一类_0_0_型未定式极限的简单求法

连保胜 2015-11-24第一讲 极限的求法（包括一元和多元）极限的基本形式是000,,1,,0,,00∞∞∞-∞∞∞∞等 一、型未定式的求法： 1、 分式，因式分解，约分，约去0的部分，代入计算。

或者根据留大去小原则，保留加法形式中的低阶无穷小来处理。

2、 根式，换元发，变分式，或者，有理化，包括分子有理化和分母有理化。

3、 0的等价表互相替换0，注意，相互替换的是0，或者替换复合函数中的0部分。

条件为：0x →（或者等价条件，例如：1,2nn →∞，只要是0换0，这个原则不能改变）等价表如下（根据五大类函数依次列出）：11112x x n指数函数：1ln ;1x x a x a e x --对数函数：log (1)log ;ln(1)e a a x x x x ++三角反三角函数：1sin tan arcsin arctan ;1cos 2x x x x x x x - 4、 罗必达法则：()()limlim()()f x f xg x g x '='，注意使用这个法则的时候非0的部分一定不要参与求导的运算，应使用基本的一些运算将他和0部分分开。

5、 泰勒展式替换0，使用在0处的泰勒展式替换极限中的0部分 五大函数的泰勒展式：幂函数：0112(1).........n nx C C x C x C x ααααα+=+++++期中(1)(2) (1)(1)(2) (1)nn C n n n ααααα---+=--，当1α=-时，有无穷等比数列的和的公式：2111...(1)......1n n x x x x+=-+++-++ 指数函数：22(ln )(ln )1ln .........2!!n xna a a x a x x n =+++++；2111.........2!!x n e x x x n =+++++对数函数：231ln(1)...(1)...23nn x x x x x n++--++-+ 三角反三角函数：312111sin ...(1)......3!(21)!n n x x x x n +-=+++-+- 2211cos 1...(1)......2!(2)!n n x x x n =-++-+ 二、∞∞型未定式的极限的求法 6、 保留留大去小原则，保留加法中的高阶无穷大，再求极限。

高等数学求极限的14种方法高等数学求极限的14种方法一、极限的定义极限的保号性很重要。

设$x\to x_0$，$limf(x)=A$，则有以下两种情况：1）若$A>0$，则有$\delta>0$，使得当$00$；2）若有$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$f(x)\geq 0$，则$A\geq 0$。

极限分为函数极限和数列极限，其中函数极限又分为$x\to\infty$时函数的极限和$x\to x_0$的极限。

要特别注意判定极限是否存在，收敛于$a$的充要条件是它的所有子数列均收敛于$a$。

常用的是其推论，即“一个数列收敛于$a$的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于$a$”。

二、解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。

只能在乘除时候使用。

2.XXX（L'Hospital）法则。

它的使用有严格的使用前提。

首先必须是$x$趋近，而不是$n$趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求$x$趋近情况下的极限，数列极限的$n$当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。

其次，必须是函数的导数要存在，假如只告诉$f(x)$、$g(x)$，而没有告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。

另外，必须是“比”或“无穷大比无穷大”，并且注意导数分母不能为$0$。

洛必达法则分为三种情况：1）$\infty/\infty$时，直接用$\infty$；2）$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$0^0$、$\infty^0$时，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通分之后，就能变成（1）中的形式了。

即$f(x)g(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$或$f(x)g(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$；3）$1^\infty$、$0^0$、$1^{\infty-\infty}$、$\infty^0$对于幂指函数，方法主要是取指数还取对数的方法，即$e^{f(x)g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}$，这样就能把幂上的函数移下来了，变成$0/0$型未定式。

洛必达法则如果当0x x →或∞→x 时，两个函数)(x f 、)(x g 都趋向于零或趋向于无穷大，这时极限)()(lim x g x f 可能存在也可能不存在，通常把上述极限叫做未定式，并分别记为00型或∞∞型.例如30sin lim x x x x -→，xx e x arc -+∞→cot lim 都是00型.xx x )1ln(lim 2+∞→，x x x ln csc lim 0+→都是∞∞型.显然，用第一章所学的方法很难求出极限值来.下面介绍求这类极限的一种简便而有效的方法——洛必达（L 'Hospital ）法则.一、型未定式 00型未定式极限的自变量变化状态可分为：0x x →，+→0x x ，-→0x x ，∞→x ，+∞→x ，-∞→x .下面只讨论0x x →的情形，其它类似.定理1 如果函数)(x f 、)(x g 在),ˆ(0δxN 内可导，且满足下列条件： （1）0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x ；（2）0)(≠'x g ；（3）A x g x f x x =''→)()(lim（或∞）. 那么，=→)()(limx g x f x x A x g x f x x =''→)()(lim 0（或∞）.（证明从略） 这个定理说明了当0x x →时，0型未定式的极限在符合定理条件时下，可以通过对分子、分母分别求导，再求极限来确定.例1 求xe e xx x sin lim 0-→-.解 这是00型，所以2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x 例2 求21)1(ln lim-→x x x .解 ∞=-=-=-→→→)1(21lim )1(21lim )1(ln lim110021x x x x x x x x x 如果)()(lim 0x g x f x x ''→仍属于00型，且)(),(x g x f ''仍满足洛必达法则中的条件，那么可以继续使用该法则进行计算，并可依次类推.但应注意，如果所求的极限已不是未定式，则不能再用洛必达法则，否则会产生错误的结果.此外在用洛必达法则时，最好能结合求极限的其它方法，如恒等变形、重要极限等，那样效果会更好.例3求3sin limxxx x -→.解 30sin limx x x x -→616sin lim 3cos 1lim 0002000==-=→→x x x x x x 例4 求xx x 1arctan 2lim -+∞→π.解 xx x 1arctan 2lim -+∞→π11lim 111lim222200=+=-+-=+∞→+∞→x x xx x x二、∞∞型的未定式 ∞∞型的未定式极限仍有类似于00型未定式极限的洛必达法则，除00与∞∞的差别外，条件与结果极为相似，下面只举例说明它的应用.例5 求xxx ln cot ln lim 0+→. 解 xx x ln cot ln lim0+→x x x xx x x x cos sin lim1)sin 1(cot 1lim020-=-=++→→∞∞ 1cos 1lim sin lim 00-=⋅-=→→+xx x x x 例6 求nx x xln lim+∞→.解 n x x x ln lim +∞→01lim 1lim 1===+∞→-+∞→∞∞nx n x nx nx x三、其它类型极限求法除00型与∞∞型的未定式之外，还有,0∞⋅ ∞-∞，00，∞1，0∞等未定式，对这类未定式求极限，通常是利用代数恒等变形转化为00或∞∞型，然后用洛必达法则进行计算.例7 求x x x ln lim 0+→. 解 这是∞⋅0型，因此0lim 11lim 1ln lim ln lim 202000=-=-==++++→→∞∞→→xx xx x x x x x x x x .例8 求).1sin 1(lim 0xx x -→ 解 这是∞-∞型，因此0sin cos 2sin lim cos sin cos 1lim sin sin lim )1sin 1(lim 00000000=-=+-=-=-→→→→x x x x x x x x x x x x xx x x x x例9 求xx x 2tan 4)(tan lim +→π.解 这是∞1型，因此ee eeex xx xxx xx x xx x x 1lim )(tan lim 1)cos sin 22sin (lim 2cot tan ln lim tan ln 2tan 42tan 444=====--⋅→→+→+→++ππππ. 但洛必达法则不是万能的.有时我们还会碰到某些特殊情形.例10 求xxx x sin lim+∞→.解 这极限属于∞∞型，但因为x xx x sin lim+∞→1cos 1lim x x +=∞→∞∞不存在，所以不能用洛必达法则求这极限， 事实上 x x x x sin lim+∞→101)sin 11(lim =+=+=∞→x xx 例11 求x x x 21lim ++∞→.解 xxx 21lim++∞→221lim1122lim xx x xx x +=+=+∞→+∞→∞∞xx x x x x 221lim 1221lim+=+=+∞→+∞→∞∞两次运用洛必达法则后，又还原为原来的问题，因此洛必达法则失效.事实上x x x 21lim ++∞→111lim 2=+=+∞→xx 所以在使用洛必达法则时，应注意以下几点： （1） 每次使用法则前，必须检验是否属于00型或∞∞型未定式.若不是，就不能使用该法则. 否则会导致错误的结果.并在计算的过程中，注意不断化简其中间过程，使之求极限顺利进行.（2）当)()(limx g x f ''不存在时，并不能断定所求的极限)()(lim x g x f 不存在，此时应该使用其它方法来求极限. （3）洛必达法则并不是万能的，在某些特殊情形下，洛必达法则会失效，需寻求其它解法.习题1、 用洛必达法则求下列极限（1）x x x cos 2lim 2ππ-→； （2）x e e xx x -→-0lim ；（3）x x e x arc -+∞→cot lim ； （4）123lim 2331+--+-→x x x x x x ；（5）x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→； （6）xx x )1ln(lim 2+∞→；（7）xarc x x cot )11ln(lim++∞→； （8）x x x ln csc lim 0+→. 2、 求下列极限（1）)111(lim 0--→x x e x ； （2）2tan )(lim xx x ππ-→； （3）xx x )arctan 2(lim π+∞→.3、 求下列极限（1）xx x x sin 1sinlim20→； （2）3312lim++∞→x x x ；（3）x x x x x sin sin lim +-∞→； (4 )xx xx x e e e e --+∞→+-lim .。

未定式极限的求解方法分析通过总结未定式的极限的求解方法，分析了常用的求未定式的极限方法，以帮助初学者对未定式极限的求解方法更好的理解和掌握。

标签：未定式；极限；求解方法极限对初学者而言，是一道很难过的关，尤其是未定式的极限求解。

但为了学好高等数学还是要打好这个基础。

在求解极限的过程中，经常会遇到求解未定式极限的问题，常用的未定式的极限主要就分成以下五种类型，分别是00，∞∞，0·∞，∞-∞以及00，1∞，∞0。

后面三种的解决方式相同，所以常看成一种类型。

本文将从五个方面，通过利用罗比达法则以及恒等变形的方法，对常用的未定式极限的求解方法进行解析。

1 00型未定式解决这类未定式问题一般可以通过五种方法解题：1.1 因式分解法，约去零因式，转化为普通的极限问题例 1 （1）求极限lim x→4x2-7x+12x2-5x+4.（2）求极限lim x→1x n-1x m-1(m,n∈N+,m≠n).解（1）当x→4时，此极限是00型，因为分子和分母有公因式x-4，而x→4时，x-4≠0，可约去这个公因式。

所以lim x→4x2-7x+12x2-5x+4=lim x→4(x-3)(x-4)(x-1)(x-4) =lim x→4x-3x-1=13.（2）当x→1时，此极限是00型，因为分子和分母有公因式x-1，而x→1时，x-1≠0，可约去这个因式。

所以lim x→1x n-1x m-1=lim x→1(x-1)(x n-1+x n-2+Λ+x+1)(x-1)(x m-1x m-2+Λ+x+1)=lim x→1(x n-1+x n-2+Λ+x+1)(x m-1+x m-2 +Λ+x+1)=nm.1.2 根式有理化，再约去零因子，转化为普通的极限问题例2（1）求极限lim x→01-1+x2x 2.（2）求极限lim x→4x-2-22x+1-3.解（1）当x→0时，此极限是00型，将分子有理化得lim x→01-1+x2x2=lim x→0(1-1+x2)(1+1+x2)x2(1+1+x2)=lim x→0-x2x2(1+1+x2)=lim x→0-11+1+x2=-12.（2）当x→4时，此极限是00型，将分子分母同时有理化得lim x→4x-2-22x+1-3=lim x→4(x-2-2)(x-2+2)(2x+1+3)(2x+1-3)(x-2+2)(2x+1+3)=lim x→4(x-4)(2x+1+3)2(x-4)(x-2+2)=lim x→42x+1+32(x-2+2)=322.1.3 两个重要极限之（一）法求极限例 3 （1）求极限lim x→0tg xx.（2）求极限lim x→01-cos xx 2.解(1)lim x→0tg xx=lim x→0siim xx·1cos x=limx→0sin xx·lim x→01cos x=1.(2)lim x→01-cos xx2=lim x→02sin2x2x2=lim x→012sin x2x22=12.1.4 等价无穷小量代换法求极限例 4 （1）求极限lim x→01-cos x ln(1+2x).（2）求极限lim x→∞tg31n·arctg3nn sin2n3·tg1n·arcsin5n.解（1）当x→0时，1-cos x~12x2,ln(1+2x)~2x，所以lim x→01-cos x ln(1+2x)=lim x→012x22x=0.（2）当n→∞时，tg1n~1n，arctg3nn~3nn，sin2n3~2n3，tg1n~1n，arcsin5n~5n，所以lim x→∞tg31n·arctg3nn sin2n3·tg1n·arcsin 5n=lim x→∞1n3·3nn2n3·1n·5n=310.1.5 罗比达法则求极限法求极限例 1 （1）求极限lim x→0e x-e-x-2xx-sin x.（2）求极限lim x→0(1+x)α-1x（α为任意实数）.解（1）lim x→0e x-e-x-2xx-sin x00=lim x→0e x-e -x-21-cos x00=lim x→0e x-e-x sin x00=lim x→0e x+e-x cos x=2.（2）lim x→0(1-x)α-1x00=lim x→0α(1+x)α-11=α.2 型未定式2.1 多项式商的未定式极限一般有如下结论lim x→0a0x n+a1x n-1+Λ+a n-1x+a nb0x m +b1x m-1+Λ+b m-1x+b m=0n＜m a0b0n=m∞n＞m.其中a1,a1,Λ,a n,b0,b1,Λ,b n为常数，且a0≠0,b0≠0,m,n为正整数。

各类未定式求极限处理方法（主要针对考研数学）在求极限的过程中，经常会遇到各种各样的未定式形式，如0/0、∞/∞、0*∞、∞-∞等。

对于这些不定式，我们可以通过一些方法进行处理，从而求出极限的值。

在考研数学中，熟练掌握这些处理方法是非常重要的。

下面，我将介绍一些常见的处理方法。

1. 0/0型：当求极限的时候，遇到0/0型的未定式，我们可以考虑使用洛必达法则进行处理。

设f(x)和g(x)都在其中一点a的一些去心邻域内有定义且可导，且满足f(a)=g(a)=0。

如果极限lim（x→a）f'(x)/g'(x)存在，那么极限lim（x→a）f(x)/g(x)也存在，且两者相等。

这就是洛必达法则。

通过多次应用洛必达法则，可以将0/0型的未定式化简为一个更容易求解的形式。

2. ∞/∞型：当求极限的时候，遇到∞/∞型的未定式，我们可以考虑使用洛必达法则的推广形式来处理。

对于同为正无穷或负无穷的函数f(x)和g(x)，如果f(x)/g(x)的极限存在，那么有lim（x→∞）f(x)/g(x) = lim（x→∞）f'(x)/g'(x)。

3.0*∞型：当求极限的时候，遇到0*∞型的未定式，我们可以考虑对函数进行变形。

将0*∞型的表达式转化为一个更有利于求解的形式。

例如，可以将其中的一个因子进行分解或者将整个表达式转化为一个以∞为变量的函数来求极限。

4.∞-∞型：当求极限的时候，遇到∞-∞型的未定式，我们需要使用一些特殊的方法进行处理。

一种常用的方法是通过换元来变换函数，将其化简为一个可以应用洛必达法则的形式。

另一种方法是将该极限转化为一个函数极限求解问题。

例如，可以使用多项式乘法公式对∞-∞型的未定式进行展开化简等。

5.1^∞型：当求极限的时候，遇到1^∞型的未定式，我们可以考虑使用对数函数或指数函数来进行处理。

将1^∞型的表达式转化为一个更容易处理的形式。

对于1^∞型的未定式，可以将其化为0^∞型或∞^0型，进而应用对数和指数的性质进行化简。

第22卷第5期2019年9月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.22,No.5Sep.,2019doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2019.05.001幕指函数中未定式00"!、！0型极限的若干定理陈建梅，翟书杰(郑州大学数学与统计学院,河南郑州450001)摘要本文给出计算数中未定式00、1!、！0型极限的若干定理，并举例说明正确的解题方法与技巧.关键词-.函数；未定式00,1!,!0中图分类号O13,G642.0文献标识码A文章编号1008-1399(2019)05-0001-03On LimiSs of Indeterminate Forms of Power Exponential FunctionsCHEN Jianmei and ZHAI Shujie(School of Mathematics and Statistic,Zhengzhou University,Zhengzhou450001,China)Abstract In this paper,we revisit some theorems for calculating the limits of indeterminate forms of pow­er exponential functions,and illustrate the corresponding methods and techniques.Keywords power exponential function,indeterminate form00,1!,!01引言高等数学是工科类学生的公共基础必修课程,数学分析是理科数学类的基础必修课程,微分学是高等数学或者数学分析的主要内容,也是学习后续专业课程的基础.只有学好微分学,才能更好地学习后续的各门专业课程,幕指函数中未定式00、1!、80型的极限是微分学的重点内容，也是难点内容.目前的教材没有给出计算未定式00、1!、80型极限的完整形式定理(参考文献，也没有给出正确的解题方法(参考文献[3]).本文给出计算未定式00、1!、80型极限的若干完整形式定理及其证明，并举确的解题与方法!2关于计算3种未定式00、1!、80型极限的两个定理定理1在Z的某一变化过程中,#(")3属于3种未定式00、1!、80型之一,『(实数)(1)如果lim g(")ln#(")="+!(2)$—8(3)则lim#(")g(")=nme g("ln/(")(lim gC")^/"")J e="+8$0Ae1)(2)(3)证明#(,x)g(,=e g<'I>'n f<">,f(x)>0由e",& g")ln#")复合而成的.下面证明(1)：因为lim&= lim g(")ln f(")=A(实数)，1i me"=e A,利用复合函数"&A收稿日期：2019-03-06修改日期2019-05-02基金项目：国家青年/然科学基金项目(11801524)；郑州大学教改项目(13210020).作者简介：陈建梅(1966-),女,副教授,从事高等数学教学研究工作,Email：c hjm@.翟书杰(1979—),女,博士、讲师，从事基础数学研究工作,Email:zhaishujie@.的极限运算法则,所以lim f(")2=lime g")f") lime"=e A.类似证明(2),(3)."&A这里需要特别注意的是：第一不能无条件的写成下面的式子lim g("))n f(")elim f(")$">当g(")n f")无变化趋势或者lim g(")ln f") +8、一8、8的情形之一时,不能写成lim f")g")2高等数学研究2019年9月8?心应？比如下面的例2.=与例2.5,又如：limd+sin.z)'2，不能直接写成"2lim-J•lnd+sinc)lm4^*si"lim(1+sin")"=e"&0"=e"&°""&0利用⑴，所以lim(arCsm")7=e1""&+0例2.4计算lim「S"!［土"&+0e解这是未定式18型，因为e A"=e!，这是不正确的;正确的是:lim丄l n"&+0"(1+")"e因为lim$ln(l+sin") "&0"lim$sin"=!,"&0"8*0W limp l n1+("&+0 "(1+")1e1)所以lim(l+sin"%2不存在."&0第二当g(")ln/(")无变化趋势或者lim g(") ln#(")=8时，则#都无变化趋势.:例2.1计算lim"n+)."&+0解这是未定式0#型，因为0*8lim ln(1+")ln"=lim"In""&+0"&+0lim丄(1+")丄"&+0 "e1)丄lim(1+")1——ee"&+00_e im"&+0"2(1+")1n(1+")4"(1+")2"11ee p"—(1+")ln(1+")2"&+0"3(1+")"&+08丄-In"8-"小=lim—^―=lim------=0,"&+01"&+0_1""2利用(1)所以lim"ni+")we0w1."&+01tan"例2.2计算lim(―)."&+0"解这是未定式80型，因为10*81lim tan"ln—=lim"In—=——lim"In""&+0""&+0""&+08丄ln"8"=一lim=—lim-------=0,"&+01"&+0_1""2tan"0利用(1)所以lim(丄)we W1."&+0"例2.3计算l i m(as")?."&+0"解这是未定式18型，因为1e 0_w21,’arcsin"、lim-^-ln(---------) "&+0 ""8*0W lim飞1口|1+( "&+0 "arcsm""1arcsin" lim飞("&+0 "1)"e1"——1+")n1+")—lim lim2"&+01十""&+0"1—l n(1+")—(1+")*丄1+"lim"&+01r—ln(1+")2im"&+03"23"21 1."1 1.1=—可lim-~2=—可lim—w—8，2"&+0："2"&+0："利用(3),所以lim「1+")")?=0."&+0e例2.5计算lim(@"")7."&+0"解这是未定式18型，因为lim飞］n(+0 "arcsm"")8*01arcsln"=im^lnl1+(---------"&+0"L"lim1(s"——1)+0""利用(2),所以lim(Qs")7=+8."&+0"利用定理1类同的证明方法得到：定理2当"&8时属于3种未定式00、18、80型之一，第22卷第5期陈建梅，翟书杰：幕指函数中未定式00、1!、！0型极限的若干定理3如果 lim gS ) In f (宛)A ( 数)1 )+ !一 !(2)(3 )则lm f (s)g(l ) =lime g(l)lnf(l )lim g(n ) \n f(n )Ae ”&8e+ 81)(2)(3)例 3.2 计算 lim (1 + x ) [2x &+0 L e 」解 这是未定式18型，因为lim ((1+x )x & + 01) -1x1 r (1+x )1 — e ——lim e x &+0ex 23 关于计算未定式型极限的两个定理定理3在x 的某一变化过程中，f (x )gx )属于1!型的未定式,20 1=—lim e x &+0(1+x )1ln(1+x )+^+)如果 lim[f(") —叮g")A ( 数)1 )+! (2)1e 一 !1e2x e x 一(1+x )ln(1+x )2 x -i +0x 3 (1+x )e 1. 1 1. x 一(1 + x )ln(1+x )—lim — ■ lim -------------3--------------------------2 x &+01 +x "& + 0"& + 0则 lim f (x )gx )="+ !$01)(2)(3 )1一ln(1+x ) —(1+x ) ■ 111+xV lm 厶 x & + 00_=1=2g(x)(f(x) 1) -1 -证明 f (x)g(x ) = [1+f(x ) —叮=+ (+ (f(x )—1)[们｝ [fx T [31匚f(x ) —1 [ g(x ) I n [1+ ( f(x ) — 1 ) [ fx )1=e,3x 21 - 一ln(1 +x ) 1 - x~c)~ lm—2 = 下 lim ——2 x &+0 3 x 2 x &+0 3 x"& + 03x 211—可 lim —= — !,2 x &+03 x利用(3),所以 lim (1+x ) [1=0.由 e" ," = [f(x ) — 叮g(x )In [1 + (f (x ) — 1)[心 1 复合而成的.下面证明(1)：im[f (x ) 一1 [g (x ) =A ( 数)!lim [1 + (f(x ) —1)[#x —f =e,得到lim " = lim[f(x ) — 1]g(x )ln [1 + (f(x ) — 1) [f () 1=A ( 数) !因为 lim " = A (实数)，lime ""&Ae ，&"& + 0e例 3.3 计算 lim (as x )4x & + 0限运算法则，所以e A ，利用复合函数的极x 解 这是未定式18型，因为1)1x 30_ ____________0「 1 一 槡 1一 x 2=lim ----------x &+04x 3 * 槡 1一 xarcsin x lim (---------x &+0x imx & + 0arcsm "一x x 4lim f (x )gx ) = lime 匚fx 〉一13gx )in 匚 1+ fx —1)zi ~1"A=ime =e !"&A类似证明(2),(3).特别注意的是：当[f(x)—1]g(x)无变化趋势或者lim f(x )—叮g(x )= 8时，则f (x )g(x )都无变 化趋势.一x 22+ !,例 3.1 计算 lim (arcsin x )7x &+0 x 解 这是未定式18型，因为arcsin x 1lim (---------一 1)=x &+0xx0_=lim —利用(2),所以 lim (ac x )4= + 8.x 显然，例3. 1、例3. 2、例3. 3的解法分别比例2. 3、例2. 4、例2. 5的解法要简单一些.对于计算未定式18型的极限，同学们可以选择定理3的方法,定理3的方法要比定理1的方法简单一些.定理:类 的 方法 ：定理4 当"&8时f (n)gl 属于18型的未定式,x & + 0arcsin x —x lim x & + 0x 一x 22利用(1),所以 lim (arCSln x )? = ex &+0 x16一 !1 一 槡 1 一 x 2如果 lim f (n ) — 叮 g(n )="n &8c 2 * 槡 1一x 2#e A (1)贝Ij l im f (n)g(n )="+ 8 (2)1$0⑶A (实数)+ !1)(2)(3 )(下转第6页)6高等数学研究2019年9月结论2曲线C：*=f(x)有渐近线y=kx+b当且仅当f(x')=kx+b+o(1),其中o(1)满足lim o(1)=0.x&+8(x&-8)证明以x&+8为例：(1)如果y=f(.x)有渐近线*=kx+b,则lim£f(x)一kx)=b,x&+8即f(x)一kx=b+o(1)，其中lim o(1)=0,即f(x)=x&+8kx+b+o1)!(2)如果f(x)=kx+b+o(1),其中lim o(1)=0,则x&+8lim f$x)—im kx+b+o(1)x&+8x x&+8xb+o1)k I liim k,x&+8xlim[f(x)—kx)=lim[b+o(1))=b.x&+8x&+8所以曲线C：y=f(x)有渐近线*=kx+b.证毕.由渐近线的几何意义可知，当曲线上动点远离原点时，曲线与渐近线的距离趋于零，因此通过把曲线化为线性部分和相应过程的无穷小的部分之和,即f(.x)=ax+b+o(1),线性部分即为曲线的渐近线，这就是结论2所描述的求解过程.(3)y=槡x3—x2—x+1解(1)由于=x3y x2+2x一3x—27x一6x2+2x一3W x—2+o1)其中o(1)满足lim o(1)=lim2x.+6=0,所以曲x&8x&8x+~2x3有斜y=x—2(2)—2x2一y=)=22x—2(—x)2=2+o1),中o(1)满足lim o(1)=lim门_、？=0,所以曲线有水x&8x&8(丄CC)平y=2(3)y—槡x3—x2—x+1—x槡一十一右+右x(i+1(-=x一g+o(1)(x&8),所以曲线有斜渐近线y=x—1.比如例2中的函数y=槡1+x2—x,借助带皮亚诺余项的泰勒公式，当x&—8时可以改写为一x(2+空。