定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx

一、微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）定理 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()F x 是它在该区间上的一个原函数，则有()()()()()()b b a a f x dx F x F b F a f x dx F x C==-=+⎰⎰例1计算121dx x--⎰ 解：2ln 2ln 1ln |||ln 11212-=-==----⎰x dx x例2设1(0)()(0)x x x f x e x -+≥⎧=⎨<⎩ ，求21()f x dx -⎰ 解：202110()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰ 02102210(1)1()|()|32x x e dx x dx e x x e ----=++=-++=+⎰⎰注意：在定积分的计算中，要注意带绝对值的积分和分段函数的积分，按照积分可加性计算。

二、 定积分的计算（一）、凑微分法例3求210x xe dx -⎰ 解 222211001211001(2)2111()()|(1)222x x x x xe dx x e dx e d x e e -----=--=--=-=--⎰⎰⎰ 可见，这种计算方法对应于不定积分的第一类换元积分法，即凑微分法。

（二）、换元积分法------（换元必换限）例4计算30⎰ 解：t =，则 21x t =- 2dx tdt =当0x =时，1t = 当3x =时 2t =；得232011.2t tdt t -=⎰⎰38= 练习： ⎰+411x dx解：令t x =，则tdt dx t x 2,2==，当2,4;1,1====t x t x ，原式=()2211212121112ln(1)2((2ln 3)(1ln 2))2(1ln 3ln 2)321ln 2tdt dt t t t t ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭=-+=---=-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰例5 若)(x f 在],[a a -上连续，则为奇函数为偶函数)()(,0,)(2)(0x f x f dx x f dx x f a a a⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰-。

§4.4 定积分在实际中的应用一、液体的静压力在设计水库的闸门、管道的阀门时，常常需要计算油类或者水等液体对它们的静压为，这类问题也可用定积分来计算。

例12 一圆柱形水管半径为1米，若管中装水一半，求水管阀门之所受的静压力解: 取坐标系如图，此时变量x表示水中各点的深度，它们变化区间是［0，1］，圆的方程为x2+y2＝1。

图5-30由物理知识，对于均匀受压的情况，压强P处处相等，要计算所求的压力，可按公式压力＝压强×面积计算，但现在闸门在水中所受的压力是不均匀的，压强随着水深度x的增加而增加，根据物理知识，有P=ωx(吨／米2)，W=1吨／米3，因此要计算闸门所受的水压力，不能直接用上述公式，但是，如果将闸门分成几个水平的窄条，由于窄条上各处深度x相差很小，压强P=wx可看成不变。

1 选取深度［x,x+Δx］，所受到的压力为ΔF，则ΔF≈wx·2yΔx=wx·2Δx2 dF=wx2dx3 F＝∫102wx dx=2w(- (1-x2) 3／2 )｜10)＝＝(吨)二、功例13设有一直径为20米的半球形水池，池内贮满水，若要把水抽尽，问至少作多少功。

解本题要计算克服重力所作的功，要将水抽出，池中水至少要升高到池的表面，由此可见对不同深度x的单位质点所需作的功不同，而对同一深度x的单位质点所需作的功相同，因此如图建立坐标系，即oy轴取在水平面上，将原点置于球心处，而ox轴向下(此时x表示深度)这样，半径可看作图x2+y2＝100在第一象限中部分绕ox轴旋转而成的旋转体，深度x的变化区间是［0，10］。

图5-31因同一深度的质点升高的高度相同，故计算功时，宜于用平行于水平面的平面截半球成许多小片来计算。

1 选取区间［x,x+Δx］相应的体积ΔV≈πy2Δx=π(100-x2)Δx所以抽出这层水需作的功ΔW≈wπ(100-x2)Δx·x=πwx(100-x2)Δx其中W=1吨／米3是一立方米的水重2 dw=πwx(100-x2)dx3 W＝πwx(100-x2)dx＝πw x(100-x2)dx＝－［(100-x2)2］＝×10４＝2500πW≈7854(吨／米)图5-32假若本题改为把水抽到水池上方10米高的水箱中，需做的功又是多少呢，请读者自己解决一下。

定积分计算方法总结
一、不定积分计算方法
1.凑微分法
2.裂项法
3.变量代换法
4.
5.
6.
7.
8.
二、
1.
2.
3.
三、定积分与极限
1.积和式极限
2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3.洛必达法则
4.等价无穷小
四、定积分的估值及其不等式的应用
1.不计算积分，比较积分值的大小
1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则
>=dx
2)利用被积函数所满足的不等式比较之
2.
M，
<=M(b-a)
3.具体函数的定积分不等式证法
4.抽象函数的定积分不等式的证法
1)拉格朗日中值定理和导数的有界性
2)积分中值定理
3)常数变易法
4)利用泰勒公式展开法
五、变限积分的导数方法六、。

定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。

3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。

（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。

积分知识点各种题型归纳方法总结一、定积分题型归纳方法1. 反函数法：当被积函数为两个函数的复合函数时，可以通过反函数换元法将其转化为简单的函数进行积分。

2. 分部积分法：当被积函数是两个函数的乘积时，可以使用分部积分法，通过反复积分求得结果。

3. 有理函数积分法：对于有理函数的积分，可以通过先进行分解为多个分式的和的形式，再逐个进行积分。

4. 三角函数积分法：对于三角函数的积分，可以利用三角函数的积分公式进行求解。

5. 换元积分法：对于特定的被积函数，可以通过合适的换元变量进行换元，使得积分变得更加简单。

二、定积分题型求解步骤1. 确定积分上下限：根据题目给出的条件，确定定积分的上下限。

2. 分析被积函数：仔细分析被积函数的形式和性质，确定可能适用的积分方法。

3. 选择合适的方法：根据被积函数的特点，选择适用的积分方法进行求解。

4. 进行换元或分解：如果需要进行换元或分解，根据题目要求进行相应的代换或分解。

5. 积分求解：根据选择的方法进行积分计算，注意求解过程中的每一步骤，避免计算错误。

6. 确定常数：如果题目中有未知常数，根据给出的条件确定常数的值。

7. 检查结果：对得到的积分结果进行检查，是否符合物理意义或题目要求。

三、不定积分题型归纳方法1. 函数求导法：对于某些函数，可以通过求导反过来求不定积分。

2. 分部积分法：当被积函数是两个函数的乘积时，可以使用分部积分法，通过反复积分求得结果。

3. 有理函数积分法：对于有理函数的积分，可以通过先进行分解为多个分式的和的形式，再逐个进行积分。

4. 三角函数积分法：对于三角函数的积分，可以利用三角函数的积分公式进行求解。

5. 反函数法：当被积函数为两个函数的复合函数时，可以通过反函数换元法将其转化为简单的函数进行积分。

以上是积分知识点各种题型归纳方法的总结，希望能对您的学习和应用有所帮助！。