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2021版高中数学人教A版必修2课件：2.2.3 直线与平面平行的性质

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高中数学必修二：2.2.3直线与平面平行的性质课件

高中数学必修二：2.2.3直线与平面平行的性质课件

因此 EF⊄平面AC ⇒EF∥平面 AC. BC⊂平面AC
时
栏 目
BE、CF 显然都与平面 AC 相交．
开
小结 平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，
关
则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与
一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任意一条直线
平行，它只与该平面内与它共面的直线平行．
2.2.3
2.2.3 直线与平面平行的性质
[学习要求]
本
1．掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推
课
出线线平行；
时 栏
2．结合具体问题体会化归与转化的数学思想．
目 开
[学法指导]
关
通过观察与类比，借助实物模型得到直线与平面平行的性
质定理和探索其他的一些性质，以及性质定理的应用，提
高想象能力、思维能力，体会类比的作用，进一步渗透等
栏
得 a∥β；
目 开
又 a⊂α，a⊄β，β∩α＝c，得 a∥c，
关
所以 a∥b∥c.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
探究点二 线面平行的性质定理的应用
问题 1 如果直线 a 与平面 α 平行，那么经过平面内一点 P
且与直线 a 平行的直线怎样定位？
答 直线 a 与平面 α 内一点 P 确定一个平面，设这个平面与
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
跟踪训练 1 如图，平面 α、β、γ 两两相交，a，
b，c 为三条交线，且 a∥b.那么，a 与 c，b 与
c 有什么关系？为什么？
本
解 a 与 c，b 与 c 的关系为：a∥b∥c.
课 时
因为 γ∩α＝a，β∩γ＝b，α∩β＝c，且 a∥b，由 b⊂β，a⊄β，

数学：2.2.2《平面与平面平行的判定》课件(新人教A版必修2)

数学：2.2.2《平面与平面平行的判定》课件(新人教A版必修2)
2.2.2 《平面与平面平行的判定》
教学目标
• 理解并掌握两平面平行的判定定理。会用这个定 理证明两个平面的平行。 • 教学重点：两个平面平行的判定定理及应用。 • 教学难点：两个平面平行的证明。
复习回顾：
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线 与平面平行的方法呢? （1）定义法； （2）直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行．
a b α β β α b a
事实上，
建筑师如何检验屋顶平面是否与 水平面平行？
两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行
a , b， ab=P a // b // 符号语言
线不在多 贵在相交 //

P b
a

图形语言
面面平行
转化
线面平行
转化
线线平行？
两个平面平行的判定定理： 变式探究
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行 1.线面平行是否可用其它条件代替？ 推论 如果一个平面内有两条 相交 直线分 别平行于另一个平面内的两相交直线，那 么这两个平面平行。 a a , b， ab=P P b // a∥a' , a ' a' b' b∥ , b' b'
无限
转化
有限
启示?
两个平面平行的问题，可以转化为一个 平面内的直线与另一个平面平行的问题。 面面平行
转化
线面平行
2、如果平面α内的任意直线都平 行于平面β，则α∥β吗？
α
β
3、若平面α内有一条直线a平行 于平面β，则能保证α∥β吗？

高中数学 直线和平面平行的性质定理说课课件 新人教A版必修2

高中数学 直线和平面平行的性质定理说课课件 新人教A版必修2
、CC/、DD/ （3）平面(píngmiàn)BCC/B/、平面(píngmiàn)B/C/D/A/，直线
BC、B/C/、A/D/ 3、B
第十六页，共33页。
第三环节(huánjié)：分组合作，讨论解时疑间(shíjiān) 约 7
分钟
讨论内容： 1、探究案中探究1、探究2、探究3 2、自学过程中存在的其他疑问。
判定方法. 3、思维上：从经验型抽象思维开始上升到理论型抽
象思维. 4、能力上：知识迁移、主动重组、整合的能力较弱.
第六页，共33页。
二、教学目标
学习目的：
知识(zhī shi)目标直线(zh直íx观ià认n)识与、平体面会之空间间位置关系
掌握直线与平面(píngmiàn) 平行的性质定理
空间想象能力
设计意图：让学生尝试在平面 (píngmiàn)内画出与直线平行 的直线
问题(wèntí)1：如果直线a与平面a平行，那么直线a与平
面 一条a内和的直直线线a有平a哪行些的位直置线关b. 系？请在a 图中的平面内画出
α
α
问题请(在w图èn中tí)2：我设计们意图知：引道出性两质条(xìng平zhì行) 线可以确定一个平面， 把直线a、b理确中定的过定的度平平面 面 画出来，并且表示为 .
三、预习自测
1、若直线l与平面a平行，则直线l与平面内n的直线的位置关系可能是 2. 如下图,长方体ABCD-A’B’C’D’中, (1)与AB 平行的面是__________________;与AB平行的直线是 (2)与AA’ 平行的平面是________________;与AA/平行的直线是 (3)与AD 平行的平面是________________ 与AD平行的直线是
第一页，共33页。

高一数学人教A版必修2各章节课件

高一数学人教A版必修2各章节课件

点、直线、平面之间的位置关系是高中数学立体几何中的基础内容，在整
个几何学中占有非常重要的地位，起着承前启后的作用．
第三章
直线方程
为缓解日益严重的交通压力，各地都加大了基础设施建设的力度，先后投 资发展轨道交通与城市高架桥建设，如图是高架桥的效果图，纵横交错的桥梁 远远看去如一条条直线，有的相互平行，有的相互垂直，高架桥两边的护拦是 平行的，而路灯的灯杆与护栏则是垂直的，如果我们把护栏与灯杆都看作直
数 学
必修② ·人教A版
第一章
空间几何体
这是世界著名的七星级酒店 ——迪拜的帆船酒店，近距离观察能发现很多几
何元素，如圆柱、棱柱、球等，世界上许许多多的建筑设计大师设计出了很多 闻名于世的建筑，这些建筑风格各异，它们都离不开这样的一些基本的几何元 素． 事实上，纷繁复杂的物质世界都是由那些既有大小又有一定几何形状的物
求出这个圆拱所在圆的方程呢？这就要用到本章中的知识．
线，那么，从何角度研究直线以及如何研究呢？这就是本章将要学习的直线与
方程．
第四章
圆的方程
坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥，是当今世界上现存最早、保存最完善 的古代敞肩石拱桥，其跨度约为37.02 m，圆拱高约为7.2 m，是我国第一批全国 重点文物保护单位，赵州桥的设计构思和工艺的精巧，在我国都是首屈一指， 其上狮象龙兽形态逼真，琢工精致秀丽，不愧为文物宝库中的艺术珍品．如何
质构成的，把这些物体的其他特征忽略，只看它们的形状和大小，这就是本章
要研究的内容．
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
这是我国著名的大学，设计风格新颖．设计师独特创意的背后却是缜密的
几何思维，类似许许多多的建筑设计包含了线、面的位置关系的应用，相交、 平行、垂直关系随处可见． 现实生活中类似这样的位置关系是比较常见的，如何准确判断这些位置关 系？这就是本章将要研究的点、直线、平面之间的位置关系．

数学：2.2.3《直线与平面平行的性质》课件(新人教A版必修2)

数学：2.2.3《直线与平面平行的性质》课件(新人教A版必修2)
P
C1
A1
D
FLeabharlann B1C BA例题示范 例2：有一块木料如图，已知棱 BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面 A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应 怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？
（2）因为棱BC平行于平面A'C'，平面BC'与平 面A'C'交于B'C'，所以BC∥B'C'，由（1）知， EF∥B'C'，所以，EF∥BC，因此，EF//BC, EF平面AC,BC平面AC.所以,EF//平面AC. BE、CF显然都与平面AC相交。
线面平行 线线平行
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直 线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线 平行。
作业：P62 5、 6题.
例题示范
如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α ,a,b都在平面 α 外.求证:b//α.
证明:过a作平面β ,使它与 平面α相交,交线为c. 因为a//α,a β ,α Çβ =c, 所以 a// c. 因为a//b,所以,b//c. 又因为c α, b α, 所以 b// α。
证明：∵α ∩β ＝b，∴bα ∵ a∥α ，∴a与b无公共点， ∵aβ ，bβ ，∴a∥b。
我们可以把这个结论作定理来用.
直线与平面平行的性质定理： 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的 任一平面与这个平面的交线与该直线平行。 符号表示：
a // , a , b
提出问题、引入新课
提出问题:如果已知直线与平面平 行，会有什么结论？
直线与平面平行的性质
探研新知
探究1.如果一条直线与平面平行，那么 这条直线是否与这个平面内的所有直线 都平行？ 这条直线与这个平面内有多少条直线平 行？

(人教A版)必修2课件：2-2-4 平面与平面平行的性质

(人教A版)必修2课件：2-2-4 平面与平面平行的性质
[例3] 已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a与这
三个平面依次交于点A、B、C，直线b与这三个平面依次交 于点E、F、G.求证：BACB＝FEGF.
第二章 2.2 2.2.4
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[证明] 连接AG交β于H，连BH、FH、AE、CG.
∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，
平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，∴AB∥CD. 同理AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
第二章 2.2 2.2.4
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
规律总结：利用面面平行的性质定理证明线线平行的关 键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个面是 其应用中的主要工作：即二个平行面，一个包含讨论直线的 面，有时需要添加辅助面.
第二章 2.2 2.2.4
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是菱形，M为
OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.
第二章 2.2 2.2.4
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[证明] 证明一：如图(1)，取OB的中点G，连接GN， GM.
第二章 2.2 2.2.4
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
由①②得EB∥D1F③
∴E、B、F、D1四点共面，四边形BED1F是平面四边形．
又∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，
平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1， 平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，
∴ED1∥BF④
∵M为OA的中点，∴MG∥AB. ∵AB∥CD，∴MG∥CD.

高中数学 第二章《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》课件3 新人教A版必修2

高中数学 第二章《2.2 直线、平面平行的判定及其性质》课件3 新人教A版必修2

说明理由.
（2）设E、F分别是A1B和B1C的中点，求证直线
EF//平面ABCD.
D1
C1
M A1
D
E
A
G
B1 F C
H B
小结
直线与平面平行的判定定理可简述为
“线线平行，则线面平行”
思想方法
通过直线间的平行，推证直线与平面平 行，即将直线与平面的平行关系（空间问题） 转化为直线间的平行关系（平面问题）.
A α
M βB
C
N E
D
l
练习1
如果三个平面两两相交，那么它们的交线 位置如何？
bβ
γ l
α
β γα
ab l a
相交于一条交线 三条交线两两平行
三条交线相交 于一点
应用举例
练习2 一条斜线和两个平行平面相交，求证它和两
个平面所成的角相等．
小结
1. 知识小结 几个结论和性质的应用
2. 思想方法
面面平行
( ）-网校通名校系列资料上，下精品资料！ •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/62021/9/62021/9/6Sep-216-Sep-21
•12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/62021/9/62021/9/6Monday, September 06, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/62021/9/62021/9/62021/9/69/6/2021
D′

《直线和平面平行的性质》人教版高中数学必修二PPT课件(第2.2.3课时)

《直线和平面平行的性质》人教版高中数学必修二PPT课件(第2.2.3课时)

)
(4)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条.( )
小结
线面平行的判定定理
线线平行
线面平行
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
线面平行的性质定理
线面平行
线线平行
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
小结
l ∥α l ⊂β α∩β= m
线面平行
l ∥m 线线平行
β l
作用： 判定直线与直线平行的重要根据。 关键： 寻找平面与平面的交线。 思考：经过l且与α相交的平面有几个？
m α
课堂练习
如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（ D ）
A 只和这个平面内一条直线平行； B 只和这个平面内两条相交直线不相交； C 和这个平面内的任意直线都平行； D 和这个平面内的任意直线都不相交。
课堂练习
判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由，若不正确，请给出反例. (1)如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a 平行于经过b的任何平面；( )
（2）如果直线a、b和平面α 满足a ∥ α,b ∥ α,那么a ∥ b ;( )
(3)如果直线a、b和平面α 满足a ∥ b,a ∥ α,b α, 那么 b ∥ α;(
a
a
b
α
α
平行
(2)什么条件下，平面 α内的直线与直线a平行呢？ 若“共面”必平行，换句话说，若过直线a的某一 平面与平面相交，则直线a就和这条交线平行.
b 异面
新知探究
a (2)什么条件下，平面 内的直线与直线a平行呢？
a
b
问：直线a和直线b位置关系如何呢？

高一数学 人教A版必修2 第二章 2.2.1、2直线与平面平行、平面与平面平行的判定 课件

高一数学 人教A版必修2 第二章 2.2.1、2直线与平面平行、平面与平面平行的判定 课件

(1)直线EG∥平面BDD1B1；
证明 如图，连接SB.
∵点E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
证明
(2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明 连接SD. ∵点F，G分别是DC，SC的中点， ∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1， ∴FG∥平面BDD1B1. 又EG∥平面BDD1B1， 且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1.
证明
反思与感悟 解决线面平行与面面平行的综合问题的策略 (1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三 种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的. (2) 线线平行 ―判――定―→ 线面平行 ―判――定―→ 面面平行
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理.
第二章 §2.2 直线、平面平行的判 定及其性质
2.2.2 平面与平面平行的判定
学习目标
1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理. 2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.
问题导学
知识点 平面与平面平行的判定定理
思考1 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平 面与平面α平行吗？ 答案 平行.
证明
Байду номын сангаас
命题角度2 以柱体为背景证明线面平行 例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线 段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.
解答
引申探究 将本例改为在三棱柱ABC－A1B1C1中，若M为AB的中点， 求证：BC1∥平面A1CM. 证明 如图，连接AC1交A1C于点F， 则F为AC1的中点. 又因为M是AB的中点，连接MF， 所以BC1∥MF. 因为MF⊂平面A1CM，BC1⊄平面A1CM， 所以BC1∥平面A1CM.

人教A版高中数学必修第二册教学课件PPT-第八章 -8-5-2直线与平面平行

人教A版高中数学必修第二册教学课件PPT-第八章 -8-5-2直线与平面平行

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D解析 由题图知正方体的前、后、左、右四个面都与EF平行.
高中数学 必修第二册 RJ·A
4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，
DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
A解析 ∵EH∥FG，EH⊄平面BDC，FG⊂平面BDC， ∴EH∥平面BDC， 又EH⊂平面ABD且平面ABD∩平面BDC＝BD， ∴EH∥BD.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与 已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等.
高中数学 必修第二册 RJ·A
跟踪训练
如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分 别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD.
所以 a∥EG，即 BD∥EG，所以AACF＝AAEB.
又EBGD＝AAEB，所以AACF＝EBGD， 于是 EG＝AFA·CBD＝55×＋44＝290.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
(1)利用线面平行的性质定理找线线平行，利用线线平行得对应线段成比例即 可求线段长度. (2)通过定理的运用和平行的性质，提升直观想象和逻辑推理素养.
高中数学 必修第二册 RJ·A
典例剖析
一、直线与平面平行的判定定理的应用
例1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点， 求证：EF∥平面AD1G.
高中数学 必修第二册 RJ·A

数学必修2(人教A版)2.2.1直线与平面平行的判定和2.2.2平面与平面平行的判定公开课教学课件 (共23张PPT)

数学必修2(人教A版)2.2.1直线与平面平行的判定和2.2.2平面与平面平行的判定公开课教学课件 (共23张PPT)
AD1 平面AB1D1
AD1 D1B D1
平面AB1D1 // 平面C1DB
1．证明直线与平面平行、平面与平面平行的方法： （1）利用定义：没有公共点。
（2）利用判定定理．
线线平行 线面平行 线面平行
面面平行
2．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
小测：
如图，正方体ABCD – A1B1C1D1 中，M，N，E， F分别是棱A1B1，A1D1， B1C1，C1D1的中点.
④若 内有一条直线 平行，则 与 平行

a 与平面
×

a
命题错误
a

a //
a


a
（两平面平行）
（两平面相交）
b 与平面 ⑤若 内有两条直线 a ， 平行，则 与 平行
a // b
a
a∩b=P
a
b
b

b


P
a



（两平面平行） （两平面相交） （两平面平行） 两 种 情 况 命题错误 唯 一 命题正确
证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中 一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一 个平面.

P
b
a

练 α与平面β平行的条件可 练5 4．平面 ．判断下列命题是否正确，正 D 以是（ ） 确的说明理由，错误的举例说明： （A）α内有无穷多条直线都与β平行.
（1）已知平面α ， β和直线m， n ，若 m α ,n α ,m// （B）直线a∥α ，a∥β ，且直 线a β ,n// β 则α β // β ； 不在 α内，也不在 内. 错误 （2）一个平面α内两条不平行直 （ C）直线 a α,直线b ，则 β, α 且 线都平行于另一平面 β a// β,b// α // β ；

直线与平面平行的性质课件

直线与平面平行的性质课件

•
规律总结：利用线面平行的性质定理解
题的步骤：①确定(或寻找)一条直线平行于一
个平面；②确定(或寻找)过这条直线且与已知
平面相交的平面；③确定交线；④由定理得出
结论．
互动课堂
•●典例探究 •对线面平行性质定理的理解
求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那 么这条直线和它们的交线平行．
• [分析] 由题目可获取以下主要信息： • ①已知两个平面相交； • ②一条直线与这两个平面都平行． • 解答本题可先用线面平行的性质，转化为 线线平行，再利用平行公理证明．
• C．c至少与a，b中的一条相交
• D．c与a，b都平行
• [答案] D
• [解析] 由线面平行的判定及其性质定理易得 c∥a，c∥b.
• 4．对于直线m、n和平面α，下面叙述正确的 是( )
• A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那 么n∥α
• B．如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面 直线
于 GH，求证：AP∥GH.
• [分析] 本题的条件中并未给出任何平行的 线线、线面或面面，要证两直线平行，故需利 用条件中的中点的性质，即三角形的中位线与 底边平行，得到线面平行，再由线面平行的性 质，得到线线平行．
• [证明] 连接AC，设AC∩BD＝O，连接MO. • ∵四边形ABCD为平行四边形， • ∴O是AC的中点，又M是PC的中点，
• 6．如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面 ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP 于F.
• 求证：四边形BCFE是梯形．
• [证明] ∵四边形ABCD为矩形， • ∴BC∥AD， • ∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， • ∴BC∥平面PAD. • ∵平面BCFE∩平面PAD＝EF， • ∴BC∥EF. • ∵AD＝BC，AD≠EF， • ∴BC≠EF， • ∴四边形BCFE是梯形．

数学：2.2.1《直线和平面平行判定》(新人教A版必修2)30张幻灯片

数学：2.2.1《直线和平面平行判定》(新人教A版必修2)30张幻灯片
解. 提高学生学习的兴趣，以达到良好的教学效果。
教学过程
单击此处编辑母版标题样式
知识回顾：
1、位置关系
（1）有无数个公共点
直线在平面内
（2）有且只有一个公共点 直线与平面相交
（3）没有公共点
直线与平面平行
教学过程
2、直线和平面位置关系的图形表示、符
号表示
a
a
a
α
α
A
α
a aA
a//
教学过程
D A
D A
C B
C B
随堂练习：
课本P56： 2. 如下图，正方体AC1中，E为DD1的中点，试判断BD1与
平面AEC的位置关系，并说明理由。
根据空间问题平面化的思
想，因此把找空间平行直
D1
C1 线问题转化为找平行四边
形或三角形中位线问题，A1这样自然想到了找中点。B1
平行问题找中点解决是个
B1 B
境
为了让学生更清楚地看到线
感
面平行与否的关键因素是什
知
么，使学生学在情境中，思
概
天在花情板理平中面，感悟在内心中，
念
学自己身边的数学，领悟空
间观念与空间图形性质
教学过程
1
创
设
情
境
感受生活中线面平行的例子
感 知 概 念
提出本节学习内容，
·
留下悬念，激发探 索求知欲望
球场地面
思考：如何判断一条直线与一个平面平行？
E
F
析 证明：连接BD
D
加
深 因为 AE=EB，AF=FD，
B
理
C
解 所以 EF//BD
又因为 E F 平B面 C ,BD D 平B面 C , D
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2.2.3 直线与平面平行的性质 目标导航
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题型一 题型二
证明:如图,连接AC交BD于点O,连接MO.
因为ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点.又M是PC的中点,所 以PA∥MO.
而AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,所以PA∥平面BMD. 又PA⊂平面PAHG,平面PAHG∩平面BMD=GH,所以PA∥GH.
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【做一做】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1 和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,求证 :AB∥GH.
证明:因为E,F分别是AA1和BB1的中点,所以EF∥AB. 又AB⊄平面Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱGH,EF⊂平面EFGH, 所以AB∥平面EFGH. 又AB⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面EFGH=GH, 所以AB∥GH.
2.2.3 直线与平面平行的性质
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1.理解并能证明直线与平面平行的性质定理,明确定理的条件. 2.能利用性质定理解决有关的平行问题.
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直线与平面平行的性质定理
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1.理解直线与平面平行的性质定理 剖析:(1)如果直线a∥平面α,在平面α内,除了与直线a平行的直线
外,其余的任一直线都与a是异面直线.
(2)条件:①直线a与平面α平行,即a∥α;②直线a 在平面β内,即 a⊂β;③平面α,β相交于一条直线,即α∩β=b,三个条件缺一不可.
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题型一 题型二
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题型一 题型二
【变式训练2】
如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是 PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求 证:GH∥PA.
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题型一 题型二
反思利用线面平行的性质定理解题的步骤:(1)确定(或寻找)一条直 线平行于一个平面;(2)确定(或寻找)过这条直线且与已知平面相交 的平面;(3)确定交线;(4)由定理得出结论.
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题型一 题型二
【例1】 如图,已知AB∥平面α,AC∥BD,且AC,BD与α分别相交于 点C,D.求证:AC=BD.
证明:如图,连接CD, 因为AC∥BD, 所以AC与BD确定一个平面β. 又AB∥α,AB⊂β,α∩β=CD, 所以AB∥CD. 所以四边形ABDC是平行四边形. 所以AC=BD.
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题型一 题型二
【变式训练1】 如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上
的点,且MN∥平面PAD.若CM∶MA=1∶4,则CN∶NP= .
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题型一 题型二
【例2】 求证:如果一条直线和两个相交平面平行,那么该直线与 相交平面的交线平行.
(3)线面平行的性质定理体现了数学的化归思想,即线面平行转化 为线线平行.
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2.解决线面平行问题的策略 剖析:解决证明问题的策略是由求证想判定,由已知想性质,总是 对“判定”和“性质”进行转化,最终就能统一起来,即找到了证明思路 . 如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行,那么在解决过程 中,一定会用到线面平行的性质定理.在应用性质定理时,关键是过 已知直线作辅助平面与已知平面相交,所得交线不仅起到与已知直 线平行的作用,而且起到已知平面内任一条直线与已知直线位置关 系的判定作用,即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直 线平行,所有与交线相交的直线都与已知直线异面.直线与平面平 行的性质定理与判定定理经常交替使用,这反映了线面平行、线线 平行间的相互转化,也是将平面几何与立体几何联系起来的桥梁.
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归纳总结1.性质定理可以作为直线与直线平行的判定方法. 2.若a∥α,在平面α内找到一条直线b,使b∥a的作法是:经过已知
直线作一个平面和已知平面相交,则交线和已知直线a平行,此交线 就是要找的直线b.
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解:已知:a∥α,a∥β,且α∩β=b. 求证:a∥b.
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题型一 题型二
证明:如图,在平面α上任取一点A,且使A∉b.因为a∥α,所以A∉a. 故点A和直线a确定一个平面γ, 设γ∩α=m. 同理,在平面β上任取一点B,且使B∉b, 则B和a确定平面δ,设δ∩β=n. 因为a∥α,a⊂γ,γ∩α=m,所以a∥m. 同理a∥n,则m∥n. 又m⊄β,n⊂β,所以m∥β. 又m⊂α,α∩β=b, 所以m∥b.又a∥m,所以a∥b.