离散数学图论习题

离散数学图论单元测验题一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1、在图G ＝<V ,E >中，结点总度数与边数的关系是( )(A) deg(v i )=2∣E ∣ (B) deg(v i )=∣E ∣ (C)∑∈=V v E v 2)deg( (D) ∑∈=Vv E v )deg(2、设D 是n 个结点的无向简单完全图，则图D 的边数为( )(A) n (n －1) (B) n (n +1) (C) n (n －1)/2 (D) n (n +1)/23、 设G ＝<V ,E >为无向简单图，∣V ∣=n ，∆(G )为G 的最大度数，则有(A) ∆(G )<n (B)∆(G )≤n (C) ∆(G )>n (D) ∆(G )≥n4、图G 与G '的结点和边分别存在一一对应关系，是G ≌G '(同构)的( )(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件5、设},,,{d c b a V =，则与V 能构成强连通图的边集合是( )(A) },,,,,,,,,{><><><><><=c d b c d b a b d a E(B) },,,,,,,,,{><><><><><=c d d b c b a b d a E(C) },,,,,,,,,{><><><><><=c d a d c b a b c a E6、有向图的邻接矩阵中，行元素之和是对应结点的( )，列元素之和是对应结点的() (A)度数 (B) 出度 (C)最大度数 (D) 入度7、设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．3D ．48、设m E n V E V G ==>=<,,,为连通平面图且有r 个面，则r ＝( )(A) m －n +2 (B) n －m －2 (C) n +m -2 (D) m +n +29、在5个结点的二元完全树中，若有4条边，则有 ( )片树叶。

§5.5 欧拉图与哈密尔顿图习题5.51．判断图5.31中哪些图是欧拉图那些图不是。

对不是欧拉图的至少要加多少条新边才能成为欧拉图？对是欧拉图的，用Fleury算法求出欧拉回路。

图5.31 习题1的图解：（a）是欧拉图。

如下图为顶点号和边的标记，则欧拉回路为（e1,e2,e6,e10,e12,e11,e7,e8,e9,e5,e4,e3）e645e106 e117 e12 8。

（b）不是欧拉图。

需要加4条新边才能成欧拉回路。

（c）是欧拉图。

如下图为顶点号和边的标记，则欧拉回路为（1，2，3，4，5，6，1，8，7，10，11，7，9，1）236 5 4（d）不是欧拉图。

需要加2条新边才能成欧拉回路。

2．画一个欧拉图，使它具有：（1）偶数个顶点，偶数条边。

（2）奇数个顶点，奇数条边。

（3）偶数个顶点，奇数条边。

（4）奇数个顶点，偶数条边。

解 四个图按顺序分别如下：3．在k （k ≥2）个长度大于或等于3的无公共点的环型图之间至少加多少条边才能使它们组成一个简单欧拉图。

解：环形图中每个点的度是2,要形成欧拉回路，就要使新图是一个连通图，并且每个点的度仍保度偶数，因此，要让新图是欧拉图，则至少要加k 条边。

4．证明：可以从连通图中任意一点出发，经过这个图中每条边恰好两次，回到出发点。

解 将每条边都增加一条平行边，则得到一个多重图，此多重图的每个顶点的度数都是偶数，所以存在欧拉闭迹。

在欧拉闭迹中，将经过平行边改成第二次经过原来的边，定理即得证。

5．完全图p K 是欧拉图吗？是哈密尔顿图吗？完全二部图n m K ,是欧拉图吗？是哈密尔顿图吗？解 （1）K p ⎩⎨⎧不是欧拉图是欧拉图 为偶数时当为奇数时当p p K p （p ≥3）为哈密尔顿图（（v 1，v 2，v 3，……，v p ）即是一个哈密尔顿回路）。

（2）因为K m,n 中顶点的度数要么为m ，要么为n ，所以K m,n ⎩⎨⎧不是欧拉图是欧拉图 为奇数时或当为偶数时和当n m n m因为K m,n 的顶点数为m+n ，而任意两点的度数之和为2m 或2n 或m+n 。

§5.2 图的连通性习题5.21．证明或否定：（1）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的通路，则G 中有基本回路。

（2）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的基本通路，则G 中有基本回路。

解：（1）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的通道，则G 中有回路。

（2）简单图G 中有从点u 到点v 的两条不同的路，则G 中有回路。

解 （1）不一定：如下图，点1与点3之间有两条通道：（1、2、3）和（1、2、1、2、3），但图中没有回路。

（2）一定：设两条路分别为),,,,,(211v x x x u L m =和),,,,,(212v y y y u L n =。

若对m i ≤≤1，n j ≤≤1有j i y x ≠，则),,,,,,,,,,(12121u y y y y v x x x u n n m -是一条回路。

否则假设l k y x =且是离u 最近的一对（即对k i ≤≤1，l j ≤≤1，不存在j i y x =），则),,,,,,,,,(12121v y y y x x x u l k -是一条回路。

2．设G 是简单图，)(G δ≥2，证明G 中存在长度大于或等于1)(+G δ的基本回路。

证：以图G 中一点v 1出发，与之相邻的点设为v 2，由于)(G δ≥2，则v 2至少还有一个邻接点，设为v 3，若v 3与v 1邻接，则形成长度为1)(+G δ的基本回路，则若v 3不与v 1邻接，则至少还有一个邻接点，设为v 4，若v 4与v 1或v 2邻接，则形成长度为大于或等于1)(+G δ的基本回路，若v 4与v 1和v 2都不邻接，至少还有一个邻接点，设为v 5，…，依次类推，一定可以到达最后一个顶点v i ，由于)(G δ≥2，则除了v i -1外，一定会与前面的某个顶点邻接，就会形成长度为大于或等于1)(+G δ的基本回路。

3．证明：若连通图G 不是完全图，则G 中存在三个点w v u ，，，使E v u ∈)(，，E w v ∈)(，，E w u ∉)(，。

离散数学图论答案【篇一：离散数学图论习题】综合练习一、单项选择题1．设l是n阶无向图g上的一条通路，则下面命题为假的是( )． (a) l可以不是简单路径，而是基本路径 (b) l可以既是简单路径,又是基本路径 (c) l可以既不是简单路径，又不是基本路径 (d) l可以是简单路径，而不是基本路径答案：a2．下列定义正确的是( )．(a) 含平行边或环的图称为多重图(b) 不含平行边或环的图称为简单图 (c) 含平行边和环的图称为多重图(d) 不含平行边和环的图称为简单图答案：d3．以下结论正确是 ( )．(a) 仅有一个孤立结点构成的图是零图 (b) 无向完全图kn每个结点的度数是n (c) 有n(n1)个孤立结点构成的图是平凡图(d) 图中的基本回路都是简单回路答案：d4．下列数组中，不能构成无向图的度数列的数组是( )． (a)(1,1,1,2,3) (b) (1,2,3,4,5) (c) (2,2,2,2,2) (d) (1,3,3,3) 答案：b5．下列数组能构成简单图的是( )． (a) (0,1,2,3)(b) (2,3,3,3)(c) (3,3,3,3)(d) (4,2,3,3) 答案：c6．无向完全图k3的不同构的生成子图的个数为（）． (a) 6 (b)5(c) 4 (d) 3 答案：c7．n阶无向完全图kn中的边数为（）．(a)n(n?1)n(n?1)(b) (c) n (d)n(n+1) 22答案：b8．以下命题正确的是( )．(a) n(n?1)阶完全图kn都是欧拉图(b) n(n?1)阶完全图kn都是哈密顿图(c) 连通且满足m=n－1的图v,e(?v?=n,?e?=m)是树 (d) n(n?5)阶完全图kn都是平面图答案：c10．下列结论不正确是( )．(a) 无向连通图g是欧拉图的充分必要条件是g不含奇数度结点(b) 无向连通图g有欧拉路的充分必要条件是g最多有两个奇数度结点 (c) 有向连通图d是欧拉图的充分必要条件是d的每个结点的入度等于出度(d) 有向连通图d有有向欧拉路的充分必要条件是除两个结点外，每个结点的入度等1于出度答案：d11．无向完全图k4是（）．（a）欧拉图（b）哈密顿图（c）树答案：b12．有4个结点的非同构的无向树有 ( )个．(a) 2 (b) 3(c) 4(d) 5 答案：a13．设g是有n个结点，m条边的连通图，必须删去g的( )条边，才能确定g的一棵生成树．(a) m?n?1 (b) n?m (c) m?n?1 (d) n?m?1 答案：a14．设g是有6个结点的完全图，从g中删去( )条边，则得到树． (a) 6 (b) 9 (c) 10 (d) 15 答案：c二、填空题1．数组{1，2，3，4，4}是一个能构成无向简单图的度数序列，此命题的真值是 . 答案：02．无向完全图k3的所有非同构生成子图有个．答案：43．设图g??v,e?，其中?v??n,?e??m．则图g是树当且仅当g是连通的，且m?．答案：n－14．连通图g是欧拉图的充分必要条件是答案：图g无奇数度结点 5．连通无向图g有6个顶点9条边，从g中删去g的一棵生成树t．答案：46．无向图g为欧拉图，当且仅当g是连通的，且g中无答案：奇数度7．设图g??v,e?是简单图，若图中每对结点的度数之和，则g一定是哈密顿图．答案：?8．如图1所示带权图中最小生成树的权是．答案：12三、化简解答题1．设无向图g＝v,e，v={v1，v2，v3，v4，v5，v6}， e={( v1，v2), ( v2，v2), ( v4，v5), ( v3，v4), ( v1，v3),( v3，v1), ( v2，v4)}． (1) 画出图g的图形；2图15图22(2) 写出结点v2, v4，v6的度数； (3) 判断图g是简单图还是多重图．解：(1) 图g的图形如图5所示．(2) deg(v2)?4,deg(v4)?3,deg(v6)?0．(3) 图g是多重图．作图如图2. 2．设图g＝v，e，其中v＝{a,b,c,d,e}, e={(a,b),(b,c),(c,d), (a,e)}试作出图g的图形，并指出图g是简单图还是多重图？是连通图吗？说明理由.b e解：图g如图8所示．. 图g中既无环，也无平行边，是简单图． cd 图g是连通图．g中任意两点都连通.图3所以，图g有9个结点．作图如图3．四、计算题1．设简单连通无向图g有12条边，g中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求g中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．解：设图g有x个结点，由握手定理2?1+2?2+3?4+3?（x?2?2?3）＝12?23x?24?21?18?27x＝9 故图g有9个结点．图4满足该条件的简单无向图如图4所示2．设图g(如图5表示)是6个结点a,b,c, d,e,f的图，试求，图g的最小生成树，并计算它的权．c 解：构造连通无圈的图，即最小生成树，用克鲁斯克尔算法：第一步：取ab＝1；第二步：取af=4第三步：取fe＝3；第四步：取ad=9图5 第五步：取bc=23如图6．权为1+4+3+9+23=403．一棵树t有两个2度顶点，1个3度顶点；3个4问它有几片树叶？解：设t有n顶点，则有n－1条边．t中有2个 2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，其余n－2－1-3个1度顶点．五、证明题1．若无向图g中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．证：用反证法．设g中的两个奇数度结点分别为u和v．假若u和v不连通．即它们之间无任何通路，则g至少有两个连通分支g1，g2，且u和v分别属于g1和g2，于是g1和g2各含有一个奇数度结点．这与握手定理的推论矛盾．因而u和v一定是连通的．3【篇二：离散数学图论练习题】题1、设g是一个哈密尔顿图，则g一定是()。

作业答案：图论部分P165:习题九1、 给定下面4个图（前两个为无向图，后两个为有向图）的集合表示，画出它们的图形表示。

（1）111,G V E =<>，112345{,,,,}V v v v v v =，11223343345{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （2）222,G V E =<>，21V V =，11223344551{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （3）13331,,,D V E V V =<>=31223324551{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> （4）24441,,,D V E V V =<>=31225523443{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> 解答： （1）（2）10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图？若有，则画出一个这样的图。

（1）5，5，3，2，2；（2）3，3，3，3，2；（3）1，2，3，4，5；（4）4，4，4，4，4 解答：（1）（3）不存在，因为有奇数个奇度顶点。

14、设G 是(2)n n ≥阶无向简单图，G 是它的补图，已知12(),()G k G k δ∆==，求()G ∆，()G δ。

解答：2()1G n k ∆=--；1()1G n k δ=--。

15、图9.19中各对图是否同构？若同构，则给出它们顶点之间的双射函数。

解答：（c ）不是同构，从点度既可以看出，一个点度序列为4，3，3，3，3而另外一个为4，4，3，3，1（d ）同构，同构函数为12()345x a x bf x x c x d x e=⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪=⎪=⎪⎩ 16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。

离散数学习题解答 习题六 （第六章 图论）1．从日常生活中列举出三个例子，并由这些例子自然地导出两个无向图及一个向图。

[解] ①用V 代表全国城市的集合，E 代表各城市间的铁路线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是全国铁路交通图。

是一个无向图。

②V 用代表中国象棋盘中的格子点集，E 代表任两个相邻小方格的对角线的集合，则所成之图G=（V ，E ）是中国象棋中“马”所能走的路线图。

是一个无向图。

③用V 代表FORTRAN 程序的块集合，E 代表任两个程序块之间的调用关系，则所成之图G+（V ，E ）是FORTRAN 程序的调用关系图。

是一个有向图。

2．画出下左图的补图。

[解] 左图的补图如右图所示。

3．证明下面两图同构。

a v 2 v 3 v 4图G图G ′[证] 存在双射函数ϕ:V →V ′及双射函数ψ : E →E ′ϕ (v 1)=v 1′ ϕ (v 1，v 2)=(v 1′，v 2′) ϕ (v 2)=v 2′ ϕ (v 2，v 3)=(v 2′，v 3′) ϕ (v 3)=v 3′ ϕ (v 3，v 4)=(v 3′，v 4′) ϕ (v 4)=v 4′ ϕ (v 4，v 5)=(v 4′，v 5) ϕ (v 5)=v 5′ ϕ (v 5，v 6)=(v 5′，v 6′) ϕ (v 6)=v 6′ϕ (v 6，v 1)=(v 6′，v 1′) ϕ (v 1，v 4)=(v 1′，v 4′) ϕ (v 2，v 5)=(v 2′，v 5′) ϕ (v 3，v 6)=(v 3′，v 6′)显然使下式成立：ψ (v i ，v j )=(v i ,v j ′)⇒ ϕ (v i )=v i ′∧ϕ (v j )=v j ′ (1≤i ·j ≤6) 于是图G 与图G ′同构。

4．证明（a ），（b ）中的两个图都是不同构的。

图G 中有一个长度为4的圈v 1v 2v 6v 5v 1，其各顶点的度均为3点，而在图G ′中却没有这样的圈，因为它中的四个度为3的顶点v 1'，v 5'，v 7'，v 3'不成长度的4的圈。

离散数学考试题及答案一、选择题1. 关于图论的基本概念，以下哪个说法是正确的？A. 无向图中的边无方向性，有向图中的边有方向性。

B. 有向图中的边无方向性，无向图中的边有方向性。

C. 无向图和有向图都是由顶点和边组成的。

D. 无向图和有向图都只由边组成。

答案：A2. “若顶点集合为V，边集合为E，那么图G可以表示为G(V, E)”是关于图的哪个基本概念的描述？A. 图的顶点B. 图的边C. 图的邻接D. 图的表示方法答案：D3. 以下哪个命题是正确的？A. 若集合A和B互相包含，则A和B相等。

B. 若集合A和B相交为空集，则A和B相等。

C. 若集合A和B相等，则A和B互相包含。

D. 若集合A和B相等，则A和B相交为空集。

答案：C二、填空题1. 有一个集合A = {1, 2, 3, 4}，则集合A的幂集的元素个数为__________。

答案：162. 设A = {a, b, c}，B = {c, d, e}，则集合A和B的笛卡尔积为__________。

答案：{(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, c), (c, d), (c, e)}3. 若p为真命题，q、r为假命题，则合取范式(p ∨ q ∨ r)的值为__________。

答案：真三、计算题1. 计算集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {3, 4, 5, 6}的交集、并集和差集。

答案：交集：{3, 4}并集：{1, 2, 3, 4, 5, 6}差集：{1, 2}2. 计算下列命题的真值：(~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)，其中p为真命题，q为假命题。

答案：真四、证明题证明：对于任意集合A和B，如果A和B互相包含，则A和B相等。

证明过程：假设A和B互相包含，即A包含于B且B包含于A。

设x为集合A中的任意元素，则x也必然存在于集合B中，即x属于B。

同理，对于集合B中的任意元素y，y也属于集合A。

离散数学图论部分综合练习一、单项选择题1．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010*******11100100110则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．32．已知图G 的邻接矩阵为， 则G 有（ ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边3．设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(4．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a , d )}是割边 B ．{(a , d )}是边割集 C ．{(d , e )}是边割集 D ．{(a, d ) ,(a, c )}是边割集5．如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A ．e 是割点 B ．{a, e }是点割集 C ．{b , e }是点割集 D ．{d }是点割集6．如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ．A ．{(a, e )}是割边B ．{(a, e )}是边割集C ．{(a, e ) ,(b, c )}是边割集D ．{(d , e )}是边割集οο ο ο οca b edο f图一图二图三7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 ( )．图四A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的 应该填写：D8．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ ）时，K n 中存在欧拉回路．A ．m 为奇数B ．n 为偶数C ．n 为奇数D ．m 为偶数 9．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )．A ．e －v ＋2B ．v ＋e －2C ．e －v －2D ．e ＋v ＋2 10．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点11．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．A ．1m n -+B ．m n -C ．1m n ++D ．1n m -+ 12．无向简单图G 是棵树，当且仅当( )．A ．G 连通且边数比结点数少1B ．G 连通且结点数比边数少1C ．G 的边数比结点数少1D ．G 中没有回路．二、填空题1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割ο οο οc a b f集是 ．3．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路， 则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点 数|S|与W 满足的关系式为 ．4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通 且 ．5．设有向图D 为欧拉图，则图D 中每个结点的入度 ． 应该填写：等于出度6．设完全图K n 有n 个结点(n 2)，m 条边，当 时，K n 中存在欧拉回路．7．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 ．8．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 ． 9．结点数v 与边数e 满足 关系的无向连通图就是树．10．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去 条边后使之变成树．11．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 ．12．设G ＝<V , E >是有6个结点，8条边的连通图，则从G 中删去 条边，可以确定图G 的一棵生成树．13．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．三、判断说明题1．如图六所示的图G 存在一条欧拉回路．2．给定两个图G 1，G 2（如图七所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．v 123图六图七3．判别图G (如图八所示)是不是平面图， 并说明理由．4．设G 是一个有6个结点14条边的连 通图，则G 为平面图．四、计算题1．设图G =<V ，E >，其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={<a 1, a 2>，<a 2, a 4>，<a 3, a 1>，<a 4, a 5>，<a 5, a 2>}（1）试给出G 的图形表示； （2）求G 的邻接矩阵；（3）判断图G 是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？2．设图G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1, v 2)，(v 1, v 3)，(v 2, v 3)，(v 2, v 4)，(v 3, v 4)，(v 3, v 5)，(v 4, v 5) }，试（1）画出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（2）求出每个结点的度数； （4）画出图G 的补图的图形． 3．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试（1）给出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵； （3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形． 4．图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵；（3）求出G 权最小的生成树及其权值．5.用Dijkstra 算法求右图中A 点到其它各点的最短路径。