人教版九年级数学下册竞赛专题09 特殊与一般.doc

中考数学特殊与一般思想专题复习初三第二轮复习专题四：特殊与一般思想【知识梳理】人类认知总是从特殊到一般，即从特殊的情况中找出一般规律，学数学也是一样，从特殊到一般，能使数学问题由浅入深，化难为易，且能加深对数学知识的理解，同时还能打开解题思路。

因此，在研究问题时，“从特殊到一般”是初中数学的一种重要的数学思想和方法。

在解决问题时，以特殊问题为起点，抓住数学问题的特点，逐步分析、比较、讨论，层层深入，揭示规律，并由此推广到一般，从解决特殊问题的规律中，寻求解决一般问题的方法和规律，又用以指导特殊问题的解决，从而进一步加深对特殊问题与一般问题相互联系的认识和理解。

【前预习】1、如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色L形由3个正方形组成，第2个黑色L形由7个正方形组成，…，那么第6个黑色L形的正方形个数是()A．22 B．23 ．24 D．22、如图，已知直线l：＝33x，过点A(0,1)作轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交轴于点A1；过点A1作轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为()A．(0,64) B．(0,128) ．(0,26) D．(0,12)4、瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据，，，，中，成功地发现了其规律，从而得到了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门．请你根据这个规律写出第9个数【例题精讲】例1、如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：（1）2＋1＝2 S1＝12（2）2＋1＝3 S2＝22（3）2＋1＝4 S3＝32⑴请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；⑵推算出A10的长；⑶求出S12＋S22＋S32＋…＋S102的值．例2、在正方形ABD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、G，如图1，易证EG＝G且EG⊥G (1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2，则线段EG和G有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3，则线段EG和G又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．例3．数学上，老师出示下面条，如图，在直角坐标平面内，为坐标原点，A点坐标为（1，0），点B 在x轴上且在点A的右侧，AB=A，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数的图象于点和D。

例谈数学中的特殊与一般思想作者：薛燕来源：《初中生世界·九年级》2014年第08期人们认识世界总是从特殊到一般，再从一般到特殊，数学研究也不例外. 对于一般情况下难以求解的问题，可以运用特殊化思想，取特殊值、特殊图形，从而使问题顺利求解. 本文结合一些例题来谈一下特殊与一般思想在数学中的运用.一、用“特殊化”思想解题“特殊”能在一定范围内反映或体现“一般”. 由于填空、选择题不要求严密完整的推理过程，若能用特殊化进行探索、猜想、验证，可以使解题过程简单，获取答案快速而且准确. 用特殊化方法解题的理论依据和逻辑基础是：若一般情况下成立，那么其包含于题目中的特殊情况也成立，这是一种巧法.1. 字母或角的取值特殊化【解析】这道题目要判断的四个不等式很“庞大”，用特殊值法可达到“秒杀”的效果. 因为【点评】在利用特殊化的方法解决问题时需要注意以下几点：（1）题目的答案必须是唯一确定的；（2）特殊值的选取必须符合题设条件；（3）特殊值的选取应尽可能简单，以便运算和比较.2. 点或图形位置特殊化例2 （2012·德州）如图1，两个反比例函数y=和y=-的图像分别是l1和l2. 设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为（）.A. 3B. 4C.D. 5【解析】在本题中，只要点P确定，那么A、B、C、D四点也就确定了. 本题给出的选项都是一个定值，也从侧面反映只要点P在l1上，△PAB的面积与点P的坐标无关. 不妨设点P 的横坐标为1，那么P（1，1），A（1，-2），B（-2，1），所以PA=3，PB=3，△PAB的面积为，故选C.例3 （2013·济宁）如图2，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF= ______.【解析】这是一道与动点有关的问题. 以这种形式出现，最后结果肯定是一个定值. 既然点P在AD上运动，那么点P在线段AD的任何位置PE+PF的值都不变. 因此可以让点P运动到点A，根据题意画出如图3所示的图形，此时PE=0，由AB=3，AD=4，可求出BD=5，利用△ABD的面积可以求出PF=2.4，所以PE+PF=2.4.【点评】用特殊图形解决问题时，一定要注意特殊图形的选取必须要符合题设条件，且问题的答案必须是唯一确定的. 所以在构造特殊图形时，一般从以下几个方面来考虑：（1）线段上的特殊点一般取线段的中点或者端点，弧上的点一般选取弧的中点或端点；（2）线与线的位置关系可以特殊化为平行、垂直或重合；（3）任意四边形可特殊化为平行四边形、矩形、菱形或正方形.二、用“特殊→一般→特殊”思想解决问题1. 在中考中，经常会遇到探索规律的题目. 解决这类题目的方法是从简单、特殊、具体情形出发，通过特殊情况的研究，归纳出一般结论，有时还需用一般结论解决其他特殊情况.例4 （2013·淮安）观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…则第2013个单项式是_______.【解析】本题先看系数变化规律：系数依次为1，3，5，7，9，11，…，2n-1；再看指数变化规律：x的指数依次是1，2，2，1，2，2，1，2，2，……可见三个单项式一个循环，故可得第2013个单项式的系数为4025；因为2013÷3=671，所以第2013个单项式的指数为2.因此第2013个单项式是4025x2. 本题体现了由特殊到一般再到特殊的思维过程.2. 在某些几何图形中，有些点和线的位置是在不断变化的，在这个变化过程中，却有一些线段的长度或比值、角的大小等存在着一定的关系. 解决这类问题，一般是从特殊情况入手，逐步分析、比较、讨论，从中发现规律或者解答方法，再用这个规律或解答方法解决其他类似问题.例5 （2012·河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图4，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF 的延长线交射线CD于点G. 若=3，求的值.（1）尝试探究在图4中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是______，CG和EH的数量关系是______，的值是______.（2）类比延伸如图5，在原题的条件下，若=m（m>0），则的值是______（用含有m的代数式表示），试写出解答过程.（3）拓展迁移如图6，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F. 若=a，=b，（a>0，b>0），则的值是______（用含a、b的代数式表示）.【解析】第（1）题，按照题中的提示方法利用三角形相似不难求出AB=3EH，CG=2EH，=. 第（2）题是第（1）题的一般情况，因此可以仿照第（1）题添加相同的辅助线，过点E作EH∥AB交BG于点H，利用类似的方法求出=. 第（3）题把原题中的平行四边形变为了梯形，有了前面两题的解题经验，对于这种特殊情况，仍可添加类似的辅助线：过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H（如图7），依旧是利用相似求出=ab.【点评】运用“特殊→一般→特殊”的思想方法，能使数学问题化难为易，而且能加深同学们对数学知识的理解，同时还能打开解题思路.（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）。

数学中的一般化与特殊化例谈何华兴(无锡高等师范学校，江苏 无锡 214001)摘要:本文通过一组实例探讨“一般化”和“特殊化”这两种解题的基本策略，分析它们的适用条件，并介绍相关的思维过程、步骤和应用技巧。

关键词:一般化 特殊化一般化与特殊化是人类认识事物的两个重要侧面，也是解题的两种基本策略，它们相辅相成，是辩证的统一。

在多数场合，特殊问题简单、直观，容易认识，容易把握。

但是，也有一些场合，特殊问题的个别特性可能会掩盖事物的本质属性，给解题带来困难，而直接求解相应的一般性问题，反而来得简便、明快、奇巧。

一、平起平坐 互为因果通常情况下，特殊不能代替一般；但有时，特殊命题确实能与一般命题等价。

利用特殊与一般等价解决问题，有两种基本形式：其一是特殊借助于一般使问题获得解决；其二是一般借助于特殊使问题获得解决。

例1下列两个命题是否等价?为什么?命题1 设a i ＞0(i=1,2,…,n)，则12n a a a n +++当且仅当a 1=a 2=…=a n时，等号成立。

命题2设a i ＞0(i=1,2,…,n)，且a 1a 2…a n =1，则a 1+a 2+…+a n ≥n ，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立。

分析：(1) 命题2是命题1的特殊情况, 由命题1当然能推出命题2。

(2)考察下列n，由于它们的积为1，故+…≥n ，即 12n a a a n +++∴由命题2能推出命题1。

由(1)，(2)可知，命题1与命题2等价。

这样，我们就发现了一件非常有趣的事情：有时特殊命题与一般命题等价。

这项发现并非只有理论上的价值。

事实上，既然有时“特殊命题与一般命题等价”，我们想要证明一般命题1，只要证明特殊命题2就可以了。

显然，证明命题2要比证明命题1来得容易(命题2可用数学归纳法证明)。

例2设a，b，c，d，e都是正整数，且满足a+b+c+d+e=abcde，求e的最大值。

分析：由条件等式的对称性，可知e的最大值也是a，b，c，d的最大值，对a、b、c、d、e进行排序，得到一个相应的特殊问题，从而便于放缩，使问题得解。

ABCD 数学中的“特殊与一般”思想方法在数学学习的过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来的，经过证明后，成为一般性结论，又使用它们来解决相关的数学问题。

在数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想的集中体现。

由特殊到一般、由一般到特殊的过程是认识事物的基本过程，数学也不例外。

所谓特殊与一般的思想包括两个方面：通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，再逐渐形成对这类事物的总体认识，发现特点，掌握规律，形成公式，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，从实践到理论，这种认识事物的过程就是由特殊到一般的认识过程；在理论指导下，用已有的规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程就是由一般到特殊的认识过程。

由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程。

在数学高考中，对特殊与一般思想的考查方式主要有，利用一般的归纳法进行猜想；通过构造特殊函数、特殊数列、寻求特殊点、特殊位置关系；利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题，等等。

高考特别注重利用选择题、填空题的特点，重点考查由特殊到一般的思想；利用解答题的严密性，重点考查由一般到特殊的思想，或综合考查特殊与一般的思想。

一．利用特殊情形判断一般性结论是否成立辩证法告诉我们：矛盾的一般性寓于特殊性之中。

相对于一般情形而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知。

解题时若能注意到问题的特殊性，进而分析考虑有无可能把待解决问题化归为某个特殊问题或极端情形，不仅是可行的，也是必要的。

例1．（2005年北京春季高考题）若不等式nnn a 1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A ),2[23-B ),2(23-C ),3[23-D ),3(23-解析：当n 为正奇数时，不等式为n a 12+<-，又221>+n，所以要使不等式对任意正奇数n 恒成立，应有2≤-a ，即2-≥a ；当n 为正偶数时，不等式为n a 12-<，又2312112,≥-≤nn ，所以要使不等式对任意正偶数n 恒成立，应有23<a 。

由特殊到一般数学思想在几何综合题中的应用专题训练1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图①，若a＝b，点E在线段AC上，则＝．（2）数学思考①如图②，若点在线段AC上，则＝，（用含a，b的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图③的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CF的长．2．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现:当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是．（2）探究:如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE．（3）应用:在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论）3．请完成下面的几何探究过程：（1）观察填空:如图1，在R△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），把线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连DE，BE，则①∠CBE的度数为；②当BE＝时，四边形CDBE为正方形（2）探究证明:如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC＝4，点D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），把线段CD绕点C顺时针旋转90°后并延长为原来的两倍到线段CE，连DE，BE，则：①在点D的运动过程中，请判断∠CBE与∠A的大小关系，并证明；②当CD⊥AB时，求证：四边形CDBE为矩形（3）拓展延伸:如图2，在点D的运动过程中，若△BCD恰好为等腰三角形，请直接写出此时AD的长．4．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想:图1中，线段PM与PN的数量关系是，∠MPN的度数是；（2）探究证明:把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸:把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝8，请直接写出△PMN面积的取值范围．5．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，连接DE ，且DB ＝DE ． （1）如图1，若α＝90°，则的值是 ；（2）若α＝120°，将△BDE 绕点B 按顺时针旋转到如图2所示的位置，求的值；（3）对于任意角α，将△BDE 绕点B 旋转到如图3所示的位置，直接写出的值为 ．（用含α的式子表示）6．如图1，矩形ABCD ，AB ＝15，AD ＝20，∠AEB ＝90°，BE ＝9．（1）将△ABE 沿对角线BD 方向平移，当点E 恰好落在矩形的边上时，请直接写出此时△ABE 平移的距离；（2）如图2，将△ABE 绕点B 顺时针旋转a°（0°＜a ＜180°），记旋转中的△ABE 为△A′BE′，在旋转过程中，若A′E′所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ，问：是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．7．如图1，菱形ABCD 与菱形GECF 的顶点C 重合，点G 在对角线AC 上，且∠BCD ＝∠ECF ＝60°，（1）问题与发现：的值为 ；（2）探究与证明:将菱形GECF 绕点C 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形GECF 在旋转过程中，当点A ，G ，F 三点在一条直线上时，如图3所示连接CG 并延长，交AD 于点H ，若CE ＝2，GH ＝ ，则AH 的长为 ．8．如图（1），两个等腰直角三角形ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，DE ＝2，AB ＝1．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图（1）中的△ABC 沿直线l 向右平移，设C 、E 两点间的距离为k ．请解答下列问题：（1）①当点C 与点F 重合时，如图（2）所示，此时的值为 ． ②在平移过程中，的值为 （用含k 的代数式表示）．（2）将图（2）中的△ABC 绕点C 逆时针旋转，使点A 落在线段DF 上，如图（3）所示，将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ，请补全图形，并计算的值．（3）将图（1）中的△ABC 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α≤45°），将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ，计算的值（用含k 的代数式表示）．9．（1）问题发现：如图①，在等边三角形ABC 中，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，NC 与AB 的位置关系为 ；（2）深入探究：如图②，在等腰三角形ABC 中，BA ＝BC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使∠ABC ＝∠AMN ，AM ＝MN ，连接CN ，试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图③，在正方形ADBC 中，AD ＝AC ，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作正方形AMEF ，点N 为正方形AMEF 的中点，连接CN ，若BC ＝10，CN ＝ ，试求EF 的长．10．在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 边上的中点，Rt △EFG 的直角顶点E 在AB 边上移动．（1）如图1，若点D 与点E 重合且EG ⊥AC 、DF ⊥BC ，分别交AC 、BC 于点M 、N ，易证EM ＝EN ；如图2，若点D 与点E 重合，将△EFG 绕点D 旋转，则线段EM 与EN 的长度还相等吗？若相等请给出证明，不相等请说明理由；（2）将图1中的Rt △EGF 绕点D 顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）．如图2，在旋转过程中，当∠MDC ＝15°时，连接MN ，若AC ＝BC ＝2，请求出线段MN 的长；（3）图3，旋转后，若Rt △EGF 的顶点E 在线段AB 上移动（不与点D 、B 重合），当AB ＝3AE 时，线段EM 与EN 的数量关系是 ；当AB ＝m•AE 时，线段EM 与EN 的数量关系是 ．11．点P 在四边形ABCD 的对角线AC 上，直角三角板PEF 绕直角顶点P 旋转，其边PE 、PF 分别交BC 、DC 边于点M 、N ．【操作发现】如图1，若四边形ABCD 是正方形．当PM ⊥BC 时，可知四边形PMCN 是正方形． 显然PM ＝PN ；当PM 与BC 不垂直时，确定PM 、PN 之间的数量关系： ； 【类比探究】如图2，若四边形ABCD 为矩形，试说明：；【拓展应用】如图3，改变四边形ABCD 、△PEF 形状，其条件不变，且满足AB ＝6，AD ＝4，∠B+∠D ＝180°，∠EPF ＝∠BAD ＞90°时，求的值．12．已知△ABC 中，D 为AB 边上任意一点，DF ∥AC 交BC 于F ，AE ∥BC ，∠CDE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝α．（1）如图1，当α＝60°时，求证：△DCE 是等边三角形； （2）如图2，当α＝45°时，求证：①＝ ；②CE ⊥DE ．（3）如图3，当α为任意锐角时，请直接写出线段CE 与DE 的数量关系是：＝ ．13．已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．将△OCD 绕点O 逆时针旋转得到△OC'D （旋转角∠COC'＜∠COD ），连接AC'、BD'．（1）当AC ＝BD 时，即平行四边形ABCD 为矩形时，如图1，求证：△AOC'≌△BOD' （2）当AC ＝6，BD ＝10时，如图2，连接DD'，若AC'＝kBD' ①求k 的值．②直接写出C'A 2+（kDD'）2的值．14．如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，求证：△BPE ∽△CEQ ；（2）如图①，当点Q 在线段AC 上，当AP ＝4，BP ＝8时，求P 、Q 两点间的距离；（3）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上，若BP ＝2a ，CQ ＝9a ，求PE ：EQ 的值，并直接写出△EPQ 的面积 （用含a 的代数式表示）．15.【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC 中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以AM 为边作等边△AMN ，连结CN ．求证：∠ABC ＝∠ACN ．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其它条件不变，（1）中结论∠ABC ＝∠ACN 还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC 中，BA ＝BC ，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以AM 为边作等腰△AMN ，使顶角∠AMN ＝∠ABC ．连结CN ．试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由．16．在四边形ABCD 中，点E 为AB 边上一点，点F 为对角线BD 上的一点，且EF ⊥AB ． （1）若四边形ABCD 为正方形；①如图1，请直接写出AE 与DF 的数量关系；②将△EBF 绕点B 逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE 、DF ，猜想AE 与DF 的数量关系并说明理由；（2）如图3，若四边形ABCD 为矩形，BC ＝mAB ，其它条件都不变，将△EBF 绕点B 逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E ′BF ′，连接AE ′，DF ′，请在图3中画出草图，并求出AE ′与DF′的数量关系．17. 如图①，等腰Rt△ABC中，∠C＝90o，D是AB的中点，Rt△DEF的两条直角边DE、DF分别与AC、BC相交于点M、N．（1）思考推证：CM+CN＝BC；（2）探究证明：如图②，若EF经过点C，AE⊥AB，判断线段MA、ME、MC、DN四条线段之间的数量关系，并证明你的结论；（3）拓展应用：如图③，在②的条件下，若AB＝4，AE＝1，Q为线段DB上一点，DQ＝，QN 的延长线交EF于点P，求线段PQ的长．18. 有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝8cm，∠ADB＝30°．（1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；（2）把△BCD与△MEF剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求β的度数；（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．19. 如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．20. （1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为．（2）【拓展探究】在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，请判断线段BE与AF的数量关系，并就图2的情形说明理由．（3）【问题解决】当AB＝AC＝2，且第（2）中的正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，请直接写出线段AF 的长．参考答案与试题解析1．解：（1）当a＝b时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴＝1，（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴＝；②成立．如图1，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴＝．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵，∴，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，②当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（+CE）]2＝40，∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），则CF＝2AE＝2（+CE）＝；③如图2，当点E在CA延长线上时，CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，∴CE＝2，或CE＝﹣（舍），此时CF＝2AE＝2（CE﹣）＝2；即：CF＝2或CF＝．2．解：（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，又∵AE＝AG，AB＝AD，∴△ABE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG；②如图2，延长BE交AD于G，交DG于H，由①知，△ABE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠AGB+∠ABE＝90°，∴∠AGB+∠ADG＝90°，∵∠AGB＝∠DGH，∴∠DGH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠DAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠AGB+∠ABE＝90°，∴∠AGB+∠ADG＝90°，∵∠AGB＝∠DGH，∴∠DGH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图5，∵EG∥AB，∴∠DME＝∠DAB＝90°，在Rt△AEG中，AE＝1，∴AG＝2AE＝2，根据勾股定理得，EG＝，∵AB＝，∴EG＝AB，∵EG∥AB，∴四边形ABEG是平行四边形，∴AG∥BE，∵AG∥EF，∴点B，E，F在同一条直线上，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝2，由（3）知，△ABE∽△ADG，∴，∴DG＝4．3．解：（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，由旋转的性质得：∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，又∵BC=AC，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴∠CBE＝∠A＝45°；②当BE ＝2 时，四边形CDBE 是正方形；理由如下：由①得：∠CBE ＝45°，∴∠DBE ＝∠ABC +∠CBE ＝90°，作EM ⊥BC 于M ，如图所示： 则△BEM 是等腰直角三角形，∵BE ＝2 ，∴BM ＝EM ＝2，∴CM ＝BC ﹣BM ＝2，∴BM ＝CM ＝EM ，∴△CME 是等腰直角三角形， ∴∠CEM ＝45°，∴∠BEC ＝45°+45°＝90°，又∵∠ACB ＝90°，∴四边形CDBE 是矩形，又∵EM 垂直平分BC ，∴BE ＝CE ，∴四边形CDBE 是正方形；故答案为：2 ；（2）①∠CBE ＝∠A ，理由如下：由旋转的性质得：∠BCE ＝∠ACD ，∵BC ＝2AC ，CE ＝2CD ， ∴，∴△BCE ∽△ACD ，∴∠CBE ＝∠A ；②∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°，由①得：△BCE ∽△ACD ，∴∠BEC ＝∠ADC ＝90°， 又∵∠DCE ＝90°，∴四边形CDBE 是矩形；（3）在点D 的运动过程中，若△BCD 恰好为等腰三角形，存在两种情况：①当CD ＝BD 时，则∠DCB ＝∠DBC ，∵∠DBC +∠A ＝90°，∠ACD +∠DCB ＝90°， ∴∠A ＝∠ACD ，∴CD ＝AD ，∴CD ＝BD ＝AD ，∴AD ＝AB ，∵AB ＝ ＝2 ，∴AD ＝ ；②当BD ＝BC ＝4时，AD ＝AB ＝BD ＝2 ﹣4；综上所述：若△BCD 恰好为等腰三角形，此时AD 的长为 或2 ﹣4．4．解：（1）∵点P ，N 是BC ，CD 的中点，∴PN ∥BD ，PN ＝BD ，∵点P ，M 是CD ，DE 的中点， ∴PM ∥CE ，PM ＝CE ，∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴BD ＝CE ，∴PM ＝PN ，∵PN ∥BD ，∴∠DPN ＝∠ADC ，∵PM ∥CE ，∴∠DPM ＝∠DCA ，∵∠BAC ＝120°，∴∠ADC +∠ACD ＝60°， ∴∠MPN ＝∠DPM +∠DPN ＝∠DCA +∠ADC ＝60°，故答案为：PM ＝PN ，60°； （2）△PMN 是等腰直角三角形．由旋转知，∠BAD ＝∠CAE ，∵AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACE ，BD ＝CE ，利用三角形的中位线得，PN ＝ BD ，PM ＝CE ，∴PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM ∥CE ，∴∠DPM ＝∠DCE ，同（1）的方法得，PN ∥BD ，∴∠PNC ＝∠DBC ，∵∠DPN ＝∠DCB +∠PNC ＝∠DCB +∠DBC ，∴∠MPN ＝∠DPM +∠DPN ＝∠DCE +∠DCB +∠DBC＝∠BCE +∠DBC ＝∠ACB +∠ACE +∠DBC ＝∠ACB +∠ABD +∠DBC ＝∠ACB +∠ABC ，∵∠BAC ＝120°，∴∠ACB +∠ABC ＝60°，∴∠MPN ＝60°，∴△PMN 是等边三角形；（3）由（2）知，△PMN 是等边三角形，PM ＝PN ＝BD ，∴PM 最大时，△PMN 面积最大，PM 最小时，△PMN 面积最小∴点D 在BA 的延长线上，△PMN 的面积最大，∴BD ＝AB +AD ＝12， ∴PM ＝6，∴S △PMN 最大＝PM 2＝ ×62＝9 ，当点D 在线段AB 上时，△PMN 的面积最小， ∴BD ＝AB ﹣AD ＝4，∴PM ＝2，S △PMN 最小＝PM 2＝ ×22＝ ，∴ ≤S △PMN ≤9 ．5．解：（1）如图1，过点E 作EF ⊥AC 于F ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠B ＝∠C ＝45°，∵DE ＝BD ，∴∠DEB ＝∠B ＝45°，∴∠ADE ＝∠BDE ＝90°，∵∠A ＝∠AFE ＝90°，∴四边形ADEF 是矩形，∴AD ＝EF ， ∵∠EFC ＝90°，∠C ＝45°，∴∠CEF ＝∠C ＝45°，∴EF ＝CF ，在Rt △CEF 中，根据勾股定理得，CE ＝ EF ＝ AD ，∴＝ ；（2）如图2，∵AB ＝AC ，DE ＝BD ，∴△ABC 和△BDE 都是等腰三角形，且∠BDE ＝∠BAC ＝120°，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝30°，∴△ABC ∽△DBE ，∴，∴，∵∠1+∠CBD ＝∠3+∠CBD ，∴∠ABD ＝∠CBE ，∴△CBE ∽△ABD ，∴， 过点D 作DM ⊥BE 于M ，∴∠BDM ＝∠BDE ＝60°，BE ＝2BM ，在Rt △BDM 中，sin ∠BDM ＝，∴sin60°＝＝，∴； （3）如图3，∵AB ＝AC ，DE ＝BD ，∴△ABC 和△BDE 都是等腰三角形，且∠BDE ＝∠BAC ＝α∴∠ABC ＝∠2＝∠DBE ＝∠4，∴△ABC ∽△DBE ， ∴，∵∠ABC ﹣∠CBD ＝∠DBE ﹣∠CBD ，∴∠ABD ＝∠CBE ，∴△CBE ∽△ABD ，∴，过点D 作DM ⊥BE 于M ，∴∠BDM ＝∠BDE ＝α，BE ＝2BM ，在Rt △BDM 中，sin ∠BDM ＝，∴sin＝，∴．6．解：如图1作EG ∥BD ，交AB ，AD 于F ，G ．作EH ⊥AB ，∵BE ＝9，AB ＝15，∠AEB ＝90°∴AE ＝12∵AB ＝15，AD ＝20，∠BAD ＝90°∴BD ＝25∵，∠AEB ＝∠BAD ＝90°∴△ABE ∽△ABD ∴∠ABE ＝∠ABD ∵EG ∥BD ∴∠EFB ＝∠ABD ∴∠BFE ＝∠EBA ,∴EF ＝BE ＝9∴当点E 平移到AB 上时，平移距离为9∵S △AEB ＝×AE ×BE ＝AB ×EH,∴EH ＝且BE ＝9∴BH ＝,∵BE ＝EF ，EH ⊥AB,∴FH ＝BH ＝,∴AF ＝,∵EG ∥BD,∴,∴FG ＝7∴EG ＝16,∴当点E 平移到AD 上，平移距离为16（2）如图2 当PD ＝DQ .∵△ABE ∽△ABD ,∴∠BAE ＝∠ADB ， ∵将△ABE 绕点B 顺时针旋转a °得到△A ′BE ′∴∠E 'A 'B ＝∠EAB ，AB ＝A 'B ＝15，BE ＝BE '＝9,∴∠E 'A 'B ＝∠ADB∴∠BA 'Q ＝∠ADQ ，且∠Q ＝∠Q,∴△PDQ ∽△BA 'Q ,∴∠QPD ＝∠A 'BQ ,∵PD ＝DQ ∴∠Q ＝∠DPQ ,∴∠Q ＝∠A 'BQ ,∴A 'Q ＝A 'B ＝15,∴E 'Q ＝27,∴根据勾股定理得：BQ ＝9 ∴DQ ＝BQ ﹣BD ＝9 ﹣25;当PQ ＝DQ 如图3,∵PQ ＝DQ,∴∠QDP ＝∠QPD 且∠BA 'E '＝∠QDP ∴∠DPQ ＝∠BA 'E ',∴BA '∥PE 且AD ∥BC ,∴BA '与BC 重合 ∵PD ∥BA ',∴∠PDQ ＝∠QBA ',∴∠QBA '＝∠P A 'B ,∴BQ ＝A 'Q设BQ ＝a ，∴E 'Q ＝12﹣a ,∴a 2＝92+（12﹣a ）2,∴a ＝,∴DQ ＝BD ﹣BQ ＝当PD ＝DQ 时如图4,∵PD ＝DQ ,∴∠DPQ ＝∠DQP ,∵AD ∥BC ∴∠ADB ＝∠DBC ，∠DPQ ＝∠BFP ,∴∠BFP ＝∠DQP ＝∠BQF ∴BF ＝BQ ，且∠BE 'F ＝90°,∴QE '＝FE ',∵旋转,∴∠ADB ＝∠BA 'P∴∠BA 'P ＝∠DBC 且∠BQF ＝∠BQF ,∴△ABQ ∽△BQF ∴,∴BQ 2＝2E 'F ×（12+E 'Q ）＝24E 'F +2E 'F 2．∵在Rt △BE 'F ，BF 2＝E 'F 2+BE '2∴BQ 2＝E 'F 2+81∴2E 'F 2+24E 'F ＝E 'F 2+81,∴EF ＝3∴BQ ＝3 ,∴DQ ＝25﹣当PQ ＝PD 时，如图5,∵PD ＝PQ ,∴∠PDQ ＝∠PQD ＝∠A 'QB ，且∠BA 'Q ＝∠ADB ,∴∠BA 'Q ＝∠BQA ',∴BQ ＝BA '＝15,∴DQ ＝10 ∴DQ 的长度可能为9 ﹣25，，25﹣ ，10．7．解：（1）如图1中，作EH ⊥CG 于H ．∵四边形ECFG 是菱形，∠ECF ＝60°， ∴∠ECH ＝∠ECF ＝30°，EC ＝EG ，∵EH ⊥CG ，∴GH ＝CG ，∴＝cos30°＝，∴，∵EG ∥CD ，AB ∥CD ，∴GE ∥AB ，∴．（2）结论：AG ＝ BE ． 理由：如图2中，连接CG ．∵四边形ABCD ，四边形ECFG 都是菱形，∠ECF ＝∠DCB ＝60°，∴∠ECG ＝∠EGC ＝∠BCA ＝∠BAC ＝30°，∴△ECG ∽△BCE ，∴，∵∠ECB ＝∠GCA ，∴△ECB ∽△GCA ，∴，∴AG ＝ BE ．（3）如图3中，∵∠AGH ＝∠CGF ＝30°．∠AGH ＝∠GAC +∠GCA ，又∵∠DAC ＝∠HAG +∠GAC ＝30°，∴∠HAG ＝∠ACH ，∵∠AHG ＝∠AHC ，∴△HAG ∽△HCA ，∴HA ：HC ＝GH ：HA ，∴AH 2＝HG •HC ，∴FC ＝2，CG ＝ CF ，∴GC ＝2 ，∵HG ＝ ，∴AH 2＝HG •HC ＝ •3 ＝9，∵AH ＞0，∴AH ＝3．8．解：（1）①当点C 与点F 重合时，如图（2）中，延长BA 交EM 的延长线于N ． 易证△EBN 是等腰直角三角形，可得BE ＝BN ，∴BC ＝BA ，∴AN ＝EC ＝DE ，∵DE ∥AN ，∴∠DEN ＝∠N ，∵∠DME ＝∠AMN ，∴△DME ≌△AMN （AAS ），∴DM ＝AM ，∴＝1．②如图1中，延长BA 交EM 的延长线于N ．同法可证：EC ＝AN ＝k ， ∵DE ∥AN ，∴△DEM ∽△ANM ，∴ =． （2）补全如图（3﹣1）所示，连接AE∵△ABC 、△DEF 均为等腰直角三角形，DE ＝2，AB ＝1， ∴EF ＝2，BC ＝1，∠DEF ＝90°，∠DFE ＝∠ACB ＝45°， ∴DF ＝2 ，AC ＝ ，∠EFB ＝90°，∴DF ＝2AC ，AD ＝ ， ∵点A 为CD 的中点，∴EA ⊥DF ，EA 平分∠DEF ，∴∠MAE ＝90°，∠AEF ＝45°，AE ＝ ．∵∠BEM ＝45°，∴∠MEA +∠AEB ＝∠BEF +∠AEB ＝45°，∴∠MEA ＝∠BEF ，∴△AEM ∽△FEB ， ∴ =，∴AM ＝，∴DM ＝AD ﹣AM ＝，∴＝1． （3）如图（3﹣2）中，过点B 作BG ⊥BE ，交直线EM 于点G ，连接AG ， ∴∠EBG ＝90°．∵∠BEM ＝45°，∴∠EGB ＝45°，∴BE ＝BG ． ∵△ABC 为等腰直角三角形，∴BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠ABG ＝∠CBE ，∴△ABG ≌△CBE ，∴AG ＝EC ＝k ，∠AGB ＝∠CEB ， ∵∠AGB +∠AGE ＝∠DEM +∠CEB ＝45°，∴∠AGE ＝∠DEM ， ∴AG ∥DE ，∴△AGM ∽△DEM ，∴ =．9．解：（1）NC ∥AB ，理由如下：∵△ABC 与△MN 是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN ＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN ，又∵AB ＝AC ，AM ＝AN ， ∴△ABM ≌△ACN （SAS ），∴∠B ＝∠ACN ＝60°，∵∠ANC +∠ACN +∠CAN ＝∠ANC +60°+∠CAN ＝180°，∴∠ANC +∠MAN +∠BAM ＝∠ANC +60°+∠CAN ＝∠BAN +∠ANC ＝180°，∴CN ∥AB ；（2）∠ABC ＝∠ACN ，理由如下：∵且∠ABC ＝∠AMN ，∴△ABC ～△AMN ∴，∵AB ＝BC ，∴∠BAC ＝（180°﹣∠ABC ），∵AM ＝MN ∴∠MAN ＝（180°﹣∠AMN ）， ∵∠ABC ＝∠AMN ，∴∠BAC ＝∠MAN ，∴∠BAM ＝∠CAN ，∴△ABM ～△ACN ，∴∠ABC ＝∠ACN ；（3）如图3，连接AB ，AN ，∵四边形ADBC ，AMEF 为正方形，∴∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∠MAN ＝45°，∴∠BAC ﹣∠MAC ＝∠MAN ﹣∠MAC 即∠BAM ＝∠CAN ，∵＝ ，∴， ∴△ABM ～△CAN ,∴，∴＝cos45°＝，∴＝，∴BM ＝2，∴CM ＝BC ﹣BM ＝8，在Rt △AMC ， AM ＝ ＝2 ，∴EF ＝AM ＝2 ．10．解：（1）EM ＝EN ；理由：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 边上的中点∴DC ＝DB ，∠ACD ＝∠B ＝45°，∠CDB ＝90°∴∠CDF +∠FDB ＝90°∵∠GDF ＝90°， ∴∠GDC +∠CDF ＝90°，∴∠CDM ＝∠BDN ，又∵CD ＝BD ，∠MCD ＝∠B ，∴△CDM ≌△BDN ， ∴DM ＝DN ,即EM ＝EN ；（2）如图2，作DP ⊥AC 于P ，则∠CDP ＝45°，CP ＝DP ＝AP ＝1 ∵∠CDG ＝15°，∴∠MDP ＝30°∵cos ∠MDP ＝,∴DM ＝,DM ＝DN ,∵△MND 为等腰直角三角形,∴MN ＝× ＝； （3）NE ＝2ME ，EN ＝（m ﹣1）ME ．证明：如图3，过点E 作EP ⊥AB 交AC 于点P 则△AEP 为等腰直角三角形，∠PEB＝90°,∴AE＝PE，∵AB＝3AE，∴BE＝2AE，∴BE＝2PE又∵∠MEP+∠PEN＝90°，∠PEN+∠NEB＝90°,∴∠MEP＝∠NEB,又∵∠MPE＝∠B＝45°∴△PME∽△BNE,∴=，即EN＝2EM,由此规律可知，当AB＝m•AE时，EN＝（m﹣1）•ME故答案为：EN＝2EM；EN＝（m﹣1）EM．11．解：操作发现：如图2，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM＝∠PHN＝90°，∠GPH＝90°，∵Rt△PEF中，∠FPE＝90°，∴∠GPM＝∠HPN，∴△PGM∽△PHN，∴=，由PG∥AB，PH∥AD可得，=，∴，∴PM＝PN，类比探究：如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM＝∠PHN＝90°，∠GPH＝90°，∵Rt△PEF中，∠FPE＝90°，∴∠GPM＝∠HPN，∴△PGM∽△PHN，∴=，由PG∥AB，PH∥AD可得，=，∴,∴=；拓展应用：如图4，过P作PG∥AB，交BC于G，作PH∥AD，交CD于H，则∠HPG＝∠DAB，∵∠EPF＝∠BAD，∴∠EPF＝∠GPH，即∠EPH+∠HPN＝∠EPH+∠GPM，∴∠HPN＝∠GPM，∵∠B+∠D＝180°，∴∠PGC+∠PHC＝180°，又∵∠PHN+∠PHC＝180°，∴∠PGC＝∠PHN，∴△PGM∽△PHN，∴=①，由PG∥AB，PH∥AD可得，=，即＝②，∴由①②可得，＝．12．解：（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝BA，∵DF∥AC，∴∠BFD＝∠BCA＝60°，∠BDF＝∠BAC＝60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF＝BD，∴CF＝AD，∠CFD＝120°，∵AE∥BC，∴∠B+∠DAE＝180°，∴∠DAE＝∠CFD＝120°，∵∠CDA＝∠B+∠BCD＝∠CDE+∠ADE，∵∠CDE＝∠B＝60°，∴∠FCD＝∠ADE，∴△CFD≌△DAE，∴DC＝DE，∵∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形．（2）证明：①如图2中，作FG⊥AC于G．∵∠B＝∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠BAC＝90°，∴∠BFD＝45°，∠DFC＝135°，∵AE∥BC，∴∠BAE+∠B＝180°，∴∠DFC＝∠DAE＝135°，∵∠CDA＝∠B+∠BCD＝∠CDE+∠ADE，∵∠CDE＝∠B＝45°，∴∠FCD＝∠ADE，∴△CFD∽△DAE，∴，∵四边形ADFG是矩形，FC＝FG，∴FG＝AD，CF＝AD，∴＝，②作CE′⊥DE于E′∵∠CDE＝45°，∴DE′＝CD•cos45°＝CD，∵DE＝CD，∴点E与点E′重合，∴CE⊥DE．（3）解：如图3中，设AC与DE交于点O．∵AE∥BC，∴∠EAO＝∠ACB，∵∠CDE＝∠ACB，∴∠CDO＝∠OAE，∵∠COD＝∠EOA，∴△COD∽△EOA，∴，∴，∵∠COE＝∠DOA，∴△COE∽△DOA，∴∠CEO＝∠DAO．∵∠CED+∠CDE+∠DCE＝180°，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∵∠CDE＝∠B＝∠ACB，∴∠EDC＝∠ECD，∴EC＝ED，∴＝1．13．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OA＝OC＝OD，∵旋转△COD得△C'OD'，∴OC'＝OC＝OD＝OD'，∠COC'＝∠DOD'，∴∠BOD'＝∠AOC'，∴△AOC'≌△BOD'（SAS）；（2）①四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD＝5，OA＝OC＝3，∵旋转△COD得△C'OD'，∴∠BOD'＝∠AOC'，∴△AOC'∽△BOD'，∴，∴AC'＝BD'，∴k＝；②如图2，连接CC'，DD'，C'A2+（kDD'）2的值为36，由①知，k＝，BD'＝C'A由旋转知，OC '＝OC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，∴OC '＝OA ＝OC ，∴∠AC 'C ＝90°，由旋转知，OD ＝OD '，OC ＝OC '，∠DOD '＝∠COD '，∴，∴△COC '∽△DOD '，∴＝，∴CC '＝DD '根据勾股定理得，AC '2+CC '2＝AC 2，∴AC '2+（ DD '）2＝36， ∴C 'A 2+（kDD '）2＝C 'A 2+（DD '）2＝36．14．解：（1）证明：连接PQ ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B ＝45°，∴∠1+∠2＝135°，∵△DEF 是等腰直角三角形，∴∠3＝45°，∴∠1+∠4＝135°，∴∠2＝∠4，∵∠B ＝∠C ＝45°， ∴△BPE ∽△CEQ ；（2）∵AP ＝4，BP ＝8，∴AB ＝AC ＝12，∴BC ＝12 ，∵由（1）知，△BPE ∽△CEQ ， ∴，∴，∴CQ ＝9，∴AQ=AC ﹣CQ ＝3，又AP ＝4，∴PQ ＝5；（3）∵△BPE ∽△CEQ ，∴，即，解得，BE ＝CE ＝3 a ，∴PE ：EQ ＝BP ：CE ＝ ：3，如图②，连接PQ ，作PH ⊥BC 于H ，PG ⊥EF 于G ， ∵∠B ＝45°，BP ＝2a ，∴PH ＝BH ＝ a ，又BE ＝3 a ， ∴HE ＝2 a ，∴PE ＝ a ，∴PG ＝GE ＝ a ，∵PE ：EQ ＝ ：3，∴QE ＝3 a ， ∴△EPQ 的面积＝×QE ×PG ＝a 2．15. （1）证明：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN ＝60°， ∴∠BAM ＝∠CAN ，又∵AC=AB ，AM ＝AN ，∴△BAM ≌△CAN （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACN ．（2）解：结论∠ABC ＝∠ACN 仍成立；理由如下：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN ＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN ，又∵AC=AB ，AM ＝AN ， ∴△BAM ≌△CAN （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACN ．（3）解：∠ABC ＝∠ACN ；理由如下：∵BA ＝BC ，MA ＝MN ，顶角∠ABC ＝∠AMN ，∴底角∠BAC ＝∠MAN ，∴△ABC ∽△AMN ，∴，又∵∠BAM ＝∠BAC ﹣∠MAC ，∠CAN＝∠MAN ﹣∠MAC ，∴∠BAM ＝∠CAN ，∴△BAM ∽△CAN ，∴∠ABC ＝∠ACN ． 16. 解：（1）①∵四边形ABCD 为正方形，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴BF ＝ AB ， ∵EF ⊥AB ，∴△BEF 为等腰直角三角形，BF ＝ BE ，∴BD ﹣BF ＝ AB ﹣ BE ，即DF ＝ AE ； ②DF ＝ AE ．理由如下：∵△EBF 绕点B 逆时针旋转到图2所示的位置，∴∠ABE ＝∠DBF ， ∵＝ ，＝ ，∴＝，∴△ABE ∽△DBF ，∴＝＝ ，即DF ＝ AE ；（2）如图3，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝mAB ， ∴BD ＝ ＝ AB ，∵EF ⊥AB ，∴EF ∥AD ， ∴△BEF ∽△BAD ，∴＝，∴＝＝ ，∵△EBF 绕点B 逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E 'BF '，∴∠ABE ′＝∠DBF ′，BE ′＝BE ，BF ′＝BF ，∴′ ′＝＝ ，∴△ABE ′∽△DBF ′，∴′ ′＝＝ ，即DF ′＝ AE ′．17.解：（1）证明：如图①中，连接CD ．∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AD ＝DB ， ∴CD ⊥AB ，CD ＝AD ＝DB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∠A ＝45°，∴∠A ＝∠DCN ，∵∠ADC ＝∠MDN ＝90°，∴∠ADM ＝∠CDN ， ∴△ADM ≌△CDN （ASA ），∴AM ＝CN ， ∵AC ＝BC ＝CM +AM ，∴BC ＝CM +CN ．（2）解：如图②中，连接CD ．∵AE ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴AE ∥CD ，∴，∵△ADM ≌△CDN ，∴DM ＝DN ，∴．（3）解：如图③中，连接CD，作EH⊥CD于H，CG⊥PQ于G．∵AB＝4，∴AD＝DB＝2，∵AC＝CB，∠ACB＝90°，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB＝2，∵AE⊥AB，∴∠EAD＝∠ADH＝∠EHD＝90°，∴四边形AEHD是矩形，∴AE＝DH＝1，AD＝EH＝2，∵CD＝2，∴DH＝CH＝1，∵AE∥CD，∴AM：CM＝AE：CD＝1：2，∵AM＝CN，CA＝CB，∴BN＝2CN，∴CN＝BC，∵DQ＝，DB＝2，∴DQ＝BD，∴CN：CB＝DQ：DB，∴PQ∥CD，∵CD⊥AB，∴PQ⊥AB，∴∠CDQ＝∠DQG＝∠CGQ＝90°，∴四边形CDQG是矩形，∴GQ＝CD＝2，CG＝DQ＝，∵CG∥EH，∴∠PCG＝∠CEH，∵∠OGC＝∠CHE，∴△PCG∽△CEH，∴，∴PG＝，∴PQ＝GQ+PG＝2+＝．18. 解：（1）结论：BD＝MF，BD⊥MF．理由：如图1中，延长FM交BD于点N，由题意得：△BAD≌△MAF．∴BD＝MF，∠ADB＝∠AFM．又∵∠DMN＝∠AMF，∴∠ADB+∠DMN＝∠AFM+∠AMF＝90°，∴∠DNM＝90°，∴BD⊥MF．（2）如图2中，①当AK＝FK时，∠KAF＝∠F＝30°，则∠BAB1＝180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，即β＝60°；②当AF＝FK时，∠F AK＝∠＝75°，∴∠BAB1＝90°﹣∠F AK＝15°，即β＝15°；∴β的度数为60°或15°（3）如图3中，由题意得矩形PNA2A．设A2A＝x，则PN＝x，在Rt△A2M2F2中，∵F2M2＝FM＝8，∴A2M2＝4，A2F2＝4 ，∴AF2＝4﹣x．∵∠P AF2＝90°，∠PF2A＝30°，∴AP＝AF2•tan30°＝4﹣x．∴PD＝AD﹣AP＝4﹣4+x．∵NP∥AB，∴∠DNP＝∠B．∵∠D＝∠D，∴△DPN∽△DAB．∴，∴，解得x＝6﹣2．即A2A＝6﹣2．答：平移的距离是（6﹣2）cm．19. 解：（1）①当α＝0°时，∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE=,BD=4，∴．②如图1，当α＝180°时，可得AB∥DE，∵，∴．（2）如图2，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如图3，∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD，∴AD＝==8，∵AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=4．②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD，∴AD＝==8，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE＝，∴AE＝AD﹣DE＝8﹣2＝6，由（2），可得，∴BD＝．综上所述，BD的长为4或．20. 解：（1）BE＝AF．理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠BAD＝45°．∵点D为BC的中点，∴△ABD为等腰直角三角形．由勾股定理得：AB＝AD．在正方形CDEF中，DE＝EF．∵点E恰好与点A重合，即AD＝AF，BE＝AB．∴BE＝AF；（2）BE＝AF，理由如下：在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC＝．在正方形CDEF中，∠FEC＝∠FED＝45°，∠EFC＝90°，∴sin∠FEC＝，∴．又∵∠FEC＝∠ACB＝45°，∴∠FEC﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE．即∠FCA＝∠ECB．∴△ACF∽△BCE，∴=，∴BE＝AF；（3）当点E在线段AF上时，如图2，由（1）知，CF＝EF＝CD＝，在Rt△BCF中，CF＝，BC＝2，根据勾股定理得，BF＝，∴BE＝BF﹣EF＝﹣，由（2）知，BE＝AF，∴AF＝﹣1，当点E在线段BF的延长线上时，如图3，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC＝＝，在正方形CDEF中，∠FEC＝∠FED＝45°，在Rt△CEF中，sin∠FEC＝，∴，∵∠FCE＝∠ACB＝45°，∴∠FCB+∠ACB＝∠FCB+∠FCE，∴∠FCA＝∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴=，∴BE＝AF，由（1）知，CF＝EF＝CD＝，在Rt△BCF中，CF＝，BC＝2，根据勾股定理得，BF＝，∴BE＝BF+EF＝+，由（2）知，BE＝AF，∴AF＝+1．即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为﹣1或+1．。

数学学习中特殊与一般的思想（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高中数学六大思想之五：特殊与一般1．什么是特殊化思想：对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.2．什么是一般化思想：当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想.特殊与一般的思想方法主要表现在如下几方面:1.特殊问题一般化：在解决数学问题的过程中，我们思考一个问题，有时可以跳出它的范围去思考比它更一般的问题，有时一般的问题比特殊的问题更易于解决或解决了一般的问题就得到了许多类似问题的结果.因此只要解决了一般性的问题，特殊性的问题也就迎刃而解了.esp1：求证：sin70°+sin10°>sin100°>sin70°-sin10°. 【分析】此题按照一般解法去做，要分别证明两个不等式.经观察发现，此题中涉及的三个角之和恰为１８０°，这提醒我们将问题放到三角形中研究，所证问题转化为：sinA+sinB>sinC>sinA-sinB.而三角形中最常用的不等关系就是“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”，实现边角关系相互转化的常用工具是“正弦定理”和“余弦定理”.解：在△ＡＢＣ中，设∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边分别是a、b、c，则得a+b>c>a-b.由正弦定理得=k，故ksinＡ＋ksinB>ksinC>ksinA-ksinB，所以sinA+sinB>sinC>sinA-sinB.特殊地：将Ａ＝７０°、Ｂ＝１０°、Ｃ＝１００°代入上面的不等式即得所求证的结论2. 一般问题特殊化：esp2: 如图１，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中，已知面ＡＢＣＤ是边长３的正方形，ＥＦ∥ＡＢ，ＥＦ与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积可能为（）.解：本题的图形是多面体，需要对其进行必要的分割.连ＥＢ、ＥＣ，得四棱锥Ｅ－ＡＢＣＤ和三棱锥Ｅ－ＢＣＦ，这当中，四棱锥Ｅ－ＡＢＣＤ的体积易求＝×３×３×２＝６，又因为一个几何体积的体积应大于它的部分体积，所得ＶＥ－ＡＢＣＤ以不必计算三棱锥Ｅ－ＢＣＦ的体积，就可以排除Ａ，Ｂ，Ｃ，故选Ｄ.３. 特殊问题特殊化：对具体的问题，给出另一种解释，其目的是为了使问题中的对象进入某一领域，以便利用此领域的知识及方法来解决给定的问题.esp3: 求函数的最大值与最小值.一般解法：∵对一切x∈R，２－sinx≠0都成立，∴函数的定义域为Ｒ.由∵函数的定义域为Ｒ，∴函数的最大值与最小值分别为：，-；特殊解法：把函数值看成由点Ａ（２，０）和点Ｐ（sinx，-cosx）构成直线的斜率（如图），由图易求函数的最大值与最小值分别为，－.4.取特殊数值：esp4：（2008重庆卷,理6）若定义在上的函数满足：对任意有,则下列说法一定正确的是（）(A) 为奇函数（B）为偶函数(C)为奇函数（D）为偶函数分析：判断函数的奇偶性需要用定义，即找与之间的关系，由于所以需要先求出的值，这时需要取特殊值解答。

数学解题中怎样运用特殊与一般数学解题中，特殊与一般是非常重要的概念。

特殊是指特定的条件或特定的情况，而一般是指普遍的情况或一般的规律。

在解决数学问题时，我们需要运用特殊与一般的方法，从而能更好的理解和解决问题。

一般解法最常适用于各种数学问题，因为大多数数学问题都可以被推广和简化为一个更一般的情况或规律。

一般解法可以让我们快速地找到规律并进行推广，并且可以避免过多的计算和推导。

一般解法可以让我们更好地理解数学问题的本质，找到通用的模式和规律。

不过，在有些情况下，一般解法并不是最好的解决方式。

特殊解法是一种特别的方法，用于解决一些具有特定条件或情况的问题。

特殊解法可以让我们更好地处理一些问题，并发现特殊情况下的特殊规律。

通过使用特殊解法，我们可以更好地理解数学的应用和实际问题，以及更好地理解特殊情况下的特殊规律。

下面是一些例子，展示如何运用特殊与一般的方法：一、平面几何中的特殊和一般情况在平面几何中，我们经常需要在特定的图形中寻找一般规律。

例如，在矩形中找到对角线长度的一般公式，我们可以利用特殊情况下的信息来得出：特殊情况：如果矩形变成一个正方形，那么对角线的长度可以用边长开方的形式表示。

一般情况：如果矩形不是正方形，那么它可以分解成若干个正方形。

在这种情况下，我们可以利用基本定理，即两个相似三角形的相应边比例相等，从而推导出一般公式：对角线长度等于矩形两边长的平方和的开方。

二、整数方程的特殊和一般情况在解决整数方程时，我们通常会使用数学归纳法来证明一般情况。

但是，在有些情况下，我们需要找到特殊情况下的解决方法。

例如，考虑以下整数方程：x^2+y^2=z^2我们可以将特殊情况下的解决方法推广到一般情况下。

特殊情况下，如果x和y是奇数，那么z是偶数。

在这种情况下，我们可以将x和y看作(2a+1)和(2b+1)，然后使用特殊情况下的方法得出：z^2=(2a+1)^2+(2b+1)^2=2a(a+1)+2b(b+1)+2a+2b+2=2(a+b)(a+b+1)+2因此，z是偶数。