直线与圆锥曲线.板块二.直线与双曲线.学生版

双曲线与直线一、双曲线性质：1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. 11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程：①22221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22221(0)x y a b a b+=>>研究）：⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ．⑸椭圆的离心率：ce a=，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．4．直线l ：0Ax By C ++=与圆锥曲线C ：()0f x y =，的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位板块二.直线与双曲线置关系的判定条件可归纳为：设直线l ：0Ax By C ++=，圆锥曲线C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩，消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=．若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切．若0a =，得到一个一次方程：①C 为双曲线，则l 与双曲线的渐近线平行；②C 为抛物线，则l 与抛物线的对称轴平行．因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为11()()x y x y ，，，，则弦长公式为112|11A k x y y=-=-． 两根差公式：如果12x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=，则12x x -=0∆>）． 6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．【例1】 若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______【例2】 过双曲线22112x y -=的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若||4AB =，则这样的直线有_____条【例3】 过点(02)，与双曲线221916x y -=有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______典例分析【例4】 直线1y x =+与双曲线22123x y -=相交于两点A 、B ，则AB =_________．【例5】 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=没有公共点，求k 的取值范围．【例6】 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=有且只有一个公共点，求k 的的值．【例7】 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=有两个相异公共点，求k 的取值范围．【例8】 直线1y kx =-与双曲线224x y -=的一支有两个相异公共点，求k 的取值范围．【例9】 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=的两支各有一个公共点，求k 的取值范围．【例10】 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个相异公共点，求k 的取值范围．【例11】 已知不论b 取何实数，直线y kx b =+与双曲线2221x y -=总有公共点，求实数k 的取值范围．【例12】 直线1y ax =+与双曲线2231x y -=交于A 、B 两点．①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？②当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？【例13】 已知直线10kx y -+=与双曲线2212x y -=相交于两个不同点A 、B ．①求k 的取值范围；②若x 轴上的点(30)M ，到A 、B 两点的距离相等，求k 的值．【例14】 已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=，记双曲线的右顶点为A ，是否存在实数k ，使得直线与双曲线的右支交于,P Q 两点，且0PA QA ⋅=，若存在，求出k 值：若不存在，请说明理由．【例15】 已知点(20)M -，，(20)N ，，动点P 满足条件PM PN -=P 的轨迹为C ． ⑴求C 的方程；⑵若A 、B 是曲线C 上不同的两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值．【例16】 直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交不同的A ，B 两点，⑴求实数k 取值范围；⑵是否存在实数k ，使得以线段AB 直径的圆经过双曲线的右焦点．若存在，求出k 值：若不存在，请说明理由．【例17】 双曲线C 的中心在原点，右焦点为0F ⎫⎪⎪⎝⎭，渐近线方程为y =．⑴求双曲线C 的方程；⑵设直线l ：1y kx =+与双曲线C 交于A 、B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点．【例18】 已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，过其右焦点且倾斜角为45的直线被双曲线截得的弦MN 的长为6．⑴求此双曲线的方程；⑵若直线:l y kx m =+与该双曲线交于两个不同点A 、B ，且以线段AB 为直径的圆过原点，求定点(01)Q -，到直线l 的距离d 的最大值，并求此时直线l 的方程．【例19】 在PAB ∆中，已知()0A 、)0B，动点P 满足4PA PB =+．⑴求动点P 的轨迹方程；⑵设点()20M -，，()20N ，，过点N 作直线l 垂直AB ，且l 与直线MP 交于点Q ，试在x 轴上确定一点T ，使得PN QT ⊥；⑶在⑵的条件下，设点Q 关于x 轴的对称点为R ，求OP OR ⋅的值．【例20】 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(20)，，右顶点为0)． ⑴求双曲线C 的方程；⑵若直线:l y kx =+与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2OAO B ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围．【例21】已知双曲线22:12xC y-=，设过点()0A-的直线l的方向向量()1e k=，．⑴当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；⑵证明：当k时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．【例22】已知双曲线C的方程为()2222100y xa ba b-=>>，，离心率e=顶点到渐近线．⑴求双曲线C的方程；⑵如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP PBλ=，123λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求AOB∆面积的取值范围．【例24】 已知动圆P过点)0N并且与圆(22:16M x y +=相外切，动圆圆心P的轨迹为W ，轨迹W 与x 轴的交点为D ．⑴求轨迹W 的方程；⑵设直线l 过点(0)m ，(2)m >且与轨迹W 有两个不同的交点A ，B ，求直线l 的斜率k 的取值范围；⑶在⑵的条件下，若0DA DB ⋅=，证明直线l 过定点，并求出这个定点的坐标．【例25】 已知点100()P x y ，为双曲线222218x y b b-=（b 为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于2P ．⑴求线段1P 2P 的中点P 的轨迹E 的方程；⑵设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点，在E 上任取一点111(0)Q x y y ≠（，），直线QB ，QD 分别交y 轴于M N ，两点．求证：以MN 为直径的圆过两定点．（焦点在x 轴上的标准双曲线的准线方程为2a x c=±）【例26】 已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，x =． ⑴求双曲线2的方程；⑵设直线l 是圆22:2O x y +=上动点()()00000P x y x y ≠，处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，，证明AOB ∠的大小为定值．。

【例1】 若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______【考点】直线与双曲线 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】将2y kx =+代入226x y -=，化简得22(1)4100k x kx ---=，150k ∆=⇒=±， 双曲线的渐近线的斜率为1±，2y kx =+过定点(02)，，数形结合即可得151k ⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭，． 【答案】151⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，；【例2】 过双曲线22112x y -=的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若||4AB =，则这样的直线有_____条【考点】直线与双曲线 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】垂直于x 轴的弦所在的直线，另两条大致如图所示．典例分析板块二.直线与双曲线O yx【答案】3；【例3】 过点(02)，与双曲线221916x y -=有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______ 【考点】直线与双曲线 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】两条切线、两条与渐近线平行的直线． 【答案】4453⎧⎪±±⎨⎪⎪⎩⎭，；【例4】 直线1y x =+与双曲线22123x y -=相交于两点A 、B ，则AB =_________．【考点】直线与双曲线 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】联立221123y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得：2480x x --=，设11()A x y ，，22()B x y ，， 则124x x +=，128x x =-，222121()()AB x x y y -+- 112211y x y x =+⎧⎨=+⎩⇒2121y y x x -=-， 2211212112()42163246AB x x x x x +-+-=+=【答案】6【例5】 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=没有公共点，求k 的取值范围． 【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】将直线1y kx =-与双曲线224x y -=，化简整理得22(1)250k x kx -+-= （*）F 2F 1y =-xy =x-22-1yx⑴若1k =±，则210k -=此时（*）一次方程有解，说明直线与双曲线有且只有一个公共点，不合题意．⑵若1k ≠±则210k -≠，（*）为关于x 的二次方程，要使直线1y kx =-与双曲线224x y -=没有公共点，只需24(54)0k ∆=-<，解得5k <或5k 因此k 的取值范围是5k <5k ． 【答案】5k <5k >．【例6】 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=有且只有一个公共点，求k 的的值． 【考点】直线与双曲线 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】将直线1y kx =-与双曲线224x y -=，化简整理得22(1)250k x kx -+-= （*）⑴若1k =±，则210k -=，此时（*）为一次方程有解，说明直线与双曲线有且只有一个公共点，此时，直线与渐近线平行．⑵若1k ≠±则210k -≠，（*）为关于x 的二次方程，要使直线1y kx =- 与双曲线224x y -=有且只有一个公共点，只需24(54)0k ∆=-=，解得5k =5k =，此时直线与双曲线相切． 因此，1k =±或5k =． 【答案】1k =±或5k =．【例7】 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=有两个相异公共点，求k 的取值范围． 【考点】直线与双曲线 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】当210k -=，即1k =±时，方程只有一解，此时只有一个公共点；当210k -≠时，方程有两个相异公共点，当且仅当方程有两个不同的根⇔22420(1)0k k ∆=+->，解得55k <<，且1k ≠±， 综上知，直线与双曲线有两个相异的公共点时，k 的取值范围为 551(11)1⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U U ，，． 【答案】551(11)1⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U U ，，【例8】 直线1y kx =-与双曲线224x y -=的一支有两个相异公共点，求k 的取值范围． 【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】对应方程有两个不同的正根，或两个不同的负根，解得k 的取值范围为5511⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U ， 【答案】5511⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U ，【例9】 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=的两支各有一个公共点，求k 的取值范围． 【考点】直线与双曲线 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】对应方程有一正根一负根，只需122501x x k -=<-，解得k 的取值范围为(11)-，． 【答案】(11)-，【例10】 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个相异公共点，求k 的取值范围． 【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】将直线1y kx =-代入双曲线方程，整理得：22(1)250k x kx -+-=，设11()P x y ，，22()Q x y ，，(20)A ，，于是有12221k x x k +=--，12251x x k -=-， 又直线与双曲线交于右支上两点，故有22420(1)0k k ∆=+->，且120x x +>，120x x >，解得：51k <<． 【答案】51k <<【例11】 已知不论b 取何实数，直线y kx b =+与双曲线2221x y -=总有公共点，求实数k 的取值范围．【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】将y kx b =+代入双曲线方程消去y 得222(21)4(21)0k x kbx b -+++=，当2120k -=即22k =时，若0b =，则y kx b =+为双曲线的渐近线，与双曲线无公共点； 当2120k -≠即2k ≠时，依题意有2222164(21)(21)0k b k b ∆=--+≥，化简得：22221k b +≤对所有实数b 恒成立，而221b +的最小值为1，所以必须221k ≤恒成立，解得2222k ≤，又22k ≠±，于是可得k 的范围为22(22，．此题也可以画图，用数形结合的思想进行解答．【答案】2222⎛ ⎝⎭，【例12】 直线1y ax =+与双曲线2231x y -=交于A 、B 两点．①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？②当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】①(33，；②1a =±．①结合图形即知；②0OA OB ⋅=u u u r u u u r，0A B A B x x y y +=，即(1)(1)0A B A B x x ax ax +++=．将1y ax =+代入双曲线2231x y -=，再用韦达定理，得222233A B A Bax x x x a a =+=--，，综合前面的关系式可得a 的方程，解出1a =±．【答案】①(33，；②1a =±．【例13】 已知直线10kx y -+=与双曲线2212x y -=相交于两个不同点A 、B ．①求k 的取值范围；②若x 轴上的点(30)M ，到A 、B 两点的距离相等，求k 的值．【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】①由221012kx y x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，得22(12)440k x kx ---=． ∴22221201616(12)16(1)0k k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩．解得：11k -<<且k ≠±2． ②设11()A x y ，，22()B x y ，，则122412kx x k+=-． 设P 为AB 中点，则1212()122x x k x x P ++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，即22211212kP k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，． ∵(30)M ，到A 、B 两点的距离相等， ∴MP ⊥AB ，∴1MP AB k k ⋅=-，即2211212312k k k k -⋅=---，解得12k =，或1k =-（舍去）． ∴12k =． 【答案】① 11k -<<且k ≠±2；② 12k =．【例14】 已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=，记双曲线的右顶点为A ，是否存在实数k ，使得直线与双曲线的右支交于,P Q 两点，且0PA QA ⋅=u u u r u u u r，若存在，求出k 值：若不存在，请说明理由．【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】将直线1y kx =-代入双曲线方程，整理得：22(1)250k x kx -+-=，设11()P x y ，，22()Q x y ，，(20)A ，，于是有12221k x x k +=--，12251x x k -=-， 又直线与双曲线交于右支上两点，故有22420(1)0k k ∆=+->，且120x x +>，120x x >，解得：51k <<． 1122(2)(2)0PA QA x y x y ⋅=--⋅--=u u u r u u u r，，，212121212(1)(1)()1y y kx kx k x x k x x =--=-++，于是有1212121212(2)(2)42()x x y y x x x x y y --+=-+++21212(1)(2)()50k x x k x x =+-+++=，即2225(1)2(2)5011k k k k k -+⎛⎫-+-+= ⎪--⎝⎭，解得0k =或12k =，故不满足情况，故实数k 不存在．【答案】实数k 不存在．【例15】 已知点(20)M -，，(20)N ，，动点P 满足条件22PM PN -=P 的轨迹为C ． ⑴求C 的方程；⑵若A 、B 是曲线C 上不同的两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅u u u r u u u r的最小值．【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴由题意知点P 的轨迹是双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的右半支，其中实半轴长2a =2c =， ∴222b c a =-2=，于是C 的方程为22122x y -=(0)x >．⑵设11()A x y ，，22()B x y ，，则()11OA x y =u u u r ，，()22OB x y =u u u r，． 若AB x ⊥轴，此时12x x =，12y y =-，∴22121211OA OB x x y y x y ⋅=+=-u u u r u u u r．∵ ()11x y ，在双曲线C 上， ∴ 22112x y -=，即OA OB ⋅u u u r u u u r=2．若AB 不垂直于x 轴，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由222y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，得()2221220k x kmx m ----=． ∵ A 、B 是双曲线22122x y -=右支上不同的两点，∴ 210k -≠，且0∆>，2122201m x x k +=>-，122201kmx x k +=>-，即 222222(2)4(1)(2)0201201km k m m k kmk ⎧----->⎪⎪+⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，可解得2201(0)2m k m <-<≠． ∵()()()222212121212221k m y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=-，∴22212122222242111m k m OA OB x x y y k k k +-⋅=+=+=+---u u u r u u u r 又∵210k ->，从而2OA OB ⋅>u u u r u u u r．综上，当AB x ⊥轴时，OA OB ⋅u u u r u u u r取得最小值2．【答案】⑴22122x y -=(0)x >；⑵当AB x ⊥轴时，OA OB ⋅u u u r u u u r取得最小值2．【例16】 直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交不同的A ，B 两点，⑴求实数k 取值范围；⑵是否存在实数k ，使得以线段AB 直径的圆经过双曲线的右焦点．若存在，求出k 值：若不存在，请说明理由．【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴将直线l 的方程1y kx =+代入双曲线C 的方程2221x y -=后整理得：22(2)220k x kx -++=………①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故2222220,(2)8(2)020220.2k k k k k k ⎧-≠⎪∆=-->⎪⎪⎨->-⎪⎪⎪>-⎩，解得k 的取值范围是22k -<<⑵设A 、B 两点的坐标分别为11()x y ，、22()x y ，，则由①式得1222222222k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点(0)F c ，． 则由FA FB ⊥得：1212()()0x c x c y y --+=，即1212()()(1)(1)0x c x c kx kx --+++= 整理得221212(1)()()10k x x k c x x c ++-+++= ③ 把②式及6c =代入③式化简得252660k k +-= 解得66k +=或66(22)k --，（舍去） 可知66k +=使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．【答案】⑴22k -<<-⑵66k +=使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．【例17】 双曲线C 的中心在原点，右焦点为230F ⎫⎪⎪⎝⎭，渐近线方程为3y x =±．⑴求双曲线C 的方程；⑵设直线l ：1y kx =+与双曲线C 交于A 、B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点．【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴设双曲线的方程是()2222-100x y a b a b=>>，，则23c ， 3.ba= 又222c a b =+Q ，∴21b = 213a =所以双曲线的方程是2231x y -=． ⑵由221,31,y kx x y =+⎧⎨-=⎩得22(3)220k x kx ---=，由20,30k ∆>-≠且，得66,k <且 3k ≠．设()11,A x y 、()22,B x y ，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA OB ⊥， 所以 12120x x y y +=． 又12223k x x k -+=-，12223x x k =-， 所以 212121212(1)(1)()11y y kx kx k x x k x x =++=+++=， 所以22103k +=-，解得1k =±． 【答案】⑴2231x y -=；⑵1k =±．【例18】 已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，过其右焦点且倾斜角为45o 的直线被双曲线截得的弦MN 的长为6．⑴求此双曲线的方程；⑵若直线:l y kx m =+与该双曲线交于两个不同点A 、B ，且以线段AB 为直径的圆过原点，求定点(01)Q -，到直线l 的距离d 的最大值，并求此时直线l 的方程．【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，石景山一模【解析】⑴设双曲线的方程是22221x y a b-=（0a >，0b >），则由于离心率2ce a==，所以2c a =，223b a =． 从而双曲线的方程为222213x y a a-=，且其右焦点为(20)F a ，．把直线MN 的方程2y x a =-代入双曲线的方程，消去y 并整理，得222470x ax a +-=．设11()M x y ，，22()N x y ，，则122x x a +=-，21272x x a =-．由弦长公式，得21212||2()4MN x x x x +-2272(2)462a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭．所以1a =，2233b a ==．而双曲线的方程是2213y x -=．⑵由y kx m =+和2213y x -=，消去y ，得222(3)230k x kmx m ----=．根据条件，得222244(3)(3)0k m k m ∆=---->且230k -≠． ∴2233m k +>≠．设33()A x y ，，44()B x y ，，则34223kmx x k +=-，234233m x x k +=-．由于以线段AB 为直径的圆过原点，所以34340x x y y +=． 即223434(1)()0k x x km x x m ++++=．从而有2222232(1)033m km k km m k k ++⋅+⋅+=--，即22213k m +=．∴ 点Q 到直线:l y kx m =+的距离为： 226112213d mk m ===++． 由222103k m =-≥，解得616m 且10m≠．由222133k m =-≠，解得16m ≠．所以当6m =时，d 6662++=，此时0k =． 因此d 62+，此时直线l 的方程是6y ． 【答案】⑴2213y x -=；⑵d 62+，此时直线l 的方程是6y =．【例19】 在PAB ∆中，已知()60A -、)60B，动点P 满足4PA PB =+．⑴求动点P 的轨迹方程；⑵设点()20M -，，()20N ，，过点N 作直线l 垂直AB ，且l 与直线MP 交于点Q ，试在x 轴上确定一点T ，使得PN QT ⊥；⑶在⑵的条件下，设点Q 关于x 轴的对称点为R ，求OP OR ⋅u u u r u u u r的值．【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，海淀一模 【解析】⑴∵4PA PB AB -=<，∴动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支，除去其与x 轴的交点．设双曲线方程为()2222100x y a b a b -=>>，．由已知，得624c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得62c a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴2b =．∴动点P 的轨迹方程为()221242x y x -=>．⑵由题意，直线MP 的斜率存在且不为0，直线l 的方程为2x =． 设直线MP 的方程为()2y k x =+． ∵点Q 是l 与直线MP 的交点由()221422x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()()2222128840k x k x k ---+=． 此方程必有两个不等实根12022x x x =-=>，．∴2120k -≠，且20284212k x k +-=--，∴2024212k x k +=-，∴()0024212ky k x k =+=-，∴2224241212k k P k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，． 设()0T t ，，要使得PN QT ⊥，只需0PN QT ⋅=u u u r u u u r．由()20N ，，222841212k k PN k k ⎛⎫=-- ⎪--⎝⎭u u u r ，，()24QT t k =--u u u r ，， ∴()22218216012PN QT k t k k ⎡⎤⋅=---=⎣⎦-u u u r u u u r ， ∵0k ≠，∴4t =，此时0PN ≠u u u r r，0QT ≠u u u r r ． ∵所以T 点的坐标为()40，．⑶由⑵知()24R k -，，∴2224241212k k OP k k ⎛⎫+= ⎪--⎝⎭u u u r ，，()24OR k =-u u ur ，． ∴()2222242448244121212k k k OP OR k k k k +-⋅=⨯+⨯-==---u u u r u u u r ．∴4OP OR ⋅=u u u r u u u r．【答案】⑴()221242x y x -=>；⑵()40，； ⑶4OP OR ⋅=u u u r u u u r．【例20】 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(20)，，右顶点为(30)． ⑴求双曲线C 的方程；⑵若直线:2l y kx =+与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB ⋅>u u u r u u u r（其中O 为原点），求k 的取值范围．【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴设双曲线方程为22221x y a b-= (0,0)a b >>．由已知得3a =2c =，再由2222a b +=，得21b =．故双曲线C 的方程为2213x y -=．⑵将2y kx =+2213x y -=得22(13)6290k x kx ---=．由直线l 与双曲线交于不同的两点得2222130,(62)36(13)36(1)0.k k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩ 即213k ≠且21k <． ………………① 设()()，，，A A B B A x y B x y ，则 62A B k x x +=，2913A Bx x k -=-，由2OA OB ⋅>u u u r u u u r 得2A B A B x x y y +>． 而2(2)(2)(1)2()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x +=++=+++ 222296237(1)221331k k k k k k -+=++=--． 于是2237231k k +>-，即2239031k k -+>-，解此不等式得2133k <<． ………② 由①、②得2113k <<．故k 的取值范围为33(1(1)，-U ． 【答案】⑴2213x y -=；⑵33(1(1)，--U ．【例21】 已知双曲线22:12x C y -=，设过点()320A -的直线l 的方向向量()1e k =v ， ．⑴当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与m 的距离；⑵证明：当k 2时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为6．【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，上海高考 【解析】⑴双曲线C 的渐近线02m y ±=，即20x ±=∴直线l 的方程2320x +=， ∴直线l 与m 的距离32612d +⑵方法一：设过原点且平行于l 的直线:0b kx y -=，:320l kx y k -+=，则直线l 与b 的距离223232111k d kk ==++当22k >时，6d ． 又双曲线C 的渐近线为20x ±= ∴双曲线C 的右支在直线b 的右下方，∴双曲线C 右支上的任意点到直线l 6故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 6． 证法二：假设双曲线C 的右支上存在点()00Q x y ，到直线l 6 则00200326122kx y kx y ⎧-+⎪=⎪⎨+⎪-=⎪⎩①，② 由①得2003261y kx k k =+±+ 设23261t k k =+ 当2k ，232610t k k =+>， 222232616031t k k k k=+=>++将00y kx t =+代入②得()()22200124210k x ktx t ---+= ③∵2k ，0t >，∴2120k -<，40kt -<，()2210t -+<． ∴方程③不存在正根，即假设不成立．故在双曲线C 的右支上不存在Q ，使之到直线l 6【答案】⑴6d =⑵在双曲线C 的右支上不存在Q ，使之到直线l 6【例22】 已知双曲线C 的方程为()2222100y x a b a b-=>>，，离心率5e =顶点到渐近线25． ⑴求双曲线C 的方程；⑵如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP PB λ=u u u r u u u r ，123λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求AOB ∆面积的取值范围．B P AyxO【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，陕西高考【解析】⑴由题意知，双曲线C 的顶点()0a ，到渐近线0ax by -=255， 2225a b =+，即25ab c 由222255ab c c a c a b ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎪⎩，得215a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴双曲线C 的方程为2214y x -=．⑵由⑴知双曲线C 的两条渐近线方程为2y x =±． 设()()2200A m m B n n m n ->>，，，，，， 由AP PB λ=u u u r u u u r 得P 点的坐标为()211m n m n λλλλ+⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 将P 点坐标代入2214y x -=，化简得()214mn λλ+=．设2AOB θ∠=，∵πtan 22θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1tan 2θ=，5sin θ=，4sin 25θ=．又55OA m OB n ==，， ∴111sin 22122AOB S OA OB mn θλλ∆⎛⎫=⋅⋅==++ ⎪⎝⎭． 记()1111223S λλλλ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，，则11()2122S λλλ⋅⋅=≥， 当且仅当1λ=时取等号，即()S λ最小值为2．又由1212121()()()1S S λλλλλλ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，可知1[1]3λ∈，时，()S λ递减；[12]λ∈，时，()S λ递增． 又1833S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()924S =，故当1λ=时，AOB ∆的面积取得最小值2，当13λ=时，AOB ∆的面积取得最大值83．∴AOB ∆面积的取值范围是823⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【答案】⑴2214y x -=；⑵AOB ∆面积的取值范围是823⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【例23】 已知以原点O 为中心，()50F，为右焦点的双曲线C 的离心率52e =． ⑴求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；⑵如图，已知过点()11M x y ，的直线111:44l x x y y +=与过点()22N x y ，（其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH △的面积．EO yxH GMN l 2l 1【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，重庆高考【解析】⑴设C 的标准方程为()2222100x y a b a b-=>>，，则由题意5c =，又52c e a ==，l 1l 2NMGH xyO EQ因此2a =，221b c a =-=，C 的标准方程为2214x y -=．C 的渐近线方程为12y x =±，即20x y -=和20x y +=．⑵解法一：如图，由题意点()E E E x y ，在直线111:44l x x y y +=和222:44l x x y y +=上，因此有1144E E x x y y +=，2244E E x x y y +=．故点M 、N 均在直线44E E x x y y +=上，因此直线MN 的方程为44E E x x y y +=． 设G 、H 分别是直线MN 与渐近线20x y -=及20x y +=的交点， 由方程组4420E E x x y y x y +=⎧⎨-=⎩，及4420E E x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，解得22G E E y x y =+，22H E Ey x y =--．设MN 与x 轴的交点Q ，则在直线44R E x x y y +=中，令0y =得4Q Ex x =（易知0E x ≠）． 注意到2244EE x y -=，得 1411222OGH G H E E E E ES OQ y y x x y x y =⋅⋅-=⋅++-△222424E E R E x x x y =⋅=-． 解法二：设()E E E x y ，，由方程组11224444x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩解得()2112214E y y x x y x y -=-，121221E x x y x y x y -=-．因21x x ≠，则直线MN 的斜率21E 21E4y y xk x x y -==--． 故直线MN 的方程为()114EEx y y x x y -=--， 注意到1144E E x x y y +=，因此直线MN 的方程为44E E x x y y +=． 下同解法一．【答案】⑴C 的标准方程为2214x y -=，C 的渐近线方程为20x y -=和20x y +=；⑵2．【例24】 已知动圆P 过点()50N并且与圆(22:516M x y +=相外切，动圆圆心P的轨迹为W ，轨迹W 与x 轴的交点为D ．⑴求轨迹W 的方程； ⑵设直线l 过点(0)m ，(2)m >且与轨迹W 有两个不同的交点A ，B ，求直线l 的斜率k 的取值范围；⑶在⑵的条件下，若0DA DB ⋅=u u u r u u u r，证明直线l 过定点，并求出这个定点的坐标．【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，崇文一模【解析】⑴由已知425PM PN MN -=<=∴点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，且2a =，5c =1b =． ∴轨迹W 的方程为221(2)4x y x -=≥．⑵设直线l 的方程为()(20)y k x m m k =->，≠．由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，，得222222(14)8440(140)k x k mx k m k -+--=-≠． 设11()A x y ，，22()B x y ，，则21228041k mx x k +=>-， ……①2212244041k m x x k +=>-， ……②42222644(14)(44)0k m k k m ∆=+-+>． ……③由①②③得241k >．∴直线l 斜率k 的取值范围是1122⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，．⑶122(2)(2)DA DB x y x y ⋅=-⋅-u u u r u u u r，，1212121212(2)(2)2()4()()x x y y x x x x k x m k x m =--+=-+++-- 22221212(1)(2)()4k x x mk x x k m =+-++++222222222(1)(44)(2)844141k k m mk mk k m k k +++=-++--． ∵0DA DB ⋅=u u u r u u u r ，∴222222222(1)(44)(2)8404141d k k m mk mk k m k k +++-++=--， ∴22222222(1)(44)(2)8(4)(41)0k k m mk mk k m k ++-+++-=， ∴2222201630k k m k m -+=． ∵0k ≠，∴2316200m m -+=，解得103m =，或2m =（舍）． ∴直线l 的方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴直线l 过定点，定点坐标为1003⎛⎫⎪⎝⎭，．【答案】⑴221(2)4x y x -=≥；⑵1122⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，；⑶直线l 过定点，定点坐标为1003⎛⎫⎪⎝⎭，．【例25】 已知点100()P x y ，为双曲线222218x y b b-=（b 为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于2P ．⑴求线段1P 2P 的中点P 的轨迹E 的方程；⑵设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点，在E 上任取一点111(0)Q x y y ≠（，），直线QB ，QD 分别交y 轴于M N ，两点．求证：以MN 为直径的圆过两定点．（焦点在x 轴上的标准双曲线的准线方程为2a x c=±）F 2F 1P 2P 1P Ay xO【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，江西高考【解析】⑴由已知得2(30)F b ，，083A b y ⎛⎫⎪⎝⎭，，则直线2F A 的方程为：03(3)y y x b b=--， 令0x =得09y y =，即20(09)P y ，，设P x y （，），则0000 2952x x y y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即0025x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩代入22002218x y b b -=，得222241825x y b b -=， 即P 的轨迹E 的方程为22221225x y b b -=．⑵在22221225x y b b -=中令0y =得222x b =，则不妨设()20B b ，，()20D b ，，于是直线QB 的方程为：112)2y x b x b =++， 直线QD 的方程为：)1122y x b x b=-，可得11202by M x b ⎛⎫ +⎝，，11202by N x b ⎛⎫- -⎝，， 则以MN 为直径的圆的方程为： 2111122022by by x y y x b x b ⎛⎫⎛⎫++= +-⎝， 令0y =得222122122b y x x b =-，而11Q x y （，）在22221225x y b b -=上，则222112225x b y -=， 于是5x b =±，即以MN 为直径的圆过两定点(50)b -，，(50)b ，． 【答案】⑴22221225x y b b -=；⑵以MN 为直径的圆过两定点(50)b -，，(50)b ，．【例26】 已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，33x =． ⑴求双曲线2的方程；⑵设直线l 是圆22:2O x y +=上动点()()00000P x y x y ≠，处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，，证明AOB ∠的大小为定值．【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，北京高考 【解析】法一：⑴由题意得233.a c c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1a =，3c =．所以2222b c a =-=． 所以双曲线C 的方程为2212y x -=．⑵点()00P x y ，()000x y ≠在圆222x y +=上， 圆在点()00P x y ，处的切线l 的方程为()0000x y y x x y -=--， 化简得002x x y y +=．由2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=得：()222000344820x x x x x --+-=． 因为切线l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，，且2002x <<， 所以20340x -≠，且()()22200016434820x x x ∆=--->．设A B ，两点的坐标分别为()11x y ，，()22x y ，，则01220434x x x x +=-，2012208234x x x x -=-．因为cos OA OBAOB OA OB⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，且()()121212010220122OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+--u u u r u u u r()212012012201422x x x x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦- ()222200002222000082828143423434x x x x x x x x ⎡⎤--⎢⎥=+-+----⎢⎥⎣⎦2200220082280334x x x x --=+=-， 所以AOB ∠的大小为90︒． 法二： ⑴同法一．⑵点()00P x y ，()000x y ≠在圆222x y +=上， 圆在点()00P x y ，处的切线l 的方程为()0000x y y x x y -=--， 化简得002x x y y +=．由2200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=，得 ()22200344820xx x x x --+-=， ① ()222000348820xy y y x -+-+=． ②因为切线l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，，所以2340x -≠． 设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则2012208234x x x x -=-，2012202834x y y x -=-．所以12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r．所以AOB ∠的大小为90︒．（因为22002x y +=且000x y ≠，所以22000202x y <<<<，，从而当20340x -≠时，方程①与方程②的判别式均大于0）【答案】⑴2212y x -=;⑵AOB ∠的大小为90︒．。