关于未定式极限的几个新的判定定理

洛必达法则如果当0x x →或∞→x 时，两个函数)(x f 、)(x g 都趋向于零或趋向于无穷大，这时极限)()(lim x g x f 可能存在也可能不存在，通常把上述极限叫做未定式，并分别记为00型或∞∞型.例如30sin lim x x x x -→，xx e x arc -+∞→cot lim 都是00型.xx x )1ln(lim 2+∞→，x x x ln csc lim 0+→都是∞∞型.显然，用第一章所学的方法很难求出极限值来.下面介绍求这类极限的一种简便而有效的方法——洛必达（L 'Hospital ）法则.一、型未定式 00型未定式极限的自变量变化状态可分为：0x x →，+→0x x ，-→0x x ，∞→x ，+∞→x ，-∞→x .下面只讨论0x x →的情形，其它类似.定理1 如果函数)(x f 、)(x g 在),ˆ(0δxN 内可导，且满足下列条件： （1）0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x ；（2）0)(≠'x g ；（3）A x g x f x x =''→)()(lim（或∞）. 那么，=→)()(limx g x f x x A x g x f x x =''→)()(lim 0（或∞）.（证明从略） 这个定理说明了当0x x →时，0型未定式的极限在符合定理条件时下，可以通过对分子、分母分别求导，再求极限来确定.例1 求xe e xx x sin lim 0-→-.解 这是00型，所以2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x 例2 求21)1(ln lim-→x x x .解 ∞=-=-=-→→→)1(21lim )1(21lim )1(ln lim110021x x x x x x x x x 如果)()(lim 0x g x f x x ''→仍属于00型，且)(),(x g x f ''仍满足洛必达法则中的条件，那么可以继续使用该法则进行计算，并可依次类推.但应注意，如果所求的极限已不是未定式，则不能再用洛必达法则，否则会产生错误的结果.此外在用洛必达法则时，最好能结合求极限的其它方法，如恒等变形、重要极限等，那样效果会更好.例3求3sin limxxx x -→.解 30sin limx x x x -→616sin lim 3cos 1lim 0002000==-=→→x x x x x x 例4 求xx x 1arctan 2lim -+∞→π.解 xx x 1arctan 2lim -+∞→π11lim 111lim222200=+=-+-=+∞→+∞→x x xx x x二、∞∞型的未定式 ∞∞型的未定式极限仍有类似于00型未定式极限的洛必达法则，除00与∞∞的差别外，条件与结果极为相似，下面只举例说明它的应用.例5 求xxx ln cot ln lim 0+→. 解 xx x ln cot ln lim0+→x x x xx x x x cos sin lim1)sin 1(cot 1lim020-=-=++→→∞∞ 1cos 1lim sin lim 00-=⋅-=→→+xx x x x 例6 求nx x xln lim+∞→.解 n x x x ln lim +∞→01lim 1lim 1===+∞→-+∞→∞∞nx n x nx nx x三、其它类型极限求法除00型与∞∞型的未定式之外，还有,0∞⋅ ∞-∞，00，∞1，0∞等未定式，对这类未定式求极限，通常是利用代数恒等变形转化为00或∞∞型，然后用洛必达法则进行计算.例7 求x x x ln lim 0+→. 解 这是∞⋅0型，因此0lim 11lim 1ln lim ln lim 202000=-=-==++++→→∞∞→→xx xx x x x x x x x x .例8 求).1sin 1(lim 0xx x -→ 解 这是∞-∞型，因此0sin cos 2sin lim cos sin cos 1lim sin sin lim )1sin 1(lim 00000000=-=+-=-=-→→→→x x x x x x x x x x x x xx x x x x例9 求xx x 2tan 4)(tan lim +→π.解 这是∞1型，因此ee eeex xx xxx xx x xx x x 1lim )(tan lim 1)cos sin 22sin (lim 2cot tan ln lim tan ln 2tan 42tan 444=====--⋅→→+→+→++ππππ. 但洛必达法则不是万能的.有时我们还会碰到某些特殊情形.例10 求xxx x sin lim+∞→.解 这极限属于∞∞型，但因为x xx x sin lim+∞→1cos 1lim x x +=∞→∞∞不存在，所以不能用洛必达法则求这极限， 事实上 x x x x sin lim+∞→101)sin 11(lim =+=+=∞→x xx 例11 求x x x 21lim ++∞→.解 xxx 21lim++∞→221lim1122lim xx x xx x +=+=+∞→+∞→∞∞xx x x x x 221lim 1221lim+=+=+∞→+∞→∞∞两次运用洛必达法则后，又还原为原来的问题，因此洛必达法则失效.事实上x x x 21lim ++∞→111lim 2=+=+∞→xx 所以在使用洛必达法则时，应注意以下几点： （1） 每次使用法则前，必须检验是否属于00型或∞∞型未定式.若不是，就不能使用该法则. 否则会导致错误的结果.并在计算的过程中，注意不断化简其中间过程，使之求极限顺利进行.（2）当)()(limx g x f ''不存在时，并不能断定所求的极限)()(lim x g x f 不存在，此时应该使用其它方法来求极限. （3）洛必达法则并不是万能的，在某些特殊情形下，洛必达法则会失效，需寻求其它解法.习题1、 用洛必达法则求下列极限（1）x x x cos 2lim 2ππ-→； （2）x e e xx x -→-0lim ；（3）x x e x arc -+∞→cot lim ； （4）123lim 2331+--+-→x x x x x x ；（5）x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→； （6）xx x )1ln(lim 2+∞→；（7）xarc x x cot )11ln(lim++∞→； （8）x x x ln csc lim 0+→. 2、 求下列极限（1）)111(lim 0--→x x e x ； （2）2tan )(lim xx x ππ-→； （3）xx x )arctan 2(lim π+∞→.3、 求下列极限（1）xx x x sin 1sinlim20→； （2）3312lim++∞→x x x ；（3）x x x x x sin sin lim +-∞→； (4 )xx xx x e e e e --+∞→+-lim .。

未定式极限的求解方法分析通过总结未定式的极限的求解方法，分析了常用的求未定式的极限方法，以帮助初学者对未定式极限的求解方法更好的理解和掌握。

标签：未定式；极限；求解方法极限对初学者而言，是一道很难过的关，尤其是未定式的极限求解。

但为了学好高等数学还是要打好这个基础。

在求解极限的过程中，经常会遇到求解未定式极限的问题，常用的未定式的极限主要就分成以下五种类型，分别是00，∞∞，0·∞，∞-∞以及00，1∞，∞0。

后面三种的解决方式相同，所以常看成一种类型。

本文将从五个方面，通过利用罗比达法则以及恒等变形的方法，对常用的未定式极限的求解方法进行解析。

1 00型未定式解决这类未定式问题一般可以通过五种方法解题：1.1 因式分解法，约去零因式，转化为普通的极限问题例 1 （1）求极限lim x→4x2-7x+12x2-5x+4.（2）求极限lim x→1x n-1x m-1(m,n∈N+,m≠n).解（1）当x→4时，此极限是00型，因为分子和分母有公因式x-4，而x→4时，x-4≠0，可约去这个公因式。

所以lim x→4x2-7x+12x2-5x+4=lim x→4(x-3)(x-4)(x-1)(x-4) =lim x→4x-3x-1=13.（2）当x→1时，此极限是00型，因为分子和分母有公因式x-1，而x→1时，x-1≠0，可约去这个因式。

所以lim x→1x n-1x m-1=lim x→1(x-1)(x n-1+x n-2+Λ+x+1)(x-1)(x m-1x m-2+Λ+x+1)=lim x→1(x n-1+x n-2+Λ+x+1)(x m-1+x m-2 +Λ+x+1)=nm.1.2 根式有理化，再约去零因子，转化为普通的极限问题例2（1）求极限lim x→01-1+x2x 2.（2）求极限lim x→4x-2-22x+1-3.解（1）当x→0时，此极限是00型，将分子有理化得lim x→01-1+x2x2=lim x→0(1-1+x2)(1+1+x2)x2(1+1+x2)=lim x→0-x2x2(1+1+x2)=lim x→0-11+1+x2=-12.（2）当x→4时，此极限是00型，将分子分母同时有理化得lim x→4x-2-22x+1-3=lim x→4(x-2-2)(x-2+2)(2x+1+3)(2x+1-3)(x-2+2)(2x+1+3)=lim x→4(x-4)(2x+1+3)2(x-4)(x-2+2)=lim x→42x+1+32(x-2+2)=322.1.3 两个重要极限之（一）法求极限例 3 （1）求极限lim x→0tg xx.（2）求极限lim x→01-cos xx 2.解(1)lim x→0tg xx=lim x→0siim xx·1cos x=limx→0sin xx·lim x→01cos x=1.(2)lim x→01-cos xx2=lim x→02sin2x2x2=lim x→012sin x2x22=12.1.4 等价无穷小量代换法求极限例 4 （1）求极限lim x→01-cos x ln(1+2x).（2）求极限lim x→∞tg31n·arctg3nn sin2n3·tg1n·arcsin5n.解（1）当x→0时，1-cos x~12x2,ln(1+2x)~2x，所以lim x→01-cos x ln(1+2x)=lim x→012x22x=0.（2）当n→∞时，tg1n~1n，arctg3nn~3nn，sin2n3~2n3，tg1n~1n，arcsin5n~5n，所以lim x→∞tg31n·arctg3nn sin2n3·tg1n·arcsin 5n=lim x→∞1n3·3nn2n3·1n·5n=310.1.5 罗比达法则求极限法求极限例 1 （1）求极限lim x→0e x-e-x-2xx-sin x.（2）求极限lim x→0(1+x)α-1x（α为任意实数）.解（1）lim x→0e x-e-x-2xx-sin x00=lim x→0e x-e -x-21-cos x00=lim x→0e x-e-x sin x00=lim x→0e x+e-x cos x=2.（2）lim x→0(1-x)α-1x00=lim x→0α(1+x)α-11=α.2 型未定式2.1 多项式商的未定式极限一般有如下结论lim x→0a0x n+a1x n-1+Λ+a n-1x+a nb0x m +b1x m-1+Λ+b m-1x+b m=0n＜m a0b0n=m∞n＞m.其中a1,a1,Λ,a n,b0,b1,Λ,b n为常数，且a0≠0,b0≠0,m,n为正整数。

考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。

通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。

求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。

对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。

例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。

当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。

例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。

洛必达法则是求未定式极限的重要方法。

如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。

例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。

对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。

通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。

例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。

夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。

如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。

例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。

洛必达法则泰勒公式一、洛必达法则在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解．而由无穷大与无穷小的关系知，无穷大之比的极限问题也是如此．在数学上，通常把无穷小之比的极限和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为和．由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未定式极限的讨论带来一定的困难．今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定式极限的计算方法，并着重讨论当时，型未定式极限的计算，关于这种情形有以下定理．定理1设(1)当时，函数及都趋于零；(2)在点的某去心邻域内，及都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，则．也就是说，当存在时，也存在，且等于；当为无穷大时，也是无穷大．这种在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式极限的方法称为洛必达(L’Hospital)法则．下面我们给出定理1的严格证明：分析由于上述定理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中值定理．再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯西中值定理．证因为求极限与及的取值无关，所以可以假定．于是由条件(1)和(2)知，及在点的某一邻域内是连续的．设是这邻域内一点，则在以及为端点的区间上，函数和满足柯西中值定理的条件，因此在和之间至少存在一点，使得等式(在与之间)成立．对上式两端求时的极限，注意到时，则．又因为极限存在(或为无穷大)，所以．故定理1成立．注若仍为型未定式，且此时和能满足定理1中和所要满足的条件，则可以继续使用洛必达法则先确定，从而确定和，即．且这种情况可以继续依此类推．例1求．分析当时，分子分母的极限皆为零，故属于型不定式，可考虑应用洛必达法则．解、注最后一个求极限的函数在处是连续的．例2求．解、注例２中我们连续应用了两次洛必达法则．例3求．解、例4求、解、注(1)在例4中，如果我们不提出分母中的非零因子，则在应用洛必达法则时需要计算导数，从而使运算复杂化．因此，在应用洛必达法则求极限时，特别要注意通过提取因子，作等价无穷小代换，利用两个重要极限的结果等方法，使运算尽可能地得到简化．课后请同学们自己学习教材136页上的例10 ．(2) 例４中的极限已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误的结果．以后在应用洛必达法则时应特别注意，不是未定式，不能应用洛必达法则．对于时的未定式有以下定理．定理2设(1)当时，函数及都趋于零；(2)当时，与都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，则．同样地,对于(或)时的未定式，也有相应的洛必达法则．定理3设(1)当(或)时，函数及都趋于无穷大；(2)在点的某去心邻域内(或当时)，及都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，则．例5求、解、例6求、解、事实上，例6中的不是正整数而是任何正数其极限仍为零．注由例5和例6可见，当时，函数都是无穷大，但三个函数增大的“速度”是不一样的，最快，其次是，最慢的是．除了和型未定式外，还有型的未定式．这些未定式可转化为或型的未定式来计算，下面我们通过实例来加以说明．例7求．分析因为，，所以是型未定式．又因为，．而是型未定式，是型未定式，所以型未定式可以转化为或型未定式去计算．解、例8求．分析因为，，所以是型未定式．又因为．而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为型未定式来计算．解．注讨论型未定式的极限，一般都是通过提取公因式或通分的方法把函数由和的形式转化为商的形式，然后再去讨论．例9求、分析这是一个幂指函数求极限的问题，由于，所以是一个型未定式．又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算．解、例10求．分析由于，，所以是一个型未定式．又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算．解、由于,所以．例11求、分析由于，，所以是一个型未定式．又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算．解．由于，所以、型未定式向或型未定式的转化可形式地表示为：或；(或)；(或)；(或)．最后我们指出，洛必达法则是求未定式极限的一种方法．当定理的条件满足时，所求的极限当然存在(或为)，但当定理的条件不满足时，所求极限不一定不存在．也就是说，当不存在时(无穷大的情况除外)，仍可能存在,见下面的例题．例12求、解这是一个型未定式，我们有．由于上式右端极限不存在，所以未定式的极限不能用洛必达法则去求，但不能据此断定极限不存在．这时我们需要另辟新径，重新考虑这个极限．．由此可见极限是存在的．二、泰勒公式把一个复杂的问题转化为一个简单的问题去研究是我们研究复杂问题时经常采用的方法，那么对于一个复杂的函数，为了便于研究，我们也希望用一些简单的函数来近似表达．说到简单函数，我们想到了用多项式表示的函数，它的运算非常简单．那么是否任意一个函数都可以用多项式去近似表达呢？关于这个问题我们曾经在微分近似计算中讨论过．设函数在点的某个邻域内可导，且，则在该邻域内．用上述的一次多项式去近似表达函数存在两点不足：(1)精确度不高，它所产生的误差仅是比高阶的无穷小；(2)用它做近似计算时，不能具体估算出误差大小．因此，在一些精度要求较高且要求估计误差的问题中，上述近似表达是满足不了要求的．这时我们就想，是否可以找到一个关于的更高次多项式去近似地表达函数，从而使误差变得更小呢？这就是下面我们要解决的问题．设函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，并设用于近似表达函数的多项式为、(1)既然我们要用去近似地表达，自然要求在处的函数值及它的直到阶的导数在处的值依次与，相等，即，，…，．这样我们就得到了如下个等式，，,…,，即，，，…,．将所求得的多项式的系数，,…,代入(1)式，得、(2)下面的泰勒(Ｔaylor)中值定理告诉我们，多项式(2)就是我们要找的多项式，并且用它去近似表达函数f(x),其误差的确变小了．泰勒中值定理若函数f(x)在含有x的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对任意x,有f(x)=、(3)其中，(4)这里是在与之间的某个值．由(2)式和(3)式知，，现在只要证明(介于与之间)即可．证由假设知，在内具有直到阶的导数，且、函数与在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，故有(介于与之间)、同样，函数与在以及为端点的区间上也满足柯西中值定理的条件，故有(介于与之间)、继续对函数与在以及为端点的区间上应用柯西中值定理，如此做下去，经过次应用柯西中值定理后，得(介于与之间，因而也在与之间)、定理证毕．泰勒中值定理告诉我们，以多项式近似表达函数时，其误差为．如果对某个固定的，当时，，则有误差估计式，及．由此可见，当时，误差是比高阶的无穷小，即(5)上述结果表明，多项式的次数越大，越小，用去近似表达的误差就越小，是比高阶的无穷小，并且误差是可估计的．泰勒公式不仅在近似计算中有着广泛的应用，而且它在级数理论和数值计算中也起着重要的作用，同学们一定要深刻地理解它．到此我们所提出的问题就解决了．多项式(2)称为函数按的幂展开的次泰勒多项式，公式(3)称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式，而的表达式(4)称为拉格朗日型余项．当时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式(介于与之间)．因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．在不需要余项的精确表达式时，阶泰勒公式也可写成、(６)的表达式(5)称为佩亚诺(Peano)型余项，公式(6)称为按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式．在泰勒公式(3)中，如果取，则在0与之间．因此可令，从而泰勒公式变成简单的形式，即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式、(7)在泰勒公式(6)中，若取，则带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式为、(8)由(7)和(8)可得近似公式、(9)误差估计式相应地变成、(10)例1写出函数的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式．解因为，所以．把这些值代入公式(7)，并注意到，便得、由这个公式可知，若把用它的次泰勒多项式近似地表达为，则所产生的误差为、如果取，则无理数的近似式为，其误差．当时，可算出，其误差不超过．例2求的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式．解因为,,,…,，所以，，，,…,它们顺序循环地取四个数，，，，于是令，按公式(7)得，其中．如果取，则得近似公式，这时误差为、如果分别取和，则可得的次和次近似和，其误差的绝对值依次不超过和．以上三个近似多项式及正弦函数的图形见图4．由图4可见，当时，近似多项式的次数越高，其向函数逼近的速度就越快，这就是泰勒公式的精髓．类似地，我们还可以求出函数和的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式：其中;,其中；，其中．由以上带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式，可很容易的得到相应地带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，请同学们课后自己写出来．以上这些常见函数的麦克劳林公式要求同学们一定要熟记，以便在今后使用时方便．例3利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限．分析利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求极限，就是把极限中所涉及到的不是关于的多项式的函数，都用麦克劳林公式来表示，然后求其极限．在利用麦克劳林公式计算极限时，自变量的变化过程一定得是趋于零，否则保证不了麦克劳林公式对原始函数的良好近似．在本问题中，由于分式的分母，因此我们只需要将分子中的和分别用带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式表示即可，其中，．为什么和要展成三阶麦克劳林公式，而不展成其它阶的麦克劳林公式呢？这是因为用麦克劳林公式将分子展成关于的多项式后,分子分母中的最高次幂一定要相等，以便运算．这一点同学们今后一定要注意．解其中仍是比高阶的无穷小，因为．总结由于两个多项式之比的极限比较容易计算，所以人们经常利用泰勒公式把两个复杂函数之比的极限问题转化为多项式之比的极限问题．。

七种未定式的极限解法
1.极限的定义法：通过极限的定义来求解未定式的极限，即直接运用极限的定义式进行计算。

2. 夹逼定理：当未定式夹在两个已知的函数之间时，可以运用夹逼定理来求解。

3. 分子有理化：对于未定式中含有根号的情况，可以通过分子有理化的方法来消除根号，然后再利用其他方法求解。

4. 洛必达法则：当未定式中含有形如0/0或者∞/∞的情况时，可以运用洛必达法则来求解。

5. 牛顿-莱布尼茨公式：当未定式中含有带有变量的函数时，可以运用牛顿-莱布尼茨公式来求解。

6. 泰勒展开：当未定式中的函数为三角函数、指数函数等复杂函数时，可以运用泰勒展开来求解。

7. 对数化幂：当未定式中含有幂函数时，可以通过对数化幂的方法来将幂函数化为指数函数，然后再利用其他方法求解。

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第22卷第5期2019年9月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.22,No.5Sep.,2019doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2019.05.001幕指函数中未定式00"!、！0型极限的若干定理陈建梅，翟书杰(郑州大学数学与统计学院,河南郑州450001)摘要本文给出计算数中未定式00、1!、！0型极限的若干定理，并举例说明正确的解题方法与技巧.关键词-.函数；未定式00,1!,!0中图分类号O13,G642.0文献标识码A文章编号1008-1399(2019)05-0001-03On LimiSs of Indeterminate Forms of Power Exponential FunctionsCHEN Jianmei and ZHAI Shujie(School of Mathematics and Statistic,Zhengzhou University,Zhengzhou450001,China)Abstract In this paper,we revisit some theorems for calculating the limits of indeterminate forms of pow­er exponential functions,and illustrate the corresponding methods and techniques.Keywords power exponential function,indeterminate form00,1!,!01引言高等数学是工科类学生的公共基础必修课程,数学分析是理科数学类的基础必修课程,微分学是高等数学或者数学分析的主要内容,也是学习后续专业课程的基础.只有学好微分学,才能更好地学习后续的各门专业课程,幕指函数中未定式00、1!、80型的极限是微分学的重点内容，也是难点内容.目前的教材没有给出计算未定式00、1!、80型极限的完整形式定理(参考文献，也没有给出正确的解题方法(参考文献[3]).本文给出计算未定式00、1!、80型极限的若干完整形式定理及其证明，并举确的解题与方法!2关于计算3种未定式00、1!、80型极限的两个定理定理1在Z的某一变化过程中,#(")3属于3种未定式00、1!、80型之一,『(实数)(1)如果lim g(")ln#(")="+!(2)$—8(3)则lim#(")g(")=nme g("ln/(")(lim gC")^/"")J e="+8$0Ae1)(2)(3)证明#(,x)g(,=e g<'I>'n f<">,f(x)>0由e",& g")ln#")复合而成的.下面证明(1)：因为lim&= lim g(")ln f(")=A(实数)，1i me"=e A,利用复合函数"&A收稿日期：2019-03-06修改日期2019-05-02基金项目：国家青年/然科学基金项目(11801524)；郑州大学教改项目(13210020).作者简介：陈建梅(1966-),女,副教授,从事高等数学教学研究工作,Email：c hjm@.翟书杰(1979—),女,博士、讲师，从事基础数学研究工作,Email:zhaishujie@.的极限运算法则,所以lim f(")2=lime g")f") lime"=e A.类似证明(2),(3)."&A这里需要特别注意的是：第一不能无条件的写成下面的式子lim g("))n f(")elim f(")$">当g(")n f")无变化趋势或者lim g(")ln f") +8、一8、8的情形之一时,不能写成lim f")g")2高等数学研究2019年9月8?心应？比如下面的例2.=与例2.5,又如：limd+sin.z)'2，不能直接写成"2lim-J•lnd+sinc)lm4^*si"lim(1+sin")"=e"&0"=e"&°""&0利用⑴，所以lim(arCsm")7=e1""&+0例2.4计算lim「S"!［土"&+0e解这是未定式18型，因为e A"=e!，这是不正确的;正确的是:lim丄l n"&+0"(1+")"e因为lim$ln(l+sin") "&0"lim$sin"=!,"&0"8*0W limp l n1+("&+0 "(1+")1e1)所以lim(l+sin"%2不存在."&0第二当g(")ln/(")无变化趋势或者lim g(") ln#(")=8时，则#都无变化趋势.:例2.1计算lim"n+)."&+0解这是未定式0#型，因为0*8lim ln(1+")ln"=lim"In""&+0"&+0lim丄(1+")丄"&+0 "e1)丄lim(1+")1——ee"&+00_e im"&+0"2(1+")1n(1+")4"(1+")2"11ee p"—(1+")ln(1+")2"&+0"3(1+")"&+08丄-In"8-"小=lim—^―=lim------=0,"&+01"&+0_1""2利用(1)所以lim"ni+")we0w1."&+01tan"例2.2计算lim(―)."&+0"解这是未定式80型，因为10*81lim tan"ln—=lim"In—=——lim"In""&+0""&+0""&+08丄ln"8"=一lim=—lim-------=0,"&+01"&+0_1""2tan"0利用(1)所以lim(丄)we W1."&+0"例2.3计算l i m(as")?."&+0"解这是未定式18型，因为1e 0_w21,’arcsin"、lim-^-ln(---------) "&+0 ""8*0W lim飞1口|1+( "&+0 "arcsm""1arcsin" lim飞("&+0 "1)"e1"——1+")n1+")—lim lim2"&+01十""&+0"1—l n(1+")—(1+")*丄1+"lim"&+01r—ln(1+")2im"&+03"23"21 1."1 1.1=—可lim-~2=—可lim—w—8，2"&+0："2"&+0："利用(3),所以lim「1+")")?=0."&+0e例2.5计算lim(@"")7."&+0"解这是未定式18型，因为lim飞］n(+0 "arcsm"")8*01arcsln"=im^lnl1+(---------"&+0"L"lim1(s"——1)+0""利用(2),所以lim(Qs")7=+8."&+0"利用定理1类同的证明方法得到：定理2当"&8时属于3种未定式00、18、80型之一，第22卷第5期陈建梅，翟书杰：幕指函数中未定式00、1!、！0型极限的若干定理3如果 lim gS ) In f (宛)A ( 数)1 )+ !一 !(2)(3 )则lm f (s)g(l ) =lime g(l)lnf(l )lim g(n ) \n f(n )Ae ”&8e+ 81)(2)(3)例 3.2 计算 lim (1 + x ) [2x &+0 L e 」解 这是未定式18型，因为lim ((1+x )x & + 01) -1x1 r (1+x )1 — e ——lim e x &+0ex 23 关于计算未定式型极限的两个定理定理3在x 的某一变化过程中，f (x )gx )属于1!型的未定式,20 1=—lim e x &+0(1+x )1ln(1+x )+^+)如果 lim[f(") —叮g")A ( 数)1 )+! (2)1e 一 !1e2x e x 一(1+x )ln(1+x )2 x -i +0x 3 (1+x )e 1. 1 1. x 一(1 + x )ln(1+x )—lim — ■ lim -------------3--------------------------2 x &+01 +x "& + 0"& + 0则 lim f (x )gx )="+ !$01)(2)(3 )1一ln(1+x ) —(1+x ) ■ 111+xV lm 厶 x & + 00_=1=2g(x)(f(x) 1) -1 -证明 f (x)g(x ) = [1+f(x ) —叮=+ (+ (f(x )—1)[们｝ [fx T [31匚f(x ) —1 [ g(x ) I n [1+ ( f(x ) — 1 ) [ fx )1=e,3x 21 - 一ln(1 +x ) 1 - x~c)~ lm—2 = 下 lim ——2 x &+0 3 x 2 x &+0 3 x"& + 03x 211—可 lim —= — !,2 x &+03 x利用(3),所以 lim (1+x ) [1=0.由 e" ," = [f(x ) — 叮g(x )In [1 + (f (x ) — 1)[心 1 复合而成的.下面证明(1)：im[f (x ) 一1 [g (x ) =A ( 数)!lim [1 + (f(x ) —1)[#x —f =e,得到lim " = lim[f(x ) — 1]g(x )ln [1 + (f(x ) — 1) [f () 1=A ( 数) !因为 lim " = A (实数)，lime ""&Ae ，&"& + 0e例 3.3 计算 lim (as x )4x & + 0限运算法则，所以e A ，利用复合函数的极x 解 这是未定式18型，因为1)1x 30_ ____________0「 1 一 槡 1一 x 2=lim ----------x &+04x 3 * 槡 1一 xarcsin x lim (---------x &+0x imx & + 0arcsm "一x x 4lim f (x )gx ) = lime 匚fx 〉一13gx )in 匚 1+ fx —1)zi ~1"A=ime =e !"&A类似证明(2),(3).特别注意的是：当[f(x)—1]g(x)无变化趋势或者lim f(x )—叮g(x )= 8时，则f (x )g(x )都无变 化趋势.一x 22+ !,例 3.1 计算 lim (arcsin x )7x &+0 x 解 这是未定式18型，因为arcsin x 1lim (---------一 1)=x &+0xx0_=lim —利用(2),所以 lim (ac x )4= + 8.x 显然，例3. 1、例3. 2、例3. 3的解法分别比例2. 3、例2. 4、例2. 5的解法要简单一些.对于计算未定式18型的极限，同学们可以选择定理3的方法,定理3的方法要比定理1的方法简单一些.定理:类 的 方法 ：定理4 当"&8时f (n)gl 属于18型的未定式,x & + 0arcsin x —x lim x & + 0x 一x 22利用(1),所以 lim (arCSln x )? = ex &+0 x16一 !1 一 槡 1 一 x 2如果 lim f (n ) — 叮 g(n )="n &8c 2 * 槡 1一x 2#e A (1)贝Ij l im f (n)g(n )="+ 8 (2)1$0⑶A (实数)+ !1)(2)(3 )(下转第6页)6高等数学研究2019年9月结论2曲线C：*=f(x)有渐近线y=kx+b当且仅当f(x')=kx+b+o(1),其中o(1)满足lim o(1)=0.x&+8(x&-8)证明以x&+8为例：(1)如果y=f(.x)有渐近线*=kx+b,则lim£f(x)一kx)=b,x&+8即f(x)一kx=b+o(1)，其中lim o(1)=0,即f(x)=x&+8kx+b+o1)!(2)如果f(x)=kx+b+o(1),其中lim o(1)=0,则x&+8lim f$x)—im kx+b+o(1)x&+8x x&+8xb+o1)k I liim k,x&+8xlim[f(x)—kx)=lim[b+o(1))=b.x&+8x&+8所以曲线C：y=f(x)有渐近线*=kx+b.证毕.由渐近线的几何意义可知，当曲线上动点远离原点时，曲线与渐近线的距离趋于零，因此通过把曲线化为线性部分和相应过程的无穷小的部分之和,即f(.x)=ax+b+o(1),线性部分即为曲线的渐近线，这就是结论2所描述的求解过程.(3)y=槡x3—x2—x+1解(1)由于=x3y x2+2x一3x—27x一6x2+2x一3W x—2+o1)其中o(1)满足lim o(1)=lim2x.+6=0,所以曲x&8x&8x+~2x3有斜y=x—2(2)—2x2一y=)=22x—2(—x)2=2+o1),中o(1)满足lim o(1)=lim门_、？=0,所以曲线有水x&8x&8(丄CC)平y=2(3)y—槡x3—x2—x+1—x槡一十一右+右x(i+1(-=x一g+o(1)(x&8),所以曲线有斜渐近线y=x—1.比如例2中的函数y=槡1+x2—x,借助带皮亚诺余项的泰勒公式，当x&—8时可以改写为一x(2+空。

浅析洛必达法则求函数极限.docx⽤洛必达法则求未定式极限的⽅法⼀、洛必达法则求函数极限的条件及适⽤范围(⼀) 洛必达法则定理定理1⑴若函数/(X )与函数g(x)满⾜下列条件： (1)在。

的某去⼼邻域讥兀)内可导,且g?)HO (2) lim /(x) = 0 XTG+0 lim g(x) = 0 XTO+0 v f\x) A(3) lim ------ ------ = A兀T"+0 g\x)则lim /⑴⼆lim f = A (包括A 为⽆穷⼤的情形)XT"+0 g(x)g'(x)定理2若函数/(兀)和g(x)满⾜下列条件+ ⼀, X -> X o ，兀 TOO,兀⼀>+00,X —>—00。

定理证明：作辅助函数于是函数F(x)及G(x)在［d,d +》)连续，在(d,G + /)可导，并且G (%)丰0?今对(G ,G + /) 内任意⼀点x,利⽤柯西中值定理得(1) 在d 的某去⼼邻域Mr)内可导，且g3 H 0(2) lim /(x) = oolim p(x) = ooX->X ()(3) r⼴(x)⼈ lim = A则lim = lim 以卫=5+o 0(x) 5+() g(x) 5+0 g\x)A (包括A 为⽆穷⼈的怙:形)此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适⽤：F (兀)=0, 当兀=aG(x) =0, 当兀=a空n(叽空丄G(x) G(x)-G(G ) G\X Q )由F(Q 及G (劝的定义，上式B |jZW =ZW g(x) gUo)所以当XTQ + 0时（这时显然有兀oTG + O ）,对上式两端取极限，即证毕。

关于定理⼆的证明⽅法也同定理1类似，这⾥就不点出。

当然，还有其他不同的证明⽅法。

（-）洛必达法则使⽤条件只有在分⼦、分母同时趋于零或者同时趋于⽆穷⼤时，才能使⽤洛必达法则。

连续多次使⽤法则时，每次都要检査是否满⾜定理条件，只有未定式⽅可使⽤，若是检查结果满⾜法则使⽤条件，才可连续使⽤洛必达法则，直到求出函数极限或者为⽆穷⼤，否则就会得出错谋的结果，下⾯举个例⼦来说明。

洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

比如利用泰勒公式求解。

②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

一道未定式极限例题的解法探讨作者：油俊彦来源：《科技风》2020年第26期摘;要：本文針对一道00型未定式极限例题，给出了七种解法，并对每一种解法进行了详细的分析。

最后，通过解法的探讨，对未定式极限的教学经验进行了总结。

关键词：未定式极限;洛必达法则;等价无穷小A;Probe;into;the;Solution;to;an;Example;of;indeterminate;form;limitYou;JunyanSchool;of;Mathematics;and;Statistics，Heze;University;ShandongHeze;274000Abstract：In;this;paper，seven;solutions;are;given;for;an;example;of;0/0;tepy;indeterminate;form;limit，and;each;solution;is;analyzed;in;detail.Finally，the;teaching;experience;of;indefinite;limit;is;summarized;through;the;discussion;of;the;solution.Key;words：Indeterminate;form;limit，L’Hospital’s;rule，Equivalent;infinitesimal极限是学习高等数学的理论基础，同时也是分析函数连续性、可微性等性质的重要工具[1，2]。

虽然求极限问题的方法有很多种，例如重要极限、无穷小的性质、无穷小与无穷大的关系、等价无穷小、洛必达法则等[3，4]，但基于极限问题形式的多样性，选择合适的方法进行求解是教学的重点，也是学生学习的重点与难点。

在极限问题中，未定式极限是常见的类型，也是综合性最强的一种，所以求解未定式极限是学习极限的重中之重。

因此，学好极限的求解，尤其是未定式极限的求解，一方面可以帮助学生更好地理解极限的定义、思想及其应用;另一方面，可以提高学生思维的灵活性，以及利用数学知识解决问题的能力，从而达到培养学生学习数学的兴趣以及自主学习的目的。

极限的四则运算极限的四则运算Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】1.3.1极限的四则运算⼀、极限运算法则定理1lim (),lim (),f x A g x B ==设则(1)lim[()()];f x g x A B ±=±(2)lim[()()];f x g x A B ?=?()(3)lim,0()f x AB g x B=≠其中推论1 ).(lim )](lim [,,)(lim x f c x cf c x f =则为常数⽽存在如果即：常数因⼦可以提到极限记号外⾯.推论2.)]([lim )](lim [,,)(lim n n x f x f n x f =则是正整数⽽存在如果定理2 （复合函数的极限）. )(lim ))((lim , )(lim , )( ),(U ?, )(lim , )( )( ))(( 000a u f x f a u f u x x u x x u u f y x f y u u x x u u x x ===≠====→→→→??δ则⼜有内去⼼邻域且在若复合⽽成及是由设⼆、求极限⽅法举例常见⽅法：a.多项式与分式函数代⼊法求极限; b.消去零因⼦法求极限;c.⽆穷⼩因⼦分出法求极限;d.利⽤⽆穷⼩运算性质求极限;e.利⽤左右极限求分段函数极限.（⼀）多项式与分式函数代⼊法求极限则有设,)(.1110n n n a x a x a x f +++=-n n x x n x x x x a x a x a x f +++=-→→→ 110)lim ()lim ()(lim 0).(0x f =则有且设,0)(,)()()(.20≠=x Q x Q x P x f )(lim )(lim )(lim 000x Q x P x f x x x x x x →→→=)()(0x Q x P =).(0x f = .,0)(0则商的法则不能应⽤若=x Q例1 ).53(lim 22+-→x x x 求解：)53(lim 22+-→x x x 5lim 3lim lim 2→→→+-=x x x x x 5lim lim 3)lim (2222→→→+-=x x x x x 52322+?-=.3=nn n a x a x a +++=- 1100例2 求.35123lim 2232+-++-→x x x x x x 解：35123lim 2232+-++-→x x x x x x 3163252122223223-=+?-++?-?= 例3 求)14135115131(lim 2-++++∞→n n 解：=-+=-)12)(12(1141 2n n n ??? ??+--12112121n n)12)(12(175153131114135115131 2+-+?+?+?=-++++∴n n n??+--++??? ??-+??? ??-+??? ?-=1211217151513131121n n ??+-=121121n . 21121121lim )14135115131(lim 2=??? ??+-=-++++∞→∞→n n n n 例4 ).21(lim 222n nn n n +++∞→求解：当．是⽆限多个⽆穷⼩之和时,∞→n 先变形再求极限. 222221lim )21(lim n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ 2) 1(21lim n n n n +=∞→)11(21lim n n +=∞→.21= (⼆))0(型消去零因⼦法求极限消去零因⼦法：（1）因式分解；（2）有理化法；（3）变量替换法（1）因式分解例1 .321lim 2)1)(3()1)(1(lim 321lim 1221-+-+=-+-→→x x x x x x x x x 31lim 1++=→x x x .21= 练习：求hx h x h 330)(lim -+→解：原式=hx x h x h x x h x h ])())[((lim220++++-+→])()[(lim 220x x h x h x h ++++=→23x = （2）有理化法，将分⼦或分母有理化，约去极限为零的因式。

求极限值的几种常用方法钱伟茂（湖州广播电视大学 浙江 湖州 313000）摘 要: 极限的概念与极限的运算贯穿于高等数学的始终，是研究函数的主要工具之一，全面掌握求极限的方法是学好高等数学的基本要求。

本文围绕求解极限值这个核心问题，探讨了利用初等数学思想的十种求解方法和利用高等数学思想的十一种求解方法。

关键词:数列；函数；极限值；求法极限是高等数学的基本概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。

高等数学中的诸如：连续、导数、微分、定积分、级数敛散性、多元函数偏导数、重积分、曲线积分、曲面积分等相关证明和运算都离不开求极限值。

本文将把分散于高等数学各章节中的求极限值的常用方法较系统地进行归纳，分为以初等数学思想和高等数学思想两种求解方法进行探讨。

一、初等数学思想的求解方法1．利用约分约分方法是指对分式求极限通常约去极限趋于零或无穷的因子以达到化简的目的。

例1 求111lim --→n m x x x解：原式=nmx x x x x x x x x x x x n n m m n n m m =++++++→=+++-+++-→--------111lim 1)(1()1)(1(1lim 21212121 2．利用分子、分母同除于一个因子分子、分母同除于一个因子，使每一项极限均存在，然后运用极限运算法则。

例2 求502030)16()29()14(lim -++∞→x x x x解：原式=10502030502030)32(694)16()29()14(lim =⨯=-++∞→xx x x 3．利用分子、分母同乘一个非零因子 例3 若1<x ，求)1()1)(1)(1(lim 242nx x x x n ++++∞→解：原式=x x x x x x n n-++++-∞→1)1()1)(1)(1)(1(lim 242=)1(1111lim 12<-=--∞→+x xx x n n4． 利用通分例4 求)4421(2lim2---→x x x解：原式=41212lim )2)(2(22lim =+→=+--→x x x x x x5．利用求和公式对于若干项相加的式子，先求和，再求极限。