2015电子科技大学_图论期末考试复习题

电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)考试时间：120分钟一．填空题(每题3分，共18分)1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个；2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。

则G 中顶点数至少有__9___个；3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____;4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_.5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。

图G二．单项选择(每题3分，共21分)1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A )(A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333).2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ）3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ）4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ）5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ）AC DA B CD6．下列图中，不是偶图的是（ B ）7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ）三．作图(6分)1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图；2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图；3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图；解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。

解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图：权和为：20.五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G).解：用公式(G P k -G 的色多项式：)3)(3)()(45-++=k k k G P k 。

六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。

解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m.一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 13图G由上面两式可得：n 1=n 2+2n 3+…+(k -1)n k七．证明：(8分) 设G 是具有二分类(X,Y)的偶图，证明(1)G 不含奇圈；（2）若|X |≠|Y |，则G 是非哈密尔顿图。

目录第一章图的基本概念 (1)二路和连通性 (3)第二章树 (3)第三章图的连通度 (4)第四章欧拉图与哈密尔顿图 (5)一，欧拉图 (5)二．哈密尔顿图 (6)第五章匹配与因子分解 (9)一．匹配 (9)二．偶图的覆盖于匹配 (10)三．因子分解 (11)第六章平面图 (14)二．对偶图 (16)三．平面图的判定 (17)四．平面性算法 (20)第七章图的着色 (24)一．边着色 (24)二．顶点着色 (25)第九章有向图 (30)二有向树 (30)第一章图的基本概念1.点集与边集均为有限集合的图称为有限图。

2.只有一个顶点而无边的图称为平凡图。

3.边集为空的图称为空图。

4.既没有环也没有重边的图称为简单图。

5.其他所有的图都称为复合图。

6.具有二分类（X, Y）的偶图（或二部图）：是指该图的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。

7.完全偶图：是指具有二分类（X, Y）的简单偶图，其中X的每个顶点与Y 的每个顶点相连，若|X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为Km,n8. 定理1 若n 阶图G 是自补的（即），则n = 0, 1（mod 4）9. 图G 的顶点的最小度。

10. 图G 的顶点的最大度。

11. k-正则图: 每个点的度均为 k 的简单图。

例如,完全图和完全偶图Kn,n 均是正则图。

12. 推论1 任意图中，奇点的个数为偶数。

13.14. 频序列：定理4 一个简单图G 的n 个点的度数不能互不相同。

15. 定理5 一个n 阶图G 相和它的补图有相同的频序列。

16.17.18. 对称差：G1△G2 = (G1∪G2) - (G1∩G2) = (G1-G2)∪(G2-G1)19. 定义： 联图 在不相交的G1和G2的并图G1+G2中，把G1的每个顶点和G2的每个顶点连接起来所得到的图称为G1和G2的联图，记为G1∨G220. 积图：积图 设G1= (V1, E1)，G2 = (V2, E2)，对点集V = V1×V2中的任意两个点u =(u1,u2)和v = (v1,v2)，当(u1 = v1和 u2 adj v2) 或 (u2 = v2 和 u1 adj v1) 时就把 u 和 v 连接起来所得到的图G 称为G1和G2积图。

离散数学图论部分期末复习辅导一、单项选择题 1．设图G ＝<V , E >，v V ，则下列结论成立的是 ( ) ．A ．deg(v )=2EB ．deg(v )=EC ．deg()2||v Vv E ∈=∑ D ．deg()||v Vv E ∈=∑解 根据握手定理（图中所有结点的度数之和等于边数的两倍）知，答案C 成立。

答 C2．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110， 则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．3解 由邻接矩阵的定义知，无向图的邻接矩阵是对称的．即当结点v i 与v j 相邻时，结点v j 与v i 也相邻，所以连接结点v i 与v j 的一条边在邻接矩阵的第i 行第j 列处和第j 行第i 列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有10个1，故有102=5条边。

答 B3．已知无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111110101110001000111010，则G 有（ ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边解 由邻接矩阵的定义知，矩阵是5阶方阵，所以图G 有5个结点，矩阵元素有14个1，14÷2=7，图G 有7条边。

答 D4．如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, e )}是割边 B ．{(a, e )}是边割集C ．{(a, e ) ,(b, c )}是边割集D ．{(d, e)}是边割集定义3.2.9 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有边集E 1ÌE ，使图G 删除了E 1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E 1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称E 1是G 的一个边割集．若边割集为单元集{e }，则称边e 为割边（或桥）．解 割边首先是一条边，因为答案A 中的是边集，不可能是割边，因此答案A 是错误的．删除答案B 或C 中的边后，得到的图是还是连通图，因此答案B 、C 也是错误的．在图一中，删去(d , e )边，图就不连通了，所以答案D 正确． 答 D注：如果该题只给出图的结点和边，没有图示，大家也应该会做．如：若图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ) , (a , e ) , (b , c ) , (b , e ) , (c , e ) , (e , d )}，则该图中的割边是什么？5．图G 如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A ．a 是割点 B ．{b, c}是点割集 C ．{b , d }是点割集 D ．{c }是点割集定义3.2.7 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有点集V 1ÌV ，使图G 删除了V 1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V 1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称V 1是G 的一个点割集．若点割集为单元集{v }，则称结点v 为割点．οοο ο a bc d图一 οe ο οο a b c d图二ο解 在图二中，删去结点a 或删去结点c 或删去结点b 和d 图还是连通的，所以答案A 、C 、D 是错误的．在图二中删除结点b 和c ，得到的子图是不连通图，而只删除结点b 或结点c ，得到的子图仍然是连通的，由定义可以知道，{b, c }是点割集．所以答案B 是正确的． 答 B6．图G 如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, d )}是割边 B ．{(a, d )}是边割集C ．{(a, d) ,(b, d)}是边割集D ．{(b , d )}是边割集解 割边首先是一条边，{(a, d )}是边集，不可能是割边．在图三中，删除答案B 或D 中的边后，得到的图是还是连通图．因此答案A 、B 、D 是错误的．在图三中，删去(a,d )边和(b, d )边，图就不连通了，而只是删除(a, d )边或(b, d )边，图还是连通的，所以答案C 正确．7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是( )．图四A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的复习：定义3.2.5 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G 是单向（侧）连通的；若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G 是强连通的；若图G 的底图，即在图G 中略去边的方向，得到的无向图是连通的，则称图G 是弱连ο ο ο a bcd图三ο通的．显然，强连通的一定是单向连通和弱连通的，单向连通的一定是弱连通，但其逆均不真．定理3.2.1一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，其至少包含每个结点一次．单侧连通图判别法：若有向图G中存在一条经过每个结点至少一次的路，则G是单侧连通的。

电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第四章欧拉图与哈密尔顿图第四章欧拉图与哈密尔顿图(⼀)、欧拉图及其性质(1)、问题背景---欧拉与哥尼斯堡七桥问题问题：对于图G，它在什么条件下满⾜从某点出发，经过每条边⼀次且仅⼀次，可以回到出发点？注：⼀笔画----中国古⽼的民间游戏（存在欧拉迹）要求：对于⼀个图G, 笔不离纸, ⼀笔画成.拓展：三笔画：在原图上添加三笔，可使其变为欧拉图。

定义1 对于连通图G，如果G中存在经过每条边的闭迹，则称G为欧拉图，简称G为E图。

欧拉闭迹⼜称为欧拉环游，或欧拉回路。

定理1 下列陈述对于⾮平凡连通图G是等价的：(1) G是欧拉图；(2) G的顶点度数为偶数；(3) G的边集合能划分为圈。

推论1 连通图G是欧拉图当且仅当G的顶点度数为偶。

推论2 连通⾮欧拉图G存在欧拉迹当且仅当G中只有两个顶点度数为奇数。

证明：若G和H是欧拉图，则G×H是欧拉图。

若G是⾮平凡的欧拉图，则G的每个块也是欧拉图。

(⼆)、Fleury算法(欧拉图中求出⼀条具体欧拉环游的⽅法)⽅法是尽可能避割边⾏⾛(三)、中国邮路问题（最优欧拉环游，管梅⾕）定理2 若W是包含图G的每条边⾄少⼀次的闭途径，则W具有最⼩权值当且仅当下列两个条件被满⾜：(1) G的每条边在W中最多重复⼀次；(2) 对于G的每个圈上的边来说，在W中重复的边的总权值不超过该圈⾮重复边总权值。

(四)、哈密尔顿图的概念定义1 ：如果经过图G的每个顶点恰好⼀次后能够回到出发点，称这样的图为哈密尔顿图，简称H图。

所经过的闭途径是G的⼀个⽣成圈，称为G的哈密尔顿圈。

定义2: 如果存在经过G的每个顶点恰好⼀次的路，称该路为G的哈密尔顿路，简称H路。

(五)、哈密尔顿图性质与判定1、性质定理【必要条件】；定理1 (必要条件) 若G为H图，则对V(G)的任⼀⾮空顶点⼦集S，有：w(G−S)≤|S|注：不等式为G是H图的必要条件，即不等式不满⾜时，可断定对应图是⾮H、图。

1电子科技大学研究生试卷（考试时间： 至 ，共__2_小时）课程名称 图论及其应用 教师 学时 60 学分 教学方式 讲授 考核日期_2013__年_6__月__20__日 成绩 考核方式： （学生填写）一．填空题(每空2分，共20分)1． n 阶k 正则图G 的边数m =_____。

2．4个顶点的不同构单图的个数为________。

3．完全偶图,r s K (,2r s ≥且为偶数)，则在其欧拉环游中共含____条边。

4．高为h 的完全2元树至少有_______片树叶。

5. G 由3个连通分支124,,K K K 组成的平面图，则其共有_______个面。

6. 设图G 与5K 同胚，则至少从G 中删掉_______条边，才可能使其成为可平面图。

7. 设G 为偶图，其最小点覆盖数为α，则其最大匹配包含的边数为________。

8. 完全图6K 能分解为________个边不重合的一因子之并。

9. 奇圈的边色数为______。

10. 彼得森图的点色数为_______。

二．单项选择(每题3分，共15分) 1．下面说法错误的是( )学 号 姓 名 学 院…………………… 密……………封……………线……………以……………内……………答…… ………题……………无……………效……………………2(A) 图G 中的一个点独立集，在其补图中的点导出子图必为一个完全子图；(B) 若图G 连通，则其补图必连通； (C) 存在5阶的自补图； (D) 4阶图的补图全是可平面图. 2．下列说法错误的是（ ） (A) 非平凡树是偶图；(B) 超立方体图(n 方体,1n ≥)是偶图； (C) 存在完美匹配的圈是偶图； (D) 偶图至少包含一条边。

3.下面说法正确的是( )(A) 2连通图一定没有割点（假定可以有自环）； (B) 没有割点的图一定没有割边；(C) 如果3阶及其以上的图G 是块，则G 中无环，且任意两点均位于同一圈上；(D) 有环的图一定不是块。

12017年图论课程练习题一．填空题1.图1中顶点a 到顶点b 的距离d (a ,b )= 。

ab9 图112.已知图G 的邻接矩阵0110110100110100010110010A=，则G 中长度为2的途径总条数为 。

3.图2中最小生成树T 的权值W (T )= 。

4.图3的最优欧拉环游的权值为 。

12 图 22图35.树叶带权分别为1,2,4,5,6,8的最优二元树权值为 。

二．单项选择1．关于图的度序列，下列说法正确的是( )(A) 对任意一个非负整数序列来说，它都是某图的度序列；(B) 若非负整数序列12(,,,)n d d d π= 满足1ni i d =∑为偶数，则它一定是图序列；(C) 若图G 度弱于图H ，则图G 的边数小于等于图H 的边数；(D) 如果图G 的顶点总度数大于或等于图H 的顶点总度数，则图G 度优 于图H 。

2．关于图的割点与割边，下列说法正确的是（ ） (A) 有割边的图一定有割点； (B) 有割点的图一定有割边； (C) 有割边的简单图一定有割点； (D) 割边不在图的任一圈中。

3.设()k G ，()G λ，()G δ分别表示图G 的点连通度，边连通度和最小度。

下面说法错误的是( )3(A) 存在图G ，使得()k G =()G δ=()G λ； (B) 存在图G ，使得()()()k G G G λδ<<；(C) 设G 是n 阶简单图，若()2n G δ≥，则G 连通，且()()G G λδ=；(D) 图G 是k 连通的，则G 的连通度为k 。

4.关于哈密尔顿图，下列命题错误的是( ) (A) 彼得森图是非哈密尔顿图；(B) 若图G 的闭包是哈密尔顿图，则其闭包一定是完全图； (C) 若图G 的阶数至少为3且闭包是完全图，则图G 是哈密尔顿图； (D) 设G 是三阶以上简单图，若G 中任意两个不邻接点u 与v ，满足()()d u d v n +≥，则G 是哈密尔顿图。

电子科技大学研究生试卷一．填空题(每题2分，共20分)1．若n 阶单图G 的最大度是∆，则其补图的最小度()G δ=_n −1−∆_； 2．若图111(,)G n m =，222(,)G n m =，则它们的联图12G G G =∨的顶点数=_nn 1+nn 2;边数=mm 1+mm 2+nn 1nn 2；3．G 是一个完全l 部图，i n 是第i 部的的顶点数i=1，2,3,…,l 。

则它的边数为∑nn ii nn jj 1≤ii≤j≤l ；4．下边赋权图中，最小生成树的权值之和为5. 若n G K =,则G 的谱()spec G =�−1n −1n −116. 5个顶点的不同构的树的棵数为__4___;7. 5阶度极大非哈密尔顿图族是CC 1,5,CC 2,5;8. G 为具有二分类(X,Y)的偶图，则G 包含饱和X 的每个顶点的匹配的充分必要条件是|N (S )|≥|S |，对所有S ⊆X 成立9.3阶以上的极大平面图每个面的次数为 3 ;3阶以上的极大外平面图的每 个内部面的次数为__3__;10. n 方体的点色数为___2___;边色数为___n ___。

二．单项选择(每题3分，共12分)1．下面给出的序列中，不是某图的度序列的是( B ) (A) (33323); (B) (12222); (C) (5533); (D) (1333).2．设V(G)={}1,2,3,4,5，{}()(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,1)E G =则图(,)G V E =的补图是（ B3.下列图中，既是欧拉图又是哈密尔顿图的是( B )4.下列说法中不正确的是( C ) (A)每个连通图至少包含一棵生成；(B) 2 3 5 (A) 2 35(B)23 5 (C) 234(D)(C)(D) (A)1(B)k 正则偶图(k>0)一定存在完美匹配； (C)平面图(*)*G G ≅,其中*G 表示G 的对偶图； (D)完全图2n K 可一因子分解。

《图论》期末考试模拟题（答案） ⼀、选择题 1、给定⽆向图如图所⽰，下⾯给出的顶点集⼦集中，是点割集的为（A,B,C,D）。

A. {b, d} B. {d} C. {a, c} D. {g, e} bf 内容需要下载⽂档才能查看 2、设V＝{a,b,c,d},与V能构成强连通图的边集E＝（ A ）。

A. {,,,,} B. {,,,,} C. {,,,,} {,,,,} 3、⼀个连通的⽆向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有⼀条（ B ）。

A. 哈密尔顿回路 B. 欧拉回路 C. 哈密尔顿通路 D. 欧拉通路 4、如图所⽰各图，其中存在哈密顿回路的图是（ A, C ）。

内容需要下载⽂档才能查看 第 1 页共 5 页 图论期末考试题⽬参考 《图论》 5. 下图中既是欧拉图，⼜是哈密尔顿图的有（D）。

5、设G是有5个顶点的完全图，则G（ B ）。

D. ⽆哈密尔顿路 E. 可以⼀笔画出 F. 不能⼀笔画出 G. 是平⾯图 6、设G是连通简单平⾯图，G中有11个顶点5个⾯，则G中的边是（ D ）。

A. 10 B. 12 C. 16 D. 14 ⼆、填空题 1、完全图K8具有（ 28 ）条边。

2、图G如图所⽰， ab fc 那么图G的割点是（ a, f ）。

e d 3、⽆向图G为欧拉图，当且仅当G是连通的，且G中⽆（奇数度）结点。

第 2 页共 5 页 图论期末考试题⽬参考 《图论》 4、连通有向图D含有欧拉回路的充分必要条件是（ D中每个结点的⼊度＝出度）。

5、 n个结点、m条边的⽆向连通图是树当且仅当m=__（3）___。

(1) n+1 (2) n (3) n-1 (4)2n-1 三、 1、设图G=(P,E) 中有12条边，6个度数为3的顶点，其余顶点的度数均⼩于3，求G⾄少有多少个顶点。

解答：设G有n个顶点，由定理1， ∑d i=1nG(vi)=2m=24 (|E|=m) 由题设 24<3×6+3(n?6) ∴ 3n>24 即 n>8 因此，G中⾄少有9个顶点。

图论期末考试题库及答案一、单项选择题1. 图论的创始人是（）。

A. 欧拉B. 莱布尼茨C. 牛顿D. 高斯答案：A2. 在图论中，一个图的顶点集合为空，但边集合不为空的图称为（）。

A. 空图B. 完全图C. 树D. 多重图答案：A3. 如果一个图的任意两个顶点之间都存在一条路径，则称该图为（）。

A. 连通图B. 强连通图C. 弱连通图D. 无环图答案：A4. 在图论中，一个图的边的集合可以划分为若干个不相交的路径，使得图中的每个顶点恰好属于其中一条路径，这样的图称为（）。

A. 欧拉图B. 哈密顿图C. 树答案：C5. 图论中，一个图的边的集合可以划分为若干个不相交的回路，使得图中的每个顶点恰好属于其中一条回路，这样的图称为（）。

A. 欧拉图B. 哈密顿图C. 树D. 环答案：A二、多项选择题1. 下列哪些是图论中的基本术语（）。

A. 顶点B. 边D. 权重答案：ABCD2. 在图论中，以下哪些图是无向图（）。

A. 完全图B. 树C. 多重图D. 有向图答案：ABC3. 图论中，以下哪些图是连通图（）。

A. 完全图B. 树C. 多重图D. 空图答案：ABC三、填空题1. 图论中，一个图的顶点集合为V，边集合为E，那么图可以表示为G=（）。

答案：(V, E)2. 如果一个图的任意两个顶点之间都存在一条路径，则称该图为（）。

答案：连通图3. 在图论中，一个图的边的集合可以划分为若干个不相交的路径，使得图中的每个顶点恰好属于其中一条路径，这样的图称为（）。

答案：树四、简答题1. 请解释什么是图论中的“完全图”？答案：完全图是指图中每一对不同的顶点之间都恰好有一条边相连的图。

在完全图Kn中，n个顶点两两相连，共有n(n-1)/2条边。

2. 请解释什么是图论中的“欧拉路径”和“欧拉回路”？答案：欧拉路径是指图中存在一条路径，该路径恰好经过每条边一次。

欧拉回路是指图中存在一条回路，该回路恰好经过每条边一次。

五、计算题1. 给定一个图G=(V, E)，其中V={A, B, C, D, E}，E={(A, B), (B, C), (C, D), (D, E), (E, A), (A, C)}，请判断该图是否为连通图，并说明理由。

电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第⼀章图的基本概念⼀、重要概念图、简单图、图的同构、度序列与图序列、偶图、补图与⾃补图、两个图的联图、两个图的积图1.1 图⼀个图G定义为⼀个有序对(V, E)，记为G = (V, E)，其中（1）V是⼀个有限⾮空集合，称为顶点集或边集，其元素称为顶点或点；（2）E是由V中的点组成的⽆序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同⼀点对在E中可出现多次。

注：图G的顶点数（或阶数）和边数可分别⽤符号n(G) 和m(G)表⽰。

连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数。

重数⼤于1的边称为重边。

端点重合为⼀点的边称为环。

1.2 简单图⽆环⽆重边的图称为简单图。

（除此之外全部都是复合图）注： 1.顶点集和边集都有限的图称为有限图。

只有⼀个顶点⽽⽆边的图称为平凡图。

其他所有的图都称为⾮平凡图。

边集为空的图称为空图。

2.n阶图：顶点数为n的图，称为n阶图。

3.(n, m) 图：顶点数为n的图，边数为m的图称为(n, m) 图1.3 邻接与关联：顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接(u adj v)；其中u与v称为该边的两个端点。

注：1.规定⼀个顶点与⾃⾝是邻接的。

2.顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点。

3.边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点。

1.4 图的同构设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：u1,v1∈V1,u2,v2∈ V2 ，设u1↔u2，v1↔v2,; u1v1∈E1 当且仅当u2v2∈E2,且u1v1与u2v2的重数相同。

称G1与G2同构，记为：G1≌G2注：1、图同构的两个必要条件： (1) 顶点数相同；(2) 边数相同。

2、⾃⼰空间的理解：通过空间的旋转折叠可以进⾏形态转换1.5 完全图、偶图1、在图论中，完全图是⼀个简单图，且任意⼀个顶点都与其它每个顶点有且只有⼀条边相连接。

效无题院学答内名姓以线封号学密电子科技大学研究生试卷（考试时间：至，共__2_小时）课程名称图论及其应用教师学时60学分教学方式讲授考核日期_2015__年_6__月__26__日成绩考核方式：（学生填写）一．填空题 (每空 3 分，共 15 分)1.不同构的 3 阶简单图的个数为 _____。

2．图 1 中的最小生成树的权值为________。

3.基于图 2 的最优欧拉环游的总权值为__________ 。

4.图 3 中块的个数为_______。

61546321262227433833216图 1图 3图 25.图 4 中强连通分支的个数为________。

图41二．单项选择 (每题 3 分，共 15 分)1．关于图的度序列，下列命题错误的是( ) (A)同构的两个图的度序列相同；(B) 非负整数序列( d1, d2,n, d n ) 是图的度序列当且仅当d i是偶数；i1(C)如果非负整数序列 (d1 , d2 , , d n ) (n 2)是一棵树的度序列，那么序列中至少有两个整数的值为 1；(D). 如果非负整数序列(d1, d2,,d n ) 是简单图的度序列，那么在同构意义下只能确定一个图。

2．关于n阶简单图的邻接矩阵 A (a ij )n n，下列说法错误的是（）(A)矩阵 A 的行和等于该行对应顶点的度数；(B)矩阵所有元素之和等于该图边数的 2 倍；(C)不同构的两个图，它们的邻接矩阵特征谱一定不同；(D)非连通图的邻接矩阵一定可以表示为准对角矩阵形式。

3.关于欧拉图，下面说法正确的是()(A)欧拉图存在唯一的欧拉环游；(B)非平凡欧拉图中一定有圈；(C)欧拉图中一定没有割点；(D)度数为偶数的图一定是欧拉图。

4.关于哈密尔顿图，下列命题错误的是()(A)设G是n3的简单图，若其闭包是完全图，则G 是哈密尔顿图；(B)若 n 阶单图的闭包不是完全图，则它一定是非哈密尔顿图；2(C) 若G 是哈密尔顿图，则对于V 的每个非空顶点子集S ，均有(G S) S ；(D)若 G 是n 3的非 H 单图，则 G 度弱于某个C m,n图。

习题一(yangchun)：4.证明下面两图同构。

证明:作映射f : v i ↔ u i (i=1,2….10)容易证明，对∀v i v j ∈E ((a)),有f (v i v j,),=,u i,u j,∈,E,((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。

5.证明：四个顶点的非同构简单图有11个。

证明：设四个顶点中边的个数为m ，则有： m=0:m=1 ：m=2：m=3：m=4：(a)v 234(b)m=5：m=6：因为四个顶点的简单图最多就是具有6条边，上面所列出的情形是在不同边的条件下的不同构的情形，则从上面穷举出的情况可以看出四个顶点的非同构简单图有11个。

11.证明：序列（7,6,5,4,3,3,2）和（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。

证明：由于7个顶点的简单图的最大度不会超过6，因此序列（7,6,5,4,3,3,2）不是图序列；（6,6,5,4,3,3,1）是图序列1112312(1,1,,1,,,)d d n d d d d d π++=--- 是图序列（5,4,3,2,2,0）是图序列，然而（5,4,3,2,2,0）不是图序列，所以（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。

●12.证明：若，则包含圈。

证明：下面仅对连通图的下的条件下进行证明，不连通的情形可以通过分成若干个连通的情形来证明。

设,对于中的路若与邻接，则构成一个闭路。

若是一条路，由于，因此，对于，存在与之邻接，则构成一个圈。

●17.证明：若G 不连通，则连通。

证明：对于任意的,若与属于G 的连通分支，显然与在中连通；若与属于的同一连通分支，则与分别在中连通，因此，与在中连通。

18.证明：若,则.证明：若为的割边，则=，若为的非割边，则=，所以，若，则有.。