求未定型极限的方法与技巧

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未定式的极限

a lna lnb ln . b

( 2 ) lim 2
x
arctanx 1 sin x
arctanx 1 sin x 1
.

解： lim 2
x

lim 2
x
arctanx 1 x
＝ lim
0 0

x
1 x 1 2 x
2
lim
f ( x) lim g ( x) 0 ；（2） lim
x x0 x x0
f ( x) a(或) ，则（3） lim x x0 g ( x) f ( x) f ( x) lim lim a(或) . x x0 g ( x ) x x0 g ( x )
（1） lim lnx
x x
（ 0 ）

1 lnx 1 x 解： lim l i m lim 0. 1 x x x x x x
（2） lim
x
x a x
(a 1,0)
解：①当 0 1 时， lim
2
2
例3. 求 lim
x0
x arcsin x sin3 x
.
1 1 x 2 3x2
0 1 x arcsin x 0 lim 解：原式 lim 3
x 0
x
x0
1 2 x 2 1 x 1 2 lim lim x 0 x0 3 x 2 1 x 2 3x2 1 x2
仍可能存在.
x sin x 例如, 求极限 lim . x x
x sin x 极限 lim lim(1 cos x ) 不存在, x x x

未定式极限的求解方法分析

未定式极限的求解方法分析通过总结未定式的极限的求解方法，分析了常用的求未定式的极限方法，以帮助初学者对未定式极限的求解方法更好的理解和掌握。

标签：未定式；极限；求解方法极限对初学者而言，是一道很难过的关，尤其是未定式的极限求解。

但为了学好高等数学还是要打好这个基础。

在求解极限的过程中，经常会遇到求解未定式极限的问题，常用的未定式的极限主要就分成以下五种类型，分别是00，∞∞，0·∞，∞-∞以及00，1∞，∞0。

后面三种的解决方式相同，所以常看成一种类型。

本文将从五个方面，通过利用罗比达法则以及恒等变形的方法，对常用的未定式极限的求解方法进行解析。

1 00型未定式解决这类未定式问题一般可以通过五种方法解题：1.1 因式分解法，约去零因式，转化为普通的极限问题例 1 （1）求极限lim x→4x2-7x+12x2-5x+4.（2）求极限lim x→1x n-1x m-1(m,n∈N+,m≠n).解（1）当x→4时，此极限是00型，因为分子和分母有公因式x-4，而x→4时，x-4≠0，可约去这个公因式。

所以lim x→4x2-7x+12x2-5x+4=lim x→4(x-3)(x-4)(x-1)(x-4) =lim x→4x-3x-1=13.（2）当x→1时，此极限是00型，因为分子和分母有公因式x-1，而x→1时，x-1≠0，可约去这个因式。

所以lim x→1x n-1x m-1=lim x→1(x-1)(x n-1+x n-2+Λ+x+1)(x-1)(x m-1x m-2+Λ+x+1)=lim x→1(x n-1+x n-2+Λ+x+1)(x m-1+x m-2 +Λ+x+1)=nm.1.2 根式有理化，再约去零因子，转化为普通的极限问题例2（1）求极限lim x→01-1+x2x 2.（2）求极限lim x→4x-2-22x+1-3.解（1）当x→0时，此极限是00型，将分子有理化得lim x→01-1+x2x2=lim x→0(1-1+x2)(1+1+x2)x2(1+1+x2)=lim x→0-x2x2(1+1+x2)=lim x→0-11+1+x2=-12.（2）当x→4时，此极限是00型，将分子分母同时有理化得lim x→4x-2-22x+1-3=lim x→4(x-2-2)(x-2+2)(2x+1+3)(2x+1-3)(x-2+2)(2x+1+3)=lim x→4(x-4)(2x+1+3)2(x-4)(x-2+2)=lim x→42x+1+32(x-2+2)=322.1.3 两个重要极限之（一）法求极限例 3 （1）求极限lim x→0tg xx.（2）求极限lim x→01-cos xx 2.解(1)lim x→0tg xx=lim x→0siim xx·1cos x=limx→0sin xx·lim x→01cos x=1.(2)lim x→01-cos xx2=lim x→02sin2x2x2=lim x→012sin x2x22=12.1.4 等价无穷小量代换法求极限例 4 （1）求极限lim x→01-cos x ln(1+2x).（2）求极限lim x→∞tg31n·arctg3nn sin2n3·tg1n·arcsin5n.解（1）当x→0时，1-cos x~12x2,ln(1+2x)~2x，所以lim x→01-cos x ln(1+2x)=lim x→012x22x=0.（2）当n→∞时，tg1n~1n，arctg3nn~3nn，sin2n3~2n3，tg1n~1n，arcsin5n~5n，所以lim x→∞tg31n·arctg3nn sin2n3·tg1n·arcsin 5n=lim x→∞1n3·3nn2n3·1n·5n=310.1.5 罗比达法则求极限法求极限例 1 （1）求极限lim x→0e x-e-x-2xx-sin x.（2）求极限lim x→0(1+x)α-1x（α为任意实数）.解（1）lim x→0e x-e-x-2xx-sin x00=lim x→0e x-e -x-21-cos x00=lim x→0e x-e-x sin x00=lim x→0e x+e-x cos x=2.（2）lim x→0(1-x)α-1x00=lim x→0α(1+x)α-11=α.2 型未定式2.1 多项式商的未定式极限一般有如下结论lim x→0a0x n+a1x n-1+Λ+a n-1x+a nb0x m +b1x m-1+Λ+b m-1x+b m=0n＜m a0b0n=m∞n＞m.其中a1,a1,Λ,a n,b0,b1,Λ,b n为常数，且a0≠0,b0≠0,m,n为正整数。

天勤论坛_化繁为简学习法之未定型析出法求极限专题

0⋅∞ =
0 0 0 0 = ； 00 = e0ln 0 = e0⋅∞ = e1/ ∞ = e 0 ； 1∞ 型常常先用第二个重要极限，要转化的话 1/ ∞ 0
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也类似上面的 00 型； ∞ − ∞ 型常常用通分或分子有理化转化 . 总之，未定型按照 “ 0 ∞ , ,0 ⋅ ∞, ∞ − ∞,,1∞ ,00 ”从左到右的排列顺序，前面比后面优先，后面的尽可能朝前面的 0 ∞ 转化.
那么： lim
说明： “lim”符号下没有指出 x 趋于何值，是因为有两种情形.根据上面（1）的情形统一填 x → a （或 x → ∞ ). 如下面的典型例子：
ln tan 7x (ln tan 7x) ' 7 cot 7x sec 2 7x 7 cot 7x 7 tan 2x = lim = lim = lim = lim = x →+0 ln tan 2x x →+0 (ln tan 2x) ' x →+0 2cot 2x sec 2 2x x →+0 2cot 2x x →+0 2 tan 7x lim (7 tan 2x) ' 14sec 2 2x = lim = 1， x →+0 (2 tan 7x) ' x →+0 14sec 2 7x lim
x 2 − 5x + 6 x 2 − 5x + 6 x 2 − 5x + 6 = 1;lim = − 3/ 2;lim = −1/ 4 ， x →∞ x→0 x→ 2 x2 − 4 x2 − 4 x2 − 4 ∞ 第一个极限式是 x → ∞ ，为未定型，第二个极限式是 x → 0 ，为定型，第三个极限式是 ∞ 0 x → 2 ，为未定型. 0 lim

未定式“1 ∞”型的一个简便方法

“ ’ 这一类型１
罟鲰些
＝音ｅ ”… ｌ南一ｉｍ
～
…
一
土
盯
＝ｅ
解法二ｅ神，这里
一
利用公式（）ａ
按课本上采用的方法：１ｅ
的无穷小 “ ”一般是含有对数的复合函数。按公０
式（）（＋）ｅａ：ｌｊ１０ｊ加，这里的无穷小 … ０’要
２００９正
ｌ１５）ｌ（）ｉ（— 丢＋ｅ（）ｍ：丢＋
叫Ｊ
：
：
ｌｅｍｉ加（ｍ）ｍ
。
【）詈
＝ｅ
一
圭竺２
上．
－ｅ２
－
从这个例题可以看出，三种方法中第三种方
法最为简便。并且这种方法对于这种类型中更为复杂的题，简便性更为明显。２２利用罗必达法则来解的类型题中未定式．
Ｉ制
的方法。（）利用罗必达法则。２
而公式（）可把这类极限转化成求ｌｂＯａｉｍＮＮｌｉｍ
：ｅ
＝
ｎ —
的形式，对于极限ｌｎＯ．则可以利用所学过的ｉ￣ｒ各种方法来求。下面举例，就公式（）和上述两种方法解ａ
限未定式 “ ’ 型这类难度较大的题型中去，通过比较，论述，这种判别法给出的计算方法简便易１行，从而解决了教学中的一大难点。具有较好的实用性。

各类未定式求极限处理方法(主要针对考研数学)

各类未定式求极限处理方法（主要针对考研数学）在求极限的过程中，经常会遇到各种各样的未定式形式，如0/0、∞/∞、0*∞、∞-∞等。

对于这些不定式，我们可以通过一些方法进行处理，从而求出极限的值。

在考研数学中，熟练掌握这些处理方法是非常重要的。

下面，我将介绍一些常见的处理方法。

1. 0/0型：当求极限的时候，遇到0/0型的未定式，我们可以考虑使用洛必达法则进行处理。

设f(x)和g(x)都在其中一点a的一些去心邻域内有定义且可导，且满足f(a)=g(a)=0。

如果极限lim（x→a）f'(x)/g'(x)存在，那么极限lim（x→a）f(x)/g(x)也存在，且两者相等。

这就是洛必达法则。

通过多次应用洛必达法则，可以将0/0型的未定式化简为一个更容易求解的形式。

2. ∞/∞型：当求极限的时候，遇到∞/∞型的未定式，我们可以考虑使用洛必达法则的推广形式来处理。

对于同为正无穷或负无穷的函数f(x)和g(x)，如果f(x)/g(x)的极限存在，那么有lim（x→∞）f(x)/g(x) = lim（x→∞）f'(x)/g'(x)。

3.0*∞型：当求极限的时候，遇到0*∞型的未定式，我们可以考虑对函数进行变形。

将0*∞型的表达式转化为一个更有利于求解的形式。

例如，可以将其中的一个因子进行分解或者将整个表达式转化为一个以∞为变量的函数来求极限。

4.∞-∞型：当求极限的时候，遇到∞-∞型的未定式，我们需要使用一些特殊的方法进行处理。

一种常用的方法是通过换元来变换函数，将其化简为一个可以应用洛必达法则的形式。

另一种方法是将该极限转化为一个函数极限求解问题。

例如，可以使用多项式乘法公式对∞-∞型的未定式进行展开化简等。

5.1^∞型：当求极限的时候，遇到1^∞型的未定式，我们可以考虑使用对数函数或指数函数来进行处理。

将1^∞型的表达式转化为一个更容易处理的形式。

对于1^∞型的未定式，可以将其化为0^∞型或∞^0型，进而应用对数和指数的性质进行化简。

“未定式“极限的求法

r t o^ ^r + ∞ 1'
=Irnn — ==== ■一 =l i r a ——======： _—一一—。oq m ~ ／ z+z+ 缸冲，
。．
3 ．利用等价无穷小代换定理
N {+{毒
lim 土． s i nx：o) ㈣ Z
例，o求墅爿岳
61
[ 收稿日期] 2008— 12一01 [ 作者简介] 周学勤 (1968 一) ，女，河南内黄人，濮阳职业技术学院讲师。
笼r ’q
hm一一 llm
．．
z( 2口+z)
z
．．

例 7求一 lim。詈
t a Il 工o
r +o n。
t —O
解：所求的极限为“百0 ”型未定式，运用洛必达法则，
解：当 z 一 1时， ( z 一1) 一 o，( z2+2z 一 3) 一O ，所以可
以消去分式的分子、分母中为零的公因子。
。— ’z 0
z，，一 1～ z} ／雨一 1 ～ ÷ ≯ ．
=， ( 函 ) 求得； ( 2) 可用无穷小量乘有界函数仍为无穷小量求得的。l i m a( x) f ( x) =0，其中口( z) 是z 一口时的无穷小
量，，( z ) 为有界函数；( 3) 可用无穷小量的倒数为无穷大量或无穷大量的倒数为无穷小量定理求得； (4) 可用极限的四
2cos 3x ( 一3s i n3x) s i n6x
，．
6cos 6x
解：l i 甲南=l i 芈高=e 鼻禹=。墨t 一{，=e ～．
例 12求 l i m l n 。x( n >o ) z．．十∞ 山

1 ∞型未定式极限的一种计算方法

常数）．
＝ｅ（Ｃ为
（）ｌ厂一１ｇｘ＝＋。，０ｉｆｘ＝＋。．２若ｉ（ｍｌ）］（）。贝ｍ（）‘ ｌｏ（）ｌ＿）一１ｇ）一，０ｌｆ）‘ ＝．３若ｉ厂ｍ［（］（＝贝ｒ（ｉａ０
￣（ｌ、ｉｍ
‘
２＝）
＝ｅ
一０
由定理１ｑｉ１３），ｍ（＋￣ｌ
且
＝
…ｓ）１。］
一
例３求ｌ１＋ｅａｅａ）３ｉｍ（ｘｒｔｎ
一０
一０、
旦
１一ｚ．／
．
解当０时，（＿）＝ｅｒｔｎ０ｇ）＝＾。厂ｘｃａ一，（ａ ÷ 。
ｌ１（ｉ厂ｎ）＝１ｌ，ｉ）＝∞．ｍｇ（
（）ｌ￣（１若ｉｆ）一１ｇ）＝Ｃ则ｌｆ）ａｒ］（，ｉ（山＝ｅ（ｍ。ｃ为
常数）．
（）ｌｆｘｇｘ１若ｉ（）（）＝Ｃ，ｌｎ】－）ａｒ则 “ ［＋厂ｊ（
Ｏ
都讲了两种方法，是直接利用重要极限计算；是利用对一二数恒等式化１型为０．型再转化为型或型，洛必用
ＩＪ ∞
ＸＳ－，（） ÷ ＝，Ｃ＋ｇ＝Ｏ０
Ｓ１ｎ
且（ … ） …
●
解题技巧与方法
．．
Ｊ）】旧瓣
ＡＧ．Ｎ姆黪Ａ
●．Ｉ－，・

高等数学(第二章第八节洛必达法则)

x →1
1 x + . 1 − x ln x
解
1 ln (1 + x ) − x 1 = lim lim − x →0 x x → 0 ln (1 + x ) x ln (1 + x )
解
1 −1 1 + x = lim = lim x →0 x →0 x2 2x −x 1 = lim =− . x →0 2 x (1 + x ) 2 ln (1 + x ) − x
0 ∞ 类型为和 . 以及这两种形式的变形. 0 ∞
lim
x →0
sin x = 1, x
lim
x →0
x − sin x sin x = lim 1 − = 1 − 1 = 0, x →0 x x
而
x2 1 − cos x 1 lim = lim 23 = lim = ∞. x →0 x →0 x x →0 2 x x3
问题的提出：问题的提出：考虑下列极限
第八节洛必达法则本节要点本节要点
本节用求导的方法，本节用求导的方法，来求出某些未定型的极限. 基本
lim
x →0
sin x x − sin x 1 − cos x , lim , lim x → 0 x → 0 x x x3
0 型极限. 0
当 x → 0 时分子、时分子、分母极限都是0，因此都是但是
x →0
+
xx .
(00 型）
幂指型的未定式有幂指型的未定式有 0 ,1 , ∞ 三种类型，三种类型，对幂指函数类的极限，对幂指函数类的极限，常用的方法就是取对数将其转化成前面的类型. 解
x →0 +

利用洛必达法则求未定式极限的几种技巧

＝ｅ・ｌｉｍ
非常广泛、高效的方法，其通过求分式的分子、分母的导数的方法达到消去未定因素的目的，该法整齐划一，使用方便．但它也有局限性，解题时需要一定的条件和技巧．本文
结合学生应用此法则时容易忽视的一些问题，给出利用该法则求极限的几种技巧．
＿『ｃ。ｓｌｎｔａｎｘｄ＝』ｌｎｔａｎｘｄｓｉｎ＝ｓｉｎｌｎｔａｎ一』ｓｉｎｄｌｎｔａｎ＝ｓｉｎｌｎｔａｎ一／ｓｅｃｄ
．
解原式（百０）＝ｌｉａｒ
＿一１ｎ
：
则．所需条件中较易忽略的是极限ｌｉａｒ厂＇要存在，若 … ｇＬＪｌｉ＿厂不存在，并不能得出原极限不存在的结论．一ｇ（Ｊ
解先求极限＿．＋ ∞ — Ｉｎ（、 ÷ ），＝一（、一）』＝。，所
例２求极限ｌｉｍ！
二＿二
以，极限 ÷ ㈩
（２）只要符合法则所需的条件，可连续多次使用该法
用洛必达法则求极限．根据数列极限与函数极限的关系，数
列极限ｌｉａｒｆ（）的特殊ｉａｒｆ（ｎ）可以作为连续变量的极限ｌ
…
一１
：ｌ — ｌｉ（二

4-2洛比达法则

数
∞ “ ” 型或 ∞
除此之外,下列类型也是未定式除此之外下列类型也是未定式: 型. 下列类型也是未定式 ∞−∞” “0·∞”, “∞−∞ ∞ 取 ∞−∞ ∞−∞”型 “0·∞”型,“∞−∞ 型. ∞ 型 ∞−∞ 对 “1∞”型,“00”型,“∞0”型. 型型 ∞ 型
数法
0 “ 0
∞ “ ∞
2
极
又如
失效之二循环
x→ +∞
lim
x 1+ x2
1+ x2 x = lim = lim x→ x→ +∞ +∞ x 1+ x2
解：原极限= lim 原极限
1 1+(1/ x )
2
x→ +∞
=1
春风得意洛春风得意洛必塔一招遍摘极限花可叹英雄亦失手莫忘前章有妙法
练习
x +sinx lim x→ x −sinx ∞
sinx co 3x s −3sin3x = lim lim = − lim =3 x→ / 2sin3x x→ / 2 ⋅ co x x→ / 2 −sinx π π π s
lnx lim α (α > 0) 例7.求求 ∞ x→ +∞ x “∞ ”型. 1/ x 1 原极限= 解：原极限 lim 0 α−1 = lim α= x→ α +∞ x x→ α +∞ x ex ex ex 原极限= 例8.计算 lim 2 解：原极限 lim 计算 = lim = +∞ x→ x +∞ x→ 2x x→ +∞ +∞ 2
2 等价无穷小) 等价无穷小 ta 2 x (等价无穷小 n x = lim = lim 0 1− o x→ 1−c s x x→ 1 0 → x2 2 lnx +1− x 例4.计算极限 lim 计算极限

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从而有
b
f (' x) sin x dx
a
b
f (' x ) sin x dx
a
故有
lim 1
b
f(' x) sin x dx= 0, 所以 lim
x
a
x
7 用拉格朗日中值定理求未定型极限
b
f (' x) dx M ( b- a)
a
b
f( x) cos x dx = 0
a
在计算极限的过程中, 不易处理的是
lim [
x+
1
x+
x
lnt( -
1 x2
)
]
=
1
lim [ tx
(-
1 x2
)
x+
ln t] = ln t
又因 x + 时, 必有 n + 2 作变量代换后用洛必达法则
, 故 lim n x+
1
( tn - 1) = lim x x+
1
( tx - 1) = ln t
求极限过程中, 若自变量的极限过程为 x
参考文献: [ 1] 刘会元, 邓秋霞. 广义微分中值定理及其在求未定极限中的应用 [ J] . 西安联合大学学报, 2000, 3 ( 2). [ 2] 华东师范大学数学系编. 数学分析 (上 ) [ M ]. 北京: 高等教育出版社, 2003. [ 3] 赵艳, 张文治. 微分学基本定理在极限计算中的应用 [ J] . 北华航天工业学院学报, 2006, 16( 6). [ 4] 毛纲源. 高等数学解题方法技巧归纳 [M ]. 武汉: 华中科技大学出版, 2002. [ 5] 毛纲源. 考研数学 [M ]. 武汉: 华中科技大学出版社, 2003. [ 6] 丁家泰. 微积分解题方法 [M ]. 北京: 北京师范大学出版社, 1981. [ 7] 崔春红, 刘亚. 用泰勒公式巧解未定型极限 [ J]. 科技信息, 2008, ( 5). [ 8] 丁晓庆. 工科数学分析 (上 ) [ M ]. 北京: 科学出版社, 2004.
区间 [ a, b] 推广到 [ ( x1 ), ( x2 ) ]或 [ 1 ( x) , 2 ( x ) ]得到广义微分中值定理。我们也可以在某一未定式的局部上使用以上中值定理, 在极限计算中一定要注意形式转换过程中出现
的 ( x) , ( x) , ( x) , ( x) 等的变化范围及其极限, 有时中值定理与无穷小量代换及洛必达法则, 同时使
总之, 数学问题千变万化, 解题方法灵活多样, 虽然我们不可能归纳出题目的一切类型, 更不可能找到解
题的神方妙法, 但是人们在长期的解题实践中, 总结了丰富的经验, 寻找了一些求解数学问题的科学思维方
法。关于不定式极限的计算, 从上面的一些例子可见只要灵活地综合运用各种方法与技巧, 就能有效地解决
不定式极限的计算问题。
<
x[ n] + 1 ex
由 ( 1)知 lim x+
x[ n] ex
=
0,
x
lim +
x[ n ] + ex
1
=
0
用迫敛准则, 当 n不是自然数时, 也有 lim x+
xn ex
=
0
由
得当
> 0且 n R+ 时有 lim x+
xn ex
=
0
6 含变限积分的未定型极限用洛必达法则
6. 1 若变限积分的被积分函数除含积分变量外, 还含求导变量, 则用变量代换法将其化为仅依赖积分
28
28
故有
lim
x0
1+
x+ x2
1-
x-
2=
lim
x0
-
x2 4
+ o ( x2 x2
)
=
-
1 4
5 多次使用洛必达法则
只要符合洛必达法则的条件, 可连续多次用该法则, 直到求出极限值, 但在有些情况下使用洛必达法则
会越求越繁或者极限号下的函数出现循环, 这时就不能用该法则求出所求的极限, 应寻找其他方法求解。
n
( n- 1) 2 ex
xn- 2 =
= lim x+
n n! e x = 0
71
2011年第 3期
李晓辉: 求未定型极限的方法与技巧
( 2)当 n不为自然数, 因 [ n] < n< [ n] + 1, 对 x> 1有 x[ n] < xn < x[ n] + 1
故
x[ n] ex
<
xn ex
x+
Hale Waihona Puke 1) -ln( arctanx) ]
解: 对函数 f( x) = ln( arctanx) 应用拉格朗日中值定理, 有:
ln[ arctan( x+ 1) ] - ln( arctan x) = [ 1+ x( x+
1 )2]
arctan( x +
( 0< )
< 1)
故原式 = lim x+
x2 [ 1+ ( x+
0 0
和
0
这样的形式, 其中 0有时候用差 (同一函数在不同
点的值之差 )来表示, 这时我们可以应用拉格朗日中值定理来解决。因为中值定理把函数在一个区间上的
改变量变成这个区间内某点处倒数与自变量改变量的乘积, 这种由差向积的转化可以大大简化计算。
例 8: 求极限 lim x+
1 2
x2 [
ln
arctan (
F( x) x2n
=
lim
x0
F (x) 2nx2n- 1
=
1 lim 2nx 0
f( xn ) xn
=
1 lim 2nx 0
f( xn ) xn -
f( 0) 0
=
1 2n
f
( 0)
6. 2 若极限变量仅含在被积函数中的定积分极限求法, 先求定积分再求极限。
b
例 7: 设 f( x) 在 [ a, b]上有连续导数, 证明: lim f( x) cos x dx= 0
co
sx
=
lim
x0
2+
1 x
s inx
故得
lim
x0
sin2 xx2
x2 sin2
co x
s2
x
=
2 3
= cos x
1 3
4 利用泰勒公式求解
求未定式的极限值洛必达法则很有效,
但是对于有些
O O
型的极限以及极限式中同时出现几种初等函数,
求导较麻烦, 若使用带有余项形式的泰勒公式展开式则会使计算更简便。
t0
2 t 0 sin( t /2)
= lim { [ ( 2- t) cos( t/ 2) ] / [ sin( t /2) ] } = ( 2 ) lim ( 2- t) cos( t) = 4
t0
2( t / 2)
t0
2
3 及时分离因式然后求极限
在使用洛必达法则的过程中应注意分离因式, 将具有非零极限的因子先求出其极限, 再对余下的未定式
用可以大大减少用算量, 计算效果更好。
例 9: 计算 lim arsh( shx ) - arsh( sinx ), 其中 arshx= ln( x+ 1+ x2 )
x0
shx- sinx
原式 = lim
1
1+
x 0 ( x ) + 1+ 2 ( x)
( x) 1+ 2 ( x)
= 1, (
( x) 介于 shx 与 sin x之间 )
关键词: 洛必达法则; 未定型极限; 中值定理; 泰勒公式; 等价无穷小
中图分类号: O171
文献标志码: A
文章编号: 1009- 2080( 2011) 03- 0070- 04
极限理论是微积分理论的基础, 求极限是数学中的基本运算, 其中不定式极限又是极限中的一个难点,
洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法, 它主要是通过求极限号下分式的分子、分母的导数达到消去未定因素的目的, 但是也有一些未定式极限仅用洛必达法则是解不出来的, 可利用初等解法即通过恒等变形或
x
a
证
b
f( x ) cos x
dx = 1
b
f( x)
d( sin
x) =
1 [ f( x ) sin
x
|
b a
-
1
b
f(' x) sin x dx]
a
a
a
= 1 [ f( b) sin( b) - f( a) sin( a) ] - 1
b
f (' x) sin x
dx
a
显然有 lim 1 [ f( b) sin b- f( a) sin a] = 0, 又因 f(' x) 在 [ a、b]上连续, 故 | f (' x ) | M ( x [ a, b] ) x
(x
0),
而极限函数中又含变量
1 x
,
我们可作变量代换令
t=
1 x
,
转化为求
t
0( t
)时的极限, 目的在于减少对分式求导。
例 2: 求 lim ( 1- x2 ) tan( x /2) 的值 x1
收稿日期: 2010- 12- 19 作者简介: 李晓辉 ( 1984- ) , 男, 陕西扶风人, 陕西宝鸡扶风县南阳中学二级教师。