直线与平面平行性质
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直线、平面平行的判定及其性质新课讲解:1、直线与平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线线平行⇒线面平行(2)线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
线面平行⇒线线平行2、平面与平面平行的判定及其性质(两条相交直线即可代表一个平面)(1)两个平面平行的判定定理①如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
线面平行→面面平行②如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。
线线平行→面面平行③垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)两个平面平行的性质①如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
面面平行→线面平行②如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
面面平行→线线平行题型一:直线与平面平行的判定要点:利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。
例1.(2011·天津改编)如图,在四棱锥PABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,O 为AC 的中点,M 为PD 的中点。
求证:PB ∥平面ACM 。
变式练习1:如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为DD 1中点。
求证:BD 1∥平面AEC 。
变式练习2:如图,若PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是矩形,E 、F 分别是AB 、PD 的中点,求证:AF ∥平面PCE 。
A B CD A 1B 1C 1D 1E例2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面对角线AB1、BC1分别有E、F,且B1E=C1F,求证:EF∥平面ABCD.变式练习1:如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在AB1上,F在BD上,且B1E=BF.求证:EF∥平面BB1C1C.题型二:平面与平面平行的判定例3.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N、P分别为所在边的中点.求证:平面MNP∥平面A1C1B。
直线与平面平行的性质定理
一、什么是直线与平面的平行性
直线与平面的平行性是一种平行性形式。
它表明,在同一平面中,存在两条异构的直线,使得这两条直线不发生相交和重合,且两条直
线的法向量方向相同。
二、直线与平面的平行性定理
直线与平面的平行性定理是关于直线与平面的平行性的定理,要
求如下:在同一平面中,任何两条平行直线都将垂直于该平面,同时
它们的法向量也将在该平面中共线。
三、定理的证明
证明:假设这两条直线分别是l1和l2,他们的法向量分别是N1
和N2,平面P的法向量是N。
根据已证l1与l2的平行,有
$$\overrightarrow{N_1}=\lambda \overrightarrow{N_2}$$
其中$\lambda$为不为0的常数。
因此,
$$\overrightarrow{N_1}\cdot \overrightarrow{N}=\lambda \overrightarrow{N_2}\cdot \overrightarrow{N}=0$$ 可得l1、l2垂直于P,同时它们的法向量N1、N2共线。
四、定理的应用
直线与平面的平行性定理在几何中有很多应用,如:
1、关于三角形斜边、垂直边、斜角、切点等。
2、求解不定线性规划问题。
3、空间向量运算,平面立体几何。
4、各种物理运算,如电场、重力场、热传导等。
五、结论
如前所述,在意义上,直线与平面的平行性定理指出,任何两条平行直线都将垂直于同一平面,同时它们的法向量也将在该平面中共线,在几何世界中,它具有广泛的应用价值,值得我们深入的研究。
5.4 直线、平面平行的判定及其性质1.直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l ∥a ,a ⊂α,l ⊄α,∴l ∥α性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l ∥α,l ⊂β,α∩β=b ,∴l ∥b文字语言图形语言符号语言 判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a ∥β,b ∥β,a ∩b =P ,a ⊂α,b ⊂α,∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行∵α∥β,α∩γ=a ,β∩γ=b ,∴a ∥b考点一 直线与平面平行的判定与性质(题点多变型考点——多角探明)平行关系是空间几何中的一种重要关系,包括线线平行、线面平行、面面平行,其中线面平行是高考热点,多出现在解答题中.常见的命题角度有:(1)证明直线与平面平行;(2)线面平行性质定理的应用. 例1.已知平面α∥平面β,直线a ⊂α,有下列命题:①a 与β内的所有直线平行;②a 与β内无数条直线平行;③a 与β内的任意一条直线都不垂直.其中真命题的序号是________.变式1-1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 是DD 1的中点,则BD 1与平面ACE 的位置关系为________.变式1-2.如果直线a ∥平面α,那么直线a 与平面α内的( ) A .一条直线不相交 B .两条直线不相交 C .无数条直线不相交 D .任意一条直线都不相交变式1-3.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β”是“α∥β”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件角度一:证明直线与平面平行例2.(2016·全国丙卷)如图,四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,P A=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面P AB;(2)求四面体N-BCM的体积.角度二:线面平行性质定理的应用例3.(2017·瑞安期中)已知四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外的一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:AP∥GH.变式3-1.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,F是AB的中点,E是PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)在PC上求一点G,使FG∥平面AEC,并证明你的结论.考点二平面与平面平行的判定与性质(重点保分型考点——师生共研)例4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EF A1∥平面BCHG.《5.4 直线、平面平行的判定及其性质》1.若两条直线都与一个平面平行,则这两条直线的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能2.(2017·合肥模拟)在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A.平行B.相交C.在平面内D.不能确定3.(2017·绍兴期中考试)已知两个不重合的平面α,β,给定以下条件:①α内任意不共线的三点到β的距离都相等;②l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β;③l,m是两条异面直线,且l∥α,l∥β,m∥α,m∥β;其中可以判定α∥β的是()A.①B.②C.①③D.③4.在空间中,已知直线a,b,平面α,则以下三个命题:①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥b,a∥α,则b∥α;③若a∥α,b∥α,则a∥b.其中真命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.35.设m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线.则α∥β的一个充分而不必要条件是()A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2C.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥l26.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()A.①③B.②③C.①④D.②④7.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:①没有水的部分始终呈棱柱形;②水面EFGH所在四边形的面积为定值;③棱A1D1始终与水面所在平面平行;④当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值.其中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.48.在三棱锥S -ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H,且D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为()A.452B.4532C .45D .45 3 9.如图,α∥β,△P AB 所在的平面与α,β分别交于CD ,AB ,若PC =2,CA =3,CD =1,则AB =________.10.如图所示,在四面体ABCD 中,点M ,N 分别是△ACD ,△BCD 的重心,则四面体的四个面中与MN 平行的是________.11.设α,β,γ是三个平面,a ,b 是两条不同直线,有下列三个条件:①a ∥γ,b ⊂β;②a ∥γ,b ∥β;③b ∥β,a ⊂γ.如果命题“α∩β=a ,b ⊂γ,且________,则a ∥b ”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上).12.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm ,过AC 作平行于对角线BD 1的截面,则截面面积为________cm 2;其周长为________cm.13.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,若BC ⊥AC ,∠BAC =π3,AC=4,M 为AA 1的中点,点P 为BM 的中点,Q 在线段CA 1上,且A 1Q =3QC ,则PQ 的长度为________.14.(2016·嘉兴一模)如图所示,在几何体P -ABCD 中,四边形ABCD 为矩形,平面ABCD ⊥平面P AB ,且平面P AB 为正三角形,若AB =2,AD =1,E ,F 分别为AC ,BP 中点.(1)求证EF ∥平面PCD ;(2)求直线BP 与平面P AC 所成角的正弦值.15.如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H 分别是BC ,CC 1,C 1D 1,A 1A 的中点.求证:(1)BF ∥HD 1; (2)EG ∥平面BB 1D 1D ; (3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .14.(2016·嘉兴一模)如图所示,在几何体P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,平面ABCD ⊥平面PAB,且平面PAB为正三角形,若AB=2,AD=1,E,F分别为AC,BP中点.(1)求证EF∥平面PCD;(2)求直线BP与平面PAC所成角的正弦值.解:(1)证明:连接DB,与AC交于点E,在△DPB中,∵E,F分别是DB,PB中点,∴EF∥DP.又∵DP⊂平面PCD,EF⊄平面PCD,∴EF∥平面PCD,(2)取AP中点H,连接HC,HB.过B作BO⊥HC,垂足为O,连接OP.∵平面ABCD⊥平面APB,且平面ABCD∩平面APB=AB,又BC⊥AB,∴BC⊥平面APB,∴BC⊥AP.又∵AB=BP,∴BH⊥AP,且BC∩BH=B,∴AP⊥平面CHB,∴AP⊥BO.又AP∩HC=H,∴BO⊥平面PAC,∴∠BPO就是直线BP与平面PAC所成角.由已知得,BO=32,BP=2,∴sin∠BPO=34,即直线BP与平面PAC所成角的正弦值为3 4.15.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是BC,CC1,C1D1,A1A的中点.求证:(1)BF∥HD1;(2)EG∥平面BB1D1D;(3)平面BDF∥平面B1D1H.证明:(1)如图所示,取BB1的中点M,连接MH,MC1,易证四边形HMC1D1是平行四边形,∴HD 1∥MC 1.又∵MC 1∥BF ,∴BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ,连接EO ,D 1O ,则OE 綊12DC ,又D 1G 綊12DC ,∴OE 綊D 1G ,∴四边形OEGD 1是平行四边形, ∴GE ∥D 1O .又GE ⊄平面BB 1D 1D ,D 1O ⊂平面BB 1D 1D , ∴EG ∥平面BB 1D 1D . (3)由(1)知BF ∥HD 1,又BD ∥B 1D 1,B 1D 1,HD 1⊂平面B 1D 1H ,BF ,BD ⊂平面BDF ,且B 1D 1∩HD 1=D 1,DB ∩BF =B ,∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .。
直线、平面平行的判定与性质1.直线与平面平行的判定定理和性质定理(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a ⊥α,a ⊥β,则α∥β; (2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a ⊥α,b ⊥α,则a ∥b ; (3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.( )(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( )(3)若直线a 与平面α内无数条直线平行,则a ∥α.( )(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )(5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( )答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)如果直线a ∥平面α,那么直线a 与平面α内的( )A .一条直线不相交B .两条直线不相交C .无数条直线不相交D .任意一条直线都不相交解析:选D.因为a ∥平面α,直线a 与平面α无公共点,因此a 和平面α内的任意一条直线都不相交,故选D.a 、b 、c 为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合的平面,现给出四个命题: ①⎭⎪⎬⎪⎫c ∥αc ∥β⇒α∥β ②⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β ③⎭⎪⎬⎪⎫c ∥αa ∥c ⇒a ∥α ④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α其中正确的命题是________.解析:②正确.①错在α与β可能相交.③④错在a 可能在α内. 答案:②(教材习题改编)在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中,E 是DD 1的中点,则BD 1与平面ACE 的位置关系为________.解析:如图,连接AC ,BD 交于O 点,连接OE ,因为OE ∥BD 1,而OE ⊂平面ACE ,BD 1⊄平面ACE ,所以BD 1∥平面ACE .答案:平行线面平行的判定与性质(高频考点)平行关系是空间几何中的一种重要关系,包括线线平行、线面平行、面面平行,其中线面平行在高考试题中出现的频率很高,一般出现在解答题的某一问中.高考对线面平行的判定与性质的考查主要有以下三个命题角度:(1)线面位置关系的判断;(2)线面平行的证明;(3)线面平行性质的应用.[典例引领]角度一线面位置关系的判断设m,n表示不同直线,α,β表示不同平面,则下列结论中正确的是()A.若m∥α,m∥n,则n∥αB.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥βC.若α∥β,m∥α,m∥n,则n∥βD.若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则n∥β【解析】A错误,n有可能在平面α内;B错误,平面α有可能与平面β相交;C错误,n也有可能在平面β内;D正确,易知m∥β或m⊂β,若m⊂β,又n∥m,n⊄β,所以n∥β,若m∥β,过m作平面γ交平面β于直线l,则m∥l,又n∥m,所以n∥l,又n⊄β,l⊂β,所以n∥β.【答案】 D角度二线面平行的证明在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是BC,CC1,C1D1,A1A的中点.求证:(1)BF∥HD1;(2)EG∥平面BB1D1D.【证明】(1)如图所示,取BB1的中点M,连接MH,MC1,易证四边形HMC1D1是平行四边形,所以HD1∥MC1.又因为在平面BCC1B1中,BM綊FC1,所以四边形BMC1F为平行四边形,所以MC1∥BF,所以BF∥HD1.(2)取BD的中点O,连接EO,D1O,则OE∥DC且OE=12DC,又D1G∥DC且D1G=12DC,所以OE綊D1G,所以四边形OEGD1是平行四边形,所以GE∥D1O.又D1O⊂平面BB1D1D,GE⊄平面BB1D1D,所以EG∥平面BB1D1D.角度三线面平行性质的应用B1C1D1中,E为线段AD上的任意一如图,在四棱柱ABCD-A点(不包括A,D两点),平面CEC1与平面BB1D交于FG.证明:FG∥平面AA1B1B.【证明】在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥CC1,BB1⊂平面BB1D,CC1⊄平面BB1D,所以CC1∥平面BB1D,又CC1⊂平面CEC1,平面CEC1与平面BB1D交于FG,所以CC1∥FG,因为BB1∥CC1,所以BB1∥FG,而BB1⊂平面AA1B1B,FG⊄平面AA1B1B,所以FG∥平面AA1B1B.证明直线与平面平行的常用方法(1)定义法:证明直线与平面没有公共点,通常要借助于反证法来证明.(2)判定定理法:在利用判定定理时,关键是找到平面内与已知直线平行的直线,可先直观判断题中是否存在这样的直线,若不存在,则需作出直线,常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面,找其交线进行证明.[通关练习]1.(优质试题·高考全国卷Ⅰ)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()解析:选A.对于选项B,如图所示,连接CD,因为AB∥CD,M,Q分别是所在棱的中点,所以MQ∥CD,所以AB∥MQ,又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C,D中均有AB∥平面MNQ.故选A.2.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,F是AB的中点,E是PD的中点.(1)证明:PB ∥平面AEC ;(2)在PC 上求一点G ,使FG ∥平面AEC ,并证明你的结论.解:(1)证明:连接BD 与AC 交于点O ,连接EO . 因为四边形ABCD 为矩形, 所以O 为BD 的中点. 又E 为PD 的中点, 所以EO ∥PB .因为EO ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC , 所以PB ∥平面AEC .(2)PC 的中点G 即为所求的点. 证明如下: 连接GE 、FG , 因为E 为PD 的中点, 所以GE 綊12CD .又F 为AB 的中点,且四边形ABCD 为矩形, 所以F A 綊12CD . 所以F A 綊GE .所以四边形AFGE 为平行四边形,所以FG ∥AE .又FG ⊄平面AEC ,AE ⊂平面AEC ,所以FG∥平面AEC.面面平行的判定与性质[典例引领]B1C1中,E,F,G,如图所示,在三棱柱ABC-AH分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EF A1∥平面BCHG.【证明】(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH∥B1C1,又B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面.(2)在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,所以EF∥BC,因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.又因为G,E分别为A1B1,AB的中点,所以A1G綊EB,所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF=E,所以平面EF A1∥平面BCHG.1.在本例条件下,若D为BC1的中点,求证:HD∥平面A1B1BA.证明:如图所示,连接HD,A1B,因为D为BC1的中点,H为A1C1的中点,所以HD∥A1B,又HD⊄平面A1B1BA,A1B⊂平面A1B1BA,所以HD∥平面A1B1BA.2.在本例条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.证明:如图所示,连接A1C交AC1于点M,因为四边形A1ACC1是平行四边形,所以M是A1C的中点,连接MD,因为D为BC的中点,所以A1B∥DM.因为A1B⊂平面A1BD1,DM⊄平面A1BD1,。