2004图论复习题答案

离散数学图论部分综合练习一、单项选择题1．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．32．已知图G 的邻接矩阵为， 则G 有（ ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边3．设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )．A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(4．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ．A ．{(a , d )}是割边B ．{(a , d )}是边割集C ．{(d , e )}是边割集D ．{(a, d ) ,(a, c )}是边割集5．如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A ．e 是割点 B ．{a, e }是点割集 C ．{b , e }是点割集 D ．{d }是点割集6．如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, e )}是割边 B ．{(a, e )}是边割集ο ο ο ο οcab edο f图一图二C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集D．{(d, e)}是边割集图三7．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图四所示，则下列结论成立的是( )．图四A．（a）是强连通的B．（b）是强连通的C．（c）是强连通的D．（d）是强连通的应该填写：D8．设完全图Kn 有n个结点(n≥2)，m条边，当（）时，Kn中存在欧拉回路．A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m 为偶数9．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v ＋210．无向图G存在欧拉通路，当且仅当( )．A．G中所有结点的度数全为偶数B．G中至多有两个奇数度结点C．G连通且所有结点的度数全为偶数D．G连通且至多有两个奇数度结点11．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树．A．1m n-+B．m n-C．1m n++D．1n m-+ 12．无向简单图G是棵树，当且仅当( )．A．G连通且边数比结点数少1 B．G连通且结点数比边数少1C ．G 的边数比结点数少1D ．G 中没有回路．二、填空题1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割 集是 ．3．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路， 则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为 ．4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通 且 ．5．设有向图D 为欧拉图，则图D 中每个结点的入度 ． 应该填写：等于出度6．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当 时，K n 中存在欧拉回路．7．设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 ．8．设连通平面图G 的结点数为5，边数为6，则面数为 ．9．结点数v 与边数e 满足 关系的无向连通图就是树．10．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去条边后使之变成树．11．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 ．12．设G ＝<V , E >是有6个结点，8条边的连通图，则从G 中删去 条边，可以确定图G 的一棵生成树．13．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码．三、判断说明题1．如图六所示的图G 存在一条欧拉回路．ο οο ο οca b e dο f 图四2．给定两个图G 1，G 2（如图七所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由． （2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．图七3．判别图G (如图八所示)是不是平面图， 并说明理由．4．设G 是一个有6个结点14条边的连 通图，则G 为平面图．四、计算题1．设图G =<V ，E >，其中V ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5},E ={<a 1, a 2>，<a 2, a 4>，<a 3, a 1>，<a 4, a 5>，<a 5, a 2>}（1）试给出G 的图形表示； （2）求G 的邻接矩阵；（3）判断图G 是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？ 2．设图G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1, v 2)，(v 1, v 3)，(v 2, v 3)，(v 2, v 4)，(v 3, v 4)，(v 3, v 5)，(v 4, v 5) }，试（1）画出G 的图形表示； （2）写出其邻接矩阵； （2）求出每个结点的度数； （4）画出图G 的补图的图形．3．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试v 1v 2v 3v 4v 5v 6v 1v 2v 3v 5 d bae f ghn图六οοο ο οv 5v 1 v 2 v 4v 6 ο v 3图八（1）给出G的图形表示；（2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数；（4）画出其补图的图形．4．图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b,d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形；（2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值．5.用Dijkstra算法求右图中A点到其它各点的最短路径。

图论课后习题答案图论是数学中的一个分支，主要研究图的结构和性质。

图论的课后习题通常包括证明题、计算题和应用题。

下面给出一些典型的图论课后习题答案：1. 证明题：证明一个图是连通的当且仅当它的任意两个顶点都存在一条路径相连。

答案：首先定义连通图的概念：一个图是连通的，如果对于任意两个顶点，都存在一条路径将它们连接起来。

接下来，我们证明两个方向：- 如果一个图是连通的，那么对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，根据定义，必然存在一条路径\( P \)将它们连接起来。

- 反之，如果对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，都存在一条路径将它们连接起来，那么我们可以构造一个从任意顶点\( u \)出发，访问图中所有顶点的路径，这表明图是连通的。

2. 计算题：给定一个有\( n \)个顶点的完全图，计算它的边数。

答案：在完全图中，每个顶点都与其他所有顶点相连。

因此，对于一个顶点，它将与\( n-1 \)个其他顶点相连。

但是，每条边被计算了两次（因为它连接了两个顶点），所以边数应该是\( \frac{n(n-1)}{2} \)。

3. 应用题：在一个社交网络中，每个用户可以与其他人建立联系。

如果一个用户与至少一半的用户建立了联系，那么这个社交网络是连通的吗？答案：是的，这个社交网络是连通的。

假设社交网络中有\( n \)个用户，如果一个用户与至少\( \lceil \frac{n}{2} \rceil \)个用户建立了联系，那么我们可以构造一条从任意用户\( u \)到这个中心用户的路径。

由于中心用户与至少一半的用户建立了联系，我们可以继续通过这些联系到达其他用户，从而证明社交网络是连通的。

4. 证明题：证明在任何图中，边数至少是顶点数减一。

答案：考虑一个图的生成树，它是一个最小的连通子图，包含图中的所有顶点，并且没有环。

在生成树中，边数等于顶点数减一。

由于任何图都至少包含一个生成树，因此原图的边数至少与生成树的边数相同，即至少是顶点数减一。

图论习题考研习题与经典习题2004-5⏹一、握手定理的应用⏹二、平面图、欧拉公式的应用⏹三、图的基本概念与应用⏹四、欧拉图和哈密顿图⏹五、图的着色一、握手定理的应用⏹1. 已知具有n个度数都为3的结点的简单图G有e条边，⏹（1）若e=3n-6，证明G在同构意义下唯一，并求e，n。

⏹（2）若n=6，证明G在同构意义下不唯一。

⏹提示：握手定理（北师大2000考研）⏹解：⏹（1）由握手定理，3n=2e; 因为e=3n-6，所以n=4，e=6。

这样的图是完全图K4，所以在同构的意义下唯一。

⏹（2）由握手定理，3*6=2e；e=9。

在同构的意义下不唯一。

⏹2. 无向图G有21条边，12个结点度数为3，其余结点度数为2，求G的顶点数。

⏹提示：握手定理（北大2001考研）⏹解：⏹3. 已知n个结点的简单图G有e条边，各结点度数为3，2n=e+3。

试画出满足条件的所有不同构的G。

⏹提示：握手定理（西南交大2000考研/北京大学1990考研）⏹参考1(2)⏹解：由握手定理，e=(3n/2)；由已知，e=2n-2；所以n=6，e=9。

⏹在同构意义下G不是唯一的。

⏹4. 设树T有17条边，12片树叶，4个4度内结点，1个3度内结点，求T的树根的度数。

⏹（提示：握手定理。

北大1997考研）⏹解：结点数为17+1=18由握手定理，12*1+4*4+1*3+1*l=34, l=3.⏹5. 设无向树T有3个3度，2个2度结点，其余结点都是树叶，问T有几片树叶？⏹握手定理⏹6. 证明：在任何两个或两个以上人的组内，存在两个人在组内有相同个数的朋友。

⏹/*等价于：至少有两个顶点的简单图有两个相同度数的顶点⏹/*中国科学院自动化所1998考研二、平面图、欧拉公式的应用⏹1，关于平面图的不等式的证明欧拉公式及其推论的运用⏹2，非平面图的判定应用库拉托斯基定理⏹1. 设G是n个结点的连通简单平面图，若n≥3，则G中必有一个结点度数不超过5。

习题十1. 设G 是一个(n ，m)简单图。

证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。

证明：（1）先证结论：因为G 是简单图，所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。

根据握手定理，G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。

（2） =〉G 是完全图 因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。

所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。

G 是完全图 =〉 因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数 。

■2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。

证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。

与题设m = n+1，矛盾。

因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。

■3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2） （3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5）解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。

因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。

可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。

最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。

下面以（2）为例说明：(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。

图论习题答案
《图论习题答案》
图论作为数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

在学习
图论的过程中，我们常常会遇到各种各样的习题，通过解答这些习题可以帮助
我们更好地理解图论的知识。

下面就让我们来看一些图论习题的答案吧。

1. 问：一个图中有多少条边？
答：一个图中的边数可以通过计算每个顶点的度数之和再除以2来得到。

2. 问：一个图中有多少个连通分量？
答：一个图中的连通分量可以通过使用深度优先搜索或广度优先搜索来求得。

3. 问：一个图中是否存在欧拉回路？
答：一个图中存在欧拉回路的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数。

4. 问：一个图中是否存在哈密顿回路？
答：一个图中存在哈密顿回路的判定是一个NP难题，目前还没有有效的多项式时间算法。

5. 问：一个图中的最小生成树有多少条边？
答：一个图中的最小生成树的边数恰好等于顶点数减一。

通过解答这些图论习题，我们可以更好地掌握图论的基本概念和算法。

图论不
仅在数学领域有着重要的应用，而且在计算机科学、电信网络等领域也有着广
泛的应用。

因此，熟练掌握图论知识对我们的学习和工作都有着重要的意义。

希望通过本文的分享，能够帮助大家更好地理解图论知识，提高解决问题的能力。

同时也希望大家在学习图论的过程中能够多多练习，勇于挑战各种各样的
图论习题，不断提升自己的图论水平。

祝大家在图论的学习道路上取得更大的
进步！。

习题一1.一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。

若每点的度数为3,则总度数为27,与图的总度数总是偶数的性质矛盾。

若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，度数总是偶数的性质矛盾。

2. 若存在孤立点，则m不超过K n-i的边数,故m <= (n-1)( n-2)/2,与题设矛盾。

3.记a i为结点v i的正度数，a；为结点v i的负度数，则n na i 2「［(n-1)-a「］2二n(n-1)2i 4 i』n因为Z a；=c2 = n(n—1)/2,所以i =14.用向量(a i,a2,a3)表示三个量杯中水的量，其中a i为第i杯中水的量,i = 1,2,3.以满足a1+a2+a3 = 8 (a1,a2,a3为非负整数)的所有向量作为各结点，如果⑻砂厲)中某杯的水倒满另一杯得到(a' a' a'),则由结点到结点画一条有向边。

这样可得一个有向图。

本题即为在此图中找一条由(8, 0, 0 )到(4, 4, 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条：5.可以。

7.同构。

同构的双射如下:V V1V2V3V4V5V6f (V)b a c e d f8.记e1=(V1,V2), e2= ( V1,V4), e3=(V3,V1), e4=(V2,V5), e5=(V6,V3), e6=(V6,V4), e7=(V5,V3), e8=(V3,V4), e9 =(V6,V1),贝y-0 1 0 1 0 01-'1 1 -1 0 0 0 0 0 -110 0 0 0 1 0 _ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 邻接矩阵为： 1 0 0 1 0 0 关联矩阵为：0 0 1 0 _ 1 0 _ 1 1 00 0 0 0 0 0 ,0 _ 1 0 0 0 _ 1 0 -1 00 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 01 0 1 1 0 0一[0 0 0 0 1 1 0 0 1一从而总度数为奇数，仍与图的总n n-2(n-1)二a j a j ,i A i =n n亠2 人•一2' a j a j 。

图论测试题及答案一、选择题1. 在图论中，如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图一定存在欧拉路径吗？A. 是的B. 不一定C. 没有欧拉路径D. 无法确定答案：B2. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有顶点的回路C. 经过图中某些顶点的路径D. 经过图中某些顶点的回路答案：A3. 如果一个图是完全图，那么它的边数是多少？A. 顶点数的一半B. 顶点数的平方C. 顶点数的两倍D. 顶点数减一答案：B二、填空题4. 在无向图中，如果存在一条路径，使得每个顶点只被经过一次，并且起点和终点相同，这样的路径被称为________。

答案：欧拉回路5. 图论中的二分图是指图中的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一个集合内的顶点之间没有边，而不同集合之间的顶点之间有边，这种图也被称为________。

答案：二部图三、简答题6. 请简述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的一种算法。

答案：最短路径问题是在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。

解决该问题的一种算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm），该算法通过维护一个顶点集合来记录已经找到最短路径的顶点，并迭代更新距离，直到找到从起点到所有顶点的最短路径。

7. 描述图论中的图着色问题，并说明其在实际生活中的应用。

答案：图着色问题是将图的顶点着色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同。

在实际生活中，图着色问题可以应用于时间表的安排、频率分配、电路设计等领域，其中每个顶点代表一个任务或频道，而颜色则代表不同的时间段或频率。

结束语：以上是图论测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握图论的基本概念和算法。

图论试题及答案解析图片一、选择题1. 图论中，图的基本元素是什么？A. 点和线B. 点和面C. 线和面D. 点和边答案：A2. 在无向图中，如果两个顶点之间存在一条边，则称这两个顶点是：A. 相邻的B. 相连的C. 相等的D. 相异的答案：A3. 在有向图中，如果从顶点A到顶点B有一条有向边，则称顶点A是顶点B的：A. 父顶点B. 子顶点C. 邻接顶点D. 非邻接顶点答案：B4. 一个图的度是指：A. 图中顶点的总数B. 图中边的总数C. 一个顶点的边数D. 图的连通性答案：C5. 一个图是连通的，当且仅当：A. 图中任意两个顶点都是相邻的B. 图中任意两个顶点都可以通过边相连C. 图中任意两个顶点都可以通过路径相连D. 图中任意两个顶点都可以通过子顶点相连答案：C二、填空题1. 在图论中，一个顶点的度数是该顶点的________。

答案：边数2. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过边相连，则称该图为________。

答案：完全图3. 一个图中，如果存在一个顶点到其他所有顶点都有边相连，则称该顶点为________。

答案：中心顶点4. 图论中，最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的________。

答案：最短路径5. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过有向路径相连，则称该图为________。

答案：强连通图三、简答题1. 请简述图论中的欧拉路径和哈密顿路径的定义。

答案：欧拉路径是指在图中经过每条边恰好一次的路径，而哈密顿路径是指在图中经过每个顶点恰好一次的路径。

2. 什么是图的着色问题？答案：图的着色问题是指将图中的顶点用不同的颜色进行标记，使得相邻的两个顶点颜色不同。

四、计算题1. 给定一个无向图G，顶点集为{A, B, C, D, E}，边集为{AB, BC, CD, DE, EA}，请画出该图，并计算其最小生成树的权重。

答案：首先画出图G的示意图，然后使用克鲁斯卡尔算法或普里姆算法计算最小生成树的权重。