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第4讲 直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理1．辨明两个易误点(1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件． (2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件． 2．线面、面面平行的判定中所遵循的原则一般遵循从“低维”到“高维”的转化.即从“线线平行”到“线面平行”.再到“面面平行”；而在应用性质定理时.其顺序恰好相反.但也要注意.转化的方向总是由题目的具体条件而定.不可过于“模式化”．1．(2016·大连模拟)对于直线m .n 和平面α.若n ⊂α.则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：D2．a 、b 、c 为三条不重合的直线.α、β、γ为三个不重合的平面.现给出四个命题：其中正确的命题是( )A．①②③B．①④C．②D．①③④解析：选C.②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a可能在α内．3．若平面α∥平面β.直线a∥平面α.点B∈β.则在平面β内过B点的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线解析：选A.当直线a在平面β内且经过B点时.a∥平面α.但这时在平面β内过B点的所有直线中.不存在与a平行的直线.而在其他情况下.都可以存在与a平行的直线.故选A.4．过三棱柱ABCA1B1C1任意两条棱的中点作直线.其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析：各中点连线如图.只有平面EFGH与平面ABB1A1平行.在四边形EFGH中有6条符合题意．答案：65．(必修2P56练习T2改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中.E是DD1的中点.则BD1与平面ACE 的位置关系为________．解析：如图.连接AC.BD交于O点.连接OE.因为OE∥BD1.而OE⊂平面ACE.BD1⊄平面ACE.所以BD1∥平面ACE.答案：平行考点一线面平行的判定与性质(高频考点)[学生用书P132] 平行关系是空间几何中的一种重要关系.包括线线平行、线面平行、面面平行.其中线面平行在高考试题中出现的频率很高.一般出现在解答题中．高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下三个命题角度：(1)判断线面的位置关系；(2)线面平行的证明；(3)线面平行性质的应用．(2015·高考四川卷节选)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中.设BC的中点为M.GH的中点为N.(1)请将字母F.G.H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN∥平面BDH.[解] (1)点F .G .H 的位置如图所示．(2)证明：如图.连接BD .设O 为BD 的中点.连接OH .OM .MN . 因为M .N 分别是BC .GH 的中点.所以OM ∥CD .且OM ＝12CD .HN ∥CD .且HN ＝12CD .所以OM ∥HN .OM ＝HN .所以四边形MNHO 是平行四边形.从而MN ∥OH . 又MN ⊄平面BDH .OH ⊂平面BDH . 所以MN ∥平面BDH .(1)证明线面平行时.先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行.若找不到这样的直线.可以考虑通过面面平行来推导线面平行．(2)应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置.有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.1.如图.已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点.E .F 分别是PA .BD上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD .求证：EF ∥平面PBC .证明：法一：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM . 因为AD ∥BC .所以BF FD ＝MFFA.又由已知PE EA ＝BFFD .所以PE EA ＝MF FA.由平面几何知识可得EF ∥PM . 又EF ⊄平面PBC .PM ⊂平面PBC . 所以EF ∥平面PBC . 法二：作FN ∥BC 交AB 于N .因为NF ⊄平面PBC .BC ⊂平面PBC . 所以NF ∥平面PBC . 因为AD ∥BC . 所以NF ∥AD .则BF FD ＝BN NA . 又PE EA ＝BF FD . 所以PE EA ＝BN NA.连接EN .则EN ∥PB .又EN ⊄平面PBC .PB ⊂平面PBC . 所以EN ∥平面PBC . 又EN ∩NF ＝N .所以平面EFN ∥平面PBC . 而EF ⊂平面ENF . 所以EF ∥平面PBC .考点二 面面平行的判定与性质[学生用书P132]如图.在三棱柱ABC A 1B 1C 1中.E .F .G .H 分别是AB .AC .A 1B 1.A 1C 1的中点.求证：(1)B .C .H .G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .[证明] (1)因为GH 是△A 1B 1C 1的中位线.所以GH ∥B 1C 1. 又因为B 1C 1∥BC .所以GH ∥BC . 所以B .C .H .G 四点共面．(2)因为E .F 分别为AB .AC 的中点.所以EF ∥BC . 因为EF ⊄平面BCHG .BC ⊂平面BCHG . 所以EF ∥平面BCHG . 因为A 1G 綊EB .所以四边形A 1EBG 是平行四边形.所以A 1E ∥GB . 因为A 1E ⊄平面BCHG .GB ⊂平面BCHG . 所以A 1E ∥平面BCHG .因为A 1E ∩EF ＝E .所以平面EFA 1∥平面BCHG .在本例条件下.线段BC 1上是否存在一点M 使得EM ∥平面A 1ACC 1?解：存在．当M 为BC 1的中点时成立． 证明如下：连接EM (图略).在△ABC 1中. E .M 分别为AB .BC 1的中点.所以EM 綊12AC 1.又EM ⊄平面A 1ACC 1.AC 1⊂平面A 1ACC 1.所以EM ∥平面A 1ACC 1.判定面面平行的方法(1)利用定义.即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)利用面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性.即两个平面同时平行于第三个平面.则这两个平面平行(客观题可用)．2.如图.已知ABCD A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体.点E 在AA 1上.点F 在CC 1上.G 在BB 1上.且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1.H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E .B .F .D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .证明：(1)因为AE ＝B 1G ＝1.所以BG ＝A 1E ＝2. 因为BG ∥A 1E .所以A 1G ∥BE . 又因为C 1F 綊B 1G .所以FG ∥C 1B 1∥D 1A 1.所以四边形A 1GFD 1是平行四边形． 所以A 1G ∥D 1F .所以D 1F ∥EB . 故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)因为H 是B 1C 1的中点.所以B 1H ＝32.又B 1G ＝1.所以B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23.且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°. 所以△B 1HG ∽△CBF .所以∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG . 所以HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE .且HG ∩A 1G ＝G .FB ∩BE ＝B .所以平面A 1GH ∥平面BED 1F .考点三 平行关系的综合应用[学生用书P133](2016·洛阳月考)如图.ABCD 与ADEF 为平行四边形.M .N .G 分别是AB .AD .EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.[证明] (1)如图.连接AE.则AE必过DF与GN的交点O.连接MO.则MO为△ABE的中位线.所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF.MO⊂平面DMF.所以BE∥平面DMF.(2)因为N.G分别为平行四边形ADEF的边AD.EF的中点.所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG.GN ⊂平面MNG.所以DE∥平面MNG.又M为AB中点.所以MN为△ABD的中位线.所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG.MN⊂平面MNG.所以BD∥平面MNG.又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线.所以平面BDE∥平面MNG.在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时.一定要注意定理成立的条件.严格按照定理成立的条件规范书写步骤.3.如图.在正方体ABCDA1B1C1D1中.S是B1D1的中点.E、F、G分别是BC、DC、SC的中点.求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图.连接SB.因为E、G分别是BC、SC的中点.所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD1B1.EG⊄平面BDD1B1.所以直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD .因为F 、G 分别是DC 、SC 的中点. 所以FG ∥SD .又因为SD ⊂平面BDD 1B 1.FG ⊄平面BDD 1B 1. 所以FG ∥平面BDD 1B 1.又EG ⊂平面EFG . FG ⊂平面EFG .EG ∩FG ＝G . 所以平面EFG ∥平面BDD 1B 1.方法思想——立体几何中的探索问题如图所示.在三棱柱ABC A 1B 1C 1中.D 是棱CC 1的中点.问在棱AB 上是否存在一点E .使DE ∥平面AB 1C 1？若存在.请确定点E 的位置；若不存在.请说明理由．[解] 点E 为AB 的中点时DE ∥平面AB 1C 1.证明如下：法一：取AB 1的中点F .连接DE 、EF 、FC 1. 因为E 、F 分别为AB 、AB 1的中点.所以EF ∥BB 1且EF ＝12BB 1.在三棱柱ABC A 1B 1C 1中.DC 1∥BB 1且DC 1＝12BB 1.所以EF 綊DC 1.四边形EFC 1D 为平行四边形.所以ED ∥FC 1. 又ED ⊄平面AB 1C 1.FC 1⊂平面AB 1C 1. 所以ED ∥平面AB 1C 1.法二：取BB 1的中点H .连接EH .DH .DE . 所以E .H 分别是AB .BB 1的中点. 则EH ∥AB 1.又EH ⊄平面AB 1C 1. AB 1⊂平面AB 1C 1. 所以EH ∥平面AB 1C 1. 又HD ∥B 1C 1.同理可得HD ∥平面AB 1C 1. 又EH ∩HD ＝H .所以平面EHD ∥平面AB 1C 1. 因为ED ⊂平面EHD . 所以ED ∥平面AB 1C 1.(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究.对条件和结论不完备的开放性问题的探究.解决这类问题一般根据探索性问题的设问.假设其存在并探索出结论.然后在这个假设下进行推理论证.若得到合乎情理的结论就肯定假设.若得到矛盾就否定假设．(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”.“只需使……成立”．如图所示.在四棱锥P ABCD 中.底面ABCD 是平行四边形.PA ⊥平面ABCD .若M 、N 分别为BC 、PA 的中点．在线段PD 上是否存在一点E .使NM ∥平面ACE ？若存在.请确定点E 的位置；若不存在.请说明理由．解：当E 为PD 的中点时有NM ∥平面ACE . 证明如下：如图.取PD 的中点E .连接NE .EC .AE . 因为N .E 分别为PA .PD 的中点.所以NE 綊12AD .又在平行四边形ABCD 中.CM 綊12AD .所以NE 綊MC .即四边形MCEN 是平行四边形． 所以NM ∥EC .又EC ⊂平面ACE .NM ⊄平面ACE . 所以MN ∥平面ACE . 即在PD 上存在一点E . 使得NM ∥平面ACE .1．在空间内.下列命题正确的是( ) A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行解析：选D.对于A.平行直线的平行投影也可能互相平行.或为两个点.故A 错误；对于B.平行于同一直线的两个平面也可能相交.故B 错误；对于C.垂直于同一平面的两个平面也可能相交.故C 错误；而D 为直线和平面垂直的性质定理.正确．2．设平面α∥平面β.A ∈α.B ∈β.C 是AB 的中点.当A .B 分别在α.β内运动时.所有的点C ( )A ．不共面B ．当且仅当A .B 在两条相交直线上移动时才共面C ．当且仅当A .B 在两条给定的平行直线上移动时才共面D ．不论A .B 如何移动都共面解析：选D.根据平面平行的性质.不论A .B 如何运动.动点C 均在与α.β都平行的平面上．3．(2016·惠州模拟)已知两条不同的直线l .m .两个不同的平面α.β.则下列条件能推出α∥β的是( )A ．l ⊂α.m ⊂α.且l ∥β.m ∥βB ．l ⊂α.m ⊂β.且l ∥mC ．l ⊥α.m ⊥β.且l ∥mD ．l ∥α.m ∥β.且l ∥m解析：选C.借助正方体模型进行判断．易排除选项A.B.D.故选C.4．(2016·长沙模拟)用a .b .c 表示空间中三条不同的直线.γ表示平面.给出下列命题： ①若a ⊥b .b ⊥c .则a ∥c ； ②若a ∥b .a ∥c .则b ∥c ； ③若a ∥γ.b ∥γ.则a ∥b . 其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．③ C ．①③ D ．② 解析：选D.若a ⊥b .b ⊥c .则a ∥c 或a 与c 相交或a 与c 异面.所以①是假命题；在空间中.平行于同一直线的两条直线平行.所以②是真命题；若a ∥γ.b ∥γ.则a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面.所以③是假命题.故选D.5. 如图所示.在空间四边形ABCD 中.E .F 分别为边AB .AD 上的点.且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4.又H .G 分别为BC .CD 的中点.则( )A ．BD ∥平面EFGH .且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD .且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD .且四边形EFGH 是菱形D ．EH ∥平面ADC .且四边形EFGH 是平行四边形解析：选B.由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊15BD .所以EF ∥平面BCD .又H .G 分别为BC .CD的中点.所以HG 綊12BD .所以EF ∥HG 且EF ≠HG .所以四边形EFGH 是梯形．6．设l .m .n 表示不同的直线.α.β.γ表示不同的平面.给出下列命题： ①若m ∥l .且m ⊥α.则l ⊥α； ②若m ∥l .且m ∥α.则l ∥α；③若α∩β＝l .β∩γ＝m .γ∩α＝n .则l ∥m ∥n ；④若α∩β＝m .β∩γ＝l .γ∩α＝n .且n ∥β.则l ∥m . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.由题易知①正确；②错误.l 也可以在α内；③错误.以墙角为例即可说明；④正确.可以以三棱柱为例说明.故选B.7. 如图.在空间四边形ABCD 中.M ∈AB .N ∈AD .若AM MB ＝AN ND.则直线MN 与平面BDC 的位置关系是__________．解析：在平面ABD 中.AM MB ＝ANND.所以MN ∥BD .又MN ⊄平面BCD .BD ⊂平面BCD . 所以MN ∥平面BCD . 答案：平行8．棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中.M 是棱AA 1的中点.过C .M .D 1作正方体的截面.则截面的面积是________．解析：由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线.所以截面是梯形CD 1MN .易求其面积为92.答案：929．设α.β.γ是三个不同的平面.a .b 是两条不同的直线.有下列三个条件：①a ∥γ.b ⊂β；②a ∥γ.b ∥β；③b ∥β.a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a .b ⊂γ.且________.则a ∥b ”为真命题.则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确条件的序号都填上)．解析：由面面平行的性质定理可知.①正确；当b ∥β.a ⊂γ时.a 和b 在同一平面内.且没有公共点.所以平行.③正确．故填入的条件为①或③.答案：①或③10．已知平面α∥β.P ∉α且P ∉ β.过点P 的直线m 与α.β分别交于A .C .过点P 的直线n 与α.β分别交于B .D .且PA ＝6.AC ＝9.PD ＝8.则BD 的长为________．解析：如图1.因为AC ∩BD ＝P .图1所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD . 因为α∥β.α∩平面PCD ＝AB . β∩平面PCD ＝CD . 所以AB ∥CD .所以PA AC ＝PBBD.即69＝8－BD BD .所以BD ＝245. 如图2.同理可证AB ∥CD .图2所以PA PC ＝PB PD .即63＝BD －88. 所以BD ＝24.综上所述.BD ＝245或24. 答案：245或24 11. 如图.在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中.E .H 分别为棱A 1B 1.D 1C 1上的点.且EH ∥A 1D 1.过EH 的平面与棱BB 1相交.交点分别为F .G .求证：FG ∥平面ADD 1A 1.证明：因为EH ∥A 1D 1.A 1D 1∥B 1C 1.EH ⊄平面BCC 1B 1.B 1C 1⊂平面BCC 1B 1.所以EH ∥平面BCC 1B 1.又平面FGHE ∩平面BCC 1B 1＝FG .所以EH ∥FG .即FG ∥A 1D 1.又FG ⊄平面ADD 1A 1.A 1D 1⊂平面ADD 1A 1.所以FG ∥平面ADD 1A 1.1. (2016·湖南省长沙一中高考模拟)如图所示.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a .点P 是棱AD 上一点.且AP ＝a 3.过B 1、D 1、P 的平面交底面ABCD 于PQ .Q 在直线CD 上.则PQ ＝________．解析：因为平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD .而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ .平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1.所以B 1D 1∥PQ .又因为B 1D 1∥BD .所以BD ∥PQ .设PQ ∩AB ＝M .因为AB ∥CD .所以△APM ∽△DPQ . 所以PQ PM ＝PD AP＝2.即PQ ＝2PM . 又知△APM ∽△ADB .所以PM BD ＝AP AD ＝13.所以PM ＝13BD .又BD ＝2a .所以PQ ＝223a . 答案：223a 2. 如图.已知四棱锥P ABCD 的底面为直角梯形.AB ∥CD .∠DAB ＝90°.PA ⊥底面ABCD .且PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1.M 是PB 的中点．(1)求证：AM ＝CM ；(2)若N 是PC 的中点.求证：DN ∥平面AMC .证明：(1)在直角梯形ABCD 中.AD ＝DC ＝12AB ＝1. 所以AC ＝ 2.BC ＝ 2.所以BC ⊥AC .又PA ⊥平面ABCD .BC ⊂平面ABCD .所以BC ⊥PA .所以BC ⊥平面PAC .所以BC ⊥PC .在Rt △PAB 中.M 为PB 的中点.则AM ＝12PB . 在Rt △PBC 中.M 为PB 的中点.则CM ＝12PB . 所以AM ＝CM .(2)连接DB 交AC 于点F .因为DC 綊12AB .所以DF ＝12FB . 取PM 的中点G .连接DG .FM .则DG ∥FM .又DG ⊄平面AMC .FM ⊂平面AMC .所以DG ∥平面AMC .连接GN .则GN ∥MC .所以GN ∥平面AMC .又GN ∩DG ＝G .所以平面DNG ∥平面AMC .因为DN ⊂平面DNG .所以DN ∥平面AMC . 3. (2016·阜阳月考)如图.在三棱锥A BOC 中.AO ⊥平面COB .∠OAB ＝∠OAC ＝π6.AB ＝AC ＝2.BC ＝ 2.D .E 分别为AB .OB 的中点．(1)求证：CO ⊥平面AOB ；(2)在线段CB 上是否存在一点F .使得平面DEF ∥平面AOC .若存在.试确定F 的位置.并证明此点满足要求；若不存在.请说明理由．解：(1)证明：因为AO ⊥平面COB .所以AO ⊥CO .AO ⊥BO .即△AOC 与△AOB 为直角三角形．又因为∠OAB ＝∠OAC ＝π6.AB ＝AC ＝2. 所以OB ＝OC ＝1.由OB 2＋OC 2＝1＋1＝2＝BC 2.可知△BOC 为直角三角形．所以CO ⊥ BO .又因为AO ∩BO ＝O .所以CO ⊥平面AOB .(2)在线段CB 上存在一点F .使得平面DEF ∥平面AOC .此时F 为线段CB 的中点． 证明如下.如图.连接DF .EF .因为D .E 分别为AB .OB 的中点.所以DE ∥OA .又DE ⊄平面AOC .所以DE ∥平面AOC .因为E .F 分别为OB .BC 的中点.所以EF ∥OC .又EF ⊄平面AOC .所以EF ∥平面AOC .又EF ∩DE ＝E .EF ⊂平面DEF .DE ⊂平面DEF . 所以平面DEF ∥平面AOC .。
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β. 二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一 直线与平面平行的判定与性质考法(一) 直线与平面平行的判定[典例] 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．求证：MN ∥平面BB 1C 1C .[证明] 如图，连接A 1C .在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC . 又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C .考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM ＝2MC.求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ， 又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH .求证：P A ∥GH .证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴P A ∥MO . 又MO ⊂平面BMD ，P A ⊄平面BMD ， ∴P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， P A ⊂平面P AHG ， ∴P A ∥GH .考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CDAB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：89.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 因为OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形， 故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ， EG ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ， 所以四边形HBFD 1是平行四边形， 故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ABM 的体积V ＝V M P AB ＝V C P AB ＝V P ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N BCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE .∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD .又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD ⊥平面OEC ，∴BD ⊥EO .又∵O 为BD 中点．∴OE 为BD 的中垂线，∴BE ＝DE .(2)取BA 的中点N ，连接DN ，MN .∵M 为AE 的中点，∴MN ∥BE .∵△ABD 为等边三角形，N 为AB 的中点，∴DN ⊥AB .∵∠DCB ＝120°，DC ＝BC ，∴∠OBC ＝30°，∴∠CBN ＝90°，即BC ⊥AB ，∴DN ∥BC .∵DN ∩MN ＝N ，BC ∩BE ＝B ，∴平面MND ∥平面BEC .又∵DM ⊂平面MND ，∴DM ∥平面BEC .。
