2015-2016年广东省汕头市金山中学高三(上)期末数学试卷和答案(文科)

2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1．已知条件p：log2（x﹣1）＜1；条件q：|x﹣2|＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件2．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln23．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A．B．C． D．4．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）A．2 B．4 C．6 D．85．在△ABC中，AB=2，AC=3，=，则•=（）A．﹣B．C．﹣D．6．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．407．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．8．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A．B．C． D．29．已知不等式组表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D上的动点，则的最小值是（）A．B．C． D．10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．11．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”，现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：1、f（x）=x2；2、f（x）=2x；3、f（x）=；4、f（x）=ln|x|．其中是“保等比函数”的f（x）的序号是（）A．1，2 B．1，3 C．3，4 D．2，412．下列四个命题中p1：∃x∈（0，+∞），（）x＜（）x；p2：∃x∈（0，1），log x＞log x；p3：∀x∈（0，+∞），（）x＜（）xp4：：∀x∈（0，），（）x＜log x其中真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4二、填空题（每空5，共计20分）13．函数的单调递减区间为．14．函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是．15．正三棱锥A﹣BCD的底面△BCD的边长为是AD的中点，且BM⊥AC，则该棱锥外接球的表面积为．16．平面向量为非零向量且与夹角为120°则的取值范围是．三、解答题（共5小题，每题14分）17．已知函数的最小正周期为π，直线为它的图象的一条对称轴．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若，求b+c的最大值．18．已知递增的等差数列{a n}中，a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=1﹣．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n•b n，数列{c n}的前n项和为T n．求证：T n＜2．19．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．20．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a；（Ⅱ）求f（x）的极值．21．如图，已知圆G：（x﹣2）2+y2=r2是椭圆的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点，（1）求圆G的半径r；（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1．已知条件p：log2（x﹣1）＜1；条件q：|x﹣2|＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】log2（x﹣1）＜1，|x﹣2＜1|，求解两个不等式，即可判断．【解答】解：∵p：log2（x﹣1）＜1，∴1＜x＜3，∵q：|x﹣2|＜1∴1＜x＜3，根据充分必要条件的定义可判断：p是q成立的充分必要条件，故选：C【点评】本题考察了充分必要条件的定义，对数不等式，绝对值不等式，属于容易题．2．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln2【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】求函数的导数，解导数方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B【点评】本题主要考查导数的计算，比较基础．3．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A．B．C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．【解答】解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）可得•=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=，=3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==故选A【点评】本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．4．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】双曲线的定义；余弦定理．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|•|PF2|的值．解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|•|PF2|的值．【解答】解：法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c=，由余弦定理得cos∠F1PF2=∴|PF1|•|PF2|=4．法2；由焦点三角形面积公式得：∴|PF1|•|PF2|=4；故选B．【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力．5．在△ABC中，AB=2，AC=3，=，则•=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，用向量、表示出与，再求它们的数量积．【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=2，AC=3，∴==（﹣），∴D是BC的中点，∴=（+）；∴•=（+）•（﹣）=（﹣）=×（32﹣22）=．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，是基础题目．6．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．40【考点】直线与圆相交的性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=×10×4=20．故选B【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．7．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．8．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A．B．C． D．2【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【专题】压轴题．【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S==故选C．【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．9．已知不等式组表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D上的动点，则的最小值是（）A．B．C． D．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用向量的数量积将条件进行转化，利用数形结合进行求解即可得到结论．【解答】解：设z=，则z==||•=||•cos∠A0M，∵O（0，0），A（1，0）．∴||=1，∴z=||•cos∠A0M=cos∠A0M，作出不等式组对应的平面区域如图：要使cos∠A0M，则∠A0M最大，即当M在C处时，∠A0M最大，由得，即C（1，3），则|AC|=，则cos∠A0M==，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用向量的数量积将条件进行转化是解决本题的关键．10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA⊥底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1；∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1，侧面△PAB的面积为S2=××1=，侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1，在侧面△PBC中，BC=，PB==，PC==，∴△PBC是Rt△，∴△PBC的面积为S4=××=；∴三棱锥P﹣ABC的所有面中，面积最大的是△PBC，为．故选：A．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目．11．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”，现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：1、f（x）=x2；2、f（x）=2x；3、f（x）=；4、f（x）=ln|x|．其中是“保等比函数”的f（x）的序号是（）A．1，2 B．1，3 C．3，4 D．2，4【考点】等比数列的性质．【专题】新定义；等差数列与等比数列．【分析】根据新定义，结合等比数列性质a n a n+2=a n+12，一一加以判断，即可得到结论．【解答】解：由等比数列性质知a n a n+2=a n+12，①f（a n）f（a n+2）=a n2a n+22=（a n+12）2=f2（a n+1），故正确；②f（a n）f（a n+2）=2an2an+2=2an+an+2≠22an+1=f2（a n+1），故不正确；③f（a n）f（a n+2）===f2（a n+1），故正确；④f（a n）f（a n+2）=ln|a n|ln|a n+2|≠ln|a n+1|2=f2（a n+1），故不正确；故选B．【点评】本题考查新定义，考查等比数列性质及函数计算，理解新定义是解题的关键．12．下列四个命题中p1：∃x∈（0，+∞），（）x＜（）x；p2：∃x∈（0，1），log x＞log x；p3：∀x∈（0，+∞），（）x＜（）xp4：：∀x∈（0，），（）x＜log x其中真命题是（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；推理和证明．【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：p1：∀x∈（0，+∞），（）x＞（）x，故p1不正确；p2：∀x∈（0，1），log x＞log x；故正确；p3：∀x∈（0，+∞），（）x＞（）x，故不正确；p4：：∀x∈（0，），（）x＜1＜log x，故正确．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断，考查指数、对数函数的性质，比较基础．二、填空题（每空5，共计20分）13．函数的单调递减区间为（0，1]．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即y′=x﹣=，令其导数小于等于0，可得≤0，结合函数的定义域，解可得答案．【解答】解：对于函数，易得其定义域为{x|x＞0}，y′=x﹣=，令≤0，又由x＞0，则≤0⇔x2﹣1≤0，且x＞0；解可得0＜x≤1，即函数的单调递减区间为（0，1]，故答案为（0，1]【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域．14．函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值又有极小值，则a的范围是{a|a＜﹣1或a＞2}．【考点】函数在某点取得极值的条件．【专题】计算题．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，可以得到导函数为0的方程有两个不等的实数根，从而有△＞0，进而可解出a的范围．【解答】解：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），要使函数f（x）有极大值又有极小值，需f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0有两个不等的实数根，所以△=36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．故答案为：{a|a＜﹣1或a＞2}【点评】本题主要考查了函数的极值问题及导数的应用，利用导数作为工具去研究函数的性质非常方便．15．正三棱锥A﹣BCD的底面△BCD的边长为是AD的中点，且BM⊥AC，则该棱锥外接球的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【专题】转化思想；空间位置关系与距离；球．【分析】由正三棱锥的定义，可得AC⊥BD，又AC⊥BM，且BD，BM为相交两直线，运用线面垂直的判定和性质定理，可得AB，AC，AD两两垂直，再由正三棱锥A﹣BCD补成以AB，AC，AD为棱的正方体，则外接球的直径为正方体的对角线，再由表面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由正三棱锥A﹣BCD的定义，可得A在底面上的射影为底面的中心，由线面垂直的性质可得AC⊥BD，又AC⊥BM，且BD，BM为相交两直线，可得AC⊥平面ABD，即有AC⊥AB，AC⊥AD，可得△ABC，△ACD为等腰直角三角形，故AB=AC=AD=2，将正三棱锥A﹣BCD补成以AB，AC，AD为棱的正方体，则外接球的直径为正方体的对角线，即有2R=2，可得R=，由球的表面积公式可得S=4πR2=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查正三棱锥的外接球的表面积的求法，注意运用线面垂直的判定和性质定理的运用，以及球与正三棱锥的关系，考查运算能力，属于中档题．16．平面向量为非零向量且与夹角为120°则的取值范围是（0，]．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可知给出的两个向量，不共线，则三个向量构成三角形，在三角形中运用余弦定理得到关系式所以，由有解，利用判别式大于等于0可求|的范围．【解答】解：由题意可知向量不共线，则，所以，由，且平面向量为非零向量得：．故答案为（0，]．【点评】本题考查了数量积表示两个向量的夹角，考查了转化思想，解答此题的关键是把给出的数学问题转化为方程有解，是中档题．三、解答题（共5小题，每题14分）17．已知函数的最小正周期为π，直线为它的图象的一条对称轴．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若，求b+c的最大值．【考点】余弦函数的图象．【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据三角函数的性质求出函数的解析式，求出角的范围，利用三角函数的单调性进行求解即可．（2），求出角A的大小，利用余弦定理和基本不等式解得b+c≤6．【解答】解：（1）∵函数的周期是π，∴T=，则ω=2，则f（x）=2cos（2x+φ），∵为它的图象的一条对称轴，∴2×（﹣）+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ+，∵0＜φ＜，∴当k=0时，φ=，即f（x）=2cos（2x+），若时，2x∈[﹣，]，2x+∈[﹣，]，即当2x+=0时，函数f（x）取得最大值此时f（x）=2，当2x+=时，函数f（x）取得最小值此时f（x）=0，即函数的值域为[0，2]．（2）若，则2cos[2×+]=2cos（﹣A+）=，即cos（﹣A+）=，额cos（A﹣）=，∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，即A﹣=，即A=，∵a=3，∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos=b2+c2﹣bc=9，即（b+c）2﹣3bc=9即3bc=（b+c）2﹣9，∵bc≤（）2，（b+c）2﹣9≤3（）2，即4（b+c）2﹣36≤3（b+c）2，则（b+c）2≤36，即0＜b+c≤6，即b+c的最大值是6．【点评】本题主要考查了三角函数解析式的求解，利用三角函数的性质求出函数的解析式，以及利用余弦定理，基本不等式的是解决本题的关键．综合性较强．18．已知递增的等差数列{a n}中，a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{b n}的前n项和为S n，且S n=1﹣．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n•b n，数列{c n}的前n项和为T n．求证：T n＜2．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；证明题；分类讨论；等差数列与等比数列．【分析】（1）解方程可得a2=3，a5=9，从而求得a n=2n﹣1；讨论n以确定b1=；n≥2时b n=b n，从而解得{b n}的通项公式；﹣1（2）化简c n=a n•b n=2（）n•（2n﹣1），从而利用错位相减法求数列的前n项和即可．【解答】解：（1）∵x2﹣12x+27=0，∴x=3或x=9，又∵等差数列{a n}是递增数列，且a2、a5是方程x2﹣12x+27=0的两根，∴a2=3，a5=9，∴a n=2n﹣1；①当n=1时，b1=1﹣b1，故b1=；②当n≥2时，S n=1﹣b n，S n﹣1=1﹣b n﹣1，故b n=（1﹣b n）﹣（1﹣b n﹣1），故b n=b n﹣1，故{b n}是以为首项，为公比的等比数列，故b n=•（）n﹣1=2（）n．（2）证明：c n=a n•b n=2（）n•（2n﹣1），T n=•1+•3+•5+…+2（）n•（2n﹣1），3T n=2•1+•3+•5+•7+…+2（）n﹣1•（2n﹣1），故2T n=2+•2+•2+•2+…+4（）n﹣1﹣2（）n•（2n﹣1），故T n=1++++…+2（）n﹣1﹣（）n•（2n﹣1）=1+﹣（）n•（2n﹣1）=2﹣（）n﹣1﹣（）n•（2n﹣1）＜2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的应用，同时考查了错位相减法的应用．19．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；向量方法证明线、面的位置关系定理．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D 的余弦值；（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与平面垂直的判定，向量法确定直线与平面的位置关系，其中（I）的关键是证得DE⊥AC，AC⊥BD，熟练掌握线面垂直的判定定理，（II）的关键是建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题，（III）的关键是根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程．20．已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a；（Ⅱ）求f（x）的极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，由两直线平行的条件得，f′（1）=0，即可求出a；（2）求出导数，对a讨论，分a≤0，a＞0，求出单调区间，即可得到函数的极值．【解答】解：（1）函数f（x）=x﹣1+的导数f′（x）=1﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f′（1）=0，即1﹣=0，∴a=e；（2）导数f′（x）=1﹣，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）是R上的增函数，无极值；②当a＞0时，e x＞a时即x＞lna，f′（x）＞0；e x＜a，即x＜lna，f′（x）＜0，故x=lna为f（x）的极小值点，且极小值为lna﹣1+1=lna，无极大值．综上，a≤0时，f（x）无极值；a＞0时，f（x）有极小值lna，无极大值．【点评】本题主要考查导数在函数中的综合应用，求切线方程和求极值，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．21．如图，已知圆G：（x﹣2）2+y2=r2是椭圆的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点，（1）求圆G的半径r；（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，证明：直线EF与圆G相切．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】（1）可取BC⊥X轴时来研究，则可设B（2+r，y0），过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H由即，再由点B（2+r，y0）在椭圆上，建立关于r的方程求解．（2）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y﹣1=kx，由圆心到直线的距离等于半径求，与椭圆方程联立，表示出E，F和坐标，从而得到EF 所在的直线的方程，再探讨圆心到直线的距离和半径的关系．【解答】解：（1）设B（2+r，y0），过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H由得，即（1）而点B（2+r，y0）在椭圆上，（2）由（1）、（2）式得15r2+8r﹣12=0，解得或（舍去）（2）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y﹣1=kx（3）则，即32k2+36k+5=0（4）解得将（3）代入得（16k2+1）x2+32kx=0，则异于零的解为设F（x1，k1x1+1），E（x2，k2x2+1），则则直线FE的斜率为：于是直线FE的方程为：即则圆心（2，0）到直线FE的距离故结论成立．【点评】本题主要是通过圆和椭圆来考查直线和圆，直线和椭圆的位置关系．。

广东省汕头市金山中学高三上学期期末考试数学试卷一、选择题 (本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．)1．已知集合P =(−∞，1]∪(4，+∞)，Q ={1，2，3，4}，则（∁R P ）∩Q =（ ） A ．{1，4}B ．{2，3}C ．{2，3，4}D ．{x |1≤x ＜4}2. 已知复数21z i=-，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为iB ．2z =C ．z 的共轭复数1z i =-+D ． z 2为纯虚数3. 设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．在等差数列{a n }中，前n 项和S n 满足S 7−S 2=45，则a 5=（ ） A ． 7 B ． 9 C ． 14 D ． 185. 已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<6. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，且当x ∈[0,1]时，f(x)=x(3−2x)，则f(312)= （ ） A ．−1B ．−12C ．12D ．17.在ΔABC 中，AM 为BC 边上的中线，点N 满足AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12NM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则BN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．5166AC AB - B ．5166AC AB + C ．1566AC AB - D ． 1566AC AB + 8. 已知tan (α+π4)=−2，则sin 2α=（ ）A. 310B. 35C. −65D. −1259. 函数f (x )=A sin (ωx +φ)，(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A.f (x )的图象关于直线x =2π3对称B.f (x )的图象关于点(−5π12,0) 对称C.将函数y =√3sin 2x −cos 2x 的图象向左平移π2个单位得到函数f (x )的图象 D.若方程f (x )=m 在[−π2,0]上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(−2,−√3] 10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个三棱锥的三视图， 则该三棱锥的外接球表面积是（ ）A ．4πB ．9πC ．41π4D ．12π11. 设数列{}n a 满足12a =，且a n+1=a n +2(n +1)，若[]x 表示不超过x 的最大整数， （例如[][]1.61, 1.62=-=-）则[22a 1]+[32a 2]+⋯+[20192a2018]＝（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．201712. 已知函数f (x )={2x +1，x <0|12x 2−2x +1|，x ≥0方程[f (x )]2−af (x )+b =0有5个不同的实根，则ba 取值范围是（ ）A ．(0，23) B ．[0，23) C ．(0，1) D ．[0，1)二、填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知曲线 y =ax 3+x 2−a 在(1,1)处的切线过点(2,6)，那么实数a = _______． 14. 设向量a =(√3,1)，b ⃑ =(x,−3)，且a ⊥b ⃑ ，则向量a −b⃑ 在向量b ⃑ 方向上的投影是 .15.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ABC =900,AB =2,BC =CC 1=1， 则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 .16. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AC =DB =14AB ，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为S n ，则（1）S 3=_________；（2）如果对∀n ∈N ∗,S n <2019恒成立，那么线段AB 的长度a 的取值范围是_______.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数f (x )＝12x 2＋12x 的图像上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明：T n < 34 .18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥面ABC，D,E分别是AC,CC1的中点.（1）求证：AE⊥平面A1BD;（2）求三棱锥B1−ABE的体积.19.（本小题满分12分）汕头市有一块如图所示的海岸，OA，OB为岸边，岸边形成120°角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案：方案l：在岸边OA，OB上分别取点E，F，用长度为1km的围网依托岸边围成三角形EOF（EF为围网）.方案2：在∠AOB的平分线上取一点P，再从岸边OA，OB上分别取点M，N，使得∠MPO=∠NPO=θ，用长度为1km的围网依托岸边围成四边形PMON（PM，PN为围网）.记三角形EOF的面积为S1，四边形PMON的面积为S2. 请分别计算S1，S2的最大值，并比较哪个方案好.20.（本小题满分12分）设椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，离心率为12，F1为圆M:x2+y2+2x−15=0的圆心．（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围．21. （本小题满分12分）已知函数f(x)=x cos x−2sin x+1，g(x)＝x2e ax (a∈R).（1）证明：f(x)的导函数f′(x)在区间(0,π)上存在唯一零点；（2）若对任意x1∈[0,2]，均存在x2∈[0,π]，使得g(x1)≤f(x2)，求实数a的取值范围.注：复合函数y=e ax的导函数y′=a∙e ax.请考生从第22、23两题中任选一题作答。

2015-2016学年广东省汕头市金山中学高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z1=﹣3+i，z2=1﹣i，则复数z=z1•z2在复平面内所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，3}，B={x∈Z|x2﹣6x+5＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，5，6} B．{1，4，5，6} C．{2，3，4} D．{1，6}3．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则∠A等于（）A．60°B．45°C．120°D．150°4．如图所示的程序框图，若输出的S=41，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞3？B．k＞4？C．k＞5？D．k＞6？5．用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题，其中真命题的是（）①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b．A．①② B．②③ C．①④ D．③④6．设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值7．在等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a5a6a7=（）A．3 B．C．±3D．以上皆非8．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣9．函数f（x）=﹣cosx•lg|x|的部分图象是（）A．B．C．D．10．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．11．已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上的一个动点，N（1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．+112．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如下表所示：若y与x的回归直线方程为=3x﹣，则m的值是．14．数列{a n}的通项公式是a n=，若前n项和学为3，则项数n的值为．15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，侧面BCC1B1的面积为2，则直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值为．16．已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣8x+1）+f（x﹣6y+10）≤0，则当y≥3时，函数F（x，y）=x2+y2的最小值与最大值的和为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数的图象过点M（，0）．（1）求m的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosB+bcosC=2acosB，求f（A）的取值范围．18．以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B学习的次数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示．（1）如果x=7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（2）如果x=9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．19．平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=PD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为，若存在，求出DQ 的值；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．21．设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（3）（理科）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：平面几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，过点D作⊙O的切线交BC于E，AE交⊙O于点F．（1）证明：E是BC的中点；（2）证明：AD•AC=AE•AF．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．（2015秋•汕头校级期末）在平面直角坐标系xOy中，A点的直角坐标为（α为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为．（m为实数）．（1）试求出动点A的轨迹方程（用普通方程表示）（2）设A点对应的轨迹为曲线C，若曲线C上存在四个点到直线的距离为1，求实数m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．（2015春•黄冈期末）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z1=﹣3+i，z2=1﹣i，则复数z=z1•z2在复平面内所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义进行求解即可．【解答】解：∵z1=﹣3+i，z2=1﹣i，∴z1z2=（﹣3+i）（1﹣i）=﹣2+4i，对应点的坐标为（﹣2，4），位于第二象限，故选：B【点评】本题主要考查复数的几何意义，根据复数的基本运算进行求解是解决本题的关键．2．集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，3}，B={x∈Z|x2﹣6x+5＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，5，6} B．{1，4，5，6} C．{2，3，4} D．{1，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可得到答案．【解答】解：集合B中的不等式x2﹣6x+5＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣5）＜0，解得：1＜x＜5，∴B={2，3，4}，∵A={2，3}，∴A∪B={2，3，4}，∵集合U={1，2，3，4，5，6}，∴∁∪（A∪B）={1，5，6}．故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．3．在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则∠A等于（）A．60°B．45°C．120°D．150°【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA与题中等式比较，可得cosA=﹣，结合A是三角形的内角，可得A的大小．【解答】解：∵由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA又a2=b2+c2+bc，∴cosA=﹣又∵A是三角形的内角，∴A=150°，故选：D．【点评】本题考查了余弦定理的应用，特殊角的三角函数值的求法，属于基础题．4．如图所示的程序框图，若输出的S=41，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞3？B．k＞4？C．k＞5？D．k＞6？【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 0第一圈2 2 是第二圈3 7 是第三圈4 18 是第四圈5 41 否故退出循环的条件应为k＞4？故答案选：B．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题，其中真命题的是（）①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b．A．①② B．②③ C．①④ D．③④【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．【解答】解：根据平行直线的传递性可知①正确；在长方体模型中容易观察出②中a、c还可以平行或异面；③中a、b还可以相交；④是真命题，故答案应选：C【点评】在判断空间线面的关系，常常把他们放在空间几何体中来直观的分析，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．6．设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．【解答】解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，但z没有最大值．故选B【点评】目判断标函数的有元最优解，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析，即可得到答案．7．在等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a5a6a7=（）A．3 B．C．±3D．以上皆非【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质结合根与系数之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，∴a3a9=，a3+a9=＞0，∵a3a9=（a6）2，则a6=±则a5a6a7=（a6）2a6=±3，故选：C【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，根据根与系数之间的关系是解决本题的关键．8．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知，该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得．【解答】解：该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得，其中长方体的体积为V1=4×3×2=24；半个圆柱的体积为V2==，则V=24﹣．故选A．【点评】考查了学生的空间想象力及三视图的等量关系．9．函数f（x）=﹣cosx•lg|x|的部分图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性排除BD，再根据x的变化趋势排除C．【解答】解：由于f（x）=﹣cosx•lg|x|，∴f（﹣x）=﹣cos（﹣x）•lg|﹣x|=﹣cosx•lg|x|=f（x），故函数f（x）是偶函数，排除B，D；又当x→0时，lg|x|→﹣∞，cosx→1，∴f（x）→+∞，故排除C，故选：A．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题．10．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．【解答】解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上的一个动点，N（1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．+1【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，根据N为抛物线的焦点，可过圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q交抛物线于P，则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|﹣1．【解答】解：如图，由抛物线方程y2=4x，可得抛物线的焦点F（1，0），又N（1，0），∴N与F重合．过圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q交抛物线于P，则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|﹣1=3．故选：A．【点评】本题考查了圆与圆锥曲线的关系，考查了抛物线的简单几何性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．12．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0 【考点】函数的值；不等关系与不等式．【专题】函数的性质及应用．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R 上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a ＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选A．【点评】熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．具有线性相关关系的变量x，y，满足一组数据如下表所示：若y与x的回归直线方程为=3x﹣，则m的值是4．【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】利用平均数公式计算预报中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得答案．【解答】解：由题意，=1.5，=，∴样本中心点是坐标为（1.5，），∵回归直线必过样本中心点，y与x的回归直线方程为=3x﹣，∴=3×1.5﹣1.5，∴m=4故答案为：4．【点评】本题考查了线性回归直线的性质，回归直线必过样本的中心点．14．数列{a n}的通项公式是a n=，若前n项和学为3，则项数n的值为15．【考点】数列的求和．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】把已知的数列的通项公式分母有理化，作和后由前n项和等于3得答案．【解答】解：由，得=，由，得，n=15．故答案为：15．【点评】本题考查了数列的求和，考查了裂项相消法，是中档题．15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，侧面BCC1B1的面积为2，则直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值为4π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设BC=2x，BB1=2y，则4xy=2，利用直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为≥=1，即可求出三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值．【解答】解：设BC=2x，BB1=2y，则4xy=2，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为≥=1，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球表面积的最小值为4π×12=4π．故答案为：4π．【点评】本题考查三棱柱ABC﹣A1B确定1C1外接球表面积的最小值，考查基本不等式的运用，确定直三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径的最小值是关键．16．已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣8x+1）+f（x﹣6y+10）≤0，则当y≥3时，函数F（x，y）=x2+y2的最小值与最大值的和为62．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】运用奇偶性的定义和求导，判断单调性，可得f（x）在R上为增函数．且为奇函数．由条件可得f（y2﹣8x+1）≤﹣f（x﹣6y+10）=f（﹣x+6y﹣10），则有y2﹣8x+11≤﹣x2+6y ﹣10，运用配方可得（x﹣4）2+（y﹣3）2≤4，由圆的知识，及F（x，y）=x2+y2的几何意义是（x，y）与原点的距离的平方，即可得到最值之和．【解答】解：易知f（x）=x+sinx（x∈R），f（﹣x）=﹣x+sin（﹣x）=﹣（x+sinx）=﹣f（x），则f（x）是奇函数，又f′（x）=1+cosx≥0，则f（x）在R上为增函数．所以f（y2﹣8x+1）+f（x2﹣6y+10）≤0，即为f（y2﹣8x+1）≤﹣f（x2﹣6y+10）=f（﹣x2+6y﹣10），则有y2﹣8x+11≤﹣x2+6y﹣10即x2+y2﹣8x﹣6y+21≤0，即为（x﹣4）2+（y﹣3）2≤4，又y≥3，则（x，y）对应可行域是以（4，3）为圆心，2为半径的上半圆面，函数F（x，y）=x2+y2的几何意义是（x，y）与原点的距离的平方．连接点（2，3）和（0，0）的距离为，连接原点和圆心（4，3）延长交半圆于P，则PO的距离为+2=7，即有F（x，y）min=13，F（x，y）max=49，其和为62．故答案为：62．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，同时考查圆的方程，两点的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数的图象过点M（，0）．（1）求m的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosB+bcosC=2acosB，求f（A）的取值范围．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据二倍角的三角函数公式和辅助角公式，将函数y=f（x）化简，得f（x）=sin（2x﹣）﹣+m，再将M点坐标代入，可得m=；（2）利用正弦定理，将ccosB+bcosC=2acosB化简整理，得cosB=，所以B=．由此得到函数f（A）=sin（2A﹣），其中A∈（0，），再结合正弦函数的图象与性质，可得f（A）的取值范围．【解答】解：（1）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）∴=sin2x﹣（1+cos2x）+m=sin2x﹣cos2x﹣+m=sin（2x﹣）﹣+m∵函数y=fx）图象过点M（，0），∴sin（2•﹣）﹣+m=0，解之得m=（2）∵ccosB+bcosC=2acosB，∴结合正弦定理，得sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB∵B+C=π﹣A，得sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA∴sinA=2sinAcosB∵△ABC中，sinA＞0，∴cosB=，得B=由（1），得f（x）=sin（2x﹣），所以f（A）=sin（2A﹣），其中A∈（0，）∵﹣＜2A﹣＜，∴sin（2A﹣）＞sin（﹣）=﹣，sin（2A﹣）≤sin=1因此f（A）的取值范围是（﹣，1]【点评】本题给出三角函数的表达式，在图象经过已知点的情况下求参数m的值，在△ABC 中研究f（A）的取值范围，着重考查了二倍角的三角函数公式、正弦定理和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．18．以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆A学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆B学习的次数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示．（1）如果x=7，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（2）如果x=9，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．【考点】茎叶图；古典概型及其概率计算公式．【专题】图表型．【分析】（1）如果x=7，直接利用平均数和方差的定义求出乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差．（2）求出所有的基本事件共有4×3个，满足这两名同学分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的基本事件有10个，根据古典概型概率计算公式求得结果．【解答】解：（1）如果x=7，则乙组同学去图书馆学习次数的平均数为=9，方差为S2==3.5．（2）如果x=9，则所有的基本事件共有=15个，满足这两名同学的去图书馆学习次数大于20的基本事件有：（9，12），（11，12），（12，9），（12，9），（12，12），共有5个，故两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率为=．【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，茎叶图的应用，属于基础题．19．平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=PD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为，若存在，求出DQ 的值；若不存在，请说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）假设相等，根据等积式求出即可．【解答】解：（1）取AB中点H，连接EH，HG，如图示：E、F、G、H分别是PA、PD、CD、AB中点⇒EF∥AD，AD∥GH⇒EF∥GH⇒E、F、G、H四点共面又E、H分别为PA、AB的中点⇒EH∥PB，而EH⊂平面EFG所以PB∥平面EFG…（6分）（2）在线段AB上取AQ′=DQ=a，则S△AEF=×1×1=，S△EFQ=S△EFQ′=×1×a=，由V Q﹣AEF=V A﹣EFQ⇒S△AEF•HE=•⇒ו=××⇒a=．即存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为，此时DQ=…（12分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理，考查距离的计算，是一道中档题．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（I）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由条件利用椭圆的性质求得b和a 的值，可得椭圆C的方程．（Ⅱ）（i）设AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简，由△＞0，求得t的范围，再利用利用韦达定理可得x1+x2以及x1+x2的值．再求得P、Q的坐标，根据四边形APBQ 的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|，计算求得结果．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简求得x2+2=．再把直线PB的方程椭圆C的方程化简求得x2+2 的值，可得x1+x2以及x1﹣x2的值，从而求得AB的斜率K的值．【解答】解：设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（0，），∴b=．再根据离心率===，求得a=2，∴椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简可得x2+2tx+2t2﹣4=0，由△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，求得﹣2＜t＜2．利用韦达定理可得x1+x2=﹣2t，x1 •x2=2t2﹣4．在+=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，﹣1），∴四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|===，故当t=0时，四边形APBQ的面积S取得最小值为4．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，设PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简可得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣8=0，∴x1+2=．同理可得直线PB的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2），x2+2=，∴x1+x2=，x1﹣x2=，∴AB的斜率K======．【点评】本题主要考查求圆锥曲线的标准方程，圆锥曲线的定义、性质的应用，直线和圆锥曲线相交的性质，直线的斜率公式、韦达定理的应用，属于难题．21．设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（3）（理科）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当m=e时，，x＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值．（2）由g（x）===0，得m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数．（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围．【解答】解：（1）当m=e时，，x＞0，解f′（x）＞0，得x＞e，∴f（x）单调递增；同理，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）只有极小值f（e），且f（e）=lne+=2，∴f（x）的极小值为2．（2）∵g（x）===0，∴m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，∴h（x）在区间（0，1）上单调递增，值域为（0，）；同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，∴g（x）要区是（1，+∞）上单调递减，值域为（﹣∞，）．∴当m≤0，或m=时，g（x）只有一个零点；当0＜m＜时，g（x）有2个零点；当m＞时，g（x）没有零点．（3）（理）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．【点评】本题考查函数的极小值的求法，考查函数的零点的个数的讨论，考查实数值的求法，解题时要注意构造法、分类讨论思想和导数性质的合理运用．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：平面几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，∠B=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，过点D作⊙O的切线交BC于E，AE交⊙O于点F．（1）证明：E是BC的中点；（2）证明：AD•AC=AE•AF．【考点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．【专题】证明题．【分析】（1）欲证明E是BC的中点，即证EB=EC，即要证ED=EC，这个可通过证明∠CDE=∠C得到；（2）因由相似三角形可得：AB2=AE•AF，AB2=AD•AC，故欲证AD•AC=AE•AF，只要由AB=AB得到即可．【解答】证明：（Ⅰ）证明：连接BD，因为AB为⊙O的直径，所以BD⊥AC，又∠B=90°，所以CB切⊙O于点B，且ED切于⊙O于点E，因此EB=ED，∠EBD=∠EDB，∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C，所以∠CDE=∠C，得ED=EC，因此EB=EC，即E是BC的中点（Ⅱ）证明：连接BF，显然BF是R t△ABE斜边上的高，可得△ABE∽△AAFB，于是有，即AB2=AE•AF，同理可得AB2=A D•AC，所以AD•AC=AE•AF【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，与圆有关的比例线段．属于基础题．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．（2015秋•汕头校级期末）在平面直角坐标系xOy中，A点的直角坐标为（α为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为．（m为实数）．（1）试求出动点A的轨迹方程（用普通方程表示）（2）设A点对应的轨迹为曲线C，若曲线C上存在四个点到直线的距离为1，求实数m的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）由题意写出A的参数方程，把两式移项平方作和得答案；（2）化直线的极坐标方程为直角坐标方程，画出图形，应用点到直线的距离公式求解．【解答】解：（1）设A（x，y），又A点的直角坐标为，∴，把两式移项平方作和得：；（2）由，得，即，∴2x﹣．如图，要使曲线C上存在四个点到直线的距离为1，则圆C的圆心C（）到直线2x﹣的距离小于1．即，解得．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了参数方程化普通方程，考查数形结合的解题思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2015春•黄冈期末）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，由韦达定理可得方程组，解出即可；（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，按照对应方程的根2、c的大小关系分三种情况讨论可得；【解答】解：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，则，∴a=1，b=2．（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R}；当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．【点评】该题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解题关键．。

2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，那么集合A∩（∁U B）等于（）A．[﹣1，3]B．{x|x≤3或x≥4}C．[﹣2，﹣1）D．[﹣2，4）2．（5分）若z＝（i表示虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知变量x，y的取值如表所示：如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则的值为（）A．1B．C．D．4．（5分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数5．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线与圆x2+（y﹣2）2＝1相切，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．36．（5分）设条件p：|x﹣2|＜3，条件q：0＜x＜a，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是（）A．（0，5]B．（0，5）C．[5，+∞）D．（5，+∞）7．（5分）函数y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到图象C1，再把图象C1向右平移个单位，得到图象C2，则图象C2对应的函数表达式为（）A．y＝sin2x B．y＝sin（x+）C．y＝sin x D．y＝sin（x+）8．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输出的S是126，则①处应填（）A．n≤5B．n≤6C．n≥7D．n≤89．（5分）对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（）A．6B．7C．8D．910．（5分）在△ABC中，若|+|＝|﹣|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则•＝（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0），一条长度为4p的线段AB的两个端点A、B在抛物线C上运动，则线段AB的中点D到抛物线C的准线的距离的最小值为（）A．p B．2p C．p D．3p12．（5分）已知函数f（x）＝2ax3﹣3ax2+1，g（x）＝﹣，若对任意给定的m∈[0，2]，关于x的方程f（x）＝g（m）在区间[0，2]上总存在两个不同的解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a＝．14．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a cos B+b cos A）＝2c sin C，a+b＝4，则△ABC的面积的最大值为．16．（5分）已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F 的直线与圆Q切于点P，则的最小值为．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设f（）＝，α∈（，），求sin（2α+）的值．18．（12分）已知等比数列{a n}满足：a1＝，a1，a2，a3﹣成等差数列，公比q∈（0，1）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝2na n，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4将△CBD沿BD 折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．（I）求证：AB⊥DE（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABD的侧面积．20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求证：λ1+λ2＝﹣10．21．（12分）设函数f（x）＝lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m＝e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：平面几何证明选讲]22．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB为直径的⊙O交AC于D，过点D作⊙O 的切线交BC于E，AE交⊙O于点F．（1）证明：EB＝EC；（2）证明：AD•AC＝AE•AF．[选修4—4：极坐标与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|．（1）当a＝2时，解不等式：f（x）≥5；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）＜2，试求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：∵U＝R，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，∴∁U B＝{x|﹣1≤x≤4}，∵A＝{x|﹣2≤x≤3}，∴A∩（∁U B）＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]．故选：A．2．【解答】解：＝．所以复数Z对应的点为，位于第四象限．故选：D．3．【解答】解：根据所给的三对数据，得到＝＝5，＝＝7，∴这组数据的样本中心点是（5，7）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴7＝5+2，∴＝1．故选：A．4．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5．【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为bx±ay＝0，依题意，直线bx±ay＝0与圆x2+（y﹣2）2＝1相切，设圆心（0，2）到直线bx±ay＝0的距离为d，则d＝＝＝1，∴双曲线离心率e＝＝2．故选：C．6．【解答】解：由|x﹣2|＜3，得﹣3＜x﹣2＜3，即﹣1＜x＜5，即p：﹣1＜x＜5，∵q：0＜x＜a，a为正常数∴要使若p是q的必要不充分条件，则0＜a≤5，故选：A．7．【解答】解：函数y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y＝sin（x+）的图象C1，再把图象C1向右平移个单位，得到y＝sin[（x﹣）+]的图象C2，则图象C2对应的函数表达式为y＝sin（x+）．故选：D．8．【解答】解：第一次循环，s＝0+21＝2，n＝1+1＝2，进入下一次循环；第二次循环，s＝2+22＝6，n＝2+1＝3，进入下一次循环；第三次循环，s＝6+23＝14，n＝3+1＝4，进入下一次循环；第四次循环，s＝14+24＝30，n＝4+1＝5，进入下一次循环；第五次循环，s＝30+25＝62，n＝5+1＝6，进入下一次循环；第六次循环，s＝62+26＝126，n＝6+1＝7，循环结束，即判断框中的条件不成立了，所以框中的条件应该是n≤6，故选：B．9．【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m＝个，59是从3开始的第29个奇数当m＝7时，从23到73，用去从3开始的连续奇数共＝27个当m＝8时，从23到83，用去从3开始的连续奇数共＝35个故m＝8故选：C．10．【解答】解：若|+|＝|﹣|，则＝，即有＝0，E，F为BC边的三等分点，则＝（+）•（+）＝（）•（）＝（+）•（+）＝++＝×（1+4）+0＝．故选：B．11．【解答】解：由题意可得抛物线的准线l：x＝﹣分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H在直角梯形ABDC中，MH＝，由抛物线的定义可知AC＝AF，BD＝BF（F为抛物线的焦点）MH＝≥＝2p，即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为2p，故选：B．12．【解答】解f′（x）＝6ax2﹣6ax＝6ax（x﹣1）．①当a＝0时，f（x）＝1，g（x）＝，显然不可能满足题意；②当a＞0时，当a＜0时，f'（x）＝6ax2﹣6ax＝6ax（x﹣1）．又因为当a＞0时，g（x）＝﹣上是减函数，对任意x∈[0，2]，g（x）∈[﹣+，]不合题意；②当a＜0时，f'（x）＝6ax2﹣6ax＝6ax（x﹣1）．又∵当a＜0时，g（x）＝﹣x+在[0，2]上是增函数，∴对任意x∈[0，2]，g（x）∈[，﹣+]，由题意，必有g（x）max＜f（x）max，∴﹣+＜1﹣a，解得a＜﹣1故a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：∵复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，所以即得a＝2故答案为：214．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是1，，侧棱与底面垂直，侧棱长是∴几何体的体积是＝1故答案为：1．15．【解答】解：∵（a cos B+b cos A）＝2c sin C，∴（sin A cos B+sin B cos A）＝2sin2C，即sin（A+B）＝2sin2C，∴sin C＝2sin2C，且sin C＞0，∴sin C＝，∵a+b＝4，可得：4≥2，解得：ab≤4，（当且仅当a＝b＝2成立），∴S△ABC＝ab sin C≤＝，（当且仅当a＝b＝2成立），故答案为：．16．【解答】解：如图，；由抛物线的定义知：为点Q到准线的距离，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，；∴；即的最小值为3．故答案为：3．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）由图可得A＝1，且T＝4（﹣），从而ω＝2．再根据五点法作图可得2•+φ＝π，求得φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．（2）由（1）可知f（）＝sin（）＝，α∈（，），∴α+∈（，π），cos（）＝﹣＝﹣，∴sin（2α+）＝sin2（α+）＝2sin（）cos（）＝2••（﹣）＝﹣．18．【解答】解：（1）设等比数列{a n}公比为q，∵，成等差数列，∴，即，整理得4q2﹣8q+3＝0，解得或．又∵q∈（0，1），∴，∴．（2）根据题意得b n＝2na n＝，，①，②②﹣①得：＝＝＝．19．【解答】解：（I）证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°∴∴AB2+BD2＝AD2，∴AB⊥DB，又∵平面EBD⊥平面ABD平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD，∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE．（Ⅱ）解：由（I）知AB⊥BD，CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥DB 在Rt△DBE中，∵，DE＝DC＝AB＝2∴又∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE，∵BE＝BC＝AD＝4，∴，∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD∴ED⊥平面ABD而AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD，∴综上，三棱锥E﹣ABD的侧面积，20．【解答】解：（1）解：设椭圆C的方程为（a＞b＞0），抛物线方程化为x2＝4y，其焦点为（0，1）则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b＝1由，∴a2＝5，所以椭圆C的标准方程为（2）证明：易求出椭圆C的右焦点F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），代入方程并整理，得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5＝0∴，又，，，，，而，，即（x1﹣0，y1﹣y0）＝λ1（2﹣x1，﹣y1），（x2﹣0，y2﹣y0）＝λ2（2﹣x2，﹣y2）∴，，所以21．【解答】解：（Ⅰ）当m＝e时，f（x）＝lnx+，∴f′（x）＝；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x＝e时，f（x）取得极小值为f（e）＝lne+＝2；（Ⅱ）∵函数g（x）＝f′（x）﹣＝﹣﹣（x＞0），令g（x）＝0，得m＝﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）＝﹣x3+x（x＞0），∴φ′（x）＝﹣x2+1＝﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x＝1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x＝1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）＝；又φ（0）＝0，结合y＝φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m＝时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m＝或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）＝f（x）﹣x＝lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）＝﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x＝﹣+（x＞0），∴m≥；对于m＝，h′（x）＝0仅在x＝时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：平面几何证明选讲]22．【解答】证明：（1）连接BD，如图所示，∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AC，又∵∠ABC＝90°，∴CB切⊙O于点B，且ED且⊙O于点E，∴EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∠CDE+∠EDB＝90°＝∠EBD+∠C，∴∠CDE＝∠C，∴ED＝EC，∴EB＝EC；（2）证明：∵AB＝2OD，∴AB2＝4OD2，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴BF⊥AE，∴△ABE∽△AFB，∴，∴AB2＝AE•AF，同理可得，AB2＝AD•AC，∴AB2＝AD•AC＝AE•AF，即AD•AC＝AE•AF．[选修4—4：极坐标与参数方程]23．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ＝1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2＝1，∴ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1＝θ2，∴|PQ|＝|ρ1﹣ρ2|＝2．∴|PQ|＝2．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（Ⅰ）|x+1|+|x﹣2|≥5，x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2≥5，解得：x≤﹣2，﹣1＜x＜2时，x+1﹣x+2≥5，无解，x∈∅，x＞2时，x+1+x﹣2＞5，解得：x＞3，∴x∈{x|x≤﹣2或x≥3}；（Ⅱ）∵|x+1|+|x﹣a|＞|（x+1）﹣（x﹣a）|＝|a+1|，若存在x0∈R，使得f（x0）＜2，只需f（x）的最小值|a+1|＜2即可，由|a+1|＜2，得﹣2＜a+1＜2，∴﹣3＜a＜1．。

2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）若sinα=，且α是第二象限的角，则tanα=（）A．B．﹣ C．D．±2．（5.00分）与角﹣463°终边相同的角为（）A．K•360°+463°，K∈Z B．K•360°+103°，K∈ZC．K•360°+257°，K∈Z D．K•360°﹣257°，K∈Z3．（5.00分）已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°4．（5.00分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（）A．B．C．D．5．（5.00分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．6．（5.00分）在△ABC中，，下列推导不正确的是（）A．若，则△ABC为钝角三角形B．，则△ABC为直角三角形C．，则△ABC为等腰三角形D．，则△ABC为正三角形7．（5.00分）设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A．2 B．C．1 D．8．（5.00分）在△ABC中，已知，，则cosC的值为（）A．B．C．或D．9．（5.00分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心10．（5.00分）为得到函数y=sin（x+）的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数），则|m﹣n|的最小值是（）A．B． C． D．11．（5.00分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc ﹣a2=0，则=（）A．﹣ B．C．﹣D．12．（5.00分）已知函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5.00分）若二次函数y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a 的取值范围是．14．（5.00分）已知sin2α=，0＜α＜，则cos（﹣α）的值=．15．（5.00分）如图在△ABC中，AB=，CD=5，∠ABC=45°，∠ACB=60°，则AD=．16．（5.00分）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a 时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到…=．三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分．解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤．17．（14.00分）已知函数．（1）求f（x）的单调增区间；（2）设，求cos（α+β）的值．18．（14.00分）在△ABC中，角A为锐角，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且与的夹角为．（1）求•的值及角A的大小；（2）若a=，c=，求△ABC的面积S．19．（14.00分）已知函数f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=2x+5；函数g（x）=a x（a＞0且a≠1）．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（2）=9，且g[f（x）]≥k对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数k的取值范围．20．（14.00分）已知函数f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx﹣b（其中b＞0，ω＞0）的最大值为2，直线x=x1、x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（1）求b，ω的值；（2）若，求的值．21．（14.00分）已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a，c∈R）满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都有f（x）≥0．（1）求a、c的值：（2）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）若sinα=，且α是第二象限的角，则tanα=（）A．B．﹣ C．D．±【解答】解：∵，且α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣．故选：B．2．（5.00分）与角﹣463°终边相同的角为（）A．K•360°+463°，K∈Z B．K•360°+103°，K∈ZC．K•360°+257°，K∈Z D．K•360°﹣257°，K∈Z【解答】解：∵﹣463°=﹣2×360°+257°，∴257°与﹣463°终边相同，由此可得与角﹣463°终边相同的角一定可以写成k×360°+257°，k∈z 的形式，故选：C．3．（5.00分）已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解答】解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即=，解得sinB=．再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，故选：D．4．（5.00分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由正弦定理==化简已知的比例式得：a：b：c=3：2：4，设a=3k，b=2k，c=4k，根据余弦定理得cosC===﹣．故选：D．5．（5.00分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．6．（5.00分）在△ABC中，，下列推导不正确的是（）A．若，则△ABC为钝角三角形B．，则△ABC为直角三角形C．，则△ABC为等腰三角形D．，则△ABC为正三角形【解答】解：若，则角C的补角为锐角，角C为钝角，所以是钝角三角形，正确若，则C为直角，故B正确，若，则﹣=0，即（﹣）=﹣（+）（﹣）=0，即=，故△ABC为等腰三角形，故C正确，若，∵=0，对任何三角形都成立，所以D不正确，故选：D．7．（5.00分）设向量，满足||=||=|+|=1，则|﹣t|（t∈R）的最小值为（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：设向量，的夹角为θ，∵||=||=|+|=1，∴=1+1+2×1×1×cosθ=1，解得cosθ=，∴θ=，∴|﹣t|2=+t2=t2+t+1=（t+）2+，当t=时，上式取到最小值，∴|﹣t|的最小值为故选：D．8．（5.00分）在△ABC中，已知，，则cosC的值为（）A．B．C．或D．【解答】解：∵cosA=，A∈（0，π），∴，∵，B∈（0，π），∴cosB=±，当∠B是钝角时，A与B两角的和大于π，∴，∴cosC=﹣cos（A+B）=，故选：A．9．（5.00分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴=λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．10．（5.00分）为得到函数y=sin（x+）的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数），则|m﹣n|的最小值是（）A．B． C． D．【解答】解：由条件可得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），则|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，易知（k1﹣k2）=1时，|m﹣n|min=．故选：B．11．（5.00分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc ﹣a2=0，则=（）A．﹣ B．C．﹣D．【解答】解：∵b2+c2+bc﹣a2=0，∴cosA==﹣，∴A=120°．由正弦定理可得====．故选：B．12．（5.00分）已知函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列命题：①F（x）=|f（x）|；②函数F（x）是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：（1）∵函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，∴|f（x）|=|a|log2x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；①不对（2）∵F（﹣x）==F（x）∴函数F（x）是偶函数；故②正确（3）∵当a＜0时，若0＜m＜n＜1，∴|log2m|＞|log2n|∴a|log2m|+1＞a|log2n|+1，即F（m）＜F（n）成立；故F（m）﹣F（n）＜0成立；所以③正确（4）∵f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，∴x＞0时，（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增∴x＞0时，F（x）的最小值为F（1）=1，故x＞0时，F（x）与y=﹣2有2个交点，∵函数F（x）是偶函数∴x＜0时，F（x）与y=﹣2有2个交点故当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．所以④正确，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5.00分）若二次函数y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a 的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，+∞）．【解答】解：∵y=x2﹣2ax+1=（x﹣a）2+a﹣a2，∴该函数的对称轴为：x=a，且当x＜a时函数单调递减，当x＞a时单调递增，∵该函数在区间（2，3）内是单调函数，∴a≤2或3≤a，故答案为：（﹣∞，2]∪[3，+∞）．14．（5.00分）已知sin2α=，0＜α＜，则cos（﹣α）的值=．【解答】解：∵0＜α＜，则cos（﹣α）=cosα+sinα＞0，且（cosα+sinα）2=1+sin2α=，∴cosα+sinα=，故答案为：．15．（5.00分）如图在△ABC中，AB=，CD=5，∠ABC=45°，∠ACB=60°，则AD=7．【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵，在Rt△AEB中，AE=ABsinB=×=，在Rt△AEC中，AC===3，由余弦定理可得，AD2=AC2+CD2﹣2AC•CDcos∠ACD=9+25﹣2×3×5×（﹣）=49，∴AD=7故答案为：7．16．（5.00分）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a 时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 (82)【解答】解：∵f（x）=x3+sinx+2，∴f′（x）=3x2+cosx，f''（x）=6x﹣sinx，∴f''（0）=0，而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+2+﹣x3﹣sinx+2=4，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，∴…=20×4+f（0）=82．故答案为：82．三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分．解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤．17．（14.00分）已知函数．（1）求f（x）的单调增区间；（2）设，求cos（α+β）的值．【解答】解：（1）对于函数，令2kπ﹣≤﹣≤2kπ+，求得6kπ﹣≤x≤6kπ+，可得函数的增区间为[6kπ﹣，6kπ+]，k∈Z．（2）∵，∴2sin（α﹣）=﹣，2sinβ=，∴cosα=，sinβ=，∴sinα==，cosβ==，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣=﹣．18．（14.00分）在△ABC中，角A为锐角，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，﹣sinA），且与的夹角为．（1）求•的值及角A的大小；（2）若a=，c=，求△ABC的面积S．【解答】解：（1）因为，||=1，，∴，∴（3分）又，所以cos2A=．（5分）因为角A为锐角，∴2A=，A=（7分）（2）因为a=，c=，A=，及a2=b2+c2﹣2bccosA，∴7=b2+3﹣3b，即b=﹣1（舍去）或b=4 （10分）故S=（12分）19．（14.00分）已知函数f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=2x+5；函数g（x）=a x（a＞0且a≠1）．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（2）=9，且g[f（x）]≥k对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，∵f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=[a（x+1）2+b（x+1）+c]﹣（ax2+bx+c）=2ax+a+b=2x+5，∴，解得：∴f（x）=x2+4x+1；（2）若g（2）=9，则a2=9，解得：a=3，当x∈[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣2，6]，g[f（x）]∈[，729]，若g[f（x）]≥k对x∈[﹣1，1]恒成立，则k≤．20．（14.00分）已知函数f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx﹣b（其中b＞0，ω＞0）的最大值为2，直线x=x1、x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（1）求b，ω的值；（2）若，求的值．【解答】解：（1）f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx﹣b=，…（2分），由题意可得，函数f（x）的周期，…（3分），再由函数的解析式可得周期，所以ω=1．…（4分）再由函数的最大值为，可得，…（5分），因为b＞0，所以．…（6分）（2）由以及，求得．…（8分），∴…（10分）=…（11分），=．…（12分）．21．（14.00分）已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a，c∈R）满足条件：①f（1）=0；②对一切x∈R，都有f（x）≥0．（1）求a、c的值：（2）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，．由f（1）=0得：，即，∴．显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，不合题意．∴a≠0，函数是二次函数．…（2分）由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得即（*）…（4分）由f（1）=0得，即，代入（*）得．整理得，即．而，∴．将代入（*）得，，∴．…（7分）另解：（Ⅰ）当a=0时，．由f（1）=0得，即，∴．显然x＞1时，f（x）＜0，这与条件②相矛盾，∴a≠0，因而函数是二次函数．…（2分）由于对一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函数的性质可得即…（4分）由此可知a＞0，c＞0，∴．由f（1）=0，得，代入上式得．但前面已推得，∴．由解得．…（7分）（Ⅱ）∵，∴．∴．该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1．…（8分）假设存在实数m使函数在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．①当m＜﹣1时，2m+1＜m，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递增的，∴g（m）=﹣5，即，解得m=﹣3或m=．∵＞﹣1，∴m=舍去．…（10分）②当﹣1≤m＜1时，m≤2m+1＜m+1，函数g（x）在区间[m，2m+1]上是递减的，而在区间[2m+1，m+2]上是递增的，∴g（2m+1）=﹣5，即．解得m=或m=，均应舍去．…（12分）③当m≥1时，2m+1≥m+2，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递减的，∴g（m+2）=﹣5，即．解得m=或m=，其中m=应舍去．综上可得，当m=﹣3或m=时，函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．…（14分）。

高三文科数学期末考试一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合,，则等于A ．B ．C ．D ．[0，5]2. 已知 0.30.3a =， 1.30.3b =，0.31.3c =，则它们的大小关系是A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a b c >> 3. 复数41iz i -=+的共轭复数的虚部为 A ． 52i - B ．52- C ．52i D ．524. 已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，1]5. 将函数()sin(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴方程可以是x = A ．4π-B ．2πC ．6π-D ．3π6. 已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为123451,1024n S a a a a a =，且243,,a a a 成等差数列，则5S = A ．3316B ．3116C ．23D ．11167. 运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为480，则判断框中可以填A ．60i >B ．70i >C ．80i >D ．90i > 8. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则A ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥B ．若,,m n αββα⊂⊂⊥，则m n ⊥C ．“直线m 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线m 与平面α垂直”的充分不必要条件D ．若,,m n n m βα⊥⊥⊥，则αβ⊥9. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线3:2l x =-，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若MA l ⊥，且直线AF 的斜率AF k =AFM ∆的面积为A ．．． D ．10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．2483π+ B ．88π+ C ．3283π+ D ．32243π+11、函数23ln(44)()(2)x x f x x -+=-的图象可能是（A ） （B ） （C ） （D ）12. 对于函数()f x 和()g x ，设(){|0}x f x α∈=， (){|0}x g x β∈=，若存在,αβ，使得1αβ-≤，则称()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”，若函数()ln(1)2f x x x =-+-与2()8g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是A.179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.94,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []2,4 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知在长方形ABCD 中，24AB AD ==,点E 是边AB 上的中点，则BD CE ⋅= ．14. 《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“已知甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出 钱（所得结果四舍五入，保留整数）．15. 在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为16. 已知实数,x y 满足22222x yx y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，若(0)z x my m =->的最大值为4，则(0)z x my m =-> 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知cos sin (1)22C Aa +=. （1）求C ； （2）若c =ABC ∆的面积S 取到最大值时a 的值.18. （10分）在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式()0bxy Aeb =<表示，现测得试验数据如下：试求y 对的回归方程。

广东省汕头市金山中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若4sin 5α=，且α是第二象限角，则tan α的值为（ ） A ．43- B ．34 C ．34± D ．43± 2．与463-︒终边相同的角可表示为（ ）A ．()360436k k Z ⋅︒+︒∈B ．()360103k k Z ⋅︒+︒∈C ．()360257k k Z ⋅︒+︒∈D ．()360257k k Z ⋅︒-︒∈3．已知ABC ∆中，4,30a b ===︒，则B 等于（ ）A ．30︒B ．30︒或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒4．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为（ ）A ．23B ．23-C ．14D ．14- 5．如果函数()3cos 2y x φ=+的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，那么φ的最小值为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．在ABC ∆中，,,AB c BC a CA b === ，下列推导不正确的是（ ） A ．若0a b ⋅> ，则ABC ∆为钝角三角形B ．0a b ⋅= ，则ABC ∆为直角三角形 C ．a b b c ⋅=⋅ ，则ABC ∆为等腰三角形D ．()0c a b c ⋅++= ，则ABC ∆为正三角形 7．设向量,a b 满足1a b a b ==+= ，则()a tb t R -∈ 的最小值为（ ）A B ．12 C ．1 D ．28．在ABC ∆中，已知53cos ,sin 135A B ==，则cos C 的值为（ ） A ．1665 B ．5665 C ．1665或5665 D ．1665- 9．已知O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[),0,AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭．则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心11．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且2220b c bc a ++-=，则()s i n 30a C b c︒--的值为（ ） A ．12 B．2 C ．12- D．2- 12．设函数()()2log 10f x a x a =+≠，定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()0F m F n -<成立；④当0a >时，函数()2y F x =-有4个零点．其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知二次函数221y x mx =-+在区间()2,3内是单调函数，则实数m 的取值范围是______．14．已知24sin 2,0252παα=<<4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 15．如图在ABC ∆中，5,45,60AB CD ABC ACB ==∠=︒∠=︒，则AD =______．16．设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图像的对称中心．研究函数()3s i n 2f x x x =++的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到()()1919112020f f f f ⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分．解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤．17、已知函数()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调增区间；（2）设()166,0,,3,322175f f ππαβαβπ⎡⎤⎛⎫∈-=-+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，求()cos αβ+的值． 18．在ABC ∆中，角A 为锐角，记角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．设向量()()cos ,sin ,cos ,sin m A A n A A ==- ，且m 与n 的夹角为3π． （1）求m n ⋅ 的值及角A 的大小；（2）若a c ==ABC ∆的面积S ．19．已知函数()f x 是二次函数，且满足()()()01,125f f x f x x =+-=+；（1）求()f x 的解析式；（2）若()124g =，且()g f x k ≥⎡⎤⎣⎦对[]1,1x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围． 20．已知函数()22sin cos 2cos f x x x b x b ωωω=⋅+-（其中0,0b ω>>）的最大值为2，直线1x x =、2x x =是()y f x =图象的任意两条对称轴，且12x x -的最小值为2π． （1）求,b ω的值；（2）若()23f a =，求5sin 46a π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 21．已知函数()(212f x ax x c a =-+、)c R ∈满足条件：①()10f =；②对一切x R ∈，都有()0f x ≥．（1）求a 、c 的值； （2）若存在实数m ，使函数()()g x f x mx =-在区间[],2m m +上有最小值5-，求出实数m 的值．。

2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={﹣2，0，2，4}，N={x|x2＜9}，则M∩N=（）A．{0，2}B．{﹣2，0，2}C．{0，2，4}D．{﹣2，2}2．（5分）已知||=3，||=5，与不共线，若向量k+与k﹣互相垂直，则实数k的值为（）A．B．C．± D．±3．（5分）如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点P 是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：∃x∈R，e x＜lnx，则（）A．￢p∨q为真命题B．p∧￢q为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题5．（5分）已知共线，则圆锥曲线+y2=1的离心率为（）A．B．2 C．D．或26．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（）A．B．C．D．7．（5分）已知sin（α+）+cos（α﹣）=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．8．（5分）函数的图象如图所示，为了得到g（x）=cos2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．（5分）已知（x，y）满足，z=x+ay，若z取得最大值的最优解有无数个，则a=（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．无法确定10．（5分）在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有＞﹣1，且f（1）=1，则不等式f（log2|3x﹣1|）＜2﹣log2|3x﹣1|的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，0）∪（0，3）D．（﹣∞，0）∪（0，1）12．（5分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3•a11=16，则a5=．14．（5分）均值不等式已知x+3y=4xy，x＞0，y＞0则x+y的最小值是．15．（5分）在△ABC中，D为AB的一个三等分点，AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，则cosB=．16．（5分）已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f （a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，且满足（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列为等差数列；（Ⅱ）求S1+S2+…+S n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD ⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣BEF的体积．19．（12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元．（Ⅰ）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式；（Ⅱ）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件，n∈N），整理得如表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500，650]内的概率．20．（12分）已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴，离心率为，且长轴长是短轴长的倍．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设P（2，0）过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A，B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式恒成立，求λ的最小值．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a，使得至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ═4sin（θ﹣），以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若点P在曲线C上，点Q的直角坐标是（cosφ，sinφ），其中（φ∈R），求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|+|2x+t|，t∈R．（1）当t=1时，解不等式f（x）≥5；（2）若存在实数a满足f（a）+|a﹣3|＜2，求t的取值范围．2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={﹣2，0，2，4}，N={x|x2＜9}，则M∩N=（）A．{0，2}B．{﹣2，0，2}C．{0，2，4}D．{﹣2，2}【解答】解：∵集合M={﹣2，0，2，4}，N={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，∴M∩N={﹣2，0，2}．故选：B．2．（5分）已知||=3，||=5，与不共线，若向量k+与k﹣互相垂直，则实数k的值为（）A．B．C．± D．±【解答】解：||=3，||=5，与不共线，向量k+与k﹣互相垂直，可得（k+）（k﹣）=0，得k2||2﹣||2=0，k2=，解得k=．故选：D．3．（5分）如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点P 是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：三棱锥P﹣BCD的正视图是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1；三棱锥P﹣BCD的假视图也是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1；故三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为2，故选：A．4．（5分）已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：∃x∈R，e x＜lnx，则（）A．￢p∨q为真命题B．p∧￢q为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题【解答】解：命题p：“a＞b”⇔“2a＞2b”，是真命题．q：令f（x）=e x﹣lnx，f′（x）=．x∈（0，1]时，f（x）＞0；x＞1时，f（x）单调递增，∴f（x）＞f（1）=e＞0．∴不存在x∈R，e x＜lnx，是假命题．∴只有p∨q为真命题．故选：D．5．（5分）已知共线，则圆锥曲线+y2=1的离心率为（）A．B．2 C．D．或2【解答】解：根据题意，若共线，则有1×6﹣（﹣2）×（﹣m）=0，解可得m=3，则圆锥曲线的方程为：+y2=1，为焦点在x轴上的椭圆，且a=，b=1；则c==，其离心率e===；故选：A．6．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（）A．B．C．D．【解答】解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d ＞0）；则，（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=100，∴a=20；由（a+a+d+a+2d）=a﹣2d+a﹣d，得3a+3d=7（2a﹣3d）；∴24d=11a，∴d=55/6；所以，最小的1分为a﹣2d=20﹣=．故选：A．7．（5分）已知sin（α+）+cos（α﹣）=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sin（α+）+cos（α﹣）=sinαcos+cosαsin+sinα=sinα+cosα=（sinα+cosα）=sin（α+）=﹣，∴sin（α+）=﹣．又cos（α+）=cos（α++）=﹣sin（α+），∴cos（α+）=．故选：C．8．（5分）函数的图象如图所示，为了得到g（x）=cos2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：根据函数的图象，可得A=1，•=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=π，求得φ=，∴f（x）=sin（2x+）．故把f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得g（x）=sin[2（x+）+]=cos2x的图象，故选：D．9．（5分）已知（x，y）满足，z=x+ay，若z取得最大值的最优解有无数个，则a=（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．无法确定【解答】解：由题意，的可行域如图：z=x+ay，若z取得最大值的最优解有无数个，最优解应在线段BC上取得，故x+ay=0应与直线BC平行∵k BC=1，∴a=﹣1，故选：B．10．（5分）在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，E在线段AD上，所以存在实数k使得；；∴==；∴；∴=；∴时，t取最小值．故选：C．11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x 1＜x2，有＞﹣1，且f（1）=1，则不等式f（log2|3x﹣1|）＜2﹣log2|3x﹣1|的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（﹣1，0）∪（0，3）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【解答】解：∵函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有＞﹣1，即＞0，故函数R（x）=f（x）+x是R上的增函数，由不等式f（log2|3x﹣1|）＜2﹣log2|3x﹣1|，可得f（log2|3x﹣1|）+log2|3x﹣1|＜2=f（1）+1，∴log2|3x﹣1|＜1，故﹣2＜3x﹣1＜2，且3x﹣1≠0，求得3x＜3，且x≠0，解得x＜1，且x≠0，故选：D．12．（5分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④【解答】解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M={（x，y）|y=e x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3•a11=16，则a5=1．【解答】解：由题意可得a3•a11=a12×212=16，解得a1=2﹣4=，∴a5=a1×24=×16=1．故答案为：1．14．（5分）均值不等式已知x+3y=4xy，x＞0，y＞0则x+y的最小值是．【解答】解：x+3y=4xy，x＞0，y＞0，∴=4．则x+y=（x+y）=≥=，当且仅当x=y=时取等号．故答案为：．15．（5分）在△ABC中，D为AB的一个三等分点，AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，则cosB=．【解答】解：令AC=AD=1，CD=m＞0，则：AB=3，BC=3m，则利用余弦定理可得：．∴．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f （a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（2，2015）．【解答】解：当0≤x≤1时，函数f（x）=sinπx的对称轴为x=．当f（x）=1时，由log2014x=1，解得x=2014．若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，因为f（a）=f（b）=f（c），所以由图象可知0，1＜c＜2014，且，即a+b=1，所以a+b+c=1+c，因为1＜c＜2014，所以2＜1+c＜2015，即2＜a+b+c＜2015，所以a+b+c的取值范围是（2，2015）．故答案为：（2，2015）．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，且满足（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列为等差数列；（Ⅱ）求S1+S2+…+S n．【解答】（Ⅰ）证明：由条件可知，，即，整理得，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．（Ⅱ）由（1）可知，，即，令T n=S1+S2+…+S n①②①﹣②，，整理得．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD ⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD的中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣BEF的体积．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M，连接ME．…（1分）∵点F为PD的中点，∴，又，∴，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，…（2分）∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，…（3分）∴直线AF∥平面PEC．…（4分）（Ⅱ）连接ED，在△ADE中，AD=1，，∠DAE=60°，∴ED2=AD2+AE2﹣2AD×AE×cos60°=，∴，∴AE2+ED2=AD2，∴ED⊥AB．…（5分）PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PD⊥AB，…（6分）PD∩ED=D，PD⊂平面PEF，ED⊂平面PEF，…（7分）∴AB⊥平面PEF．…（8分），…（9分）∴三棱锥P﹣BEF的体积：V P=V B﹣PEF…（10分）﹣BEF=…（11分）==．…（12分）19．（12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元．（Ⅰ）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，n∈N）的函数解析式；（Ⅱ）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件，n∈N），整理得如表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500，650]内的概率．【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥100时，利润为y=60×10+（n﹣10）×40=40n+200；…（2分）当日需求量n＜10时，利润为y=60n﹣（10﹣n）×70=70n﹣100．…（4分）所以利润y关于需求量n的函数解析式为y=…（6分）（Ⅱ）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10天获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元．…（9分）若利润在区间[500，650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9．…（10分）则利润在区间[500，650]内的概率为．…（12分）20．（12分）已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴，离心率为，且长轴长是短轴长的倍．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设P（2，0）过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A，B两点，若对满足条件的任意直线l，不等式恒成立，求λ的最小值．【解答】解：（1）设椭圆Γ的标准方程为（a＞b＞0），则，解得a2=2，b2=1，∴椭圆Γ的标准方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），∴=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2．①当直线l垂直x轴时，x1=x2=﹣1，y1=﹣y2且y12=，∴=9﹣=．②当直线l不垂直于x轴时，设直线l方程为：y=k（x+1），联立方程组，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=k2（x1x2+x1+x2+1）=．∴=++4﹣==﹣＜．∵对满足条件的任意直线l，不等式恒成立，∴λ≥，即λ的最小值为．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a，使得至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（2分）（1）当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，得0＜x＜a或1＜x＜+∞，由f′（x）＜0，得a＜x＜1故函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1）…（4分）（2）当a=1时，f′（x）≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）…（5分）（Ⅱ）先考虑“至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立”的否定“∀x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立”．即可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立．令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，…（6分）求导函数φ′（x）=（a+1）（1+lnx）当a+1＞0时，在时，φ′（x）＜0，在时，φ′（x）＞0∴φ（x）的最小值为，由得，故当时，f（x）≤x恒成立，…（9分）当a+1=0时，φ（x）=﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…（11分）当a+1＜0时，取x=1，有φ（1）=a＜﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…（13分）综上所述，即或a≤﹣1时，至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立．…（14分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ═4sin（θ﹣），以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若点P在曲线C上，点Q的直角坐标是（cosφ，sinφ），其中（φ∈R），求|PQ|的最大值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ═4sin（θ﹣），展开为ρ2=4ρ，可得直角坐标方程：x2+y2=2y﹣2x．（2）x2+y2=2y﹣2x配方为+（y﹣1）2=4，可得圆心C，半径r=2．点Q的直角坐标是（cosφ，sinφ），可知：点Q在x2+y2=1圆上．∴|PQ|≤|OC|+2+1=5，即|PQ|的最大值是5．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|+|2x+t|，t∈R．（1）当t=1时，解不等式f（x）≥5；（2）若存在实数a满足f（a）+|a﹣3|＜2，求t的取值范围．【解答】解：（1）当t=1时，f（x）=|x﹣3|+|2x+1|，由f（x）≥5得|x﹣3|+|2x+1|≥5，当x≥3时，不等式等价为x﹣3+2x+1≥5，即3x≥7，得x≥，此时x≥3，当﹣＜x＜3时，不等式等价为﹣（x﹣3）+2x+1≥5，即x≥1，此时1≤x＜3，当x＜﹣时，不等式等价为3﹣x﹣2x﹣1≥5，解集x≤﹣1，得x≤﹣1，综上此时x≥1，或x≤﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）（2）f（a）+|a﹣3|=2|a﹣3|+|2a+t|≥|2a+t﹣（2a﹣6）|=|t+6|，则命题f（a）+|a﹣3|＜2，等价为[f（a）+|a﹣3|]min＜2，即|t+6|＜2，则﹣2＜t+6＜2，即﹣8＜t＜﹣4，即t的取值范围是（﹣8，﹣4）．。

2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高三（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣1＜0}，B=，则A∩B（）A．（﹣∞，2）B．（0，1） C．（﹣2，2）D．（﹣∞，1）2．（5分）下列有关命题的说法中错误的是（）A．命题：“若y=f（x）是幂函数，则y=f（x）的图象不经过第四象限”的否命题是假命题B．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件C．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）≥n0”D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题3．（5分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．B．C．D．4．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺5．（5分）设m、n是两条不同的直线α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．①④D．③④6．（5分）已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．27．（5分）已知函数f（x）=﹣2|x|+1，定义函数F（x）=，则F（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数8．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调减区间是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．（1）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）10．（5分）在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A． B． C．[2，3]D．[2，4]12．（5分）设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2]C．D．以上均不正确二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知向量与夹角为120°，且，则等于．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=且a1=，则a2016=．15．（5分）若不等式组所表示的平面区域存在点（x0，y0），使x0+ay0+2≤0成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2=sinA，sin（B﹣C）=4cosBsinC，则=．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a．（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC的面积．18．（12分）为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：[20，25]，[25，30]，[30，35]，[35，40]，[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40]岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且PD=PC=CD=BC，∠BCD=，△ABD是等边三角形，AC∩BD=E．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值．20．（12分）已知动圆过定点R（0，2），且在x轴上截得线段MN的长为4，直线l：y=kx+t（t＞0）交y轴于点Q．（1）求动圆圆心的轨迹E的方程；（2）直线l与轨迹E交于A，B两点，分别以A，B为切点作轨迹E的切线交于点P，若||•||sin∠APB=||•||．试判断实数t所满足的条件，并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）有两个零点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意x1，x2，当x0=λx1+（1﹣λ）x2＞0时均有f′（x0）＜0？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．选做题：请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．，直线l的参数方程为：（t为参数）．（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）点P的极坐标为（1，），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣m（m∈R）．（Ⅰ）当m=﹣4时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若存在x0∈R，使得f（x0）≥﹣4，求实数m的取值范围．2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣1＜0}，B=，则A∩B（）A．（﹣∞，2）B．（0，1） C．（﹣2，2）D．（﹣∞，1）【解答】解：∵A={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}，B=={x|0＜x＜2}，∴A∩B={X|0＜x＜1}，故选：B．2．（5分）下列有关命题的说法中错误的是（）A．命题：“若y=f（x）是幂函数，则y=f（x）的图象不经过第四象限”的否命题是假命题B．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件C．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）≥n0”D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题【解答】解：A．命题的逆命题是若y=f（x）的图象不经过第四象限，则y=f（x）是幂函数，错误比如函数y=2x的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数f （x）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，故A正确，B．设f（x）=x|x|，则f（x）=，则当x≥0时，函数f（x）为增函数，当x＜0时，函数f（x）为增函数，∵f（0）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，则若a ＞b ，则f （a ）＞f （b ），即a |a |＞b |b |成立，则“a ＞b”是“a |a |＞b |b |”的充要条件，故B 正确，C ．命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n”的否定形式是“∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 0”，故C 错误，D ．若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，故D 正确故选：C ．3．（5分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由由三视图得该几何体的直观图如图：其中矩形ABCD 的边长AD=，AB=2，高PO=1，AO=OB=1， 则PA=PB=，PD=PC===，PH=，则四棱锥的侧面S=S △PAB +S △PAD +S △PCD +S △PBC =2×1+×+2×2+=3+， 故选：B ．4．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺【解答】解：由题意每天织布的数量组成等差数列，在等差数列{a n}中，a1=5，a30=1，∴S30==90（尺）．故选：B．5．（5分）设m、n是两条不同的直线α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．①④D．③④【解答】解：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β，故正确；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β，或m⊂β，故错误；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α，β关系不能确定，故错误；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n，故正确故选：C．6．（5分）已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：∵已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，∴a＞0，且△=4﹣4ab≤0，∴ab≥1．再由∃x0∈R，使+2x0+b=0成立，可得△=0，∴ab=1，∴a＞1．∴==＞0．∴====．令=t＞2，则==（t﹣2）+4+≥4+4=8，故的最小值为8，故的最小值为=2，故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=﹣2|x|+1，定义函数F（x）=，则F（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【解答】解：∵函数F（x）的定义域{x|x≠0}关于原点对称，F（x）==，且F（﹣x）==﹣F（x）故函数F（x）是奇函数，故选：A．8．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调减区间是（）A．B．C．D．【解答】解：∵将函数=2sin（﹣）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，∴g（x）=2sin[（x﹣）﹣]=﹣2cos，∴由2kπ+π≤≤2kπ+2π，解得：4kπ+2π≤x≤4kπ+4π，k∈Z，可得函数y=g（x）的单调减区间是：[4kπ+2π，4kπ+4π]，k∈Z，∴当k=﹣1时，函数y=g（x）的一个单调减区间是：[﹣2π，0]，∴由（﹣，﹣）⊂[﹣2π，0]，可得（﹣，﹣）是函数y=g（x）的一个单调减区间．故选：A．9．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．（1）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故（4）正确；∴f′（x）=，当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函数f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上单调递减，故（3）正确；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±，当f′（x）＞0，即x∈（﹣，）时，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）时，函数单调递减，故（2）正确函数f（x）=的图象可能是（2），（3），（4），故选：C．10．（5分）在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC是二面角P﹣BD﹣C的平面角，PE=CE=，三棱锥P﹣BCD的外接球的半径为R，则，解得R=，设△BCD的外接圆的圆心F与球心O的距离为OF=h，则CF==1，则R2=1+h2，即，解得h=，过P作PG⊥平面BCD，交CE延长线于G，过O作OH∥CG，交PG于H，则四边形HGFO是矩形，且HG=OF=h=，PO=R=，∴，解得GE=，PH=，∴PG=，CG=，∴PC==，∴cos∠PEC==﹣，∴sin∠PEC==．∴二面角P﹣BD﹣C的正弦值为．故选：C．11．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A． B． C．[2，3]D．[2，4]【解答】解：函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的零点为x=1．设g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零点为β，若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1，∴0≤β≤2，如图．由于g（x）=x2﹣ax﹣a+3必过点A（﹣1，4），故要使其零点在区间[0，2]上，则g（0）×g（2）≤0或，解得2≤a≤3，故选：C．12．（5分）设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2]C．D．以上均不正确【解答】解：对于正实数x，y，由于≥=，c=x+y≥2，，且三角形任意两边之和大于第三边，∴+2＞，且+＞2，且+2＞．解得1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．（5分）已知向量与夹角为120°，且，则等于 4 ．【解答】解：∵|a +b |==∴9+|b |2+2×3×|b |×（﹣）=13 ∴|b |=4或|b |=﹣1（舍） 故答案为：414．（5分）已知数列{a n }满足a n +1=且a 1=，则a 2016= ．【解答】解：∵a n +1=且a 1=，则a 2=2a 1﹣1=，a 3=2a 2=，a 4=2a 3=，a 5=2a 4﹣1=，…， 可得：a n +4=a n ． ∴a 2016=a 503×4+4=a 4=． 故答案为：．15．（5分）若不等式组所表示的平面区域存在点（x 0，y 0），使x 0+ay 0+2≤0成立，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，﹣1] ． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若a=0，则不等式x +ay +2≤0等价为x ≤﹣2，此时不满足条件，若a ＞0，则不等式等价为y ≤﹣x ﹣，直线y=﹣x ﹣的斜率k=﹣＜0，此时区域都在直线y=﹣x ﹣的上方，不满足条件．若a ＜0，则不等式等价为y ≥﹣x ﹣，直线y=﹣x ﹣的斜率k=﹣＞0，若平面区域存在点（x0，y0），使x0+ay0+2≤0成立，则只要满足点A（0，2）满足条件不等式此时区域都在直线y=﹣x﹣的上方即可．即0+2a+2≤0，解得a≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2=sinA，sin（B﹣C）=4cosBsinC，则=1+．【解答】解：在△ABC中，∵2cos2=sinA，∴1+cosA=sinA，∴1+2cosA+cos2A=sin2A=cos2A．∴cos2A+cosA+=0，解得cosA=﹣或cosA=﹣1（舍）．∴=﹣，∴a2=b2+c2+bc．∵sin（B﹣C）=4cosBsinC，∴sinBcosC=5cosBsinC．即bcosC=5ccosB．∴b×=5c×，即2a2+3c2﹣3b2=0．把a2=b2+c2+bc代入上式得2（b2+c2+bc）+3c2﹣3b2=0，即5c2﹣b2+2bc=0．∴﹣（）2+2+5=0，解得=1+或=1﹣（舍）．故答案为：1+．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a．（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵，∴代入已知等式得：，整理得：a2+c2﹣b2=ac，∴，∵B∈（0，π），∴；（2）在△ABC中，cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，∴，设b=7x，c=5x，∵BD为AC边上的中线，BD=，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA，∴=25x2+×49x2﹣2×5x××7x×解得x=1，∴b=7，c=5，=bcsinA=×7×5×=10．∴S△ABC18．（12分）为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：[20，25]，[25，30]，[30，35]，[35，40]，[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40]岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵小矩形的面积等于频率，∴除[35，40）外的频率和为0.70，∴500名志愿者中，年龄在[35，40）岁的人数为0.06×5×500=150（人）（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，故X的可能取值为0，1，2，3.，，，．故X的分布列为所以．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且PD=PC=CD=BC，∠BCD=，△ABD是等边三角形，AC∩BD=E．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值．【解答】解：（1）在△BCD中，∠BCD=120°，CD=BC，所以∠BDC=∠CBD=30°，又△ABD是等边三角形，所以∠ADB=60°，所以∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°，即AD ⊥DC，又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以AD⊥平面PCD，故AD⊥PC．在△PCD中，，所以PD⊥PC．又因为AD∩PD=D，所以PC⊥平面PAD…（6分）（2）解法一：如图，取CD的中点H，连接PH．则在等腰Rt△PDC中，PH⊥DC．又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以PH⊥平面ABCD．过点D作PH的平行线l，则l⊥平面ABCD．由（1）知AD⊥DC，故以D为坐标原点O，以直线DA、DC、l分别作为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系．设DC=2，则在Rt△PDC中，，PH=1．又在△BCD中，CD=BC，∠BCD=120°，所以BD2=CD2+CB2﹣2CD•CBcos∠BCD=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，故．又因为△ABD是等边三角形，所以．所以P（0，1，1），，C（0，2，0），，即．所以，，．设平面PAB的法向量为，则由，得．令，得y=1，z=5．故为平面PAB的一个法向量．因为PH⊥平面ABCD，故为平面ABCD的一个法向量．故．设二面角P﹣AB﹣C为θ，则由图可知，所以…（12分）解法二：，取CD的中点H，连接PH，连接HE并延长，交AB于F，连接PF．则在等腰Rt△PDC中，PH⊥DC．又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以PH⊥平面ABCD．设DC=2，则在Rt△PDC中，，PH=1．又在△BCD中，CD=BC，∠BCD=120°，所以BD2=CD2+CB2﹣2CD•CBcos∠BCD=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，故．△BCD中，DE=EB，DH=HC，所以EH∥BC，且．故∠HED=∠CBD=30°，又∠BEF=∠HED，且∠DBA=60°，所以∠DBA+∠BEF=90°，故EF⊥AB．又因为PH⊥平面ABCD，由三垂线定理可得PF⊥AB，所以∠PFH为二面角P﹣AB﹣C的平面角．在Rt△BEF中，，所以．故．所以在Rt△PHF中，，故．∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为…（12分）20．（12分）已知动圆过定点R（0，2），且在x轴上截得线段MN的长为4，直线l：y=kx+t（t＞0）交y轴于点Q．（1）求动圆圆心的轨迹E的方程；（2）直线l与轨迹E交于A，B两点，分别以A，B为切点作轨迹E的切线交于点P，若||•||sin∠APB=||•||．试判断实数t所满足的条件，并说明理由．【解答】解：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y），半径r，（r＞0），∵动圆过定点R（0，2），且在x轴上截得线段MN的长为4，∴，消去r得x2=4y，故所求轨迹E的方程为x2=4y；（2）实数t是定值，且t=1，下面说明理由，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2，P（x0，y0），由题知Q（0，1），由，消去y得x2﹣4kx﹣4t=0，∴，轨迹E在A点处的切线方程为l1：y﹣y1=（x﹣x1），即y=x ﹣，同理，轨迹E在B处的切线方程为l1：y=x﹣，联立l1，l2：的方程解得交点坐标P（，），即P（2k，﹣t），，由||•||sin∠APB=||•||=2S△APB得⊥，即•=0，=（﹣2k，2t），=（x2﹣x1，），∴﹣2k（x2﹣x1）+2t•=0，即2k（x2﹣x1）（t﹣1）=0，则2k（t﹣1）=0，则t=1，故实数t是定值，且t=1．21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）有两个零点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意x1，x2，当x0=λx1+（1﹣λ）x2＞0时均有f′（x0）＜0？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）f′（x）=a+（x＞0），当a≥0时，f′（x）＞0对x＞0恒成立，与题意不符，当a＜0，f′（x）=a+=，∴0＜x＜﹣时，f′（x）＞0；x＞﹣时f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，﹣）单调递增，在（﹣，+∞）单调递减，∵x→0和x→+∞时均有f（x）→﹣∞，∴f（﹣）=﹣1+ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可知：a的取值范围（﹣，0）；（2）由（1）可知f′（x0）＜0⇔x0＞﹣（﹣＜a＜0），由x1，x2的任意性及f′（x1）•f′（x2）＜0知，λ≠0，且λ≠1，∴a=﹣，故x0=λx1+（1﹣λ）x2＞，又∵λ+（1﹣λ）＞，令t=，则t＞0，t≠1，且λ+（1﹣λ）t＞＞0恒成立，令g（t）=lnt﹣（t＞0），而g（﹣1）=0，∴t＞1时，g（t）＞0，0＜t＜1时，g（t）＜0．（*）∴g′（t）=﹣=，令μ=，若μ＜1，则μ＜t＜1时，g′（t）＜0，即函数在（μ，1）单调递减，∴g（t）＞g（1）=0，与（*）不符；若μ＞1，则1＜t＜μ时，g′（t）＜0，即函数g（t）在（1，μ）单调递减，∴g（t）＜g（1）=0，与（*）式不符；若μ=1，解得λ=，此时g′（t）≥0恒成立，（g′（t）=0⇔t=1），即函数g（t）在（0，+∞）单调递增，又g（1）=0，∴t＞1时，g（t）＞0；0＜t＜1时，g（t）＜0符合（•）式，综上，存在唯一实数λ=符合题意．选做题：请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．，直线l的参数方程为：（t为参数）．（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）点P的极坐标为（1，），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（1）圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=2，代入圆C得：（ρcosθ﹣2）2+ρ2sin2θ=2化简得圆C的极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ+2=0…（3分）由得x+y=1，∴l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1…（5分）（2）由得点P的直角坐标为P（0，1），∴直线l的参数的标准方程可写成…（6分）代入圆C得：化简得：，∴，∴t1＜0，t2＜0…（8分）∴…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣m（m∈R）．（Ⅰ）当m=﹣4时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若存在x0∈R，使得f（x0）≥﹣4，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=﹣4时，，∴函数f（x）在（﹣∞，3]上是增函数，在（3，+∞）上是减函数，所以f（x）=f（3）=2．max（Ⅱ），即，令g（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|+4，则存在x0∈R，使得g（x0）≥成立，∴，即，∴当m＞0时，原不等式为（m﹣1）2≤0，解得m=1，当m＜0时，原不等式为（m﹣1）2≥0，解得m＜0，综上所述，实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪{1}．。

2017-2018学年广东省汕头市金山中学高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x||x﹣2|≤3}，则（∁U A）∩B等于（）A．[﹣1，0）B．（0，5]C．[﹣1，0]D．[0，5]2．（5分）已知a=0.30.3，b=0.31.3，c=1.30.3，则它们的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞b＞c3．（5分）复数z=的共轭复数的虚部为（）A．﹣i B．﹣ C．i D．4．（5分）已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“∃x0∈R，x02+4x0+a=0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（4，+∞）B．[1，4]C．[e，4]D．（﹣∞，﹣1）5．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象的一条对称轴方程可以是x=（）A．B．C．D．6．（5分）已知公比不为1的等比数列{a n}的前n项和为S n，a1a2a3a4a5=，且a2，a4，a3成等差数列，则S5=（）A．B．C．D．7．（5分）运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为480，则判断框中可以填（）A．i＞60 B．i＞70 C．i＞80 D．i＞908．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，β⊥α，则m⊥nC．“直线m与平面α内的无数条直线垂直”是“直线m与平面α垂直”的充分不必要条件D．若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则α⊥β9．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线l：x=﹣，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率k AF=﹣，则△AFM 的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．1210．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．8π+8 C．D．11．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．B．C．D．12．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x|f（x）=0}，β∈{x|g（x）=0}，若存在α，β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）和g（x）互为“零点相邻函数”，若函数f（x）=ln（x﹣1）+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+8互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（）A．B． C． D．[2，4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知在长方形ABCD中，AB=2AD=4，点E是AB边上的中点，则=．14．（5分）《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“仅有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出钱（所得结果四舍五入，保留整数）．15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE的外接球的体积为．16．（5分）已知实数x，y满足，若z=x﹣my（m＞0）的最大值为4，则z=x﹣my（m＞0）的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（1+）=．（1）求C；（2）若，求△ABC的面积S取到最大值时a的值．18．（10分）在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式表示，现测得试验数据如下：试求y对x的回归方程．参考数据：①由最小二乘法可得线性回归方程=bx+a中，b=，a=﹣b②设，v=lny，有下表：③设a=lnA ，b==﹣0.146，则有a=﹣b =0.548④e 0.548=1.73．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC=BC=CC 1=2，点D 为AB 的中点． （1）证明：AC 1∥平面B 1CD ； （2）求三棱锥A 1﹣CDB 1的体积．20．（12分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的倍，A是椭圆C 的左顶点，F 是椭圆C 的右焦点，点M （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0），N 都在椭圆C 上． （Ⅰ）若点D （﹣1，）在椭圆C 上，求|NF |的最大值；（Ⅱ）若=2（O 为坐标原点），求直线AN 的斜率．21．（14分）已知函数f （x ）=（x ﹣2）e x ，x ∈（0，+∞）． （1）求函数f （x ）的单调递增区间；（2）若g （x ）=f （x ）+2e x ﹣ax 2，h （x ）=x ，且∀x 1，x 2，[g （x 1）﹣h （x 1）][g （x 2）﹣h （x 2）]＞0，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）求|AP|•|AQ|的值．23．已知函数f（x）=|4x+1|﹣|4x﹣a|．（1）若a=2，解关于x的不等式f（x）+x＜0；（2）若∃x∈R，使f（x）≤﹣5，求a的取值范围．2017-2018学年广东省汕头市金山中学高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x||x﹣2|≤3}，则（∁U A）∩B等于（）A．[﹣1，0）B．（0，5]C．[﹣1，0]D．[0，5]【解答】解：由A中的不等式变形得：2x＞1=20，得到x＞0，即A=（0，+∞），∵全集U=R，∴∁U A=（﹣∞，0]，由B中的不等式变形得：﹣3≤x﹣2≤3，即﹣1≤x≤5，∴B=[﹣1，5]，则（∁U A）∩B=[﹣1，0]．故选：C．2．（5分）已知a=0.30.3，b=0.31.3，c=1.30.3，则它们的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞b＞c【解答】解：a=0.30.3，b=0.31.3，c=1.30.3，因为y=0.3x为减函数，所以0.30.3＞0.31.3，因为y=x0.3为增函数，所以0.30.3＜1.30.3，故c＞a＞b，故选：A．3．（5分）复数z=的共轭复数的虚部为（）A．﹣i B．﹣ C．i D．【解答】解：∵z==，∴．∴复数z=的共轭复数的虚部为．故选：D．4．（5分）已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“∃x0∈R，x02+4x0+a=0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（4，+∞）B．[1，4]C．[e，4]D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：命题p：∀x∈[0，1]，a≥e x，∴a≥（e x）max=e，可得a≥e．命题q：∵∃x0∈R，x02+4x0+a=0．∴△=16﹣4a≥0，解得a≤4．∵命题“p∧q”是真命题，∴p与q都为真命题，∴．∴e≤a≤4．则实数a的取值范围[e，4]．故选：C．5．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象的一条对称轴方程可以是x=（）A．B．C．D．【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度后，可得y=sin[2（x+）]=sin（2x）=cos2x令2x=kπ，k∈Z，可得：x=kπ．当k=1时，可得x=，故选：B．6．（5分）已知公比不为1的等比数列{a n}的前n项和为S n，a1a2a3a4a5=，且a2，a4，a3成等差数列，则S5=（）A．B．C．D．【解答】解：∴a1a2a3a4a5=，∴a35=（）5，∴a3=，设公比为q，由于a2，a4，a3成等差数列，∴2a4=a2+a3，∴2a2q2=a2+a2q，解得q=﹣或q=1（舍去），∴a1==1，∴S5==故选：D．7．（5分）运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为480，则判断框中可以填（）A．i＞60 B．i＞70 C．i＞80 D．i＞90【解答】解：第一次循环后，S=210，i=20，应不满足输出条件；第二次循环后，S=230，i=30，应不满足输出条件；第三次循环后，S=260，i=40，应不满足输出条件；第四次循环后，S=300，i=50，应不满足输出条件；第五次循环后，S=350，i=60，应不满足输出条件；第六次循环后，S=410，i=70，应不满足输出条件；第七次循环后，S=480，i=80，应满足输出条件；故判断框中条件可以是i＞70，故选：B．8．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，β⊥α，则m⊥nC．“直线m与平面α内的无数条直线垂直”是“直线m与平面α垂直”的充分不必要条件D．若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则α⊥β【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；在B中，若m⊂α，n⊂β，β⊥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，“直线m与平面α内的无数条直线垂直”是“直线m与平面α垂直”的必要不充分条件，故C错误；在D中，若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．9．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线l：x=﹣，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率k AF=﹣，则△AFM 的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣，抛物线C：y2=6x 点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率k AF=﹣，准线与x轴的交点为N，则AN=3=3，A（﹣，3），则M（，3），=×6×3=9．∴S△AMN故选：C．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．8π+8 C．D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，是把半径为2的球体切去，然后放上去一个三棱锥，该几何体的体积为V=．故选：A．11．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）==，可知函数的图象关于（2，0）对称，排除A，B．当x＜0时，ln（x﹣2）2＞0，（x﹣2）3＜0，函数的图象在x轴下方，排除D，故选：C．12．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x|f（x）=0}，β∈{x|g（x）=0}，若存在α，β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）和g（x）互为“零点相邻函数”，若函数f（x）=ln（x﹣1）+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+8互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（）A．B． C． D．[2，4]【解答】解：f（x）的定义域为（1，+∞），f′（x）==＞0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，又f（2）=0，∴f（x）只有一个零点x=2．若f（x）和g（x）互为“零点相邻函数”，则g（x）在[1，3]上存在零点．∴△=a2﹣4（8﹣a）≥0，解得a≥4或a≤﹣8．（1）若△=0，即a=4或a=﹣8时，g（x）只有一个零点x=，显然当a=4时，=2∈[1，3]，当a=﹣8时，∉[1，3]，不符合题意；（2）若△＞0，即a＞4或a＜﹣8，①若g（x）在[1，3]上存在1个零点，则g（1）g（3）≤0，即（9﹣2a）（17﹣4a）≤0，解得≤a≤，∴．②若g（x）在[1，3]上存在2个零点，则，∴4＜4≤．综上，a的取值范围是：{4}∪[，]∪（4，]=[4，]．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知在长方形ABCD中，AB=2AD=4，点E是AB边上的中点，则= 4．【解答】解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则B（4，0），D（0，2），C（4，2），E（2，0），∴=（﹣4，2），=（﹣2，﹣2），∴=8﹣4=4．故答案为：4．14．（5分）《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“仅有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出17钱（所得结果四舍五入，保留整数）．【解答】解：∵甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，丙应付：100×=16≈17钱．故答案为：17．15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE的外接球的体积为．【解答】解：∵∠DAB=60°∴三棱锥P﹣DCE各边长度均为1∴三棱锥P﹣DCE为正三棱锥P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心，设中心为O∴OD=OE=OC=在直角△POD中：OP2=PD2﹣OD2=OP=∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为O'，则O'P=O'D 设O'P=O'D=R则在直角△OO'D中：OO'2+OD2=O'D2（OP﹣O'P）2+OD2=O'D2（﹣R）2+（）2=R2，R=∴体积为πR3=故答案为：16．（5分）已知实数x，y满足，若z=x﹣my（m＞0）的最大值为4，则z=x﹣my（m＞0）的最小值为﹣6．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：z=x﹣my（m＞0）的最大值为4，可知直线z=x﹣my（m＞0）经过可行域A时取得最大值，由解得A（﹣2，﹣2），此时：z=﹣2+2m=4，解得m=3．直线z=x﹣3y经过可行域的B（0，2）时截距最大，此时z最小，z min=0﹣3×2=﹣6．故答案为：﹣6．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（1+）=．（1）求C；（2）若，求△ABC的面积S取到最大值时a的值．【解答】解：（1）△ABC中，a（1+）=，由正弦定理得，sinA（1+）=；又A∈（0，π），∴sinA＞0，∴，从而，又0＜C＜π，∴，∴C﹣=，解得C=；（2）由（1）知，∴，∴，又∵cosC==﹣∴a2+b2=c2﹣ab=6﹣ab，又∵a2+b2≥2ab，∴ab≤2，∴，当且仅当时等号成立．△ABC的面积S取到最大值时a=．18．（10分）在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y与析出银的光学密度x 由公式表示，现测得试验数据如下：试求y对x的回归方程．参考数据：①由最小二乘法可得线性回归方程=bx+a中，b=，a=﹣b②设，v=lny，有下表：③设a=lnA，b==﹣0.146，则有a=﹣b=0.548④e0.548=1.73．【解答】解：由题意可知，对于给定的公式，两边取自然对数，得．取，v=lny，a=lnA，就有v=a+bu，由参考数据可得b=﹣0.14，a=0.548，∴，把u和v置换回来可得，∴，∴回归曲线方程为．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，点D为AB的中点．（1）证明：AC1∥平面B1CD；（2）求三棱锥A1﹣CDB1的体积．【解答】（1）证明：连接BC1交B1C于点O，连接OD．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形．∴点O是BC1的中点．∵点D为AB的中点，∴OD∥AC1，又OD⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD；（2）解：∵AC=BC，AD=BD，∴CD⊥AB．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由AA1⊥平面ABC，得平面ABB1A1⊥平面ABC．又平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1．∴点C到平面A1DB1的距离为CD，且．∴===．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的倍，A是椭圆C的左顶点，F是椭圆C的右焦点，点M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），N都在椭圆C上．（Ⅰ）若点D（﹣1，）在椭圆C上，求|NF|的最大值；（Ⅱ）若=2（O为坐标原点），求直线AN的斜率．【解答】解：（I）由已知可得：2a=•2b，+=1，联立解得：b2=5，a2=9．c==2．∴F（2，0）．∴|NF|的最大值=a+c=3+2=5．（II）由（I）可得椭圆C的方程为：=1．设直线MN与x轴相交于点E，N（x1，y1）．∵=2（O为坐标原点），∴AN OM．∵A（﹣3，0），O（0，0），∴E（﹣6，0）．设直线MN的方程为：my=x+6．联立，化为：（5m2+9）y2﹣60my+135=0．△＞0．⇒m2．∴y1+y0=，y1y0=，又y0=2y1．联立解得：m2=，满足△＞0．∴=.，y0＞0．解得y0=，x0=．∴k AN=k OM==．21．（14分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x，x∈（0，+∞）．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若g（x）=f（x）+2e x﹣ax2，h（x）=x，且∀x1，x2，[g（x1）﹣h（x1）][g （x2）﹣h（x2）]＞0，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）依题意，f'（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x，令f'（x）＞0，解得x＞1，故函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．（2）当g（x1）﹣h（x1）＞0，对任意的x2∈（0，+∞），都有g（x2）﹣h（x2）＞0；当g（x1）﹣h（x1）＜0时，对任意的x2∈（0，+∞），都有g（x2）﹣h（x2）＜0；故g（x）﹣h（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，或g（x）﹣h（x）＜0对x∈（0，+∞）恒成立，而g（x）﹣h（x）=x（e x﹣ax﹣1），设函数p（x）=e x﹣ax﹣1，x∈（0，+∞）．则p（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，或p（x）＜0对x∈（0，+∞）恒成立，p'（x）=e x﹣a，①当a≤1时，∵x∈（0，+∞），∴e x＞1，∴p'（x）＞0恒成立，∴p（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，p（0）=0，故p（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，符合题意．②当a＞1时，令p'（x）=0，得x=lna，令p'（x）＜0，得0＜x＜lna，故p（x）在（0，lna）上单调递减，所以p（lna）＜p（0）=0，而p（a）=e a﹣a2﹣1，设函数φ（a）=e a﹣a2﹣1，a∈（1，+∞），则φ'（a）=e a﹣2a，令H（a）=e a﹣2a，则H'（a）=e a﹣2＞（a∈（1，+∞））恒成立，∴φ'（a）在（1，+∞）上单调递增，∴φ'（a）＞φ'（1）=e﹣2＞0恒成立，∴φ（a）在（1，+∞）上单调递增，∴φ（a）＞φ（1）=e﹣2＞0恒成立，即p（a）＞0，而p（lna）＜0，不合题意．综上，故实数a的取值范围为（﹣∞，1]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）求|AP|•|AQ|的值．【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ 即ρ2=2ρcosθ，即（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆．（2）∵点A的直角坐标为（，），∴点A在直线（t为参数）上．把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t﹣=0．由韦达定理可得t1•t2=﹣＜0，根据参数的几何意义可得|AP|•|AQ|=|t1•t2|=．23．已知函数f（x）=|4x+1|﹣|4x﹣a|．（1）若a=2，解关于x的不等式f（x）+x＜0；（2）若∃x∈R，使f（x）≤﹣5，求a的取值范围．【解答】解：（1）若a=2，则不等式化为f（x）=|4x+1|﹣|4x﹣2|+x＜0，若，则﹣4x﹣1+4x﹣2+x＜0，解得x＜3，故；若，则4x+1+4x﹣2+x＜0，解得，故；若，则4x+1﹣4x+2+x＜0，解得x＜﹣3，故无解，综上所述，关于x的不等式f（x）+x＜0的解集为，（2）∃x∈R，使f（x）≤﹣5等价于[f（x）]min≤﹣5，因为|f（x）|=||4x+1|﹣|4x﹣a||≤|（4x+1）﹣（4x﹣a）|=|1﹣a|，所以﹣|1﹣a|≤|f（x）|≤|1﹣a|，所以f（x）的最小值为﹣|1﹣a|，所以﹣|1﹣a|≤﹣5，得a≥6或a≤﹣4所以a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）．。