2-4 二次函数的图像与性质(导学案) 3[1] 2[1]

5.2.1二次函数的图像与性质⑷班级 姓名 【学习目标】1.会用描点法画二次函数()k h x a y ++=2的图像，掌握它的性质.2.渗透数形结合思想.【课前自习】22.抛物线22+=x y 的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3.抛物线()232--=x y 的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 4.抛物线()2121+-=x y 与抛物线 关于x 轴成轴对称； 抛物线()2121+-=x y 与抛物线 关于y 轴成轴对称【课堂助学】一、 自主探索： 1.画出二次函数()2121-=x y 和()21212+-=x y 的图像：⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：2.观察上图:⑴函数 的图像与的图像的 相同， 相同， 不同， 不同；⑵函数可以看成 的图像先向 平移 个单位长度得到 函数 的图像，再向 平移 个单位长度得到.⑶函数 的对称轴是 ，在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 .⑷函数 顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 .二、探究归纳：1.二次函数()k h x a y ++=2的图像是一条 ，它对称轴是 ；顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最值是 .2.当0>k 时，()k h x a y ++=2的图像可以看成是()2h x a y +=的图像向 平移个单位得到；当0<k 时，()k h x a y ++=2的图像可以看成是()2h x a y +=的图像向 平移 个单位得到.3.当0>a 时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；当0<a 时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 .4. 由于根据()k h x a y ++=2的解析式可直接得到函数图像的顶点坐标，故称之为. 三、典型例题：例1、⑴已知抛物线开口大小与221x y =的开口大小一样，但方向相反，且当x =-2时， y 有最值4，该抛物线的解析式是 ；()21212+-=x y ()21212+-=x y 221x y =221x y =()21212+-=x y ()21212+-=x y⑵抛物线()5122+--=x y 是由一抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到，则原抛物线的解析式是 ；⑶抛物线()212-+-=x y 与抛物线 关于x 轴成轴对称；抛物线()212-+-=x y 与抛物线 关于y 轴成轴对称.【课堂检测】1.二次函数()3522-+=x y 的图像是 ，开口 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ，说明当x= 时，y 有最 值是 . 2.二次函数()2432+--=x y 的图像是由抛物线23x y -=先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到的；开口 ，对称轴是 ，顶点坐 标是 ，说明当x= 时，y 有最 值是 .3.将二次函数y=2x 2的图像向左平移3个单位后得到函数 的图像，再向上平移2个单位得到函数 的图像；新函数的顶点坐标是 ，其对称轴是 ，说明当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小.4.在同一坐标系中画出下列函数的图像：①()23+-=x y ②()23--=x y观察左图:⑴函数()122++-=x y 图像与()22+-=x y 的图像的 相同， 相同，相同， 不同.⑵函数()122++-=x y 可以看成2x y -=的图像先向 平移 个单位长度得到函数 的图像，再向 平移 个单位长度得到.⑶函数()122++-=x y 的对称轴是 ，在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 .⑷函数()122++-=x y 顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 .【课外作业】1.将抛物线y= -3x 2的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到 的图像，新图像的对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x= 时，y 有最 值是 . 2.函数y=3（x+6）2+2的图象是由函数y=3x 2的图象先向 平移 个单位，再向 平 移 个单位得到的；其图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标 是 ；当x= 时，y 有最 值是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大. 3.抛物线y=a （x+h ）2+k 是由函数y=231x 的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2 个单位长度得到的，则a= ，h= ，k= .4.将函数y=3（x －4）2+3的图象沿x 轴对折后得到的函数解析式是 ；将函数y=3（x －4）2+3的图象沿y 轴对折后得到的函数解析式是 .5.将抛物线y= -2（x-3）2-1先向上平移3单位，就得到函数 的 图象，再向 平移 个单位得到函数y= 2（x+1）2+2的图象.6.抛物线()k h x a y ++=2经过点（-1，-4），且当x=1时，y 有最值是-2，求该抛物线的解析式.。

26.1二次函数§26.1.1《二次函数》导学案【学习目标】1. 了解二次函数的有关概念.2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。

3. 确定实际问题中二次函数的关系式。

【学法指导】类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。

【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟）1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。

2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如 0)k ≠（的函数是反比例函数。

【活动二】自主交流 探究新知（25分钟）1.用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。

分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = .2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________.3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。

4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？。

5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。

其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________.【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）（1）二次项系数a 为什么不等于0？答： 。

（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？答： . 【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟.）1.观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-.这六个式子中二次函数有 。

山东省淄博市临淄区皇城镇第二中学九年级数学 一次函数、反比例函数及二次函数的图象和性质导学案 人教新课标版2、一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象及性质① 会求一次函数与x 轴、y 轴的交点坐标，与x 轴交点（-kb，0），与y 轴的交点（0，b ） ② 会求一次函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积s=21 -kb b 二、反比例函数y=xk（k ≠0）的图象及性质1、y=xk （k ≠0）=k x 1，注意两种形式中x 的指数不同。

2、反比例函数的增减性一定要强调“在每一个象限内”（或者说当x ＞0和x ＜0时 3、双曲线上任意一点到x 轴和y 轴的距离与坐标轴围成的矩形面积= k 三、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象1．二次函数y=ax 2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k ，y=ax 2+bx+c(各式中，a ≠0)的图象形 状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：(轴 x=0 x=当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax 2向右平行移动h 个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．当h>0,k>0时，将抛物线y=ax 2向右平行移动h 个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k 的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax 2向右平行移动h 个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象；当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象； 因此，研究抛物线 y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k 的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．而2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=，顶点坐标是()．3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤时，y随x的增大而减小；当x≥时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤时，y随x的增大而增大；当x≥时，y随x的增大而减小．4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；(2)当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1|=．当△=0．图象与x轴只有一个交点；这个交点的坐标是（，0）当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=时，y最小(大)值=．顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．6．用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)．(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)．(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．。

特殊二次函数的图像是九年级数学上学期第三章第二节的内容，本讲主要讲解二次函数和二次函数的图像及其性质．重点是通过学习抛物线平移得到二次函数和二次函数的方法，掌握二次函数和二次函数的直观性质，并体会图形运动的运用．熟练掌握特殊二次函数的图像是学习二次函数的基础．1、二次函数的图像一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．抛物线（其中a、c是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．【例1】在同一平面直角坐标系中，画出函数、和的图像．【难度】★【答案】如图：【解析】略．【总结】本题考查二次函数的图像及平移．【例2】【难度】★【答案】【解析】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．【总结】本题考查抛物线的图像和性质．【例3】说出下列函数的图像如何由抛物线平移得到，再分别指出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）；（2）．【难度】★【答案】（1）向上平移两个单位；开口向上，对称轴轴，顶点坐标；（2）向下平移一个单位；开口向上，对称轴轴，顶点坐标．【解析】二次函数的图像可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．【总结】本题考查抛物线的平移，做题的关键是理解平移口诀“左加右减，上加下减”．【例4】在函数；；中，图像开口大小按题号顺序表示为（）A．>>B．>>C．>>D．>>【难度】★【答案】B．【解析】抛物线中，决定开口大小，越大，开口越小．【总结】本题考察抛物线的性质，主要理解开口大小由决定．【例5】抛物线，，共有的性质是（）A．开口向上B．对称轴都是y轴C．都有最高点D．顶点相同【难度】★【答案】B．【解析】抛物线开口向上，对称轴是轴，有最低点，顶点坐标；抛物线开口向下，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标；抛物线开口向上，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标．【总结】本题考查抛物线的性质．【例6】已知，点（a – 1，y1）、（a，y2）、（a + 1，y3）都在函数的图像上，则（）A．B．C．D．【难度】★★【答案】C．【解析】∵，∴，∴三点都在抛物线对称轴的左侧，∵在轴左侧随的增大而减小，∴．【总结】本题考查抛物线的性质，知道对称轴的两侧图像的增减性．【例7】将抛物线的图像绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是_____________．【难度】★★【答案】．【解析】抛物线顶点坐标为，绕原点O旋转180°后，旋转后抛物线顶点为，开口方向相反，∴旋转后解析式为．【总结】本题考查了抛物线旋转后解析式的变化，做题的关键是理解旋转前后图像的形状不变，找出旋转后的顶点坐标即可．【例8】如图，已知二次函数与反比例函数，它们在同一直角坐标系中的图像大致是（）【难度】★★【答案】A．【解析】当时，抛物线开口向上，顶点为，在轴正半轴上，反比例函数过第二、四象限；当时，抛物线开口向下，顶点为，在轴负半轴上，反比例函数过第一、三象限．【总结】本题考察抛物线和双曲线的性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．【例9】若函数的图像经过点（0，1），（1，2），求2a + b的值．【难度】★★【答案】．【解析】把（0，1），（1，2）分别代入得，解得，∴．【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式．【例10】若二次函数，当x取，（）时，函数值相等，则当x取时，函数的值为________．【难度】★★【答案】．【解析】∵当取，（）时，函数值相等，∴，关于抛物线的对称轴轴对称，∴．【总结】本题考查了抛物线的对称性，抛物线上的两点，如果纵坐标一样，则横坐标关于对称轴对称．【例11】若抛物线的顶点在x轴下方，求m的值．【难度】★★【答案】．【解析】由得，，∵抛物线顶点在轴下方，∴，得，综上可得．【总结】本题考查了二次函数的概念和性质．【例12】若函数的函数值为5，则自变量x的值为__________．【难度】★★【答案】．【解析】把代入得，解得．【总结】本题考察了二次函数图像上点的坐标特征．【例13】若点P（-1，a）和点Q（1，b）都在抛物线上，求线段PQ的长．【难度】★★【答案】．【解析】把代入得，∴，同理可得，∴．【总结】本题考察了二次函数图像上点的坐标特征．【例14】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）过点A作∥交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．【难度】★★★【答案】（1）、、；（2）．【解析】（1）把代入得，解得，，∴、；把代入得，∴．（2）易得直线的解析式为，∵∥，设直线的解析式为，把代入得，∴．联立，解得，，∴．∴．【总结】本题考查了二次函数的图像与性质及不规则四边形的面积求法，常采用割补法．【例15】如图，大桥拱形可以看作抛物线的一部分．在大桥截面1 : 10000的比例图上，跨度AB = 5厘米，拱高OC = 0.9厘米，线段DE表示大桥拱内桥长，DE // AB．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1厘米作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系．（1）求出图中以这一部分抛物线为图像的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE与AB的距离OM = 0.45厘米，求大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）．【难度】★★★【答案】（1）；（2）350米．【解析】（1）∵点在轴上，且OC = 0.9，∴设这部分的抛物线解析式为，∵点在抛物线上，∴，得．∴设这部分的抛物线解析式为．（2）∵点、点的纵坐标为，∴、．∴，因此实际桥长（米）．【总结】本题考查二次函数的应用，曲线上的点与方程的关系．1、二次函数的图像一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．【例16】在同一平面直角坐标系中，画出函数、和的图像．【难度】★【答案】如图：【解析】略．【总结】本题考查了二次函数的图像及平移．【例17】将函数、与函数的图像进行比较，函数【难度】★【解析】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．【总结】本题考查了二次函数的图像及性质．【例18】说出下列函数的图像如何由抛物线平移得到，再分别指出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）；（2）．【难度】★【答案】（1）向左平移两个单位；开口向下，对称轴为直线，顶点坐标；（2）向右平移四个单位；开口向下，对称轴为直线，顶点坐标．【解析】二次函数的图像可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．平移口诀，“左加右减，上加下减”；抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．【总结】本题考查了二次函数的性质及平移．【例19】已知函数，当x = ______时，函数取得最______值，为______；已知函数，当x = ______时，函数取得最______值，为______．【难度】★【答案】，小，0；，大，0．【解析】二次函数（）的对称轴是直线，顶点为；当时，开口向上，函数有最小值，为0；当时，开口向下，函数有最大值，为0．【总结】本题考查了二次函数的性质．【例20】把抛物线向左平移2个单位得到抛物线____________；若将它向下平移2个单位，得到抛物线____________．【难度】★【答案】；．【解析】二次函数的图像可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．平移口诀，“左加右减，上加下减”．【总结】本题考查了二次函数的平移，做题关键掌握平移口诀，“左加右减，上加下减”．【例21】已知抛物线，当x > 1时，y随着x的增大而______；当x < 1时，y随着x的增大而______．【难度】★【答案】减小；增大．【解析】∵抛物线开口向下，在对称轴的右侧二次函数的y值随x的增大而减小，在对称轴的左侧二次函数的y值随x的增大而增大，即当时，二次函数的值随的增大而减小，当时，二次函数的值随的增大而增大．【总结】本题考查了二次函数的性质．【例22】如图，已知二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图像大致是（）【难度】★★【答案】A．【解析】A：由抛物线可知，，由直线知，，∴A正确；B：由抛物线可知，，由直线知，，∴B错误；C：由抛物线可知，，由直线知，，∴C错误；D：由抛物线可知，，由直线知，，∴D错误；【总结】本题考察二次函数和一次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数与一次函数的图像与性质是做题的关键，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．【例23】顶点坐标为（-5，0）且开口方向、形状与函数相同的抛物线是____________．【难度】★★【答案】．【解析】设抛物线解析式为，∵该抛物线与的开口方向、形状相同，∴．【总结】本题考查抛物线的图像与性质，两个抛物线的形状相同，说明相同．【例24】若抛物线的对称轴为直线x = -1，且它与抛物线的形状相同，开口方向相反，则点（a，m）关于原点的对称点为______．【难度】★★【答案】．【解析】∵抛物线的对称轴为直线，∴，∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，∴．∴关于原点的对称点为．【总结】本题考查抛物线的图像与性质及关于原点对称的两个点的坐标特征．【例25】一台机器，原价50万元，如果每年折旧率为x，两年后这台机器的价格为y 万元，则y与x的函数关系式为（）A．B．C．D．【难度】★★【答案】A．【解析】因为原价为50万元，每年折旧率为，所以1年后的价格为万元，1年后的价格为万元，∴．【总结】本题是平均折旧率的问题，可用公式来解题．【例26】下列命题中，错误的是（）A．抛物线不与x轴相交B．抛物线与形状相同，位置不同C．抛物线的顶点坐标为（，0）D．抛物线的对称轴是直线【难度】★★【答案】D．【解析】D选项：抛物线的对称轴是直线．【总结】本题考察抛物线的图像和性质．【例27】已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点（2，2）与（-1，8），求此函数解析式．【难度】★★【答案】或．【解析】∵二次函数图像的顶点在轴上，∴设抛物线解析式为，把（2，2）与（-1，8）代入得，解得，，∴抛物线解析式为或．【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式，当顶点在轴上时，可设抛物线解析式为．【例28】已知二次函数的顶点坐标为，且过点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点在这个函数图像上吗？（3）如何通过左右平移函数图像，使它经过点B？【难度】★★【答案】（1）；（2）不在；（3）向右平移1个单位．【解析】（1）把、代入得，，∴解析式为．（2）把代入得，∴点不在函数图像上．（3）把代入平移后的解析式为，得，∴平移后的解析式为，∴函数向右平移1个单位，能使它经过点．【总结】本题考察待定系数法确定函数关系式，会判断点与函数的位置关系，注意平移的口诀“左加右减，上加下减”．【例29】已知抛物线的顶点为C，直线y = 2x + 4与抛物线交于A、B两点．试求．【难度】★★★【答案】．【解析】联立解析式得，解得：，，∴、．法一：如图，过点作∥轴交于点，由题意得．易得直线解析式为，∴．∴．法二：过作轴于点，则．【总结】本题考察了直线与抛物线的交点坐标求法，坐标系中求三角形面积常采用的方法为割补法．【例30】为了参加科技节展览，同学们制作了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形钢筋支架．在如图所示的设计图中，如果在直角坐标系中，抛物线的函数解析式为，正方形ABCD的边长和正方形EFGH的边长之比为5 : 1，求：（1）抛物线解析式中常数c的值；（2）正方形MNPQ的边长．【难度】★★★【答案】（1）；（2）边长为．【解析】（1）设，则，∵抛物线关于轴对称，∴、，代入得，解得，∴抛物线解析式中常数的值为．（2）由（1）得，抛物线解析式为．设正方形的边长为，则，代入得：，解得（舍负）．∴正方形的边长为．【总结】本题考察了函数与几何的简单结合，观察各点坐标之间的关系，通过巧妙设点，减少未知量，用待定系数法求出函数关系式．【习题1】函数的图像是________，开口________，对称轴是________，顶点坐标是________，它的图像有最_________点，这个点的纵坐标是_______，此函数的图像是由的图像向________平移________个单位得到的．【难度】★【答案】抛物线，向下，轴，，高，1，上，3．【解析】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下，图像平移口诀“上加下减，左加右减”．【总结】本题考查抛物线的性质及抛物线的平移．【习题2】函数的图像是________，开口________，对称轴是________，顶点坐标是________，它的图像有最_________点，这个点的纵坐标是_______，此函数的图像是由的图像向________平移________个单位得到的．【难度】★【答案】抛物线，向下，直线，，高，0，左，4．【解析】二次函数的图像可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．平移口诀，“左加右减，上加下减”；抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．【总结】本题考查抛物线的性质及抛物线的平移．【习题3】已知抛物线，当x______时，y随x的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小．【难度】★【答案】，．【解析】∵抛物线开口向下，在对称轴的右侧二次函数的值随的增大而减小，在对称轴的左侧二次函数的值随的增大而增大，即当时，二次函数的值随的增大而减小，当时，二次函数的值随的增大而增大．【总结】本题考查了二次函数的性质．【习题4】函数与函数的图像的形状相同，开口方向相反．将函数图像沿y轴向上平移2个单位，所得的函数解析式是______．【难度】★★【答案】．【解析】由题意得，∴，图像向上平移两个单位得函数解析式是．【总结】本题考查了二次函数的性质及平移．【习题5】二次函数的图像关于直线对称，那么它的解析式是______________，图像的顶点坐标是______________．【难度】★★【答案】，．【解析】二次函数的图像的对称轴为直线，可得，∴抛物线解析式为，顶点为．【总结】本题考查了二次函数的性质．【习题6】二次函数图像经过点（1，）、（0，1），求此函数解析式，并求出开口方向、顶点坐标．【难度】★★【答案】，开口向下，顶点坐标．【解析】把（1，）、（0，1）代入得，解得，∴函数解析式为，开口向下，顶点坐标．【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式及二次函数的性质．【习题7】抛物线绕顶点旋转180°后，再向左平移3个单位得到的抛物线是_____________．【难度】★★【答案】．【解析】抛物线绕顶点旋转180°后，得到解析式为，再向左平移3个单位得到的抛物线是．【总结】本题考查了抛物线旋转后解析式的变化及图像的平移，做题的关键是理解旋转前后图像的形状不变及理解平移口诀．【习题8】已知二次函数，当a为何值时，图像的顶点在x轴上．【难度】★★【答案】．【解析】∵，当时，顶点为，在轴上；当时，函数为常值函数，不符合题意．【总结】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点在轴上．【习题9】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y = 3x + 4交y轴与点A，在抛物线上能否存在一点P，使的面积等于10（平方单位）？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】存在，、．【解析】由题意得，设，则，解得：，，∴存在、．【总结】本题将二次函数与三角形结合在一起，通过三角形的面积确定图像上点的坐标．【习题10】二次函数的图像如图，已知，，试求该抛物线的解析式．【难度】★★★【答案】．【解析】由题意得，∴、，∵，∴，解得（舍），．∴该抛物线的解析式为．【总结】本题考查了二次函数与几何的简单综合．【作业1】抛物线是由抛物线（）得到的．A．向上平移2个单位B．向下平移2个单位C．向上平移3个单位D．向下平移3个单位【难度】★【答案】C．【解析】根据平移口诀“左加右减，上加下减”．【总结】本题考查了抛物线的平移．【难度】★【解析】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上，对称轴左侧随增大而减小，减小而增大；当时，开口向下，对称轴左侧随增大而增大，减小而减小．【总结】本题考查抛物线的图像和性质．【作业3】二次函数的最大值为______，二次函数的最大值为______．【难度】★【答案】0，．【解析】二次函数顶点坐标为，∵开口向下，∴有最大值0；二次函数顶点坐标为，∵开口向下，∴有最大值．【总结】本题考查了二次函数的性质，开口向下，顶点纵坐标为最大值；开口向下，顶点纵坐标为最小值．【作业4】在平面直角坐标系中，如果抛物线不动：（1）把x轴向上平移2个单位，在新坐标系下抛物线的解析式是_____________；（2）把y轴向右平移2个单位，在新坐标系下抛物线的解析式是_____________．【难度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）把轴向上平移2个单位，抛物线形状不变，顶点为，∴解析式为．（2）把轴向右平移2个单位，抛物线形状不变，顶点为，∴解析式为．【总结】本题考查抛物线的平移，坐标轴平移可以看成抛物线向相反方向平移．【作业5】任给一些不同的实数n，得到不同的抛物线，关于这些抛物线有以下结论，其中判断正确的个数是（）、开口方向都相同；、对称轴都相同；、形状都相同；、都有最低点．A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★★【答案】D．【解析】抛物线，开口向上，有最低点，对称轴为轴，形状相同．【总结】本题考查了二次函数的性质．【作业6】如图，已知二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图像大致是（）【难度】★★【答案】C．【解析】A：由抛物线可知，，由直线知，，∴A错误；B：由抛物线可知，，由直线知，，∴B错误；C：由抛物线可知，，由直线知，，∴C正确；D：由抛物线可知，，由直线知，，∴D错误．【总结】本题考察二次函数和一次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数与一次函数的图像与性质是做题的关键，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．【作业7】抛物线顶点坐标是（0，2），且形状与相同，求抛物线的解析式．【难度】★★【答案】或．【解析】由题意知，把（0，2）代入得，∴或．【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式，抛物线形状相同，说明相同．【作业8】已知抛物线与x轴的交点的横坐标分别是-2、2，且与y轴的交点的纵坐标是-3，求该抛物线的解析式．【难度】★★【答案】．【解析】∵抛物线与x轴的交点的横坐标分别是-2、2，∴图像关于y轴对称，设抛物线解析式为，将点、代入，得，解得，∴抛物线解析式为：．【总结】本题通过已知条件分析出抛物线的图像关于y轴对称，从而能够确定出解析式的形式，再根据所经过的点的具体坐标，确定出解析式来．【作业9】某地遭受自然灾害，某空军部队奉命空投物资．已知空投物资离开飞机后在空中沿抛物线降落，抛物线顶点为机舱舱口A（如图所示），如果空投物资离开A处后下落的垂直高度AB = 160米，它到A处的水平距离BC = 200米，那么要使飞机在垂直高度AO= 1000米的高度进行空投，物资恰好准确地落在居民点P处，飞机到P处的水平距离OP应为多少米？【难度】★★★【答案】500米．【解析】根据题意得，．设抛物线表达式为，把代入得，解得，∴．当时，，解得，（舍）∴飞机到P处的水平距离OP应为500米．【总结】本题考查二次函数的实际应用，求的长即是当时的值．【作业10】二次函数的图像如图所示，点A0位于坐标原点，点A1、A2、A3、…、A100在y轴的正半轴上，点B1、B2、B3、…、B100在二次函数位于第一象限的图像上，若、、、…、都为等边三角形，则的边长= ______．【难度】★★★【答案】100．【解析】∵是等边三角形，∴，∴的解析式为，联立，解得，（为原点，舍去），∴点，∴等边的边长为，同理，的解析式为，联立，解得，（在第二象限，舍去），∴点，∴等边的边长为，同理可求出，∴等边的边长为，，以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的自然数，的边长．【总结】本题主要考查二次函数图像上点的坐标特征，等边三角形的性质；发现等边三角形的边长为从1开始的连续自然数是解题的关键．。

二次函数的性质与图像教案一、教学目标：1. 理解二次函数的定义和标准形式；2. 掌握二次函数的性质，包括对称轴、顶点、开口方向等；3. 能够绘制和分析二次函数的图像；4. 能够应用二次函数解决实际问题。

二、教学内容：1. 二次函数的定义和标准形式；2. 二次函数的性质：对称轴、顶点、开口方向；3. 二次函数的图像：抛物线的基本形状；4. 实际问题中的应用。

三、教学方法：1. 讲授法：讲解二次函数的定义、性质和图像；2. 案例分析法：分析实际问题中的二次函数；3. 互动讨论法：引导学生参与课堂讨论，巩固知识点；4. 实践操作法：让学生动手绘制二次函数的图像，加深理解。

四、教学准备：1. 教学PPT：包含二次函数的定义、性质、图像及实际问题；2. 练习题：用于巩固所学知识；3. 绘图工具：如直尺、圆规等，用于绘制二次函数的图像。

五、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题引入二次函数的概念；2. 讲解：讲解二次函数的定义、性质和图像，引导学生理解；3. 案例分析：分析实际问题中的二次函数，让学生学会应用；4. 互动讨论：引导学生参与课堂讨论，巩固知识点；5. 实践操作：让学生动手绘制二次函数的图像，加深理解；6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点；7. 布置作业：让学生通过练习题巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对二次函数定义和性质的理解；2. 练习题：布置针对性的练习题，评估学生对二次函数图像分析的能力；3. 小组讨论：评估学生在团队合作中解决问题的能力；4. 作业反馈：收集学生作业，评估其对课堂所学知识的掌握程度。

七、教学拓展：1. 探讨二次函数在实际生活中的应用，如抛物线镜面、物理运动等；2. 介绍二次函数相关的数学历史故事，激发学生兴趣；3. 引导学生探究二次函数的其它性质，如最大值、最小值等；4. 组织数学竞赛，提高学生的学习积极性。

八、教学反思：1. 反思教学方法：根据学生反馈，调整教学方法，提高教学效果；2. 反思教学内容：确保教学内容符合学生认知水平，适当调整难度；3. 反思教学过程：关注学生在课堂上的参与度，优化教学过程；4. 及时与学生沟通：了解学生的学习需求，调整教学策略。

22.1.1二次函数学习目标：1）从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，经一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2）理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。

学习重点：二次函数的概念和解析式。

学习难点：用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

1）学习过程一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.目前，我们已经学习了哪种类型的函数？问题一正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为a，表面积为S，则S与a之间有什么关系？问题二n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。

比赛的场次数m与球队数有什么关系？问题三某工厂一种产品现在的年产量是20吨，计划今后两年增加产量。

如果每一年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后，这种产品的产量y与x之间的关系应怎样表示？观察这三个式子你发现了什么？等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是22)归纳小结一般地，形如�=ax2+푏 +�(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。

二次函数的特殊形式：1)当b＝0时，y＝ax2＋c2)当c＝0时，y＝ax2＋bx3)当b＝0，c＝0时，y＝ax23)自我测试（基础）1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x 的函数关系式为（）A．y＝100（1﹣x）B．y＝100﹣x2C．y＝100（1+x）2D．y＝100（1﹣x）2【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，故选：D．2．线段AB=5．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（）A．正比例函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，正比例函数关系C．正比例函数关系，二次函数关系D．反比例函数关系，二次函数关系【详解】解：依题意：AP=t，BP=5-t,故y=4t，S=（5-t）2故选择：C3．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y＝2x﹣5B．y＝ax2+bx+c C．h＝t22D．y＝x2+1x【详解】解：A.是一次函数，故此选项错误；B.当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；C.是二次函数，故此选项正确；D.含有分式，不是二次函数，故此选项错误；故选：C．4．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（）A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bxC．当a=0时，一次函数是y=bx+c D．以上说法都不对【详解】A.当b=0，a≠0时．二次函数是y=ax2+c，故此选项错误；B.当c=0，a≠0时，二次函数是y=ax2+bx，故此选项错误；C.当a=0，b≠0时．一次函数是y=bx+c，故此选项错误；D.以上说法都不对，故此选项正确．故选D．5．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；故选：B．6．y=mx m2+1是二次函数，则m的值是（）A．m≠0B．m＝±1C．m＝1D．m＝﹣1【详解】解：∵y=mx m2+1是二次函数，∴m≠0且m2+1=2，解得：m＝±1．故选：B．7．已知函数y=m−2x m2−2+2x−7是二次函数，则m的值为（）A．±2B．2C．-2D．m为全体实数【详解】解：∵函数y=m−2x m2−2+2x−7是二次函数∴m-2≠0，m2−2=2，解得：m=-2．故选：C．4）巩固练习（提高）8．一个二次函数y=(k−1)x k2−3k+4+2x−1．（1）求k的值．（2）求当x=3时，y的值？【详解】解：（1）依题意有k2−3k+4=2k−1≠0，解得：k=2，∴k的值为2；（2）把k=2代入函数解析式中得：y=x2+2x−1，当x=3时，y=14，∴y的值为14．5）本节课的收获、体会及存在问题。

§5.1二次函数的图像预习案一、学习目标：1 理解二次函数中参数khcba,,,,对其图像的影响2.领会二次函数图像平移的研究方法，并能迁移到其他函数图像的研究二、学习重点：二次函数图像的平移变换规律及应用三、学习难点：探索平移对函数解析式的影响及如何利用平移变换规律产生指数函数背景四、知识链接：1、二次函数的解析式的表示形式（1）一般式：（2）顶点式：（3）交点式：2、二次函数的图像是什么图形？如何快速画出其图像？探究案1、在同一直角坐标系中作出下列函数图像（1）2xy=（2）22xy=（3）221xy=（4）22xy-=结论：二次函数)0(2≠=aaxy的图像可由2xy=的图像各点的得到；决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小2、在同一直角坐标系中作出下列函数图像（1）23xy-=（2）2)1(3--=xy（3）1)1(32+--=xy结论：（1）把2axy=的图像得到2)(hxay+=的图像把2)(hxay+=的图像得到khxay++=2)(的图像（2）二次函数中各参数对图像的影响a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中h决定而且k决定而且3、把二次函数的一般式)0(2≠++=acbxaxy改成顶点式即二次函数)0(2≠++=acbxaxy，通过配方可以得到它的恒等形式二次函数)0(2≠++=acbxaxy决定其图像位置的参数是什么？训练案二次函数)(xf与)(xg的图像开口大小相同，开口方向也相同。

已知函数)(xg的解析式和)(xf图像的顶点，写出函数)(xf的解析式函数)(,)(2xfxxg=图像的顶点是)7,4(-函数)(,)1(2)(2xfxxg+-=图像的顶点是)2,3(-已知函数1)34()(142-++=--xxaxf aa是一个二次函数，求满足条件的a的值。

变式：已知函数1222)()(--+=mmxmmxf是二次函数，求m的值已知抛物线86)(2-+=x ax x f 与直线x y 3-=相交于点),1(m A 求抛物线的解析式该抛物线经过怎样平移可以得到2)(ax x f =的图像训练案1、 在同一坐标系中,图像与22x y = 的图像关于x 轴对称的函数.2、将抛物线12+=x y 向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线方程.3、二次函数的顶点坐标为（2，-1），且过点（3，1），则解析式.4、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像经过A （0，-5），B （5，0）两点，它的对称轴为直线2=x ，求这个二次函数的解析式.。

第二十二章二次函数第4课时二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质一、阅读课本：二、学习目标：1．会画二次函数y＝a（x-h）2的图象；2．掌握二次函数y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用；三、探索新知：画出二次函数y＝－12(x＋1)2，y－12(x－1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．先列表：描点并画图．12．请在图上把抛物线y ＝－12x 2也画上去（草图）．①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ，y ＝－12 x 2，y ＝－12 (x －1)2的形状大小____________．②把抛物线y ＝－12 x 2向左平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ；把抛物线y ＝－12 x 2向右平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ．四、整理知识点2．对于二次函数的图象，只要｜a ｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．五、课堂训练2．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．3．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．4．将抛物线y＝－13(x－1)x2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式___________________________．六、目标检测1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．2．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则m＝__________，n＝___________．3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．4．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．。

新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案一、温故知新——请同学们根据题意写出下列各题的函数关系式。

1.正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式。

2.已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式。

3.已知正方形的周长是x，面积为y，求y与x之间的函数表达式。

(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?第二段：【白天长课导学】一、学习目标与要求：1. 能根据题意列出函数关系式，并能通过配方求出最值。

二、定向导学、合作交流、教师精讲定向导学、合作交流、教师精讲摘记【合作探究一】一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间1.长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？【合作探究二】某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?课题：第二章§2-6-1 二次函数的应用课型：新授总第9课时－18模块五：当堂训练班级：九（）班姓名：一、解答题。

请根据本节课所学知识解答。

1．如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形DEGF的面积最大是多少？3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积。

4、如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏。

二次函数y=ax 2的图像和性质教学目标知识与技能 1会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象，了解抛物线的有关概念。

2通过观察图象探索二次函数y=ax 2的图象特征和性质过程与方法 经历、探索二次函数y=ax 2的图象性质的过程，养成观察、思考、归纳的思维习惯。

情感态度与价值观注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯。

重点 观察二次函数y=ax 2的图象，探索它的图像特征和性质 难点 分段讨论二次函数y=ax 2的增减性 教法、学法 引导、启发 自主学习、合作交流 课型新授课教学准备 直尺、导学案 教学流程教师活动学生活动 二次备课 一、自主学习 知识回忆用描点法画函数图象的一般步骤是什么？ 我们是如何研究一次函数的图象和性质的？二次函数的一般形式是什么？对各项系数有何要求？ 你认为最简单的二次函数形式是什么？ 回忆出示学习目标1、会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象，了解抛物线的有关概念。

2、通过观察图象探索二次函数y=ax 2的图象特征和性质。

明确目标出示自学提纲1、在同一直角坐标系中，画出函数y=x 2 、y=2x2、y ＝12x 2 的图象2、观察并比拟三个图象，答复以下问题。

⑴图象形状是一条________，⑵图象是轴对称图形，对称轴为______。

⑶图象与对称轴的交点坐标是_______.此点也是抛物线的最_____点。

⑷图象的开口方向________.⑸当x ＞0时，y 的值随着x 的增大而______，当x ＜0时，y 随着x 的增大而________.⑹三个图象中________开口最大，________开口最小。

3、归纳：当a ＞0时，二次函数y=ax 2的图象和性质。

x … －3 －2 －10 1 2 3 …y=x 2… 9 4 1 0 1 4 9 …y=2x 2… … y ＝12x 2… … 阅读提纲， 〔1〕~〔4〕y=ax 2开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 a ＞0a 越大，抛物线的开口越______.4、在同一直角坐标系中，画出函数y=－x 2、y=－2x2y ＝－12x 2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点? x … -2 -1 0 1 y=-x 2… y=-2x 2 … y ＝-12x 2…5、归纳：当a ＜0时，二次函数y=ax 2的图象和性质。