第一章 集合与函数概念综合素能检测及答案

高一数学单元卷(一)必修1答案(第一章集合和函数的概念)一．选择题（本大题12小题，每小题５分，共60分）1.答案:A （1）错的原因是元素不确定，（2）前者是数集，而后者是点集，种类不同，（3）361,0.5242=-=，有重复的元素，应该是3个元素，（4）本集合还包括坐标轴 2.答案:B,{}32x x ∈-<+N ={}5+N x x ∈<={}1,2,3,4,故选B.3. A 阴影部分完全覆盖了C 部分，这样就要求交集运算的两边都含有C 部分； 4答案：B ，T S Y = 1，3，5，6 ，)(T S C U Y ={}2,4,7,85.答案:B, =M Z k k x x ∈+=,412| , N = Z k k x x ∈++=,41)1(| ,1k +属于全体整数,2k 属于偶数, M N ⊆6.答案:C,判断两个函数是否同一函数,看其定义域和对应关系是否相同.7. C 有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于1x =仅有一个函数值；8.答案:D, 该分段函数的三段各自的值域为(][)[),1,0,4,4,-∞+∞，而[)30,4∈∴2()3,3,12,f x x x x ===±-<<而∴ 3x =；9.答案:A,Q 1,2x y =-=，所以3,1x y x y -=-+=10. C 22224(2)44,042,240x x x x x x x -+=--+≤≤-+≤-≤--+≤20242,02x x y ≤--+≤≤≤；11.答案:A,奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性12.答案:B, 对称轴2,24,2x a a a =--≤≥-二.填空题: （本大题4小题，每小题4分，共16分）13. []4,9 021,3,49x x ≤-≤≤≤≤≤得2x 即14.答案:1|12k k ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ ; 213212k k -≥-⎧⎨+≤⎩得112k -≤≤ 15.(](2,0)2,5-U 奇函数关于原点对称，补足左边的图象16.答案:3(1)x x -, 设0x <，则0x ->，33()(1)(1)f x x x x x -=-+-=-- ∵()()f x f x -=-∴3()()(1)f x f x x x =--=-三.解答题:（本大题共六小题，共74分）17.解：∵{}3A B =-I ，∴3B -∈，而213a +≠-， 4分 ∴当{}{}33,0,0,1,3,3,1,1a a A B -=-==-=--，这样{}3,1A B =-I 与{}3A B =-I 矛盾； 8分当213,1,a a -=-=-符合{}3A B =-I∴1a =- 12分18.解：由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝φ 得{}1,3A =， 5分 0px q ++=2即方程x 的两个根是1，3，由韦达定理，得 7分 则1+3=-p p=-41×3=q q=3 12分19．解：令12,(0)x t t -=≥， 2分则2221111,2222t t x y t t t --==+=-++ 5分 21(1)12y t =--+， 9分 当1t =时，(]max 1,,1y y =∈-∞所以 12分20.解: 设OE=x,则当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF=241212121x x x s x =⋅=∴ 3分 当2＜x ≤3时，△BEF 的高EF=3-x ，∴)3)(3(211321x x s ---⨯⨯= 6分 当3x >时，32s = 9分 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<-+-≤≤==323323321204)(22x x x x x x x f S 10分 12分 21.解：()f x Q 是奇函数，∴()()f x f x \-=-，∴22(1)(1)f a f a \--=-∴22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-， 6分 P x x -=+21 q x x =⋅21()f x Q 的定义域为()1,1-且在定义域上单调递减，则2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩, 10分∴01a << 12分22.解：（1）依题意得(0)012()25f f ì=ïïïíï=ïïî 即2010221514b a b ìïï=ïï+ïïïí+ïï=ïïï+ïïïî得10a b ì=ïïíï=ïî ∴2()1x f x x \=+ 4分 （2）证明:任取1211x x -<<<，则12122212()()11x x f x f x x x -=-++12122212()(1)(1)(1)x x x x x x --=++ 121211,0x x x x -<<<\-<Q ，221210,10x x +>+> 又121211,10x x x x -<<\->Q 12()()0f x f x \-<∴ ()f x 在(1,1)-上是增函数。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}解析M＝{x|x(x＋2)＝0.，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x(x－2)＝0，x∈R}＝{0,2}，所以M ∪N＝{－2,0,2}．答案 D2．设f：x→|x|是集合A到集合B的映射，若A＝{－2,0,2}，则A∩B＝()A．{0} B．{2}C．{0,2} D．{－2,0}解析依题意，得B＝{0,2}，∴A∩B＝{0,2}．答案 C3．f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点在函数f(x)图象上的是() A．(3，－2) B．(3,2)C．(－3，－2) D．(2，－3)解析∵f(x)是奇函数，∴f(－3)＝－f(3)．又f(－3)＝2，∴f(3)＝－2，∴点(3，－2)在函数f(x)的图象上．答案 A4．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3C．5 D．9解析逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．答案 C6．设f(x)＝x＋3(x>10)，f(x＋5)(x≤10)，则f(5)的值为()A．16 B．18C．21 D．24解析f(5)＝f(5＋5)＝f(10)＝f(15)＝15＋3＝18.答案 B7．设T＝{(x，y)|ax＋y－3＝0}，S＝{(x，y)|x－y－b＝0}，若S∩T＝{(2,1)}，则a，b的值为()A．a＝1，b＝－1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1解析依题意可得方程组2a＋1－3＝0，2－1－b＝0，⇒a＝1，b＝1.答案 C8．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()A．(－1,1) B.－1，－12C．(－1,0) D.12，1解析由－1<2x＋1<0，解得－1<x<－12，故函数f(2x＋1)的定义域为－1，－12.答案 B9．已知A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f是从A到B映射的对应关系，则满足f(0)>f(1)的映射有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析当f(0)＝1时，f(1)的值为0或－1都能满足f(0)>f(1)；当f(0)＝0时，只有f(1)＝－1满足f(0)>f(1)；当f(0)＝－1时，没有f(1)的值满足f(0)>f(1)，故有3个．答案 A10．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，则当n∈N*时，有()A．f(－n)<f(n－1)<f(n＋1)B．f(n－1)<f(－n)<f(n＋1)C．f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)D．f(n＋1)<f(n－1)<f(－n)解析由题设知，f(x)在(－∞，0]上是增函数，又f(x)为偶函数，∴f(x)在[0，＋∞)上为减函数．∴f(n＋1)<f(n)<f(n－1)．又f(－n)＝f(n)，∴f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)．答案 C11．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法：①f(0)＝0；②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值为－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值为1；③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；④若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.其中正确说法的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个解析①f(0)＝0正确；②也正确；③不正确，奇函数在对称区间上具有相同的单调性；④正确．12．f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)•f(b)且f(1)＝2，则f(2)f(1)＋f(4)f(3)＋f(6)f(5)＋…＋f(2014)f(2013)＝()A．1006 B．2014C．2012 D．1007解析因为对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)•f(b)且f(1)＝2，由f(2)＝f(1)•f(1)，得f(2)f(1)＝f(1)＝2，由f(4)＝f(3)•f(1)，得f(4)f(3)＝f(1)＝2，……由f(2014)＝f(2013)•f(1)，得f(2014)f(2013)＝f(1)＝2，∴f(2)f(1)＋f(4)f(3)＋f(6)f(5)＋…＋f(2014)f(2013)＝1007×2＝2014.答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数y＝x＋1x的定义域为________．解析由x＋1≥1，x≠0得函数的定义域为{x|x≥－1，且x≠0}．答案{x|x≥－1，且x≠0}14．f(x)＝x2＋1(x≤0)，－2x(x>0)，若f(x)＝10，则x＝________.解析当x≤0时，x2＋1＝10，∴x2＝9，∴x＝－3.当x>0时，－2x＝10，x＝－5(不合题意，舍去)．∴x＝－3.答案－315．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.解析f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2为偶函数，则2a＋ab＝0，∴a＝0，或b＝－2.又f(x)的值域为(－∞，4]，∴a≠0，b＝－2，∴2a2＝4.∴f(x)＝－2x2＋4.答案－2x2＋416．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨为700元，那么客户购买400吨，单价应该是________元．解析设一次函数y＝ax＋b(a≠0)，把x＝800，y＝1000，和x＝700，y＝2000，代入求得a＝－10，b＝9000.∴y＝－10x＋9000，于是当y＝400时，x＝860.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.(1)求A∪B，(∁UA)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．解(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}．∁UA＝{x|x<2，或x>8}．∴(∁UA)∩B＝{x|1<x<2}．(2)∵A∩C≠∅，∴a<8.18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝1＋x21－x2.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)求证：f1x＋f(x)＝0.解(1)由解析式知，函数应满足1－x2≠0，即x≠±1.∴函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠±1}．(2)由(1)知定义域关于原点对称，f(－x)＝1＋(－x)21－(－x)2＝1＋x21－x2＝f(x)．∴f(x)为偶函数．(3)证明：∵f1x＝1＋1x21－1x2＝x2＋1x2－1，f(x)＝1＋x21－x2，∴f1x＋f(x)＝x2＋1x2－1＋1＋x21－x2＝x2＋1x2－1－x2＋1x2－1＝0.19．(本小题满分12分)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x.(1)求当x<0时，f(x)的解析式；(2)作出函数f(x)的图象，并指出其单调区间．解(1)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∴当x<0时，f(x)＝x2＋2x.(2)由(1)知，f(x)＝x2－2x(x≥0)，x2＋2x(x<0).作出f(x)的图象如图所示：由图得函数f(x)的递减区间是(－∞，－1]，[0,1]．f(x)的递增区间是[－1,0]，[1，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x＋1x＋1，(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论．(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．解(1)函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝2x1＋1x1＋1－2x2＋1x2＋1＝x1－x2(x1＋1)(x2＋1)，∵x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数，最大值f(4)＝95，最小值f(1)＝32.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)为增函数，f(x•y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：fxy＝f(x)－f(y)；(2)若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求a的取值范围．解(1)证明：∵f(x)＝fxy•y＝fxy＋f(y)，(y≠0)∴fxy＝f(x)－f(y)．(2)∵f(3)＝1，∴f(9)＝f(3•3)＝f(3)＋f(3)＝2.∴f(a)>f(a－1)＋2＝f(a－1)＋f(9)＝f[9(a－1)]．又f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴a>0，a－1>0，a>9(a－1)，∴1<a<98.22．(本小题满分12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系：x 30 40 45 50y 60 30 15 0(1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式．(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？解(1)由题表作出(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)的对应点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示．设它们共线于直线y＝kx＋b，则50k＋b＝0，45k＋b＝15，⇒k＝－3，b＝150.∴y＝－3x＋150(0≤x≤50，且x∈N*)，经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上．∴所求函数解析式为y＝－3x＋150(0≤x≤50，且x∈N*)．(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300.∴当x＝40时，P有最大值300，故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．。

新课标人教A 版第一章集合与函数的概念单元测试一、单选题(每小题5分)1. 已知集合和集合2{}B y y x ==，则A B 等于（ ）A.(0,1)B.[0,1]C.(0,+∞)D.{(0,1),(1,0)}2.函数()f x =的定义域为（ ） A.[3，+∞） B.[3，4）∪（4，+∞） C.（3，+∞） D.[3，4）3. （2018•卷Ⅰ）已知集合2{20}A x x x =--＞，则∁R A=（ ） A.{12}x x -<< B.{12}x x -≤≤ C.{1}{2}x x x x <-> D.{1}{2}x x x x ≤-≥4. 函数f （x ）=|x 2﹣6x+8|的单调递增区间为（ ）A.[3，+∞） B.（﹣∞，2）（4，+∞） C.（2，3）（4，+∞） D.（﹣∞，2][3，4]5. （2018•卷Ⅰ）已知集合A={0，2}，B={-2，-1，0，1，2},则A ∩B=（ ）A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}6. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，6}，B={2，4，5}，则（∁UA ）∩B=( )A.{4，5}B.{1，2，3，4，5，6}C.{2，4，5}D.{3，4，5}7. 若函数f （x ）对于任意实数x 恒有f （x ）﹣2f （﹣x ）=3x ﹣1，则f （x ）等于（ ） A.x+1 B.x ﹣1 C.2x+1 D.3x+38. 已知函数21,2()22,2x x f x x x x ⎧+>⎪=-⎨⎪+≤⎩，则f[f （1）]=（ ） A.12- B.2 C.4 D.11 9. 已知集合A={x ∈N *|x ﹣3＜0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为（ ）A.2B.3C.4D.810. 函数2()23f x x mx =-+，当[2,)x ∈-+∞时是增函数，当(,2]x ∈-∞-时是减函数，则(1)f 等于（ ）A.-3B.13C.7D.511. 已知函数22,1()2,1a x f x x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.[﹣1，+∞）B.（﹣1，+∞） .[﹣1，0） D.（﹣1，0）12. 下列有关集合的写法正确的是（ ）A.{0}{0,1,2}∈B.{0}∅=C.0∈∅D.{}∅∈∅二、填空题（每题5分）13. 非空数集A 与B 之间定义长度(,)d x y ，使得()1212d y y y y -=-，其中1y A ∈，2y B ∈，若所有的(,)d x y 中存在最小值()12','d y y ，则称()12','d y y 为集合A 与B 之间的距离，现已知集合11{21}A y a y a =≤≤-，222111{1,}B y y y y y A ==++∈，且()12','d y y =4，则a 的值为_______.14. 已知f(x)为奇函数，()()9,(2)3g x f x g =+-=,则f(2)=__________．15. 设集合A ＝{x|－1<x<2}，集合B ＝{x|1<x<3}，则A ∪B 等于________16. 若集合{12}M x x =-<<，2{1,}N y y x x R ==+∈，则集合M N =___三、解答题（17-22题，12分+12分+12分+12分+12分+12分+10分）17. 设集合2{40,}A x x x x R =+=∈，22{2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈.（1）若A B B =，求实数a 的值;（2）若A B B =，求实数a 的范围.18. 已知函数239,2()1,211,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-+>⎩.（1）做出函数图象；（2）说明函数()f x 的单调区间（不需要证明）；（3）若函数()y f x =的图象与函数y m =的图象有四个交点，求实数m 的取值范围.19. 已知函数21 ()1xf xx+=+．（1）判断函数()f x在区间[1,+)∞上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．20. 已知函数f(x)对任意的实数m,n都有：f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且当x ＞0时，有f(x)＞1.（1）求f(0)．（2）求证：f(x)在R上为增函数．（3）若f(1)＝2，且关于x的不等式f(ax－2)＋f(x－x2)＜3对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．21. 已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3﹣x）=f（x），且f（1）=2．（1）若f（x）在（a，2a﹣1）上单调递减，求实数a的取值范围．（2）设函数h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x，其中t∈R，求h（x）在区间[0，1]上的最小值g （t）．22. 若集合A={x|x2+5x﹣6=0}，B={x|x2+2（m+1）x+m2﹣3=0}．（1）若m=0，写出A∪B的子集；（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．答案：1-5.BBBCA 6-10.AACCB 11-12.CD13. a=214. 615. {x|-1＜x ＜3}16. [1,3)17. (1)a=1 (2)a=1或a ≤-118. （2）单调增区间（-∞，-2）和（0,1）单调减区间（-2,0）和（1，+∞） （3）(1,0)m ∈-19. (1)函数f(x)在[1,+∞)上是增函数 （2）最小值f(1)=32 最大值9(4)5f =20. （1）f(0)=1(2)略 （3）(1)-∞21. （1）5(1,]4a ∈ (2) 0(5)4t g ≤=时， 201()4t g t t<<=-时， 1()52t g t t ≥=-时， 22. (1){6,3,1}A B =--{-6}{-3}{1}{-6-3}{-6,1}{-3,A B ∅的子集：，，，，，，，，， (2)∞（-,-2]。

高一数学必修1《集合与函数概念》测试卷(含答案)第一章（一）《集合与函数概念》测试卷考试时间：120分钟满分：150分一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.下列叙述正确的是（）A.函数的值域就是其定义中的数集BB.函数y=f(x)的图像与直线x=m至少有一个交点C.函数是一种特殊的映射D.映射是一种特殊的函数2.如果A={x|x>-1}，则下列结论正确的是（）A.XXXB.{}⊆AC.{}∈AD.∅∈A3.设f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数，则有（）A.a≥1/2B.a≤1/2C.a>1/2D.a<1/24.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2)，有|x1-x2|<π/2，则有（）A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)5.若奇函数f(x)在区间[1,3]上为增函数，且有最小值，则它在区间[-3,-1]上（）A.是减函数，有最小值0B.是增函数，有最小值0C.是减函数，有最大值0D.是增函数，有最大值06.设f:x→x是集合A到集合B的映射，若A={-2,0,2}，则AB等于（）A.{}B.{2}C.{0,2}D.{-2,0}7.定义两种运算：a⊕b=ab，a⊗b=a²+b²，则函数f(x⊗3-3)为（）A.奇函数B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数8.若函数f(x)是定义域在R上的偶函数，在(-∞,0)上是减函数，且f(-2)=1/4，则使f(x)<1/4的x的取值范围为（）A.(-2,2)B.(-2,0)∪(0,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2]∪[2,+∞)9.函数f(x)=x+(x|x|)的图像是（）10.设f(x)是定义域在R上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当|x|<1时，f(x)=x，则f(7.5)的值为（）A.-0.5B.0.5C.-5.5D.7.511.已知f(-2x+1)=x²+1，且-1/2≤x≤1/2，则f(x)的值域为（）A.[1,5/4]B.[1/4,5/4]C.[0,5/4]D.[1/4,2]12.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[-2,2]上单调递增，则f(x)在(-∞,-2)∪(2,+∞)上（）A.单调递减B.单调不增也不减C.单调递增D.无法确定第一章（一）《集合与函数概念》测试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.下列叙述正确的是（）A。

综合测评(一)集合与函数概念(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·湖北高考)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A＝()A．{1，3，5，6}B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}【解析】∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，∴∁U A＝{2，4，7}．【答案】 C2．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则必有()A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．2∈A【解析】∵A＝{x∈N|－3≤x≤3}＝{0，1}，∴0∈A.【答案】 B3．设集合A＝{－1，3，5}，若f：x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是() A．{0，2，3} B．{1，2，3}C．{－3，5} D．{－3，5，9}【解析】将A中的元素－1代入得－3，A中的元素3代入得5，A中的元素5代入得9，故选D.【答案】 D4．(2014·衢州高一检测)下列各组函数表示相等函数的是()A．f(x)＝x－2，g(x)＝x2－4 x＋2B．f(x)＝|x|x，g(x)＝1C．f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1D．f(x)＝12，g(x)＝（x－1）02【解析】D中f(x)、g(x)的定义域不同，因此不是相等函数；而C只是表示变量的字母不一样，表示的函数是相等的．【答案】 A5．已知y＝f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为()A．5B．10 C．8D．不确定【解析】∵y＝f(x)是偶函数，∴f(－4)＝f(4)＝5，∴f(4)＋f(－4)＝10.【答案】 B6．(2014·北京高考)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝() A．{0} B．{0，1}C．{0，2} D．{0，1，2}【解析】∵A＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{0，2}．【答案】 C7．函数f(x)＝x|x|的图象是()A B C D【解析】由于f(x)＝x|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，－1，x<0，所以其图象为C.【答案】 C8．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝9x＋8B．f(x)＝3x＋2C．f(x)＝－3x－4D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4【解析】f(3x＋2)＝9x＋8＝3(3x＋2)＋2，∴f(x)＝3x＋2.【答案】 B9．(2013·重庆高考)（3－a）（a＋6）(－6≤a≤3)的最大值为()A．9 B.92C．3 D.322【解析】（3－a）（a＋6）＝－a2－3a＋18＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋3a ＋94＋814＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814，由于－6≤a ≤3，∴当a ＝－32时，（3－a ）（a ＋6）有最大值92.【答案】 B10．若函数f (3－2x )的定义域为[－1，2]，则函数f (x )的定义域为() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－1 B ．[－1，2]C.[]－1，5D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2【解析】 由－1≤x ≤2，得－1≤3－2x ≤5，故选C.【答案】 C11．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x ＞0，x 2，x ≤0，则满足f (a )＝1的实数a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2【解析】 依题意，知满足f (a )＝1的实数a 必不超过零，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a 2＝1，由此解得a ＝－1， 选A.【答案】 A12．函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 【解析】 根据题意，得⎩⎨⎧2x －1≥0，2x －1<13，解得12≤x <23，选D. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设集合M ＝{x |x 是小于5的质数}，则M 的真子集的个数为________．【解析】 由题意可知M ＝{2，3}，∴M 的真子集有∅，{2}，{3}共3个．【答案】 314．用列举法表示集合：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪10m ＋1∈Z ，m ∈Z ＝________． 【解析】 由10m ＋1∈Z ，且m ∈Z ，知m ＋1是10的约数，故|m ＋1|＝1，2，5，10，从而m 的值为－11，－6，－3，－2，0，1，4，9.【答案】 {－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}15．已知集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x ≥m }，且A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵A ∪B ＝A ，即B ⊆A ，∴实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【答案】 [2，＋∞)16．设函数f (x )＝x 2＋（a ＋1）x ＋a x为奇函数，则实数a ＝________．【解析】f(x)＝x2＋（a＋1）x＋ax＝x＋ax＋a＋1，因此有f(－x)＝－x＋a－x＋a＋1，又f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，即2a＋2＝0，所以a＝－1.【答案】－1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|3x－1<x＋5}，求：(1)A∩B；(2)∁U A∪B.【解】(1)由已知得：B＝(－∞，3)，A＝[1，4)，∴A∩B＝[1，3)．(2)由已知得：∁U A＝(－∞，1)∪[4，＋∞)，∁U A∪B＝(－∞，3)∪[4，＋∞)．18．(本小题满分12分)(2014·西安高一检测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，x ≤0，4x ，x ＞0.(1)求f (f (－1))．(2)若f (x 0)＞2，求x 0的取值范围．【解】 (1)因为f (－1)＝－(－1)＋3＝4，所以f (f (－1))＝f (4)＝4×4＝16.(2)当x 0≤0时，令2＜－x 0＋3，得x 0＜1，此时x 0≤0；当x 0＞0时，令2＜4x 0，得x 0＞12.所以x 0≤0或x 0＞12.19．(本小题满分12分)设全集U ＝{2，4，－(a －3)2}，集合A ＝{2，a 2－a ＋2}，若∁U A ＝{－1}，求实数a 的值．【解】 由∁U A ＝{－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1∈U ，－1∉A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（a －3）2＝－1，a 2－a ＋2≠－1，解得a ＝4或a ＝2.当a ＝2时，A ＝{2，4}，满足A ⊆U ，符合题意；当a ＝4时，A ＝{2，14}，不满足A ⊆U ，故舍去．综上，a 的值为2.20．(本小题满分12分)某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一天能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数解析式；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．【解】 (1)设每天来回y 次，每次挂x 节车厢，由题意设y ＝kx ＋b .当x ＝4时，y ＝16，当x ＝7时，y ＝10，得到16＝4k ＋b ，10＝7k ＋b .得到16＝4k ＋b ，10＝7k ＋b .解得k＝－2，b＝24，∴y＝－2x＋24.(2)设每天来回y次，每次挂x节车厢，由题意知，每天挂车厢最多时，运营人数最多，设每天运营S节车厢，则S＝xy＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，所以当x＝6时，S max＝72，此时y＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7 920(人)．即这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920人．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x＋1 x＋1.(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[]1，4上的最大值与最小值．【解】(1)f(x)在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝2x1＋1x1＋1－2x2＋1x2＋1＝x1－x2（x1＋1）（x2＋1）.∵x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，∴f(x1)＜f(x2)，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．(2)由(1)知函数f (x )在[1，4]上是增函数，∴最大值为f (4)＝2×4＋14＋1＝95，最小值为f (1)＝2×1＋11＋1＝32. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)当x ∈(－1，1)时判断函数f (x )的单调性，并证明；(3)解不等式f (2x －1)＋f (x )<0.【解】 (1)由题意可知f (－x )＝－f (x )，∴－ax ＋b 1＋x 2＝－ax ＋b 1＋x 2，∴b ＝0. ∴f (x )＝ax1＋x 2.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，∴a ＝1.∴f (x )＝x1＋x 2.(2)f (x )在(－1，1)上为增函数． 证明：设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（1＋x 21）（1＋x 22） ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0，∴1－x 1x 2>0，1＋x 21>0，1＋x 22>0，∴（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（1＋x 21）（1＋x 22）<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在(－1，1)上为增函数．(3)∵f (2x －1)＋f (x )<0，∴f (2x －1)<－f (x )， 又f (x )是定义在(－1，1)上的奇函数， ∴f (2x －1)<f (－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<2x －1<1，－1<－x <1，2x －1<－x ，∴0<x <13.∴不等式f (2x －1)＋f (x )<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第1章 集合与函数的概念综合素能检测 新人教A 版必修1本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013～2014学年天津市五区县高一期中试题)设全集U ＝{x ∈Z |－1≤x ≤5}，A ＝{1,2,5}，B ＝{x ∈N |－1＜x ＜4}，则B ∩(∁U A )＝( )A ．{3}B ．{0,3}C ．{0,4}D ．{0,3,4}[答案] B[解析] ∵U ＝{－1,0,1,2,3,4,5}，B ＝{0,1,2,3}， ∴∁U A ＝{－1,0,3,4}． ∴B ∩(∁U A )＝{0,3}．2．已知集合A ＝{0,1}，则下列式子错误的是( ) A ．0∈A B ．{1}∈A C ．∅⊆A D ．{0,1}⊆A[答案] B[解析] {1}与A 均为集合，而“∈”用于表示元素与集合的关系，所以B 错，其正确的表示应是{1}⊆A .3．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2) D ．[1,2)∪(2，＋∞)[答案] D[解析] 根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.4．在下面的四个选项中，函数f (x )＝x 2－1不是减函数的是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，－1) C ．(－1,1) D ．(－∞，0)[答案] C[解析] 函数f (x )＝x 2－1为二次函数，单调减区间为(－∞，0]，而(－1,1)不是(－∞，0]的子集，故选C.5．函数f (x )＝x 5＋x 3＋x 的图象( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于直线y ＝x 对称 C ．关于坐标原点对称 D ．关于直线y ＝－x 对称[答案] C[解析] 易知f (x )是R 上的奇函数，因此图象关于坐标原点对称． 6．(2013～2014山东济宁市梁山一中期中试题)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x <12f x －1＋1x ≥12，则f (14)＋f (76)＝( )A ．－16B ．16 C ．56 D ．－56[答案] A[解析] f (14)＝2×14＋1＝－12，f (76)＝f (76－1)＋1＝f (16)＋1＝2×16－1＋1＝13，∴f (14)＋f (76)＝－16，故选A.7．函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如下图，则函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能是( )[答案] A[解析] 由于函数y ＝f (x )·g (x )的定义域是函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数图象在x ＝0处是断开的，故可以排除C 、D ；由于当x 为很小的正数时，f (x )＞0且g (x )＜0，故f (x )·g (x )＜0，可排除B ，故选A.8．(2013～2014瓮安二中学年度第一学期高一年级期末考试)若f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上减函数，又f (－3)＝1，则不等式f (x )<1的解集为( )A ．{x |x >3或－3<x <0}B ．{x |x <－3或0<x <3}C ．{x |x <－3或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3}[答案] C[解析] 由于f (x )是偶函数，∴f (3)＝f (－3)＝1，f (x )在(－∞，0)上是增函数，∴当x >0时，f (x )<1即为f (x )<f (3)，∴x >3，当x <0时，f (x )即f (x )<f (－3)，∴x <－3，故选C.9．定义在R 上的奇函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＞0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)[答案] C[解析] 若x 2－x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＞0， 即f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在[0，＋∞)上是增函数，又f (x )是奇函数，∴f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． 又3＞1＞－2，∴f (3)＞f (1)＞f (－2)，故选C.10．设函数f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝( )A ．0B ．1C ．52 D ．5[答案] C[解析] f (1)＝f (－1＋2)＝f (－1)＋f (2)＝12，又f (－1)＝－f (1)＝－12，∴f (2)＝1，∴f (5)＝f (3)＋f (2)＝f (1)＋2f (2)＝52.11．(2013～2014河北冀州中学月考试题)若函数f (x )＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围( )A ．(0,4]B ．[32，4]C ．[32，3]D ．[32，＋∞)[答案] C[解析] f (x )＝x 2－3x －4的最小值为－254.因此m ≥32，又f (0)＝－4，f (3)＝－4，因此32≤m ≤3，故选C.12．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ，若f x ≥g x ，f x ，若f x <g x .则F (x )的最值是( )A ．最大值为3，最小值－1B ．最大值为7－27，无最小值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值[答案] B[解析] 作出F (x )的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2011·江苏，1)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.[答案] 1[解析] ∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B ， ∵a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1.14．(2013～2014河南安阳高中月考试题)若函数f (x )＝2x 4－|3x ＋a |为偶函数则a ＝________.[答案] a ＝0[解析] f (－x )＝2x 2－|a －3x |，由偶函数定义得|3x ＋a |＝|a －3x |，∴(a ＋3x )＋(a －3x )＝0，∴a ＝0.15．函数f (x )是定义在[－1,3]上的减函数，且函数f (x )的图象经过点P (－1,2)，Q (3，－4)，则该函数的值域是________．[答案] [－4,2][解析] ∵f (x )的图象经过点P ，Q ， ∴f (－1)＝2，f (3)＝－4.又f (x )在定义域[－1,3]上是减函数， ∴f (3)≤f (x )≤f (1)， 即－4≤f (x )≤2，∴该函数的值域是[－4,2]．16．(2013～2014山东泗水一中月考试题)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的部分不纳税；超过800元而不超过4000元按超过800的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%的税．某人出版了一书共纳税420，这个人的稿费为______元．[答案] 3800[解析] 由于420＜4000×11%＝440，因此该人稿费不超过4000元，设稿费为x 元， 则(x －800)×14%＝420解得x ＝3800元．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2013～2014沈阳二中高一第三次月考试题)已知集合A ＝{x |－4≤x <8}，函数y ＝x －5的定义域构成集合B ，求：(1)A ∩B ；(2)(∁R A )∪B .[解析] y ＝x －5的定义域，B ＝{x |x ≥5}， 则(1)A ∩B ＝{x |5≤x <8}， (2)∁R A ＝{x |x <－4或x ≥8}， ∴(∁R A )∪B ＝{x |x <－4或x ≥5}．18．(本小题满分12分)(2013～2014河南南阳市一中月考试题)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象关于直线x ＝1对称．(1)求实数a 的值(2)若f (x )的图象过(2,0)点，求x ∈[0,3]时f (x )的值域． [解析] (1)二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的对称轴为x ＝－a2，∴－a2＝1，∴a ＝－2.(2)若f (x )，过(2,0)点，∴f (2)＝0， ∴22－2×2＋b ＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝x 2－2x .当x ＝1时f (x )最小为f (1)＝－1，当x ＝3时，f (x )最大为f (3)＝3， ∴f (x )在[0,3]值域为[－1,3]．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．[解析] (1)f (x )在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2x 1＋1x 2＋1.∵x 1－x 2＜0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．(2)由(1)知函数f (x )在[1,4]上是增函数，∴最大值为f (4)＝2×4＋14＋1＝95，最小值为f (1)＝2×1＋11＋1＝32. 20．(本小题满分12分)设f (x )为定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ；当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式； (2)在图中的直角坐标系中画出函数f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域和单调区间． [解析] (1)当x >2时，设f (x )＝a (x －3)2＋4. ∵f (x )的图象过点A (2,2)，∴f (2)＝a (2－3)2＋4＝2，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2(x －3)2＋4. 设x ∈(－∞，－2)，则－x >2， ∴f (－x )＝－2(－x －3)2＋4.又因为f (x )在R 上为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝－2(－x －3)2＋4，即f (x )＝－2(x ＋3)2＋4，x ∈(－∞，－2)． (2)图象如图所示．(3)由图象观察知f (x )的值域为{y |y ≤4}． 单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]． 单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．21．(本小题满分12分)为减少空气污染，某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤)，采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分按每度0.5元计算．(1)设月用电x 度时，应交电费y 元．写出y 关于x 的函数关系式； (2)小明家第一季度交纳电费情况如下：[解析] (1)当0≤x ≤100时，y ＝0.57x ；当x >100时，y ＝0.5×(x －100)＋0.57×100＝0.5x －50＋57＝0.5x ＋7. 所以所求函数式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.57x ， 0≤x ≤100，0.5x ＋7， x >100.(2)据题意，一月份：0.5x ＋7＝76，得x ＝138(度)， 二月份：0.5x ＋7＝63，得x ＝112(度)， 三月份：0.57x ＝45.6，得x ＝80(度)． 所以第一季度共用电： 138＋112＋80＝330(度)． 故小明家第一季度共用电330度．22．(本小题满分12分)(2013～2014山东临沂一中月考试题)定义在R 上的函数f (x )，满足当x >0时，f (x )>1，且对任意的x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，f (1)＝2.(1)求f (0)的值；(2)求证：对任意x ∈R ，都有f (x )>0； (3)解不等式f (3－2x )>4. [解析] (1)对任意x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)·f (0)， 即f (0)·[f (0)－1]＝0.令y ＝0，得f (x )＝f (x )·f (0)，对任意x ∈R 成立， 所以f (0)≠0，因此f (0)＝1. (2)证明：对任意x ∈R ，有f (x )＝f (x 2＋x 2)＝f (x 2)·f (x 2)＝[f (x2)]2≥0.假设存在x 0∈R ，使f (x 0)＝0， 则对任意x >0，有f (x )＝f [(x －x 0)＋x 0]＝f (x －x 0)·f (x 0)＝0.这与已知x >0时，f (x )>1矛盾． 所以，对任意x ∈R ，均有f (x )>0成立． (3)令x ＝y ＝1有f (1＋1)＝f (1)·f (1)，所以f (2)＝2×2＝4. 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)·f (x 1)－f (x 1) ＝f (x 1)·[f (x 2－x 1)－1]． ∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， 由已知f (x 2－x 1)>1， ∴f (x 2－x 1)－1>0. 由(2)知x 1∈R ，f (x 1)>0. 所以f (x 2)－f (x 1)>0， 即f (x 1)<f (x 2)．故函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． 由f (3－2x )>4，得f (3－2x )>f (2)， 即3－2x >2. 解得x <12.所以，不等式的解集是(－∞，12)．。

第一章 综合素质测评一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列关系式中，正确的是( ) A ．Ø∈{0} B ．0⊆{0} C ．0∈{0} D ．0 {0}答案：C2．如下图所示，阴影部分表示的集合是( )A ．(∁UB )∩A B ．(∁U A )∩BC ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )解析：因为阴影部分在集合∁U B 中又在集合A 中，所以阴影部分是(∁U B )∩A .故选A. 答案：A3．(2010·湖州高一检测)满足{1,3}∪A ＝{1,3,5}的所有集合A 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由题意知：集合A 中一定含有元素5，A 集合可能为：{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}共4个．答案：D4．函数y ＝2x ＋1＋3－4x 的定义域为( ) A ．(－12，34)B ．[－12，34]C ．(－∞，12]D ．(－12，0)∪(0，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥03－4x ≥0，得⎩⎨⎧x ≥－12x ≤34，即－12≤x ≤34，所以函数的定义域为[－12，34]，故选B.答案：B5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x >0)2(x ＝0)0 (x <0)，则f {f [f (－2)]}的值为( )A ．0B ．2C ．4D ．8解析：∵－2<0， ∴f (－2)＝0，∴f [f (－2)]＝f (0)＝2>0， f {f [f (－2)]}＝f (2)＝4.故选C. 答案：C6．如下图所示，对应关系f 是从A 到B 的映射的是( )解析：B 、C 中的集合A 中都有剩余元素，故B 、C 不是映射；A 中有一对多的情况，故A 不是映射．故选D.答案：D7．已知二次函数y ＝x 2＋ax ＋b －3，x ∈R 的图象恒过点(2,0)，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．4 C.14D.15解析：由已知，得4＋2a ＋b －3＝0，b ＝－2a －1，得a 2＋b 2＝a 2＋(－2a －1)2＝5a 2＋4a ＋1＝5(a ＋25)2＋15≥15，当a ＝－25时，等号成立．答案：D8．定义在R 上的偶函数f (x )，在x >0时是增函数，则( ) A ．f (3)<f (－4)<f (－π) B ．f (－π)<f (－4)<f (3) C ．f (3)<f (－π)<f (－4) D ．f (－4)<f (－π)<f (3)解析：∵f(x)在实数集上是偶函数，∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)．而3<π<4，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(3)<f(π)<f(4)，即f(3)<f(－π)<f(－4)．答案：C9．函数y＝x2－2x＋3，－1≤x≤2的值域是()A．R B．[3,6]C．[2,6] D．[2，＋∞)解析：画出函数的图象，如右图所示，观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[2,6]，所以值域是[2,6]．答案：C10．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于()A．10 B．－10C．－18 D．－26解析：f(－2)＝(－2)5＋a·(－2)3＋b·(－2)－8＝－(25＋a·23＋b·2)－8＝10，∴25＋a·23＋b·2＝－18，∴f(2)＝25＋a·23＋b·2－8＝－18－8＝－26.答案：D11．定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)()A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6解析：由f(x)是偶函数，得f(x)关于y轴对称，其图象可以用下图简单地表示，则f(x)在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.答案：B12．已知函数f(x)在[－1,2]上是减函数，且点A(－1,3)和点B(2，－1)在函数f(x)的图象上，则满足条件－1≤f(x－2)≤3的x的集合是()A．{x|1≤x≤4} B．{x|－3≤x≤0}C．{x|x∈R} D．{x|x∈Ø}解析：∵f(－1)＝3，f(2)＝－1，且－1≤f(x－2)≤3，∴f(2)≤f(x－2)≤f(－1)．又∵f(x)在[－1,2]上单调递减，∴－1≤x－2≤2，∴1≤x≤4.故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．用列举法表示集合：M＝{m|10m＋1∈Z，m∈Z}＝________.解析：由10m＋1∈Z，且m∈Z，知m＋1是10的约数，故|m＋1|＝1,2,5,10，从而m的值为－11，－6，－3，－2，0,1,4,9.答案：{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}14．函数f(x)＝5＋4x－x2的值域是________．解析：∵y＝5＋4x－x2＝－(x－2)2＋9，且0≤－(x－2)2＋9≤9，∴函数y＝5＋4x－x2的值域为[0,3]．答案：[0,3]15．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f(ax＋b)＝0的解集为________．解析：由题意知f(bx)＝b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2⇒a＝2，b＝－3.所以f(2x－3)＝4x2－8x＋5＝0，Δ<0，所以解集为Ø.答案：Ø16．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行3 km(含3 km)，3 km 后到10 km(含10 km)每走1 km 加价1.5元，10 km 后每走1 km 加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了20 km ，他应交费________元．解析：解法一：把收费y 元看成所走路程x km 的函数．由题意知： 当0<x ≤3时，y ＝8； 当3<x ≤10时，y ＝8＋1.5(x －3)＝1.5x ＋3.5； 当x >10时，y ＝1.5×10＋3.5＋0.8(x －10) ＝0.8x ＋10.5.所以当x ＝20时，y ＝0.8×20＋10.5＝26.5.解法二：由题意得，当行走20 km 时，应交费8＋(10－3)×1.5＋(20－10)×0.8＝26.5(元)． 答案：26.5三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ≤3}，N ＝{x |x <1}，求M ∪N ，(∁U M )∩N ，(∁U M )∪(∁U N )．解：由题意得M ∪N ＝{x |x ≤3}，∁U M ＝{x |x >3}，∁U N ＝{x |x ≥1}， 则(∁U M )∩N ＝{x |x >3}∩{x |x <1}＝Ø， (∁U M )∪(∁U N )＝{x |x >3}∪{x |x ≥1}＝{x |x ≥1}．18．(12分)已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∩B ＝Ø，求a 的取值范围．解：若A ＝Ø，则2a >a ＋3， ∴a >3，此时符合题意； 若A ≠Ø，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋32a ≥－1a ＋3≤5，∴－12≤a ≤2，此时亦符合题意．综上所述a 的取值范围是{a |－12≤a ≤2或a >3}．19．(12分)设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，A ＝{x |f (x )＝x }＝{a }，求a ，b 的值． 解：由f (x )＝x ，得x 2＋ax ＋b ＝x ， 即x 2＋(a －1)x ＋b ＝0.∵A ＝{a }，∴方程x 2＋(a －1)x ＋b ＝0有两个相等的实根为a ，∴将a 代入方程得a 2＋(a －1)a ＋b ＝0① 又由Δ＝0，得(a －1)2－4b ＝0② 由①，②解得a ＝13，b ＝19.20．(12分)函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (12)＝25.(1)求实数a 、b ，并确定函数f (x )的解析式；(2)判断f (x )在(－1,1)上的单调性，并用定义证明你的结论． 解：(1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax ＋b x 2＋1＝－ax ＋bx 2＋1，－ax ＋b ＝－ax －b ，∴b ＝0，∴f (x )＝ax x 2＋1，又f (12)＝25，∴12a 14＋1＝25，∴a ＝1，∴f (x )＝x x 2＋1. (2)f (x )在(－1,1)上是增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 12＋1－x 2x 22＋1＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(x 12＋1)(x 22＋1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴－1<x 1x 2<1，x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0，x 12＋1>0，x 22＋1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(－1,1)上是增函数．21．(12分)已知a ，b 为常数，且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx ，f (2)＝0，方程f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求函数f (x )的解析式； (2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的值域；(3)若F (x )＝f (x )－f (－x )，试判断F (x )的奇偶性，并证明你的结论． 解：(1)已知f (x )＝ax 2＋bx . 由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0， 即2a ＋b ＝0.①方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等实根， 且a ≠0，∴b －1＝0， ∴b ＝1，代入①得a ＝－12.∴f (x )＝－12x 2＋x .(2)由(1)知f (x )＝－12(x －1)2＋12.显然函数f (x )在[1,2]上是减函数， ∴x ＝1时，y max ＝12，x ＝2时，y min ＝0.∴x ∈[1,2]时，函数的值域是[0，12]．(3)∵F (x )＝f (x )－f (－x )＝(－12x 2＋x )－[－12(－x )2＋(－x )]＝2x ，∴F (x )是奇函数． 证明：∵F (－x )＝2(－x )＝－2x ＝－F (x )， ∴F (x )＝2x 是奇函数．22．(12分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0，满足f (x y )＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f (13)<2.解：(1)在f (xy )＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)，∴f (1)＝0. (2)∵f (6)＝1， ∴f (x ＋3)－f (13)<2＝f (6)＋f (6)， ∴f (3x ＋9)－f (6)<f (6)， 即f (x ＋32)<f (6)，∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎨⎧x ＋32>0x ＋32<6，解得－3<x <9.即不等式的解集为(－3,9)．。

必修1第一章综合检测一、选择题（每小题5分，共10个小题）1．如图是集合的知识结构图，如果要加入“全集”，则应该放在（ ）A ．“集合的概念”的下位B ．“集合的表示”的下位C ．“基本关系”的下位D ．“基本运算”的下位 2．已知集合32A x x Z Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭且，则集合A 中的元素个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 3．已知定义在（－1,1）上的奇函数()f x 为减函数，且(1)(2)0f a f a -+<，则a 的取值范围（ ） A. (,1)-∞- B.（1,-+∞） C. （11,22-） D.（10,2） 4．设全集}02|},51|{,2=--∈=≤≤∈==x x R x B x N x A R U ，则图中阴影表示的集合为（ ）A ．{－1}B ．{2}C ．{3，4，5}D ．{3，4}5．若a 是常数，函数()f x 对于任何的非零实数x 都有1()()1f af x x x=--，且(1)1f =，则不等式()0f x x -≥的解集为（ ） A ．1(,](0,1]5-∞- B ．1(,][1,)5-∞-+∞ C ． 1[,0)(0,1]5-D ．1[,0)[1,)5-+∞6．设集合}5,4,3,2,1{},1,0,2{=-=N M ，映射N M f →:使得对任意的M x ∈，都有)()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是（ ）A ．45B ．27C ．15D ．11 7．设U 为全集，M , P 是U 的两个子集，且P P M C U = )(，则=P M （ ）A ． MB ． PC ． P C UD ． φ8．设，则函数的图像大致形状是（ ）9．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()()211f x x =--+，则满足()12f f a ⎡⎤=⎣⎦的实数a 的个数为（ ）． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8xyOa xyOaxyOaxyOaAB CD()y x x a =-0a >AMEPDCB N F 10．对于函数()y f x =，如果存在区间[,]m n ，同时满足下列条件：①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．若函数11()(0)a f x a a x+=->存在“和谐区间”，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ． (0,2) C ．15(,)22D ．(1,3)二、填空题（每小题5分，共5个小题）11．对于集合B A ,，我们把集合},|{B x A x x ∉∈且叫做集合A 与B 的差集，记作B A -.若集合B A ,都是有限集，设集合B A -中元素的个数为)(B A f -，则对于集合},1{},3,2,1{a B A ==，有=-)(B A f __________ 12．将一张坐标纸折叠一次，使点（10，0）与（－6，8）重合，则与点（－4，2）重合的点是 . 13．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中4AE =米，6CD =米. 为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上. 则矩形BNPM 面积的最大值为____14．若对于任意的[]3,1∈x , 02)1(2≥+--+a x a x 恒成立, 则实数a 的取值范围是 . 15.已知函数()f x 满足：(1)f =41，4()()()().(,)f x f y f x y f x y x y R ⋅=++-∈.则(2010)f =_________ 三、解答题（共6个小题）16．已知集合{}{}(2)(1)0,(1)()0A x x x B x ax x a =++≤=-+>，,A B a ⊆且求的范围．17．已知函数2()1xf x x =+，()1,1x ∈-（1）判断此函数的奇偶性；（2）判断函数的单调性，并加以证明.(3)解不等式()()10f x f x -->18．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人（140＜2a ＜420，且a 为偶数)，每人每年可创利10万元．据评估，在经营条件不变的前提下，若裁员x 人，则留岗职员每人每年多创利0.1x 万元，但公司需付下岗职员每人每年4万元的生活费，并且该公司正常运转情况下，所裁人数不超过50人，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？19．设bx ax x f +=2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。

第一章集合与函数概念综合素能检测及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．已知集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{1,3,6,9}，C＝{3,7,8}，则(A∩B)∪C等于()A．{0,1,2,6,8}B．{3,7,8}C．{1,3,7,8} D．{1,3,6,7,8}[答案] C[解析]A∩B＝{1,3}，(A∩B)∪C＝{1,3,7,8}，故选C.2．(09·陕西文)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)<0，则()x2－x1A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)[答案] A[解析]若x2－x1>0，则f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，∵3>2>1，∴f(3)<f(2)<f(1)，又f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(3)<f(－2)<f(1)，故选A.3．已知f(x)，g(x)对应值如表.则f (g (1))的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不存在[答案] C[解析] ∵g (1)＝0，f (0)＝1，∴f (g (1))＝1.4．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1D ．3x ＋4[答案] C[解析] 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1，∴f (x )＝3x －1.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 (x ≥2)－x 2＋3x (x <2)，则f (－1)＋f (4)的值为( )A ．－7B ．3C ．－8D ．4[答案] B[解析] f (4)＝2×4－1＝7，f (－1)＝－(－1)2＋3×(－1)＝－4，∴f (4)＋f (－1)＝3，故选B.6．f (x )＝－x 2＋mx 在(－∞，1]上是增函数，则m 的取值范围是( ) A ．{2}B ．(－∞，2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，1][答案] C[解析] f (x )＝－(x －m 2)2＋m 24的增区间为(－∞，m 2]，由条件知m2≥1，∴m ≥2，故选C.7．定义集合A 、B 的运算A *B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B ，且x ∉A ∩B }，则(A *B )*A 等于( ) A ．A ∩B B ．A ∪B C ．AD ．B[答案] D[解析] A *B 的本质就是集合A 与B 的并集中除去它们的公共元素后，剩余元素组成的集合．因此(A *B )*A 是图中阴影部分与A 的并集，除去A 中阴影部分后剩余部分即B ，故选D. [点评] 可取特殊集合求解．如取A ＝{1,2,3}，B ＝{1,5}，则A *B ＝{2,3,5}，(A *B )*A ＝{1,5}＝B . 8．(广东梅县东山中学2009～2010高一期末)定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝ 为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数 [答案] A[解析] 由运算与⊗的定义知， f (x )＝4－x 2(x －2)2－2，∵4－x 2≥0，∴－2≤x ≤2， ∴f (x )＝4－x 2(2－x )－2＝－4－x 2x ，∴f (x )的定义域为{x |－2≤x <0或0<x ≤2}， 又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．9．(08·天津文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2][答案] A[解析] 解法1：当x ＝2时，f (x )＝0，f (x )≥x 2不成立，排除B 、D ；当x ＝－2时，f (x )＝0，也不满足f (x )≥x 2，排除C ，故选A.解法2：不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0－x ＋2≥x 2，解之得，－1≤x ≤0或0<x ≤1，即－1≤x ≤1.10．调查了某校高一一班的50名学生参加课外活动小组的情况，有32人参加了数学兴趣小组，有27人参加了英语兴趣小组，对于既参加数学兴趣小组，又参加英语兴趣小组的人数统计中，下列说法正确的是( )A ．最多32人B ．最多13人C ．最少27人D ．最少9人[答案] D[解析] ∵27＋32－50＝9，故两项兴趣小组都参加的至多有27人，至少有9人． 11．设函数f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝( )A ．0B ．1 C.52D ．5[答案] C[解析] f (1)＝f (－1＋2)＝f (－1)＋f (2)＝12，又f (－1)＝－f (1)＝－12，∴f (2)＝1，∴f (5)＝f (3)＋f (2)＝f (1)＋2f (2)＝52.12．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，若f (x )≥g (x )，f (x )，若f (x )<g (x ).则F (x )的最值是( )A ．最大值为3，最小值－1B ．最大值为7－27，无最小值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值 [答案] B[解析] 作出F (x )的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2010·江苏，1)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.[答案] －1[解析] ∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B ， ∵a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝－1.14．已知函数y ＝f (n )满足f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)3f (n －1) (n ≥2)，则f (3)＝________.[答案] 18[解析] 由条件知，f (1)＝2，f (2)＝3f (1)＝6，f (3)＝3f (2)＝18.15．已知函数f (x )＝2－ax (a ≠0)在区间[0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．[答案] (0,2][解析] a <0时，f (x )在定义域上是增函数，不合题意，∴a >0. 由2－ax ≥0得，x ≤2a ，∴f (x )在(－∞，2a ]上是减函数，由条件2a≥1，∴0<a ≤2.16．国家规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费为________．[答案] 3800元[解析] 由于4000×11%＝440>420，设稿费x 元，x <4000，则(x －800)×14%＝420， ∴x ＝3800(元)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，集合B ＝{x |x <－1或x >5}，分别就下列条件求实数a 的取值范围：(1)A ∩B ≠∅，(2)A ∩B ＝A .[解析] (1)因为A ∩B ≠∅，所以a <－1或a ＋3>5，即a <－1或a >2. (2)因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，所以a >5或a ＋3<－1，即a >5或a <－4. 18．(本题满分12分)二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求a 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )为二次函数且f (0)＝f (2)， ∴对称轴为x ＝1.又∵f (x )最小值为1，∴可设f (x )＝a (x －1)2＋1 (a >0) ∵f (0)＝3，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －1)2＋1， 即f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)由条件知2a <1<a ＋1，∴0<a <12.19．(本题满分12分)图中给出了奇函数f (x )的局部图象，已知f (x )的定义域为[－5,5]，试补全其图象，并比较f (1)与f (3)的大小．[解析] 奇函数的图象关于原点对称，可画出其图象如图．显见f (3)>f (1)．20．(本题满分12分)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm 与60cm 现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪法，才能使剩下的残料最少？[解析] 如图，剪出的矩形为CDEF ，设CD ＝x ，CF ＝y ，则AF ＝40－y .∵△AFE ∽△ACB .∴AF AC ＝FEBC 即∴40－y 40＝x 60∴y ＝40－23x .剩下的残料面积为：S ＝12×60×40－x ·y ＝23x 2－40x ＋1 200＝23(x －30)2＋600 ∵0<x <60∴当x ＝30时，S 取最小值为600，这时y ＝20.∴在边长60cm 的直角边CB 上截CD ＝30cm ，在边长为40cm 的直角边AC 上截CF ＝20cm 时，能使所剩残料最少．21．(本题满分12分)(1)若a <0，讨论函数f (x )＝x ＋ax ，在其定义域上的单调性；(2)若a >0，判断并证明f (x )＝x ＋ax 在(0，a ]上的单调性．[解析] (1)∵a <0，∴y ＝ax 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，又y ＝x 为增函数，∴f (x )＝x ＋ax 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数．(2)f (x )＝x ＋ax 在(0，a ]上单调减，设0<x 1<x 2≤a ，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋a x 1)－(x 2＋ax 2)＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－ax 1x 2)>0， ∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，a ]上单调减．22．(本题满分14分)设函数f (x )＝|x －a |，g (x )＝ax . (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式f (x )<g (x )．(2)记F (x )＝f (x )－g (x )，求函数F (x )在(0，a ]上的最小值(a >0)． [解析] (1)|x －2|<2x ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x －2<2x .或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，2－x <2x .∴x ≥2或23<x <2.即x >23.(2)F (x )＝|x －a |－ax ，∵0<x ≤a ， ∴F (x )＝－(a ＋1)x ＋a . ∵－(a ＋1)<0，∴函数F (x )在(0，a ]上是单调减函数，∴当x ＝a 时，函数F (x )取得最小值为－a 2.。