5月青岛市高考二模理科数学试题及答案

山东省青岛市2020年5月高三模拟检测数学试题一、单项选择题1.已知全集U =R ，集合{}2320A x x x =-+≤，{}131x B x -=≥，()U A B =I ð（ ）A. []1,2B. ()2,+∞C. [)1,+∞D. (),1-∞【答案】B 【解析】 【分析】将集合A ，B 化简，再求出U A ð，根据交集的定义即可得到答案. 【详解】因为{}{}2320=12A x x x x x =-+≤≤≤，{}{}{}1103133=1x x B x x x x --=≥=≥≥，所以(){|1U A B x x ⋂=<ð或}{}{}212x x x x x >⋂≥=>． 故选：B.【点睛】本题主要考查交集、补集的运算，同时考查一元二次不等式的解法及指数不等式的解法，属于基础题.2.若复数z 满足)|i z i -=(其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A.12B.12i C. 12-D. 12i -【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的定义可得)2i z =，从而可得z =，再根据复数的乘除运算即可求出复数z ，再根据共轭复数的定义，求出z 即可得到答案.【详解】由)|i z i -=得)2i z ==，所以)1422i z i ===+，所以12z i =，所以z的虚部为12-. 故选：C.【点睛】本题主要考查复数的模，复数代数形式的乘除运算及共轭复数的概念，属于基础题.3.已知向量()1cos ,2a x =+r ，()sin ,1b x =r ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若//a b r r ，则sin x =（ ）A.45B.35C.25D.【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列出方程可得cos 2sin 1x x =-，代入22sin cos 1x x +=解方程即可求出sin x .【详解】因为//a b r r，所以1cos 2sin 0x x +-=，所以cos 2sin 1x x =-，又因为22sin cos 1x x +=，所以22sin (2sin 1)1x x +-=， 即25sin 4sin 0x x -=，解得4sin 5x =或sin 0x =，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以4sin 5x =. 故选：A.【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，同角三角函数平方关系，属于基础题. 4.在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数解析式来分析函数的图象与性质，下列函数的解析式(其中 2.71828e =L 为自然对数的底数)与所给图象最契合的是（ ）A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()tan x xy e e -=-D. ()cos x xy e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据0x =时的函数值排除即可．【详解】当0x =时，对于A ，()00sin sin20y e e =+=>，故排除A ；对于B ，()00sin 0y e e=-=，故排除B ； 对于C ，()00tan 0y e e=-=，故排除C ；对于D ，()00cos cos20y e e =+=<，符合题意.故选：D.【点睛】本题主要考查函数表示方法中的图象法与解析法之间的对应关系，可利用从函数图象上的特殊点，排除不合要求的解析式．5.从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为（ ） A.29B.14C.718D.112【答案】C 【解析】 分析】基本事件的总数有6636⨯=种，利用列举法求出第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的基本事件有14种，根据古典概型概率计算公式，即可求出答案.【详解】从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，有36个基本事件，其中第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除有如下基本事件 (第一次抽得的卡片1,第二次摸到卡片2用(1,2)表示)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,3)，(3,6)， (4,4)，(5,5)，(6,6)，共14个，所以第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率1473618P ==. 故选：C.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的求法，属于基础题.6.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆方程为（ ） A. 229x y += B.227x y += C. 225x y +=D.224x y +=【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆C 的离心率可求出3a =，根据题意知椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，利用过上顶点和右顶点的切线可得蒙日圆上的一点，即可椭圆C 的蒙日圆方程.【详解】因为椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，12=，解得3a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，所以椭圆的上顶点A ，右顶点(2,0)B ，所以经过,A B 两点的切线方程分别为y =2x =，所以两条切线的交点坐标为，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ==所以椭圆C 的蒙日圆方程为227x y +=.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，同时考查圆的方程，属于基础题.7.已知O 是ABC V 内部一点，20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，4BA BC ⋅=u u u r u u u r 且6ABC π∠=，则OACV 的面积为（ ）A.B.23C.D.43【答案】A 【解析】 【分析】由20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r可得1()2BO OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，设D 为AC 的中点，则1()2OA O OC D =+u u u u r u u r u u u r ，可得BO OD =u u u r u u u r ，从而可得O 为BD 的中点，进而可得12AOC ABC S S =△△，由4BA BC ⋅=u u u r u u u r 可得||||BA BC ⋅=u u u r u u u r ，再由12||||sin ABC BA AB S BC C ⋅⋅=∠u u u r u u u r △即可求出ABC S V .【详解】在ABC V 中，由20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，得22OA OC OB BO +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r，所以1()2BO OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，设D 为AC 的中点，则1()2OA O OC D =+u u u u r u u r u u u r，所以BO OD =u u u r u u u r，所以O 为BD 的中点，所以12AOC ABC S S =△△， 因为4BA BC ⋅=u u u r u u u r ，所以3||||cos ||||4BA BC BA BC ABC BA BC ⋅=⋅⋅∠=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u ru u u r， 所以83||||3BA BC ⋅=u u u r u u u r ，所以183123||||sin 232312ABCBA BC AB S C ⋅⋅∠==⨯=u u u r u u u r △， 所以1233233=AOC S =⨯△. 故选：A.【点睛】本题主要考查向量的线性运算，向量的数量积及三角形的面积公式，属于中档题. 8.已知函数()2ln x f x x =，若()21f x m x<-在(0,)+∞上恒成立， 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，则实数m 的取值范围是（ ） A. m e > B. 2em >C. 1m >D. m e >【答案】B 【解析】 【分析】()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立，即()21f x m x+<在(0,)+∞上恒成立，令221ln 1()()x g x f x x x+=+=，故只需max ()g x m <即可，利用导数求出()g x 的最大值即可. 【详解】若()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立，即()21f x m x+<在(0,)+∞上恒成立， 令221ln 1()()x g x f x x x+=+=，故只需max ()g x m <即可， 2431(ln 1)22ln 1()x x x x x g x x x ⋅-+⋅--'==，令()0g x '=，得12x e -=， 当120x e -<<时，()0g x '>；当12x e ->时，()0g x '<， 所以()g x 在12(0)e -，上是单调递增，在12(,)e -+∞上是单调递减， 所以当12max ()()2e g x g e -==， 所以实数m 的取值范围是2e m >. 故选：B.【点睛】本题主要考查分离参数法处理恒成立问题，同时考查利用导数求函数的最值，属于中档题.二､多项选择题9.设a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A. ()222log log ab b >B. 22ac bc >C. 1b a a b<<D. 1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AC 【解析】 【分析】对A ，利用作差法比较即可；对B ，利用不等式的性质判断即可；对C ，利用作差法比较即可；对D ，利用指数函数的单调性比较即可. 【详解】对A ，因为0a b >>，所以1ab>，所以2222222log ()log log log log 10ab a ab b b b-==>=， 所以222log ()log ab b >，故A 正确；对B ，当0c =时，22ac bc >不成立，故B 错误； 对C ，因为0a b >>，所以10b b a a a --=<，10a b a b b--=<， 所以1b aa b<<，故C 正确； 对D ，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，又a b >，所以1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查作差法比较大小，不等式的性质及指数函数的单调性，属于基础题. 10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()n S n N *∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A. 122a =B. 2d =-C. 当10n =或11n =时，n S 取得最大值D. 当0n S >时，n 的最大值为20【答案】BCD 【解析】 【分析】由690S =可得12530a d +=，由7a 是3a 与9a 的等比中项可得110a d =-，联立方程可求出120a =，2d =-，即可判断A ，B 选项，求出等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，即可判断C ，D.【详解】因为690S =，所以1656902a d ⨯+=，即12530a d +=，① 又因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =⋅， 所以2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，整理得110a d =-，②由①②解得120a =，2d =-，故A 错误； 所以22(1)2144120(2)21()224n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+， 又n *∈N ，所以当10n =或11n =时，n S 取得最大值，故C 正确；令2210n S n n =-+>，解得021n <<，又n *∈N ，所以n 的最大值为20，故D 正确. 故选：BCD【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列前n 项和公式，等比中项的应用，同时考查等差数列和的最值问题，属于基础题.11.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()sin f x x x =+则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是周期函数 C. ()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. ()f x 最大值为2【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义和周期函数的定义可判断A ，B ；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 可化为()sin 2sin()3f x x x x =+=+π，可判断C ；结合函数()f x 的周期性对x 进行分类讨论，将函数()f x 的绝对值去掉，再求其最大值可判断D. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，因为())sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以()f x 是偶函数，故A 正确；因为sin cos s )()(i ()n f x πx πx x x π+++=++-sin ()x x f x +=，所以()f x 是以π为周期的周期函数，故B 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 可化为1()sin 2sin 2sin()223f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭π， 此时()f x 在06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；由于函数()f x 是以π为周期的周期函数，故只需研究一个周期内的最大值即可， 不妨取[0,]x π∈，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 可化为()2sin()3f x x π=+， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以当32x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()sin 2sin 2sin()23f x x x x x x ⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭π， 由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 所以32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值2， 故当[0,]x π∈时，()f x 取得最大值2，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断及最值的求法，同时考查两角和与差的正弦公式的逆用，属于中档题.12.若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A. 11B E A B ⊥B. 平面1//B CE 平面1A BDC. 三棱锥11C B CE -的体积为83D. 三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π 【答案】CD 【解析】 【分析】以1{,,}AB AD AA u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅u u u r u u u r 值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--u u u r ，1(2,0,4)A B =-u u u r ， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠u u u r u u u r ，所以1B E u u u r 与1A B uuu r 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-u u u r ，(2,0,2)CE =-u u u r设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =r，则 由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y =所以(1,2,1)n =r，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =u r，故不存在实数λ使得n λm =r u r，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误；在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.三、填空题13.已知命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围是_______【答案】[]22-,【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”假命题，则“2,10x R x ax ∀∈-+≥”为真命题.所以240a =-≤n ，解得22a -≤≤. 答案为：[]2,2-.14.()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______. 【答案】25- 【解析】 【分析】先求得61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 的项与常数项，进而可得()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项.【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项为44262115C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为154025-=-.故答案为：25-.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求法，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用，属于基础题.15.已知()f x 为奇函数，当0x >时，()ln xf x x=，则曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程是______． 【答案】10x y -+= 【解析】 【分析】利用函数()f x 为奇函数，可求出当0x <时，()f x 的表达式为ln()()x f x x-=，然后根据在一点处的切线方程的求法，即可求出曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程.【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 当0x <时，则0x ->，所以ln()ln()()()x x f xf x x x--=--=-=-， 所以221(1)ln()1ln()()x x x x f x x x ⨯-⨯-----'==， 所以曲线()y f x =在点()1,0-处的切线的斜率(1)1k f '=-=， 所以切线方程是01y x -=+，即10x y -+=. 故答案为：10x y -+=【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，在一点处的切线方程的求法，同时考查复合函数的导数，属于中档题.16.已知抛物线C ：22y px =()06p <<的准线交圆1O ：()2234x y ++=于A ，B 两点，若23AB =，则抛物线C 的方程为______，已知点()1,2M ，点E 在抛物线C 上运动，点N 在圆2O ：()2221x y -+=上运动，则EM EN +的最小值为______．【答案】 (1). 28y x = (2). 2．【解析】【详解】(1)设抛物线C 的准线与x 轴交于点D ，抛物线C 的准线方程为2px =-，则22211AO AD DO =+，即224|3|2p =+-+， 整理得212320p p -+=，解得4p =或8p =，又06p <<，所以4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =．(2)由题意知 圆2O 的圆心坐标为(2,0)与抛物线的焦点坐标重合， 过E 作抛物线C 的准线2x =-的垂线，垂足为F ，则2||||EO EF =， 所以22211EM EN EM EO NO EM EO EM EF +≥+-=+-=+-， 所以当M ，E ，F 三点共线时，EM EF +最小，最小值为3， 所以1312EM EN EM EF +≥+-≥-=， 所以EM EN +的最小值为2. 故答案为：①28y x =；②2【点睛】本题主要考查抛物线的定义和准线方程，圆中的弦长公式，抛物线中的最值问题，同时考查数形结合思想和转化与化归思想.四､解答题17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______． 给出下列三个条件：条件①：数列{}n a 为等比数列，数列{}1n S a +也为等比数列；条件②：点{}1,n n S a +在直线1y x =+上；条件③：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)不论选择哪个条件，1=2n n a -()N n *∈；(2)()()3234212n n T n n +=-++ 【解析】 【分析】(1) 方案一：选条件①．数列{}1n S a +也为等比数列，可根据其前3项也成等比数列列出方程，再将123,,S S S 用1,a q 表示解出q，即可求出n a ；方案二：选条件②，可得11n n a S +=+()N n *∈，再将n 用1n -代换可得11n n a S -=+()2n ≥，两式相减可得12n n a a +=()2n ≥，再验证212a a =即可，从而可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出n a ；方案三：选条件③．可得当2n ≥时，1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈，再将n 用1n -代换可得()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-，两式相减可得12n n a a +=()2n ≥，再验证212a a =即可，从而可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出n a ；(2)由(1)不论选择哪个条件，1=2n n a -()N n *∈，代入化简可得()12n b n n =+，利用裂项相消法求和，即可求出数列{}n b 的前n 项和n T ． 【详解】(1)方案一：选条件①． 因为数列{}1n S a +为等比数列，所以()()()2211131S a S a S a +=++，即()()2121123222a a a a a a +=++， 设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =， 所以()()22222q q q+=++，解得2q =或0q =（舍）， 所以1112n n n a a q --==()N n *∈，(2)由（1）得12n n a -=()N n *∈， 所以()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭，所以11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()13113232212442123111212n n n n n n n ⎛⎫=-=⎭+⎛-+ +⎫-=- ⎪+++⎝⎭⎝++⎪， 方案二：(1)选条件②．因为点()1,n n S a +在直线1y x =+上，所以11n n a S +=+()N n *∈，所以11n n a S -=+()2n ≥，两式相减得1n n n a a a +-=，12n na a +=()2n ≥， 因为11a =，211112a S a =+=+=，212a a =适合上式， 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以1112n n n a a q --==()N n *∈(2)同方案一的(2). 方案三：（1）选条件③．当2n ≥时，因为1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈⋅⋅⋅（i ）所以()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-，所以()1212122221nn n n a a a n a --++⋅⋅⋅+=-⋅⋅⋅（ii ）（i ）－（ii ）得122(1)n n n a na n a +=--，即12n na a +=()2n ≥， 当1n =时，122a a =，212a a =适合上式， 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==()N n *∈(2)同方案一的(2).【点睛】本题主要考查等比数列通项公式求法，裂项相消法求和，属于基础题.18.在ABC V 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足cos2cos sin a C a C c A =-． (1)求角C ；(2)若ABC V 为锐角三角形，12c =，求ABC V 面积S 的最大值.【答案】(1)4C π=；（2）)361【解析】 【分析】(1)对cos2cos sin a C a C c A =-，利用正弦定理得sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-，进而可得cos2cos sin C C C =-，再利用二倍角公式即可求出角C ；(2)由已知可得4C π=，故要求ABC V 面积S 的最大值，只需求出ab 的最大值即可，利用余弦定理可得222144c a b ==+，再利用基本不等式即可求出ab 的最大值. 【详解】(1)因为cos2cos sin a C a C c A =-，所以由正弦定理可得：sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-， 因为()0,A π∈，sin 0A ≠，所以cos2cos sin C C C =-， 所以22cos sin cos sin C C C C -=-， 即()()cos sin cos sin 10C C C C -+-=， 所以cos sin 0C C -=或cos sin 10C C +-=， 即cos sin C C =或cos sin 10C C +-=， ①若cos sin C C =，则4C π=，②若cos sin 10C C +-=，则sin 42C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为5444C πππ<+<，所以344C ππ+=，即2C π=， 综上，4C π=或2C π=.（2）因为ABC V 为锐角三角形，所以4C π=，因为(222221442cos 224c a b ab a b ab ab π==+-=+-≥=，即(722ab ≤=（当且仅当a b =等号成立），所以()11sin sin 72236122444S ab C ab π===≤+=，即ABC V 面积S 的最大值是()3621+.【点睛】本题主要考查正弦定理，二倍角公式，基本不等式及三角形的面积公式，同时考查三角形中面积的最大值求法，属于基础题.19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==．(1)求证：平面11CC D D ⊥底面ABCD ；(2)若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，求直线1CA 和平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；6 【解析】 【分析】(1)要证平面11CC D D ⊥底面ABCD ，只需证明其中一个面内一条线垂直于另一个平面即可，可证1D E ⊥底面ABCD ，由底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，可得BC ⊥平面11DCC D ，又1D E ⊂平面11DCC D ，从而可得1BC D E ⊥，又1D E CD ⊥，从而可证出1D E ⊥底面ABCD ；(2) 取AB 的中点F ，以1{,,}EF EC ED u u u r u u u r u u u u r为正交基底建系，设1ED a =()0a >，写出各点坐标，分别求出平面1BED 与平面11BCC B 的法向量()11,1,0n =-u r ，()20,,1n a =-u u r，根据它们所成的锐二面角的大小为3π，利用夹角公式列出方程可求出1a =，再求出()11,1,1CA =-u u u r ，设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，由12sin cos CA n =〈⋅〉u u u r u u rθ即可求出答案.【详解】(1)因为底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，所以BC CD ⊥，1BC CC ⊥，又1CD CC C =I ，1,CD CC ⊂平面11DCC D ， 所以BC ⊥平面11DCC D ，又1D E ⊂平面11DCC D ，所以1BC D E ⊥，又1D E CD ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂底面ABCD ， 所以1D E ⊥底面ABCD ，又1D E ⊂平面11CC D D ， 所以平面11CC D D ⊥底面ABCD ．(2)取AB 的中点F ，因为E 是CD 的中点，底面ABCD 是矩形，所以EF CD ⊥,以E 为原点，以EF ，EC ，1ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示:设1ED a =()0a >，则()0,0,0E ，()1,1,0B ，()10,0,D a ，()0,1,0C ，()10,2,C a设平面1BED 的法向量()111,,n x y z =r ，()1,1,0EB =u u u r ，()10,0,ED a =u u u u r．由11100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v 可得：11100x y az +=⎧⎨=⎩， 令11x =可得11y =-，10z =，所以()11,1,0n =-u r，设平面11BCC B 的法向量()2222,,n x y z =u u r ，()1,0,0CB =u u u r ，()10,1,CC a =u u u u r． 由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u u v 可得，22200x y az =⎧⎨+=⎩，令21z =可得2y a =-，所以()20,,1n a =-u u r由于平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的平面角为3π， 所以1212212cos ,cos 321n n n n n n a π⋅===⋅⨯+u r u u ru r u u r u r u u r ，解得1a =．所以平面11BCC B 的法向量()20,1,1n =-u u r，由于()1,1,0A -，()0,1,0C ，()0,1,0D -，()10,0,1D ，所以()()()1111,2,00,1,11,1,1CA CA AA CA DD =+=+=-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r， 设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，则12126sin 323CA n CA n θ⋅===⨯⋅u u u r u u ru u u r u u r ．【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，根据所成二面角的大小逆向求参数值及利用向量法求线面角的正弦值，属于中档题.20.某专业机械生产厂为甲乙两地（两地仅气候条件差异较大，其他条件相同）的两个不同机器生产厂配套生产同一种零件，在甲乙两地分别任意选取100个零件进行抗疲劳破坏性试验，统计每个零件的抗疲劳次数（抗疲劳次数是指从开始试验到零件磨损至无法正常使用时的循环加载次数），将甲乙两地的试验的结果，即每个零件的抗疲劳次数（单位：万次）分别按(]7,8，(]8,9，(]9,10，(]10,11，(]11,12分组进行统计，甲地的实验结果整理为如下的频率分布直方图（其中a ，b ，c 成等差数列，且23c b =），乙地的统计结果整理为如下的频数分布表．(1)求a ，b ，c 的值并计算甲地实验结果的平均数x ．(2)如果零件抗疲劳次数超过9万次，则认为零件质量优秀，完成下列的22⨯列联表： 质量不优秀 质量优秀 总计 甲地 乙地试根据上面完成的22⨯列联表，通过计算分析判断，能否有97．5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关？ 附：临界值表其中2K 的观测值()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++(3)如果将抗疲劳次数超过10万次的零件称为特优件，在甲地实验条件下，以频率为概率，随机打开一个4个装的零件包装箱，记其中特优件的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】(1)0.1a =，0.2b =，0.3c =，平均数9.3x =万次；(2)见解析，有；(3)见解析，1 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图的的矩形面积和为1，可得0.6a b c ++=，再由a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+，再结合23c b =解方程即可求出a ，b ，c 的值；利用组中值乘以相应的频率再求和即可求出平均数x ；(2)根据已知条件分别求出甲、乙抗疲劳次数超过9万次的零件数和不超过9万次的零件数，即可完成22⨯列联表，然后根据22⨯列联表求出观测值k ，查对临界值，即可作出判断；(3)根据已知条件可得任意抽取一件产品为特优件的概率14p =，ξ的取值可能为0，1，2，3，4，根据二项分布分别求出相应的概率，即可列出分布列并求出数学期望．【详解】(1)由频率分布直方图的性质可得：0.050.351a b c ++++=，即0.6a b c ++= 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，所以0.2b = 又23c b =，解之得：0.3c =，0.1a =所以7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即抗疲劳次数的平均数9.3x =万次(2)由甲地试验结果的频率分布直方图可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为()1000.350.20.0560⨯++=件，不超过9万次的件数为1006040-=件，由乙地试验结果的分布表可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为4125975++=， 不超过9万次的零件数为25件，所以22⨯列联表为所以()220040752560200 5.128 5.0246513510010039k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为零件质量优秀与否与气候条件有关， 即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关.(3)在甲地实验条件下，随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25， 以频率为概率，所以任意抽取一件产品为特优件的概率14p = 则ξ的取值可能为0，1，2，3，4所以()400431********P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()311431812714425664P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()2224315427244256128P C ξ⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()13343112334425664P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()0444311444256P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4P81256 2764 27128 364 1256ξ的数学期望()8110854121012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质，利用组中值估计平均数，独立性检验的应用，二项分布及数学期望，属于中档题.21.已知椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为12，其左右顶点分别为1A ，2A ，上下顶点分别为2B ，1B ，四边形1122A B A B 的面积为43．（1）求椭圆E 的方程；（2）若椭圆E 的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，记1F MN △的内切圆的半径为r ，试求r 的取值范围．【答案】(1)22143x y +=；(2)304r <≤【解析】 【分析】(1)根据离心率为12，四边形1122A B A B 的面积为222a b c =+，即可求出,a b ，进而求出椭圆E 的方程；(2)由1F MN △的周长1148F M F N MN a ++==，可得()111142F MN S F M F N MN r r =++=△，即114F MN r S =△， 对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，可求得34r =；当l 与x 轴不垂直时，设l ：()()10y k x k =-≠，将椭圆的方程与直线l 的方程联立消去x ，由根与系数的关系可求出12y y +，12y y ，代入11212F MN F F M F F N S S S =+△△△1212F F =k 的函数，利用换元法即可求出r 的取值范围． 【详解】(1)因为椭圆E 的离心率为12，所以12c e a ==，因为四边形1122A B A B 的面积为1222a b ⨯⨯=又222a b c =+，解得：2a =，b =1c =，所以椭圆E方程为：22143x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，则1F MN △的周长48a ==，()111142F MN S F M F N MN r r =++=△，即114F MN r S =△， 当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，3MN =，11211134424F MN r S MN F F ==⨯⨯=△， 当l 与x 轴不垂直时，设l ：()()10y k x k =-≠，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22243690k y ky k ++-=，所以122643k y y k +=-+，2122943k y y k =-+，112121221211221111222F MN F F M F F N S S S F F y F F y F F y y =+=⋅+⋅=⋅-△△△1211222F F ==⨯=所以114F MN r S ==△ 令243k t +=，则3t >，r ===， 因为3t >，所以1103t <<，所以304r << 综上可知：304r <≤【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，同时考查椭圆中的范围问题，对于第(2)问关键是借助于“算两次”面积相等得到114F MN r S =△，将问题转化为求1MN F S V 的面积问题.22.已知函数()22xa f x e x =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）有两个极值点1x ，2x ． （1）求a 的取值范围； （2）求证：122ln x x a +<． 【答案】(1)(),e +∞；(2)见解析 【解析】 【分析】(1)求()x f x e ax '=-，令()()xg x f x e ax '==-，利用导数研究函数()g x 的单调性：当0a ≤时，()0xg x e a '=->，此时()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意；当0a >时，只需()()min ln 0g x g a =<，同时使得(),ln a -∞和()ln ,a +∞各有一个零点即可；(2) 不妨设12x x <，则()1,ln x a ∈-∞，()2ln ,x a ∈+∞，所以12ln x a x <<，要证122ln x x a +<，即证122ln x a x <-，而当(),ln x a ∈-∞时，函数()g x 单调递减，即证()()122ln g x g a x >-，而()()12g x g x =，即证()()222ln g x g a x >-，故可构造函数()()()2ln p x g x g a x =--，利用导数判断()p x 的单调性转化即可.【详解】(1)由已知得()xf x e ax '=-，因为函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，所以方程()0xf x e ax '=-=有两个不相等的根1x ，2x设()()xg x f x e ax '==-，则()xg x e a '=-①当0a ≤时，()0xg x e a '=->，所以()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意 ②当0a >时，由()0xg x e a '=-=得ln x a =．当(),ln x a ∈-∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增． 所以()()min ln ln 0g x g a a a a ==-<，即a e >， 令()2ln a a a ϕ=-()0a >，则()221a a a aϕ-'=-=， 当()0,2a ∈时，()0a ϕ'<，()a ϕ为减函数； 当()2,a ∈+∞时，()0a ϕ'>，()a ϕ为增函数； 所以()()()min 222ln 221ln 20a ϕϕ==-=->所以()0a ϕ>，即2ln a a >，从而ln 2aa a <<，2a e a > 所以()20ag a e a =->，又因为()010g =>，所以()g x 在区间()0,ln a 和()ln ,a a 上各有一个零点，符合题意， 综上，实数a 的取值范围为(),e +∞．(2)不妨设12x x <，则()1,ln x a ∈-∞，()2ln ,x a ∈+∞，所以12ln x a x << 设()()()()2ln 2ln 2ln xa xp x g x g a x e ax ea a x -⎡⎤=--=----⎣⎦222ln x x e a e ax a a -=--+，则()222220x x p x e a e a a a a -'=+-≥=-=， 当且仅当2x x e a e -=，即ln x a =时，等号成立． 所以函数()p x 在R 上单调递增．由2ln x a >，可得()()2ln 0p x p a >=，即()()222ln 0g x g a x -->， 又因为1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，所以()()12g x g x =， 所以()()122ln g x g a x >-， 又2ln x a >，所以22ln ln a x a -<， 又函数()g x 在(),ln a -∞上单调递减， 所以122ln x a x <-，即122ln x x a +<．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，构造函数证明不等式，同时考查极值点偏移问题，属于难题.。

一、单选题1. 已知三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，侧棱底面，底面是正三角形，与底面所成的角是45°.若正三棱柱的体积是，则球O 的表面积是（ ）A．B．C．D．2. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则对任意，函数的零点个数至多有A ．3个B ．4个C ．6个D ．9个3. 已知圆和圆只有一条公切线，若，且，则的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．94. 函数的部分图象如图所示，则（）A ．，B ．直线是的一条对称轴C．是奇函数D ．函数在上单调递减5. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将图象（）A．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向右平移个单位长度D ．向左平移个单位长度6. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）正视图 侧视图A．B．C．D．7. 已知集合，，则中元素个数为（ ）A．B．C．D．或或8. 若是函数的一个极值点，则当时，的最小值为（ ）A．B．C．D．山东省青岛市2022届高三下学期5月二模考试数学试题(1)山东省青岛市2022届高三下学期5月二模考试数学试题(1)二、多选题三、填空题四、解答题9. 已知公差为d的等差数列的前n 项和为，则（ ）A．是等差数列B．是关于n 的二次函数C ．不可能是等差数列D ．“”是“”的充要条件10.已知圆，圆，下列说法正确的是（ ）A ．若，则圆与圆相交B ．若，则圆与圆外离C ．若直线与圆相交，则D ．若直线与圆相交于，两点，则11. 如图为国家统计局公布的2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，则（）A ．2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出均呈增长趋势B ．2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为27535C ．2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差D ．2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例大于80%12. 红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色，已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配，表示事件“甲调配出红色”；表示事件“甲调配出绿色”；表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（ ）A ．事件与事件是独立事件B ．事件与事件是互斥事件C．D．13. 已知函数的定义域为，则_________．14. 已知圆，直线和，与圆相切于点，与圆相交于，两点.若，则到的距离为___________.15. 学校安排名同学参加两项不同的志愿活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排人，则不同的安排方法有__________种．（用数字作答）16. 设抛物线的准线为l ，A 、B 为抛物线上两动点，于，定点使有最小值．(1)求抛物线的方程；(2)当（且）时，是否存在一定点T满足为定值？若存在，求出T的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．17. 2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行．某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如下：会参与不会参与男生6040女生2030（1）根据上表说明，能否有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关?（2）现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动，①求男、女学生各选取多少人；②若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：参考公式：，其中0.100.050.0250.0100.0052.7063.841 5.024 6.6357.87918. 如图，在四棱锥中，，，，，平面，过点作平面．(1)证明：平面平面；(2)已知点F为棱的中点，若，求直线与平面所成角的正弦值．19. 已知函数，．（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求函数在上的最小值；（Ⅲ）若函数，当时，的最大值为，求证：.20. 2022年11月，《2021年全国未成年人互联网使用情况研究报告》发布.报告显示，2021年我国未成年网民规模达1.91亿，未成年人互联网普及率达96.8%.互联网已成为未成年人学习，娱乐，社交的重要工具.但与此同时，约两成的未成年网民认为自己对互联网存在不同程度的依赖.某中学为了解学生对互联网的依赖情况，决定在高一年级采取如下“随机回答问题”的方式进行问卷调查：一个袋子中装有5个大小相同的小球，其中2个黑球，3个红球.所有学生从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①回答问卷，否则按方式②回答问卷”.方式①：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画“√”，否则画“×”；方式②：若你对互联网有依赖，则在问卷中画“√”，否则画“×”.当所有学生完成问卷调查后，统计画“√”，画“×”的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得高一年级学生对互联网依赖情况的估计值.（）(1)若高一（五）班有50名学生，用X表示其中按方式①回答问卷的人数，求X的数学期望；(2)若所有调查问卷中，画“√”与画“×”的比例为1：2，试估计该中学高一年级学生对互联网的依赖率.（结果保留两位有效数字）21. 一个车间为了规定工时定额，需要确定一台机器持续加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如表所示：零件数x/个102030405060708090100时间y/分钟76859295100110115121125131(1)通过数据分析，发现y与x之间呈线性相关关系，求y关于x的回归方程，并预测持续加工480个零件所花费的时间；(2)机器持续工作，高负荷运转，会影响产品质量．经调查，机器持续工作前6小时内所加工出来的零件的次品率为0.1，之后加工出来的零件的次品率为0.2.(机器持续运行时间不超过12小时）已知每个正品零件售价100元，次品零件作废，持续加工x个零件的生产成本(单位：元）．根据（1)的回归方程，估计一台机器持续工作多少分钟所获利润最大？（利润＝零件正品数售价－生产成本）参考数据：附：对于一组数据（x 1，y1)，(x2，y2)，·，(x n，y n)，其回归直线a的斜率和截距的最小二乘估计分别为。

山东省青岛市2020年5月高三模拟检测数学试题一、单项选择题1.已知全集U =R ，集合{}2320A x x x =-+≤，{}131x B x -=≥，()U A B =I ð（ ）A. []1,2B. ()2,+∞C. [)1,+∞D. (),1-∞2.若复数z 满足(3)|3|i z i -=+(其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A.12B.12i C. 12-D. 12i -3.已知向量()1cos ,2a x =+r ，()sin ,1b x =r ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若//a b r r ，则sin x =（ ）A.45B.35C.25D.254.在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数解析式来分析函数的图象与性质，下列函数的解析式(其中 2.71828e =L 为自然对数的底数)与所给图象最契合的是（ ）A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()tan x xy e e-=-D. ()cos x xy e e -=+5.从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为（ ） A.29B.14C.718D.1126.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，则椭圆C的蒙日圆方程为（ ） A. 229x y +=B.227x y +=C. 225x y +=D. 224x y +=7.已知O 是ABC V 内部一点，20OA OB OC ++=u u u ru u u r u u u rr ，4BA BC ⋅=u u u r u u u r且6ABC π∠=，则OAC V 的面积为（ ）A.B.23C.D.438.已知函数()2ln x f x x =，若()21f x m x<-在(0,)+∞上恒成立， 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，则实数m 的取值范围是（ ） A.m e >B. 2em >C. 1m >D. m >二､多项选择题9.设a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A. ()222log log ab b >B. 22ac bc >C. 1b a a b<<D. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()n S n N*∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A. 122a =B. 2d =-C. 当10n =或11n =时，n S 取得最大值D. 当0n S >时，n 的最大值为2011.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()sin f x x x =+则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是周期函数 C. ()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. ()f x 最大值212.若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A. 11B E A B ⊥B. 平面1//B CE 平面1A BDC. 三棱锥11C B CE -的体积为83D. 三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π三、填空题13.已知命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围是_______14.()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______.15.已知()f x 为奇函数，当0x >时，()ln xf x x=，则曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程是______． 16.已知抛物线C ：22y px =()06p <<的准线交圆1O ：()2234x y ++=于A ，B 两点，若23AB =则抛物线C 的方程为______，已知点()1,2M ，点E 在抛物线C 上运动，点N 在圆2O ：()2221x y -+=上运动，则EM EN +的最小值为______．四､解答题17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______． 给出下列三个条件：条件①：数列{}n a 为等比数列，数列{}1n S a +也为等比数列；条件②：点{}1,n n S a +在直线1y x =+上；条件③：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.在ABC V 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足cos2cos sin a C a C c A =-．(1)求角C ；(2)若ABC V 为锐角三角形，12c =，求ABC V 面积S的最大值.19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==．(1)求证：平面11CC D D ⊥底面ABCD ；(2)若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，求直线1CA 和平面11BCC B 所成角的正弦值. 20.某专业机械生产厂为甲乙两地（两地仅气候条件差异较大，其他条件相同）的两个不同机器生产厂配套生产同一种零件，在甲乙两地分别任意选取100个零件进行抗疲劳破坏性试验，统计每个零件的抗疲劳次数（抗疲劳次数是指从开始试验到零件磨损至无法正常使用时的循环加载次数），将甲乙两地的试验的结果，即每个零件的抗疲劳次数（单位：万次）分别按(]7,8，(]8,9，(]9,10，(]10,11，(]11,12分组进行统计，甲地的实验结果整理为如下的频率分布直方图（其中a ，b ，c 成等差数列，且23c b =），乙地的统计结果整理为如下的频数分布表．(1)求a ，b ，c 的值并计算甲地实验结果的平均数x ．(2)如果零件抗疲劳次数超过9万次，则认为零件质量优秀，完成下列的22⨯列联表： 质量不优秀 质量优秀 总计 甲地 乙地总计试根据上面完成的22⨯列联表，通过计算分析判断，能否有97．5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关？附：临界值表()2P K k≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 其中2K的观测值()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d-=++++(3)如果将抗疲劳次数超过10万次的零件称为特优件，在甲地实验条件下，以频率为概率，随机打开一个4个装的零件包装箱，记其中特优件的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．21.已知椭圆E：22221x ya b+=()0a b>>的离心率为12，其左右顶点分别为1A，2A，上下顶点分别为2B，1B，四边形1122A B A B的面积为43．（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E左右焦点分别为1F，2F，过2F的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，记1F MN△的内切圆的半径为r，试求r的取值范围．22.已知函数()22xaf x e x=-（ 2.71828e=⋅⋅⋅为自然对数的底数）有两个极值点1x，2x．（1）求a的取值范围；（2）求证：122ln x x a +<．山东省青岛市2020年5月高三模拟检测数学试题一、单项选择题1.已知全集U =R ，集合{}2320A x x x =-+≤，{}131x B x -=≥，()U A B =I ð（ ）A. []1,2B. ()2,+∞C. [)1,+∞D. (),1-∞【答案】B 【解析】 【分析】将集合A ，B 化简，再求出U A ð，根据交集的定义即可得到答案. 【详解】因为{}{}2320=12A x x x x x =-+≤≤≤，{}{}{}1103133=1x x B x x x x --=≥=≥≥，所以(){|1U A B x x ⋂=<ð或}{}{}212x x x x x >⋂≥=>．故选：B.【点睛】本题主要考查交集、补集的运算，同时考查一元二次不等式的解法及指数不等式的解法，属于基础题.2.若复数z 满足)|i z i =(其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A.12B.12i C. 12-D. 12i -【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的定义可得)2i z =，从而可得z =，再根据复数的乘除运算即可求出复数z ，再根据共轭复数的定义，求出z 即可得到答案.【详解】由)|i z i =得)2i z ==，所以2(3)2(3)31=4223(3)(3)i i z i i i i ++===+--+，所以3122z i =-，所以z的虚部为12-. 故选：C.【点睛】本题主要考查复数的模，复数代数形式的乘除运算及共轭复数的概念，属于基础题.3.已知向量()1cos ,2a x =+r ，()sin ,1b x =r ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若//a b r r ，则sin x =（ ） A.45B.35C.25D.25【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列出方程可得cos 2sin 1x x =-，代入22sin cos 1x x +=解方程即可求出sin x .【详解】因为//a b r r，所以1cos 2sin 0x x +-=，所以cos 2sin 1x x =-，又因为22sin cos 1x x +=，所以22sin (2sin 1)1x x +-=， 即25sin 4sin 0x x -=，解得4sin 5x =或sin 0x =，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以4sin 5x =. 故选：A.【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，同角三角函数平方关系，属于基础题.4.在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数解析式来分析函数的图象与性质，下列函数的解析式(其中 2.71828e =L 为自然对数的底数)与所给图象最契合的是（ ）A. ()sin x xy e e -=+B. ()sin x xy e e-=-C. ()tan x xy e e -=-D. ()cos x xy e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据0x =时的函数值排除即可．【详解】当0x =时，对于A ，()00sin sin20y e e =+=>，故排除A ；对于B ，()00sin 0y e e=-=，故排除B ； 对于C ，()00tan 0y e e=-=，故排除C ；对于D ，()00cos cos20y e e =+=<，符合题意.故选：D.【点睛】本题主要考查函数表示方法中的图象法与解析法之间的对应关系，可利用从函数图象上的特殊点，排除不合要求的解析式．5.从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为（ ） A.29B.14C.718D.112【答案】C 【解析】 分析】基本事件的总数有6636⨯=种，利用列举法求出第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的基本事件有14种，根据古典概型概率计算公式，即可求出答案.【详解】从编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，有36个基本事件，其中第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除有如下基本事件 (第一次抽得的卡片1,第二次摸到卡片2用(1,2)表示)：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,3)，(3,6)， (4,4)，(5,5)，(6,6)，共14个，所以第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率1473618P ==. 故选：C.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的求法，属于基础题.6.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，则椭圆C的蒙日圆方程为（ ） A. 229x y += B.227x y += C. 225x y += D. 224x y +=【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆C 的离心率可求出3a =，根据题意知椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，利用过上顶点和右顶点的切线可得蒙日圆上的一点，即可椭圆C 的蒙日圆方程.【详解】因为椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，12=，解得3a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，所以椭圆的上顶点A ，右顶点(2,0)B ，所以经过,A B 两点的切线方程分别为y =2x =，所以两条切线的交点坐标为，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ==所以椭圆C 的蒙日圆方程为227x y +=.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，同时考查圆的方程，属于基础题.7.已知O 是ABC V 内部一点，20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，4BA BC ⋅=u u u r u u u r 且6ABC π∠=，则OAC V 的面积为（ ） A.3 B.23C.23D.43【答案】A 【解析】 【分析】由20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r可得1()2BO OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，设D 为AC 的中点，则1()2OA O OC D =+u u u u r u u r u u u r ，可得BO OD =u u u r u u u r ，从而可得O 为BD 的中点，进而可得12AOC ABC S S =△△，由4BA BC ⋅=u u u r u u u r 可得83||||3BA BC ⋅=u u u r u u u r ，再由12||||sin ABC BA AB S BC C ⋅⋅=∠u uu r u u u r △即可求出ABC S V . 【详解】在ABC V 中，由20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，得22OA OC OB BO +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r，所以1()2BO OA OC =+u u u r u u u r u u u r，设D 为AC 的中点，则1()2OA O OC D =+u u u u r u u r u u u r，所以BO OD =u u u r u u u r，所以O 为BD 的中点，所以12AOC ABC S S =△△， 因为4BA BC ⋅=u u u r u u u r ，所以3||||cos ||||4BA BC BA BC ABC BA BC ⋅=⋅⋅∠=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以83||||BA BC ⋅=u u u r u u u r ，所以11||||sin 232312ABCBA BC AB S C ⋅⋅∠==⨯=u u u r u u u r △，所以1233AOC S =⨯△. 故选：A.【点睛】本题主要考查向量的线性运算，向量的数量积及三角形的面积公式，属于中档题. 8.已知函数()2ln x f x x =，若()21f x m x<-在(0,)+∞上恒成立， 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，则实数m 的取值范围是（ ） A. m e > B. 2em >C. 1m >D. m >【答案】B 【解析】 【分析】()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立，即()21f x m x +<在(0,)+∞上恒成立，令221ln 1()()x g x f x x x+=+=，故只需max ()g x m <即可，利用导数求出()g x 的最大值即可. 【详解】若()21f x m x <-在(0,)+∞上恒成立，即()21f x m x +<在(0,)+∞上恒成立， 令221ln 1()()x g x f x x x+=+=，故只需max ()g x m <即可， 2431(ln 1)22ln 1()x x x x x g x x x ⋅-+⋅--'==，令()0g x '=，得12x e -=， 当120x e -<<时，()0g x '>；当12x e ->时，()0g x '<， 所以()g x 在12(0)e -，上是单调递增，在12(,)e -+∞上是单调递减， 所以当12max ()()2e g x g e -==， 所以实数m 取值范围是2e m >. 故选：B.【点睛】本题主要考查分离参数法处理恒成立问题，同时考查利用导数求函数的最值，属于中档题.二､多项选择题9.设a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A. ()222log log ab b >B. 22ac bc >C. 1b a a b<<D. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AC 【解析】 【分析】对A ，利用作差法比较即可；对B ，利用不等式的性质判断即可；对C ，利用作差法比较即可；对D ，利用指数函数的单调性比较即可. 【详解】对A ，因为0a b >>，所以1ab>， 所以2222222log ()log log log log 10ab a ab b b b-==>=， 所以222log ()log ab b >，故A 正确；对B ，当0c =时，22ac bc >不成立，故B 错误； 对C ，因为0a b >>，所以10b b a a a --=<，10a b a b b--=<， 所以1b aa b<<，故C 正确； 对D ，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，又a b >，所以1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查作差法比较大小，不等式的性质及指数函数的单调性，属于基础题. 10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()n S n N*∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A. 122a =B. 2d =-C. 当10n =或11n =时，n S 取得最大值D. 当0n S >时，n 的最大值为20【答案】BCD 【解析】 【分析】由690S =可得12530a d +=，由7a 是3a 与9a 的等比中项可得110a d =-，联立方程可求出120a =，2d =-，即可判断A ，B 选项，求出等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，即可判断C ，D.【详解】因为690S =，所以1656902a d ⨯+=，即12530a d +=，① 又因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =⋅， 所以2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，整理得110a d =-，②由①②解得120a =，2d =-，故A 错误； 所以22(1)2144120(2)21()224n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+， 又n *∈N ，所以当10n =或11n =时，n S 取得最大值，故C 正确；令2210n S n n =-+>，解得021n <<，又n *∈N ，所以n 的最大值为20，故D 正确. 故选：BCD【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列前n 项和公式，等比中项的应用，同时考查等差数列和的最值问题，属于基础题.11.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()sin f x x x =+则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是周期函数 C. ()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. ()f x 最大值为2【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义和周期函数的定义可判断A ，B ；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 可化为()sin 2sin()3f x x x x =+=+π，可判断C ；结合函数()f x 的周期性对x 进行分类讨论，将函数()f x 的绝对值去掉，再求其最大值可判断D. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，因为())sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以()f x 是偶函数，故A 正确；因为sin cos s )()(i ()n f x πx πx x x π+++=+=+-sin ()x x f x =+=，所以()f x 是以π为周期的周期函数，故B 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 可化为1()sin 2sin 2sin()23f x x x x x x ⎫=+=+=+⎪⎪⎝⎭π， 此时()f x 在06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；由于函数()f x 是以π为周期的周期函数，故只需研究一个周期内的最大值即可， 不妨取[0,]x π∈，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 可化为()2sin()3f x x π=+， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以当32x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1()sin 2sin 2sin()23f x x x x x x ⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭π， 由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得2,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 所以32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值2， 故当[0,]x π∈时，()f x 取得最大值2，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断及最值的求法，同时考查两角和与差的正弦公式的逆用，属于中档题.12.若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A. 11B E A B ⊥B. 平面1//B CE 平面1A BDC. 三棱锥11C B CE -的体积为83D. 三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD 【解析】 【分析】以1{,,}AB AD AA u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算11B E A B ⋅u u u r u u u r 值即可判断A ；分别求出平面1B CE ，平面1A BD 的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B ；利用等体积法，求出三棱锥11-B CC E 的体积即可判断C ；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故求出长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积即可判断D.【详解】以1{,,}AB AD AA u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--u u u r ，1(2,0,4)A B =-u u u r ， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠u u u r u u u r ，所以1B E u u u r 与1A B uuu r 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-u u u r ，(2,0,2)CE =-u u u r设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =r，则 由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y =所以(1,2,1)n =r，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =u r，故不存在实数λ使得n λm =r u r，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高， 所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.三、填空题13.已知命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围是_______【答案】[]22-,【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+<”假命题，则“2,10x R x ax ∀∈-+≥”为真命题.所以240a =-≤n ，解得22a -≤≤. 答案为：[]2,2-.14.()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______.【答案】25- 【解析】 【分析】先求得61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 的项与常数项，进而可得()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项.【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项为44262115C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为154025-=-.故答案为：25-.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求法，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用，属于基础题.15.已知()f x 为奇函数，当0x >时，()ln xf x x=，则曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程是______． 【答案】10x y -+= 【解析】 【分析】利用函数()f x 为奇函数，可求出当0x <时，()f x 的表达式为ln()()x f x x-=，然后根据在一点处的切线方程的求法，即可求出曲线()y f x =在点()1,0-处的切线方程. 【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-， 当0x <时，则0x ->，所以ln()ln()()()x x f x f x x x--=--=-=-， 所以221(1)ln()1ln()()x x x x f x x x ⨯-⨯-----'==，所以曲线()y f x =在点()1,0-处的切线的斜率(1)1k f '=-=， 所以切线方程是01y x -=+，即10x y -+=. 故答案为：10x y -+=【点睛】本题主要考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，在一点处的切线方程的求法，同时考查复合函数的导数，属于中档题.16.已知抛物线C ：22y px =()06p <<的准线交圆1O ：()2234x y ++=于A ，B 两点，若23AB =，则抛物线C 的方程为______，已知点()1,2M ，点E 在抛物线C 上运动，点N 在圆2O ：()2221x y -+=上运动，则EM EN +的最小值为______． 【答案】 (1). 28y x = (2). 2． 【解析】【详解】(1)设抛物线C 的准线与x 轴交于点D ，抛物线C 的准线方程为2px =-，则22211AO AD DO =+，即224(3)|3|2p =+-+， 整理得212320p p -+=，解得4p =或8p =，又06p <<，所以4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =．(2)由题意知 圆2O 的圆心坐标为(2,0)与抛物线的焦点坐标重合， 过E 作抛物线C 的准线2x =-的垂线，垂足为F ，则2||||EO EF =，所以22211EM EN EM EO NO EM EO EM EF +≥+-=+-=+-， 所以当M ，E ，F 三点共线时，EM EF +最小，最小值为3， 所以1312EM EN EM EF +≥+-≥-=， 所以EM EN +的最小值为2. 故答案为：①28y x =；②2【点睛】本题主要考查抛物线的定义和准线方程，圆中的弦长公式，抛物线中的最值问题，同时考查数形结合思想和转化与化归思想.四､解答题17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______． 给出下列三个条件：条件①：数列{}n a 为等比数列，数列{}1n S a +也为等比数列；条件②：点{}1,n n S a +在直线1y x =+上；条件③：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)不论选择哪个条件，1=2n n a -()N n *∈；(2)()()3234212n n T n n +=-++ 【解析】 【分析】(1) 方案一：选条件①．数列{}1n S a +也为等比数列，可根据其前3项也成等比数列列出方程，再将123,,S S S 用1,a q 表示解出q ，即可求出n a ；方案二：选条件②，可得11n n a S +=+()N n *∈，再将n 用1n -代换可得11n n a S -=+()2n ≥，两式相减可得12n n a a +=()2n ≥，再验证212aa =即可，从而可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出n a ；方案三：选条件③．可得当2n ≥时，1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈，再将n 用1n -代换可得()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-，两式相减可得12n n a a +=()2n ≥，再验证212a a =即可，从而可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出n a ；(2)由(1)不论选择哪个条件，1=2n n a -()N n *∈，代入化简可得()12n b n n =+，利用裂项相消法求和，即可求出数列{}n b 的前n 项和n T ． 【详解】(1)方案一：选条件①． 因为数列{}1n S a +为等比数列，所以()()()2211131S a S a S a +=++，即()()2121123222a a a a a a +=++， 设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =， 所以()()22222q q q+=++，解得2q =或0q =（舍）， 所以1112n n n a a q --==()N n *∈， (2)由（1）得12n n a -=()N n *∈，所以()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭，所以11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()13113232212442123111212n n n n n n n ⎛⎫=-=⎭+⎛-+ +⎫-=- ⎪+++⎝⎭⎝++⎪， 方案二：(1)选条件②．因为点()1,n n S a +在直线1y x =+上，所以11n n a S +=+()N n *∈，所以11n n a S -=+()2n ≥，两式相减得1n n n a a a +-=，12n na a +=()2n ≥， 因为11a =，211112a S a =+=+=，212a a =适合上式，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以1112n n n a a q --==()N n *∈ (2)同方案一的(2). 方案三：（1）选条件③．当2n ≥时，因为1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=()N n *∈⋅⋅⋅（i ）所以()121212221n n n n a a a n a ---++⋅⋅⋅+=-，所以()1212122221nn n n a a a n a --++⋅⋅⋅+=-⋅⋅⋅（ii ）（i ）－（ii ）得122(1)n n n a na n a +=--，即12n na a +=()2n ≥， 当1n =时，122a a =，212a a =适合上式， 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列所以1112n n n a a q --==()N n *∈ (2)同方案一的(2).【点睛】本题主要考查等比数列通项公式求法，裂项相消法求和，属于基础题.18.在ABC V 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足cos2cos sin a C a C c A =-． (1)求角C ；(2)若ABC V 为锐角三角形，12c =，求ABC V 面积S 的最大值. 【答案】(1)4C π=；（2）)361【解析】 【分析】(1)对cos2cos sin a C a C c A =-，利用正弦定理得sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-，进而可得cos2cos sin C C C =-，再利用二倍角公式即可求出角C ；(2)由已知可得4C π=，故要求ABC V 面积S 的最大值，只需求出ab的最大值即可，利用余弦定理可得222144c a b ==+，再利用基本不等式即可求出ab 的最大值.【详解】(1)因为cos2cos sin a C a C c A =-，所以由正弦定理可得：sin cos2sin cos sin sin A C A C C A =-， 因为()0,A π∈，sin 0A ≠，所以cos2cos sin C C C =-， 所以22cos sin cos sin C C C C -=-， 即()()cos sin cos sin 10C C C C -+-=， 所以cos sin 0C C -=或cos sin 10C C +-=， 即cos sin C C =或cos sin 10C C +-=， ①若cos sin C C =，则4C π=，②若cos sin 10C C +-=，则2sin 42C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为5444C πππ<+<，所以344C ππ+=，即2C π=， 综上，4C π=或2C π=.（2）因为ABC V 为锐角三角形，所以4C π=，因为()222221442cos 222224c a b ab a b ab ab ab ab π==+-=+-≥-=-，即()722222ab ≤=+-（当且仅当a b =等号成立），所以()()1122sin sin 7222362122444S ab C ab ab π===≤⨯+=+，即ABC V 面积S 的最大值是()3621+.【点睛】本题主要考查正弦定理，二倍角公式，基本不等式及三角形的面积公式，同时考查三角形中面积的最大值求法，属于基础题.19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==．(1)求证：平面11CC D D ⊥底面ABCD ；(2)若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为3π，求直线1CA 和平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；【解析】 【分析】(1)要证平面11CC D D ⊥底面ABCD ，只需证明其中一个面内一条线垂直于另一个平面即可，可证1D E ⊥底面ABCD ，由底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，可得BC ⊥平面11DCC D ，又1D E ⊂平面11DCC D ，从而可得1BC D E ⊥，又1D E CD ⊥，从而可证出1D E ⊥底面ABCD ；(2) 取AB 的中点F ，以1{,,}EF EC ED u u u r u u u r u u u u r为正交基底建系，设1ED a =()0a >，写出各点坐标，分别求出平面1BED 与平面11BCC B 的法向量()11,1,0n =-u r ，()20,,1n a =-u u r ，根据它们所成的锐二面角的大小为3π，利用夹角公式列出方程可求出1a =，再求出()11,1,1CA =-u u u r，设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，由12sin cos CA n =〈⋅〉u u u r u u rθ即可求出答案.【详解】(1)因为底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，所以BC CD ⊥，1BC CC ⊥，又1CD CC C =I ，1,CD CC ⊂平面11DCC D ， 所以BC ⊥平面11DCC D ，又1D E ⊂平面11DCC D ，所以1BC D E ⊥，又1D E CD ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂底面ABCD ， 所以1D E ⊥底面ABCD ，又1D E ⊂平面11CC D D ， 所以平面11CC D D ⊥底面ABCD ．(2)取AB 的中点F ，因为E 是CD 的中点，底面ABCD 是矩形，所以EF CD ⊥,以E 为原点，以EF ，EC ，1ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示:设1ED a =()0a >，则()0,0,0E ，()1,1,0B ，()10,0,D a ，()0,1,0C ，()10,2,C a设平面1BED 的法向量()111,,n x y z =r ，()1,1,0EB =u u u r ，()10,0,ED a =u u u u r．由11100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v 可得：11100x y az +=⎧⎨=⎩，令11x =可得11y =-，10z =，所以()11,1,0n =-u r，设平面11BCC B 的法向量()2222,,n x y z =u u r ，()1,0,0CB =u u u r ，()10,1,CC a =u u u u r．由22100n CB n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u u v 可得，22200x y az =⎧⎨+=⎩，令21z =可得2y a =-，所以()20,,1n a =-u u r由于平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的平面角为3π， 所以1212212cos ,cos 321n n n n n n a π⋅===⋅⨯+u r u u ru r u u r ur u u r ， 解得1a =．所以平面11BCC B 的法向量()20,1,1n =-u u r，由于()1,1,0A -，()0,1,0C ，()0,1,0D -，()10,0,1D ，所以()()()1111,2,00,1,11,1,1CA CA AA CA DD =+=+=-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r， 设直线1CA 和平面11BCC B 所成的角为θ，则12126sin 23CA n CA n θ⋅===⨯⋅u u u r u u ru u u r u u r【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，根据所成二面角的大小逆向求参数值及利用向量法求线面角的正弦值，属于中档题.20.某专业机械生产厂为甲乙两地（两地仅气候条件差异较大，其他条件相同）的两个不同机器生产厂配套生产同一种零件，在甲乙两地分别任意选取100个零件进行抗疲劳破坏性试验，统计每个零件的抗疲劳次数（抗疲劳次数是指从开始试验到零件磨损至无法正常使用时的循环加载次数），将甲乙两地的试验的结果，即每个零件的抗疲劳次数（单位：万次）分别按(]7,8，(]8,9，(]9,10，(]10,11，(]11,12分组进行统计，甲地的实验结果整理为如下的频率分布直方图（其中a ，b ，c 成等差数列，且23c b =），乙地的统计结果整理为如下的频数分布表．(1)求a ，b ，c 的值并计算甲地实验结果的平均数x ．(2)如果零件抗疲劳次数超过9万次，则认为零件质量优秀，完成下列的22⨯列联表： 质量不优秀 质量优秀 总计 甲地 乙地 总计试根据上面完成的22⨯列联表，通过计算分析判断，能否有97．5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关？ 附：临界值表()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中2K 的观测值()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++(3)如果将抗疲劳次数超过10万次的零件称为特优件，在甲地实验条件下，以频率为概率，随机打开一个4个装的零件包装箱，记其中特优件的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【答案】(1)0.1a =，0.2b =，0.3c =，平均数9.3x =万次；(2)见解析，有；(3)见解析，1 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图的的矩形面积和为1，可得0.6a b c ++=，再由a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+，再结合23c b =解方程即可求出a ，b ，c 的值；利用组中值乘以相应的频率再求和即可求出平均数x ；(2)根据已知条件分别求出甲、乙抗疲劳次数超过9万次的零件数和不超过9万次的零件数，即可完成22⨯列联表，然后根据22⨯列联表求出观测值k ，查对临界值，即可作出判断；(3)根据已知条件可得任意抽取一件产品为特优件的概率14p =，ξ的取值可能为0，1，2，3，4，根据二项分布分别求出相应的概率，即可列出分布列并求出数学期望．【详解】(1)由频率分布直方图的性质可得：0.050.351a b c ++++=，即0.6a b c ++= 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，所以0.2b = 又23c b =，解之得：0.3c =，0.1a =所以7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即抗疲劳次数的平均数9.3x =万次(2)由甲地试验结果的频率分布直方图可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为()1000.350.20.0560⨯++=件，不超过9万次的件数为1006040-=件，由乙地试验结果分布表可得：抗疲劳次数超过9万次的零件数为4125975++=， 不超过9万次的零件数为25件，所以22⨯列联表为所以()220040752560200 5.128 5.0246513510010039k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为零件质量优秀与否与气候条件有关， 即有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关.(3)在甲地实验条件下，随机抽取一件产品为特优件的频率为0.25， 以频率为概率，所以任意抽取一件产品为特优件的概率14p = 则ξ的取值可能为0，1，2，3，4所以()40043181044256P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()311431812714425664P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()2224315427244256128P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()13343112334425664P C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()0444311444256P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以ξ的分布列为ξ的数学期望()8110854121012341256256256256256E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的性质，利用组中值估计平均数，独立性检验的应用，二项分布及数学期望，属于中档题.21.已知椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为12，其左右顶点分别为1A ，2A ，上下顶点分别为2B ，1B ，四边形1122A B A B 的面积为43．（1）求椭圆E 的方程；（2）若椭圆E 的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，记1F MN △的内切圆的半径为r ，试求r 的取值范围．【答案】(1)22143x y +=；(2)304r <≤【解析】 【分析】 (1)根据离心率为12，四边形1122A B A B 的面积为3222a b c =+，即可求出,a b ，进而求出椭圆E 的方程；(2)由1F MN △的周长1148F M F N MN a ++==，可得()111142F MN S F M F N MN r r =++=△，即114F MN r S =△， 对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，可求得34r =；当l 与x 轴不垂直时，设l ：()()10y k x k =-≠，将椭圆的方程与直线l 的方程联立消去x ，由根与系数的关系可求出12y y +，12y y ，代入11212F MN F F M F F N S S S =+△△△1212F F =k 的函数，利用换元法即可求出r 的取值范围． 【详解】(1)因为椭圆E 的离心率为12，所以12c e a ==， 因为四边形1122A BA B 的面积为1222a b ⨯⨯= 又222a b c =+，解得：2a =，b =1c =，所以椭圆E的方程为：22143x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，则1F MN △的周长48a ==，()111142F MN S F M FN MN r r =++=△，即114F MN r S=△， 当l x ⊥轴时，l 的方程为：1x =，3MN =，11211134424F MN r S MN F F ==⨯⨯=△， 当l 与x 轴不垂直时，设l ：()()10y k x k =-≠，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22243690k y ky k ++-=，所以122643k y y k +=-+，2122943k y y k =-+，112121221211221111222F MN F F M F F N S S S F F y F F y F F y y =+=⋅+⋅=⋅-△△△ 1211222F F ==⨯=所以114F MN r S ==△ 令243k t +=，则3t >，r ===， 因为3t >，所以1103t <<，所以304r <<综上可知：304r <≤【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，同时考查椭圆中的范围问题，对于第(2)问关键是借助于“算两次”面积相等得到114F MN r S =△，将问题转化为求1MN F S V 的面积问题. 22.已知函数()22xa f x e x =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）有两个极值点1x ，2x ． （1）求a 的取值范围； （2）求证：122ln x x a +<． 【答案】(1)(),e +∞；(2)见解析 【解析】 【分析】(1)求()xf x e ax '=-，令()()xg x f x e ax '==-，利用导数研究函数()g x 的单调性：当0a ≤时，()0x g x e a '=->，此时()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意；当0a >时，只需()()min ln 0g x g a =<，同时使得(),ln a -∞和()ln ,a +∞各有一个零点即可；(2) 不妨设12x x <，则()1,ln x a ∈-∞，()2ln ,x a ∈+∞，所以12ln x a x <<，要证122ln x x a +<，即证122ln x a x <-，而当(),ln x a ∈-∞时，函数()g x 单调递减，即证()()122ln g x g a x >-，而()()12g x g x =，即证()()222ln g x g a x >-，故可构造函数()()()2ln p x g x g a x =--，利用导数判断()p x 的单调性转化即可.【详解】(1)由已知得()xf x e ax '=-，因为函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，所以方程()0xf x e ax '=-=有两个不相等的根1x ，2x设()()xg x f x e ax '==-，则()xg x e a '=-①当0a ≤时，()0xg x e a '=->，所以()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意 ②当0a >时，由()0xg x e a '=-=得ln x a =．。

山东省青岛市2019届高三数学5月二模试题 理本试题卷共7页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =--<，则=B AA ．(1,1)-B ．(2,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)2．“2a =”是“复数(2)(1)a i i z i+-+=（R a ∈）为纯虚数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知平面向量,a b 满足||3,||2a b ==，且()(2)4a b a b +⋅-=，则向量,a b 的夹角为A ．π B ．π C ．π D ．2π5．73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是A ．10B ．4C ．10-D ．4-6．已知数列}{n a 满足11=a ，213a =，若*1111(2)3(2,N )n n n n n a a a a a n n -+-++=⋅≥∈，则数列}{n a 的通项n a =A ．112n - B ．121n - C ．113n - D ．1121n -+7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥 的侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦 值为A ．1B．2C ．23D ．138．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（gu ǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸10=分）．俯视图已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，春分晷影长为72.4寸，那么《易经》中所记录的夏至的晷影长应为A．14.8寸B．15.8寸C．16.0寸D．18.4寸9．已知抛物线2:8C y x=与直线(2)(0)y k x k=+>相交于,A B两点，F为抛物线C的焦点，若||2||FA FB=，则AB的中点的横坐标为A．52B．3C．5D．610．已知函数log,3()8,3ax xf xmx x≥⎧=⎨+<⎩，若(2)4f=，且函数()f x存在最小值，则实数a的取值范围为A．B．(1,2] C. D．)+∞11．已知三棱锥O ABC-的底面ABC∆的顶点都在球O的表面上，且6AB=，BC= AC=O ABC-的体积为O的体积为A．323πB．643πC．1283πD．2563π12．已知数列{},{}(N )n n a b n *∈都是公差为1的等差数列，其首项分别为11,a b ， 且115a b +=，*11,N a b ∈，设n n b c a =，则数列{}n c 的前100项和等于 A ．4950B ．5250C ．5350D ．10300二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是“中华诗词”“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国戏剧”“创新能力”．某参赛队从中任选2个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是 ． 14．已知实数,x y 满足条件2221y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则x y +的最大值是 ．15．直线y =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两支分别交于,B C 两点，A为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若OC 平分AOB ∠，则该双曲线的离心率为 ． 16．函数2()[(41)43]xf x ax a x a e =-+++在2x =处取得极大值，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 1sin sin c Bb a C A+=--+．（1）求A ∠的大小；（2）若12a c ==,求ABC ∆的面积S ．18．（12分）如图，在圆柱W 中，点1O 、2O 分别为上、下底面的圆心，平面MNFE 是轴截面，点H 在上底面圆周上（异于N F 、），点G 为下底面圆弧ME 的中点，点H 与点G 在平面MNFE 的同侧，圆柱W 的底面半径为1，高为2． （1）若平面⊥FNH 平面NHG ，证明：FH NG ⊥； （2）若直线NH 与平面NFG 所成线面角α的正弦值等于515，证明：平面NHG 与平面MNFE 所成锐二面角的平面角大于3π．19．（12分）已知O为坐标原点，点12(F F S ，动点N满足1||||NF NS +=，点P 为线段1NF 的中点.抛物线2:2(0)C x my m =>上点A 的纵坐，66OA OS ⋅=（1）求动点P 的轨迹曲线W 的标准方程及抛物线C 的标准方程； （2）若抛物线C 的准线上一点Q 满足OP OQ ⊥，试判断2211||||OP OQ +是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由．20．（12分）“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本。

2025届山东省青岛市崂山区青岛第二中学高考数学二模试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线y 2= 4x 的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，则 PQ PF ⋅的最小值为（ ） A ．-14B ．-12C ．-lD ．12．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1-D ．13．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．154．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0B ．2π C ．πD ．32π 5．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b c a b+++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A ．313⎛ ⎝⎭,B ．(3C ．2313⎛ ⎝⎦,D ．3]6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．837．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4B ．3C ．2D ．18．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（ ） A ．4B ．8C ．9D ．279．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()22cos cos b A a B c +=，3b =，3cos 1A =，则a =（ ） A ．5B ．3C ．10D ．411．半正多面体(semiregular solid ) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．4C ．163D ．20312．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1] ②()g x 的一个对称轴是12x π=③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭ ④()g x 存在两条互相垂直的切线 其中正确的命题个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年青岛市高考模拟检测数学（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|(3)(6)0}A x x x =+-≥ R ()A B =I ðA ．(3,6)-B ．[6,)+∞ D ．(,3)(6,)-∞-+∞U2．i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限 C ．第三象限 D ． 第四象限 3．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A ．215π B ．320π C ．2115π- D ．3120π-4. 在如图所示的框图中，若输出360S =，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 A ．2?k > B ．2?k < C ．3?k > D ．3?k <5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数列，则42S S = A ．3 B ．9 C ．10 D ．136．已知直线20x y a -+=与圆O ：222x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），则“a =0OA OB ⋅=u u u r u u u r”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >则(1)(2)(3)(2020)f f f f +++⋅⋅⋅+= A ．2log 5B ．2log 5-C ．2-D ．08．将函数()=2sin(2+)3f x x π图像上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为 A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π= 9．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-a y y x y x 41，目标函数y x z 23-=的最小值为4-，则a 的值是A ．1B ．0C ．1-D ．1210．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．5B ．53C ．52D ．5611．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =u u u r u u u r，抛正视图 侧视图物线的准线l 与x 轴交于点C ， 1AA l ⊥于点1A ，若四边形1AA CF的面积为l 的方程为A．x = B．x =- C ．2x =- D ．1x =-12．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① (0)0f =；② 当R x ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12||||x x =时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数： 1()sin f x x x =；2())f x x =；31,0(), 0xe xf x x x ⎧-≥=⎨-<⎩；24()x x f x e e x =--.则其中是“偏对称函数”的函数个数为A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．已知向量a r ，b r 满足||5b =r ，||4a b +=r r ，||6a b -=r r，则向量a r 在向量b r 上的投影为 ．14．已知5()(21)a x x x+-展开式中的常数项为30，则实数a = ． 15．定义12nnp p p +++L 为n 个正数12,,,n p p p L 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则122320172018111b b b b b b +++=L ． 16．已知三棱锥A BCD -中，3,1,4,AB AD BC BD ====当三棱锥A BCD -的体积最大时，其外接球的体积为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆的内角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，已知cos b A c =． （1）求cos B ；（2）如图，D 为ABC ∆外一点，若在平面四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，BC =AB 的长．CAB D18．（12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1BB ⊥底面ABC ，14BB =，AB BC ⊥，且AB BC ==，点,M N 为棱,AB BC 上的动点，且AM BN =，D 为11B C 的中点.（1）当点,M N 运动时，能否出现//AD 面1B MN 情况，请说明理由. （2）若BN =，求直线AD 与平面1B MN 所成角的正弦值.19．（12分）为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N u σ（0u u =，σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%.（ⅰ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） （ⅱ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y ． （说明：()111()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6φ=，(0.6554)0.4φ=）20．（12分）在平面直角坐标系中，点1F 、2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的离心率为2，点3(1,)2在双曲线C 上.不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点OA BC1B1AD1CM N对称，且四边形12PF QF的周长为（1）求动点P 的轨迹方程；（2）在动点P 的轨迹上有两个不同的点1122(,)(,)M x y N x y 、，线段MN 的中点为G ，已知点12(,)x x 在圆222x y +=上，求||||OG MN ⋅的最大值，并判断此时OMN ∆的形状.21．（12分）已知函数2()ln (R)f x x ax x a =++∈. （1）讨论函数()f x 在[1,2]上的单调性； （2）令函数12()()x g x ex a f x -=++-， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数，若函数()g x 有且只有一个零点m ，判断m 与e 的大小，并说明理由.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修44-：坐标系与参数方程（10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线1C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，曲线2C 的参数方程是12cos 2sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程及2C 的普通方程；（2）已知点1(,0)2P ，直线l的参数方程为1222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设直线l 与曲线1C 相交于,M N 两点，求11||||PM PN +的值．23．选修45-：不等式选讲（10分） 已知函数()|1||2|f x x x =++-. （1）求函数()f x 的最小值k ；（2）在（1）的结论下，若正实数,a b满足11a b +，求证：22122a b+≥.2018年青岛市高考模拟检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． C B C D C A B A C D A B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1- 14．3 15．20172018 16．1256π 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分．17. （本小题满分12分）解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得sin cos sin B A A C +=， ………………2分又()C A B π=-+，所以sin cos sin()B A A A B +=+，故sin cos sin cos cos sin B A A A B A B =+，…………………………………4分所以sin cos A B A =，又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，故cos B =6分（2）2D B ∠=∠Q ，21cos 2cos 13D B ∴=-=-………………………………………7分又在ACD ∆中， 1AD =， 3CD =∴由余弦定理可得22212cos 1923()123AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴AC = ………………………………………………………………………………9分在ABC ∆中， BC =AC = cos B =， ∴由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =-+⋅，即21262AB AB =+-⋅260AB --=，解得AB =故AB 的长为12分 18．（本小题满分12分） 解:（1）当,M N 为各棱中点时，//AD 面1B MN 证明如下：连接CD1//CN B D 且112CN B D BC ==∴四边形1B DCN 为平行四边形， 1//DC B N ∴又DC ⊄面1B MN ，1B N ⊂面1B MN∴//DC 面1B MN …………………………3分,M N Q 为各棱中点 //AC MN ∴又AC ⊄面1B MN ，MN ⊂面1B MN ，∴//AC 面1B MN ……………………………5分 Q DC AC C =I ，∴面//ADC 面1B MN又AD ⊂Q 面ADC ，//AD ∴面1B MN …………………………………………………6分（2）如图，设AC 中点为O ，作OE OA ⊥，以OA ，OE ，OB 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，BN =QAB BC ==，6AC ∴=133(2,0,1),(1,0,2),(3,0,0),(0,4,3),(,4,)22M N A B D ----Q1(3,0,1),(2,4,2)MN B M ∴=-=-u u u u r u u u u r………………………………………………………8分设平面1B MN 的法向量为(,,)n x y z =r ，则有1,n MN n B M ⊥⊥r u u u u r r u u u u r302420x z x y z -+=⎧∴⎨+-=⎩，可得平面1B MN 的一个法向量(1,1,3)n =r ……………………10分 又93(,4,)22AD =--u u u r，cos ,77||||n AD n AD n AD ⋅∴<>==r u u u rr u u u r r u u u u r设直线AD 与平面1B MN 所成角为α，则sin |cos ,|77n AD α=<>=r u u u r ……………12分19．（本小题满分12分） 解：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ …3分 （2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ，根据题意，111103()1()1()0.419.3x u x P x x φφσ-->=-=-=，即1103()0.619.3x φ-=. 由(0.7257)0.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈， 所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分. …………7分（ⅱ）因为(45)2,Y B ～，4423()55()()i i iP Y i C -∴==，0,1,2,3,4i =.所以的分布列为…………………………………………………………………10分 所以()45528E Y =⨯=. …………………………12分 20．（本小题满分12分） 解：（1）设点1F 、2F 分别为(,0),(,0)(0)c c c ->由已知2ca=，所以2c a =，224c a =，22223b c a a =-= 又因为点3(1,)2在双曲线C 上，所以229141a b -= 则222294b a a b -=，即2249334a a a -=，解得214a =，12a =所以1c =………………………………………………………………………………………3分 连接PQ ，因为12,OF OF OP OQ ==，所以四边形12PF QF 为平行四边形因为四边形12PF QF的周长为所以21122PF PF F F +=>=所以动点P 的轨迹是以点1F 、2F 分别为左、右焦点，长轴长为可得动点P 的轨迹方程为：221(0)2x y y +=≠……………………………………………5分 （2）因为22221=+x x ,,12,1222222121=+=+y x y x 所以12221=+y y ………………………6分所以||||OG MN ⋅= 212122212221212122212221222221y y x x y y x x y y x x y y x x +++++--+++==1212121232232213()222x x y y x x y y --+++≤= ………………………………………10分等号当仅当21212121223223y y x x y y x x ++=--,即02121=+y y x x所以ON OM ⊥,即OMN ∆为直角三角形………………………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（1）由已知0x >，且2121()2x ax f x x ax++'=++=①当280a ∆=-≤时，即当a -≤≤()0fx '≥则函数()f x 在[1,2]上单调递增…………………………………………………………1分②当280a ∆=->时，即a <-或a >2210x ax++=有两个根，4a x -=，因为0x >，所以4a x -+=11≤时，令(1)30f a '=+≥，解得3a ≥-∴当3a -≤<-a >()f x 在[1,2]上单调递增…………………3分2°当12<<时，令(1)30f a '=+<，9(2)02f a '=+>， 解得932a -<<-∴当932a -<<-时，函数()f x在上单调递减，在[,2]4a -上单调递增；…………………5分 32≥时，令9(2)02f a '=+≤，解得92a ≤- ∴当92a ≤-时，函数()f x 在[1,2]上单调递减； ……………………………………6分（2）函数121()()ln x x g x e x a f x e x ax a --=++-=--+则11()()x g x e a h x x -'=--=则121()0x h x e x-'=+>，所以()g x '在(0,)+∞上单调增当0,(),,()x g x x g x →→-∞→+∞→+∞，所以()R g x '∈ 所以()g x '在(0,)+∞上有唯一零点1x当11(0,),()0,(,),()0x x g x x x g x ''∈<∈+∞>，所以1()g x 为()g x 的最小值 由已知函数()g x 有且只有一个零点m ，则1m x =所以()0,()0,g m g m '==则111ln 0m m e a m e m am a --⎧--=⎪⎨⎪--+=⎩ …………………………………9分则11111ln ()()0m m m e m e m e m m ------+-=，得11(2)ln 0m m m e m m----+= 令11()(2)ln (0)x x p x x e x x x --=--+>，所以()0,p m = 则121()(1)()x p x x e x-'=-+，所以(0,1),()0,(1,),()0x p x x p x ''∈>∈+∞<所以()p x 在(1,)+∞单调递减，因为1111(1)10,()(2)1(2)0e e e p p e e e e e e e---=>=--+=--< 所以()p x 在(1,)e 上有一个零点，在(,)e +∞无零点所以m e < …………………………………………………………………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程 解：（1）因为2sin 4cos 0ρθθ-=，所以22sin 4cos 0ρθρθ-=，所以24y x = ……………………………………………2分因为12cos 2sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=⎩，所以22(1)4x y ++= …………………………………………4分（2）由题知点1(,0)2P 在直线l 上将直线l的参数方程122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =得，240t --=设,M N 两点对应的参数为12,t t则12124t t t t +==-……………………………………………………………………6分 所以1212121212||||||1111||||||||||||t t t t PM PN t t t t t t +-+=+==12== ………………………………………………………………10分23．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲解：（1）因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=所以函数()f x 的最小值为3 ………………………………………………………………5分（2）由（1）知，11a b+= 因为2222222222()()()2()0m n c d mc nd m d n c mcnd md nc ++-+=+-=-≥所以22222121()[1](13a b a ++≥⨯= 所以22122a b+≥ ……………………………………………………………………………10分。

山东省青岛市2019届高三数学5月二模试题 理本试题卷共7页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将答题卡上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =--<，则=B AA ．(1,1)-B ．(2,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)2．“2a =”是“复数(2)(1)a i i z i+-+=（R a ∈）为纯虚数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知平面向量,a b 满足||3,||2a b ==，且()(2)4a b a b +⋅-=，则向量,a b 的夹角为A ．π B ．π C ．π D ．2π5．73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是A ．10B ．4C ．10-D ．4-6．已知数列}{n a 满足11=a ，213a =，若*1111(2)3(2,N )n n n n n a a a a a n n -+-++=⋅≥∈，则数列}{n a 的通项n a =A ．112n - B ．121n - C ．113n - D ．1121n -+7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥 的侧棱与底面所成线面角的最小角的正弦 值为A ．1B．2C ．23D ．138．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（gu ǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸10=分）．俯视图已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，春分晷影长为72.4寸，那么《易经》中所记录的夏至的晷影长应为A ．14.8寸B ．15.8寸C ．16.0寸D ．18.4寸9．已知抛物线2:8C y x =与直线(2)(0)y k x k =+>相交于,A B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若||2||FA FB =，则AB 的中点的横坐标为A ．52B ．3C ．5D ．610．已知函数log ,3()8,3a x x f x mx x ≥⎧=⎨+<⎩，若(2)4f =，且函数()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围为A ．B ．(1,2] C. D ．)+∞11．已知三棱锥O ABC -的底面ABC ∆的顶点都在球O 的表面上，且6AB =，BC =AC =O ABC -的体积为O 的体积为A ．323πB ．643πC ．1283πD ．2563π12．已知数列{},{}(N )n n a b n *∈都是公差为1的等差数列，其首项分别为11,a b ， 且115a b +=，*11,N a b ∈，设n n b c a =，则数列{}n c 的前100项和等于 A ．4950 B ．5250 C ．5350 D ．10300二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是“中华诗词”“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国戏剧”“创新能力”．某参赛队从中任选2个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是 ．14．已知实数,x y 满足条件2221y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则x y +的最大值是 ．15．直线y =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两支分别交于,B C 两点，A为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若OC 平分AOB ∠，则该双曲线的离心率为 ． 16．函数2()[(41)43]xf x ax a x a e =-+++在2x =处取得极大值，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 1sin sin c Bb a C A+=--+．（1）求A ∠的大小；（2）若12a c ==,求ABC ∆的面积S ．18．（12分）如图，在圆柱W 中，点1O 、2O 分别为上、下底面的圆心，平面MNFE 是轴截面，点H 在上底面圆周上（异于N F 、），点G 为下底面圆弧ME 的中点，点H 与点G 在平面MNFE 的同侧，圆柱W 的底面半径为1，高为2． （1）若平面⊥FNH 平面NHG ，证明：FH NG ⊥； （2）若直线NH 与平面NFG 所成线面角α的正弦值等于515， 证明：平面NHG 与平面MNFE 所成锐二面角的平面角大于3π．MN1O 2O EFH∙∙19．（12分）已知O 为坐标原点，点12(F F S ，动点N 满足1||||NF NS +=，点P 为线段1NF 的中点.抛物线2:2(0)C x my m =>上点A 的纵坐，66OA OS ⋅=（1）求动点P 的轨迹曲线W 的标准方程及抛物线C 的标准方程； （2）若抛物线C 的准线上一点Q 满足OP OQ ⊥，试判断2211||||OP OQ +是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由．20．（12分）“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本。

2022届山东省青岛市高三下学期5月二模考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,2,4,5A =，{}1,3,5,7B =，则() UA B =（ ）A ．{}3,6B ．{}2,4C ．{}1,2,4,5,6D ．{}3,5,7【答案】C【分析】由题意和补集、交集的运算依次求出UB 和()U A B ．【详解】解：因为全集{1U =，2，3，4，5，6，7}，{1B =，3，5，7}， 所以{2U B =，4，6}， 又{1A =，2，4，5}，则(){1U A B =，2，4，5，6}，故选：C ． 2．复数2i1i-（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．1 B ．i - C ．2 D ．2i -【答案】A【分析】利用复数的除法法则及复数的概念即可求解. 【详解】由题意可知，()()()2i 1i 2i 22i1i 1i 1i 1i 2⨯+-+===-+--+， 所以复数2i1i-的虚部为1. 故选：A. 3．函数()221xf x x =-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．【详解】由题可得函数()f x 定义域为{}|1x x ≠±，且()()221xf x f x x --==--，故函数为奇函数，故排除BD ，由()4203f =>，1143234f ⎛⎫==-⎪⎝⎭-，故C 错误， 故选：A.4．二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧.四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为（ ） A ．146B ．123C ．523 D ．16【答案】C【分析】直接由组合结合古典概型求解即可.【详解】由题意知：从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为262244C 5C 23P ⨯==. 故选：C.5．若a b >，则（ ）A ．11a b>B ．11()22ba ⎛⎫> ⎪⎝⎭CD ．33a b >【答案】D【分析】取特殊值即可排除A 、B 选项；,0a b <即可排除C 选项；由单调性知D 正确. 【详解】取2,1a b ==，显然1121<，A 错误；21122⎛⎫< ⎪⎝⎭，B 错误；若,0a b <C 错误；若a b >，则33a b >，D 正确. 故选：D.6．下列函数中，以π2为周期且在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（ ）A ．sin 4y x =B ．cos 4y x =C ．tan y x =D ．tan 2y x =-【答案】B【分析】根据正弦型函数、余弦型函数的周期性及单调性可判断AB ，由正切函数的周期判断C ，由正切型函数的性质判断D.【详解】对于A ，sin 4y x =的周期为π2，ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，当π42πx <<时，函数sin 4y x=不单调，故错误；对于B ，cos 4y x =的周期为π2，ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，当π42πx <<时，函数cos 4y x =单调递增，故正确；对于C ，tan y x =的周期为π，故错误；对于D ，tan 2y x =-的周期为π2，ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，当π2π2x <<时，函数tan 2y x =单调递增，故tan 2y x =-单调递减，故错误. 故选：B7．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，EF ∥平面ABCD ，2EF =，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．82π3D ．4π【答案】B【分析】根据已知条件找出外接球的球心，求出半径，再利用球的体积公式即可求解. 【详解】连接AC ,BD 交于点M ,取EF 的中点O ，则OM ⊥平面ABCD ,,取BC 的中点G ,连接FG ,作GH EF ⊥,垂足为H ，如图所示由题意可知，13,2HF FG ==222HG FG HF =-=所以2OM HG ==2AM =所以221OA OM AM +=,又1OE =, 所以1OA OB OC OD OE OF ======，即这个几何体的外接球的球心为O ，半径为1， 所以这个几何体的外接球的体积为33444ππ1π333V R ==⨯⨯=. 故选：B.8．设O 为坐标原点，抛物线()21:20C y px p =>与双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>有共同的焦点F ，过F 与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，与2C 在第一象限内的交点为M ，若(),OM mOA nOB m n =+∈R ，18mn =，则双曲线2C 的离心率为（ ） ABCD【答案】C【分析】利用向量的运算建立方程，转化为离心率e 的方程求解. 【详解】因为抛物线()21:20C y px p =>的焦点(,0)2p F ，由题可知，2pc =，即抛物线方程为24y cx =， 令x c =代入抛物线方程24y cx =，可得2y c =±，代入双曲线方程22221x y a b -=，可得2b y a =±，可设(,2)A c c ，(,2)B c c -，2(,)b M c a， 由(),OM mOA nOB m n =+∈R 有21?2m n b m n ac +=⎧⎪⎨-=⎪⎩两边平方相减可得，2241()2b mn ac=- ， 由18mn =有：2b =，又222b c a =-即220c a -=，由ce a=有：210e -= 由1e >，解得e =故A ，B ，D 错误. 故选：C. 二、多选题9．已知22:60C x y x +-=，则下述正确的是（ ） A ．圆C 的半径3r =B．点(在圆C 的内部 C．直线:30l x +=与圆C 相切 D ．圆()22:14C x y '++=与圆C 相交【答案】ACD【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可 【详解】由2260x y x +-=，得22(3)9x y -+=，则圆心(3,0)C ，半径13r =， 所以A 正确，对于B ，因为点(3=>，所以点(在圆C 的外部，所以B 错误，对于C ，因为圆心(3,0)C到直线:30l x ++=的距离为13d r ===，所以直线:30l x +=与圆C 相切，所以C 正确，对于D ，圆()22:14C x y '++=的圆心为(1,0)C '-，半径22r =，因为4CC '==，12124r r r r -<<+，所以圆()22:14C x y '++=与圆C 相交，所以D 正确， 故选：ACD10．已知正方体1111ABCD A B C D -，动点P 在线段BD 上，则下述正确的是（ ） A ．11PC AD ∥ B ．11PC AC ⊥ C ．1PC ⊥平面1A BD D ．1PC ∥平面11AB D【答案】BD【分析】对A ，根据11BC AD ∥判断即可； 对B ，根据1A C ⊥平面1BC D 判断即可； 对C ，举反例判断即可；对D ，同B 中，证明1A C ⊥平面11AB D 判断即可；【详解】对A ，如图，根据正方体的性质有11AB D C ∥且11AB D C =，故平行四边形11ABC D ，故11BC AD ∥，故当且仅当P 在B 点时才有11PC AD ∥，故A 错误；对B ，如图，由正方体的性质可得11B C BC ⊥，11A B ⊥平面11BB C C ，故111A B BC ⊥，又111B C A B ⋂，111,B C A B ⊂平面11A B CD ，故1BC ⊥平面11A B CD ，故11BC A C ，同理11DC AC ⊥，故1A C ⊥平面1BC D ，故11PC AC ⊥，故B 正确； 对C ，当P 在B 时，1160C BA ∠=，故1PC ⊥平面1A BD 不成立，故C 错误；对D ，同B 有1A C ⊥平面11AB D ，故平面1BC D ∥平面11AB D ，故1PC ∥平面11AB D 成立，故D 正确；故选：BD11．已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()22,2g x f x f x h x f x f x =--+=-+，则下述正确的是（ ） A ．()g x 为奇函数B ．()g x 为偶函数C ．()h x 的图象关于直线1x =对称D ．()h x 的图象关于点()1,0对称【答案】AC【分析】根据函数的奇偶性及对称性即可求解.【详解】因为()()()22g x f x f x =--+，所以()()()()22g x f x f x g x -=+--=-， 所以()g x 为奇函数，故A 正确；B 错误；因为()()()2h x f x f x =-+，所以()()()()22h x f x f x h x -=+-=， 所以()h x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确；所以()()()()2220h x f x f x h x -=+-≠⨯-，所以()h x 的图象不关于点()1,0对称，故D 不正确. 故选：AC.12．已知()lg ,010,? 1? x x F x x <<⎧=⎨≥⎩，若0a >，0b >，则下述正确的是（ ）A ．()lg20220F =B ．()()()F ab F a F b =C ．()()()F ab F a F b ≥+D ．()()bF abF a =【答案】ACD【分析】根据对数的运算性质以及分段函数的处理策略求解.【详解】因为(),010,1lgx x F x x <<⎧=⎨≥⎩，且lg 20221≥，所以()lg20220F =，故A 正确；当,(0,1)a b ∈时，()lg F a a =，()lg F b b =，()lg()F ab ab =， 所以()()()F ab F a F b ≠，故B 错误；对于C 选项，当01a <<，01b <<，由对数的性质和运算法则有()()()F ab F a F b ≥+，当1a >，1b >时，()()()0F ab F a F b =+=，当,a b 中有1个大于等于1，不妨设1a >，01b <<，则0ab b >>，则 ()()()()F ab F a F b F b >+=，故C 正确； 当1a ≥时，1b a ≥，所以()()=0bF a bF a =，当01a <<时，01ba<<，由对数的运算法则有：()()bF a bF a =，故D 正确.故选：ACD 三、填空题13．某校高二年级共有学生1000人，其中男生480人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高二全体学生中抽出一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则女生应抽取的人数为___________. 【答案】52【分析】利用分层抽样的性质直接求解． 【详解】解：由分层抽样的性质得： 女生应该抽取：1000480100521000-⨯=．故答案为：52．14．若ABC 是边长为2的等边三角形，AD 为BC 边上的中线，M 为AD 的中点，则()MA MB MC ⋅+的值为___________. 【答案】32--1.5【分析】已知ABC 是边长为2的等边三角形，AD 为BC 边上的中线，M 为AD 的中点，则AM MD =AM MD =，又2MB MC MD +=，然后结合平面向量数量积的运算求解即可．【详解】解：已知ABC 是边长为2的等边三角形，AD 为BC 边上的中线，M 为AD 的中点，则32AM MD ==，AM MD =， 又2MB MC MD +=， 则2233()22()22MA MB MC MA ⋅+=-=-⨯=-， 故答案为：32-．15．将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第n 行共有12n -个数，若12a =，且该数阵中第5行第6列的数为42，则n a =___________.【答案】2n【分析】利用等比数列前n 项和公式确定42为数列中的第几项，可以求出公差，从而确定等差数列的通项公式. 【详解】解：设公差为d ， 因为该数阵第n 行共有12n -个数， 则前4行共有()41121512⨯-=-个数，所以第5行第6列数为2142a =， 则2114222211211a a d --===--， 所以2(1)22n a n n =+-⨯=． 故答案为：2n ． 四、双空题16．如图所示，A ，B ，C 为三个村庄，7km AB =，5km AC =，8km BC =，则ACB =∠___________；若村庄D 在线段BC 中点处，要在线段AC .上选取一点E 建一个加油站，使得该加油站到村庄A ，B ，C ，D 的距离之和最小，则该最小值为___________km .【答案】 60°3π547+475+【分析】利用余弦定理以及点关于线的对称点进行处理. 【详解】在ABC 中，由余弦定理有：2222564491cos 2802AC BC AB ACB AC BC +-+-===⋅∠又(0,180)ACB ∈。

2023年山东省青岛市高考数学二模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x |x 2+2x ﹣8＜0}，B ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈Z }，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣3，﹣1，1}B ．{﹣1，1，3}C ．（﹣4，2）D ．（﹣2，4）2．已知O 为坐标原点，复数z 1＝1+i ，z 2＝2﹣i ，z 3＝1+mi （m ∈R ）分别表示向量OA →，OB →，OC →，若AB →⊥OC →，则|z 3|＝（ ） A ．√2B ．√3C ．√52D ．√723．已知函数f （x ）＝x ，g （x ）＝2x +2﹣x ，则大致图象如图的函数可能是（ ）A ．f （x ）+g （x ）B ．f （x ）﹣g （x ）C ．f （x ）g （x ）D ．f(x)g(x)4．某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有（ ） A ．300种B ．210种C ．180种D ．150种5．在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 如图所示，则tan A ＝（ ）A ．74B ．1C ．53D ．√526．已知O 为坐标原点，直线l 过抛物线D ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F ，与D 及其准线依次交于A ，B ，C 三点（其中点B 在A ，C 之间），若|AF |＝4，|BC |＝2|BF |．则△OAB 的面积是（ ） A ．√3B ．4√33C ．2√3D ．8√337．三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据．三面角P ﹣ABC 是由有公共端点P 且不共面的三条射线P A ，PB ，PC 以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∠APB ＝γ，平面APC 与平面BPC 所成的角为θ，由三面角余弦定理得cosθ=cosγ−cosα⋅cosβsinα⋅sinβ．在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝6，∠APC ＝60°，∠BPC ＝45°，∠APB ＝90°，PB +PC＝6，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（ ） A ．27√24B ．274C ．92D ．948．设[x ]表示不超过x 的最大整数（例如：[3.5]＝3，[﹣1.5]＝﹣2），则[log 21]+[log 22]+[log 23]+⋯+[log 22046]＝（ ） A ．9×210﹣8B ．9×211﹣8C ．9×210+2D ．9×211+2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年5月青岛市高考二模检测理科数学及答案2018年青岛市高考模拟检测数学（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题），全卷满分150分，考试用时120分钟。

祝考试顺利。

注意事项：1.答题前，请在试题卷和答题卡上填写姓名和准考证号，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2.选择题：用2B铅笔将答案标号涂黑在答题卡上对应题目的答案标号上，其他地方无效。

3.填空题和解答题：用签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内作答，其他地方无效。

4.选考题：先在答题卡上用2B铅笔涂黑所选题目的题号，然后在答题卡上对应的答题区域内作答，其他地方无效。

5.考试结束后，请将答题卡交回。

一、选择题1.若B = 4/R，下列选项中符合B。

0的是（B = 4/(R -7i)）。

A。

(-3,6)B。

[6.+∞)C。

(-3,-2]D。

(-∞,-3)(6,+∞)2.在复平面内，若z = 2 + 3i，则z的共轭复数z'在复平面内的位置是2-3i。

3.已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，求其内切圆的直径为多少步。

若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是1-π/6.4.如图所示的框图中，若输出S = 360，则判断框中应填入的关于k的判断条件是k。

2.5.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6，3a4，-a5成等差数列，则S4 = 3S2，k = 6，S = 1，输出S的值为9.6.已知直线x-2y+a=0与圆O：x+y=2相交于A，B两点（O为坐标原点），则a=5是“OA·OB=”的充分不必要条件。

20.在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线C:(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 (a>0.b>0) 的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点(1.ab/2)在双曲线C上。

不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为42.1) 求动点P的轨迹方程；2) 在动点P的轨迹上有两个不同的点M(x1.y1)、N(x2.y2)，线段MN的中点为G，已知点(x1.x2)在圆x+y=2上，求|OG|*|MN|的最大值，并判断此时△XXX的形状。