2021-2022学年四川省眉山市高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

【点睛】本题考查二面角的平面的求法，涉及翻折问题可椭圆的基本性质，11．设、是椭圆和双曲线的公共焦点，1F 2F 1C 2C
【详解】
如图所示，根据不等式组可画出可行域并求出可行域的三个顶点坐标
20,20,360,x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
、、，然后画出函数(2,0)(0,2)C ()
4,6D y =移可知过点时目标函数取最大值，最大值为D 4z x y =+
【点睛】本题考查三棱锥外接球问题，解题的关键是得出l
15．直线的倾斜角为锐角，且和圆
l
则直线的斜率等于______.
【答案】3
可知双曲线的一条渐近线为，和y x =-x y +设和平行且和圆在第一象限相切的直线为10x y ++=221x y +=则
，解得，
12
a =2a =-可得表示的图形在和1x x y y +=y x =-x 则和的距离为
y x =-10x y ++=12
=
∵F 是CD 的中点，∴MF ∥DE 且∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ∴AB ∥DE ，MF ∥AB ，∵AB ＝
DE 1
2
∴四边形ABMF 是平行四边形，AF 平面BCE ，BM ⊆平面BCE ⊄
y=x，半径为，的距离为=
2=2．
（1）求异面直线BD 1和AM 所成角的余弦值；（2）若二面角的大小为
M AC N --【答案】（1）
；（2）点与点10
5
N
设直四棱柱的棱长均为1111ABCD A B C D -则，，()0,0,0D ()3,1,0A
-(B （1）所以，()1
3,1,2BD =-- AM 设异面直线与所成角的大小为1BD AM。

眉山市高中2021届第三学期期末教学质量检测(理工类)数学参考答案及评分意见 2020.1一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题 （本题共4小题，每小题5分，共20分）13．2 14．2 15．5 16．(]3,1三、解答题 （本题共6小题，共70分）17. 解：（1）由题意可知14523=--==AB ED k k ，又)11(，F 为AB 的中点 ∴ AB 所在直线的方程为)1(11-⋅=-x y 即0=-y x …………3分同理CA 所在直线的方程为02=-y x∴联立方程得）（0,0A ……………5分（2）由(1)可得)2,2(B , )48(，C ……………6分设ABC ∆的外接圆的方程为022=++++F Ey Dx y x 代入C B A ,,的坐标可得0442206416840F D E F D E F =⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩解方程组可得16120D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩圆的方程为0121622=+-+y x y x ……………10分18. 解：（1）AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上的动点∴BC AC ⊥ ……………2分又直线VC 垂直于圆O 所在平面∴VC AC ⊥，又C VC BC =∴VBC AC 面⊥ ……………4分又D ,E 分别是VA ，VC 的中点，∴AC DE //∴VBC DE 面⊥ ……………6分（2）因为VAB ∆的边长为2VC BC AC === ……………8分11113323V DEB D VEB VEB V V S DE VE BC DE --∆∴==== ……………………………12分19. 解：（1）设动点M 的坐标为),(y x ，P 的坐标为),(00y x 由题意可知轴x QP ⊥，且=),0(y =，），（00y =，即),0(2200y y =），（,即022y y = ∴y y 420=，x x =0又P ),(00y x 在曲线122=+y x 上运动∴14222=+）（y x 即1822=+y x ………………6分 （2）设直线04=--y x 的平行直线为0=+-b y x ，代入⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+01822b y x y x 得082922=-++b bx x 当028832)8(364222=+-=--=b b b ∆，92=⇒b 即3±=b∴直线03=+-y x 到04=--y x的距离最大，2d ==此时MAB ∆的面积最大，27227421=⨯⨯=MAB S ∆ ……………12分 20.（1）证明：在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠DAB ，即BD 2＝4＋16－16×21＝12，所以BD ＝2，所以BD 2＋AB 2＝AD 2， ………………………2分 所以△ABD 和△EBD 均为直角三角形，所以ED ⊥DB . ………………………3分 又DB 是平面EBD 和平面ABD 的交线，且平面EBD ⊥平面ABD ，ED ⊂平面EBD ， 所以ED ⊥平面ABD . ………………………4分 又AB ⊂平面ABD ，所以AB ⊥DE . ………………………5分 （2）由(1)知∠ABD ＝∠CDB ＝90°，以D 为坐标原点，DB ，DC ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)，则D (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，E (0，0，2)， A (2，－2，0)，F (，0，1)，所以DA ＝(2，－2，0)，DE ＝(0，0，2)，AF ＝(－，2，1)． ………………8分 设平面ADE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有0,0,n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20.y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩令x ＝1，则y. 又z ＝0，所以(1,0)n =． …………………10分 设直线AF 与平面ADE所成的角为α， 则有sin cos ,82n AF a n AF n AF⋅=<>===⨯. …………………12分21. 解：（1）证明：在矩形PDCE 中，设PC 交DE 于点N ，则点N 为PC 的中点．连接MN .在△APC 中，点M 为P A 的中点，点N 为PC 的中 点，所以AC ∥MN .又MN ⊂平面MDE ，AC ⊄平面MDE ，所以AC ∥平面MDE . ………………3分 （2）由∠ADC ＝90°，得AD ⊥CD ，由平面PDCE ⊥平面ABCD ，且平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，得AD ⊥平面PDCE ， 所以AD ⊥PD .在矩形PDCE 中，PD ⊥CD ，则DA ，DC, DP 两两垂直．以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，P (0，0，2)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，所以AP →＝(－1，0，2)，CP →＝(0，－2，2)，BC →＝(－1，1，0)． …………4分 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧CP →·n ＝－2y ＋2z ＝0BC →·n ＝－x ＋y ＝0，取n ＝(1，1，2)．………5分设直线P A 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|AP →·n ||AP →||n |＝36.所以直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值为36. ……………7分（3）假设存在点Q 满足条件，则可设CQ →＝λCP →(0<λ<1)，得Q (0，2－2λ，2λ)．……8分 又DA →＝(1，0，0)，DQ →＝(0，2－2λ，2λ)， 设平面QAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧DA →·n 1＝x 1＝0DQ →·n 1＝（2－2λ）y 1＋2λz 1＝0，令y 1＝2λ，则n 1＝(0，2λ，2λ－2)．由平面QAD 与平面PBC 所成的锐二面角为π3， ………………10分得cos π3＝|n 1·n ||n 1||n |＝|32λ－22|2×2λ2＋4（λ－1）2＝12，所以λ＝13或λ＝1(舍去)，所以所求点Q 为线段CP 上靠近点C 的一个三等分点，即在线段PC 上存在点Q 满足条件． ………………12分 22. （1）由题意可知， Q 在PN 的垂直平分线上∴QP QN = 又∵4==+r QP QM∴ MN QN QM >=+4 ………………1分 ∴Q 点的轨迹为椭圆，且42=a 即2=a ， 由题意可知3=c ，∴1=b∴曲线E 的方程为1422=+y x ………………3分（2）∵+=，∴四边形OACB 为平行四边形， 当直线m 的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3， m 与曲线E 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋24kx ＋32＝0. ……………4分 由Δ＝(24k )2－128(1＋4k 2)>0得k 2>2.x 1＋x 2＝－24k 1＋4k 2，x 1x 2＝321＋4k 2. ∵S △OAB ＝12|OD ||x 1－x 2|＝32|x 1－x 2|，∴S ▱OACB ＝2S △OAB ＝3|x 1－x 2| ＝3x 1＋x 22－4x 1x 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－24k 1＋4k 22－4×321＋4k 2 ＝3242k 2－＋4k 21＋4k 22＝24k 2－21＋4k 22，……………6分令k 2－2＝t ，则k 2＝t ＋2(由上式知t >0)， ∴S ▱OANB ＝24t 4t ＋2＝24172＋16t ＋81t ≤241144＝2， 当且仅当t ＝94，即k 2＝174时取等号，∴当k ＝±172时，平行四边形OACB 的面积的最大值为2. 此时直线m 的方程为y ＝±172x ＋3. ……………8分（3）由已知抛物线方程是x y 212-=若直线斜率存在，设直线与曲线E 的交点坐标为）（11,y x G ，),(22y x H ，满足曲线E 的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+141422222121y x y x ，两式作差可得0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ，G ，H 的中点F 落在直线x y 2=上则有)(22121x x y y +=+代入可得812121-=--x x y y ，直线方程可以设为b x y +-=81与抛物线方程联立⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=b x y x y 81212，消元可得方程0442=+-b y y ，直线与抛物线相切则有101616=⇒=-=∆b b ， ……………10分则直线的方程为088=-+y x ，与椭圆方程联立：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+0881422y x y x ，消元可得方程01532172=+-y y ，015174-322>⨯⨯=∆， 所以直线088=-+y x 满足题意．若直线斜率不存在时，直线0=x 满足题意．所以，综上这样的直线存在，方程是088=-+y x 或0=x ． ……………12分。

2021-2022年高二上学期期末考试数学（理）含答案说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．一、本题共20小题，每小题6分，共120分，在每小题给出的四个选项中选出一个符合题目要求的选项．1、不在．． < 6 表示的平面区域内的一个点是A.（0，0）B.（1，1）C.（0，2）D. （2，0）2、已知△ABC的三内角A，B，C成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为A． B．2 C．2 D．43、设命题甲:的解集是实数集；命题乙:,则命题甲是命题乙成立的A . 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既非充分又非必要条件4、与圆及圆都外切的动圆的圆心在A. 一个圆上B. 一个椭圆上C. 双曲线的一支上D. 一条抛物线上5、已知为等比数列，是它的前项和。

若，且与2的等差中项为，则等于A. 31B. 32C. 33D. 346、如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为A ．B ．C ．D ．7、设抛物线的焦点为F ，准线为,P 为抛物线上一点,PA ⊥,A 为垂足．如果直线AF 的斜率为,那么|PF|等于A ． B. 8 C. D. 48、已知、是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 使，则A. B. C. D.9．已知变量x ，y 满足120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则的最小值是A ．4B ．3C ．2D ．110．若函数f （x ）和g （x ）的定义域、值域都是R ，则不等式f （x ）> g （x ）有解的充要条件是A ．x ∈R ，f （x ）>g （x ）B ．有无穷多个x （x ∈R ），使得f （x ）>g （x ）C ．x ∈R ，f （x ）>g （x ）D ．{ x ∈R| f （x ）≤g （x ）}=11．数列的通项公式，则数列的前10项和为A ．B ．C ．D ．12．中，,,则A ．B ．C ．D ． 13．设O －ABC 是正三棱锥，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则（x ，y ，z ）为A ．⎝⎛⎭⎫14，14，14B ．⎝⎛⎭⎫34，34，34C ．⎝⎛⎭⎫13，13，13D ．⎝⎛⎭⎫23，23，2314．等差数列的前n 项和，若，，则=A ．153B ．182C ．242D ．27315．已知A （，，），B （1，，），当||取最小值时，的值等于A ．B ．－C ．19D ．16．设椭圆的左、右焦点分别为是上的点 ，，则椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ．17．已知 且，则A ．有最大值2B ．等于4C ．有最小值3D ．有最大值418．已知向量，，且与互相垂直，则的值是A ．B ．C ．D ．19．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若=，则=A ．B ．C ．D ．20．已知抛物线的焦点F 与双曲的右焦点重合，抛物线的准 线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且，则A 点的横坐标为(A) (B)3 (C) (D)4第Ⅱ卷(非选择题，共105分)二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分，把答案填在答案纸中横线上.21．若抛物线的焦点坐标为（1,0）则准线方程为_____；22．若等比数列满足，则前项=_____；23．已知集合，{|(4)(2)0}B x x x =+->，则______；24．已知的内角、、所对的边分别是，，．若，则角的大小是 ；25．已知空间三点，，，，若向量分别与，垂直则向量的坐标为_ ；26．下列命题中，真命题的有________。

四川省眉山市高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．对命题“∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0+4≤0”的否定正确的是（ ）A ．∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0+4＞0B ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+4≤0C ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+4＞0D ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+4≥02．圆C 1：（x+2）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=16的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切3．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程=x+必过点（ ）2） C ．（2，5） D ．（2.5，5）4．从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是（ ）A ．A 与C 互斥B ．A 与B 互为对立事件C ．B 与C 互斥D ．任何两个均互斥5．若实数x ，y 满足不等式组，则3x+4y 的最小值是（ ）A ．13B ．15C ．20D ．286．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知直线l 1：x+（a ﹣2）y ﹣2=0，l 2：（a ﹣2）x+ay ﹣1=0，则“a=﹣1”是“l 1⊥l 2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βB ．若m ⊂α，m ∥β，α∩β=n ，则m ∥nC ．若α∥β，m ∥α，则m ∥βD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α9．执行如图所示的程序框图，若输出的p 是720，则输入的N 的值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．在空间四边形OABC 中，G 是△ABC 的重心，若=， =， =，则=（ ）A ． ++B ． ++C ． ++D ．3+3+311．由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．设有一组圆C k ：（x ﹣k+1）2+（y ﹣3k ）2=2k 2（k ∈N *）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某单位有40名职工，现从中抽取5名职工，统计他们的体重，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的标准差为 ．14．求直线x ﹣y=2被圆x 2+y 2=4截得的弦长为 ．15．执行如图的程序框图，则输出的结果是 ．16．空间四边形ABCD的两条对棱AC，BD互相垂直，AC，BD的长分别为8和2，则平行四边形两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，面积的最大值是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3）．（1）求BC边上的中线AD所在的直线方程；（2）求△ABC的外接圆的一般方程．18．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．（1）请先求出频率分布表中、位置相应的数据，再画出频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官的面试，求第四组至少有一名学生被考官A 面试的概率？19．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为棱AC 的中点．（1）求证：AB 1∥平面BDC 1；（2）求直线AB 1与平面BCC 1B 1所成角的正切值．20．已知命题p ：对于m ∈[﹣1，1]，不等式a 2﹣5a ﹣3≥恒成立；命题q ：不等式x 2+ax+2＜0有解，若p ∨q 为真，且p ∧q 为假，求a 的取值范围． 21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2FE=1，点P 在棱DF 上．（1）求证：AD ⊥BF ；（2）若二面角D ﹣AP ﹣C 的余弦值为，求PF 的长．22．已知圆C 过点P （，），且与圆M ：（x+2）2+（y+2）2=r 2（r ＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆心C 上的一个动点，求•的最小值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．2019-2020学年四川省眉山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．对命题“∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0+4≤0”的否定正确的是（ ）A ．∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0+4＞0B ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+4≤0C ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+4＞0D ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+4≥0【考点】特称命题；命题的否定．【分析】通过特称命题的否定是全称命题，直接判断选项即可．【解答】解：因为命题“∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0+4≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2﹣2x+4＞0”．故选C ．2．圆C 1：（x+2）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=16的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先根据圆的标准方程得到分别得到两圆的圆心坐标及两圆的半径，然后利用圆心之间的距离d 与两个半径相加、相减比较大小即可得出圆与圆的位置关系．【解答】解：由圆C 1：（x+2）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=16得：圆C 1：圆心坐标为（﹣2，2），半径r=1；圆C 2：圆心坐标为（2，5），半径R=4．两个圆心之间的距离d==5，而d=R+r ，所以两圆的位置关系是外切．故选D3．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程=x+必过点（ ）2） C ．（2，5） D ．（2.5，5）【考点】线性回归方程．【分析】由已知表格中的数据，我们根据平均数公式计算出变量x ，y 的平均数，根据回归直线一定经过样本数据中心点，可得结论．【解答】解：由表中数据可得： =（0+1+2+3+4）=2， =（1+3+5+7+9）=5，∵回归直线一定经过样本数据中心点，故选：C ．4．从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是（）A．A与C互斥B．A与B互为对立事件C．B与C互斥D．任何两个均互斥【考点】互斥事件与对立事件．【分析】利用对立事件、互斥事件的定义求解．【解答】解：从一批产品中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品至少有一件是次品}，事件A与C不能同时发生，是互斥事件，故A正确；事件A与B不能同时发生，但能同时不发生，故A与B是互斥但不对立事件，故B错误；事件B与C能同时发生，故B与C不是互斥事件，故C错误；由B与C不是互斥事件得D错误．故选：A．5．若实数x，y满足不等式组，则3x+4y的最小值是（）A．13 B．15 C．20 D．28【考点】简单线性规划．【分析】我画出满足不等式组的平面区域，求出平面区域中各角点的坐标，然后利用角点法，将各个点的坐标逐一代入目标函数，比较后即可得到3x+4y的最小值．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知，当x=3，y=1时3x+4y取最小值13故选A6．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】利用公理三及推论判断求解．【解答】解：在A 图中：分别连接PS ，QR ，则PS ∥QR ，∴P ，S ，R ，Q 共面．在B 图中：过P ，Q ，R ，S 可作一正六边形，如图，故P ，Q ，R ，S 四点共面．在C 图中：分别连接PQ ，RS ，则PQ ∥RS ，∴P ，Q ，R ，S 共面．D 图中：PS 与RQ 为异面直线，∴P ，Q ，R ，S 四点不共面．故选：D ．7．已知直线l 1：x+（a ﹣2）y ﹣2=0，l 2：（a ﹣2）x+ay ﹣1=0，则“a=﹣1”是“l 1⊥l 2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】当a=﹣1时，这两条直线的斜率之积等于﹣1，故有l 1⊥l 2．当l 1⊥l 2时，能推出a=﹣1，或 a=2，不能推出 a=﹣1，从而得出结论．【解答】解：当a=﹣1时，直线l 1的斜率为，直线l 2：的斜率为﹣3，它们的斜率之积等于﹣1，故有l 1⊥l 2，故充分性成立．当l 1⊥l 2时，有（a ﹣2）+（a ﹣2）a=0成立，即 （a ﹣2）（a+1）=0，解得 a=﹣1，或 a=2，故不能推出 a=﹣1，故必要性不成立，故选A ．8．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βB ．若m ⊂α，m ∥β，α∩β=n ，则m ∥nC ．若α∥β，m ∥α，则m ∥βD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，由线面平行的性质定理得m ∥n ；在C 中，m ∥β或m ⊂β；在D 中，m 与α相交、平行或m ⊂α．【解答】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A 中：若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中：若m ⊂α，m ∥β，α∩β=n ，则由线面平行的性质定理得m ∥n ，故B 正确；在C 中：若α∥β，m ∥α，则m ∥β或m ⊂β，故C 错误；在D 中：若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故D 错误．故选：B ．9．执行如图所示的程序框图，若输出的p 是720，则输入的N 的值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【考点】程序框图．【分析】由程序框图可知，该程序的功能为输出结果为p=1×2×3×…×（N ﹣1）×N ，故所以若输出结果为720，则p=1×2×3×…×（N ﹣1）×N=720，得N=6．【解答】解：由程序框图可知，该程序输出的结果为p=1×2×3×…×（N ﹣1）×N ，所以若输出结果为720，则p=1×2×3×…×（N ﹣1）×N=720，得N=6．故选：B ．10．在空间四边形OABC 中，G 是△ABC 的重心，若=， =， =，则=（ ）A ． ++B ． ++C ． ++D ．3+3+3【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由题意知=（+），从而化简可得．【解答】解：∵G 是△ABC 的重心，∴=（+），∴=+=+（+）=+（﹣+﹣）=（++）=++， 故选：C ．11．由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．【解答】解：平面区域Ω1，为三角形AOB ，面积为，平面区域Ω2，为△AOB 内的四边形BDCO ，其中C （0，1），由，解得，即D （，），则三角形ACD 的面积S==，则四边形BDCO 的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D ．12．设有一组圆C k ：（x ﹣k+1）2+（y ﹣3k ）2=2k 2（k ∈N *）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④【考点】圆的标准方程．【分析】由已知圆心（k ﹣1，3k ），由两圆的位置关系、圆心距、两圆的半径之差，能判断出真命题个数．【解答】解：根据题意得：圆心（k ﹣1，3k ），圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；考虑两圆的位置关系，圆k ：圆心（k ﹣1，3k ），半径为|k|，圆k+1：圆心（k ﹣1+1，3（k+1）），即（k ，3k+3），半径为（k+1）2，两圆的圆心距d==，两圆的半径之差R ﹣r=（k+1）2﹣k 2=2k+，任取k=1或2时，（R ﹣r ＞d ），C k 含于C k+1之中，选项①错误；若k 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k 2=2k 4，即10k 2﹣2k+1=2k 4（k ∈N*），因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．则真命题的代号是②④．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某单位有40名职工，现从中抽取5名职工，统计他们的体重，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的标准差为．【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【分析】先求出样本数据的平均数，再求出样本数据方差，由此能求出该样本的标准差．【解答】解：样本数据的平均数==69，样本数据方差S2= [（59﹣69）2+（62﹣69）2+（70﹣69）2+（73﹣69）2+（81﹣69）2]=62，∴该样本的标准差为S=．故答案为：．14．求直线x﹣y=2被圆x2+y2=4截得的弦长为2．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆心到直线的距离，利用半径、半弦长，弦心距满足勾股定理，求出半弦长，即可求出结果．【解答】解：弦心距为： =；半径为：2，半弦长为：，弦长AB为：2故答案为：2．15．执行如图的程序框图，则输出的结果是．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，s的值，当n=4时满足条件n≥4，退出循环，输出s的值，利用裂项法求和即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=0，s=0，n=1，s=，不满足条件n≥4，n=2，s=+，不满足条件n≥4，n=3，s=++，不满足条件n≥4，n=4，s=+++=（1）=，满足条件n≥4，退出循环，输出s的值为．故答案为：．16．空间四边形ABCD的两条对棱AC，BD互相垂直，AC，BD的长分别为8和2，则平行四边形两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，面积的最大值是 4 ．【考点】直线与平面平行的性质．【分析】假设EFGN是截面四边形，EFGN为平行四边形，设EN=x（0＜x≤2），FE=y（0＜y≤8），xy=S（S为所求面积），利用EN∥BD，可得=1=+，整理可得8=4x+y，利用基本不等式即可解得面积的最大值．【解答】解：如图，假设EFGN是截面四边形，EFGN为平行四边形；设EN=x（0＜x≤2），FE=y（0＜y≤8），xy=S（S为所求面积）；由EN∥BD，可得： =， ==，两式相加，得： =1=+，化简，得8=4x+y，可得：8=4x+y≥2，（当且仅当2x=y时等号成立），解得：xy≤4，解得：S=xy≤4．故答案为：4．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3）．（1）求BC边上的中线AD所在的直线方程；（2）求△ABC的外接圆的一般方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出BC的中点，即可求BC边上的中线AD所在的直线方程；（2）设圆的一般方程，利用待定系数法即可求△ABC的外接圆的一般方程．【解答】解：（1）∵B（2，1），C（﹣2，3）．∴BC的中点D（0，2），∵A（﹣3，0），∴AD所在的直线方程为=1，即2x﹣3y+6=0；（2）设方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三点坐标代入，得，∴D=，E=﹣，F=﹣，∴△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+x﹣y﹣=018．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求第四组至少有一名学生被考官A面试的概率？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．【分析】（1）由频率=可求其数据，频率分布直方图时注意纵轴；（2）用分层抽样的方法获取样本中的比例；（3）用古典概型求概率．【解答】解：（1）①位置上的数据为=35，②位置上的数据为=0.3；频率分布直方图如右图：（2）6×≈2.47，6×≈2.11，6×≈1.41．故第3、4、5组每组各抽取3，2，1名学生进入第二轮面试．（3）其概率模型为古典概型，设第3、4、5组抽取的学生分别为：a，b，c，1，2，m．则其所有的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（a，m），（b，c），（b，1），（b，2），（b，m），（c，1），（c，2），（c，m），（1，2），（1，m），（2，m）．共有15个，符合条件的有9个；故概率为=0.6．19．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为棱AC 的中点．（1）求证：AB 1∥平面BDC 1；（2）求直线AB 1与平面BCC 1B 1所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结B 1C 交BC 1于E ，连结DE ，则DE ∥AB 1，由此能证明AB 1∥平面BDC 1．（2）取AA 1⊥底面ABC ，推导出∠AB 1C 为直线AB 1与平面BCC 1B 1所成角，由此能求出直线AB 1与平面BCC 1B 1所成角的正切值．【解答】证明：（1）连结B 1C 交BC 1于E ，连结DE ，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是BC 1的中点，∵D 为AC 中点，∴DE ∥AB 1，∵DE ⊂面BDC 1，AB 1⊄面BDC 1，∴AB 1∥平面BDC 1．解：（2）取AA 1⊥底面ABC ，AA 1∥CC 1，∴CC 1⊥底面ABC ，∴CC 1⊥AC ，∵BC ⊥AC ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1，∴AB 1在面BCC 1B 1的射影为B 1C ，∴∠AB 1C 为直线AB 1与平面BCC 1B 1所成角，而B 1C==，AC=2，在Rt △ACB 1中，tan ∠AB 1C==．∴直线AB 1与平面BCC 1B 1所成角的正切值为．20．已知命题p ：对于m ∈[﹣1，1]，不等式a 2﹣5a ﹣3≥恒成立；命题q ：不等式x 2+ax+2＜0有解，若p ∨q 为真，且p ∧q 为假，求a 的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出命题p ，q 中的a 的取值范围，再利用若p ∨q 为真，且p ∧q 为假，则p 与q 一真一假．即可得出．【解答】解：若命题p ：对于m ∈[﹣1，1]，不等式a 2﹣5a ﹣3≥恒成立；由于=3，∴a 2﹣5a ﹣3≥3，解得a ≥6或a ≤﹣1．若命题q ：不等式x 2+ax+2＜0有解，则△=a 2﹣8＞0，解得或a ＜﹣2． 若p ∨q 为真，且p ∧q 为假，则p 与q 一真一假．当p 真q 假时，，解得，此时a ∈．当q 真p 假时，，解得，此时a ∈．综上可知：a 的取值范围是∪． 21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2FE=1，点P 在棱DF 上．（1）求证：AD ⊥BF ；（2）若二面角D ﹣AP ﹣C 的余弦值为，求PF 的长．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出AD ⊥AB ，从而AD ⊥平面ABEF ，由此能证明AD ⊥BF ．（2）以A为坐标原点，AB、AD、AF所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PF的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面ABEF，又BF⊂平面ABEF，∴AD⊥BF．解：（2）由（1）知AD⊥平面ABEF，又∠BAF=90°，∴以A为坐标原点，AB、AD、AF所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，2，0），F（0，0，1），C（1，2，0），设=，（0≤λ＜1），则P（0，2λ，1﹣λ），=（1，2，0），=（0，2λ，1﹣λ），设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（﹣2，1，），平面APD的一个法向量为=（1，0，0），∵二面角D﹣AP﹣C的余弦值为，∴==，解得或λ=﹣1（舍）．∴=（0，，﹣），∴PF的长||==．22．已知圆C过点P（，），且与圆M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求圆C的方程；（2）设Q为圆心C上的一个动点，求•的最小值；（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．【考点】抛物线的应用．【分析】（1）利用对称性，求出圆心坐标，即可求出圆C 的方程；（2）利用向量的数量积公式，结合三角函数知识，即可得出结论；（3）由已知可得直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，设PA ：y ﹣=k （x ﹣），PB ：y ﹣=﹣k （x ﹣），求出A ，B 坐标后，代入斜率公式，判断直线OP 和AB 斜率是否相等，即可得到答案．【解答】（1）解：由题意可得点C 和点M （﹣2，﹣2）关于直线x+y+2=0对称，且圆C 和圆M 的半径相等，都等于r ．设C （m ，n ），由•（﹣1）=﹣1，且++2=0，求得m=n=0，故圆C 的方程为x 2+y 2=r 2．再把点P （，），代入圆C 的方程，求得r=1， 故圆的方程为x 2+y 2=1．（2）解：设Q （x ，y ），则x 2+y 2=1， •=（x ，y ）•（x+2，y+2）=x 2+y 2+2x+2y=2x+2y+1，令x=cos θ，y=sin θ，∴•=2cos θ+2sin θ+1=2sin （θ+）+1，∴θ+=2k π﹣时，sin （θ+）的最小值为﹣1，∴•的最小值为﹣2+1； （3）证明：过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，则得直线OP 和AB 平行，理由如下：由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y ﹣=k （x ﹣），PB ：y ﹣=﹣k （x ﹣）．由PA 与圆方程联立，得（1+k 2）x 2+k （1﹣k ）x+（1﹣k ）2﹣1=0，因为P 的横坐标x=一定是该方程的解，故可得x A =•．同理，所以x B =•．由于AB 的斜率k AB ===1=k OP （OP 的斜率），所以，直线AB和OP一定平行．。

四川省眉山市2021届高二上学期数学期末考试试题一、选择题1．下列命题中的假命题．．．是（ ） A ．R,e 0xx ∀∈> B ．00R,ln 1x x ∃∈< C ．2R,(1)0x x ∀∈->D ．i 为虚数单位，1i-为虚数2．三棱锥O ABC -中，点D 在棱BC 上，且2BD DC =，则AD 为（ ） A.2133AD OA OB OC =+- B.2133AD OA OB OC =-++ C.1233AD OA OB OC =--D.1233AD OA OB OC =-++3．若，且，则下列不等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若f(x)是定义在R 上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．函数（）的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( ) A ．2B ．2-C ．12-D ．127．已知函数 ()(1)e ln xf x x a x =--在1[,3]2上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A.)39,e ⎡+∞⎣ B.(3,9e ⎤-∞⎦C.)24,e ⎡+∞⎣D.(2,4e ⎤-∞⎦8．函数的图像大致是（ ）A. B. C. D.9．已知函数221,0()24,0x mxe x f x x x x ⎧-≤=⎨->⎩，若不等式()0f x m +≥对任意实数x 恒成立，其中0m >.则（ ）A.m 的最小值为2e e - B.m 的最大值为2e e - C.m 的最小值为2 D.m 的最大值为210．关于x 的方程ln 10xkx x--=在区间(]0,e 上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．21,1e e +⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C ．21,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．211,e e e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回的摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则()P B A =（ ） A.110B.15C.14D.2512．气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8 则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．①②③ B ．①③C ．②③D ．①二、填空题13．设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝x ，则tan α＝________. 14．已知,a b 表示直线,,,αβγ表示不重合平面. ①若,,,a b a b αβα⋂=⊂⊥则αβ⊥;②若,a a α⊂垂直于β内任意一条直线,则αβ⊥; ③若,,,a b αβαβαγ⊥⋂=⋂=则a b ⊥r r;④若,,,a b a b αβ⊥⊥则αβ∥.上述命题中,正确命题的序号是__________．15．已知复数11z i =+，22z ai =+（其中i 为虚数单位），若12z z ⋅为实数，则实数a 的值为_______． 16．在中，，，则________．三、解答题17．在如图所示的几何体中，四边形为正方形，四边形为直角梯形，，．（1）求与平面所成角的正弦值；（2）线段或其延长线上是否存在点，使平面平面？证明你的结论．18．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)设，若存在，且,使不等式成立，求实数的取值范围.19．下表是高二某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩：一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量的线性回归方程.(附：，，，)20．（选修4-5）：不等式选讲 已知函数（Ⅰ）解不等式； （Ⅱ）若函数的定义域为，求实数的取值范围．21．已知函数.(1) 设，求曲线在点处的切线方程. (2)设，若函数有三个不同零点，求实数的取值范围.22．如图，四棱锥S ABCD -中，ABS △是正三角形，四边形ABCD 是菱形，点E 是BS 的中点．(1)求证：//SD 平面ACE ；(2)若平面ABS ⊥平面ABCD ，2AB =，120ABC ∠=︒，求三棱锥E ASD -的体积. 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题13．－ 14．②④ 15．2- 16．三、解答题17．（1）；（2）见解析【解析】【试题分析】（1）以为坐标原点、方向为轴、方向为轴、方向为轴建立空间直角坐标系.通过计算直线的方向向量和平面的法向量来求线面角的正弦值.（2）设点的坐标为，计算平面和平面的法向量，通过两个向量垂直数量积为零建立方程，求得的值. 【试题解析】（1）解：以为坐标原点、方向为轴、方向为轴、方向为轴建立空间直角坐标系，则点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，由，，，设平面的法向量为由，取，则故与平面所成角的正弦值．（2）证明：设点的坐标为，则，设平面的法向量为由，取，则，若平面平面，则，解得：，故点在的延长线上，且．【点睛】本小题主要考查利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值，和利用空间向量法探求面面垂直的问题.由于题目所给条件中以为顶点的三条直线相互垂直，故可以直接建立空间直角坐标系来求解.要求直线与平面所成的角，则只需计算出直线的方向向量，和平面的法向量，代入公式即可求得. 18．(1)见解析(2)k＞0.【解析】试题分析：（1）求出f′（x），求出极值点，通过①当﹣2a=2，即a=﹣1时，②当﹣2a＞2，即a＜﹣1时，③当0＜﹣2a＜2，即﹣1＜a＜0时，f④当﹣2a≤0，即a≥0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．（2）由（1）知，当a=1时，f（x）在（2，+∞）上单调递增，不妨设x2＞x1＞2，则不等式|f（x1）﹣f （x2）|≤k|lnx1﹣lnx2|可化为f（x1）﹣klnx1≥f（x2）﹣klnx2，令g（x）=f（x）﹣klnx，则g（x）在（2，+∞）上存在单调递减区间，利用导函数转化求解即可．试题解析：(1)∵f′(x)=x+(2a-2)- = = (x＞0).令f′(x)=0得x=2或x=-2a.∴①当-2a=2,即a=-1时, f′(x)≥0在x＞0时恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当-2a＞2,即a＜-1时,f(x)在(0,2)和(-2a,+∞)上单调递增,在(2,-2a)上单调递减.③当0＜-2a＜2,即-1＜a＜0时,f(x)在(0,-2a)和(2,+∞)上单调递增,在(-2a,2)上单调递减④当-2a≤0,即a≥0时,f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.(2)由(1)知,当a=1时,f(x)在(2,+∞)上单调递增,不妨设x2＞x1＞2,则不等式|f(x1)-f(x2)|≤k|lnx1-lnx2|可化为f(x2)-f(x1)≤klnx2-klnx1f(x1)-klnx1≥f(x2)-klnx2,令g(x)=f(x)-klnx,则g(x)在(2,+∞)上存在单调递减区间.∴g′(x)= f′(x) -＜0 在区间(2,+∞)有解,即在x∈(2,+∞)上有解，∴k＞x2-4, x∈(2,+∞),故k＞0.19．(1)见解析.(2).【解析】试题分析：⑴利用所给数据，即可求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；⑵利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果；解析：(1)，，∴政治成绩的方差.(2)∵，，，，，∴，∴，∴变量的线性回归方程为.点睛：本题主要考查了线性回归方程，属于基础题。

2021年高二上学期期末联考数学（理）试题含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选择其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

参考公式：球的表面积公式：柱体的体积公式：球的体积公式：锥体的体积公式：棱台的体积公式一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线的准线方程是( )2．圆在点处的切线方程为（）A．B．C．D．3．若直线与直线平行，则实数的值为（）A．B．1 C．1或D．4．长方体有共同顶点的三条棱长分别为1，2，3，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球体的表面积为（）（）A．B．C．D．5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（）第6题图D 1C 1B 1A 1DC BA6．如图，平行六面体中，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．7．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个 充分条件是（ ）A ．a ⊥α，b//β，α⊥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α//βC ．a ⊂α，b//β，α⊥βD ．a ⊂α，b ⊥β，α//β8．在下列结论中，正确的是（ ） ①为真是为真的充分不必要条件； ②为假是为真的充分不必要条件； ③为真是为假的必要不充分条件； ④为真是为假的必要不充分条件A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④9．在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成的角的余弦值为（ ） A . B . C . D .10．已知点是椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值为 （ ） A. B. C. D.第Ⅰ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡上相应位置上． 11．已知直线与关于轴对称，直线的斜率是_____. 12．曲线表示双曲线，则的取值范围为 . 13．已知且与互相垂直，则的值是 .14．是椭圆的上一点，点分别是圆和上的动点，则的最大值为 .15．如图，在长方形中,,,为线段上一动点，现将沿折起，使点在面上的射影在直线上，当从运动到时，则所形成轨迹的长度为 .D EABC F M第17题图C 1B 1A 1CBA三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应位置上. 16．（本小题满分为13分）已知直线经过点．求解下列问题（最后结果表示为一般式方程） （Ⅰ）若直线的倾斜角的正弦为；求直线的方程； （Ⅱ）若直线与直线垂直，求直线的方程.17.（本小题满分为13分） 直三棱柱中，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积．18．（本小题满分为13分）设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且直线被圆截得的弦长为. （Ⅰ）求点的坐标； （Ⅱ）求圆的标准方程．19．（本大题满分13分）已知命题命题若命题“且”为假命题，“或”是真命题，求实数的取值范围.20．（本小题满分为12分）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，,,点是线段的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求锐二面角的大小；（Ⅲ）试在线段上一点，使得与所成的角是．21．（本小题满分为12分）已知分别是椭圆的左、右焦点，曲线是以坐标原点为顶点，以为焦点的抛物线，自点引直线交曲线于为两个不同的交点，点关于轴的对称点记为．设． （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）证明：；（Ⅲ） 若，求得取值范围.xx 学年（上）高xx 级过程性调研抽测数学（理科）参考答案一、 选择题1～5：BDACC 6～10：BDBCA 二、 填空题11. 12. 13. 14.13 15. 三、 解答题 16.解：（Ⅰ）由题意：设直线的倾斜角为，则…………………………2分即的斜率…………………………4分 直线的方程为：…………6分 （Ⅱ）设所求直线方程为：············9分 又过， ······················12分直线的方程为：················13分17． 解：（Ⅰ）直三棱柱中，，又可知，………………………2分由于， 则由可知，，…………………… 4分则……………………………………………6分 所以有平面 ………………………………7分 （Ⅱ）直三棱柱中，，则，又…………………….9分 由于.....................................................11分 ......................................13分18. 解：（Ⅰ）由题意：设的坐标为，则的中点坐标为..........2分 点关于 对称解得....................................4分即...........................................................6分（利用其他方法求解酌情给分）（Ⅱ）由题意易知过圆的圆心设圆标准方程为：......................8分 则由题中条件可得()()2222320a b r a b ⎧⎪-+-=⎪⎪+=⎨=.....................................10分解得：A BC DE FMN A B C DE F M H AB C DEF M P G即圆的标准方程为或.......13分 19. 解：由命题可知： ···········3分 由命题可知：····5分 ···································7分是假命题，或”是真命题，所以有为真，为假，或者为假，为真。

高二上学期期末教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．平面∥平面，，则直线和的位置关系（ ） αβ,a b αβ⊂⊂a b A ．平行 B ．平行或异面C ．平行或相交D ．平行或相交或异面【答案】B【解析】利用平面∥平面，可得平面与平面没有公共点，根据，可得直线，αβαβ,a b αβ⊂⊂a 没有公共点，即可得到结论．b 【详解】∵平面平面，∴平面与平面没有公共点 //αβαβ∵，，∴直线，没有公共点 a α⊂b β⊂a b ∴直线，的位置关系是平行或异面， a b 故选：B.2．双曲线的左、右焦点坐标分别是 ，虚轴长为4，则双曲线的标准方程是( )()()123,03,0F F -，A ．B ．22154x y -=22154y x -=C ．D ．221134x y -=221916x y -=【答案】A【分析】根据双曲线的几何性质即可求解的值.,,a b c 【详解】由题意，双曲线的左、右焦点坐标分别是，所以， 12(3,0),(3,0)F F -3c =又虚轴长为，则，所以，所以，424b =2b =a 所以双曲线的标准方程为，22154x y -=故选：A.3．已知表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是 ,m n αA ．若,则 B ．若,则 ,m n ααA A m n A ,m n αα⊥∥m n ⊥C ．若,则 D ．若，则,m m n α⊥⊥n α⊥,m n m α⊥∥n αA 【答案】B【分析】根据直线与平面的位置关系，可判定A ，利用线面垂直的性质，可判定B ；根据线面垂直的性质和直线与平面的位置关系，可判定C 、D ，得到答案.【详解】由题意，对于A 中，若,则与相交、平行或异面，所以不正确； ,m n ααA A m n 对于B 中，若,根据线面垂直的性质可知是正确的；,m n αα⊥∥m n ⊥对于C 中，若,则与平行、相交或在平面内，所以不正确； ,m m n α⊥⊥n α对于D 中，若，则与的位置关系不确定，所以不正确，故选B.,m n m α⊥∥n α【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定，其中解答中熟记空间中线面位置关系的判定定理和线面垂直的性质是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 4．在空间直角坐标系中，已知，则的中点关于平面的对称点坐()()1,0,2,3,2,4M N --MN Q xOy 标是（ ） A ． B ．C ．D ．()1,1,1-()1,1,1--()1,1,1--()1,1,1【答案】D【解析】由中点坐标公式可得点，再由关于平面对称的点的特征即可得解. ()1,1,1Q -xOy 【详解】因为，所以的中点， ()()1,0,2,3,2,4M N --MN ()1,1,1Q -所以点关于平面的对称点坐标是. Q xOy ()1,1,1故选：D.5．已知椭圆的两个焦点是，点在椭圆上，若，则的面积22142x y +=12F F 、P 12||||2PF PF -=12PF F ∆是A BC D1+1【答案】D【详解】，可得，2212+1,4,242x y PF PF c =∴+== 122PF PF -= 123,1PF PF ==，是直角三角形，的面积，故选(2219+= 21PF F ∴∆12PF F ∴∆21211122PF F F ⨯=⨯⨯=D.6．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是A ．32B ．16+C ．48D ．16+【答案】B【详解】由题意知原几何体是正四棱锥，其中正四棱锥的高为2，底面是一个边长为4的正方形，过顶点向底面做垂线，垂线段长是2，过底面的中心向长度是4的边做垂线，连接垂足与顶点，得到直角三角形，得到斜高是2，所以四个侧面积是，底面面积为，所以该四棱锥的表面积是16+，故选B ．点评：本题考查由三视图求几何体的表面积，做此题型的关键是正确还原几何体及几何体的棱的长度.7．已知为椭圆上的点，点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为P 2222:1(0)x y C a b a b +=>>P 21，则椭圆的离心率为（ ）8A ．B ．C ．D ．35455453【答案】B【分析】根据点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为18，列出a ,c 的方程组，进而解出P 2a ,c ，最后求出离心率.【详解】因为点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为18，P 2所以， 210188a c a a c c -==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩所以椭圆的离心率为：. 45c e a ==故选：B.8．在长方体中，，，为的中点，则异面直线与1111ABCD A B C D -12AB AA ==1AD =E 1CC 1BC AE 所成角的余弦值为 （ ）A B C D 【答案】B【分析】建立空间直角坐标系结合空间向量的数量积即可求解.【详解】解：由题意，在长方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系D由题知，，为的中点,则12AB AA ==1AD =E 1CC ，，，()1,0,0A ()1,2,0B ()10,2,2C ()0,2,1E 所以， ()1,2,1AE =-()11,0,2BC =- 设直线与所成角为，则1BC AE α11cos AE BC AE BC α⋅==== 所以直线与1BC AE 故选：B.9．已知矩形，，，将矩形沿对角线折成大小为的二面角ABCD 4AB =3BC =ABCD AC θ，则折叠后形成的四面体的外接球的表面积是B ACD --ABCD A ． B ． C ． D ．与的大小有关9π16π25πθ【答案】C【详解】由题意得，在二面角内的中点O 到点A,B,C,D 的距离相等，且为，所以点D B AC --AC 522AC =O 即为外接球的球心，且球半径为，所以外接球的表面积为．选C ． 52R =24=25S R ππ=10．已知点P 是抛物线上的-个动点，则点P 到点A(0, 1)的距离与点P到y 轴的距离之和214x y=的最小值为 A ．2 BCD11【答案】C【详解】抛物线，可得：y 2=4x ，抛物线的焦点坐标（1，0）． 214x y =依题点P 到点A （0，1）的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值，就是P 到（0，1）与P 到该抛物线准线的距离的和减去1．由抛物线的定义，可得则点P 到点A （0，1）的距离与P 到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，．1故选C ．11．已知为坐标原点，双曲线：的右焦点为，直线过点且与的右支交于O C 2213y x -=F l F C M，两点，若，，则直线的斜率为（ ）N 2OM ON OA += 8OA OF⋅=lk A ． B ．C ．D ．2±±3±【答案】B【分析】根据点差法，结合平面向量坐标表示公式、斜率的公式进行求解即可.【详解】设，，，由题可知，是线段的中点，()11,M x y ()22,N x y ()00,A x y ()2,0F A MN ，∴，∵，分别是双曲线右支上的点，∴两式相减并整理得028OA OF x ⋅== 04x =M N 221122221,31,3y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，∴，即， ()()()()1212121203y y y y x x x x +-+--=002203y k x ⋅-=0403y k ⋅-=又，∴，∴00022AF y yk k x ===-0y =±k =故选：B【点睛】关键点睛：应用点差法，结合平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.12．已知是椭圆上一点，，是椭圆的左，右焦点，点是的内心，延长M 2212516x y +=1F 2F I 12MF F ∆交线段于，则的值为（ ）MI 12F F N MI INA ．B ．C ．D ．53354334【答案】A【分析】如图，点是椭圆上一点，过点M 作BM 垂直直线于点，过点作M 2212516x y +=12F F B I IA垂直直线于点，设的内切圆半径为，则，由12F F A 12MF F ∆r IA r =121212MF F MF I MIF IF F S S S S =++A A A A 得：12112211112222F F MB r MF r F F r MF ⋅=++又，故得：，所以，由椭圆方程122MF MF a +=111222222c MB r a r c ⋅=⋅+⋅IA c MB a c =+得：，，，所以由与相似，可2212516x y +=5a =4b =3c ==38IA c MB a c ==+MNB A INA A 得：,令，则,可求得：，问题得38IA INMBMN ==3IN m =8MN m =383IN IN m IM MN IN m m ===--35解．【详解】如图，点是椭圆上一点，过点M 作BM 垂直直线于点，过点I 作M 2212516x y +=12F F B IA垂直直线于点，设的内切圆半径为，则，由三角形面积相等即：12F F A 12MF F ∆r IA r =得：121212MF F MF I MIF IF F S S S S =++A A A A 12112211112222F F MB r MF r F F r MF ⋅=++又，故得：，所以，由椭圆方程122MF MF a +=111222222c MB r a r c ⋅=⋅+⋅IA cMBa c=+得：，，，所以由与相似，可2212516x y +=5a =4b =3c ==38IA c MB a c ==+MNB A INA A 得：,令，则,可求得：，故选38IA INMBMN ==3IN m =8MN m =383IN IN m IM MN IN m m ===--35A ．【点睛】本题主要是利用三角形相似将所求的比值转化成三角形相似比问题，即构造两个三角形相似来处理，对于内切圆问题通常利用等面积法列方程．即：即：=++（其中ABC S A IBC S A IAC S A IAB S A I是的内切圆圆心），从而解决问题． ABC A ⇔1()2ABC S r a b c =++A二、填空题13．若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则___________. 22y px =(1,0)=1x -p =【答案】2【分析】直接由抛物线的定义求解即可. 【详解】由抛物线的定义可得，解得. 12p=2p =故答案为：2.14．已知直线与圆相切，则a 的值为_____________. 340x y a ++=221x y +=【答案】5±【解析】利用圆心到直线的距离，直接求的值. d r =a 【详解】由题意可知圆心到直线的距离，d r =1d ∴==解得：. 5a =±故答案为：5±【点睛】本题考查直线与圆的位置相切，求参数，属于简单题型.15．设点，分别为椭圆C ：的左，右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得1F 2F 2214xy +=P C 成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为_________．12PF PF m ⋅=m 【答案】0（答案不唯一）【分析】当时，说明椭圆上存在4点满足条件. 120PF PF ⋅=【详解】当时，，则,0m =120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥由椭圆方程可知，，，，因为，所以以为直径的圆与椭圆有4个交点，24a =21b =23c =c b >12F F 使得成立的点恰好有4个，所以实数的一个取值可以为0.120PF PF ⋅=m 故答案为：0（答案不唯一）16．在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，1111ABCD A B C D -ABCD P 11A D 2AD =为正方形所在平面内的一个动点，且满足，则线段的长度的1AA =Q ABCD QC =BQ最大值是________. 【答案】6【分析】在正方形所在平面内建立平面直角坐标系，设，由，可得ABCD (,)Q x y QC =，进而可得出结果.22(2)4x y ++=【详解】在正方形所在平面内建立平面直角坐标系，设， ABCD (,)Q x y 则有，， 2223(1)PQ x y =++-222(2)(2)QC x y =-+-因为，所以， QC =2222(2)(2)622(1)x y x y -+-=++-整理得，22(2)4x y ++=所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， Q (2,0)-2所以线段长度的最大值为. BQ 2226⨯+=故答案为6【点睛】本题主要考查点线面间的距离计算，以及立体几何中的轨迹问题，常用坐标系的方法处理，属于常考题型.三、解答题17．已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. C O ()4,0x (1)求圆的方程；C(2)设直线经过点，且与圆相交所得弦长为的方程. l ()1,2l C l 【答案】(1) ()2224x y -+=(2)或. 10x -=34110x y +-=【分析】（1）设圆的方程为，再利用待定系数法求出，即可得解； C ()()2220x a y r r -+=>,a r （2）分类讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，结合弦长公式及点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1）依题意，设圆的方程为，C ()()2220x a y r r -+=>则有，解得， ()22224a r a r ⎧=⎪⎨-=⎪⎩224a r =⎧⎨=⎩所以圆的方程为；C ()2224x y -+=（2）由弦长公式知， ==1d =即圆心到直线的距离为1， ()2,0C l 当直线斜率不存在时，即符合题意，l 1x =当直线斜率存在时，设直线方程为，即，l 2(1)y k x -=-20kx y k --+=，解得，1=34k =-所以直线的方程为，即，l 32(1)4y x -=--34110x y +-=综上，直线的方程为或.l 10x -=34110x y +-=18．如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.C ABED -ABED ,G F ,EC BD（1）求证：;//GF ABC 平面（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说BC H GFH ∥ACD H 明理由.【答案】（1）见证明；(2)见解析【分析】（1）由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点，证得，利ABED AE BD F GF AC A 用线面平行的判定定理，即可得到面；GF A ABC （2）由点分别为中点，得，由线面平行的判定定理，证得面,G H ,CE CB GH EB AD ∥∥GH A ，由面面平行的判定定理，即可得到证明.ACD 【详解】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点 ABED AE BD F 故 GF AC A ∵面 GF ⊄ABC ∴面GF A ABC（2）线段上存在一点满足题意，且点是中点 BC H H BC 理由如下：由点分别为中点可得： ,G H ,CE CBGH EB AD A A ∵面 GH ⊄ACD ∴面GH A ACD 由（1）可知，面 GF A ACD 且 GF GH G ⋂=故面面GFH A ACD 【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直，着重考查了推理与论证能力．19．如图，在多面体中，矩形，矩形所在的平面均垂直于正方形ABCDEFG ADEF CDEG 所在的平面，且.ABCD 2,3AB AF ==(1)求多面体的体积；ABCDEFG (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. BFG ADEF 【答案】(1)10【分析】（1）利用补形法和体积差减去三棱锥的体积即可；B FHG -（2）以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面与A ,,AB AD AF,,x y z BFG 平面的法向量，，求出，并结合立体图形判定二面角为锐角，ADEF 21,1,3m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()1,0,0n = ,m n 从而进一步求出二面角余弦值即可.【详解】（1）平面，同理均与平面垂直，故可将多面体补,AF AD AF ⊥∴⊥ ABCD ,ED GC ABCD 成如图所示的长方体，此长方体体积为，三棱锥的体积为ABCD FHGE -22312⨯⨯=B FHG -，故此多面体的体积为10； 12323⨯⨯=（2）以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则A ,,AB AD AF ,,x y z ，()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,3,2,2,3A B D F G ，设平面的法向量为，()()2,0,3,2,2,0BF FG ∴=-= BFG (),,m x y z =则，令得， 230220x z x y -+=⎧⎨+=⎩1x =21,1,3m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 又为正方形，，故平面，ABCD AB AD ∴⊥AB ⊥ADEF 为平面的一个法向量，()1,0,0n ∴= ADEF ，cos ,m n == 故平面与平面BFG ADEF 20．已知在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过焦点的xOy 2222:1(0)x y C a b a b+=>>12(1,0)F 直线与椭圆交于两点.l ,A B (1)求椭圆的标准方程；C (2)从下面两个条件中任选其一作为已知，证明另一个成立： ①；②直线的斜率满足：. 415=AB l k 214k =【答案】(1) 22143x y +=(2)答案见解析【分析】（1）由椭圆的性质求解，（2）联立直线与椭圆方程公式，由弦长公式与韦达定理化简求解，【详解】（1）依题意，有：，则121c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的标准方程为：· 22143x y +=（2）选①作为已知：当直线斜率不存在时，与椭圆交点为，此时，不合题意， :1l x =3(1,)2±41215=≠AB 当直线斜率存在时，设，联立，有：， :l y kx k =-22::143l y kx k x y C =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(43)84120k x k x k +-+-=，22222(8)4(43)(412)169(1)∆=--+-=⋅+k k k k， 2211243+=⋅+k k 令，则有：， 154AB =22221511220151616443+=⋅⇒+=++k k k k 解得， 214k =选②作为已知：依题意，，则直线， 12k =±1:(1)2=±-l y x 联立，有， ()22112:143y x x y C ⎧=±-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩242110x x --=，2(2)44(11)180∆=--⨯⨯-=， 154=即415=AB 21．如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，1111ABCDA B C D -ABCD 11A ADD ⊥ABCD ，. 2AD =11AA A D =(1)求证：；1A D AB ⊥(2)若直线与平面，求的长度. AB 11A DC 1AA 【答案】(1)证明见解析(2)12AA =【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成AB ⊥11AA D D 立；（2）取的中点，连接，证明出平面，以点为坐标原点，、、AD O 1AO 1A O ⊥ABCD O AB AD 1OA 的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法x y z 1A O a =0a >可得出关于的方程，求出的值，即可求得棱的长.a a 1AA 【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，则，ABCD AB AD ⊥因为平面平面，平面平面，平面， 11A ADD ⊥ABCD 11 A ADD ABCD AD =AB ⊂ABCD 平面，AB ∴⊥11AA D D 平面，所以，.1A D ⊂Q 11AA D D 1AB A D ⊥（2）解：取的中点，连接，AD O 1AO ，为的中点，则，11AA A D = O AD 1A O AD ⊥因为平面平面，平面平面，平面， 11AA D D ⊥ABCD 11AA D D ⋂ABCD AD =1A O ⊂11AA D D 所以，平面，1A O ⊥ABCD 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角O AB AD 1OA x y z 坐标系，设，其中，1A O a =0a >则、、、、，()0,1,0A -()2,1,0B -()10,0,A a ()12,2,C a ()0,1,0D，，，()2,0,0AB = ()112,2,0A C =u u u u r ()10,1,A D a =- 设平面的法向量为，则，取，则， 11A C D (),,m x y z = 1112200m A C x y m A D y az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ x a =(),,1m a a =-- 由题意可得cos ,AB <==，解得.0a > a 2=22．已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切. P P A l 12x =-F A 221(1)4x y -+=（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；P C （Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为C x M N MN x l 、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且1M 1N l x A 1AMM ∆AMN ∆1ANN ∆1S 2S 3S ，证明：直线过定点.22134S S S =MN 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.24y x =【解析】（Ⅰ）根据题意，点到直线的距离与到的距离相等，由抛物线的定义可得P =1x -(1,0)F 解；（Ⅱ）设、，用坐标表示、、，利用韦达定理，代入即得解. 111,2M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭21,2N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭1S 2S 3S 【详解】（Ⅰ）设，半径为，则，，所以点到直线的距离(,)P x y P A R 12R x =+1||2PF R =+P =1x -与到的距离相等，故点的轨迹方程为.(1,0)F P C 24y x =（Ⅱ）设，，则、 ()11,M x y ()22,N x y 111,2M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭21,2N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭设直线：（）代入中得MN x ty n =+0t ≠24y x =2440y ty n --=，124y y t +=1240y y n =-<∵、 1111122S x y =+⋅3221122S x y =+⋅∴ 131********S S x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 12121122ty n ty n y y ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()22121211422t y y n t y y n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2221144422nt t n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 221242t n n ⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦又212111222S n y y n =+⋅-=+∴ ()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222131114842222S S S nt n t n n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴直线恒过 MN 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.。

2020-2021学年四川省眉山市东坡中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 通过随机抽样用样本估计总体，下列说法正确的是( ).A．样本的结果就是总体的结果B．样本容量越大，可能估计就越精确C．样本的标准差可以近似地反映总体的平均状态D．数据的方差越大，说明数据越稳定参考答案：B2. 若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（﹣7，±2）参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】设P的坐标为（m，n），根据抛物线的定义得m+2=9，解出m=7，再将点P（7，n）代入抛物线方程，解之可得n=±2，由此得到点P的坐标．【解答】解：设P（m，n），则∵点P到抛物线y2=8x焦点的距离为9，∴点P到抛物线y2=8x准线x=﹣2的距离也为9，可得m+2=9，m=7∵点P（7，n）在抛物线y2=8x上∴n2=8×7=56，可得n=±2，因此，可得点P的坐标为（7，±2），故选C．【点评】本题给出抛物线上一点P到焦点的距离，求点P的坐标，着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质的知识，属于基础题．3. 命题“”的否定是（A）对（B）不存在（C）对（D）参考答案：A4. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是A. B.C. D.参考答案：C5. 设复数z满足，则=A. B. C. D.参考答案：C试题分析：由得，所以，故选C.【名师点睛】复数的共轭复数是，据此先化简再计算即可. 6. 在下列各数中，最大的数是（）A． B．C、D．参考答案：B7. 中，分别是的对边，若，则的最小值为（）A. B. C. D.参考答案： C 略8. 在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G=λ（0≤λ≤1），则点G 到平面D 1EF 的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：D【考点】空间点、线、面的位置． 【专题】计算题．【分析】因为A 1B 1∥EF，所以G 到平面D 1EF 的距离即是A 1到面D 1EF 的距离，由三角形面积可得所求距离．【解答】解：因为A 1B 1∥EF，G 在A 1B 1上，所以G 到平面D 1EF 的距离即是A 1到面D 1EF 的距离，即是A 1到D 1E 的距离，D 1E=，由三角形面积可得所求距离为，故选：D【点评】本题主要考查空间线线关系、线面关系，点到面的距离等有关知识，特别是空间关系的转化能力．9. 若长方体的三个面的对角线长分别是，则长方体体对角线长为 （ ）A BCD参考答案： C 略10. 双曲线的渐近线方程为（ ）. . . .参考答案： C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 式子＝（用组合数表示）．参考答案： 略12. 若数列{a n }为等差数列，定义，则数列{b n }也为等差数列.类比上述性质，若数列{a n }为等比数列，定义数列{b n }, b n =______，则数列{b n }也为等比数列.参考答案：【分析】可证明当为等差数列时，也为等差数列，从这个证明过程就可以得到等比数列中类似的结论 .【详解】因为为等差数列，从而，所以，，所以为等差数列，而当为等比数列时，，故，若，则，此时（为的公比） ，所以为等比数列，填.【点睛】等差数列与等比数列性质的类比，往往需要把一类数列中性质的原因找到，那么就可以把这个证明的过程类比推广到另一类数列中，从而得到两类数列的性质的类比.需要提醒的是等差数列与等比数列性质的类比不是简单地“和”与“积”或“差”与“商”的类比. 13. 函数的单调递增区间是．参考答案：略14. 已知﹣1＜x+y ＜4且2＜x ﹣y ＜3，则z=2x ﹣3y 的取值范围是 ．（答案用区间表示）参考答案：（3，8）【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，再根据最值给出目标函数的取值范围．【解答】解：画出不等式组表示的可行域如下图示：在可行域内平移直线z=2x ﹣3y ，当直线经过x ﹣y=2与x+y=4的交点A （3，1）时， 目标函数有最小值z=2×3﹣3×1=3；当直线经过x+y=﹣1与x ﹣y=3的交点B （1，﹣2）时， 目标函数有最大值z=2×1+3×2=8．z=2x ﹣3y 的取值范围是（3，8）． 故答案为：（3，8）．15. 甲、乙、丙、丁四人中选3人当代表,写出所有基本事件,并求甲被选上的概率_____参考答案：16. 已知圆x 2+y 2=r 2（r ＞0）的内接四边形的面积的最大值为2r 2，类比可得椭圆+=1（a ＞b ＞0）的内接四边形的面积的最大值为 ．参考答案：2ab将圆的方程转化为+=1，类比猜测椭圆+=1（a ＞b ＞0）的内接四边形的面积的最大值即可．解：将圆的方程转化为+=1，圆x 2+y 2=r 2（r ＞0）的内接四边形的面积的最大值为2r 2，类比可得椭圆+=1（a ＞b ＞0）的内接四边形的面积的最大值为2ab ，故答案为：2ab ．17. 若定义在区间D 上的函数，对于D 上的任意n 个值，总满足，则称为D 上的凸函数。

四川省眉山市华兴中学2022年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数，则使得成立的x的取值范围是（）A. (－∞,1)B.(1,+∞)C.D.参考答案：D【分析】为上的偶函数，利用导数可判断出在上为增函数，从而得到，两边平方后解一元二次不等式可得的取值范围.【详解】，所以，为上的偶函数，又，当时，，故在上为增函数. 因，由得到，故，或，选D.【点睛】已知函数值的大小，考虑自变量的大小关系时，应该考虑函数的单调性，该性质可以通过导数或基本初等函数的单调性得到，注意利用函数的奇偶性讨论一侧的单调性即可.2. 下列结论中正确的是A．导数为零的点一定是极值点B．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值C．如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值D．如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值参考答案：B略3. 已知对任意实数，有，且时，则时（）A．B．C．D．参考答案：B4. 函数的单调递减区间为 ( )A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞）D．（0，+∞）参考答案：B略5. 下列说法中，正确的是( )．A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数参考答案：C6. 直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）A．60° B．120°C．135°D．150°参考答案：D【分析】设直线x+y﹣1=0的倾斜角为θ，则θ∈[0°，180°）．则tanθ=﹣，解得θ．【解答】解：设直线x+y﹣1=0的倾斜角为θ，则θ∈[0°，180°）．则tanθ=﹣，解得θ=150°．故选：D．7. 已知函数f（x）=sin（π﹣2x），g（x）=2cos2x，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）在区间[]上为增函数B．函数y=f（x）+g（x）的最小正周期为2πC．函数y=f（x）+g（x）的图象关于直线x=对称D．将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象参考答案：C【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将f（x）与g（x）分别化简，再对A，B，C，D四个选项逐一分析即可．【解答】解：∵f（x）=sin（π﹣2x）=sin2x，y=sinx在[0，]上单调递增，在区间[，π]上单调递减，∴f（x）=sin2x在区间[]上单调递减，故A错误；又g（x）=2cos2x=1+cos2x，∴y=f（x）+g（x）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，∴其周期T=π，由2x+=kπ+（k∈Z）得，x=+，k∈Z，当k=0时，x=；故B错误，C正确；对于D，f（x）=sin2x f（x﹣）=sin[2（x﹣）]=﹣sin2x≠1+cos2x=g（x），故D错误．综上所述，只有C正确．故选C．8. 函数在区间上的最大值为（）A. 2B.C.D.参考答案：D【分析】求出导函数，利用导数确定函数的单调性，从而可确定最大值．【详解】，当时，；时，，∴已知函数在上是增函数，在上是减函数，.故选D．【点睛】本题考查用导数求函数的最值．解题时先求出函数的导函数，由导函数的正负确定函数的增减，从而确定最值，在闭区间的最值有时可能在区间的端点处取得，要注意比较．9. 已知椭圆的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且,直线AB交y轴于点P.若,则椭圆的离心率是( )A． B． C．.D．参考答案：D10. 下列不等式中正确的有( )①；②；③A. ①③B. ①②③C. ②D. ①②参考答案：B【分析】逐一对每个选项进行判断,得到答案.【详解】①,设函数,递减,,即,正确②,设函数,在递增,在递减,,即,正确③,由②知,设函数,在递减,在递增,,即正确答案为B【点睛】本题考查了利用导函数求函数的单调性进而求最值来判断不等式关系,意在考查学生的计算能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若,方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是__________________.（改编题）参考答案：12. 在数列中，，，试猜想出这个数列的通项公式为.参考答案：13. 不等式的解为▲．参考答案：14. 随机变量ξ的分布列为则ξ为奇数的概率为________．参考答案：15. 若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋＝________.参考答案：16. 已知等比数列{a n}的各项均为不等于1的正数，数列{b n}满足b n＝ln a n，b3＝18，b6＝12，则数列{b n}前n项和的最大值为________．参考答案：13217. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是。