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综合仿真练(一)1．已知集合A＝｛0，3,4}，B＝｛－1,0,2,3｝，则A∩B＝________.解析:因为集合A＝{0,3，4｝，B＝｛－1,0,2，3},所以A∩B＝{0，3｝．答案：{0，3｝2．已知x＞0，若（x－i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝________.解析：因为x＞0,(x－i)2＝x2－1－2x i是纯虚数(其中i为虚数单位），所以x2－1＝0且－2x≠0,解得x＝1.答案:13．函数f(x)＝错误!的定义域为________．解析：由题意知错误!解得0<x≤错误!。
答案：（0，错误!］4．从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中恰有1个红球的概率是________．解析：将2个白球记为A，B,2个红球记为C，D，1个黄球记为E，则从中任取两个球的所有可能结果为（A，B），(A，C)，（A，D)，（A，E），(B,C），(B，D）,（B，E)，（C，D），（C,E）,（D，E），共10个,恰有1个红球的可能结果为(A，C）,(A，D)，（B，C),（B，D)，(E，C)，（E，D）共6个，故所求概率为P＝错误!＝错误!。
答案：错误!5．执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是________．错误!解析：若6x＝13，则x＝错误!>2，不符合题意；若x＋5＝13，则x＝8>2，符合题意，故x＝8。
答案：86．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm2）分别为:9.4,9.7,9。
8,10.3,10。
8,则这组样本数据的方差为________．解析：这组数据的平均数为15(9.4＋9.7＋9。
8＋10.3＋10.8)＝10，方差为错误
综合仿真练(八)1．(2020·通州中学)若复数z 满足z iz －i＝1，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为________．解析：由z iz －i＝1得z i ＝z －i ，即z ＝i 1－i ，所以|z |＝|i||1－i|＝12＝22. 答案：222．已知集合M ＝{0,1,3}，N ＝{x |x ＝3a ，a ∈M }，则M ∩N ＝________.解析：因为M ＝{0,1,3}，N ＝{x |x ＝3a ，a ∈M }，所以N ＝{0,3,9}，所以M ∩N ＝{0,3}． 答案：{0,3}3．在区间(0,5)内任取一个实数m ，则满足3<m <4的概率为________． 解析：根据几何概型的概率计算公式得，满足3<m <4的概率为P ＝4－35－0＝15.答案：154．已知一组数据x 1，x 2，…，x 100的方差是2，则数据3x 1,3x 2，…，3x 100 的标准差为________． 解析：由x 1，x 2，…，x 100的方差是2，则3x 1,3x 2，…，3x 100的方差是18，所以所求标准差为3 2.答案：3 25．在如图所示的算法中，输出的i 的值是________．解析：当i ＝1时，S ＝2；当i ＝3时，S ＝6；当i ＝5时，S ＝30；当i ＝7时，S ＝210>200.所以输出的i ＝7.答案：76．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e ＝________.解析：由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，则b ＝a ＋c2，即a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝c 2.整理得3c 2－2ac －5a 2＝0，所以3e 2－2e －5＝0，解得e ＝53.答案：537．设正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的边长为1，其表面积为14，则AA 1＝________. 解析：正四棱柱的表面积为14，两个底面积之和为2，故侧面积为12，则AA 1＝3. 答案：38．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ln x 在x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，则实数a 的值为________．解析：因为y ′＝1x ，所以曲线y ＝ln x 在x ＝e 处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝e ＝1e .又该切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，所以a ·1e＝－1，所以a ＝－e.答案：－e9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋2，y ≥x ，0≤y ≤4，x ≥0表示的平面区域的面积为S ，则S的值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，得面积S ＝12(42－22)＝6. 答案：610．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为________．解析：易得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，设t ＝ωx －π3，因为0<x <π，所以－π3<t <ωπ－π3.因为函数f (x )在(0，π)上有且仅有两个零点，所以π<ωπ－π3≤2π， 解得43<ω≤73.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤43，73 11．若两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且(a ＋2b )⊥(a －2b )，则向量a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值是________．解析：由(a ＋2b )⊥(a －2b )，得(a ＋2b )·(a －2b )＝0，即|a |2－4|b |2＝0，则|a |＝2|b |，cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝a ＋b ·a －b|a ＋b ||a －b |＝a 2－b2a 2＋2a ·b ＋b 2·a 2－2a ·b ＋b 2＝3b221b2＝217. 答案：21712．(2020·扬州中学模拟)已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，且S 6＝－9，S 8＝4，若满足不等式n ·S n ≤λ的正整数n 有且仅有3个，则实数λ的取值范围为________．解析：不妨设S n ＝An 2＋Bn ，由S 6＝－9，S 8＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧36A ＋6B ＝－9，64A ＋8B ＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－152，所以nS n ＝n 3－152n 2，令f (x )＝x 3－152x 2，则f ′(x )＝3x 2－15x ＝3x (x －5)，易得数列{nS n }在1≤n ≤5，n ∈N *时单调递减； 在n >5，n ∈N *时单调递增．令nS n ＝b n ，有b 3＝－812，b 4＝－56，b 5＝－1252，b 6＝－54，b 7＝－492.若满足题意的正整数n 只有3个，则n 只能为4,5,6，故实数λ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，－812. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，－81213．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2cos A ＝b 3cos B ＝c6cos C ，则cos A cos B cos C ＝________.解析：由题意及正弦定理得tan A 2＝tan B 3＝tan C6，可设tan A ＝2k ，tan B ＝3k ，tan C ＝6k ，k ＞0，而在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，于是k ＝116，从而cos A cos B cos C ＝320×215×112＝110. 答案：11014．已知函数f (x )＝2x 3＋7x 2＋6xx 2＋4x ＋3，x ∈[0,4]，则f (x )最大值是________．解析：法一：当x ＝0时，原式值为0；当x ≠0时，由f (x )＝2x 3＋7x 2＋6xx 2＋4x ＋3＝2x ＋7＋6xx ＋4＋3x，令t ＝2x ＋7＋6x，由x ∈(0,4]，得t ∈[2＋3，＋∞)，f (x )＝g (t )＝2t t 2＋1＝2t ＋1t. 而t ＋1t ≥4，当且仅当t ＝2＋3时，取得等号，此时x ＝3，所以f (x )≤12.即f (x )的最大值为12.法二：f (x )＝2xx 2＋4x ＋3－x 2x 2＋4x ＋3＝2x x 2＋4x ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋4x ＋32，于是令t ＝x x 2＋4x ＋3，所求的代数式为y ＝2t －t 2.当x ＝0时，t ＝0；当x ≠0时，有t ＝1x ＋4＋3x≤123＋4＝2－32，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2－32，当t ＝2－32时， 2t －t 2有最大值12，此时x ＝ 3.答案：12。
综合仿真练(十)1．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2＋2x －3≥0”，则命题p 的否定为________________． 答案：∃x ∈R ，x 2＋2x －3<02．已知一组数据3,6,9,8,4，则该组数据的方差是________．解析：x ＝15(3＋6＋9＋8＋4)＝6，s 2＝15[(3－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2＋(8－6)2＋(4－6)2]＝265.答案：2653．已知集合A ＝{1，cos θ}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，若A ＝B ，则锐角θ＝________.解析：由题意得cos θ＝12，又因为θ为锐角，所以θ＝π3.答案：π34.如图是一个算法流程图，则输出的k 的值是________． 解析：根据流程图，S ，k 的数据依次为1,1；2,2；6,3；15，结束循环，所以输出的k 的值是3.答案：35．已知i 是虚数单位，则1－i 1＋i2的实部为________．解析：因为1－i 1＋i2＝1－i 2i ＝－12－12i ，所以1－i 1＋i2的实部为－12. 答案：－126．(2019·如东中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为________．解析：如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B . 因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b . 又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a .整理，得b ＝2a .所以b a＝ 2. 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x7．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为________．解析：因为某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，所以基本事件总数n ＝9，甲、乙不在同一兴趣小组的对立事件是甲、乙在同一兴趣小组，所以甲、乙不在同一兴趣小组的概率P ＝1－39＝23.答案：238．已知一个正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为_________．解析：由条件，易知正四棱锥的高h ＝2×sin 60°＝3，底面边长为2，所以体积V ＝13×(2)2×3＝233. 答案：2339．已知奇函数f (x )在(－∞，＋∞)上为单调减函数，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集为________．解析：因为f (x )为奇函数，且不等式f (lg x )＋f (1)>0，所以f (lg x )>f (－1)，又因为f (x )在R 上为减函数，所以lg x <－1，解得0<x <110.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110 10．已知各项均为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q ≠1，n ∈N *)，若a 2＝3a 1，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列，则q 的值为________．解析：由条件，(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＝2(a 3＋a 4)，所以(1＋q )(a 2＋a 3)＝2q (a 1＋a 2)，所以(1＋q )(3＋q )a 1＝8qa 1，因为a 1>0，q ≠1，所以q ＝3.答案：311．(2019·淮阴中学模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆C 上的点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0(m <0)的最短距离为1，若点N (a ，b )在直线l 上位于第一象限的部分，则1a ＋1b的最小值为________．解析：圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心坐标(3,4)，半径为5，因为圆C 上的点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0(m <0)的最短距离为1，则直线l 与圆C 相离，设圆心到直线的距离为d ，则d －r ＝1，可得|9＋16＋m |9＋16＝6，解得m ＝－55或m ＝5(舍去)．因为点N (a ，b )在直线l 上位于第一象限的部分， 所以3a ＋4b ＝55，a >0，b >0.则1a ＋1b ＝155⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (3a ＋4b )＝1557＋4b a ＋3a b ≥155⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋24b a ·3a b ＝7＋4355， 当且仅当a ＝－55＋11033，b ＝55－5532时取等号．答案：7＋435512．(2019·锡山中学模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x ∈[0，1，3－x 2，x ∈[－1，0，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝3x ＋7x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为________．解析：∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期为2. 又g (x )＝3x ＋7x ＋2＝3＋1x ＋2，∴函数g (x )图象的对称中心为(－2,3)． 在同一个坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象，如图所示．由图象可得两函数的图象交于A ，B ，C 三点， 且点A ，C 关于点(－2,3)对称， ∴点A ，C 的横坐标之和为－4. 又由图象可得点B 的横坐标为－3，∴方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为－4－3＝－7. 答案：－713．在△ABC 中，D 为边AC 上一点，AB ＝AC ＝6，AD ＝4，若△ABC 的外心恰在线段BD 上，则BC ＝________.解析：法一：如图，设△ABC 的外心为O ，连结AO ，则AO 是∠BAC 的平分线，所以BO OD ＝AB AD ＝32，所以AO ―→＝AB ―→＋BO ―→＝AB ―→＋35BD ―→＝AB ―→＋35(AD ―→－AB ―→)，即AO ―→＝25AB ―→＋35AD ―→，所以AO ―→·AB ―→＝25(AB ―→)2＋35AB ―→·AD ―→，即18＝25×36＋35×6×4cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝14，则BC ＝36＋36－2×62×14＝3 6.法二：如图，设∠BAC ＝2α，外接圆的半径为R ，由S △ABO ＋S △ADO ＝S△ABD，得12·6R sin α＋12·4R sin α＝12·6·4sin 2α，化简得24cos α＝5R .在Rt △AFO 中，R cos α＝3，联立解得R ＝6510，cos α＝58，所以sin α＝38，所以BC ＝2BE ＝2AB sin α＝12×38＝3 6. 答案：3 614．在平面直角坐标系xOy 中，已知动直线y ＝kx ＋1－k 与曲线y ＝x ＋2x －1交于A ，B 两点，平面上的动点P (m ，n )满足|PA ―→＋PB ―→|≤42，则m 2＋n 2的最大值为________．解析：直线y ＝kx ＋1－k 过定点M (1,1)恰为曲线y ＝x ＋2x －1的对称中心，所以M 为AB 的中点，由|PA ―→＋PB ―→|≤42，得|PM ―→|≤22，所以动点P (m ，n )满足(m －1)2＋(n －1)2≤8，所以m 2＋n 2的最大值为18.答案：18。
江苏省2020届高三数学二轮专题训练：填空题（32）本大题共14小题，请把答案直接填写在答题位置上。
1. 在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为________．2. 命题：“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数是________．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S的值是________．4. 用半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥桶，那么这个圆锥的高是________．5. 为了调查高中学生眼睛高度近视的原因，某学校研究性学习小组用分层抽样的方法从全校三个年级的高度近视眼患者中，抽取若干人组成样本进行深入研究，有关数据见下表(单位：人)：则这2人都来自高三年级的概率是________．6. 双曲线x 2－y 24＝1的渐近线被圆x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0所截得的弦长为________．7. 在共有2 013项的等差数列{a n }中，有等式(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)－(a 2＋a 4＋…＋a 2 012)＝a 1 007成立；类比上述性质，在共有2 011项的等比数列{b n }中，相应的有等式________成立．8. 已知向量p 的模是2，向量q 的模为1，p 与q 的夹角为π4，a ＝3p ＋2q ，b ＝p －q ，则以a 、b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是________．9. 若x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y －k ≥0，且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则k 的值为________．10. 已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝n2n －1对任意n ∈N *恒成立，则a 10b 5的值为________．11. 已知A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＋2x ＋a ≥0}，A ，B 的交集不是空集，则实数a 的取值范围是________．12. 定义在R 上的函数f (x )的图象过点M (－6,2)和N (2，－6)，对任意正实数k ，有f (x ＋k )＜f (x )成立，则当不等式|f (x －t )＋2|＜4的解集为(－4,4)时，实数t 的值为________．13. 平面四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝DC ＝CB ＝1，△ABD 和△BCD 的面积分别为S ，T ，则S 2＋T 2的最大值是________．14. 在直角坐标系xOy 中，点P (x P ，y P )和点Q (x Q ，y Q )满足⎩⎨⎧x Q ＝y P ＋x P ，y Q ＝y P －x P ，按此规则由点P 得到点Q ，称为直角坐标平面的一个“点变换”．此变换下，若OQOP ＝m ，∠POQ ＝θ，其中O 为坐标原点，则y ＝m sin(x ＋θ)的图象在y 轴右边第一个最高点的坐标为________．1. 252. 23. －94. 32R5. 12 6. 4 7.a 1·a 3·a 5…a 2 011a 2·a 4·a 6…a 2 010＝a 1 006 8.29 9. 0 10. 1917 11. 12. 2 13. 78 14.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2。
综合仿真练(一) 1．已知集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，则A∩B＝________. 解析：因为集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，所以A∩B＝{0,3}． 答案：{0,3} 2．已知x＞0，若(x－i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝________. 解析：因为x＞0，(x－i)2＝x2－1－2xi是纯虚数(其中i为虚数单位)， 所以x2－1＝0且－2x≠0，解得x＝1. 答案：1 3．函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．
解析：由题意知 x>0，1－2log6x≥0，解得0答案：(0，6 ] 4．从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中恰有1个红球的概率是________． 解析：将2个白球记为A，B,2个红球记为C，D,1个黄球记为E，则从中任取两个球的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个，恰有1个红球的可能结果为(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(E，
C)，(E，D)共6个，故所求概率为P＝610＝35.
答案：35 5．执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是________． Read xIf x≤2 Then y←6xElse y←x＋5
End IfPrint y
解析：若6x＝13，则x＝136>2，不符合题意；若x＋5＝13，则x＝8>2，符合题意，故x＝8.
答案：8 6．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm2)分别为：9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________． 解析：这组数据的平均数为15(9.4＋9.7＋9.8＋10.3＋10.8)＝10，方差为15[(10－9.4)2＋(10－9.7)2＋(10－9.8)2＋(10－10.3)2＋(10－10.8)2]＝0.244. 答案：0.244 7．(2019·南通中学模拟)《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求球
综合仿真练(三)1．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0是________命题(选填“真”或“假”)． 解析：由x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥0，得∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0是真命题． 答案：真2．(2020·徐州中学模拟)设集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集个数是________．解析：作出单位圆和函数y ＝3x的图象(图略)，可知他们有两个公共点，所以A ∩B 中有两个元素，则A ∩B 有4个子集．答案：43．已知复数z ＝3－i1＋i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是________．解析：法一：因为z ＝3－i 1＋i ，所以|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－i 1＋i ＝|3－i||1＋i|＝102＝ 5.法二：因为z ＝3－i 1＋i ＝3－i 1－i 2＝1－2i ，所以|z |＝12＋－22＝ 5.答案： 54．某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．解析：样本中教师抽160－150＝10人，设该校教师人数为n ，则10n ＝1603 200，所以n ＝200.答案：2005．如图是给出的一种算法，则该算法输出的t 的值是________．t ←1i ←2While i ≤4t ←t ×i i ←i ＋1End While Print t解析：当i ＝2时，满足循环条件，执行循环t ＝1×2＝2，i ＝3； 当i ＝3时，满足循环条件，执行循环t ＝2×3＝6，i ＝4； 当i ＝4时，满足循环条件，执行循环t ＝6×4＝24，i ＝5； 当i ＝5时，不满足循环条件，退出循环，输出t ＝24. 答案：246．男队有号码1,2,3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为________．解析：两队各出一名运动员的基本事件总数n ＝12，出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，共有3个基本事件，所以出场的两名运动员号码不同的概率P ＝1－312＝34.答案：347．等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13＝________. 解析：由题意及等差数列的性质得5a 7＝100，故a 7＝20,3a 9－a 13＝3(a 1＋8d )－(a 1＋12d )＝2a 7＝40.答案：408．将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，可得函数g (x )＝sin 2x －cos 2x 的图象，则φ的最小值为________．解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8， 故将函数f (x )向右平移π4＋k π，k ∈Z 个单位可得g (x )的图象，因为φ>0，故φ的最小值为π4.答案：π49．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________．解析：设圆锥的底面半径为r ，圆锥的高为h ，则有1r 2＋1h2＝1，而母线长l ＝r 2＋h 2，则l 2＝(r 2＋h 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1r 2＋1h 2≥4，即可得母线最小值为2，此时r ＝h ＝2，则体积为13πr 2h ＝13(2)3π＝223π.答案：223π10．(2020·无锡期初)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan2x 的值是________．解析：因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34. 答案：3411．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，P 是△ABC (包括边界)内任一点．则AD ―→·EP ―→的取值范围是________．解析：以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,4)，B (2,0)，E (1，2)，D (1，0)，设P (x ，y )，则AD ―→·EP ―→＝(1，－4)·(x －1，y －2)＝x －4y ＋7，令z ＝x －4y ＋7，则y ＝14x ＋7－z 4，作直线y ＝14x ，平移直线y ＝14x ，由图象可知当直线y ＝14x ＋7－z4，经过点A 时，直线的截距最大，但此时z 最小， 当直线经过点B 时，直线的截距最小，此时z 最大． 即z min ＝－4×4＋7＝－9，z max ＝2＋7＝9， 即－9≤AD ―→·EP ―→≤9.故AD ―→·EP ―→的取值范围是[－9,9]． 答案：[－9,9]12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，A ，B 是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 的倾斜角分别为α，β，则cos α－βcos α＋β＝________.解析：由题意可知A (－a,0)，B (a,0)，设P (x 0，y 0)，则k PA ·k PB ＝y 20x 20－a2，又y 20＝b 2－b 2a 2·x 20，所以k PA ·k PB ＝－b 2a 2，即tan αtan β＝－b 2a 2.又e ＝c a＝a 2－b 2a 2＝32，所以－b 2a 2＝－14，即tan αtan β＝－14，所以cos α－βcos α＋β＝cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β＝1＋tan αtan β1－tan αtan β＝35.答案：3513．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ ―→＝23AP ―→＋13AC ―→，则|BQ ―→|的最小值是__________．解析：以点A 为坐标原点，AB 为x 轴正半轴，使得C 落在第一象限，建立平面直角坐标系(图略)，设P (cos α，sin α)，则由AQ ―→＝23AP ―→＋13AC ―→得，Q 23cos α＋12，23sin α＋32，故点Q 的轨迹是以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32为圆心，23为半径的圆．又BD ＝7，所以|BQ ―→|的最小值是7－23.答案：7－2314．(2020·盐城中学模拟)已知函数f (x )＝1x＋a ln x (x ∈(0，e])的最小值是0，则实数a 的取值集合为________．解析：法一：f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x2.当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝1e ＋a ，令1e ＋a ＝0，得a ＝－1e ，满足题意；当0<a ≤1e时，易知x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝1e ＋a ，令1e＋a ＝0，得a ＝－1e ，不满足题意；当a >1e 时，易知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a －a ln a ，令a －a ln a ＝0，得a ＝e ，满足题意．综上，实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1e ，e .法二：由题意可得①∀x ∈(0，e]，f (x )＝1x＋a ln x ≥0，且②当x ∈(0，e]时，方程1x＋a ln x ＝0有解．由①可得∀x ∈(0，e]，ax ln x ≥－1，当a ＝0时满足题意；当a >0时，需－1a ≤(x ln x )min ；当a <0时，需－1a≥(x ln x )max .令g (x )＝x ln x ，x ∈(0，e]，则g ′(x )＝1＋ln x ，由g ′(x )＝0得x ＝1e ，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ，又当0<x <1e 时，g (x )<0，所以g (x )max ＝g (e)＝e ，则当a >0时，－1a ≤－1e ，得0<a ≤e；当a <0时，－1a ≥e，得－1e ≤a <0.故可得－1e ≤a ≤e.由②可得a ≠0，且当x ∈(0，e]时，方程－1a ＝x ln x 有解，则－1a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1e ，e ，易得a ≤－1e或a ≥e.综上可得实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1e ，e . 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1e ，e。
综合仿真练(六) 1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{x|x2－6x＋5≤0，x∈Z}，则∁UM＝________. 解析：集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{x|x2－6x＋5≤0，x∈Z}＝{x|1≤x≤5，x∈Z}＝{1,2,3,4,5}，则∁UM＝{6,7}． 答案：{6,7}
2．已知复数z＝2＋i2－i(i为虚数单位)，则z的模为________．
解析：法一：z＝2＋i2－i＝2＋i25＝35＋45i， 则|z|＝352＋452＝1. 法二：|z|＝2＋i2－i＝|2＋i||2－i|＝55＝1. 答案：1 3．用分层抽样的方法从某高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为________．
解析：样本中高二年级抽45－20－10＝15人，设该校学生总数为n人，则45n＝15300，所以n＝900. 答案：900 4．根据如图所示的伪代码，输出S的值为________． S←1
I←1
While I≤8 S←S＋I I←I＋2
End WhilePrint S
解析：模拟执行程序，可得S＝1，I＝1，满足条件I≤8； S＝2，I＝3，满足条件I≤8；
S＝5，I＝5，满足条件I≤8；
S＝10，I＝7，满足条件I≤8；
S＝17，I＝9，不满足条件I≤8；
退出循环，输出S的值为17. 答案：17 5．(2020·天一中学模拟)若过抛物线x2＝2py(p>0)或y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与该抛物线交于A，B两点，则称线段AB为该抛物线的焦点弦，此时有以下性质：1AF＋1BF＝2p.已知抛物线L：x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与y轴交于点A，过点F作直线交抛物线L于B，C两点，若以AC为直径的圆恰好过点B，且CF＝BF＋8，则p的值为________ . 解析：因为以AC为直径的圆恰好过点B，所以AB⊥BC，如图，设|BF|＝m(m>0)，过点B作准线的垂线，垂足为D，易知△ABD∽△FAB，则AB2＝AF·BD＝pm，又因为AF2＝AB2＋BF2，所以p2＝m2＋pm，即m＝5－12p，由抛物线的焦点弦性质可得1AF＋1BF＝2p，所以1CF＝3－52p，即
江苏省2020届高三数学二轮专题训练：填空题（12）本大题共14小题，请把答案直接填写在答题位置上。
1． 已知集合},3,1{m A =，}4,3{=B ，}4,3,2,1{=B A ，则实数m = ▲ 2．若复数(1)()i a i -+是实数，则实数a = ▲3．设函数()⎩⎨⎧=x xx f 2log 2 11>≤x x ，则()[]=2f f ▲4．已知向量()0,1,(1,3),(,)OA OB OC m m ===，若//AB AC ，则实数m = ▲ 5．函数()sin sin()3f x x x π=--，)20(π≤≤x 的最小值为 ▲ 6．已知l n m ,,是三条直线，βα,是两个平面，下列命题中，正确命题的序号是 ▲①若l 垂直于α内两条直线，则α⊥l ；②若l 平行于α，则α内有无数条直线与l 平行；③若m ∥ββ⊂n ,，则m ∥n ；④若βα⊥⊥n m ,且n m ⊥，则βα⊥。
7． 已知()f x 为偶函数，且(1)(3),20,()3x f x f x x f x +=--≤≤=当时，则)2011(f = ▲8．已知2||,1||==，若⊥-)(，则向量与的夹角为 ▲ 9．若正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则→AP ·(→PB ＋→PD )的取值范围是 ▲10． 若不等式0122<-+-m x mx 对任意]2,2[-∈m 恒成立，则实数x 的取值范围是 ▲11． 直线1=y 与曲线a x x y +-=2有四个交点，则实数a 的取值范围是 ▲12．数列{}n a 满足*1111(),22n n a a n N a ++=∈=-，n S 是{}n a 的前n 项和，则2011S = ▲ 13．已知二次函数2()()f x ax x c x R =-+∈的值域为[0,)+∞，则22c a a c+++的最小值为 ▲14．已知定义域为),0(+∞的函数)(x f 满足：对任意),0(+∞∈x ，恒有)(2)2(x f x f =成立；当]2,1(∈x 时，x x f -=2)(．给出如下结论：①对任意Z m ∈，有0)2(=m f ；②函数)(x f 的值域为),0[+∞；③存在Z n ∈，使得9)12(=+n f ；④“函数)(x f 在区间),(b a 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得)2,2(),(1+⊆k k b a ” ．其中所有正确结论的序号是 ▲1． 已知集合},3,1{m A =，}4,3{=B ，}4,3,2,1{=B A ，则实数m = ▲ 1．2； 2．若复数(1)()i a i -+是实数，则实数a = ▲ 2．1；3．设函数()⎩⎨⎧=x x x f 2log 2 11>≤x x ，则()[]=2f f ． 3．2；4．已知向量()0,1,(1,3),(,)OA OB OC m m ===，若//AB AC ，则实数m = ▲4．1-；D 5．函数()sin sin()3f x x x π=--，)20(π≤≤x 的最小值为 ▲ 5．216．已知l n m ,,是三条直线，βα,是两个平面，下列命题中，正确命题的序号是 ▲ ．②④①若l 垂直于α内两条直线，则α⊥l ；②若l 平行于α，则α内有无数条直线与l 平行；③若m ∥ββ⊂n ,，则m ∥n ；④若βα⊥⊥n m ,且n m ⊥，则βα⊥。
2025届高考数学二轮复习-数列题型填空题专项训练一、填空题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2610a a +=，则7S =___________.答案：35解析：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2610a a +=，()()172677771035222a a a a S ++⨯∴====，故答案为：35.2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且满足：①12n n n S a S +->+；②*n ∀∈N ，8n S S >.写出一个同时满足上述两个条件的数列{}n a 的通项公式n a =________.答案：325n -（答案不唯一）解析：由12n n n S a S +->+，得12n n a a +->，即公差2d >，所以数列{}n a 是递增数列，又*n ∀∈N ，8n S S >，即当8n =时，n S 取得最小值，故只需数列{}n a 的前8项均为负数，第9项及之后均为正数即可，结合2d >可知，满足条件的一个数列{}n a 的通项公式可以为325n a n =-（答案不唯一，满足80a <，90a >且公差2d >即可）.3．已知ABC △中三边a ，b ，cABC △的形状为____________.答案：等边三角形解析：因为a ，b ，c2,b ac =+⎧⎪⎨=⎪⎩则24b a c ==++，即a c +=2=0，故a c b ==，所以ABC △为等边三角形.故答案为：2.5．已知数列{}n a 的前n 项和1*3()n n S k n +=+∈N ，且{}n a 不是等比数列，则常数k 的取值范围是____________.答案：(,3)(3,)-∞--+∞解析：因为2139a k k =+=+，当2n ≥时，113323n n n n n n a S S +-=-=-=⋅，当{}n a 是等比数列时，有16a =，即96k +=，解得3k =-，当{}n a 不是等比数列时，有3k ≠-，所以所求的常数k 的取值范围是(,3)(3,)-∞--+∞，故答案为：(,3)(3,)-∞--+∞.6．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若633S S =,则96SS =______.答案：73解析：1q ≠,否则61316233S a S a ==≠.()()6136331111311a q S q q S a q q--∴==+=--,32q ∴＝.()()9193962661111271112311a q S q qS q a q q----∴====----.故答案为：73.列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…….已知在斐波那契数列{}n a中,11a =,21a =,()21n n n a a a n +++=+∈N ,若2022a m =,则数列{}n a 的前2020项和为___________（用含m 的代数式表示）.答案：1m -.解析：由21n n n a a a ++=+,可知11n n n a a a +-=+,……,432a a a =+,321a a a =+,将以上各式相加得1312121222n n n n n a a a a a a a a ++-+=++++++++,整理得22n n a a S +=+,则2020202221S a a m =-=-.故答案为：1m -.式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,高阶等差数列中前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,2,4,7,11,16,22,则该数列的第20项为______.答案：191解析：高阶等差数列{}n a ：1,2,4,7,11,16,22,,令1n n n b a a +=-,则数列{}n b ：1,2,3,4,5,6,,则数列{}n b 为等差数列,首项11b =,公差1d =,n b n =,则1n n n a a +-=则()()()()20201919181817211a a a a a a a a a a =-+-+-++-+()19(191)1918171111912+=+++++=+=,故答案为：19111．记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知()**11,21,,22,2,,n n n k k n n a a n k k -⎧=-∈⎪+=⎨⎪=∈⎩N N 则12S =_____________.答案：1813解析：当21n k =-,*k ∈N ,()1111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,所以121235678910111211374355222S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++++++++++=+++++++()799111113579112223a a a a a a a a a a a ++++=+++++=111111111111183123355779911111313⎛⎫⨯-+-+-+-+-+-= ⎪⎝⎭.12．若数列2(4)3nn n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭中的最大项是第k 项，则k =________.答案：4解析：设2(4)3nn a n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知0n a >，则1122(1)(5)(1)(5)33(4)2(4)3n n n n n n n n a a n n n n ++⎛⎫++++ ⎪⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭.令11n na a +≥，得2(1)(5)(4)3n n n n ++≥+，即2221210312n n n n ++≥+，210n ∴≤，∴当3n ≤且n +∈N 时，1n n a a +>，当4n ≥且n +∈N 时，1n n a a +<，即1234a a a a <<<，4567a a a a >>>>，4k ∴=.13．对任意的正整数k ,直线:210l kx y k -++=恒过定点,则这个定点的坐标为________,若点(1,)k M a -在直线l 上,则数列1k k a ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前10项和为________.答案：(2,1)-;1011解析：直线:210l kx y k -++=即(2)10x k y ++-=,令2010x y +=⎧⎨-=⎩,解得21x y =-⎧⎨=⎩,所以直线l 恒过点(2,1)-,因为点()1,k M a -在直线l 上,所以210k k a k --++=,解得1k a k =+所以1111(1)1k k a k k k k ==-⋅⋅++,则数列1k k a ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前10项和111111101122310111111⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故答案为:(2,1)-;1011.14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列3S ，63S S -，96S S -，…的前n 项和为263n n +，则101a =_________.答案：135解析：设等差数列{}n a 的公差为d .由题意知数列3S ，63S S -，96S S -，…成等差数列，且公差6334561239d S S S a a a a a a d '=-=++--=--.记数列3S ，63S S -，96S S -，…为{}n c ，其前n 项和为n T ，则211(1)222n n n n d T nc d d c n '-⎛⎫''=+=+- ⎪⎝⎭，又因为数列3S ，63S S -，96S S -，…的前n 项和为263n n +，所以16,23,2d d c '⎧=⎪⎪⎨'⎪-=⎪⎩解得112,9.d c '=⎧⎨=⎩所以1493d d '==，131339c S a d ==+=，解得153a =，所以1011540010013533a a d =+=+=.15．已知数列{}n a 的通项公式是3n n a =.在1a 和2a 之间插入1个数11x ,使1a ,11x ,2a 成等差数列;在2a 和3a 之间插入2个数21x ,22x ,使2a ,21x ,22x ,3a 成等差数列.那么22x =______.按此进行下去,在n a 和1n a +之间插入n 个数1n x ,2n x ,…,nn x ,使n a ,1n x ,2n x ,…,nn x ,1n a +成等差数列,则11122122312n n n nn a x a x x a a x x x ++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=______.答案：21,13n n +⋅解析：由3n n a =,29a =,327a =,2a ,21x ,22x ,3a 成等差数列,21222336x x a a ∴+=+=,且公差为27963-=,2115x ∴=,2221x =,在n a 和1n a +之间插入n 个数1n x ,2n x ,…,nn x ,使n a ,1n x ,2n x ,…,nn x ,1n a +成等差数列,设其公差为d ,此数列首项为3n n a =,末项为113n n a ++=,则1n n x a d =+,1nn n x a d +=-,则()()1121332322n n n n n nnn n n n a a x x x n d d +++++⋅⋅⋅++==+=⋅-,设()()11212212n n n nn T x x x x x x =+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+,则12234323n n T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯,则3213234323n n T n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯,则()1231223233323n n n T n +-=⨯++++-⨯,()1121131232323123331n n n n n -++-=⨯+⨯⨯-⨯=---,则113332n n n T n ++-=+⋅,11122122312n n n nn a x a x x a a x x x ∴++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+1211212212n n n nna a a x x x x x x =+++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+11213333332n nn n ++-=++⋅⋅⋅+++⋅,111133333223n n n n n n ++++-==-⋅++⋅,故答案为:21;13n n +⋅.。
综合仿真练(九)1．设全集U ＝{x |x ≥3，x ∈N }，集合A ＝{x |x 2≥10，x ∈N }，则∁U A ＝________. 解析：∵全集U ＝{x |x ≥3，x ∈N }，A ＝{x |x 2≥10，x ∈N }＝{x |x ≥10，x ∈N }，∴∁U A ＝{x |3≤x ≤10，x ∈N }＝{3}．答案：{3}2．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50,75)中的频数为100，则n 的值为________．解析：由图可知，在[50,75)上的频率为0.1，所以n ＝1000.1＝1 000. 答案：1 0003．若复数z 满足z ＋i ＝2＋ii，其中i 为虚数单位，则|z |＝________.解析：由z ＋i ＝2＋i i ，得z ＝2＋i i －i ＝－2i ＋1－i ＝1－3i ，则|z |＝12＋－32＝10.答案：104．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为________．解析：由图可知x 2－2x ＋2＝26，解得x ＝－4或x ＝6，又x <4，所以x ＝－4. 答案：－45．从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为________．解析：从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，基本事件总数n ＝15，所取2个数的和能被3整除包含的基本事件有：(1,2)，(1,5)，(2,4)，(3,6)，(4,5)，共有5个，所以所取2个数的和能被3整除的概率P ＝515＝13.答案：136．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝________. 解析：设S n ＝An 2＋Bn ，由题知，⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝9，S 5＝25A ＋5B ＝25，解得A ＝1，B ＝0，∴S 7＝49. 答案：497.如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A A 1EF 的体积是________．解析：因为在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，BB 1⊄平面AA 1C 1C ，所以BB 1∥平面AA 1C 1C ，从而点E 到平面AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离，作BH ⊥AC ，垂足为点H ，由于△ABC 是正三角形且边长为4，所以BH ＝23，从而三棱锥A A 1EF 的体积VA A 1EF ＝VE A 1AF ＝13S △A 1AF ·BH ＝13×12×6×4×23＝8 3.答案：8 38．(2019·兴化中学模拟)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22等于________．解析：如图所示，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：PF 1＋PF 2＝2a 1，PF 1－PF 2＝2a 2，∴PF 1＝a 1＋a 2，PF 2＝a 1－a 2，设F 1F 2＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos 2π3，化简得3a 21＋a 22＝4c 2，该式可变成3e 21＋1e 22＝4.答案：49．如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0中心对称，则|φ|的最小值为________．解析：由题意可知当x ＝5π6时，y ＝0，即有sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＋φ＝0，解得φ＝k π－5π3，k ∈Z ，化简得φ＝(k －2)π＋π3，k ∈Z ，所以|φ|的最小值为π3.答案：π310．(2019·江苏模拟)在直角三角形ABC 中，tan A ＝2，D 为斜边AB 延长线上靠近B 的一点，若△CBD 的面积为1，则CA ―→·CD ―→＝________.解析：如图，过C 作CE ⊥AB ，垂足为E ， ∴S △CBD ＝12CE ·BD ＝1，∴CE ·BD ＝2.∵CA ⊥CB ，∴CA ―→·CB ―→＝0，∴CA ―→·CD ―→＝CA ―→·(CB ―→＋BD ―→)＝CA ―→·CB ―→＋CA ―→·BD ―→＝CA ―→·BD ―→＝|CA ―→|·|BD ―→|cos(π－A )＝－|CA ―→|·|BD ―→|cos A ＝－CA ·BD ·AE CA＝－BD ·AE ＝－BD ·CEtan A ＝－12BD ·CE ＝－12×2＝－1.答案：－111．已知正实数a ，b 满足9a 2＋b 2＝1，则ab3a ＋b的最大值为________．解析：法一： ab 3a ＋b ≤ab 23ab ＝2·3ab 62≤9a 2＋b 262＝212，当且仅当3a ＝b 时等号成立，又因为9a 2＋b 2＝1，a >0，b >0，所以当a ＝26，b ＝22时，ab 3a ＋b 取得最大值为212. 法二：令⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝cos θ，b ＝sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则ab 3a ＋b ＝13·sin θcos θcos θ＋sin θ.令t ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1，所以t ∈(1，2]．所以ab 3a ＋b ＝13·cos θ＋sin θ2－12cos θ＋sin θ＝16·t 2－1t ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t .因为y ＝t －1t 在t ∈(1， 2 ]上单调递增，所以当t ＝2时，ab 3a ＋b 取得最大值为212.答案：21212．已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n ∈N *)，则满足1 0011 000<S 2n S n <1110的n 的最大值为________． 解析：由2a n ＋1＋S n ＝2，① 可得当n ≥2时，2a n ＋S n －1＝2.②①－②得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，所以2a n ＋1＝a n . 因为a 2＝12，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝12(n ≥2)．又因为a 2a 1＝12，所以a n ＋1a n ＝12，所以数列{a n }是以1为首项，12为公比等比数列，所以S n ＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以S 2n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ，从而S 2n S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n 2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.由不等式1 0011 000<S 2n S n <1110，得1 0011 000<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <1110，所以11 000<⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110， 解得4≤n ≤9，所以满足条件的n 的最大值为9. 答案：913．(2019·海安中学模拟)已知a >0，b >0，且2a ＋3b＝1，则P ＝a ＋b ＋a 2＋b 2的最小值为________．解析：如图，考虑直线l ：x a ＋y b＝1，因为2a ＋3b＝1，不难发现，直线l 过点P (2,3)，构造圆C ：(x －r )2＋(y －r )2＝r 2，与直线l 切于点T ，显然圆C 与x 轴、y 轴分别切于点M (r,0)，N (0，r )．易得A (a,0)，B (0，b )，|AB |＝a 2＋b 2，所以P ＝a ＋b ＋a 2＋b 2＝|OA |＋|OB |＋|AB |＝|OA |＋|OB |＋|TA |＋|TB |＝|OA |＋|OB |＋|AM |＋|BN |＝|OM |＋|ON |＝2r .由于点P (2,3)在圆外，故有(2－r )2＋(3－r )2≥r 2，整理得r 2－10r ＋13≥0，解得r ≥5＋23(r ≤5－23舍去)． 故P ＝a ＋b ＋a 2＋b 2的最小值为10＋4 3. 答案：10＋4 314．已知函数f (x )＝e x－ax －1，g (x )＝ln x －ax ＋a ，若存在x 0∈(1,2)，使得f (x 0)g (x 0)<0，则实数a 的取值范围为________．解析：若存在x 0∈(1,2)，使得f (x 0)g (x 0)<0， 即[e x 0－(ax 0＋1)][ln x 0－a (x 0－1)]<0.在同一直角坐标系下作出函数y ＝e x，y ＝ax ＋1，y ＝ln x ，y ＝a (x －1)的图象(图略)． 当a <0时，f (x 0)>0，g (x 0)>0恒成立，不满足题意； 当a ＝1，x >1时，e x>x ＋1，ln x <x －1恒成立，满足题意；当a >1，x >1时，ln x －a (x －1)<x －1－a (x －1)＝(1－a )(x －1)<0，此时只需存在x 1∈(1,2)，使得e x 1>ax 1＋1，则e 2>2a ＋1，解得a <e 2－12，所以1<a <e 2－12；当0<a <1，x >1时，e x－(ax ＋1)>x ＋1－(ax ＋1)＝(1－a )x >0，此时只需存在x 2∈(1,2)，使得ln x 2<a (x 2－1)，则ln 2<a (2－1)，解得a >ln 2，所以ln 2<a <1.综上所述，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2，e 2－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2，e 2－12。
