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0_0型未定式极限的五种求解方法

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求解0·∞型极限的方法分析

求解0·∞型极限的方法分析

KF
'
7
1
I
cotx
— x -^lim V=i
xto— tanx^O )
sec x
117
第4期
滇西科技师范学院学报
第28卷
此时，两个方法都可以解出这个极限，但显然第二个方法利用三角函数的关系 (晶=曲小 能使函数形式及计算更简单一些。
“因此，当函数是幕函数和三角函数的乘积时，最好把三角函数的倒数作为分母。
例 4 求极限lim arcsin xln xo 解析：这是冷0・8型的极限。
方法一：由于当xtO+时，arc sin x~ %,可以利用等价无穷小代换，将函数arcsinx替
换成X,结果同例1。
方法二：将函数In x的倒数作为分母，有 1
limarcsinxlnxfO-oo). lim 竺学<专=lim 丐厂 lim-芈比
3) lim4^ = /o 则lim型=lim以Q=/。
loo (p(X)
XT8 0(兀) XT8 ^(X)
2) lim/(x) = 0-^lim<p(x) = 0；
x—>oo
xtoo
洛必达法则3闪若函数/(对与EQ满足下列条件：
1)在a的某去心邻域U⑷可导，且0(x)工0；
3) lim马¥ =仁则1込旦◎ =
第28卷第4期 2019年12月
滇西科技师范学院学报 Journal of West Yurman University
Vol. 28 No. 4 Dec. 2019
求解0・00型极限的方法分析
曾赤洁
(滇西科技师范学院数理学院，云南 临沧677099)
摘 要：0•逊极限是一种常见的待定型极限，洛必达法则是计算这种待定型极限的有效方法。在 应用洛必达法则之前，必须把小型变形成昔型n 或云co型。文章通过大量典型例题的分析，推导出计算 0 • 00型极限的方法，应用这些方法能快速而方便地求出0 • 00型的极限。

未定式的极限

未定式的极限

a lna lnb ln . b

( 2 ) lim 2
x
arctanx 1 sin x
arctanx 1 sin x 1
.

解： lim 2
x

lim 2
x
arctanx 1 x
＝ lim
0 0

x
1 x 1 2 x
2
lim
f ( x) lim g ( x) 0 ； （2） lim
x x0 x x0
f ( x) a(或) ，则 （3） lim x x0 g ( x) f ( x) f ( x) lim lim a(或) . x x0 g ( x ) x x0 g ( x )
（1） lim lnx
x x
（ 0 ）

1 lnx 1 x 解： lim l i m lim 0. 1 x x x x x x
（2） lim
x
x a x
(a 1,0)
解：①当 0 1 时， lim
2
2
例3. 求 lim
x0
x arcsin x sin3 x
.
1 1 x 2 3x2
0 1 x arcsin x 0 lim 解：原 式 lim 3
x 0
x
x0
1 2 x 2 1 x 1 2 lim lim x 0 x0 3 x 2 1 x 2 3x2 1 x2
仍可能存在.
x sin x 例如, 求极限 lim . x x
x sin x 极 限 lim lim(1 cos x ) 不 存 在, x x x

未定式极限的求解方法分析

未定式极限的求解方法分析

未定式极限的求解方法分析通过总结未定式的极限的求解方法，分析了常用的求未定式的极限方法，以帮助初学者对未定式极限的求解方法更好的理解和掌握。

标签：未定式；极限；求解方法极限对初学者而言，是一道很难过的关，尤其是未定式的极限求解。

但为了学好高等数学还是要打好这个基础。

在求解极限的过程中，经常会遇到求解未定式极限的问题，常用的未定式的极限主要就分成以下五种类型，分别是00，∞∞，0·∞，∞-∞以及00，1∞，∞0。

后面三种的解决方式相同，所以常看成一种类型。

本文将从五个方面，通过利用罗比达法则以及恒等变形的方法，对常用的未定式极限的求解方法进行解析。

1 00型未定式解决这类未定式问题一般可以通过五种方法解题：1.1 因式分解法，约去零因式，转化为普通的极限问题例 1 （1）求极限lim x→4x2-7x+12x2-5x+4.（2）求极限lim x→1x n-1x m-1(m,n∈N+,m≠n).解（1）当x→4时，此极限是00型，因为分子和分母有公因式x-4，而x→4时，x-4≠0，可约去这个公因式。

所以lim x→4x2-7x+12x2-5x+4=lim x→4(x-3)(x-4)(x-1)(x-4) =lim x→4x-3x-1=13.（2）当x→1时，此极限是00型，因为分子和分母有公因式x-1，而x→1时，x-1≠0，可约去这个因式。

所以lim x→1x n-1x m-1=lim x→1(x-1)(x n-1+x n-2+Λ+x+1)(x-1)(x m-1x m-2+Λ+x+1)=lim x→1(x n-1+x n-2+Λ+x+1)(x m-1+x m-2 +Λ+x+1)=nm.1.2 根式有理化，再约去零因子，转化为普通的极限问题例2（1）求极限lim x→01-1+x2x 2.（2）求极限lim x→4x-2-22x+1-3.解（1）当x→0时，此极限是00型，将分子有理化得lim x→01-1+x2x2=lim x→0(1-1+x2)(1+1+x2)x2(1+1+x2)=lim x→0-x2x2(1+1+x2)=lim x→0-11+1+x2=-12.（2）当x→4时，此极限是00型，将分子分母同时有理化得lim x→4x-2-22x+1-3=lim x→4(x-2-2)(x-2+2)(2x+1+3)(2x+1-3)(x-2+2)(2x+1+3)=lim x→4(x-4)(2x+1+3)2(x-4)(x-2+2)=lim x→42x+1+32(x-2+2)=322.1.3 两个重要极限之（一）法求极限例 3 （1）求极限lim x→0tg xx.（2）求极限lim x→01-cos xx 2.解(1)lim x→0tg xx=lim x→0siim xx·1cos x=limx→0sin xx·lim x→01cos x=1.(2)lim x→01-cos xx2=lim x→02sin2x2x2=lim x→012sin x2x22=12.1.4 等价无穷小量代换法求极限例 4 （1）求极限lim x→01-cos x ln(1+2x).（2）求极限lim x→∞tg31n·arctg3nn sin2n3·tg1n·arcsin5n.解（1）当x→0时，1-cos x~12x2,ln(1+2x)~2x，所以lim x→01-cos x ln(1+2x)=lim x→012x22x=0.（2）当n→∞时，tg1n~1n，arctg3nn~3nn，sin2n3~2n3，tg1n~1n，arcsin5n~5n，所以lim x→∞tg31n·arctg3nn sin2n3·tg1n·arcsin 5n=lim x→∞1n3·3nn2n3·1n·5n=310.1.5 罗比达法则求极限法求极限例 1 （1）求极限lim x→0e x-e-x-2xx-sin x.（2）求极限lim x→0(1+x)α-1x（α为任意实数）.解（1）lim x→0e x-e-x-2xx-sin x00=lim x→0e x-e -x-21-cos x00=lim x→0e x-e-x sin x00=lim x→0e x+e-x cos x=2.（2）lim x→0(1-x)α-1x00=lim x→0α(1+x)α-11=α.2 型未定式2.1 多项式商的未定式极限一般有如下结论lim x→0a0x n+a1x n-1+Λ+a n-1x+a nb0x m +b1x m-1+Λ+b m-1x+b m=0n＜m a0b0n=m∞n＞m.其中a1,a1,Λ,a n,b0,b1,Λ,b n为常数，且a0≠0,b0≠0,m,n为正整数。

洛必达法则

洛必达法则
不一定．
例 f(x)xsix,n g(x)x
显然
f (x) lim x g(x)
1cosx lim x 1
极限不存在．
但
lim
x
f (x) g( x)
limxsinx1 极限存在． x x
2. lim3sinxx2co1xs x0(1coxs)ln1(x)
3 2
ln1(x)～ x
分析: 原式 1lim3sinxx2co1xs 1 (3 0)
2
2
lim6cos6x 3. x 2cos2x
2
说明:
一】 例五 !! 例六x表 时 !!
明
ln x, xn(n0), ex(0)
后者比前者趋于 更快 .
二】 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解
决
例如!!
计算问题 .
用洛必达法则
xlim例 3.1xxl ix2m lxnnxxlim01x(xn20x)l.im
洛必达【一六六一 –
一七0四】 法国数学家!!它著有《无穷小分析》 【一六九并六在】该!!书中提出了求未定式极 限的方法!!后人将其命名为“ 洛必达法 则 ”它. 在一五岁时就解决了帕斯卡提出 的摆线难题 !!以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 在!! 它去世后的一七二0 年出版了它的关于圆 锥曲线的书 .
lim
x0
ln x xn
1
lim
x0
n
x
xn1
lim ( xn) 0 x0 n
0型
2. 型
解决方法:
0
通分
0
转化
步骤: 11 0 0 .
0 0 00
例一 求lim ( 1 1).

七种未定式的极限解法

七种未定式的极限解法

极限七种未定式及解法是什么？
未定式是高等数学中求极限中常见的问题，它不能直接代入计算。

一共有7种。

分别是0比0，∞比∞，0*∞，1^∞，0^0,∞^0和∞-∞型。

未定式是指如果当x→x0(或者x→∞)时，两个函数f(x)与g(x)都趋于零或者趋于无穷大，那么极限lim [f(x)/g(x)] (x→x0或者x→∞)可能存在，也可能不存在，通常把这种极限称为未定式，也称未定型。

未定式通常用洛必达法则求解
相关定义
如果当x→x0(或者x→∞)时，两个函数f(x)与g(x)都趋于零或者趋于无穷大，那么极限lim [f(x)/g(x)] (x→x0或者x→∞)可能存在，也可能不存在，通常把这种极限称为未定式或者未定型，分别用0/0和∞/∞来表示。

对于这类极限，不能直接用商的极限等于极限的商来求，通常用洛必达法则（或译作罗必塔法则）来求解。

求极限的几种方法(课堂PPT)

求极限的几种方法(课堂PPT)

lim f(x )li(m 1 x ) 1,
x 0
x 0
lim f(x)li(m x21 ) 1,
x 0
x 0
左右极限存在且相等,
故 lim f(x)1. . x 0
y
y1x
1
o
yx2 1 x
7
(lxi) m0sin(x()x)1
例3 求lx im 01xc2oxs.
解
2sin2
原 式 lim x0
.
2
直接代入法
例1 求lx im 2x2x33x15.
解 li(m x23x5)lim x2li3 m xli5 m
x 2
x 2
x 2
x 2
(lix m )23lix m li5 m
x 2
x 2 x 2
2232530,
lxim 2 x2
x3 1 3x5
limx3 lim1
x2
x2
lim(x2 3x5)
错解 当 x 0 时 ,tx a ~ x ,n sx i ~ x n .
原式 lxim 0 (x2x)x30.
解 当 x0时 , si2n x~2x,
tx a sn x i t n x a ( 1 c n x ) o ~ 1 x s 3 ,
1 x3 原式 lim 2
1
.
2
x0 (2x)3 16
lim 6x
lim 6 1

x1 6x 2 . x1 6
14
.
15
应注意：因式必须为无穷小因子 几:个替换因子：当 x0时 ,
sinx~x, arcsxi~nx, tanx~x, arctxa~nx, ln1(x)~x, ex1~x, 1coxs~1x2.

第三章 2. 洛必达法则 泰勒中值定理


f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f (n) ( x0 ) + ⋯+ ( x − x0 )n + Rn( x) n!
f (n+1) (ξ ) ( x − x0 )n+1(ξ 在 x0与 x之间). 之间) 其中 Rn( x) = (n + 1)!
x
例. 求
1 1 1x = lim ⋅ α = lim α −1 x→+∞ α x→+∞ α x x
=0
易证 lim ln βx = 0 lim x = 0 (β , λ, µ > 0) λx µ
x→+∞
µ
x
x→+∞
e
由慢到快依次是： 由慢到快依次是： 对数函数、幂函数、 对数函数、幂函数、 指数函数. 指数函数 这一点从图上 即可看出. 即可看出
f (n+1) (ξ ) Rn( x) = ( x − x0 )n+1 (ξ在x0与x之间 ) (n + 1)!
拉格朗日形式的余项
f (n+1) (ξ ) Rn (x) = (x − x0 )n+1 (n +1)! M ≤ | x − x0 |n+1 (n +1)!
Rn ( x ) 0 及 lim n = x → x0 ( x − x ) 0
2
化简， 化简，消去零因子
洛必达法则
定理 1：设 f ( x ), g ( x )在 点 x 0的某个去心邻域内 可导且 g ′( x ) ≠ 0, 满足
(1) lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0;

四2罗必塔法则

未定式的定值法——罗彼塔法则 §4.2 未定式的定值法 罗彼塔法则
0 ∞ 一 、 与 未定型极限解法 0 ∞ (1) 当 x → x 0时, 函数 f ( x ) 及 g ( x ) 都趋于零;
( 2) 在 x 0 点的某去心邻域内 f ( x )及 g ( x ) 都可导且 g / ( x ) ≠ 0; ,
x
1 1 0⋅∞ = ⋅∞ = 0⋅ . 0 ∞
sin 1 x
0 = lim ( ) x →+∞ 0
解：原式 ( ∞ ⋅ 0 ) = lim
−
x → +∞
e −x
∞ ex ex ex = lim 2 ( = lim ) = xlim x → +∞ x → +∞ 2 x x → +∞ 2 ∞
= +∞ .
例10、 求
x →0
lim+ (cot x )
0
1 ln x
sec 2 x − 1 ln(cot x ) ∞ = lim+ cot x ∵ lim+ ( ) x →0 ⋅ ln(cot x ) = lim 1 x →0 x → 0 ln x ln x ∞ x
+
解：原式 (
lim ∞ ) = x →0 e
f ( x ), F ( x) = 0, x ≠ x0 , x = x0
g ( x ), G( x ) = 0,
x ≠ x0 x = x0
,
在 U 0 ( x 0 , δ ) 内任取一点 x ,
F ( x ) − F ( x 0 ) F / (ξ ) → = / G( x ) − G( x 0 ) G (ξ )
2) 当x → ∞时, 法则同样成立 .

三其它类型的未定式-精品文档

第二节 洛必达法则
一、0 型未定式
0
二、 型未定式
三、其它类型的未定式
第三章
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未定式
如x 果 x 0(或 当 x )时 , 两个函 f(x数 )与g(x)
都趋于零或都趋于无穷 大, 那么极限
0
f (x) lim x x0 g( x )
( x )
( 0
(
仍0 属 型 ,且f(x),F(x)满足 0
理1条件, 则
limf(x)limf(x) F(x) F(x)
limFf ((xx))
如果有必要可连续应用有限次洛必达法则，
直至求出极限值，或找出不符合法则的情形为止，
若永远是不定式，则方法失效，改用其他求极限方法
上页 下页 返回 结束
0

e
1 x2
.
0型 0
1 50
解:
原式 = lim x 0

x
2

1
e x2
令t

1 x2
t 50
lim
t
et
型
(用洛必达法则)
lim t
50 ! et
0
(继续用洛必达法则)
上页 下页 返回 结束
3. 00,1,0型
步骤:
0 0 幂指函数求极限
0型 0
解:
注意到：x时，ln(1
1) x
～
1 x
1 原式 lim x
(L)

lim
1 x2
x arccoxt
x

1
1 x
2

1 x2
lim

关于“0- 0”型未定式极限求法的一点补充

ｓ —Ｘ Ｏ Ｘ ｉ ｎ ＣＳ
ｌ ｉ ｍ
：
…
） ］
ｌ ｉ ｍ
（ ） 或
，
在解 法 四中 ，当用 等价无 穷 小替代 时 ，是将 式 ｘ ｓ ｘ 中所 有ｓ ｉ ｎ ｉ ｎ
一
ｆ（） ＇ ｘ
或
，
一
ＣＯ Ｓ
川
于 是有
ｌ ｉ ａ ｒ
…
都 用 了等价 无 穷， 替 代 ，从而 得 到 Ｊ
＝
一
ｌ ｉ ｍ ，
ｆ＇ ） ｘ （
一
： 、
ｌ ｉ ｍ
：ｌ ｉ ｍ
：
）
（ ｏ） 或 ｏ
＝
０
时 。 ｓ 叫 ｉ ｎ
０
０ ｘ ２ ２
另外 ，若 ＿ 、Ｆ（） 厂 ） 满足 上述 法则 中的假 设 （ ） 、 （ ）， （ １ ２ 而 一 Ｆ （ ｌ ｆｘ ｉ ｍ ） （） 仍是 ３， ， 型的未定式，此时，若函数 ＿ ）、 ，） 厂 Ｆ（ 仍能满 足法 则 中的假 设 （ ）、 （ ），且 １ ２
。 ｉ ｓ ｎ
０ ２ ｓｎ ｘ ｉ Ｘ＋ ＣＳ Ｏ
＝ｌ ｉ ｍ
！ ！
＝Ｉ ｊ ｍ
！
：ｌ ｉ ｍ
！！ ．
－ ｘｓ ＋ Ｃ Ｓ ＋２ ｉ ０ ｎ ＯＸ
＝
０２ ｉ ＋ＸＣ Ｓ ｓ ｎ Ｏ
ｚ ０ Ｏ ＋Ｃ Ｓ ｓ Ｓ ２Ｃ Ｏ Ｘ— ｉ ｎＸ
－ Ｏ ＋ Ｃ Ｓ — ｓｎＸ ÷ ２Ｃ Ｓ ０ Ｏ ｉ
二 、使 用上述 法 则时 的一点思 考
（ ）问题 一
ｌ ｉ ～ｓｎｘ
：
ｌ ２ ｏ ｘ－ｘｓ ｉ ｍ ｃ ｓ ｉ ｎｘ
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。