为：30．过B 作BB 1⊥α，交α于B 1，过A 作AA 1⊥α，交α于A 1，然后判断出当A ，B ，B 1，C 四点共面时，点A 到α的距离最大，进而算出AC ，最后得到答案．本题主要考查空间中距离的求解，立体几何最值的处理方法等知识，属于基础题．16.【答案】8【解析】解：设P(x 0,y 0)，则x 022+y 02=1，即x 02=2−2y 02， PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(−NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(−NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−1． 由圆N ：x 2+(y −2)2=1，得N(0,2)，∴NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=x 02+(y 0−2)2=2−2y 02+(y 0−2)2=(−y 0+2)2+10．由题意，y 0∈[−1,1]，∴当y 0=−1时，NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2取得最大值9， 则PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为8． 故答案为：8．由题意画出图形，利用向量的加法、减法及数量积运算把PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 变形，转化为求NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的最大值求解．本题考查椭圆的几何性质，考查圆与椭圆位置关系的应用，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】解：(1)设C(x,y)，∵动点C 与两个定点A(0,0)，B(3,0)的距离之比为√22，∴|AC||BC|=√x 2+y 2√(x−3)2+y2=√22，化简整理可得，x 2+y 2+6x −9=0，故动点C 的轨迹方程T 为x 2+y 2+6x −9=0． (2)设D(x,y)，∵B(3,0)，D 为边BC 的中点， ∴C(2x −3,2y)，将C(2x −3,2y)，代入方程x 2+y 2+6x −9=0， 可得(2x −3)2+(2y)2+6(2x −3)−9=0， 化简得x 2+y 2=92(y ≠0))，故点D 的轨迹方程为x 2+y 2=92(y ≠0))．【解析】(1)设C(x,y)，根据已知条件，结合两点之间的距离公式，即可求解． (2)设D(x,y)，由B(3,0)，D 为边BC 的中点，求出C 点的坐标，将C 点的坐标代入到(1)中的方程，即可求解．本题主要考查轨迹方程的求解，掌握点到直线的距离公式是解本题的关键，属于基础题．18.【答案】(1)证明：在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，有AA 1⊥A 1B 1，又因为AE ⊥A 1B 1，AA 1∩AE =A ，AA 1，AE ⊂平面AA 1C 1C ， 所以A 1B 1⊥平面AA 1C 1C ，又A 1C 1⊂平面AA 1C 1C ， 则A 1B 1⊥A 1C 1，故AB ⊥AC ，AB ⊥AA 1，AC ⊥AA 1， 以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C(2,0,0)，B(0,0,2)，A(0,0,0)，A 1(0,2,0)，F(1,0,1)，E(2,1,0)， 设D(0,2,t)，则FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,t −1),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0)， 因为FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,t −1)⋅(2,1,0)=0， 故DF ⊥AE ；(2)解：当D 为A 1B 1的中点时，D(0,2,1)， 又EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1),FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,0)， 设平面DEF 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +y −z =0x −2y =0， 令y =1，则x =2，z =3，故n⃗=(2,1,3)，取平面ABC的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(0,1,0)，则|cos<n⃗,m⃗⃗⃗ >|=|n⃗⃗ ⋅m⃗⃗⃗ ||n⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |=1√4+1+9×1=√1414，故平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为√1414．【解析】(1)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和两条直线的方向向量的坐标，利用向量的数量积为0，即可证明；(2)利用待定系数法求出平面DEF的法向量，取平面ABC的一个法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可．本题考查了空间向量在立体几何中的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：圆C的方程化为标准式为：(x−2)2+(y−2)2=4，(1)当斜率不存在时，x=1代入圆方程得y=2±√3，弦长为2√3，满足条件；当斜率存在时，设l：y=k(x−1)，即kx−y−k=0，圆心到直线l的距离d=|2k−2−k|√1+k2=1，解得：k=34，∴y=34(x−1)，所以直线l方程为3x−4y−3=0或x=1，(2)当QC⊥l′时，四边形QACB面积取得最小值，∵|QC|min=√32+42=4，∴|QA|min=√16−4=2√3，S QACB=2⋅12⋅|QA|min⋅|AC|=|QA|min⋅2=4√3．【解析】(1)求出圆心坐标和半径，讨论斜率不存在时直线满足题意，然后设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示出弦长求得参数得直线方程； (2)面积最小，则切线长最小，从而圆心到直线的距离最小，因此只要QC ⊥l′时，四边形QACB 面积取得最小值，由此求得切线长，得最小面积．本题主要考查圆的弦长公式，直线与圆的位置关系，圆中的最值问题等知识，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)设AC 与BD 交于O ，如图以O 为原点，OA ，OB ，为x 轴，y 轴，过O 作面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(√3,0,0)，B(0,1,0)，C(−√3,0,0)，D(0,−1,0)，D 1(0,−1,2)， 设E(0,1,2+ℎ)，则D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,ℎ)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,0)，D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−2)， ∵D 1E ⊥平面D 1AC ，∴D 1E ⊥AC ，D 1E ⊥D 1A ， ∴2−2ℎ=0，∴ℎ=1，即E(0,1,3)， ∴D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,3)， 设平面EAC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则由{m ⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x =0m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +y +3z =0，令z =−1，得m⃗⃗⃗ =(0,3,−1)， ∵D 1E ⊥面D 1AC ，∴平面D 1AC 的法向量为D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，∴cos <m ⃗⃗⃗ ,D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=m⃗⃗⃗ ⋅D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5√10⋅√5=√22， ∴二面角E −AC −D 1的大小为45°． (Ⅱ)设D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，得D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1+λD 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2λ1+λ,λ1+λ)，∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,0)+(0,2λ1+λ,λ1+λ)=(−√3,λ−11+λ,λ1+λ)，∵A 1P//面EAC ，∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗⃗ ，∴−√3×0+3×λ−11+λ+(−1)×λ1+λ=0， 解得λ=32，∴存在点P 使A 1P//面EAC ，此时D 1P ：PE =2：3．【解析】(Ⅰ)设AC 与BD 交于O ，以O 为原点，OA ，OB ，为x 轴，y 轴，过O 作面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −AC −D 1的大小． (Ⅱ)设D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，得D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2λ1+λ,λ1+λ)，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,λ−11+λ,λ1+λ)，由此能求出存在点P 使A 1P//面EAC ，此时D 1P ：PE =2：3．本题考查二面角的大小的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21.【答案】解：建立以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，(1)设假想敌舰的位置P(x,y)，由题意可知PB −PA =v 0×4v 0=4，由圆锥曲线的定义可知，该曲线是以A ，B 为焦点，4为实轴长的双曲线的左支， 即，2a =4，c =3，∴b =√5， ∴P 点的轨迹方程为：x 24−y 25=1(x ≤−2)，(2)设方程x 24−y 25=1(x ≤−2)上一点M(−2cosθ,√5tanθ)，θ∈(−π2,π2)，由题意知，求出MC 的最短距离即可， MC =√(0+2cosθ)2+(3−√5tanθ)2=√9tan 2θ−6√5tanθ+13=√(3tanθ−√5)2+8，由θ∈(−π2,π2)，可得tanθ∈R ， ∴MC min =√8=2√2．【解析】(1)设假想敌舰的位置P(x,y)，由题意可知PB −PA =v 0×4v 0=4，由圆锥曲线的定义可知，点P 的轨迹是双曲线的一支，可求出轨迹方程；(2)由题意可知，求无人机飞行的距离最少，即求C 点与轨迹上的点的距离最小，转化为两点间的距离最小．本题考查了圆锥曲线中的双曲线知识，轨迹方程的求法，最值问题，属于中档题．22.【答案】解：(1)可得焦点F(2,0)，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线PQ的方程为：y=k(x−2)，联立{x26+y22=1y=k(x−2)，化为：(1+3k2)x2−12k2x+12k2−6=0，∵点P的横坐标为1，∴x1=1，∴(1+3k2)−12k2+12k2−6=0，解得k2=53，∴x2=12k2−61+3k2=83．∴点Q的横坐标为83；(2)线段PQ的中点为N(x0,y0)，由(1)可得x1+x2=12k21+3k2，x1x2=12k2−61+3k2，∴x0=6k21+3k2，y0=k(x0−2)=−2k1+3k2．直线ON的方程为y=−13kx，联立{y=−13kxx=3，可得M(3,−1k)，∴k FM=−1k．∴MF⊥PQ．(3)|MF|=√1+1k2，|PQ|=√1+k2⋅√(x1+x2)−4x1x2=2√6(1+k2)1+3k2．∴|PQ||MF|=2√3⋅√(1+k2)⋅2k21+3k2≤2√3⋅1+k2+2k221+3k2=√3，故最小值为√3，当且仅当√2|k|=√1+k2，即k=±1时取等号，故|PQ|的最大值为√3．|MF|【解析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、中点坐标公式、弦长公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线PQ的方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，即可求出，(2)设线段PQ的中点为N(x0,y0).由(1)利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得N的坐标．联立可得M的坐标，可证明MF⊥PQ．(3)根据弦长公式求出|PQ|，利用基本不等式的性质即可得出．。
2021-2022学年四川省成都市郫都区高二（上）期中化学试卷一、单选题（本大题共24小题，共48.0分）1.2021年9月24日，中国科学家在国际学术期刊《科学》上发表一项重大成果——首次在实验室用二氧化碳人工合成淀粉，生物酶催化剂是这项技术的关键因素。
以下说法错误的是()A. 淀粉和酶都属于有机高分子化合物B. 使用生物酶大大提高了人工合成淀粉的速率C. 催化剂能降低化学反应的反应热D. 人工合成淀粉有利于推进“碳中和”目标的实现2.下列物质的分类按强电解质、弱电解质、非电解质的顺序组合全部正确的是()A. NaCl、HF、Cl2B. NaHSO4、NaHCO3、CCl4C. Ba(OH)2、NH3、CuD. BaSO4、H2S、C2H5OH3.设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是()A. 室温下，1LpH=13的Ba(OH)2溶液中含有的OH−数目为0.1N AB. 2molSO2和1molO2在一定条件下充分混合，生成SO2分子数为2N AC. 室温下，1L1mol/L的醋酸溶液中所含的醋酸分子数为N AD. 1mol/L的氨水溶液中所含的N原子目为N A4.研究化学反应进行的方向对于反应设计等具有重要意义，下列说法正确的是()A. ΔH<0、ΔS>0的反应在温度低时不能自发进行B. 2CaCO3(s)+2SO2(g)+O2(g)=2CaSO4(s)+2CO2(g)在低温下能自发进行，则该反应的ΔH<0C. 常温下反应2Na2SO3(s)+O2(g)=2Na2SO4(s)能自发进行，则ΔH>0D. 在其他外界条件不变的情况下，汽车排气管中使用催化剂，可改变产生尾气的反应方向5.下列方程式书写正确的是()A. HCO3−在水溶液中的电离方程式：HCO3−+H2O⇌H3O++CO32−B. H2SO3的电离方程式H2SO3⇌2H++SO32−C. 熔融NaHSO4的电离方程式：NaHSO4=Na++H++SO42−D. CaCO3的电离方程式：CaCO3⇌Ca2++CO32−6.常温下，下列各组离子一定能在指定溶液中大量共存的是()A. 澄清透明的溶液中：Cu2+、Fe3+、SO42−、Mg2+=12的溶液中：Fe2+、Al3+、NO3−、SO42−B. 常温下，lg c(H+)c(OH−)C. 能使甲基橙试液显红色的溶液中：NH4+、Mg2+、ClO−、NO3−D. 水电离的c(H+)=1×10−13mol/L的溶液中：K+、Na+、SO32−、CO32−7.下列事实不能用勒夏特列原理解释的是()A. 用排饱和食盐水法收集Cl2B. 红棕色NO2气体加压后颜色先变深后变浅C. 500℃时比室温更有利于合成氨的反应D. 工业制取金属钾Na(l)+KCl(l)⇌NaCl(l)+K(g)选取适宜的温度，使K变成蒸气从反应混合物中分离出来8.已知反应A2(g)+B2(g)=2AB(g)的能量变化如图所示，判断下列叙述中不正确的是()A. 每生成2分子AB放出bkJ热量B. 断裂1mol A−A键和1mol B−B键，吸收akJ能量C. 该反应热为(b−a)kJ⋅mol−1D. 该反应中反应物的总能量低于产物的总能量9.下列热化学方程式中，正确的是()A. 甲烷的燃烧热为890.3kJ⋅mol−1，则甲烷燃烧的热化学方程式可表示为：CH4(g)+2O2(g)=CO2(g)+2H2O(g)△H=−890.3kJ⋅mol−1B. 500℃、30MPa下，将0.5mol N2和1.5molH2置于密闭容器中充分反应生成NH3(g)，放热19.3kJ，其热化学方程式为：N2(g)+3H2(g)⇌2NH3(g)△H=−38.6kJ⋅mol−1C. HCl和NaOH反应的中和热△H=−57.3kJ⋅mol−1，则H2SO4和Ca(OH)2反应的中和热△H=2×(−57.3)kJ⋅mol−1D. 在101kPa时，2gH2完全燃烧生成液态水，放出285.8lkJ热量，氢气燃烧的热化学方程式表示为2H2(g)+O2(g)=2H2O(1)△H=−571.6kJ⋅mol−110.对反应2A(g)+B(s)⇌3C(g)+4D(g)来说，下列反应速率最快的是()A. v(A)=0.5mol/(L⋅min)B. v(B)=0.01mol/(L⋅s)C. v(C)=1.0mol/(L⋅min)D. v(D)=1.2mol/(L⋅min)11.NH3催化还原NO是重要的烟气脱硝技术，其反应过程与能量关系如图1；研究发现在以Fe2O3为主的催化剂上可能发生的反应过程如图2。
2021-2022学年黑龙江省哈工大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知复数z=1+3i1−i，则z−的虚部为()A. 1B. 2C. −2D. −12.已知直线x+ay−1=0和直线ax+4y+1=0互相平行，则a等于()A. 2B. −2C. ±2D. 03.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列命题正确的为()①若m//β，n//α，则α//β；②若m⊥β，n⊥α，则α⊥β；③若α//β，则m//β，n//α；④若α⊥β，则m⊥β，n⊥α．A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，则C的渐近线方程为()A. y=±2xB. y=±12x C. y=±13x D. y=±14x5.已知函数f(x)=e x+(x+1)2，则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是()A. 12B. 23C. 1D. 26.若方程x29−k +y2k−1=1表示椭圆C，则下面结论正确的是()A. k∈(1,9)B. 椭圆C的焦距为2√2C. 若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(1,5)D. 若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(5,9)7.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F斜率为√3的直线l′与抛物线C交于点M(M在x轴的上方)，过M作MN⊥l于点N，连接NF交抛物线C于点Q，则|NQ||QF|=()A. 2B. √2C. 1D. 128.若点P是曲线y=x2−1nx上任一点，则点P到直线y=x−1的最小距离是()A. √2B. 1C. √22D. √3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是()A. (−1,3)为函数y=f(x)的递增区间B. (3,5)为函数y=f(x)的递减区间C. 函数y=f(x)在x=0处取得极大值D. 函数y=f(x)在x=5处取得极小值10.已知曲线C：x24−m +y22+m=1，则()A. m=2时，则C的焦点是F1(0,√2)，F2(0,−√2)B. 当m=6时，则C的渐近线方程为y=±2xC. 当C表示双曲线时，则m的取值范围为m<−2D. 存在m，使C表示圆11.已知圆O：x2+y2=4和圆M：x2+y2+4x−2y+4=0相交A，B两点，下列说法正确的为()A. 两圆有两条公切线B. 直线AB的方程为y=2x+4C. 线段AB的长为65D. 圆O上点E，圆M上点F，|EF|的最大值为√5+312.已知椭圆C：x216+y29=1上有一点P，F1、F2分别为左、右焦点，∠F1PF2=θ，ΔPF1F2的面积为S，则下列选项正确的是()A. 若S=9，则θ=90°B. 若S=3，则满足题意的点P有四个C. 椭圆C内接矩形周长的最大值为20D. 若ΔPF1F2为钝角三角形，则S∈(0,9√74)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 椭圆C ：y 23+x 22=1的离心率为______．14. 设两点A(4,9)，B(6,3)，则以AB 为直径的圆的方程为______ ．15. 已知M(x 0,y 0)是抛物线y 2=4x 上一点，F 是抛物线的焦点，若点P(−1,0)满足MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，则x 0的取值范围是______．16. 已知函数f(x)={1+lnx,x ≥112x +12,x <1，若x 1≠x 2，且f(x 1)+f(x 2)=2，x 1+x 2−a ≥2恒成立，则实数a 的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知√3bcosC =csinB ．(1)求角C ；(2)若b =2，△ABC 的面积为2√3，求c ．18. 已知圆C ：(x −3)2+(y −4)2=36−m ，其中m ∈R ．(1)如果圆C 与圆x 2+y 2=1外切，求m 的值；(2)如果直线x +y −3=0与圆C 相交所得的弦长为4√5，求m 的值．19. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数x−(单位：分钟)；(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)(2)采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E为BC的中点，F为PC的中点．(1)求证：平面AEF⊥平面PAD；(2)若PA=AB=2，求平面AEF与平面CEF夹角的余弦值．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的中心是坐标原点O ，左、右焦点分别为F 1、F 2，设P 是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|=12，椭圆C 的离心率为√32．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 左焦点F 1且不与x 轴重合的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求△ABF 2内切圆半径的最大值．22. 已知函数f(x)=−12x 2+ax −lnx ，a ∈R ．(1)当a =1时，求函数f(x)在x =1处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性；(3)当函数f(x)有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2.证明：4f(x 1)−2f(x 2)≤1+3ln2．答案和解析1.【答案】C【解析】解：z=1+3i1−i =(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−2+4i2=−1+2i，则z−=−1−2i，故z−的虚部为−2，故选：C．根据复数的四则运算，进行化简，即可得到结论．本题主要考查复数的有关概念，利用复数的运算先化简是解决本题的关键，比较基础．2.【答案】C【解析】解：∵直线x+ay−1=0和直线ax+4y+1=0互相平行，∴a2−4=0，解得a=±2，经过检验a=±2都满足条件，∴a=±2．故选：C．直线x+ay−1=0和直线ax+4y+1=0互相平行，可得a2−4=0，解得a，经过验证即可得出a的值．本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，对于①，若m//β，n//α，且m⊂α，n⊂β，且m和n为异面直线，则α//β，故①错误；对于②，若m⊥β，n⊥α，且m⊂α，n⊂β，则α⊥β，故②正确；对于③，若α//β，且m⊂α，n⊂β，根据面面平行的性质，则m//β，n//α，故③正确；对于④，若α⊥β，且m⊂α，n⊂β，则当m和n垂直于交线时，则m⊥β，n⊥α.故④错误．直接利用线面垂直和线面平行的判定和性质的应用及面面平行和面面垂直的判定和性质的应用确定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：线面垂直和线面平行的判定和性质的应用，主要考查学生的空间想象性能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：因为双曲线的离心率公式e=ca =√1+a2b2=√5，∴ab=±2，∵双曲线的渐近线方程为：x2a2−y2b2=0．∴y=±abx∴y=±2x．故选：A．根据离心率公式e=ca，求出a，b的关系，继而得到渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质，求得ab是关键，考查分析、运算能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：由f(x)=e x+(x+1)2，得f′(x)=e x+2x+2，∴f′(0)=3，又f(0)=2，∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=3x+2．取x=0，得y=2，取y=0，得x=−23，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积是S=12×2×|−23|=23．故选：B．求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数，再求出f(0)，利用直线方程的斜截式得到切线方程，然后分别求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查三角形面积的求法，是基础题．【解析】解：当焦点在x轴上时，9−k>k−1>0，解得k∈(1,5)；当焦点在y轴时，可得k−1>9−k>0，解得k∈(5,9)，所以C正确，D不正确；A不正确；焦点坐标在x轴时，焦距为：2√10−2k.焦点坐标在y轴时，2√2k−10，所以B不正确；故选：C．利用方程表示椭圆，求出k的范围，焦距，判断焦点所在轴，判断选项的正误．本题考查椭圆的简单性质的应用，注意分类讨论思想的应用，是基础题．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质，考查直线和抛物线的方程联立，考查数形结合和计算能力，是中档题．由题意画出图形，写出直线l′的方程，与抛物线方程联立求出M的坐标，进一步求出Q的坐标，求得QF即可求解．【解答】解：如图，由抛物线C：y2=2px，得F(p2,0)，则MF：y=√3(x−p2)，与抛物线y2=2px联立得3x2−5px+34p2=0，解得M(3p2,√3p)，x A=p6，∵直线MF的斜率为√3，则tan∠MFx=√3，则∠MFx=60°，∵MN⊥l，∴∠NMF=60°，结合抛物线定义得△NMF为等边三角形，∴MN=NF=MF=x M+p2=2p，∵∠NFO=∠OFA=60°，Q和A关于x轴对称，∴横坐标相同，故x Q=p6，∴QF=p6+p2=2p3，∴NQ=2p−23p=4p3，则|NQ||QF|=2，故选：A．8.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，此题是一道基础题；对曲线y进行求导，求出点p的坐标，分析知道过点p直线与直线y=x−1平行且与曲线相切于点p，从而求出p点坐标，根据点到直线的距离进行求解．【解答】解：∵点P是曲线y=x2−lnx上的任意一点，求点P到直线y=x−1的最小距离，∴y′=2x−1x(x>0)，令y′=2x−1x =1，解得x=1或x=−12(舍去)，∴x=1，当x=1，y=1，点p(1,1)，此时点p到直线y=x−1的最小距离d min=√2=√22．故选：C．9.【答案】ABD【解析】解：由函数y=f(x)导函数的图象可知：当x<−1或3<x<5时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当−1<x<3或x>5时，f′(x)>0，f(x)单调递增；所以f(x)的单调减区间为(−∞,−1)，(3,5)，B正确；单调增区间为(−1,3)，(5,+∞)，A正确；f(x)在x=−1，5处取得极小值，在x=3处取得极大值，C错误，D正确．故选：ABD．利用导数与函数单调性的关系以及函数在某点取得极值的条件，判断正误即可．本题考查了函数的单调性与极值问题，也考查了数形结合与转化思想，是基础题．10.【答案】ABD【解析】解：m=2时，曲线C：x22+y24=1，则C的焦点是F1(0,√2)，F2(0,−√2)，所以A正确；当m=6时，曲线C：y28−x22=1，则C的渐近线方程为y=±2x，所以B正确；当C表示双曲线时，可得：(4−m)(2+m)<0，解得m>4或m<−2，所以C不正确；m−4=2+m，解得m=1，所以存在m，使C表示圆，所以D正确；故选：ABD．通过m的值或范围，判断曲线的形状，转化求解即可．本题考查曲线与方程的应用，椭圆以及双曲线的简单性质的应用，是基础题．11.【答案】ABD【解析】解：根据题意，圆O：x2+y2=4，其圆心为(0,0)，半径R=2，圆M：x2+y2+4x−2y+4=0，即(x+2)2+(y−1)2=1，其圆心为(−2,1)，半径r=1，圆O：x2+y2=4和圆M：x2+y2+4x−2y+4=0相交A，B两点，有两条公切线，故A正确；联立圆O：x2+y2=4和圆M：x2+y2+4x−2y+4=0，消去二次项，可得直线AB的方程为4x−2y+8=0，即y=2x+4，故B正确，圆O：x2+y2=4到直线y=2x+4的距离为：√1+4=4√55，线段AB的长为：2√4−165=4√55，所以C不正确；|圆O上点E，圆M上点F，|EF|的最大值为：2+1+√(−2−0)2+(1−0)2=√5+3，所以D正确，故选：ABD．根据题意，由圆的方程分析两圆的圆心和半径，由此依次分析4个选项，即可得答案． 本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】BCD【解析】解：对于椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，∠F 1PF 2=θ，则{r 1+r 2=2a 4c 2=r 12+r 22−2r 1r 2cosθ， 由此可得r 1r 2=2b 21+cosθ(1)，所以△PF 1F 2的面积S =12r 1r 2sinθ=12⋅2b 21+cosθ⋅sinθ=b 2⋅sinθ1+cosθ=b 2tan θ2， 对于A ：由(1)知2b 21+cosθ=r 1r 2≤(r 1+r 22)2=a 2，(当且仅当r 1=r 2即点P 是短轴端点时取等号)， 所以cosθ≥2b 2a 2−1=18，因此θ不可能是90°， 故A 错误；对于B ：设P(x 0,y 0)，若S =3，则S =12F 1F 2×|y 0|=12×2√7×|y 0|=3， 则|y 0|=3√77<3，所以这样的点P 有四个， 故B 正确，对于选项C ：令{x =4cosαy =3sinα,α∈(0,π2)， 则椭圆内接矩形的周长为4(3sinα+4cosα)=20sin(α+φ)， 其中锐角φ满足 sinφ=45,cosφ=35， 由α∈(0,π2)得，所以α+φ∈(φ,π2+φ)， 周长的范围是(20sin(π2+φ),20sin π2], 即(12,20]， 故 C 正确，对于选项D ：由以上分析可知，θ不可能是钝角， 由对称性不妨设∠PF 1F 2是钝角．先考虑临界情况，当∠PF 1F 2=90°时，易得|y P |=94， 此时S =12|F 1F 2|⋅|y P |=c ⋅|y P |=9√74，结合图形可知，当∠PF 1F 2是钝角时，0<S <9√74，故D 正确；故选：BCD ．用椭圆的焦点三角形和内接矩形等知识，分别对四个选项判断即可．本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，及椭圆中焦点三角形的面积问题，考查了学生的综合能力，属于难题．13.【答案】√33【解析】解：由椭圆C ：y 23+x 22=1得a 2=3，b 2=2，解得a =√3，c =√a 2−b 2=1， 所以离以率为e =√3=√33， 故答案为：√33．利用椭圆的性质求a ，c ，即可求得离心率． 本题考查椭圆的性质，属基础题．14.【答案】(x −5)2+(y −6)2=10【解析】解：设以AB 为直径的圆的圆心为C(a,b)，则{a =4+62b =9+32，解得a =5，b =6.∴C(5,6)． ∴圆的半径r =|AC|=√(4−5)2+(9−6)2=√10． ∴以AB 为直径的圆的方程为(x −5)2+(y −6)2=10．故答案为(x −5)2+(y −6)2=10．设以AB 为直径的圆的圆心为C(a,b)，利用中点坐标公式即可得到a ，b.再利用两点间的距离公式可得圆的半径r =|AC|，进而得到圆的标准方程．本题考查了中点坐标公式、两点间的距离公式、圆的标准方程等基础知识与基本技能方法，属于基础题．15.【答案】[0,√5−2)【解析】解：∵F 是抛物线y 2=4x 的焦点，∴F(1,0)． ∵MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，∴(1−x 0,−y 0)⋅(−1−x 0,−y 0)=x 02−1+y 02<0， 又y 02=4x 0， ∴x 02+4x 0−1<0，解得−2−√5<x 0<√5−2， 又x 0≥0，∴0≤x 0<√5−2，∴x 0的取值范围是[0,√5−2)， 故答案为：[0,√5−2)．利用数量积运算性质、抛物线的标准方程、不等式的解法即可得出．本题考查了数量积运算性质、抛物线的标准方程、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】(−∞,1−2ln2]【解析】解：当x ≥1时，1+lnx ≥1；当x <1时，12x +12<1， 因为f(x 1)+f(x 2)=2，所以x 1，x 2不可能都大于或等于1，或都小于1， 不妨设x 1≥1，x 2<1，则f(x 1)+f(x 2)=1+lnx 1+12x 1+12=2， 即x 2=1−2lnx 1，则x 1+x 2=x 1+1−2lnx 1， 令g(x)=x +1−2lnx ，x ≥1，则g′(x)=x−2x由g′(x)>0，得x >2；由g′(x)<0，得1≤x <2，所以g(x)=x +1−2lnx 在[1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，且当x →+∞时，g(x)→+∞，所以g(x)≥g(2)=3−21n2，即x1+x2≥3−2ln2．又x1+x2−a≥2恒成立，则a≤x1+x2−2=1−2ln2，故实数a的取值范围是(−∞,1−2ln2]．故答案为：(−∞,1−2ln2]．首先判断x1和x2的取值范围；再把x1+x2中的两个变量用一个变量来表示，并得出a≤x1+x2−2，构造函数求其取值范围即可．本题考查分段函数的应用，及导数的性质的应用，属于难题．17.【答案】解：(1)由正弦定理可得√3sinBcosC=sinCsinB，因为sinB≠0，所以√3cosC=sinC，所以tanC=√3，因为C∈(0,π)，所以C=π3．(2)由(1)得C=π3，因为S△ABC=12×absinC=√34ab=2√3，所以ab=8，因为b=2，所以a=4，由余弦定理得，c2=a2+b2−2abcosC=16+4−8=12，所以c=2√3．【解析】(1)由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanC=√3，结合范围C∈(0,π)，可求C的值．(2)由(1)及已知利用三角形的面积公式可求ab的值，进而可求a的值，利用余弦定理即可求解c的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)若两圆外切，则圆心距d=√32+42=√36−m+1，解得m=20；=2√2，(2)点C到直线的距离d=|3+4−3|√1+1则弦长=2√r2−d2=2√36−m−8=4√5，解得m=8．【解析】(1)根据两圆外切条件列出关于m的方程，解出即可；(2)求出圆心C到直线的距离，根据弦长公式表示出弦长，即可求得m．本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式，属于中档题．19.【答案】解：(1)根据频率分布直方图得：(0.01+2a+0.045+0.005)×10=1，∴a=0.02，∴ x−=(55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)×10=74；(2)由[50,60)，[60,70)，[80,90)的频率之比为：1：2：2，故抽取的5人中[50,60)，[60,70)，[80,90)分别为：1人，2人，2人，记[50,60)的1人为a，[60,70)的2人为b，c，[80,90)的2人为A，B，故随机抽取2人共有(a,b)，(a,c)，(a,A)，(a,B)，(b,c)，(b,A)，(b,B)，(c,A)，(c,B)，(A,B)10种，其中至少有1人每天阅读时间位于[80,90)的包含7种，．故概率P=710【解析】(1)根据频率分布直方图中的平均数的计算方法，即可解出；(2)根据分层抽样的计算方法分别计算出各个小组的抽取人数，再根据统计与概率的计算即可得出结果．本题考查了频率分布直方图，平均数，概率，学生的数学运算能力，属于基础题．20.【答案】(1)证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形，⋅所以AE平分∠ABC，所以∠EAD=180°−60°−1260°=90°，所以AE⊥AD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AE，且PA∩AD =A ，所以AE ⊥平面PA ，又AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面PAD ．(2)解：据题意，建立空间直角坐标系如图所示： 因为PA =PB =2，所以A(0,0,0)，E(√3,0,0)，P(0,0,2)，C(√3,1,0)，F(√32,12,1)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,1)， 令m⃗⃗⃗ =(0,2,−1)， 因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，所以m ⃗⃗⃗ 是平面AEF 的法向量， EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,12,1)， 令n ⃗ =(2,0,√3)，因为EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，所以n ⃗ 是平面CEF 的法向量， 设平面AEF 与平面CEF 夹角为θ，θ∈(0,π2]， cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√5⋅√7=√10535．【解析】(1)只要证明平面AEF 内直线AE 垂直于平面PAD 内两相交直线即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．21.【答案】(1)解：由题意P 是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|=12，离心率为√32． ∴{ ca =√32b 2a =12c 2=a 2−b 2，解得{a =2b =1c =√3．∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1；(2)解：由(1)可知F 1(−√3,0)，△ABF 2的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=4a =8， 设直线l 为x =my −√3，由{x =my −√3x 24+y 2=1，得(m 2+4)y 2−2√3my −1=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=2√3mm 2+4，y 1y 2=−1m 2+4．∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(2√3m m 2+4)2+4m 2+4=4√m 2+1m 2+4．∴S △ABF 2=12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|=4√3√m 2+1m 2+4，令内切圆的半径为R ， 则S △ABF 2=12×8×R =4R ，即R =√3√m2+1m 2+4，令t =√m 2+1，则R =√3t t 2+3=√3t+3t≤√32√3=12，当且仅当t =3t ，t =√3，即m =±√2时等号成立， ∴当m =±√2时，R 取得最大值12．【解析】(1)由题意列关于a ，b ，c 的方程组，求出a ，b ，即可得到椭圆方程； (2)由(1)可知△ABF 2的周长为8，设直线l 为x =my −√3，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系得到|y 1−y 2|，从而得到S △ABF 2=12|F 1F|⋅|y 1−y 2|，再根据S △ABF 2=12×8×R =4R ，可得R =√3√m 2+1m 2+4，再利用基本不等式求出最值即可．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】(1)解：当a =1时，f(x)=−12x 2+x −lnx ，f′(x)=−x +1−1x ，∴f′(1)=−1，又f(1)=−12+1=12，∴函数f(x)在x =1处的切线方程为y −12=(−1)(x −1)， 即2x +2y −3=0；(2)解：f(x)的定义域为(0,+∞)， f′(x)=−x +a −1x =−x 2−ax+1x，当a 2−4≤0，即−2≤a ≤2时，f′(x)≤0，此时f(x)在(0,+∞)上单调递减； 当a 2−4>0，即a <−2或a >2时， 若a >2，当x ∈(0,a−√a2−42)∪(a+√a 2−42,+∞)时，f′(x)<0，当x ∈(a−√a2−42,a+√a 2−42)时，f′(x)>0，∴f(x)在(0,a−√a2−42)，(a+√a 2−42,+∞)上单调递减，在(a−√a2−42,a+√a 2−42)上单调递增；当a <−2时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递减．综上所述，当a ≤2时，f(x)在(0,+∞)上单调递减， 当a >2时，f(x)在(0,a−√a2−42)，(a+√a 2−42,+∞)上单调递减，在(a−√a2−42,a+√a 2−42)上单调递增；(3)证明：由(2)知，当a >2时，f(x)有两个极值点x 1，x 2，且满足{x 1+x 2=ax 1x 2=1．由题意知，0<x 1<1<x 2，∴4f(x 1)−2f(x 2)=4(−12x 12+ax 1−lnx 1)−2(−12x 22+ax 2−lnx 2) =−2x 12+4ax 1−4lnx 1+x 22−2ax 2+2lnx 2=−2x 12+4x 1(x 1+x 2)−4lnx 1+x 22−2x 2(x 1+x 2)+2lnx 2 =2x 22−x 22+6lnx 2+2．令g(x)=2x 2−x 2+6lnx +2(x >1)， 则g′(x)=−4x3−2x +6x=−2(x 2−1)(x−√2)(x+√2)x 3则当x ∈(1,√2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x ∈(√2,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x)max =g(√2)=(√2)2(√2)2+6ln √2+2=1+3ln2．即4f(x 1)−2f(x 2)≤1+3ln2．【解析】(1)当a =1时，f(x)=−12x 2+x −lnx ，求其导函数，得到f′(1)，再求出f(1)，由直线方程的点斜式得答案；(2)求出原函数的导函数，然后对a 2−4≤0和a 2−4>0分类讨论，由导函数在不同区间内的符号可得原函数的单调区间；(3)由(2)知，当a >2时，f(x)有两个极值点x 1，x 2，且满足{x 1+x 2=a x 1x 2=1，由题意知，0<x 1<1<x 2，可得4f(x 1)−2f(x 2)=2x 22−x 22+6lnx 2+2.令g(x)=2x2−x 2+6lnx +2(x >1)，利用导数求其最大值得结论．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求最值，属难题．。
2021-2022学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∀x∈N，e x>sinx”的否定是()A. ∀x∈N，e x≤sinxB. ∀x∈N，e x<sinxC. ∃x0∈N，e x0>sinx0D. ∃x0∈N，e x0≤sinx02.抛物线y2=4x的准线方程是()A. y=116B. y=−116C. x=−1D. x=13.在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,−1,1)关于x轴对称的点的坐标为()A. (1,1,1)B. (1,1,−1)C. (−1,−1,−1)D. (1,−1,−1)4.设直线l1：ax+(a−2)y+1=0，l2：x+ay−3=0.若l1⊥l2，则a的值为()A. 0或1B. 0或−1C. 1D. −15.下列有关命题的表述中，正确的是()A. 命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是假命题B. 命题“若a为正无理数，则√a也是无理数”的逆命题是真命题C. 命题“若x=2，则x2+x−6=0”的逆否命题为“若x2+x−6≠0，则x≠2”D. 若命题“p∧q”，“p∨(￢q)”均为假命题，则p，q均为假命题6.执行如图所示的算法框图，则输出的结果是()A. 99100B. 100101C. 101100D. 991017.方程x2m+3+y21−m=1表示椭圆的充分不必要条件可以是()A. m∈(−3,1)B. m∈(−3,−1)∪(−1,1)C. m∈(−3,0)D. m∈(−3,−1)8.如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩(单位，分)进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是()A. 该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分B. 该同学8次测试成绩的众数是48分C. 该同学8次测试成绩的中位数是49分D. 该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关9.若椭圆x23+y24=1的弦AB恰好被点M(1,1)平分，则AB所在的直线方程为()A. 3x−4y+1=0B. 3x+4y−7=0C. 4x−3y−1=0D. 4x+3y−7=010.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔社”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为()A. 916B. 716C. 1332D. 113211.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.若双曲线右支上存在点P，使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且|PF1|=4|F1Q|，则双曲线的浙近线方程为()A. y=±xB. y=±43x C. y=±34x D. y=±√2x12. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C ：x 2+y 2=|x|+|y|流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 围成的图形的面积是2+π； ②曲线C 上的任意两点间的臥离不超过2；③若P(m,n)是曲线C 上任意一点，则|3m +4n −12|的最小值是17−5√22． 其中正确结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 椭圆x 2+2y 2=4的长轴长为______．14. 某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是05，那么第四位的编号是______．15. 根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x(单位：千亿元)和出口总额y(单位：千亿元)之间的一组数据如下：若每年的进出口总额x ，y 满足线性相关关系y ̂=b ̂x −0.84，则b ̂=______；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为______千亿元．16. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点F 1和F 2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，P 为两曲线的一个公共点，且|PF⃗⃗⃗⃗⃗ 1−PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |(O 为坐标原点).若e 1∈(√22,√32]，则e 2的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知△ABC 的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)．(Ⅰ)求AC 边所在的直线方程；(Ⅱ)求经过AB 边的中点，且与AC 边平行的直线l 的方程．18.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：(Ⅰ)若随机抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；(Ⅱ)若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生．现要从这5名学生中任取2名学生了解情况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．19.已知圆C的圆心为C(1,2)，且圆C经过点P(5,5)．(Ⅰ)求圆C的一般方程；(Ⅱ)若圆O：x2+y2=m2(m>0)与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．20.为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的得分(得分均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100](单位：分)，得到如下的频率分布直方图．(Ⅰ)求图中m的值，估计此次活动学生得分的中位数；(Ⅱ)根据频率分布直方图，估计此竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．21.已知抛物线E：x2=2py(p>0)的焦点为F，直线y=3与抛物线E在第一象限的交点为A，且|AF|=4．(Ⅰ)求抛物线E的方程；(Ⅱ)经过焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线E相交于P，Q两点，l2与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段PQ，MN的中点，求|FC|⋅|FD|的最小值．22. 已知点P 是圆C ：(x +√3)2+y 2=16上任意一点，A(√3,0)是圆C 内一点，线段AP的垂直平分线与半径CP 相交于点Q ．(1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹E 的方程；(2)设不经过坐标原点O ，且斜率为12的直线l 与曲线E 相交于M ，N 两点，记OM ，ON 的斜率分别是k 1，k 2，以OM ，ON 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2.当k 1，k 2都存在且不为0时，试探究S 1+S 2k1k 2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0∈N，e x0≤sinx0，故选：D．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2.【答案】C【解析】解：由已知抛物线方程可得：2p=4，所以p=2，=−1，即x=−1，所以准线方程为x=−p2故选：C．由已知抛物线方程以及求出p的值，进而可以求解．本题考查了抛物线的性质以及准线方程，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵点A(1,−1,1)，一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，∴点A(1,−1,1)关于x轴对称的点的坐标为(1,1,−1)故选：B．根据所给的点的坐标，知一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，写出点的坐标．本题考查空间中点的对称，是一个基础题，注意点在空间中关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标，这种题目通常单独作为一个知识点出现．4.【答案】A【解析】解：∵直线l1：ax+(a−2)y+1=0，l2：x+ay−3=0，l1⊥l2，∴a×1+(a−2)×a=0，解得a=0或a=1．故选：A．利用直线与直线垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：对于A：命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的逆命题是：“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”，该命题为真命题，由于逆命题和否命题等价，故否命题为真命题，故A错误；对于B：命题“若a为正无理数，则√a也是无理数”的逆命题是：若√a是无理数，则a也为无理数”是假命题，故B错误；对于C：命题“若x=2，则x2+x−6=0”的逆否命题为“若x2+x−6≠0，则x≠2”，故C正确；对于D：若命题“p∧q”，“p∨(￢q)”均为假命题，则p为假命题，q为真命题，故D 错误．故选：C．直接利用四种命题的转换和命题真假的判定的应用求出结果．本题考查的知识要点：命题真假的判定，四种命题的转换，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=1 1×2+12×3+...+1100×101的值，S=11×2+12×3+...+1100×101=(1−12)+(12−13)+...+(1100−1101)=1−1101=100101．故选：B．模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=11×2+12×3+...+1100×101的值，进而根据裂项法即可求解． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】D【解析】解：若方程x 2m+3+y 21−m=1表示椭圆，则{m +3>01−m >0m +3≠1−m ，解得：−3<m <1且m ≠−1， 则方程x 2m+3+y 21−m =1表示椭圆的充要条件是{m|：−3<m <1且m ≠−1}，则：方程x 2m+3+y 21−m =1表示椭圆的充分不必要条件所对应的集合必须是{m|：−3<m <1且m ≠−1}的真子集，选项D ，m ∈(−3,−1)符合条件． 故选：D ． 求得方程x 2m+3+y 21−m =1表示椭圆的条件，根据利用充分条件和必要条件的定义判断． 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及椭圆的方程，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由散点图得：对于A ，该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差为：56−38=18，超过15分，故A 正确；对于B ，该同学8次测试成绩的众数是48分，故B 正确； 对于C ，该同学8次测试成绩的中位数是：48+482=48分，故C 错误；对于D ，该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，故D 正确． 故选：C ．利用散点图、极差、众数、中位数、相关性直接求解．本题考查命题真假的判断，考查散点图、极差、众数、中位数、相关性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】D【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x123+y124=1，x223+y224=1，两式相减得：x12−x223+y12−y224=0，因为弦AB恰好被点M(1,1)平分，所以有x1+x2=2，y1+y2=2．所以直线AB的斜率k=y2−y1x2−x1=−43⋅x1+x2y2+y1=−43，因此直线AB的方程为y−1=−43(x−1)，即4x+3y−1=0，故选：D．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，平方差法的应用，考查计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：如图，设大正方形的边长为2，则最大的三角形是腰长为√2的等腰直角三角形，角上的三角形是腰长为1的等腰直角三角形，最小的三角形是腰长为√22的等腰直角三角形，∴白色部分的面积为：S 白=22−12×√2×√2−12×√22×√22−12×1×1=94，∴在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为：P=S白S正方形=944=916．故选：A．设大正方形的边长为2，求出白色部分的面积，利用几何概型能求出在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率．本题考查概率的运算，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】B【解析】解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为： F 1(−c,0)，F 2(c,0)，一条渐近线方程为bx −ay =0，可得F 2到渐近线的距离为|F 2Q|=|bc|√a 2+b 2=b ， 则|PF 2|=4b ，|PF 1|=4b −2a ，在直角三角形OF 2Q 中，cos∠QF 2O =|QF 2||OF 2|=bc ，在△PF 2F 1中，可得cos∠PF 2F 1=|F 1F 2|2+|PF 2|2−|PF 1|22|F 1F 2||PF 2|=4c 2+16b 2−(4b−2a)22×2c×4b=bc，化为3b =4a ，所以双曲线的渐近线方程为：y =±43x. 故选：B ．设出双曲线的焦点和一条渐近线方程，求得F 2到渐近线的距离，可得|PF 2|=4b ，|PF 1|=4b −2a ，由直角三角形的锐角三角函数和三角形的余弦定理，化简可得3b =4a ，可得渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查三角形的余弦定理和锐角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：曲线C ：x 2+y 2=|x|+|y|可知曲线关于原点，x ，y 轴对称， 当x ≥0，y ≥0时，可得x 2+y 2−x −y =0，可得(x −12)2+(y −12)2=12，所以可得是以C(12,12)为圆心，r =√22为半径的半圆，由此可作出曲线C 的图象，如图所示，所以曲线C 围成的图形的面积是√2×√2+2×π×(√22)2=2+π，故命题①正确；曲线上任意两点间距离的最大值为4×√22=2√2，故命题②错误；设圆心C 到直线3x +4y −12=0的距离为d =∣3×12+4×12−12∣22=1710，故曲线上任意一点P(m,n)到直线l 的距离的最小值为3m+4n−12√32+42最小值为1710−√22， 故|3m +4n −12|的最小值是17−5√22，故命题③正确． 故选：C ．由曲线方程知曲线关于原点，x ，y 轴对称，当x ≥0，y ≥0时，可得x 2+y 2−x −y =0，可得(x −12)2+(y −12)2=12，所以可得是以C(12,12)为圆心，r =√22为半径的半圆，由此可作出曲线C 的图象，从而通过运算可判断命题①②③的真假．本题考查命题真假的判断，以及考查由曲线方程研究曲线的相关性质，属中档题．13.【答案】4【解析】解：椭圆x 2+2y 2=4，可得x 24+y 22=1，可得a =2，所以椭圆长轴长为：4． 故答案为：4．化简椭圆方程为标准方程，然后求解长轴长即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．14.【答案】29【解析】解：系统抽样间隔为40÷5=8，且抽取的第一位编号是05， 所以第四位的编号是5+8×3=29． 故答案为：29．求出系统抽样间隔，根据抽取的第一位编号即可写出第四位的编号． 本题考查了系统抽样应用问题，是基础题．15.【答案】1.6 3.65【解析】解：由题意可得：x −=1.8+2.2+2.6+3.04=2.4．y −=2.0+2.8+3.2+4.04=3．因为样本中心满足回归直线方程，可得3=2.4 b ⏜−0.84， 解得 b⏜=1.6． y ̂=1.6x −0.84，2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为x ， 则5=1.6x −0.84，解得x =3.65． 故答案为：1.6；3.65．求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解b ^，然后代入计划2022年出口总额达到5千亿元，求解即可．本题考查回归直线方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．16.【答案】[√62,+∞)【解析】解：设椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1(a 1>b 1>0)，双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)为C 1与C 2的共同焦点，则c 2=a 12−b 12，c 2=a 22+b 22， 由|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |，得|F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以2c =2|PO|，所以|PO|=c ， 所以|OF 1|=|OP|=|OF 2|=c ，所以∠F 1PF 2=90°(P 为C 1与C 2的一个公共点)， 设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则m 2+n 2=4c 2，① m +n =2a 1，②， |m −n|=2a 2，③②2+③2，得2m 2+2n 2=4(a 12+a 22)， 代入①，得2×4c 2=4(a 12+a 22)， 所以2c 2=a 12+a 22，所以a 12c 2+a 22c 2=2，④ 又e 1=ca 1，e 2=ca 2，所以1e 1=a 1c，1e 2=a 2c，所以④化为1e 12+1e 22=2，即1e 22=2−1e 12，因为e 1∈(√22,√32]，所以12<e 12≤34，所以43≤1e 12<2，所以−2<−1e 12≤−43，所以0<2−1e 12≤2−43=23，即0<1e 22≤23，则e 22≥32，又e 2>1，所以e 2≥√62， 所以e 2的取值范围为[√62,+∞)，故答案为：[√62,+∞)．设椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1(a 1>b 1>0)，双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)为C 1与C 2的共同焦点，则c 2=a 12−b 12，c 2=a 22+b 22，由|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |，得|PO|=c ，则∠F 1PF 2=90°(P 为C 1与C 2的一个公共点)，设|PF 1|=m ，|PF 2=n ，可得m 2+n 2=4c 2①，m +n =2a 1②，|m −n|=2a 2③，进一步求出e 2的取值范围． 本题考查椭圆与双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由题意知AC 斜率为k =3−00−4=−34，所以AC 边所在直线方程为y −0=−34(x −4)，即3x +4y −12=0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知l 可设为3x +4y +m =0，又AB 边中点为(5,72)，将点(5,72)代入直线l 的方程得3×5+4×72+m =0，解得m =−29，所以l 方程为3x +4y −29=0．【解析】(Ⅰ)由A 、C 两点坐标可以写出直线AC 斜率，再代入A 、C 中的一个点就可以求出AC 方程．(Ⅱ)求出AB 中点，l 与AC 平行，从而斜率相等，即可设出l ，代入A 、C 中点求得l ．本题考查了直线方程的求解和两直线平行的关系，属于简单题．18.【答案】解：：(Ⅰ)用A 表示“认为作业不多”，用B 表示“喜欢手机网游且认为作业多”，则P(A)=2550=12，P(B)=2050=25．(Ⅱ)若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生， “不喜欢手机网游”与“喜欢手机网游”的人数的比值为520=14， ∴采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人， “喜欢手机网游”有4人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n=C52=10，恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有：{B,B1}，{B,B2}，{B,B3}，{B,B4}，共4种，∴其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率P=410=25．【解析】(Ⅰ)利用古典概型直接求解．(Ⅱ)采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人，“喜欢手机网游”有4人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n=C52=10，利用列举法求出恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有4种，由此能求出其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(I)设圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=r2(r为圆C的半径)，∵圆C经过点P(5,5)，∴(5−1)2+(5−2)2=r2，即r2=25，∴圆C的标准方程为(x−1)2+(y−2)2=25．(II)由(I)知圆C的圆心为C(1,2)，半径为5，∵圆O：x2+y2=m2(m>0)与圆C恰有两条公切线，∴圆O与圆C相交，∴|5−m|<|OC|<5+m，∵|OC|=√(1−0)2+(2−0)2=√5，∴5−√5<m<5+√5，故m的取值范围是(5−√5,5+√5)．【解析】(I)设圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=r2(r为圆C的半径)，再将点P(5,5)代入圆C方程，即可求解．(II)将已知条件转化为两圆相交，再结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．本题主要考查两圆之间的位置关系，属于基础题．20.【答案】(Ⅰ)由图知第三组频率为1−(0.01+0.04+0.02)×10=0.30，所以第三组矩形的高为m =0.3010=0.03．因为前两组的频率为(0.01+0.03)×10=0.4<0.5，前三组的频率为(0.01+0.03+0.04)×10=0.8>0.5，所以得分的中位数在第三组内，设中位数为x ，(0.01+0.03)×10+(x −80)×0.04=0.5，解得x =82.5，所以估计此次得分的中位数是 82.5分．(Ⅱ)由频率分布直方图知，学生得分的平均值为x −=65×10×0.01+75×10×0.03+85×10×0.04+95×10×0.02=82．参赛的500名学生中得分不低于82分的人数为500×[0.02×10+(90−82)×0.04]=260，所以估计此次参加比赛活动学生得分的平均值为82分，参赛的500名学生中有260名学生获奖．【解析】(Ⅰ)所有组频率之和为1，每个小长方形面积为该组对应的频率，这样让1减去其它组频率即为所求组频率，所求组频率即为对应长方形面积，面积除以宽得到高就是m 值．频率分布直方图中的中位数是频率0.5位置为应的x 的值．(Ⅱ)平均值是各组中点值乘以对应的频率之和，不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率．本题考查了频率直方图中的频率、中位数、平均数，频数的求解，考查较基础难度不大．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意，|AF|=3+p2=4，得p =2．∴抛物线E 的方程为x 2=4y ； (Ⅱ)由(Ⅰ)知焦点为F(0,1)．由已知可得两直线PQ 、MN 的斜率都存在且均不为0． 设直线PQ 的斜率为k ，则直线MN 的斜率为−1k ， 故直线PQ 的方程为y =kx +1，联立方程组{y =kx +1x 2=4y ，消去y ，整理得x 2−4kx −4=0，设点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4k ，∵C(x C ,y C )为弦PQ 的中点，∴x C =12(x 1+x 2)=2k ． 由y C =kx C +1=2k 2+1，故点C(2k,2k 2+1)，同理，可得D(−2k ,2k 2+1)，故|FC|=√4k 2+4k 4=2√k 4+k 2，|FD|=√4k 2+4k 4=2√1k 4+1k 2．∴|FC|⋅|FD|=4√(k 4+k 2)(1k+1k)=4√(2+k 2+1k)≥4√2+2√k 2⋅1k =8．当且仅当k 2=1k 2，即k =±1时，等号成立． ∴|CF|⋅|FD|的最小值为8．【解析】(Ⅰ)由题意可得|AF|=3+p2=4，求得p ，则抛物线E 的方程可求； (Ⅱ)由(Ⅰ)知焦点为F(0,1).由已知可得两直线PQ 、MN 的斜率都存在且均不为0.设直线PQ 的斜率为k ，则直线MN 的斜率为−1k ，可得直线PQ 与MN 的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得C 与D 的坐标，再求出|FC|与|FD|的值，作积后整理，再由基本不等式求最值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系的应用，考查化简运算能力和推理能力，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意知|PQ|=|AQ|，又|PQ|+|CQ|=|CP|=4，且|AC|=2√3， ∴|AQ|+|CQ|=4>|AC|，由椭圆定义知Q 点的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 则a =2,c =√3． ∴b 2=1． ∴曲线E 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意知直线l 的方程为y =12x +m(m ≠±1)， 设直线l 与椭圆的交点为M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{y =12x +mx 24+y 2=1，消去y ，化简得x 2+2mx +2m 2−2=0，∴Δ=4m 2−4(2m 2−2)=8−4m 2>0， 即m 2<2，∴x 1+x 2=−2m,x 1x 2=2m 2−2， ∴k 1k 2=y 1x 1⋅y 2x 2=12x 1+m x 1⋅12x 2+m x 2=14+m 2x 1x 2+m(x 1+x 2)2x 1x 2=14+m 22m 2−2+m⋅(−2m)4m 2−4=14， S 1+S 2=π4(|OM|2+|ON|2)=π4(x 12+y 12+x 22+y 22)=π4(x 12+x 22+y 12+y 22)， ∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=4m 2−2(2m 2−2)=4，∴y 12+y 22=(1−x 124)+(1−x 224)=2−x 12+x 224=1，∴S 1+S 2=π4(x 12+x 22+y 12+y 22)=5π4，∴S 1+S 2k 1k 2=5π414=5π，∴S 1+S 2k 1k 2是定值，为5π．【解析】(1)由条件可得Q 点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由a ，c 的值可得b 的值，从而求得轨迹方程；(2)设出直线l 的方程，结合韦达定理，分别求得k 1k 2为定值，S 1+S 2也为定值，从而可得S 1+S 2k1k 2是定值．本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，属于难题．。
