2019-2020学年八年级数学竞赛讲座第十九讲平行截割人教新课标版

2020年八年级数学竞赛辅导讲义第一讲：因式分解(一) (2)第二讲：因式分解(二) (7)第三讲实数的若干性质和应用 (12)第四讲分式的化简与求值 (16)第五讲恒等式的证明 (21)第六讲代数式的求值 (26)第七讲根式及其运算 (30)第八讲非负数 (38)第九讲一元二次方程 (44)第十讲三角形的全等及其应用 (50)第十一讲勾股定理与应用 (56)第十二讲平行四边形 (61)第十三讲梯形 (66)第十四讲中位线及其应用 (72)第十五讲相似三角形(一) (76)第十六讲相似三角形(二) (81)第十七讲* 集合与简易逻辑 (87)第十八讲归纳与发现 (96)第十九讲特殊化与一般化 (102)第二十讲类比与联想 (109)第二十一讲分类与讨论 (115)第二十二讲面积问题与面积方法 (121)第二十三讲几何不等式 (127)第二十四讲* 整数的整除性 (134)第二十五讲* 同余式 (139)第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 (144)第二十七讲列方程解应用问题中的量 (150)第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题 (156)第二十九讲生活中的数学(三) ——镜子中的世界 (161)第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 (199)第一讲：因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．。

2019-2020学年八年级数学下册 矩形讲学稿（1） 新人教版1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质． 2．能较熟练地应用平行四边形的性质、判定方法和三角形中位线性质进行有关的证明和计算．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．3．通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．导学过程阅读教材第94页至第95页的部分，完成以下问题【课前预习】1、 复习平行四边形的有关概念及性质2、 平行四边形的判定方法．3、矩形的定义一个活动的平行四边形在拉动的过程，使其一个内角恰好为直角，得到一种特殊的平行四边形是什么图形？猜想归纳矩形定义： 矩形是我们最常见的图形之一，请同学们举一些生活中的例子．4、矩形的性质(1)矩形和平行四边形的关系是什么？矩形具有平行四边形的性质吗?(2)矩形的特殊性质【探究1】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋做出两条对角线，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？理由：在这个活动过程中，随着∠α的变化，两条对角线的长度也随之变化，长的对角线 ，短的对角线 .但到∠α是直角时，两条对角线变得 ，再变化角时，两条对角线的长度又变化.当∠α是锐角或钝角时，两条对角线 .当∠α是直角时，平行四边形变为矩形，这时两条对角线的长度 .【探究2】看门框也是一个矩形形状，它除了“有一个角是直角”外，还可能具有哪些一般地平行四边形所没有的特殊性质呢？内角：由此我们得到矩形的性质：矩形性质1矩形性质2证明性质1，2.要求画出图形，写出已知、求证，然后写出符号语言.性质1： 性质2：符号语言 符号语言 归纳矩形的性质：对称性： 边：角： 对角线：5.直角三角形的性质：如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，由性质2有 AO=BO= = =21 =21 ．因此可以得到直角三角形的一个性质： 符号语言课堂练习：活动1、预习反馈活动2、例习题分析例1 已知：如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=4cm ，求矩形对角线的长．平行练习：1、 如图，四边形ABCD 是矩形，找出相等的线段和相等的角2、如果矩形的一条对角线长为8cm,两条对角线的一个交角为120。

初二(下)数学竞赛辅导班讲义(勾股定理和平行四边形) 【例1】如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE，B、E 在CD的同侧，若AB=，则BE=．
【例2】8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值为()A．13B．19C．25D．169 【例3】如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB的度数．【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB=c，CD=h．求证：（1）；(2)；(3)以、、为边的三角形，是直角三角形．
【例5】一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在?若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．
【例6】如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF 的值为．
【例7】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：
GF∥AC．
【例8】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于G点，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC，求证：BC⊥BD，且BC=BD．。

目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。

注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。

本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。

另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。

注：有(*) 标注的为选做内容。

本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（一）第三讲平行四边形（二）第四讲梯形第五讲中位线及其应用第六讲一元二次方程的解法第七讲一元二次方程的判别式第八讲一元二次方程的根与系数的关系第九讲一元二次方程的应用第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形第十二讲专题复习三：相似三角形第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

2019-2020 学年八年级数学竞赛讲座第十八讲由中点想到什么人教新课标版线段的中点是几何图形中一个特其他点，它关系着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，合适地利用中点，办理中点是解与中点相关问题的要点，由中点想到什么?常有的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例 1】如图，在△MD的长为．ABC中，∠ B=2∠ C， AD⊥BC于D， M为BC的中点，AB=10cm，则( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨取 AB 中点 N，为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创立条件．注证明线段倍分关系是几何问题中一种常有题型，利用中点是一个有效路子，基本方法有：(1)利用直角三角斜边中线定理；(2)运用中位线定理；(3) 倍长 ( 或折半 ) 法．【例 2】如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边BC的中点 M、 N，连结 MN．则 AB与 MN的关系是 ( )A ． AB=MNB ． AB>MN C． AB<MN D ．上述三种情况均可能出现AD≠ BC，分别取AD、(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)思路点拨中点 M、 N不能够直接运用，需增设中点，常有的方法是作对角线的中点．【例 3】如图，在△ ABC中， AB=AC，延长 AB到 D，使 BD＝ AB，E 为 AB中点，连结 CE、CD，求证： CD=2EC．( 浙江省宁波市中考题)思路点拨联想到与中位线相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转变成线段相等关系的证明，解题的要点是合适添辅助线．【例 4】已知：如图l，BD、CE分别是△ ABC的外角均分线，过点A作AF⊥ BD，AG⊥1F、G，连结 FG，延长 AF、 AG，与直线 BC订交，易证 FG=(AB+BC+AC)． 2若 (1)BD 、 CF分别是△ ABC的内角均分线( 如图 2) ；(2)BD 为△ ABC的内角均分线， CE为△ ABC的外角均分线 ( 如图 3) ，则在图 2、图 3 两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况恩赐证明．(2003 年黑龙江省中考题)思路点拨图 1 中 FG与△ ABC三边的数量关系的求法( 要点是作辅助线) ，对追求后两个图形中线段FG 与△ ABC三边的数量关系起重视要作用，而由均分线、垂线发现中点，这是解题的基础．注三角形与梯形的中位线．在地址上涉及到平行，在数量上是上下底和的一半，它起着传达角的地址关系和线段长度的功能，在证明线段倍分关系、两直线地址关系、线段长度的计算等方面有着广泛的应用．【例 5】如图，任意五边形ABCDE， M、 N、 P、 Q 分别为 AB、 CD、 BC、 DE的中点， K、 L1分别为 MN、 PQ的中点，求证：K L∥ AE且 KL=AE．(2001 年天津赛区试题)思路点拨经过连线，将多边形切割成三角形、四边形，为多其中点的利用创立条件，这是解本例的打破口．注需要什么，构造什么，构造基本图形、构造线段的和差 ( 倍分 ) 关系、构造角的关系等，这是作辅助线的有效思虑方法之一．学历训练1． BD、 CE是△ ABC的中线， G、 H 分别是 BE、 CD的中点， BC=8，则 GH=．(2003 年广西中考题)2．如 , △ ABC 中、 BC ＝a ，若 D 1、 E 1；分 是 AB 、 AC 的中点， D 1 E 1a；若 D 2、E 2 分2是 D B 、 E C 的中点，1 a3、 E 分 是 D B 、 E C 的中点 .1133222 2 4D 3E 31 ( 3a a)7a ⋯⋯若 Dn 、 En 分 是 D n-1 B 、E n-1 C 的中点， DnEn=(n ≥ 12 48且 n 整数 ). (200l 年山 省 南市中考 )3．如 ，△ ABC 分 AD=14， BC=l6， AC=26， P ∠ A 的均分AD 上一点，且 BP ⊥AD ， M BC 的中点， PM 的 是．4．如 ，梯形ABCD 中， AD ∥BC ， 角 AC ⊥ BD ， AC=5cm ，BD=12cm ， 梯形的中位 的等于cm．(2002 年天津市中考 )5．如 ，在梯形 ABCD 中， AD ∥EF ∥ GH ∥BC ， AE=EG=GB=AD=18，BC=32， EF+GH=( )A ． 40B ． 48C 50 D． 566．如 ，在梯形 ㎝， EF 的A ． 8cm DABCD 中， AD ∥BC ， E 、 F 分 是 角( )． 7cm C ． 6cmD ． 5cmBD 、 AC 的中点，若AD=6cm ，BC=187．如 ，矩形 片的 6， 梯形ABCD 沿 DF 折叠后，点 ABCD 的中位 ( )C 落在AB 上的E 点， DE 、 DF 三均分∠ADC ， ABA ．不能够确定B ．23C ．3D ．3 +1(2001 年浙江省宁波市中考)8．已知四 形 ABCD 和 角AC 、BD ， 次 各 中点得四 形MNPQ ， 出以下6 个命：①若所得四 形 MNPQ 矩形， 原四 形 ABCD 菱形；②若所得四 形 MNPQ 菱形， 原四 形 ABCD 矩形；③若所得四 形 MNPQ 矩形， AC ⊥BD ；④若所得四 形 MNPQ 菱形， AC=BD ；⑤若所得四 形 MNPQ 矩形， ∠ BAD=90°；⑥若所得四 形 MNPQ 菱形， AB=AD ．以上命 中，正确的选项是 ( ) A ．①②B ．③④C ．③④⑤⑥D ．①②③④(2001年江 省 州市中考)9．如 ，已知△ ABC 中， AD 是高， CE 是中 ， DC=BE ， DG ⊥CE ， G 垂足．求 ：(1)G 是CE的中点； (2) ∠ B=2∠ BCE．(2003年上海市中考题)10．如图，已知在正方形 ABCD中，E 为 DC上一点，连结 BE，作 CF⊥ BE 于 P，交 AD于 F 点，若恰好使得 AP=AB，求证： E 是 DC的中点．11．如图，在梯形ABCD中， AB∥ CD，以 AC、AD为边作平行四边形 ACED，DC的延长线交BE 于 F．(1)求证：EF＝ FB；(2)S△BCE可否为S 梯形ABCD的 1 ?若不能够，说明原由；若能，求出AB与CD的关系．312．如图，已知 AG⊥ BD，AF⊥ CE，BD、CF分别是∠GC=4，则△ ABC的周长为．ABC和∠ ACB的角均分线，若BF=2，ED=3，(2002年四川省竞赛题)13．四边形 ADCD的对角线AC、BD订交于点F，M、 N分别为 AB、CD中点， MN分别交 BD、 AC 于 P、 Q，且∠ FPQ＝∠ FQP，若 BD=10，则 AC=．( 重庆市竞赛题 )14．四边形 ABCD中， AD>BC，C、 F 分别是 AB、 CD的中点， AD、 BC的延长线分别与EF的延长线交于 H、 G，则∠ AHE∠ BGE(填“ >”或“ =”或“ <”号 )15．如图，在△ ABC中， DC=4， BC边上的中线 AD=2， AB+AC=3+7，则 S等于 ()△ABCA． 15 B ．55C ． 2 3 D．3 72216．如图，正方形 ABCD中， AB＝8， Q是 CD的中点，设∠ DAQ=α，在 CD上取一点 P，使∠BAP＝ 2α，则 CP的长是 ()A． 1 D．2C．3D．317．如图，已知 A 为 DE的中点，设△ DBC、△ ABC、△ EBC的面积分别为 S1， S2，S3，则 S1、S 、S 之间的关系式是 ( )23A ． S23( S1S3 ) B ． S21(S3 S1 ) C ． S21(S1 S3 ) D ． S23( S3 S1 ) 222218．如图，已知在△ ABC中， D为 AB 的中点，分别延长CA、 CB到 E、F，使 DE=DF，过 E、F分别作 CA、 CB的垂线，订交于点P．求证：∠ PAE=∠ PBF．(2003 年全国初中数学联赛试题)19．如图，梯形ABCD中， AD∥ BC， AC⊥ BD于 O，试判断AB+CD与 AD+BC的大小，并证明你的结论．( 山东省竞赛题)20．已知：△ ABD和△ ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ ACE=90°．如图甲，连结 DE，设 M为D 正的中点．(1)求证： MB=MC；(2)设∠ BAD=∠ CAE，固定△ ABD，让 Rt△ ACE绕极点 A 在平面内旋转到图乙的地址，试问： MB； MC可否还能够成立 ?并证明其结论．( 江苏省竞赛题)21．如图甲，平行四边形 ABCD外有一条直线 MN，过 A、 B、 C、 D4 个极点分别作 MN的垂线AA1、BB1、 CC l、 DD l，垂足分别为 A l、 B1、 C l、 D1．(1)求证 AA1+ CC l = BB 1 +DD l；(2)如图乙，直线 MN向上搬动，使点 A 与点 B、C、 D 位于直线 MN两侧，这时过 A、B、 C、D向直线 MN引垂线，垂足分别为A l、B1、C l、D1，那么 AA1、BB1、CC l、DD l之间存在什么关系?(3) 如图丙，若是将MN再向上搬动，使其两侧各有 2 个极点，这时过A、B、 C、 D 向直线MN引垂线，垂足分别为A l、 B1、C l、 D1，那么 AA1、 BB1、 CC l、DD1之间又存在什么关系?。

科目数学年级八·下编写人马福荣修订人教学内容平行四边形的性质二教学目标知识与技能理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质过程与方法能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．情感态度与价值观培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力教学重点平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用教学难点综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算教学方法导学法讲授法媒体设计多媒体师生活动备注教学过程1知识回顾平行四边形的性质：AD∥BC，AB∥CD；AB=CD，AD=BC；∠A=∠C，∠B=∠D．思考：把平行四边形问题转化为三角形问题．2．【探究】：一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地．由于迈体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是这样分的：如何判断如图的三角形面积相等问题1 想一想，平行四边形除了边、角这两个要素的性质外，对角线有什么性质如图，在ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O．OA与OC，OB与OD 有什么关系猜想：平行四边形的对角线互相平分．问题2 你能证明上述猜想吗如图，在ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O．OA与OC，OB与OD有什么关系求证：OA=OC，OB=OD．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD；∴∠OAB=∠DCA，∠ABD=∠CDB；∴△COD≌△AOB；∴OA=OC，OB=OD．定理：平行四边形的对角线互相平分．我们证明了平行四边形具有以下性质：（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分前面问题中，老人分的土地面积相等吗3例如图，在ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC 求BC，CD，AC，OA的长，以及ABCD的面积．【分析】由平行四边形的对边相等易知BC=AD=8，CD=AB=10，再在Rt△ACB 中，AB=10，BC=8，∠ACB=90°，∴AC=6，由平行四边形的对角线互相平分知OA=OC=12AC=3，从而易得ABCD的面积为BC×AC=6×8=48【教学说明】教师给出本题后，应让学生先独立完成试试，然后教师给出评讲，让学生在成功或挫折中加深对知识的领悟变式在上题中，直线EF过点O，且与AB，CD分别相交于点E，F．求证：OE=OF．【分析】由平行四边形的性质有OA=OC，又AD∥BC，故∠EAO=∠FCO，又由∠AOE=∠COF易知△AOE≌△COF，从而OE=OF【教学说明】本例仍可先让学生自己独立完成，然后相互交流，教师巡视，对有困难同学及时予以指导4、运用新知，深化理解1如图，在ABCD中，BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm，△AOD的周长是多少为什么△ABC与△DBC的周长哪个长长多少2如图，ABCD的周长为50cm，对角线AC、BD相交于点O，且△AOB的周长比△BOC的周长长7cm，求ABCD的各边长3如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O（1）若AB＝4，AD＝8，求对角线AC的范围；（2）若AB＝4，BD＝10，求对角线AC的范围课堂小结（1）本节学习了平行四边形的哪些性质（2）结合本节的学习，谈谈研究平行四边形性质的思想方法．平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．研究平行四边形，常常把它转化为三角形问题．练习与思考课后作业作业：教科书第49页习题第3题；教科书第51页第14题．课后反思。

2019-2020 学年八年级数学竞赛讲座第十九讲 平行截割 人教新课标版平行线是初中平面几何中基本而重要的图形， 平行线能改变角的地址并传达角， 可“送”线段到合适处， 完成等积变形， 当一组平行线截两条直线时就获取比率线段， 平行线分线段 成比率定理是研究比率线段、相似形的重要理论．利用、挖掘、创立平行线，是运用平行线分线段成比率定理解题的要点，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造以下形如“ E ”、“ A ”型或“ X ”型的基本图形：于例题求解【例 1】如图，已知在平行四边形ABCD 中， M 、 N 为P 、 Q 两点，则 AP ： PQ ： QC=．AB 的三均分点，DM 、DN 分别交AC( 河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题 )思路点拨 图中有形如“ X ”型的基本图形，建立含AP ， PQ ， QC 的比率式，并把AP ，PQ ， QC 用同一条线段的代数式表示．【例 2】如图，已知在△ ABC 中，AE ：EB=1：3，BD ：DC=2：1，AD 与 CE 订交于 F ，则EFAFFCFD的值为 ()A ．1B ． 1C ．3D ． 22 2 ( 江苏省泰州市中考题 )思路点拨已知条件没有平行线，需恰看作平行线，构造基本图形，产生含EF ， AFFCFD的比率线段，并想法沟通已知比率式与未知比率式的联系．【例 3】 如图， BD 、 BA ，分别是∠ ADC 与它的邻补角∠ ABP 的均分线， AE ⊥ BE ，AD ⊥BD ，E 、 D 为垂足．(1) 求证：四边形 AEBD 为矩形；(2)若 AE=3， F 、 G 分别为 AE 、 AD 上的点， FG 交 AB 于点 H ，且AF3 ，求证：△ AHGAD AG是等腰三角形．( 厦门市中考题 )思路点拨 对于 (2) ，由比率线段导出平行线，证明∠HAG=∠AHG ．【例 4】 如图，梯形ABCD 中， AD ∥ BC ， AB ＝ DC ．(1) 若是 P 、 E 、F 分别是 BC 、 AC 、BD 的中点，求证： AB=PE+PF ；(2)若是 P 是 BC 上的任意一点 ( 中点除外 ) ， PE ∥ AB ，PF ∥ DC ，那么 AB=PE+PF 这个结论还建立吗 ?若是建立，请证明；若是不行立，说明原由．( 上海市闽行区中考题 )思路点拨 对于 (2) ，先假设结论建立，从平行线出发证明AB=PC+PF ，即需证明PEPFAB 1 ，将线段和差问题的证明转变成与比率线段有关问题的证明．AB注 若题设条件无平行线， 需作平行线． 而作平行线要考虑好过哪一点作平行线， 一般是由比的两条线段启示而得的，其目的是构造基本图形．平行线分线段成比率定理是证明比率线段的常用依据之一，比率线段丰富了我们研究几何问题的方法，主要表现在：(1)利用比率线段求线段的长度；(2) 运用比率线段证明线段相等，线段和差倍分关系、两直线平行等问题．【例 5】如图，在四边形 ABCD 中， AC 与 BD 订交于点 O ，直线 l 平行于 BD ，且与 AB 、 DC 、BC 、 AD 及 AC 的延长线分别订交于点 M 、N 、 R 、 S 和 P ，求证： PM × PN=PR × PS( 山东省竞赛题 )思路点拨 由于 PM 、PN 、 PR 、 PS 在同一条直线上，所以不能够直接应用平行线分线段成比率推得结论，需观察分解图形，利用中间比沟通不同样比率式的联系学力训练1．如图，△ ABC 中有菱形 AMPN ，若是AM1 ，则 BP．MB2BC(南 通市中考题 )2．如图， AD 是 BC 边上的中线， F 是 AD 上一点， CF 的延长线交 AB 于点 E ，若AF1，则FD 3AE ；若AF1 ，则 AE ． ( 江苏省镇江市中考题 )BEFDnBE3．如图，已知点 D 为△ ABC中 AC边的中点， AE∥ BC，ED交 AB于点 G，交 BC的延长线于点F，若BG 3 ，BC=8，则AE的长为．GA(苏州市中考题)4．如图，在平行四边形ABCD中， AB=4cm， BC=lcm， E 是交于点 F，设 DE=x ( ㎝ ) ， BF=y(cm) ，用 x 的代数式表示( 黑龙江省中考题)CD边上一动点，y 得．AE、BC的延长线5．如图，已知 DE∥BC， EF∥AB，现获取以下结论：① AE BF ；② AD AB ；③ EF DE ；④ CE EA ．EC FC BF BC AB BC CF BF 其中正确比率式的个数有()A． 4 个 B ． 3 个 C ． 2 个 D ．1 个6．如图， BD、 CE是△ ABC的中线， P、Q是 BD、CE的中点，则PQ等于 ( ) BCA．1B ．1C ．1D ．1 34567．如图，已知在平行四边形ABCD中， O、 O， O 为对角线 BD上三点，且 BO=OQ=1231l 2 O O=OD，连结 AO 并延长交 BC于点 C，连结 EO延长交 AD于点 F，则 AD： FD等于 ( )2 33l3A． 19： 2 B ． 9：1 C ．8： 1 D ． 7： 1( 河北省中考题)8．如图，在△ABC中， AB＝ AC， D 在 AB上， E 在 AC的延长线上，BD=3CE， DE交 BC于 F，则DF： FE等于 ( )A． 5：2 B ． 2： l C． 3： 1 D ． 4： 1(江苏省竞赛题 )19．如图，在梯形ABCD中， AB∥CD， AB= CD， E 是 AB上一点， AE=2BE， M是腰 BC的中点，连结 EM并延长交南省中考题 )DC的延长线于点F，连结BD交EF 于点N 求证：BN： ND=l： 10．(河10．如图，梯形ABCD中， AD∥ BC， EF经过梯形对角线的交点 O，且 EF∥ AD．(1) 求证： OE=OF， (2) 求OE OE 的值；AD BC（3）求证：11 2 ．AD BC EF11．已知如图1， AB⊥BD， CD⊥BD，垂足分别为B、 D， AD和 BC订交于点E， EF⊥BD于 F，我们能够证明111 建立．若将图 1 中的垂直改为斜交，如图2， AB∥ CD， AD、 BCAB CD EF订交于点 E，过点E作 EF∥ AB，交 BD于点 F，则：(1)11 1 还建立吗?如建立，请给出证明；如不行立，请说明原由；AB CD EF(2)请找出 S△ABD， S△BED， S△BDC间的关系式，并给出证明．( 黄冈市中考题)12．如图，在梯形ABCD中． AB∥ CD，AB＝3CD，E 是对角线 AC的中点， BE 延长后交AD于 F，那么AF=．FD( “祖冲之杯”邀请赛试题)13．如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，过于 F、 E 点，设 BC=a， CD=b，CE=c，则 CF= ( 山东赛区选拔赛试题)O任作素来线与．CD、BC的延长线分别交14．如图，在梯形ABCD中， AD∥BC， AD= a ， BC= b ， E、F 分别是 AD、 BC的中点，且AF 交 BE于 P， CE交 DF于 Q，则 PQ的长为．15．如图，工地上直立着两根电线杆AB、 CD，它们相距15m，分别自两杆上高出地面6m的 A、 C 处，向两侧地面上的E、 D、B、 F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳 AD与 BC的交点 P 离地面的高度为m．4m、(2000年全国初中数学联赛试题)16．如图，在△ ABC中， D是 AC的中点， E， F 是 BC的三均分点． AE、AF 分别交 BD于 M、N 两点，则 BM： MN： ND=( )A． 3：2； 1 B ． 4： 2： l C ． 5： 2： 1 D ． 5： 3： 2 (2004年武汉市选拔赛试题 )17．如图，在梯形 ABCD 中 ，AD ∥ BC ，AD=3，BC=9，AB=6， CD ＝ 4，若 EF ∥ BC ，且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等，则 EF 的长为 ( )A ．45B ．33C ．39D ．157 552( 山东省竞赛题 ) 18．如图，平行四边形ABCD 中， F 、 F 分别是边 A D 、 BC 的中点， AC 分别交 BE 、 DF 于 G 、 H ，试判 断以下结论：① BE=DF ；② AG=GH=HC ；③ EG=1BG ；2④ S △ ABE =3S △AGE ，其中正确的结论有 ( ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ．3 个 D ． 4 个19．如图，已知△ ABC ，BD2 ， AE3， AD 、 BE 交于 F ，则AFBF的值 ( )DC 3 EC 4 FD FEA ．7B ．14C ．35D ．563 9 12 1320．如图，已知 AB ∥ EF ∥ CD ，AC+BD=240， BC=100， EC+ED=192，求 CF ．( 山东省竞赛题 )21．如图，已知在平行四边形ABCD 中， F 为 AB 边的中点， AF=1FD ，FE 与 AC 订交于 G ，求2证： AG=1AC ．522．如图，已知 M 、 N 为△ ABC 的边 BC 上的两点，且满足 BM=MN=NC ，一条平行于 AC 的直线分别交 AB 、 AM 和 AN 的延长线于点 D 、 E 和 F ，求证：EF=3DE ．( 湖北省黄冈市竞赛题 )23．在△ ABC 中， D 为 BC 边的中点， E 为 AC 边上的任意一点， BE 交 AD 于点 O ．某学生在研 究这一问题时，发现了以下的事实：(1) 当AE11 1时，有 AO2 2 2 ( 如图甲 ) ；AC 21 AD3 1 （ 2）当 AE1 1 1 时，有AO2 2 ( 如图乙 ) ； AC32 AD42 2(3) 当AE11 时，有 AO2 2 2 ( 如图丙 ) ；AC 41 3 AD5 3在丁中，当AE1，参照上述研究，你猜想用 n 表示AO的一般，并AC1n AD出明 ( 其中 n 是正整数 )( 山西省中考 )24．如，在平行四形 ABCD中， P1， P2，⋯， P n是 BD的 n 均分点， AP2并延交 BC 于点 E， AP n-2并延交 CD于点 F．(1)求： EF∥ BD；(2) 平行四形ABCD的面是 S，若 S =3S，求 n 的． ( 山省 )△ AEF8。