人教版九年级数学下册竞赛专题26 分而治之.doc

第2课时反比例函数的图象和性质的综合运用工欲善其事，必先利其器。

《论语·卫灵公》翰皓学校陈阵语1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；(重点)2．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法；(重点)3．探索反比例函数和一次函数、几何图形以及图形面积的综合应用．(难点)一、情境导入如图所示，对于反比例函数y＝kx(k>0)，在其图象上任取一点P，过P点作PQ⊥x轴于Q点，并连接OP.试着猜想△OPQ的面积与反比例函数的关系，并探讨反比例函数y＝kx(k≠0)中k值的几何意义．二、合作探究探究点一：反比例函数解析式中k 的几何意义如图所示，点A 在反比例函数y ＝k x的图象上，AC 垂直x 轴于点C ，且△AOC 的面积为2，求该反比例函数的表达式．解析：先设点A 的坐标，然后用点A 的坐标表示△AOC 的面积，进而求出k 的值．解：∵点A 在反比例函数y ＝k x的图象上，∴xA ·yA ＝k ，∴S △AOC ＝12·k ＝2，∴k ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x. 方法总结：过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k |的一半．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：反比例函数的图象和性质的综合运用【类型一】 利用反比例函数的性质比较大小若M (－4，y 1)、N (－2，y 2)、P (2，y 3)三点都在函数y ＝k x(k ＜0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y D．y3＞y2＞y1解析：∵k＜0，故反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大．∵M(－4，y1)、N(－2，y2)是双曲线y＝kx(k＜0)上的两点，∴y2>y1>0.∵2＞0，P(2，y3)在第四象限，∴y3＜0.故y1，y2，y3的大小关系为y2＞y1＞y3.故选B.方法总结：反比例函数的解析式是y＝kx(k≠0)，当k＜0时，图象在第二、四象限，且在每个现象内y随x的增大而增大；当k＞0，图象在第一、三象限且在每个象限内y随x的增大而减小．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】利用反比例函数计算图形的面积如图，直线l和双曲线y＝kx(k＞0)交于A、B两点，P 是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面是S1，△BOD的面积是S2，△POE的面积是S3，则( )A．S1＜S2＜S3B．S1＞S2＞S3 C．S1＝S2＞S3 D．S1＝S2＜S3解析：如图，∵点A与点B在双曲线y＝kx上，∴S1＝12k，S2＝12k，S1＝S2.∵点P在双曲的上方，∴S3＞错误!未定义书签。

126．1．2．2 反比例函数的图像和性质( 2 )k ，此图像位于 象限，在每一个象限内 y 随 x 的减小而 ．(2) 在△ABC 的三个顶点 A ( 2，－3 ) ，B( －4，－5 ) ，C( －3 ，2 ) 中，可能在反比例函数 y ＝ ( k ＞0 ) 的图 像上的点是 ．(1) 已知反比例函数 y ＝ ，当k 时，其图像在第一、三象限内；当k 时，在第二象限内的函数值 y 随 x 的增大而增大．(2) 反比例函数 y ＝的图像每一象限内，y 随 x 的增大而增大，则 n ＝ ．(3) 两个反比例函数 y ＝ 和 y ＝ 在第一象限内的图像如图 26．1．2⁃31 所示， x x 点 P 在 y ＝ 的图像上，PC⊥x 轴于点 C ，交 y ＝ 的图像于点A ，PD⊥y 轴于点 D ， 交 y ＝ 的图像于点 B ，当点P 在 y ＝ 的图像上运动时，有以下结论：①△ODB 与 △OCA 的面积相等；②四边形 PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与 PB 始终相等； ④当点A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点．其中一定正确的是 ． ( 把你认为正确结论的序号都填上)(4) 已知点 P( －1 ，n) 在双曲线 y ＝上．图 26．1．2⁃31 ①若点 P( －1 ，n) 在直线 y ＝ －3x 上，求 m 的值．②若点 P( －1 ，n) 在第三象限，点 A ( x 1 ，y 1 ) ，B ( x 2 ，y 2 ) 在双曲线 y ＝ 上，且 | x 1 －x 2 －1 | ＋ ( x 1 －n) 2 ＝0，试比较 y 1 ，y 2 的大小．基础训练(1) 若点A(1 ，y 1 ) 、B(2，y 2 ) 都在反比例函数 y ＝ 的图像上，则 y 1 、y 2 的大小关系为( )． A. y 1 ≤y 2 B. y 1 ≥y 2 C. y 1 ＜y 2 D. y 1 ＞y 2 (2) 关于函数 y ＝ － 的图像，下列说法错误的是( )． A. 经过点( 1 ，－1 )B. 在第二象限内，y 随 x 的增大而增大C. 是轴对称图形，且对称轴是 y 轴D. 是中心对称图形，且对称中心是坐标原点(3) 若一个正比例函数的图像与一个反比例函数图像的一个交点坐标是( 2，3 ) ，则另一个交点的坐标 是 ( )．A. ( 2，3 )B. ( 3 ，2 )C. ( －2，3 )D. ( －2，－3 )k (1) 若函数 y ＝ 的图像经过( 3 ，－4 ) ，则 k ＝ xk 1(4) 如图26．1．2 ⁃32 所示，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数y ＝的图像过点A，则k 的值是( )．A. 2B. －2C.4D. －4图26．1．2⁃32(5) 两位同学在描述同一反比例函数的图像时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向x 轴、y 轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2014．”乙同学说：“这个反比例函数图像与直线y＝－x 有两个交点．”你认为这两位同学所描述的反比例函数的解析式是．拓展提高(1) 如图26．1．2 33 所示⁃，A 是反比例函数图像上一点，过点A 作AB⊥y 轴于点B，点P 在x 轴上，△A BP 的面积为2，求这个反比例函数的解析式．图26．1．2⁃33(2) 反比例函数y＝的图像的一支在第一象限，A ( －1 ，a) 、B( －3 ，b ) 均在这个函数的图像上．①图像的另一支位于什么象限？常数n 的取值范围是什么？②试比较a、b 的大小．③作AC⊥x 轴于点C，若△AOC 的面积为5，求这个反比例函数的解析式．发散思维在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫作和谐点．例如，图26．1．2 ⁃34 中过点P 分別作x 轴，y 轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是和谐点．①判断点M(3 ，6) 是否为和谐点，并说明理由．②若和谐点P( a，3) ( a ＞0) 在双曲线y＝( k 为常数) 上，求a，k 的值．图26．1．2⁃342。

26．1 反比例函数满招损，谦受益。

《尚书》怀辰学校陈海峰组长26．1.1 反比例函数(第1课时)教学目标一、基本目标【知识与技能】1．理解并掌握反比例函数的定义，能判断一个给定的函数是否为反比例函数．2．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想．【过程与方法】1．用类比的思想方法，从实际问题中抽象出反比例函数的概念，发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力．2．经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体会建立函数模型的思想．【情感态度与价值观】通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体验数学来源于生活，又应用于生活，提高学生应用数学的意识．二、重难点目标【教学重点】1．理解并掌握反比例函数的定义．2．能根据已知条件确定反比例函数的解析式．【教学难点】根据已知条件，求反比例函数的解析式．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如果两个变量x、y满足xy＝k(k为常数，k≠0)，那么x、y就成为反比例关系．例如，速度v、时间t与路程s之间满足vt＝s，如果路程s一定，那么速度v与时间t就成反比例关系．2．一般地，在某一变化过程有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，我们就称y是x的函数.其中，x是自变量，y是因变量．3．形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是因变量.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．4．y＝kx，y＝kx－1，xy＝k是反比例函数的三种表现形式．其中k是常数，k≠0.5．下列函数中，反比例函数有哪些？每一个反比例函数相应的k值是多少？①y＝2x＋1；②y＝2x2；③y＝15x；④y＝－23x；⑤xy＝3；⑥2y＝x；⑦xy＝－1.解：反比例函数有③④⑤⑦.③y＝15x 中k＝15；④y＝－23x中k＝－23；⑤xy＝3中k＝3；⑦xy＝－1中＝－1.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知y是x的反比例函数，当x＝2时，y＝6.(1)写出y与x的函数关系式；(2)求当x＝4时y的值．【互动探索】(引发学生思考)因为y是x的反比例函数，所以设y＝kx，再把x＝2时，y＝6代入上式就可求出常数k的值．【解答】(1)设y＝kx，因为当x＝2时y＝6，则有6＝k2，解得k＝12.∴y＝12 x.(2)把x＝4代入y＝，得y＝124＝3.【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，形如y＝kx(k为常数，k≠0)；②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式．【例2】已知函数y ＝(2m 2＋m －1)x 2m 23m －3是反比例函数，求m 的值．【互动探索】(引发学生思考)在反比例函数y ＝kx －1中的隐含条件是x 的次数为－1k ≠0.【解答】∵y ＝(2m 2＋m －1)x 2m 2＋3m －3是反比例函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋3m －3＝－1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝－2.【互动总结】(学生总结，老师点评)反比例函数也可以写y ＝kx －1(k ≠0的形式，注意x 的次数为－1，系数不等于0.活动2 巩固练习(学生独学)1．反比例函数y ＝(m ＋1)x －1中m 的取值范围是( B ) A ．m ≠1 B ．m ≠－1 C ．m ≠±1D ．全体实数2．当m ＝6时，y ＝3xm －7是反比例函数．3．某蓄水池的排水管每小时排水8 m3,6 h 可将满池水全部排空．(1)蓄水池的容积为48 m3;(2)若每小时排用Q (m3)表示，则排水时间t (h)与Q (m3)的函数解析式为t ＝48Q.4．已知y 与3x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝23.(1)写出y 与x 的函数解析式；(2)当x ＝13时，求y 的值；(3)当y ＝12时，求x 的值．解：(1)y ＝23x . (2)y ＝2. (3) x ＝43.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知y ＝y 1＋y 2，y 1与(x －1)成正比例，y 2与(x ＋1)成反比例，当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，y ＝－1.求：(1)y 关于x 的关系式； (2)当x ＝－12时，y 的值．【互动探索】根据正比例函数和反比例函数的定义设出y 1、y 2的关系式，进而得到y 的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式．【解答】 (1)∵y 1与(x －1)成正比例，y 2与(x ＋1)成反比例，∴设y 1＝k 1(x －1)(k 1≠0)，y 2＝k 2x ＋1(k 2≠0)．∵y ＝y 1＋y 2，∴y ＝k 1(x －1)＋k 2x ＋1.∵当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＝－k 1＋k 2，－1＝12k 2，解得k 1＝1，k 2＝－2，∴y ＝x －1－2x ＋1.(2)把x ＝－12代入(1)中函数关系式，得y ＝－112.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据题意设出y 1、y 2的函数关系式并用待定系数法求得函数关系式是解答此题的关键．注意不同的函数关系要用不同的待定系数，如本题y 1的待定系数用k 1, y 2的待定系数用k 2.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 反比例函数⎩⎪⎨⎪⎧定义三种常见形式：y ＝k x 、xy ＝k 、y ＝k －1其中k 为常数，k ≠0求解析式的方法：待定系数法练习设计请完成本课时对应练习！26．1.2 反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数的图象和性质 教学目标 一、基本目标 【知识与技能】1．用描点法画出反比例函数y ＝kx 的图象．2．根据图象理解和掌握反比例函数y ＝kx的性质．【过程与方法】1．经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程，获得研究函数性质的经验．2．通过函数图象探究函数性质，进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质的方法．3．经历知识的形成过程，了解从特殊到一般的认识过程，培养学生观察、探究、归纳及动手能力．【情感态度与价值观】1．经历画图、观察、猜想、思考、交流等活动，获得研究问题和合作交流的方法与经验，体验数学活动中的探索性和创造性．2．在学习过程中，感受数学美，发现学习数学的乐趣．二、重难点目标【教学重点】用描点法画反比例函数的图象，探索反比例函数的图象特点和性质．【教学难点】运用反比例函数的图象和性质解决问题．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P4～P6的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．用“描点法”画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.2．反比例函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)中，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．3．反比例函数图象是双曲线.4．在反比例函数y ＝kx(k ≠0，k 为常数)中，(1)当k >0时，双曲线位于第一、三象限，在每一个象限内y 随x 的增大而减小；(2)当k <0时，双曲线位于第二、四象限，在每一个象限内y 随x 的增大而增大.5．反比例函数y ＝－5x的图象大致是( D )6．已知反比例函数y ＝4－kx.(1)若函数的图象位于第一、三象限，则k ＜4； (2)若在每一象限内，y 随x 增大而增大，则k ＞4. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】画出反比例函数y ＝6x 和y ＝12x的图象．【互动探索】(引发学生思考)描点法：列表→描点→连线 【解答】列表表示几组x 与y 的对应值：x…－6－4－3－2－11 234 6…y＝6x…－1－1.5－2－3－66321.51…y＝12x…－2－3－4－6－12126432…描点连线：以表中各对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连结这些点，就得到函数y＝6x和y＝12x的图象．【互动总结】(学生总结，老师点评)作反比例函数图象时要注意：(1)列表时：自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样既可简化计算，又便于对称描点；(2)列表描点时：要尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线，又可以准确地表达函数变化趋势；(3)连线时：一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连结，从中体会函数的增减性．【例2】若点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都是反比例函数y＝－1x图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，判断y1、y2、y3的大小关系．【互动探索】(引发学生思考)要根据函数值的大小判断自变量的大小，需考虑函数的增减性．先画出函数图象，再描出已知点位置，最后判断y1、y2、y3的大小关系．【解答】∵反比例函数y＝－1x中k＝－1＜0，∴此函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，如图．∵x1＜0＜x2＜x3，∴点(x1，y1)在第四象限，(x2，y2)、(x3，y3)两点均在第二象限，∴y2＜y3＜y1.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用反比例函数的性质比较函数值或自变量的大小的方法：(1)看k的符号，明确函数的增减情况；(2)看两点是否在同一个象限内；若不在同一个象限内，借助图象即可判断函数值或自变量的大小，若在同一个象限内，则比较两个横(纵)坐标的大小，根据函数的增减情况，得出函数值(自变量)的大小．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列四个点中，在反比例函数y＝－6x的图象上的是( A )A．(3，－2) B．(3,2)C ．(2,3)D ．(－2，－3)2．设x 为一切实数，在下列函数中，当x 减小时，y 的值总是增大的函数是( C )A ．y ＝－5x －1B ．y ＝x2C ．y ＝－2x ＋2D ．y ＝4x3．对于反比例函数y ＝3x，下列说法正确的是( D )A ．图象经过点(1，－3)B ．图象在第二、四象限C ．x >0时，y 随x 的增大而增大D ．x <0时，y 随x 的增大而减小4．若反比例函数y ＝kx(k <0)的图象过点P (2，m )，Q (1，n )，则m 与n 的大小关系是：m >n .活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】若ab <0，则正比例函数y ＝ax 和反比例函数y ＝bx在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的( )【互动探索】∵ab <0，∴a 、b 异号，分两种情况：(1)当a >0，b <0时，正比例函数y ＝ax 的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限内，无此选项；(2)当a <0，b >0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限内，选项C符合．【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)这类题既可以用分析法，也可以用排除法．用分析法时，根据题干逐一分析，得出不同条件下的结果，再与选项对比得出答案．用排除法时，每个选项逐一分析，看是否满足题干条件．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．反比例函数的图象：双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形．2．反比例函数的性质：(1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；(2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．练习设计请完成本课时对应练习！第3课时反比例函数图象与性质的综合应用教学目标一、基本目标【知识与技能】1．进一步理解和掌握反比例函数的图象与性质，并能用待定系数法求反比例函数解析式．2．理解并掌握反比例函数y＝kx(k≠0)中比例系数k的几何意义．3．运用反比例函数的图象和性质解决与其他函数或几何知识综合的问题．【过程与方法】1．通过探究反比例函数性质的应用，感受反比例函数解析式与图象之间的联系，体会数形结合思想的魅力．2．经历观察、思考、分析、交流等学习过程，提高学生数学学习能力及合作精神，逐步提高学生分析问题、解决问题的能力．【情感态度与价值观】通过解决反比例函数与一次函数、二次函数有关的综合题，增强学生的自信心，培养学生学习的兴趣，提高学生综合运用知识解决问题的能力．二、重难点目标【教学重点】灵活运用反比例函数图象与性质解决综合问题．【教学难点】比例系数k的几何意义．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P7～P8的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．填表分析正比例函数和反比例函数的区别.函数正比例函数反比例函数解析式y＝kx(k≠0)y＝kx(k≠0)图象形状直线双曲线k >0位置第一、三象限第一、三象限增减性y随x的增大而增大每个象限内，y随x的增大而减小k <0位置第二、四象限第二、四象限增减性y随x的增大而减小每个象限内，y随x的增大而增大2.反比例函数y＝x的图象经过点(2,5)，若点(1，n)在反比例函数图象上，则n等于( A )A．10 B．5C．2 D．－63．下列各点在反比例函数y＝－2x的图象上的是( B )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－43，－32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－43，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34，43 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34，83 4．反比例函数y ＝kx的图象经过(2，－1)，则k 的值为－2.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知反比例函数的图象经过点A (2,6)． (1)这个函数的图象分布在哪些象限？y 随x 的增大如何变化？(2)点B (3,4)、C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－212，－445和D (2,5)是否在这个函数的图象上？【互动探索】(引发学生思考)(1)求出反比例函数的解析式，再判断该函数的性质；(2)若点满足所求函数的解析式，则点在这个函数的图象上，否则不在这个函数的图象上．【解答】(1)解法1：见教材P7例3.解法2：设这个反比例函数为y ＝k x，∵图象过点A (2,6)，∴6＝k2，解得k ＝12.∴这个反比例函数的表达式为y ＝12x.∵k >0，∴这个函数的图象在第一、三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小．(2)把点B 、C 、D 的坐标代入y ＝12x，可知点B 、C 的坐标满足函数关系式，点D 的坐标不满足函数关系式，故点B 、C 在函数y ＝12x的图象上，点D 不在这个函数的图象上．【互动总结】(学生总结，老师点评)求反比例函数的解析式一般用待定系数法．【例2】如图是反比例函数y ＝m －5x的图象的一支，根据图象回答下列问题：(1)图象的另一支在哪个象限？常数m 的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，如果x 1>x 2，那么y 1和y 2有怎样的大小关系？【互动探索】(引发学生思考)(1)反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限，或者在第二、四象限．(2)根据反比例函数的性质解答．【解答】(1)∵这个函数的图象的一支在第一象限， ∴另一支必在第三象限． ∵函数的图象在第一、三象限， ∴m －5＞0，解得m ＞5.(2)解法1(性质法)：详细解答参考教材P7～P8例4. 解法2(图象法或数形结合法)：∵函数的图象在第一、三象限，如图，在图中描出符合条件的两个点，∴由图象易知y1<y2.【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决问题(2)时，用数形结合法能更快速准确地求出结果．活动2 巩固练习(学生独学)1．正比例函数y＝6x的图象与反比例函数y＝6x的图象的交点位于( D )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第一、三象限2．若反比例函数y＝kx的图象经过点A(－1，－2)，则当x>1时，函数值y的取值范围是( D )A．y>1 B．0<y<1C．y>2 D．0<y<23．如图所示，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y＝3x(x>0)上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会( C )A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小4．如图所示，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝kx(x>0)的图象上，OA＝1，OC＝6，则正方形ADEF的边长为2.5．如图所示，已知反比例函数y＝mx的图象与一次函数y＝ax ＋b的图象相交于点A(1,4)和点B(n，－2)．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．解：(1)把点A(1,4)代入y＝mx，得m＝1×4＝4，∴反比例函数解析式为y＝4x.把点B(n，－2)代入y＝4x，得－2n＝4，∴n＝－2，∴点B坐标为(－2，－2)．把(1,4)，(－2，－2)代入y＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，－2a ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，∴所求一次函数解析式为y ＝2x ＋2. (2)x <－2或0<x <1.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图所示，点A 在反比例函数y ＝kx的图象上，AC 垂直x 轴于点C ，且△AOC 的面积为2，求该反比例函数的表达式．【互动探索】反比例函数的比例系数与三角形的面积有什么关系？【解答】∵点A 在反比例函数y ＝kx的图象上，∴xA ·yA ＝k ，∴S △AOC ＝12·k ＝2，∴k ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x.【互动总结】(学生总结，老师点评)过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k |2.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．反比例函数中系数k的几何意义；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．反比例函数与一次函数的交点问题．练习设计请完成本课时对应练习！【素材积累】岳飞应募参军，因战功累累不断升职，宋高宗亲手写了“精忠岳飞”四个字，制成旗后赐给他。

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】专题26 分而治之——分类讨论阅读与思考在解决某些数学问题的时候，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类讨论，才能得出正确的解答，这种解题方法称为分类讨论法．运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类．正确分类的标准是：对所讨论的全体分类要“既不重复，又不遗漏”；在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；对于多级讨论，应逐级进行．初中数学分类讨论问题的常见形式有：1．一些定义、定理、公式和法则有范围或条件的限制，在使用过程中必须讨论；2．题设条件中含有变量或参数时，必须根据变量或参数的不同取值进行讨论；3．一些问题的图形位置或形状不确定时，只有通过讨论，才能保证结论的完整性；4．一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时，只有通过讨论，才能保证解答的严密性；5．对于自然数问题，有时须按剩余类分类讨论．例题与求解【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是．（北京市宣武区中考试题）解题思路：圆与斜边只有一个公共点，则圆与斜边相切或圆与斜边相交．【例2】解方程：｜x－2｜+｜x+3｜=x+10．解题思路：解绝对值方程的关键是去方程左边的绝对值符号，这就要对x的取值范围进行分类讨论．需分下列三种情况：①x≤－3；②－3＜x≤2；③x＞2．【例3】若关于x的方程(6－k)(9－k)x2－(117－15k)x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有___________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k的值才能全面而准确．【例4】如图，已知△ABC 中，AB =5，BC =3，AC =4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上（与点A ，C 不重合），Q 在BC 上．(1)当△PQC 的面积与四边形P ABQ 的面积相等时，求CP 的长； (2)当△PQC 的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长；(3)试问：在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ 的长． （福州市中考试题）解题思路：对于(3)，使△PQM 为等腰直角三角形有两种情况：一是以PQ 为直角边，二是以PQ 为斜边．【例5】证明：每个大于6的自然数n 都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．（全国初中数学联赛试题）解题思路：由于自然数可分为奇数、偶数两大类，因此，很容易考虑到按奇数、偶数分类讨论．【例6】设a 和b 是相异实数，证明：存在整数m 和n ，使得0>+bn am ，0<+an bm ． （加拿大中学生竞赛试题）解题思路：a ，b 为相异实数，则必有a －b >0或a －b <0两种情况．能力训练1．已知a +b =－8，ab =8，化简b abaa b= ． （内江市中考试题） 2．已知实数a ，b 满足以a 2－7a +2=0，a 2－7b +2=0，则b aa b+的值为 ． （淮阴市中考试题）3．在△ABC 中过A 作△ABC 的高，垂足为D ．若∠BAD =55°，∠CAD =25°，则∠BAC = ． 4．在平面直角坐标系内，已知点A (2，2)，B （2，－3），点P 在y 轴上，且△APB 为直角三角形，5．平面上A，B两点到直线l的距离分别是2－3与2+3，则线段中点C到直线l的距离是．6．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆圆周上的一点，且OC2=AC·BC，则∠CAB= ．（全国初中数学联赛试题）7．如图，在两直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6，AD=2．当AB= 时，这两个直角三角形相似．AB E第7题图第10题图第11题图8．已知方程m2x2－(2m－3)x+1=0的两个实数根的倒数和是S，则S的取值范围是．（天津市中考试题）9．关于x的方程x2+4mx+ 4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)x+m2=0中，至少有一个方程有实数根，则m 的取值范围是( )A．－32＜m＜－14B．m≤－32或m≥－14C．－14＜m＜21D．m≤－32或m≥21（四川省选拔赛试题）10．如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两个点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中4个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形，图中以A，B为顶点，面积为2的阵点平行四边形的个数为( )A．3个B．6个C．7个D．9个（武汉市四月调考试题）11．如图，矩形ABCD中，AB=7，AD=3，BE=2EC，若F是AB上的点，使以F，A，D为顶点的三角形和以F，B，E为顶点的三角形相似，则这样的点F有( ) （绍兴市竞赛试题）A．1个B．2个C．3个D．4个12．下面是某同学在一次测验中解答的填空题：①若x2=a2，则x=a．②方程2x(x－1)=x－1的解为x=0．③若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边长为 5 ．其中答题完全正确的题目个数为( )A．0个B．1个C．2个D．3个（重庆市中考试题）13．在半径为5cm 的圆内有长为53 cm 的弦，则此弦所对的圆周角为( )A ．60°或120°B ．30°或120°C ．60°D ．120°14．如图，在直角梯形ABCD 中，AB =7，AD =2，BC =3．如果边AB 上的点P 使得以P ，A ，D 为顶点的三角形和以P ，B ，C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个O B ADBCAD第14题图 第15题图15．如图，菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程x 2+(2m －1)x +m 2+3=0的根，则m 的值为 ( ) A ．－3 B ．5或－3 C ．5 D ．－5或3（吉林省中考试题） 16．已知：关于x 的函数()()4112322+++++=x a x a a y 的图象与x 轴总有交点，求a 的取值范围．（十堰市中考试题）17．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，反比例函数xky =（x >0，k ≠0）的图象经过线段BC 的中点D ． (1) 求k 的值； (2) 若点P (x ，y )在该反比例函数的图象上运动（不与点D 重合），过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形COPR 的面积为S ，求S 关于x 的解析式并写出x 的取值范围．y xDOB CA18．已知△ABC 中，BC =6 cm ，CA =8 cm ，∠C =90°，动点P 从点C 出发，以每秒1 cm 的速度沿CA ，AB 运动到B 点．(1)设P 从C 开始运动的距离为x cm ，△BCP 的面积为y cm 2，把y 表示成x 的函数；(2)从C 出发几秒时，S △BCP =14S △ABC ? （荆州市中考试题）19．如图，已知⊙O 1与⊙O 2外切于点O ，以直线O 1O 2为x 轴，点O 为坐标原点建立直角坐标系，直线AB 切⊙O 1于点B ，切⊙O 2于点A ，交y 轴于点C (0，2)，交x 轴于点M ；BO 的延长线交⊙O 2于点D ，且OB ：OD =1：3．(1) 求⊙O 2的半径长； (2) 求直线AB 的解析式；(3) 在直线AB 上是否存在点P ，使△MO 2P 与△MOB 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．（吉林省中考试题）yxCMAOO 1O 2BD20．已知抛物线l 1：y =ax 2－2amx +am 2+2m +1(a >0，m >0)的顶点为A ，抛物线l 2的顶点B 在y 轴上，且抛物线l 1和抛物线l 2关于点P (1，3)成中心对称．(1) 当a =1时，求l 2的解析式和m 的值；(2) 设l 2与x 轴正半轴的交点是C ，当△ABC 为等腰三角形时，求a 的值．（浙江省竞赛试题）21．已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数，”试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论．（全国初中数学联赛试题）22．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c都是平方数（即整数的平方），证明：(1) 2a，2b都是整数；(2) a，b，c都是整数，并且c是平方数．反过来，如果(2)成立，是否对一切x的整数值，ax2+bx+c的值都是平方数？（全国初中数学竞赛试题）23．2 007个质点均匀分布在半径为R的圆周上，依次记为P1，P2，P3，…，P2007．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i个质点，则下次就涂第i个质点后面的第i个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂色方案；若不能，请说明理由，、（浙江省竞赛试题）24．甲、乙、丙三支乒乓球队，人数都不相同，每队不少于2人，甲队最少，丙队最多．同一球队的队员互相不比赛，不同球队的队员之间都要比赛一场．统计员作了记录：参加比赛的共有13人，进行的比赛共有54场．求甲、乙、丙三支球队的队员数，并说明理由．（江苏省竞赛试题）中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

专题26 分而治之——分类讨论例1 R ＝2.4cm 或3cm ＜R ≤4cm例2 分三种情况讨论：①当x ≤－3时，方程为－2x －1＝x ＋10解得113x =-，符合x ≤－3，故113x =-是一解；②当－3＜x ≤2时，方程为5＝x ＋10解得x ＝－5，不符合－3＜x ≤2，故舍去；③当x ＞2时，方程为2x ＋1＝x ＋10解得x ＝9，符合x ＞2，故x ＝9也是一解．综合①②③可得原方程的解为113x =-或x ＝9． 例3 当k ＝6时，得x ＝2；当k ＝9时，得x ＝－3；当k ≠6且k ≠9时，解得196x k =-，269x k=-； 当6－k ＝±1，±3，±9时，x 1是整数，这时k ＝7，5，3，－3，15；当9－k ＝±1，±2，±3，±6时，x 2是整数，这时k ＝10，8，11，7，12，15，3．综上所述，k ＝3，6，7，9，15时，原方程的解是整数．例4 （1）22CP = （2）247CP =； （3）①如图1所示，设PM ⊥PQ 且PM ＝PQ ，点M 在AB 上，令PQ ＝x ，∵△CPQ ∽△CAB ，∴ 1251255x x -=，解得6037x =．②如图2所示，当∠PMQ ＝90°，且PM ＝MQ ，点M 在AB 上，令PQ ＝y ， ∵△CPQ ∽△CAB ，∴ 121521255y y -=，解得12049y =． 例5 ①若n 为奇数，设n ＝2k ＋1，k 为大于2的整数，则可写成n ＝k ＋(k ＋1)，显然符合要求．②若n 为偶数，则可设n ＝4k ，或n ＝4k ＋2，k 为大于1的自然数．当n ＝4k 时，n ＝(2k －1)＋(2k ＋1)，且易知2k －1与2k ＋1互质，假如它们有公因子d ≥2，则d ＝2，但2k －1，2k ＋1均为奇数，此为不可能；当n ＝4k ＋2时，n ＝(2k －1)＋(2k ＋3)，且易知2k －1与2k ＋3互质，事实上假如它们有公因子d ≥2，设2k －1＝nd ，2k ＋3＝md ，m ，n 均为自然数，则有(m －n )d ＝4，可见d ＝4，矛盾．例6 当a －b ＞0时，取m ＝1，n ＝－1，则am ＋bn ＝a －b ＞0成立，bm ＋an ＝b －a ＜0成立，验证知满足所给不等式．当a－b＜0时，取m＝－1，n＝1，则am＋bn＝－a＋b＞0成立，bm＋an＝－b＋a＜0成立，也验证知满足所给不等式．能力训练 1. - 2. 2或22.5 3. 80°或30°提示：分高AD在△ABC 内部或外部两种情况． 4. 4个提示：先在坐标平面内描出A，B两点，连接AB，因题设中未指明△PAB的哪个角是直角，故应分别就∠A，∠B，∠P是直角来讨论．设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程．若∠A＝90°，则P1(0，2)；若∠B＝90°，则P2(0，－3)；若∠P＝90°，则PA2＋PB2＝AB2，而PA2＝(2－x)2＋22，PB2＝(x＋3)2＋22，AB2＝(2＋3)2，∴(2－x)2＋22＋(x＋3)2＋22＝52，∴x＝1或x＝－2，即P3(0，1) 或(0，－2) ．5. 2提示：分A,B位于l同侧或异侧两种情况讨论．6. 75°或15°提示：运用圆的对称性．7. 3或．8. S≤－32且S≠－3提示：S＝2m－3，∆≥0，m≤34且m≠0．9. B．10. D．提示：以A,B为顶点的平行四边形可以分为两类：①以AB为边的，且面积为2的平行四边形共6个；②以AB为对角线，且面积为2的平行四边形共3个.故满足条件的阵点平行四边形的个数为9个. 11. C 12.A 13.A 14.C提示：分△PAD∽△PBC及△PAD∽△CBP两种情况讨论.15.A 16.提示：当函数是一次函数，即a2+3a+2=0且a+1≠0时，图像与x轴有交点；当a2+3a+2≠0且∆≥0时，图像与x轴有交点，综上知a的取值范围为a<-1. 17.(1)在正方形OABC中，CB=OC=OA=AB=2，又点D是BC的中点，∴CD=1，即D（1,2）.而点D（1,2）在y=kx 上，∴2=k1.∴k=2.（2）（і）当0<x<1时，如图1，过点P作PE⊥x轴交CB于点Q，交x轴于点E，过点P作PR⊥y轴于点R.∵点P坐标为（x，y），且由（1）题知，点P在函数y=2x (x>0)的图像上.∵PR=OE=x，PE=RO=y=2x.∴PQ=PE-EQ=2−2x.∵S=PR∙PQ=x(2−2x)=2x−2.综上，当0<x<1时，S=2-2x；当x>1时，S=2x-2. 18. 提示：（1）当P在CA边上时，x=2，即从点C出发2秒时，△BCP=14△ABC；当点P运动在AB边上时，x=15.5，即从点C出发15.5秒时，△BCP=14△ABC. 19.（1）2√3（2）M（−2√3，0），直线AB解析式为y=√33x+2. （3）△MOB是等腰三角形，且顶角∠MBO=120°.假设满足条件的点P存在，只需∠MO2P=120°，得P点坐标为（4√3，6）. 20.（1）当a=1时，y=(x−m)2+2m+1.∵顶点A的坐标为（m，2m+1）.∵P点坐标为（1,3），折直线AB的解析式是y=kx+b ，把点A ，P 的坐标代入，得{2m +1=km +b①3=k +b②①-②得2m -3=(m -1)k.∵m ≠1(若m=1，则A ，B ，P 三点重合，不合题意)，∴k=2，b=1.∴直线AB 的解析式是y=2x+1，得l 2的顶点B 的坐标为（0,1）.∵l 2与l 1关于点P 成中心对称，∴抛物线的开口大小相同，方向相反，得l 2的解析式是y =−x 2+1.∵点A ，B 关于点P （1,3）成中心对称，如图1所示，作PE ⊥y 轴于点E ，作AF ⊥y 轴于点F ，则△BPE ∽△BAF ，∴AF=2PE ，即m=2. （2）在Rt △ABF 中，∵AB=√22+42=2√5<5，∴当△ABC 为等腰三角形时，只有以下两种情况：①如图2所示，若BC=AB=2√5，则OC=√BC 2−OB 2=√19，得C 点坐标为（√19，0）.∵C （√19，0）在y =−ax 2+1，∴a=119.②如图3所示，若AC=BC ，设点C 坐标为（x ，0），作AD ⊥x 轴于点D.在Rt △OBC 中，BC 2=x 2+1.在Rt △ADC 中，AC 2=(x −2)2+25，由x 2+1=(x −2)2+25，得x=7，得点C 的坐标为（7,0），∵C （7,0）在y =−ax 2+1上，∴a=149.综上，满足使△ABC 是等腰三角形的a 值有两个：a 1=119，a 2=149.21.a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b)，∴a+b+c 是3的倍数.设a ，b 被3除后的余数分别为r a 和r b ，则r a ≠0，r b ≠0，则r a =1，r b =2或者r a =2，r b =1.此时2a+5b 必为3的倍数，即c 为合数，矛盾.故r a =r b ，则r a =r b =1，或者r a =r b =2，此时a+2b 必为3的倍数，从而a+b+C 是9的倍数.∵2×11+5×5=47中，11+5+47=63,2×13+5×7=61中，13+7+61=81（63,81）=9,因此，9是n 的最大可能值. 22.（1）令x=0，得c=平方数；令x=±1，得a+b+c=m 2, a-b+c=n 2,其中m ，n 都是整数，∴2a=m 2+n 2−2c ,2b=m 2−n 2都是整数.(2)令x=±2，得4a+2b+c=2, 4a-2b+c=k 2,其中h ，k 为整数，两式相减得4b=m 2−k 2=(m +k )(m −k ).由于4b=2（2b ）是偶数，所以h ，k 的奇偶性相同，(+k )(−k )能被4整数，因此b 是整数，a =m 2−c −b 也是整数.在（2）成立时，a 2x +bx +c 不一定对x 的整数值都是平方数，例如：a=2,b=2,c=4,x=1时，a 2x +bx +c =8不是平方数. 23.不能.理由设继P 点涂成红色后被涂到的点是第j 号，则j={2i,2i ≤20072i −2007,2i >2007,若i=2007，则j=2007，即除P 2007点涂成红色外，其余均没有涂到；若i ≠2007,则2i ≠2007×2即2≠i 4014，故2≠-2007i 2 007.又i 2 为偶数，则2≠i 2 007,表示≠j =2 007，即表明2007P 点永远涂不到红色.24设甲队有x 人，乙队有y 人，丙队有z 人，根据题意，有x +y +z =13, x <y <z .注意到4十5十6=15>13，故甲队人数少于4人，即甲队只有2人或3人.于是，这三队的人数情况只能是如下四种情形:①x=2, y=3 , z=8，比赛场数=2× (3+8)+3×8=46，不合题意;②x=2,y=4,z= 7，比赛场数=2× (4+7)+4 × 7=50，不合题意;③x=2,y=5,z=6，比赛场数=2× (5+6)+5×6=52，不合题意;④x=3 , y=4，z =6，比赛场数=3×(4+6)+4×6=54,符合题意.由此可知，甲、乙、丙三支球队的人数分别为3,4,6.。