黑龙江省佳木斯市桦南县高中数学 2.2 直线、平面平行的判定及其性质(练习)导学案 新人教A版必修2

si r2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定●知识梳理1简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a αb β => a ∥αa ∥b●知能训练一．选择题1．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n2．若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则（ ）A ．α内存在直线与l 异面B ．α内存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交3．如图，M 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列命题①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都垂直；③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都相交；④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都平行．其中真命题是（ ）godfo rs A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③4．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点．P 在对角线BD 1上，且BP ＝BD 1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面APC ；（2）C 1Q ∥面APC ；（3）A ，P ，M 三点共线；（4）面MNQ ∥面APC ．正确的序号为（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（4）C ．（2）（3）D ．（3）（4）5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（ ）A ．12条B ．18条C ．21条D ．24条6．直线a ∥平面α，P ∈α，那么过P 且平行于a 的直线（ ）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的（ ）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（ ）A ．DD 1B ．A 1D 1C ．C 1D 1D ．A 1D9．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1上的一点，若BC 1∥平面AB 1D 1，则 等于（ ）A ．1/2B ．1C ．2D ．3re o od fo rs10．下面四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E ，F ，EF=，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值的中点，AA =AB=2．an d2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1符号表示：βa βb ∩ = β∥a b p α∥a α∥b α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3●知能训练一．选择题1．已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②l ，m 是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β；③l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β；其中可以判定α∥β的是（ ）A．①B．②C．①③D．③2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）A．α、β都垂直于平面rB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β3．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系（ ）A．平行B．相交C．异面D．以上都不对h i n（1）求证：平面PCD ∥平面MBE ；（2）求四棱锥M-BCDE 的体积．2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质知识梳理1简记为：线面平行则线线平行。

高中数学直线与平面平行的判定和性质测试题及答案高中数学直线与平面平行的判定和性质测试题及答案高二数学直线与平面平行的判定和性质人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：直线与平面平行的判定和性质二. 教学重、难点：1. 直线与平面的位置关系（1）直线在平面内2. 直线和平面平行的判定3. 直线和平面平行的性质4. 将线面问题转化为线线问题“过线作面找交线”【典型例题】[例1] 如图，已知P是 ABCD所在平面外一点，M为PB的中点，求证：PD//平面MAC证：连结AC、BD相交于点O，连结MO∵ O为BD的中点，又M为PB的中点 MO//PD又∵ MO 面MAC，PD 面MAC PD//面MAC[例2] 正方体中，棱长为，画出过A、C、B1的平面与下底面的交线。

解：在面内，过点作直线P为和的公共点又∵相交于同一点P（2）时，∵故两两平行[例6] 如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，且AM=FN，求证：MN//面BCE。

证：作MGBC于G，NQBE于Q，连结GQ，则MG//AB，NQ//AB MG//NQ而MG=NQ 四边形MGQN为平行四边形MN//GQ ∵ MN 面BCE，GQ 面BCE MN//面BCE[例7] 正方体的棱长为1，过且平行于对角线的截面的面积等于多少？解：连结交于O 取中点E，连结OE、，∵ E、O分别为的中点∵ 面，面 B1D//面【模拟试题】（答题时间：60分钟）1. 长方体中，如下图，点，求证：MN//平面ABCD。

2. 如下图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，求证：AQ//平面CEP。

3. 已知P是所在平面外一点，，试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据。

4. 已知一条直线与一个平面平行，求证：经过这个平面的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内。

【试题答案】1. 证明：连结AC，A1C1，因为是长方体，所以又因为平面，平面所以AC//平面，又因为AC 平面，且平面平面所以，因为平面ABCD，平面ABCD，所以MN//平面ABCD 2. 证明：在矩形ABCD中，因为AP=PB，DQ=QC，所以，所以四边形AQCP为平行四边形，所以，因为CP 平面CEP，AQ 平面CEP，所以AQ//平面CEP3. 证明：在面PBC内作MN//BC，交PC于N，连结AN，则BC//面AMN面AMN为所作平面依据：直线与平面平行的判定4. 证：（反证法）假设∵ 和相交∵ A和确定一个平面即在内，过A作使与矛盾不成立。

2.2. 直线、平面平行的判断及其性质直线与平面平行的判断知识梳理1、直线与平面平行的判判定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：aαbβ=> a∥ αa∥ b知能训练一．选择题1．已知 m，n 是两条不同样直线，α，β，γ是三个不同样平面，以下命题中正确的选项是（）A ．若 m∥ α， n ∥ α，则 m∥ n B ．若α⊥ γ，β⊥ γ，则α∥ βC．若 m ∥ α， m ∥ β，则α∥ β D ．若 m ⊥ α， n⊥ α，则 m ∥ n 2．若直线l 不平行于平面α，且l?α，则（）A ．α内存在直线与 l 异面B ．α内存在与 l 平行的直线C．α内存在唯一的直线与 l 平行D ．α内的直线与 l 都相交3．如图， M 是正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1的棱 DD 1的中点，给出以下命题①过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都订交；②过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都垂直；③过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都订交；④过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都平行．其中真命题是（）A ．② ③ ④B ．① ③ ④C ．① ② ④D ．① ② ③4．正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1中 M ，N ，Q 分别是棱 D 1C1， A 1D 1，BC 的中点． P在对角线 BD 1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面 APC；（2）C1 Q∥面 APC；（3）A ，P， M 三点共线；（4）面 MNQ ∥面 APC．正确的序号为（）A ．（ 1 ）（ 2 ）B ．（ 1 ）（ 4 ）C．（ 2）（ 3 ） D ．（ 3 ）（ 4）5．在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1的各个极点与各棱中点共20 个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（）A ． 12 条B ． 18 条C ． 21 条D ． 24 条6．直线 a∥平面α，P∈ α，那么过 P 且平行于 a 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内7．若是直线a∥平面α，那么直线 a 与平面α内的（）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（）A ．DD 1B ．A 1 D 1C ．C 1D 1 D ．A 1 D9．如图，在三棱柱 ABC-A 1B1C1中，点 D 为 AC 的中点，点 D1是 A 1C1上的一点，若 BC 1∥平面 AB 1D 1，则等于（）A ． 1/2B ． 1C． 2 D ． 310．下面四个正方体图形中， A 、B 为正方体的两个极点，M、N 、 P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面 MNP 的图形是（）A ．①②B ．①④C．②③ D ．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段 B′ D上′有两个动点 E ，F，EF= ，则以下结论中错误的选项是（）A ． AC ⊥ BEB ． EF ∥平面 ABCDC．三棱锥 A-BEF的体积为定值D ．异面直线 AE ， BF 所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，E，F，G，H，M分别是棱AD ，DD 1，D1A 1，A 1A ，AB的中点，点 N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N 只需满足条件时，就有MN ⊥ A1C1；当N 只需满足条件时，就有MN ∥平面 B 1D 1C．13．如图，正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，AB=2，点E 为 AD的中点，点 F 在 CD上，若EF ∥平面AB 1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱 ABC-A 1B 1 C1中，侧棱 AA 1⊥底面 ABC ，AB ⊥ BC，D 为 AC的中点， AA 1=AB=2 ．（1）求证： AB 1∥平面 BC1D ；（2）若 BC=3 ，求三棱锥 D-BC 1C 的体积．平面与平面平行的判断知识梳理1、两个平面平行的判判定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

2.2.3 直线与平面平行的性质A级基础巩固一、选择题1．已知直线l∥平面α， P∈α，那么过点P且平行于l的直线( )A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不一定都在平面α内D．有无数条，不一定都在平面α内解析：如图所示，因为l∥平面α，P∈α，所以直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，所以P∈m，所以l∥m且m是唯一的．答案：B2．过平面α外的直线l作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点解析：若l∥α，则l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…；若l∩α＝P，则a，b，c，…交于点P.答案：D3．若两个平面与第三个平面相交有两条交线且两条交线互相平行，则这两个平面( )A．有公共点B．没有公共点C．平行D．平行或相交答案：D4.如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD 于G、H，则HG与AB的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行和异面解析：因为E，F分别是AA1，BB1的中点，所以EF∥AB.又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，所以AB∥GH.答案：A5.如图所示，四棱锥P­ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能解析：因为MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，所以MN∥PA.答案：B二、填空题6．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG.则EH与BD的位置关系是______．解析：因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.答案：平行7.如图所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：由于在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC ， 所以F 为DC 的中点， 所以EF ＝12AC ＝ 2.答案： 28．如图，ABCD ­A 1B 1C 1D 1是正方体，若过A ，C ，B 1三点的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为l ，则l 与AC 的关系是________．解析：因为AC ∥面A 1B 1C 1D 1，根据线面平行的性质知l ∥AC . 答案：平行 三、解答题9．如图，AB ，CD 为异面直线，且AB ∥α，CD ∥α，AC ，BD 分别交α于M ，N 两点，求证AM ∶MC ＝BN ∶ND .证明：连接AD 交α于点P ，连接MP ，NP ， 因为CD ∥α，面ACD ∩α＝MP ，所以CD ∥MP ，所以AM MC ＝AP PD.同理可得NP ∥AB ，AP PD ＝BN ND， 所以AM MC ＝BN ND.10．如图，直三棱柱ABC ­A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．证明：MN ∥平面A ′ACC ′.图①证明：法一 连接AB ′，AC ′，如图①所示由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC ­A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′的中点． 又N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′.又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′， 所以MN ∥平面A ′ACC ′.法二 取A ′B ′的中点P ，连接MP ，NP ，AB ′，如图②所示，因为M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，图②所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，所以平面MPN ∥平面A ′ACC ′. 而MN ⊂平面MPN ， 所以MN ∥平面A ′ACC ′.B 级 能力提升1．下列命题中，正确的命题是( )A ．若直线a 上有无数个点不在平面α内，则a ∥αB ．若a ∥α，则直线a 与平面α内任意一条直线都平行C ．若a ⊂α，则a 与α有无数个公共点D ．若a ⊄α，则a 与α没有公共点解析：对于A ，直线a 与平面α有可能相交，所以A 错；对于B ，平面α内的直线和直线a 可能平行，也可能异面，所以B 错；对于D ，因为直线a 与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D 错．答案：C2．对于平面M 与平面N ，有下列条件：①M 、N 都垂直于平面Q ；②M 、N 都平行于平面Q ；③M 内不共线的三点到N 的距离相等；④l ，m 为两条平行直线，且l ∥M ，m ∥N ；⑤l ，m 是异面直线，且l ∥M ，m ∥M ；l ∥N ，m ∥N ，则可判定平面M 与平面N 平行的条件是________(填正确结论的序号)．解析：由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定M ∥N . 答案：②⑤3.如图所示，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，平面PBC ∩平面PAD ＝l .(1)求证：l ∥BC .(2)问：MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论． 证明：(1)因为BC ∥AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以BC ∥平面PAD .又BC ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面PAD ＝l ， 所以l ∥BC . (2)平行．如图所示，取PD 的中点E ，连接AE ，NE . 因为N 是PC 的中点，所以EN 綊12CD .因为M 为▱ABCD 边AB 的中点， 所以AM 綊12CD .所以EN 綊AM ，所以四边形AMNE 为平行四边形，所以MN ∥AE .又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，所以MN∥平面PAD.。

2.2 直线.平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定基础习题1．下列命题中，正确的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a∥b，b∥α，a⊄α，则a∥α2．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α3．已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列说法：①a 与β内的所有直线平行； ②a 与β内无数条直线平行； ③a 与β内的任意一条直线都不垂直． 其中真命题的序号是________．4．如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝ANND ，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．5．过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱A 1C 1，B 1C 1，BC ，AC 的中点E 、F 、G 、H 的平面与平面________平行．6. 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面BCE .7.如图，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PCE .8.如图所示，ABCD －A1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.9.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在边的中点．求证：平面MNP ∥平面A 1C 1B .10.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，若D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．参考答案：1.解析：选D 由直线与平面平行的判定定理知，三个条件缺一不可，只有选项D 正确．2.解析：选D 当直线l ∥α或l ⊂α时，满足条件．3.解析：由面面平行的性质可知，过a 与β相交的平面与β的交线才与a 平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a 平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误．答案：②4.解析：∵AM MB ＝ANND，∴MN ∥BD ，又MN ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， ∴MN ∥平面BDC . 答案：平行5.解析：如图所示，∵E 、F 、G 、H 分别为A 1C 1、B 1C 1、BC 、AC 的中点，∴EF ∥A 1B 1，FG ∥B 1B ，且EF ∩FG ＝F ，A 1B 1∩B 1B ＝B 1 ∴平面EFGH ∥平面ABB 1A 1. 答案：ABB 1A 16.[解答] 法一：如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN . ∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD . 又AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ， 又PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ＝QB BD ，QN DC ＝BQ BD ，∴PM AB ＝QN DC， ∴PM 綊QN ，即四边形PMNQ 为平行四边形，∴PQ ∥MN . 又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE .法二：如图所示，作PH ∥EB 交AB 于H ，连接HQ ，则AH HB ＝AP PE ，∵AE ＝BD ，AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ ，∴AH HB ＝AP PE ＝DQBQ，∴HQ ∥AD ，即HQ ∥BC . 又PH ∩HQ ＝H ，BC ∩EB ＝B ，∴平面PHQ ∥平面BCE ，而PQ ⊂平面PHQ ， ∴PQ ∥平面BCE .7.证明：如图，取PC 的中点M ，连接ME 、MF ， 则FM ∥CD 且FM ＝12CD .又∵AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴FM 綊AE ，即四边形AFME 是平行四边形． ∴AF ∥ME ，又∵AF ⊄平面PCE ，EM ⊂平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE .8.解析：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴MN ∥PQ . ∵M 、N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，AP ＝a3，∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a .答案：223a9.证明：如图所示，连接D 1C ，则MN 为△DD 1C 的中位线， ∴MN ∥D 1C .∵D 1C ∥A 1B ，∴MN ∥A 1B .同理可证，MP ∥C 1B .而MN 与MP 相交，MN ，MP 在平面MNP 内，A 1B ，C 1B 在平面A 1C 1B 内，∴平面MNP ∥平面A 1C 1B .10.[自主解答] 存在点E ，且E 为AB 的中点． 下面给出证明：如图，取BB 1的中点F ，连接DF ， 则DF ∥B 1C 1，∵AB 的中点为E ，连接EF ，则EF ∥AB 1.B 1C 1与AB 1是相交直线，∴平面DEF ∥平面AB 1C 1. 而DE ⊂平面DEF ，∴DE ∥平面AB 1C 1.。

直线、平面平行的判定【学习目标】1.掌握直线与平面平行的判定定理；2.掌握两平面平行的判定定理；3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题． 【要点梳理】【高清课堂：线面平行的判定与性质39945 知识讲解1】 要点一、直线和平面平行的判定文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.图形语言：符号语言：a α⊄、b α⊂，//a b //a α⇒. 要点诠释：（1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件： ①直线a 在平面α外，即a α⊄； ②直线b 在平面α内，即b α⊂； ③直线a ，b 平行，即a ∥b ．这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立． （2）定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．要点二、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 图形语言：符号语言：若a α⊂、b α⊂，a b A =I ，且//a β、//b β，则//αβ. 要点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行⇒面面平行．要点三、判定平面与平面平行的常用方法1．利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法． 2．利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行． 【典型例题】类型一、直线与平面平行的判定例1．已知AB ，BC ，CD 是不在同一平面内的三条线段，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CD 的中点，求证：AC//平面EFG ， BD//平面EFG ．【解析】 欲证明AC ∥平面EFG ，根据直线和平面平行的判定定理，只需证明AC 平行于平面EFG 内的一条直线，如右图可知，只需证明AC ∥EF ．证明：如右图，连接AC ，BD ，EF ，GF ，EG ． 在△ABC 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴AC ∥EF ， 又AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ， 于是AC ∥平面EFG ． 同理可证BD ∥平面EFG ．【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论．OO 1CDC 11A 1B 1例2．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内，P 、Q 分别为对角线AE 、BD 上的点，且AP=DQ ，如右图．求证：PQ ∥平面CBE ．证明：作PM ∥AB 交BE 于点M ，QN ∥AB 交BC 于点N ，则PM ∥QN ． ∴PM EP AB EA =，QN BQDC BD=． ∵AP=DQ ，∴EP=BQ ． 又∵AB=CD ，EA=BD ， ∴PM //QN ．∴四边形PMNQ 是平行四边形． ∴PQ ∥MN ．综上，PQ ⊄平面CBE ，MN ⊂平面CBE ， 又∵PQ ∥MN ，∴PQ ∥平面CBE ．【总结升华】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键． 举一反三：【高清课堂：线面平行的判定与性质39945 例1】【变式1】在正方体1111ABCD A B C D -中，1O 是正方形1111A B C D 的中心，求证：1//AO 面1BC D ．证明：如图，取面ABCD 的中心O ，连1OC ．11//O C OC Q ，且11O C OC = ∴四边形11AOC O 是平行四边形11//AO OC ∴，又11OC BDC ⊂Q 平面 ∴1//AO 面1BC D【变式2】 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC.【解析】证明线面平行，根据判定定理，作出平行四边形，利用平行四边形的性质，证明平面外直线与平面上的直线平行.证明：设PC 的中点为G ，连接EG 、FG ．∵F 为PD 中点，∴GF ∥CD 且GF=12CD ．∵AB ∥CD ，AB=CD ，E 为AB 中点，∴GF ∥AE ，GF=AE ，四边形AEGF 为平行四边形． ∴EG ∥AF ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC ．【总结升华】要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用．【变式3】 如右图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP=AB ，BP=BC=2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAD ； （2）求三棱锥E —ABC 的体积V ．【解析】（1）在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC ． 又BC ∥AD ，∴EF ∥AD ．又∵AD ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD ．（2）连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ，如下图， 则EG ⊥平面ABCD ，且12EG PA =． 在△PAB 中，AP=AB ，∠PAB=90°，BP=2， ∴2AP AB ==，22EG =． ∴1122222ABC S AB BC ∆=⋅=⨯⨯=， ∴112123323E ABC ABC V S EG -∆=⋅=⨯⨯=． 类型二、平面与平面平行的判定例3．如右图，已知正方体ABC D —A 1B 1C 1D 1，求证：平面AB 1D 1∥平面BDC 1．【解析】要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知：须在某一平面内寻找两条相交且都与另一平面平行的直线．证明：∵AB //A 1B 1，C 1D 1//A 1B 1，∴AB //C 1D 1， ∴四边形ABC 1D 1为平行四边形，∴AD 1∥BC 1． 又AD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1． 同理，BD ∥平面AB 1D 1，又BD ∩BC 1=B ，∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1．【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判定定理得出结论．例4．如右图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ． 证明：连接MF ，∵M 、F 分别是A 1B 1、C 1D 1的中点，且四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴MF //A 1D 1．又A 1D 1//AD ，∴MF //AD ，∴四边形AMFD 是平行四边形，∴AM ∥DF ．∵DF ⊂平面EFDB ，AM ⊄平面EFDB ， ∴AM ∥平面EFDB ． 同理，AN ∥平面EFDB ．又AM 、AN ⊂平面AMN ，且AM ∩AN=A ， ∴平面AMN ∥平面EFDB ．【总结升华】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件，问题最终转化为证明直线和直线的平行．举一反三：【高清课堂：空间面面平行的判定与性质399113例1】【变式1】点P 是△ABC 所在平面外一点，123,,G G G 分别是△PBC ，△APC ，△ABP 的重心，求证：面123//G G G 面ABC .证明：连32,PG PG ，并延长分别交AB ，AC 于M ，Q ，连MQ .因为32,G G 为重心，所以M ，Q 分别为所在边的中点. 又直线PM ∩PQ =P ，所以直线PM ，PQ 确定平面PMQ , 在△PMQ 中，因为32,G G 为重心，所以323221PG PG G M G Q==，所以23//G G MQ . 因为23G G ⊄面ABC ，MQ ⊂面ABC ，23//G G MQ ，所以23//G G 面ABC 同理13//G G 面ABC ，因为13G G ⊂面123G G G ，23G G ⊂面123G G G ，13233G G G G G =I ，23//G G 面ABC ，13//G G 面ABC ，所以面123//G G G 面ABC .【变式2】 如右图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D ，E 分别是BC 与B 1C 1的中点．求证：平面A 1EB ∥平面ADC 1．证明：由棱柱的性质知，B 1C 1//BC ，又D ，E 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以C 1E //DB ，则四边形C 1DBE 为平行四边形，因此EB ∥C 1D ，又C 1D ⊂平面ADC 1，EB ⊄平面ADC 1，所以EB ∥平面ADC 1．连接DE ，同理，EB 1//BD ，所以四边形EDBB 1为平行四边形，则ED //B 1B ． 因为B 1B //A 1A （棱柱的性质），所以ED //A 1A ，则四边形EDAA 1为平行四边形，所以A 1E ∥AD ，又A 1E ⊄平面ADC 1，AD ⊂平面ADC 1，所以A 1E ∥平面ADC 1．由A 1E ∥平面ADC 1，EB ∥平面ADC 1，A 1E ⊂平面A 1EB ，EB ⊂平面A 1EB ，且A 1E ∩EB=E ，所以平面A 1EB ∥平面ADC 1．【变式3】 已知在正方体''''ABCD A B C D -中 ，M ，N 分别是''A D ，''A B 的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN 平行的平面，并证明你的结论．【解析】与平面AMN 平行的平面有以下三种情况：下面以上图（1）为例进行证明：证明：∵四边形ABEM是平行四边形，∴BE∥AM，又BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE．∵MN是'''MN B D，∆的中位线，∴//''A B D∵四边形''BD B D，∴MN∥BD，BDD B是平行四边形，∴//''又BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，∴MN∥平面BDE．又AM、MN⊂平面AMN，且MN∩AM=M，由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE．【巩固练习】1．下列说法中正确的是（ ）A ．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行B ．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行C ．如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行D ．如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行2．已知三条互相平行的直线a 、b 、c 中，a α⊂，,b c α⊂，则平面α、β的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．平行或相交 D ．重合3．已知m ，n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出下列三个命题：①////m m n n ββ⎧⇒⎨⊂⎩；②//m n n m ββ⎧⇒⎨⎩与异面与相交；③//////m n m n αα⎧⇒⎨⎩。

§2.2.3 直线与平面平行的性质1. 掌握直线和平面平行的性质定理；2. 能灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.5860复习1：两个平面平行的判定定理是_________________________________________________；它的实质是由__________平行推出__________平行.复习2：直线与平面平行的判定定理是________________________________________________.讨论：如果直线a与平面α平行，那么a和平面α内的直线具有什么样的关系呢？二、新课导学※探索新知探究：直线与平面平行的性质定理问题1：如图7-1，直线a与平面α平行.请在图中的平面α内画出一条和直线a平行的直线b.图7-1问题2：我们知道两条平行线可以确定一个平面(为什么?)，请在图7-1中把直线,a b确定的平面画出来，并且表示为β.问题3：在你画出的图中，平面β是经过直线,a b的平面，显然它和平面α是相交的，并且直线b是这两个平面的交线，而直线a和b又是平行的.因此，你能得到什么结论?请把它用符号语言写在下面.问题4：在图7-2中过直线a再画另外一个平面γ与平面α相交，交线为c.直线a,c平行吗?和你上面得出的结论相符吗?你能不能从理论上加以证明呢?图7-2新知：直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行.反思：定理的实质是什么？※典型例题面.例1 如图7-3所示的一块木料中，棱BC平行于A C''面内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?⑴要经过A C''⑵所画的线与平面AC是什么位置关系?图7-3例2 如图7-4，已知直线,a b，平面α，且a∥b，a∥α，,a b都在平面α外.求证：b∥a.图7-4小结：运用线面平行的性质定理证题，应把握以下三个条件①线面平行，即a∥α；②面面相交，即αβ=b；③线在面内，即bβ⊂.※动手试试练1. 如图7-5所示，已知a∥b，aα⊂，⊂，bβαβ=，求证：a∥b∥l.l图7-5练2. 求证：如果一条直线和两个相交平面平行，那么这条直线和它们的交线平行.三、总结提升※学习小结1. 直线和平面平行的性质定理运用；2. 体会线线平行与线面平行之间的关系.※知识拓展在证明线线或线面平行的时候，直线和平面平行的判定定理和性质定理在解题时往往交替使用，相互转换，即线面平行问题往往转化为线线平行问题，线线平行问题又转化为线面平行问题，反复运用，直到得出结论.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. a 、b 、c 表示直线，M 表示平面，可以确定a ∥b 的条件是（ ）.A.a ∥M ,b M ⊂B.a ∥c ,c ∥bC.a ∥M ,b ∥MD.a 、b 和c 的夹角相等2. 下列命题中正确的个数有（ ）.①若两个平面不相交，则它们平行；②若一个平面内有无数条直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行；③空间两个相等的角所在的平面平行.A.0个B.1个C.2个D.3个3. 平行四边形EFGH 的四个顶点E 、F 、G 、H 分别在空间四边形ABCD 的四条边AB 、BC 、CD 、AD 上，又EH ∥FG ，则（ ）.A.EH ∥BD ，BD 不平行于FGB.FG ∥BD ，EH 不平行于BDC.EH ∥BD ，FG ∥BDD.以上都不对4. a 和b 是异面直线，则经过b 可作___个平面与直线a 平行.5. 异面直线,a b 都和平面α平行，且它们和平面α内的同一条直线的夹角分别是45°和60°，则a和b 的夹角为______.1. 如图7- 6，在ABC ∆所在平面外有一点P ，D 、E 分别是PB AB 与上的点，过,D E 作平面平行于BC ，试画出这个平面与其它各面的交线，并说明画法的依据.图7-62. 已知异面直线,AB CD 都平行于平面α，且AB 、CD 在α两侧，若,AC BD 与平面α相交于M 、N两点，求证：AM BN MC ND=.。

直线、平面平行的性质【学习目标】1.掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；2.掌握两个平面平行的性质定理及其应用；3．能综合运用直线与平面、平面与平面平行的判定与性质定理解决相关问题．【要点梳理】【高清课堂：线面平行的判定与性质 399459知识讲解2】要点一、直线和平面平行的性质文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.符号语言：若//a α，a β⊂，b αβ=I ，则//a b .图形语言：要点诠释：直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a ∥α，αβ⊂，b αβ=I ，则a ∥b ．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a 与b 平行时，必须具备三个条件：（1）直线a 和平面α平行，即a ∥α；（2）平面α和β相交，即b αβ=I ；（3）直线a 在平面β内，即a β⊂．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．【高清课堂：空间面面平行的判定与性质399113知识讲解】要点二、平面和平面平行的性质文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 符号语言：若//αβ，a αγ=I ，b βγ=I ，则//a b .图形语言：要点诠释：（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．要点三、平行关系的综合转化空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：空间之中两直线，平行相交和异面．线线平行同方向，等角定理进空间．判断线和面平行，面中找条平行线；已知线和面平行，过线作面找交线．要证面和面平行，面中找出两交线．线面平行若成立，面面平行不用看．已知面与面平行，线面平行是必然．若与三面都相交，则得两条平行线．【经典例题】类型一：直线与平面平行的性质例1．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．【解析】如图，连接AC交BD于O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM．根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BDM=GH，根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH．【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤：（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面；（3）确定交线；（4）由定理得出结论．举一反三：【变式1】过正方体AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1．求证：BB 1∥EE1．【证明】如图．∵CC1∥BB1，∴CC1∥平面BEE1B1．又∵平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，∴CC1∥EE1．∵CC1∥BB1，∴BB1∥EE1．【总结升华】“欲证线线平行，需证线面平行”是证明线线平行的基本思想．例2．如图所示，已知异面直线AB、CD都平行于平面α，且AB、CD在α的两侧，若AC、BD与α分别交于M、N两点，求证：AM BN MC ND=．【解析】如图所示，连接AD交平面α于Q，连接MQ、NQ．MQ、NQ分别是平面ACD、平面ABD与α的交线．∵CD∥α，AB∥α，∴CD∥MQ，AB∥NQ．于是AM AQMC DQ=，DQ DNAQ NB=，∴AM BNMC ND=．【总结升华】利用线面平行的性质定理，可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题，利用平行线截割定理，可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题．在应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，本例通过连接AD作出平面ACD与平面ABD，得到交线MQ 和NQ．举一反三：【高清课堂：线面平行的判定与性质 399459例3】【变式1】已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面αI 平面β=b ，求证//a b ． 证明：经过a 作两个平面γ和δ，与平面α和β分别相交于直线c和d ， ∵a ∥平面α，,a c γαγ⊂=I ，a ∥平面β，,a d δδβ⊂=I∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ，又∵d ⊂平面β，c ⊄平面β，∴c ∥平面β，又c ⊂平面α，平面α∩平面β=b ，∴c ∥b ，又∵a ∥c ，∴a ∥b ．【变式2】如图所示，在三棱锥P —ABC 中，PA=4，BC=6，与PA 、BC都平行的截面四边形EFGH 的周长为l ，试确定l 的取值范围．【解析】与PA 、BC 平行的截面四边形EFGH 应有二边平行于PA ，另二边平行于BC ，故它是一个平行四边形，EF AF BC AC =，BC AF EF AC =g ，同理，GF CF PA AC =，PA CF GF AC=g ， 四边形EFGH 的周长=2（EF+FG ）=BC AF AC g +PA CF AC g =128AF CF AC +=8+4AF AC因为0<PF/PB<1,截面四边形EFGH 的周长l 应大于小于12，8<l<12.类型二：平面与平面平行的性质例3．已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F （如图）． 求证：AB DE BC EF=． 【解析】连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ，连接BG 、EG ，则平面ACD 与平面α、β分别相交于直线AD 、BD ，平面DCF 与平面β、γ分别相交于直线GE 、CF ．因为//αβ，//βγ，所以BG ∥AD ，GE ∥CF ．d c b a δγβα于是，得AB DGBC GC=，DG DEGC EF=．所以AB DEBC EF=．【总结升华】利用面面平行的性质定理判定两线平行的程序是：（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两线中的一条；（2）判定这两个平面平行；（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面内；（4）由定理得出结论．举一反三：【变式1】已知面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD交于点S，且SA=8，SB=9，CD=34．（1）若点S在平面α，β之间，则SC=________；（2）若点S不在平面α，β之间，则SC=________．【答案】（1）16 （2）272例4．如图所示，平面α∥平面β，A，C∈α，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE CFEB FD=．求证：EF∥β．【解析】（1）当AB，CD共面时，∵α∥β，且平面ABDC∩α=AC，平面ACDB∩β=BD，∴AC∥BD，∴四边形ABDC是梯形或平行四边形．由AE CFEB FD=，得EF∥BD，又∵BD⊂β，EF⊄β，∴EF∥β．（2）当AB，CD异面时，作AH∥CD交β于H，∵α∥β，且平面AHDC与平面α，β的交线分别为AC，HD，∴AC∥HD．∴四边形AHDC为平行四边形．作FG∥DH交AH于G，连接EG，于是CF AG FD GH=．∵AE CFEB FD=，∴AE AGEB GH=．从而EG∥BH，而BH⊂β，EG⊄β，∴EG∥β．又FG∥DH，DH⊂β，FG⊄β，∴FG∥β．∵EG∩FG=G，∴平面EFG∥β．又EF⊂平面EFG，∴EF∥β．【总结升华】（1）面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合运用．解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题．如在本例的第二种情况：面面平行→线线平行→平行四边形→线面平行→面面平行→线面平行．（2）由面面平行的定义可知，一个面内任意一条直线与另一个平行平面都没有交点，因而有面面平行的一个重要性质：两个平行平面中的一个平面内任意一条直线必平行另一个平面，如本例（2）中由平面EFG∥β得出EF∥β，便是这一性质的灵活运用．举一反三：【变式1】四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1，问在棱PC上能否找到一点F，使BF∥平面AEC？试说明你的看法．【解析】如图，当F是PC的中点时，BF∥平面AEC．理由：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE．所以12EM PE ED==，所以E是MD的中点．连接BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点，所以BM∥OE．又BM∩FM=M，OE∩CE=E，BM⊂平面BFM，FM⊂平面BFM，OE⊂平面AEC，CE⊂平面AEC，所以平面BFM∥平面AEC．又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC．类型三：线面平行的判定与性质的综合应用例5．如图所示，已知平面α∥平面β，AB与CD是两条异面直线，且AB⊂α，CD⊂β．如果E，F，G分别是AC，CB，BD的中点，求证：平面EFG∥α∥β．【解析】由已知条件可知EF∥AB，FG∥CD．∴EF∥α，FG与CD可确定一个平面，设BM=α∩平面CDGF，由于//αβ，故有CD ∥BM⇒FG∥BM⇒FG∥α．如果E，F，G三点共线，则有G∈平面ABC⇒BG⊂平面ABC⇒D∈平面ABC，即A，B，C，D共面，与AB，CD是异面直线矛盾．故E，F，G三点不共线，即EF与FG是平αβ，故平面EFG∥α∥β．面EFG内的两条相交直线．∴平面EFG∥α，而//【总结升华】（1）要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进行类比、探索、总结，特别要注意相互转化，使之统一．（2）要能够灵活地作出辅助线和辅助平面来解题，在作辅助线和辅助平面时，必须有理论依据，也就是要以某一定理为依据，切忌主观臆断，随意地作辅助线、辅助平面．举一反三：【变式1】如图所示，已知点P是Y ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PBC∩平面APD=l．（1）求证：l∥BC；（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．【解析】方法一：（1）因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD．又因为平面PBC∩平面PAD=l，所以BC∥l．（2）平行．如下图（1），取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE=AM．所以四边形AMNE是平行四边形．所以MN∥AE．所以MN∥平面PAD．方法二：（1）因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC．又因为平面PBC∩平面PAD=l，所以l∥AD．因为AD∥BC，所以l∥BC．（2）平行．如下图（2），设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ=Q，所以平面MNQ∥平面PAD．又因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD．巩固练习1．如果直线a ∥平面α，则（ ）A ．平面α内有且只有一条直线与a 平行B ．平面α内有无数条直线与a 平行C ．平面α内不存在与a 平行的直线D ．平面α内的任意直线与a 都平行2．由下列条件不一定得到平面α∥平面β的是（ ）A ．α内有两条相交直线分别平行于βB ．α内任何一条直线都平行于βC ．α内有无数条直线平行于βD ．α内的两条相交直线分别平行于β内的两条相交直线3．若AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．AC 在此平面内D ．平行或相交4．以下命题（其中,a b 表示直线，α表示平面）①若//,a b b α⊂，则//a α；②若//,//a b αα，则//a b ；③若//a b ，//b α，则//a α；④若//a α，b α⊂，则//a b 。

2.2 直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1、若α//l ，α∈A ，则下列说法正确的是（ ）A 、过A 在平面α内可作无数条直线与l 平行B 、 过A 在平面α内仅可作一条直线与l 平行C 、 过A 在平面α内可作两条直线与l 平行D 、 与A 的位置有关2、b a //，P a =⋂α，则b 与α的关系为（ ）A 、 必相交B 、 必平行C 、 必在内D 、 以上均有可能3、α∉A ，过A 作与α平行的直线可作（ ）A 、 不存在B 、 一条C 、 四条D 、 无数条4、α//a ，b 、c α⊂，b a //，c b ⊥，则有（ ）A 、 c a //B 、 c a ⊥C 、 a 、c 共面D 、 a 、c 异面，所成角不确定5、下列四个命题（1）b a //，c b //c a //⇒（2）b a ⊥，c b ⊥c a //⇒（3）α//a ，α⊂b b a //⇒（4）b a //，α//b α//a ⇒正确有（ ）个A 、 1B 、 2C 、 3D 、 46、若直线a ∥直线b ，且a ∥平面α，则b 与a 的位置关系是（ ）A 、一定平行B 、不平行C 、平行或相交D 、平行或在平面内7、直线a ∥平面α,平面α内有n 条直线交于一点，那么这n 条直线中与直线a 平行的（ ）A 、至少有一条B 、至多有一条C 、有且只有一条D 、不可能有8、若a //b //c , 则经过a 的所有平面中（ ）A 、必有一个平面同时经过b 和cB 、必有一个平面经过b 且不经过cC 、必有一个平面经过b 但不一定经过cD 、不存在同时经过b 和c 的平面二、填空题9、过平面外一点，与平面平行的直线有_________条，如果直线m ∥平面，那么在平面内有_________条直线与m 平行10、n ⊂平面α，则m ∥n 是m ∥α的______条件11、若P 是直线l 外一点，则过P 与l 平行的平面有___________个。