不定积分练习题复习过程

第一节 不定积分的概念与性质例题：计算下列不定积分：1．dx x ⎰22．dx x⎰13．设曲线通过点()2,1，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程 4．dx x ⎰31 5．dx xx ⎰1 6．()dx xx 52-⎰ 7．dx x x ⎰28．()dx xx ⎰-231 9．()dx x e x⎰-cos 3 10．dx e xx ⎰2 11．dx x ⎰2tan12．dx x⎰2sin213．dx x x ⎰2cos 2sin 12214．dx x x x ⎰+++132224 15．dx x x x ⎰--12224 习题：1．利用求导运算验证下列等式：（1）C x x dx x +++=+⎰)1ln(1122（2）C xx dx x x+-=-⎰111222（3）C x x dx x x x +++=++⎰11arctan )1)(1(22 （4）C x x dx x ++=⎰sec tan ln sec （5）C x x x dx x x ++=⎰cos sin cos（6）C x x dx x e x+-=⎰)cos (sin 21sin 2．求下列不定积分（1）dx x⎰31（2）dx x x ⎰（3）⎰xdx （4）dx x x ⎰32（5）⎰xx dx2（6）dx x mn ⎰（7）dx x ⎰35 （8）dx x x ⎰+-)23(2（9）⎰ghdx 2（g 是常数） （10）()dx x⎰+221（11）()()d x x x ⎰-+113 （12）⎰xx dx 2（13）dx x e x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+32 （14）dx x x ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+221213 （15）dx xe e xx⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1 （16）dx e xx ⎰3 （17）dx xxx ⎰⋅-⋅32532 （18）()dx x x x ⎰-tan sec sec （19）dx x ⎰2cos2（20）⎰+x dx 2cos 1 （21）dx x x x ⎰-sin cos 2cos （22）dx xx x⎰22sin cos 2cos （23）dx x ⎰2cot （24）()dx ⎰θ+θθsec tan cos（25）dx x x ⎰+122 （26）dx x x x ⎰++123234 3．一曲线通过点()3,2e ，且任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．4．证明函数)12arcsin(-x 、)21arccos(x -和x x-1arctan 2都是21xx -的原函数．第二节 换元积分法例题求下列不定积分1、dx x ⎰2cos 2 2、dx x ⎰+2313、dx x x ⎰+32)2( 4、dx xe x ⎰225、dx x x ⎰-21 6、dx x a ⎰+2217、dx x a ⎰-221 8、dx x a ⎰-2219、dx x x ⎰+)ln 21(1 10、dx xe x⎰311、dx x ⎰3sin 12、dx x x ⎰52cos sin13、dx x ⎰tan 14、dx x ⎰2cos15、dx x x ⎰42cos sin 16、dx x ⎰6sec17、dx x x ⎰35sec tan 18、dx x ⎰csc19、dx x ⎰sec 20、dx x x ⎰sin 3cos 21、dx x a ⎰-22 22、dx ax ⎰+22123、dx a x ⎰-221 24、dx x x a ⎰-422 25、⎰+942x dx 26、⎰-+21xx dx27、()dx x xx ⎰+-22322练习1、在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：（1）=dx )(ax d ； （2）=dx )37(-x d ；（3）=xdx )(2x d ； （4）=xdx )5(2x d ； （5）=xdx )1(2x d -； （6）=dx x 3 )43(2-x d ；（7）=dx e x 2 )(2xe d （8）dx e x 2-= )1(2x e d -+（9）=dx 23sin )23(cos x d （10）=xdx )ln 5(x d （11）=xdx)ln 53(x d -（12）=+21x dx )3(arctan x d （13）=-21xdx)arcsin 1(x d -（14）=-21x xdx )1(2x d -2、求下列不定积分（1）dt e t⎰5 （2）dx x ⎰-3)23(（3）⎰-x dx 21 （4）⎰-332x dx（5）dx e ax bx⎰-)(sin （6）dt tt ⎰sin（7）dx xex ⎰-2（8）dx x x ⎰)cos(2（9）dx xx⎰-232 （10）dx x x ⎰-4313 （11）dxx x x ⎰+++5212 （12）dt t t ⎰ϕ+ωϕ+ω)sin()(cos 2 （13）dx x x ⎰3cos sin （14）dx x x xx ⎰-+3cos sin cos sin（15）dx x x ⎰⋅210sec tan （16）⎰x x x dxln ln ln（17）⎰-221)(arcsin xx dx（18）dx xx ⎰-2arccos 2110（19）⎰+⋅+2211tan x xdxx （20）dx x x x ⎰+)1(arctan （21）dx x x x⎰+2)ln (ln 1 （22）⎰x x dx cos sin （23）dx xx x ⎰sin cos tan ln （24）dx x ⎰3cos （25）dt t ⎰ϕ+ω)(cos 2（26）dx x x ⎰3cos 2sin（27）dx x x ⎰2cos cos （28）dx x x ⎰7sin 5sin（29）dx x x ⎰sec tan 3（30）⎰-+x x e e dx（31）dx xx⎰--2491 （32）dx x x ⎰+239 （33）⎰-122x dx （34）⎰-+)2)(1(x x dx（35）dx x x x ⎰--22 （36）⎰-222xa dx x（37）⎰-12x x dx （38）⎰+32)1(x dx（39）dx x x ⎰-92 （40）⎰+xdx 21 （41）⎰-+211xdx （42）⎰-+21xx dx（43）dx x x x ⎰++-3212 （44）dx x x ⎰++223)1(1第三节 分部积分法例题 求下列不定积分1、dx x x ⎰cos2、dx xe x⎰3、dx x x ⎰ln4、dx x ⎰arccos5、dx x x ⎰arctan6、dx x e x⎰sin7、dx x ⎰3sec 8、dx e x⎰练习 求下列不定积分（1）⎰xdx x sin （2）dx x ⎰ln（3）dx x ⎰arcsin （4）dx xe x⎰-（5）dx x x ⎰ln 2（6）dx x e x ⎰-cos（7）dx x ex⎰-2sin 2 （8）dx x x ⎰2cos（9）dx x x ⎰arctan 2 （10）dx x x ⎰2tan（11）dx x x ⎰cos 2（12）dt te t ⎰-2（13）dx x ⎰2ln （14）dx x x x ⎰cos sin（15）dx x x ⎰2cos 22 （16）dx x x ⎰-)1ln( （17）dx x x ⎰-2sin )1(2（18）dx xx⎰23ln（19）dx e x ⎰3（20）dx x ⎰ln cos（21）dx x ⎰2)(arcsin （22）dx x e x ⎰2sin（23）dx x x ⎰2ln （24）dx ex ⎰+93其他有关有理函数与无理函数的不定积分计算问题：例题：1、dx x x x ⎰+-+6512 2、dx x x x x ⎰++++)1)(12(223、dx x x x ⎰---)1)(1(32 4、dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1 5、dx x x ⎰-16、⎰++321x dx 7、dx x x x ⎰+11练习：（1）dx x x ⎰+33（2）dx x x x ⎰-+-103322 （3）dx x x x ⎰+-+5212 （4）⎰+)1(2x x dx（5）dx x ⎰+133 （6）dx x x x ⎰-++)1()1(122 （7）⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx（8）dx xx x x ⎰--+3458 （9）⎰++))(1(22x x x dx（10）dx x ⎰-114（11）⎰+++)1)(1(22x x x dx （12）dx x x ⎰++)1()1(22（13）dx x x x ⎰++--222)1(2（14）⎰+x dx 2sin 3 （15）⎰+x dx cos 3 （16）⎰+x dxsin 2 （17）⎰++x x dx cos sin 1 （18）⎰+-5cos sin 2x x dx（19）⎰++311x dx（20）dx x x ⎰+-11)(3（21）dx x x ⎰++-+1111 （22）⎰+4x x dx （23）x dx x x ⎰+-11 （24）⎰-+342)1()1(x x dx本章复习题计算下列不定积分：1、⎰-x dx cos 452、⎰+942x x dx 3、dx x x ⎰+2)43(4、dx x ⎰4sin5、⎰-942x dx 6、dx x x ⎰++52127、dx x ⎰+9228、dx x ⎰-2329、dx x e x⎰cos 210、dx x x ⎰2arcsin11、⎰+22)9(x dx 12、⎰x dx 3sin 13、dx x e x ⎰-3sin 214、dx x x ⎰5sin 3sin 15、dx x ⎰3ln 16、dx xx ⎰-117、dx x ⎰+22)1(118、dx x x ⎰-11219、dx x x ⎰+2)32(20、dx x ⎰6cos 21、dx x x⎰-22222、dx x ⎰+cos 52123、⎰-122x x dx24、dx x x ⎰+-1125、dx x x x ⎰--+125226、⎰-+21x x xdx27、dx x x ⎰+2442528、⎰--x x e e dx 29、dx x x⎰-3)1(30、dx x a x ⎰-66231、dx x x x ⎰++sin cos 1 32、dx x x ⎰ln ln33、dx x x x ⎰+4sin 1cos sin 34、dx x ⎰4tan 35、⎰+)4(6x x dx 36、dx x a x a ⎰-+37、⎰+)1(x x dx 38、dx x x ⎰2cos 39、⎰+xedx 140、⎰-122x xdx41、⎰+)1(24x x dx 42、dx x x ⎰sin 43、dx x ⎰+)1ln(244、dx x x ⎰32cos sin 45、dx x ⎰arctan46、dx x x ⎰+sin cos 147、dx x x ⎰+283)1(48、dx x x x ⎰++234811 49、⎰-416x dx 50、dx x x ⎰+sin 1sin 51、dx x x x ⎰++cos 1sin 52、dx xx x x e x ⎰-23sin cos sin cos 53、dx x x x x⎰+)(3354、⎰+2)1(x e dx 55、dx e e e e x x x x ⎰+-+124356、dx e xe x x⎰+2)1( 57、dx x x ⎰++)1(ln 2258、⎰+32)1(ln x x 59、dx x x ⎰-arcsin 1260、dx xx x ⎰-231arccos61、dx x x ⎰+sin 1cot 62、⎰x x dx cos sin 363、⎰+x x dxsin )cos 2(64、dx x x x x ⎰+cos sin cos sin65、dx x x ⎰-)1(12。

（完整版）微积分复习资料基本知识复习⼀、不定积分1．不定积分概念，第⼀换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的⼀个原函数。

如果()F x 是函数()f x 的⼀个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+?（2）不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=?2。

()()'F x dx F x C =+? 3。

()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+（3）基本不定积分公式表⼀()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dx xdx x C x x µµµµ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+（3）第⼀换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ?=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du =??=?2．第⼆换元积分法，分部积分法（1）第⼆换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.⼜设()()'f t t ψψ具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=??=其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2）分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-??这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-??（3）基本积分公式表⼆(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三⾓函数有理式的积分，某些简单⽆理式的积分⼀、有理函数的积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，⼜称为有理分式.我们总假定分⼦多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分⼦多项式()P x 的次数⼩于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利⽤多项式的除法,总可以将⼀个假分式化成⼀个多项式与⼀个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分⽅法.对于真分式()()n m P x Q x ,⾸先将()m Q x 在实数范围内进⾏因式分解,分解的结果不外乎两种类型:⼀种是()kx a -,另外⼀种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若⼲个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.⼆、可化为有理函数的积分举例例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++?解由三⾓函数知道,sin x 与cos x 都可以⽤tan2x的有理式表⽰,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ ⽽2arctan ,x u =从⽽2.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222 xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++??+ ?++??=??-+ ?++??=++=+++ ?=+++例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从⽽所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =?=++?=-=-++??=+ 例6求u =,于是322,3,x u dx u du =-=从⽽所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+?=-+ +=-+++=+例7 求解设6x t =,于是56,dx t dt =从⽽所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++?=-=-+ +=+例8求解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从⽽所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-?=----?=-+=--+ -+=-++--+=-++⼆、定积分（1）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（1）定积分的概念1。

不定积分与定积分期末复习Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】不定积分与定积分数学分析第四版上册一、重中之重：(1)原函数—>加上C(2)最后的结果一定要将变量带回去(3)去根号时，注意变量的取值范围(是否要分类讨论) 例：⎰-12x x dx、dx x ⎰-|1|(连续点x=1处，原函数须相等)详情见P181(4)记得验算几遍二、基本思路三、常见的不定积分四、方法总结1、三角换元=>去根号2、分部积分法的递推3、分母变为一项或多因式，从而进行列项成多个项来求 例：⎰+dx xsin 11=>上下同时乘以x sin 1- 4、巧妙运用1cos sin 22=+x x 例：dx xx ⎰cos sin 1=>带入分子后，拆分即可 5、巧妙运用x x 22tan 1sec +=)(tan sec 2x d xdx ==> 例1：⎰⎰⎰++-==)(tan tan 111tan sec tan sec tan 242424x d x x dx x x x dx x还有 dx x ⎰+-tan 1tanx 1和⎰++dx x x x 1tan tan tan 2(上下同时乘以x 2sec )例注1：方法可能不是最简单的，但提供了一种常用的思路注2：其他的题目可以尽量往secx 和tanx 方面去化简 例：⎰+xdx 2sin 2=>上下同时乘以x 2sec 五、解题技巧1、换元法 (1)dx x x n n ⎰+-112解：淡定~~~，然后令n x t =,带入即可 (2)dx x xIn xIn ⎰42 解：)(1Inx d dx x =，再让4242In Inx In Inx x In x In ++=即可 (3)dx xx ⎰+341=>令461x t +=(使分子，分母均为有理数) 2、分部积分法解：(1)⎰⎰⎰-==)(sec tan tan sec )(tan sec sec 3x xd x x x xd x (2)⎰⎰⎰⎰-=-=xdx xdx xdx x xd sec sec sec )cos 1()(sec tan 332(3)再将左边的式子相同的部分移到右边计算即可(2)⎰++21)1(x x In —>分部积分过程中，一般可以抵消掉不可计算的部分3、万能公式 (1)⎰+dx x sin 11和⎰+dx xcos 11 解答：可以用万能公式，也可以将分母变为一项(从而便于列项出来) (3)⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1 ⎰-x dx cos 354、欧拉变换(1)出现如xx -+11，21x x ++之类的 例：⎰+x x dx2=>令x x t +=2带入即可(2)依然可以配方后，用三角代换详情请参见P198 5、典型例题 解：)]1()1[(21122x x -++=>，再上下同时处以2x ，分母进行配方，将分子的原函数”看出来”即可 注意：⎰+dx x311=>可以分母直接因式分解，再列项即可 思路1：配凑拆分—>降次思路2：三角换元—>t=tanx解1：分子)]1()1[(21122x x -++=>，再同时上下处以2x 即可解2：带入可得tdt ⎰2cos(1)当n 为奇数时，提出一个-sinx —>令-sinxdx=d(cosx),再根据 x x 22cos 1sin -=即可(2)当n 为偶数时，令)2cos 1(21sin 2x x -=，带入展开，再列项分开来求(1)运用分部积分法进行递推(显然只需两次递推)(2)详情见P188(1)思路：配凑降次—>分开来算已知)22()22(2++=+x x d dx x 和⎰⎰+++=++)1)1(()1()22(dx 222x x d x x6、其他难题(1) 见P201最上面的两道题定积分一、 定义辨析1、定积分和不定积分的区别(1)f 的不定积分是一个函数族{F(x)+C}，而定积分是一个确切的数，与面积有关(2)不定积分做变量代换时，结果要进行还原，而定积分不需要，直接得出结果2、三、基本公式1、平面图形的面积(1)一般方程：dx y dx x f A a b a b ⎰⎰==)((2)参数方程：⎰⎰==ab a b dt t x t y t x d t y A |)(')(||))(()('|(3)极坐标方程：⎰=a b d r A θθ)(212 注：求多条曲线所围成的面积，先作图，再求交点，再进行复合运算2、由平行截面面积求体积(1)截面面积函数A(x)是[a,b]上的一个连续函数，则立体体积⎰=a b dx x f V 2)]([π 详情见P248(2)旋转体的体积可知：2)]([)(x f x A π=所以体积公式为 ⎰=dx x f V 2)]([π例：由圆)0()(222R r r R y x <<<=-+绕x 轴旋转一周所得环状立体的体积。

不定积分一、分段函数的积分1．求2min(,6)d x x x +⎰． 二、有理函数的积分2. 求241d 1x x x ++⎰ 3．若积分222d (1)(1)x ax b x x x ++++⎰的结果 （1）不含反正切函数，则常数a ＝（2）不含对数函数，则常数b ＝（1）是个有理函数，则常数a ＝ ；b ＝三、倒代换4. 求821d (1)x x x +⎰5.求x6. 求21ln d (ln )x x x x -+⎰ 注：求223d (1)x x x +⎰时，倒代换不行，应作变换tan x t = 四、分部积分（被积函数是两类不同函数的乘积）7.求x x 8. 求22(tan 1)d x e x x +⎰9. 求221()d 1x x e x x -+⎰10. 设ln(1)(ln )x f x x +=，求()d f x x ⎰五、含抽象函数的积分11. 设()f x 的一个原函数是sin x x，求3()d x f x x '⎰ 12. 求23()()()d ()()f x f x f x x f x f x ''⎡⎤-⎢⎥''⎣⎦⎰六、其他13. 求()()d ,(,,,,0ax b px q x a b p q a αα++≠⎰是常数，） 14．求sin222sin d x x e x x e ⎰． 15．求2d ,()3x x y x y x y =--⎰其中．课外练习题计算下列积分1. ,(02)x x π<<2. |ln |d x x ⎰3. 2421d 31x x x x -++⎰ 4.x 5.21d x x x x e +⎰ 6. 1ln d (ln )ln x x x x x --⎰ 7. 1sin d 1cos x x e x x++⎰ 8. 222d ,()x y x y x y-=⎰其中自习内容一、形如sin cos d (m n x x x m n ⎰，是正负整数）的积分（1） 若m 、n 中至少有一个是奇数：化为(sin )d(sin )(cos )d(cos )R x x R x x ⎰⎰或；（2） 若m 、n 均为正偶数：降次； （3） 若m 、n 均为负偶数（或均为负奇数）：化为(tan )d(tan )(cot )d(cot )R x x R x x ⎰⎰或。

微积分：六个数学不定积分计算步骤1.计算 36x-3618x ²-36x+31dx 。

解：观察积分函数特征，对于积分函数的分母有(18x ²-36x+31)'=36x-36，刚好是分母表达式，故本题可以用积分公式 dx x =lnx+c 来变形计算。

36x-3618x ²-36x+31dx = d(18x ²-36x)18x ²-36x+31= d(18x ²-36x +31)18x ²-36x+31=ln|18x ²-36x+31|+C。

2.计算 (20x ²-31)²dx .解：对此类型总体思路是降次积分，有两种思路，思路一是将积分函数2次幂展开，再分别计算不定积分，即：(20x ²-31)²dx = (20²x ⁴-1240x ²+31²)dx ,= 20²x ⁴dx- 1240x ²dx+31²dx, =15*20²x ⁵-13*1240x ³+31²x+C.思路二：通过分部积分进行计算，有：(20x ²-31)²dx =(20x ²-31)²x- xd(20x ²-31)²，=(20x ²-31)²x-4*20 x ²(20x ²-31)dx ，=(20x ²-31)²x-4*20 (20x ⁴-31x ²)dx ，=(20x ²-31)²x-4*20² x ⁴dx+4*20*31 x ²dx,=(20x ²-31)²x-45*20²x ⁵+23*1240x ³+C。

一、不定积分的解题技巧引例：不定积分∫(1-x)cos2xdx∫(1-x)cos2xdx=∫cos2xdx-∫xcos2xdx=(1/2)∫cos2xd2x-(1/4)∫2xcos2xd2x=(1/2)sin2x-(1/4)∫2xdsin2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x (1/4)∫sin2xd2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-(1/4)cos2x C∫(1-x)cos2xdx求导行：1-x -1 0积分行：cos2x 1/2*sin2x -1/4*cos2x所以：∫(1-x)cos2xdx =(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x) C注：分步积分的时候，∫a*bdx哪个放到d后面去（那个先反过来求导）？这里遵循一个原则：对，反，幂，三，指。

越后的先放到d里去如∫x^2 cosxdx x^2是幂函数，cosx是三角函数。

所以，要这样化∫x^2dsinx而不是1/3∫cosxdx^3引例2：∫1/(1 x^4)dx原式＝1/2((1 x^2 1-x^2)/1 x^4)=0.5(1 x^2/1 x^4) 0.5(1-x^2/1 x^4)=0.5(1 x^-2/x^-2 x^2)<就是分子分母同除x的平方>如果是不定积分,两类换元法和拼凑法一般来说结合使用灵活系数比较大不过你要相信考试不定积分形式比较简单方法比较独到,绝对不是“暴力“积出来的,一想到你的方法越做越陷入死路,我想因该要变通.第二,对于有独特的因子你要留意.定积分,比不定积分要难一些,因为很多函数是没有初等函数的,方法是拼凑法和化为二元再交换顺序,其中拼凑发很关键,我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现方法与技巧一、换元法1.凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑”出一个函数的微分。

对于这个问题一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式,另一方面,对于那些不易观察的,则不妨从被积函数中拿出一个表达式,求其微分,从而决定如何凑微分。

例题1dx e x x ⎰+)12( ce e x dxe e x x d e e x de x x x xx x x x+-+=•-+=+-+=+=⎰⎰⎰2)12(2)12()12()12()12( 根据分部积分法⎰⎰-=vdu uv udv ，（2x+1）为u ，e x 为v 。

（确定u 和v 的口诀：对反幂三指；对——对数函数、反——反函数、幂——幂函数、三——三角函数、指——指数函数）2x+1为幂函数，e x 为指数函数。

例题2dx xe x ⎰-ce xe dxe e xe dx e xe xde x x x x x x x++-=•+-=--=-=-------⎰⎰⎰1)(x e -是一个复合函数，其导数应为1-•-x e例题3⎰xdx arctanc x x x xd xx x dx x x x x xxd x x ++-=++-=+-•=-•=⎰⎰⎰)1ln(21arctan 11121arctan 1arctan tan arctan 2222arctanx ’=1/1+x 2，在这里会用到反三角函数的导数公式。

其它的反三角导数是arcsinx ’=211x -、arccosx ’=211x --、arccotx ’=211x +-例题4dx x x ⎰2cos 2sin|cos |ln 2cos cos 12cos sin 2cos cos sin 22x x d xdx xx dx xx x -=-===⎰⎰⎰这里用到二倍角公式，如下：Sin2x=2sinxcosxCos2x=2cos 2x-1=1-sin 2x-1例题5dx x x ⎰++2cos 1sin 12c x x x xdx dx dx x dx xx +-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰21tan 21sec 121cos 1cos 2cos 22222 这里除了用到二倍角公式，还会用到sin 、cos 、sec 、csc 间的相互转化，sinx 和cscx 互为倒数、cosx 和secx 互为倒数。