未定式的极限

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未定式的极限

a lna lnb ln . b

( 2 ) lim 2
x
arctanx 1 sin x
arctanx 1 sin x 1
.

解： lim 2
x

lim 2
x
arctanx 1 x
＝ lim
0 0

x
1 x 1 2 x
2
lim
f ( x) lim g ( x) 0 ；（2） lim
x x0 x x0
f ( x) a(或) ，则（3） lim x x0 g ( x) f ( x) f ( x) lim lim a(或) . x x0 g ( x ) x x0 g ( x )
（1） lim lnx
x x
（ 0 ）

1 lnx 1 x 解： lim l i m lim 0. 1 x x x x x x
（2） lim
x
x a x
(a 1,0)
解：①当 0 1 时， lim
2
2
例3. 求 lim
x0
x arcsin x sin3 x
.
1 1 x 2 3x2
0 1 x arcsin x 0 lim 解：原式 lim 3
x 0
x
x0
1 2 x 2 1 x 1 2 lim lim x 0 x0 3 x 2 1 x 2 3x2 1 x2
仍可能存在.
x sin x 例如, 求极限 lim . x x
x sin x 极限 lim lim(1 cos x ) 不存在, x x x

洛必达法则

x→a x→a
(2) 在a 点的某领域内点a 可以除外 f ′( x)及 ( ), F′( x) 都存在且F′( x) ≠ 0; f ′( x) (3) lim ( ); 存在或为无穷大 x→a F′( x) f ( x) f ′( x) . 那末 lim = lim x→a F( x) x→a F′( x)
例8 解
tan x . 求 lim π tan 3 x x→
2
∞ ( ) ∞
sin x cos 3 x − cos 3x 原式 = lim = lim π π cos x x → sin 3 x cos x x→
2 2
=3
Calculous
0 二、⋅ ∞,∞ − ∞,0 ,1 ,∞ 型未定式解法
0 0
在 U 0 (a , δ ) 内任取一点 x , 在以 a 与 x 为端点的区间上 ,
f1 ( x ), F1 ( x )满足柯西中值定理的条件, 则有
f ′(ξ ) f ′( x ) = A, = A, ∴ lim 当x → a时,ξ → a , Q lim ξ → a F ′(ξ ) x → a F ′( x ) f ( x) f ′(ξ ) ∴ lim = lim = A. x→a F ( x ) ξ → a F ′(ξ )
Calculous
§3.2
洛必达法则
<footer>
Calculous
教学目的
会用洛必达法则求未定式的极限，会用洛必达法则求未定式的极限，明确该法则的使用条件；确该法则的使用条件；求极限的过程中洛必达法则和求极限的过程中洛必达法则和等价无洛必达法则穷小代换、极限的四则运算、穷小代换、极限的四则运算、极限的复合运算等多种方法的有机结合、合运算等多种方法的有机结合、灵活运用。

未定式极限的求解方法分析

未定式极限的求解方法分析通过总结未定式的极限的求解方法，分析了常用的求未定式的极限方法，以帮助初学者对未定式极限的求解方法更好的理解和掌握。

标签：未定式；极限；求解方法极限对初学者而言，是一道很难过的关，尤其是未定式的极限求解。

但为了学好高等数学还是要打好这个基础。

在求解极限的过程中，经常会遇到求解未定式极限的问题，常用的未定式的极限主要就分成以下五种类型，分别是00，∞∞，0·∞，∞-∞以及00，1∞，∞0。

后面三种的解决方式相同，所以常看成一种类型。

本文将从五个方面，通过利用罗比达法则以及恒等变形的方法，对常用的未定式极限的求解方法进行解析。

1 00型未定式解决这类未定式问题一般可以通过五种方法解题：1.1 因式分解法，约去零因式，转化为普通的极限问题例 1 （1）求极限lim x→4x2-7x+12x2-5x+4.（2）求极限lim x→1x n-1x m-1(m,n∈N+,m≠n).解（1）当x→4时，此极限是00型，因为分子和分母有公因式x-4，而x→4时，x-4≠0，可约去这个公因式。

所以lim x→4x2-7x+12x2-5x+4=lim x→4(x-3)(x-4)(x-1)(x-4) =lim x→4x-3x-1=13.（2）当x→1时，此极限是00型，因为分子和分母有公因式x-1，而x→1时，x-1≠0，可约去这个因式。

所以lim x→1x n-1x m-1=lim x→1(x-1)(x n-1+x n-2+Λ+x+1)(x-1)(x m-1x m-2+Λ+x+1)=lim x→1(x n-1+x n-2+Λ+x+1)(x m-1+x m-2 +Λ+x+1)=nm.1.2 根式有理化，再约去零因子，转化为普通的极限问题例2（1）求极限lim x→01-1+x2x 2.（2）求极限lim x→4x-2-22x+1-3.解（1）当x→0时，此极限是00型，将分子有理化得lim x→01-1+x2x2=lim x→0(1-1+x2)(1+1+x2)x2(1+1+x2)=lim x→0-x2x2(1+1+x2)=lim x→0-11+1+x2=-12.（2）当x→4时，此极限是00型，将分子分母同时有理化得lim x→4x-2-22x+1-3=lim x→4(x-2-2)(x-2+2)(2x+1+3)(2x+1-3)(x-2+2)(2x+1+3)=lim x→4(x-4)(2x+1+3)2(x-4)(x-2+2)=lim x→42x+1+32(x-2+2)=322.1.3 两个重要极限之（一）法求极限例 3 （1）求极限lim x→0tg xx.（2）求极限lim x→01-cos xx 2.解(1)lim x→0tg xx=lim x→0siim xx·1cos x=limx→0sin xx·lim x→01cos x=1.(2)lim x→01-cos xx2=lim x→02sin2x2x2=lim x→012sin x2x22=12.1.4 等价无穷小量代换法求极限例 4 （1）求极限lim x→01-cos x ln(1+2x).（2）求极限lim x→∞tg31n·arctg3nn sin2n3·tg1n·arcsin5n.解（1）当x→0时，1-cos x~12x2,ln(1+2x)~2x，所以lim x→01-cos x ln(1+2x)=lim x→012x22x=0.（2）当n→∞时，tg1n~1n，arctg3nn~3nn，sin2n3~2n3，tg1n~1n，arcsin5n~5n，所以lim x→∞tg31n·arctg3nn sin2n3·tg1n·arcsin 5n=lim x→∞1n3·3nn2n3·1n·5n=310.1.5 罗比达法则求极限法求极限例 1 （1）求极限lim x→0e x-e-x-2xx-sin x.（2）求极限lim x→0(1+x)α-1x（α为任意实数）.解（1）lim x→0e x-e-x-2xx-sin x00=lim x→0e x-e -x-21-cos x00=lim x→0e x-e-x sin x00=lim x→0e x+e-x cos x=2.（2）lim x→0(1-x)α-1x00=lim x→0α(1+x)α-11=α.2 型未定式2.1 多项式商的未定式极限一般有如下结论lim x→0a0x n+a1x n-1+Λ+a n-1x+a nb0x m +b1x m-1+Λ+b m-1x+b m=0n＜m a0b0n=m∞n＞m.其中a1,a1,Λ,a n,b0,b1,Λ,b n为常数，且a0≠0,b0≠0,m,n为正整数。

未定式极限的求法

未定式极限的求法作者：吴文前
来源：《科学导报·学术》2020年第34期
摘 ;要：未定式的极限在高等数学中是经常出现的，所有教材并未对其纷繁的解法進行过归纳总结，而且不同的解法出现在不同的章节，这就让学生不能产生知识的连接认识，为此，笔者就各种类型的未定式极限解法进行归类梳理，以帮助学生能够做到融会贯通。

关键词：未定式;极限;对数恒等式
注意：“图像判断法”适合于不方便采用重要极限2或者对数恒等式法的未定式极限的求法。

综上，对未定式的极限首先要分清楚是那种类型，然后有针对性的选择不同方法解决。

参考文献
[1] 同济大学数学教研室主编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1992.
[2] 杨晋浩，张勇，罗钊.高等数学（上册）[M].北京：科学出版社，2010.
[3] 罗钊，韩天勇，王伟钧.高等数学（下册）[M].北京：科学出版社，2010.
作者简介：吴文前 ; 成都大学信息科学与工程学院副教授，硕士。

研究方向：数学教育。

§2.6未定式的极限

ln(a1x
a2 x
an x
)
-
ln
n
x0
x
0
0
lim
x0
a1x
ln
a1 a2x ln a2 an x a1x a2x an x
ln
an
ln a1 ln a2 ln an
n
1 n
ln(a1
a2
an
)
ln
n
a1
a2
an
.
∴ lim( a1x
x0
a2 x
an x
1
)x
n
eln n a1a2an
当极限过程为x x ，x x- ，x ，x ， x - 时，只要满足与定理 2 中相仿的条件，也有类似的结论。
例 4.求下列极限
（1） lim ln cot x x0 ln x
解： lim
ln cot x
lim tanx(- csc2 x)
x0 ln x
x0
1
x
lim
x0
- tanx x sin2 x
a2 x
an x
1
)x
x0
n
(ai 0, i 1, 2, , n). （1 型）
1
1 ln( a1x a2 x an x )
解：原式 lim e x
n
x0
lim 1 ln( a1x a2x anx )
ex0 x
n
,
∵ lim 1 ln(a1x a2x an x )
x0 x
n
0
lim
x0
x
2
2.6.2 ? 型未定式
?
定理 2(洛必达法则Ⅱ) 已知函数 f (x) 和g(x)

“未定式“极限的求法

r t o^ ^r + ∞ 1'
=Irnn — ==== ■一 =l i r a ——======： _—一一—。oq m ~ ／ z+z+ 缸冲，
。．
3 ．利用等价无穷小代换定理
N {+{毒
lim 土． s i nx：o) ㈣ Z
例，o求墅爿岳
61
[ 收稿日期] 2008— 12一01 [ 作者简介] 周学勤 (1968 一) ，女，河南内黄人，濮阳职业技术学院讲师。
笼r ’q
hm一一 llm
．．
z( 2口+z)
z
．．

例 7求一 lim。詈
t a Il 工o
r +o n。
t —O
解：所求的极限为“百0 ”型未定式，运用洛必达法则，
解：当 z 一 1时， ( z 一1) 一 o，( z2+2z 一 3) 一O ，所以可
以消去分式的分子、分母中为零的公因子。
。— ’z 0
z，，一 1～ z} ／雨一 1 ～ ÷ ≯ ．
=， ( 函 ) 求得； ( 2) 可用无穷小量乘有界函数仍为无穷小量求得的。l i m a( x) f ( x) =0，其中口( z) 是z 一口时的无穷小
量，，( z ) 为有界函数；( 3) 可用无穷小量的倒数为无穷大量或无穷大量的倒数为无穷小量定理求得； (4) 可用极限的四
2cos 3x ( 一3s i n3x) s i n6x
，．
6cos 6x
解：l i 甲南=l i 芈高=e 鼻禹=。墨t 一{，=e ～．
例 12求 l i m l n 。x( n >o ) z．．十∞ 山

未定式极限的几种解法探讨

未定式极限的几种解法探讨
王真
【期刊名称】《产业与科技论坛》
【年(卷),期】2024(23)9
【摘要】高等数学课程是高校各专业的一门公共基础课,学好这门课对于基础知识和基本技能的获得至关重要。

牢固掌握高等数学的三大基本工具(极限、微分、积分)是学好高等数学的关键,其中极限是最基本的,但是极限求解类型多样,尤其是复
杂函数极限的求解中,仅利用极限的四则运算法则是远远不够的,在复杂函数的极限
求解中,未定式极限的求解既是重点又是难点,鉴于此本文将对未定式极限的计算方
法进行梳理与总结,从而帮助学生更好地理解与掌握未定式极限求解的方法和技巧。

【总页数】4页(P42-45)
【作者】王真
【作者单位】许昌电气职业学院
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.未定式函数极限解法的分类探讨
2.探讨未定式极限几种求法
3.两类典型未定式函数极限解法初探
4.一类待定式极限解法的探讨
5.一道未定式极限例题的解法探讨
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第三章 2. 洛必达法则泰勒中值定理

f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f (n) ( x0 ) + ⋯+ ( x − x0 )n + Rn( x) n!
f (n+1) (ξ ) ( x − x0 )n+1(ξ 在 x0与 x之间). 之间) 其中 Rn( x) = (n + 1)!
x
例. 求
1 1 1x = lim ⋅ α = lim α −1 x→+∞ α x→+∞ α x x
=0
易证 lim ln βx = 0 lim x = 0 (β , λ, µ > 0) λx µ
x→+∞
µ
x
x→+∞
e
由慢到快依次是：由慢到快依次是：对数函数、幂函数、对数函数、幂函数、指数函数. 指数函数这一点从图上即可看出. 即可看出
f (n+1) (ξ ) Rn( x) = ( x − x0 )n+1 (ξ在x0与x之间 ) (n + 1)!
拉格朗日形式的余项
f (n+1) (ξ ) Rn (x) = (x − x0 )n+1 (n +1)! M ≤ | x − x0 |n+1 (n +1)!
Rn ( x ) 0 及 lim n = x → x0 ( x − x ) 0
2
化简，化简，消去零因子
洛必达法则
定理 1：设 f ( x ), g ( x )在点 x 0的某个去心邻域内可导且 g ′( x ) ≠ 0, 满足
(1) lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0;

4-2洛比达法则

数
∞ “ ” 型或 ∞
除此之外,下列类型也是未定式除此之外下列类型也是未定式: 型. 下列类型也是未定式 ∞−∞” “0·∞”, “∞−∞ ∞ 取 ∞−∞ ∞−∞”型 “0·∞”型,“∞−∞ 型. ∞ 型 ∞−∞ 对 “1∞”型,“00”型,“∞0”型. 型型 ∞ 型
数法
0 “ 0
∞ “ ∞
2
极
又如
失效之二循环
x→ +∞
lim
x 1+ x2
1+ x2 x = lim = lim x→ x→ +∞ +∞ x 1+ x2
解：原极限= lim 原极限
1 1+(1/ x )
2
x→ +∞
=1
春风得意洛春风得意洛必塔一招遍摘极限花可叹英雄亦失手莫忘前章有妙法
练习
x +sinx lim x→ x −sinx ∞
sinx co 3x s −3sin3x = lim lim = − lim =3 x→ / 2sin3x x→ / 2 ⋅ co x x→ / 2 −sinx π π π s
lnx lim α (α > 0) 例7.求求 ∞ x→ +∞ x “∞ ”型. 1/ x 1 原极限= 解：原极限 lim 0 α−1 = lim α= x→ α +∞ x x→ α +∞ x ex ex ex 原极限= 例8.计算 lim 2 解：原极限 lim 计算 = lim = +∞ x→ x +∞ x→ 2x x→ +∞ +∞ 2
2 等价无穷小) 等价无穷小 ta 2 x (等价无穷小 n x = lim = lim 0 1− o x→ 1−c s x x→ 1 0 → x2 2 lnx +1− x 例4.计算极限 lim 计算极限

浅谈未定式极限计算的几种方法及技巧

浅谈未定式极限计算的几种方法及技巧作者：黄绍东来源：《教育界·上旬》2015年第07期【摘要】本文介绍了未定式的概念，并在极限运算法则的基础上，通过对未定式的极限计算方法进行介绍，总结出未定式极限计算的几种方法及技巧。

【关键词】未定式 ; ;极限计算 ; ;方法一、引言极限是高等数学中最重要的内容之一，是研究高等数学的有力工具。

高等数学中一些非常重要的概念如函数的连续性、导数的概念、定积分的概念等都是用极限来定义的。

极限贯穿于高等数学的始终，掌握极限概念与极限运算是学好高等数学的前提条件，求极限成为高等数学中的基本运算，其中，未定式极限又是极限中的一个难点。

洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，它主要是通过求极限号下分式的分子、分母的导数达到消去未定因素的目的。

但也有一些未定式极限仅用洛必达法则是解不出来的，可利用初等解法，即通过恒等变形或变量替换转化为非不定式的极限来计算;或者利用无穷小代换法则、洛必达法则积分法、变量代换、函数转换（取对数、因式分解）中值定理等来计算。

为此，本文针对这一问题对未定式的极限计算方法与技巧进行归纳总结。

二、未定式的概念我们知道，两个无穷小量之比的极限或者两个无穷大量之比的极限，有的存在，有的不存在，即使存在，不同的极限值也不相等。

因此，我们将这类极限称为未定式，并分别记两个无穷小量之比的极限和两个无穷大量之比的极限为“”型和“”型。

对于“”型和“”型的极限，由于不能运用“商的极限等于极限的商”这一法则，洛必达法则就是求这种未定式的重要且有效的方法，这个方法的理论基础是柯西中值定理。

除了“”型和“”型这两类未定式之外，常见的未定式还有“”“”“”“”“”等形式的极限。

本文重点按未定式的类型来对极限计算的常用几种方法与技巧进行探讨。

三、“”型未定式的求解方法1.通过因式分解和根式有理化，消去“”因子，再用极限运算法则或连续函数极限的求法求解。

所谓根式有理化，是指极限式中含有（或）的题型，在求极限之前先用它们的共轭根式（或）分别乘以分子、分母，使其“”因子呈现出来的一种运算。

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f(x)
f (ξ )
lim lim
A.
x x0 g(x) ξ x0 g'(ξ )
注：如果 f (x) 仍属 0 型，且 f (x),g'(x)满足
g'(x) 0 定理的条件，可以继续使用洛必达法则，即
lim f(x) lim f (x) lim f (x) A(或).
lim
x0
cos bx cos ax
1.
例求 lim tan x .( ) x tan 3 x
2
解
原式
lim
x
sec2 3 sec 2
x 3
x
1 3
lim
x
cos2 3x cos2 x
2
2
1 lim 6cos3x sin 3x
3 x 2cos x sin x
2
lim sin 6x x sin 2 x
(1)lim f ( x) x x0
lim g( x)
x x0
(2) f (x) 和 g( x) 在x0的某一去心邻域内存在,且
g(x) 0
(3) lim f (x) A(或) xx0 g(x)
型
则有 lim f (x) lim f (x) A(或） xx0 g ( x) xx0 g( x)
微积分讲课提纲
微积分（I）浙江大学理学院讲课人：朱静芬 E-mail:jfzhu@
第三章微分中值定理及导数的应用
第二节未定式的极限
一、0 型未定式的极限 0
二、型未定式的极限
三、其他类型未定式的极限
我们知道：两个无穷小量或两个无穷大量的商的极限，随着无穷小量或无穷大量的形式不同，极限值可能存在、也可能不存在、可能是无穷小量、也可能是无穷大量，为此，我们称这类极限为“不定型”, 记为:0 或 .
定义,且满足：
罗必塔法则I (LHospital )
(1) lim f (x) 0 lim g(x) 0
xx0
xx0
(2) f (x) 和 g( x) 在x0的某一去心邻域内存在,且
g(x) 0
(3) lim f (x) A(或)
xx0 g(x)
0
则有 lim f (x) 0 lim f (x) A(或）
x x0 g(x) x x0 g'(x) x x0 g"(x) 当x x0 ,x x0 ,x ,x ,x 时, 该法则仍然成立,如：
f (x)
f ( x)
lim
lim
.
x g( x) x g'( x)
例. 求 lim ex cos x x0 x sin x
0 0
解 lim ex cos x lim ex sin x
1
ex2
lim
x0
100
2 x3
x 101
1
ex2
lim
x0
50
x 98
1
50次
lim
x0
50
1
!
0
e x2
e x2
使用罗必塔法则的几点注意事项：
1）认真审查计算的极限是否是未定式，若不是未定式则不能用洛比达法则，否则将得出错误的结论。
lim
2
lim 6cos6x x 2cos 2x
2
3.
例求 lim x sin x .
x
x
解 lim x sin x lim (1 cos x) 不存在 ,
x x
x
故不能用罗必达法则求此极限 .
实际上
lim x sin x lim (1 sin x ) 1.
x x
x
x
1
例
求
lim
x0
0
不定型的极限
lim
x0
tan x
x
，
0 0
lim x ex， 0
x
lim ln x x x
1
lim x x， 00
x0
lxim0
arcsin x
x
x
2
1
xlim0 ln
1 x
x
0
lxim1
1
x
x
1 ln x
以上七种形式统称为未定式.
一、0 型未定式的极限 0
定理设函数 f (x)和 g(x) 在点 x0的某一去心邻域内有
在使用罗必达法则时,要注意进行化简工作,它会使问题变得简单.
lim 2 tan xsec2 x x0 sin x
(化简) lim
x0
2 cos3
x
2
连续使用罗必达法则
二、型未定式的极限
定理设函数 f (x)和 g(x) 在点 x0的某一去心邻域内有
定义,且满足
罗必塔法则II ( LHospital )
e x2 x100
.
0 0
解
lim
x0
e
1 x2
x100
lim
x0
e
1 x2
50 x102
0 0
你还打算做下去吗?
这样做，分母中x的次数将越来越高 , 而分子不变,极限始终无法求出 .
例
求
lim
x0
e
1 x2
x100
.
0 0
解将原极限稍加变形 :
lim
x0
e
1 x2
x100
lim
x0
x 100
当x x0 ,x x0 ,x ,x ,x 时,
该法则仍然成立,如：
例.
求
lim
x
ln x
x
n
n 0
1
解
lim
x
ln x xn
lim
x
x nxn1
lim
x
1 nxn
0
例求 lim ln sin ax . x0 ln sin bx
解
原式
lim a cos ax sin bx x0 bcos bx sin ax
F(x),G(x) 满足柯西中值定理的条件, 则有
f(x) F(x) F(x0 ) F (ξ ) g(x) G(x) G(x 0 ) G(ξ )
(在x与x0之间)
当x x0时 ,ξ x0 ,
lim f(x) A, lim f (ξ ) A,
x x0 g(x)
ξ x0 g'(ξ )
xx0 g ( x) xx0 g( x)
定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
证定义辅助函数
f(x),
F(x)
0,
x x0 , x x0
g(x),
G(x)
0,
x x0 , x x0
在 U 0(x0 ,δ)内任取一点x, 在以 x0与 x 为端点的区间上 ,
x0 x sin x x0 sin x x cos x
arctan x
例. 求 lim 2
x
1
0 0
解
lim 2
x
x
arctan
1
x
lim
1
1 x
2
x 1
lim x1
x
2
x

2
1
x
x2
例
求 lim tan x x . x0 x sin x
0 0
解 lim tan x x lim sec2 x 1 0 x0 x sin x x0 1 cos x 0

未定式的极限

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