三 直线的参数方程
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选修4-4 第五节几种常见的参数方程
x＝1＋2cos t， (0≤t≤π)，把它化为普通 y＝－2＋2sin t
方程，并判断该曲线表示什么图形．
所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
例2
已知圆的普通方程为
x2＋y2＋2x－6y＋9＝0， 将它化为参
轴上，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1， 25 16 x＝4cos θ ， 故参数方程为 (θ 为参数)． y＝5sin θ
y2
x2
（x－1）2 （y＋2）2 1． 写出圆锥曲线 ＋ ＝1 的 3 5
例1
x＝5＋3t， 设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(1)求直线的普通方程； (2)化参数方程为标准形式．
解析：(1) 4x＋3y－50＝0.
3 4 4 k tan (2) 3 cos α ＝－ ，sin α ＝ . 5 5 3 x＝5－ u， 5 则参数方程的标准形式为： 4 y＝10＋ u. 5
例 3 已知直线 l 的方程为 3x－4y＋1＝0，点 P(1，1)在 直线 l 上，写出直线 l 的参数方程，并求点 P 到点 M(5，4)和 点 N(－2，6)的距离．
3 解析：由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为 ，设直线的 4 3 3 4 则 tan α ＝ ，sin α ＝ ，cos α ＝ . 4 5 5
制作人：葛海泉
课前预习
1.பைடு நூலகம்线的参数方程
x＝x0＋tcosα ， 1． 经过点 M0(x0， y0)， 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 y＝y0＋tsinα
(t 为参数)．
t0
直线的参数方程(最全)
则 t 的几何意义：t=M0M
t>0
M 在 M0 的上方
t=0 M 与 M0 重合
t<0
M 在 M0 的下方
非标准形式 一般说来，t 不具有上述 几何意义
x x0 at
y
y0
bt
(t 为参数)
表示过定点（x0，y0），斜率
为 b 的直线的参数方程
a
例1
已知直线 L 过点 M0（4，0），倾为
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
设: a = cos; b sin; a2 b2t t,则
a2 b2
a2 b2
x y
x0 y0
tcos（t为参数） tsin
当b 0时，t有上述的几何意义。
基础训练
1
直线
x y
2t 1
sin 200 t cos 200
直线的参数方程
2020/7/4
请同学们回忆:
直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0) y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
一般式: Ax By C 0
法线式： Ax By C 0 （直线l的法向量（A,B））
t cos t sin
（t为参数）
思考
由M0M te,你能得到直线l的参数方程中
参数t的几何意义吗？
解: M0M te M0M te
y M
又 e是单位向量， e 1
M0M t e t
M0
所以,直线参数方程中
参数t的绝对值等于直
线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
第二讲 三直线的参数方程
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3 解析：由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为 ， 4 3 3 4 设直线的倾斜角为 α，则 tan α＝ ，sin α＝ ，cos α＝ . 4 5 5 又∵点 P(1,1)在直线 l 上， 4 x＝1＋5t， ∴直线 l 的参数方程为 (t 为参数)． 3 y＝1＋5t ∵3×5－4×4＋1＝0，∴点 M 在直线 l 上． 4 由 1＋ t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 5 ∵点 N 不在直线 l 上，∴根据两点之间的距离公式，可 得|PN|＝ 1＋22＋1－62＝ 34. 返回 金品质•高追求 我们让你更放心！
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◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆ 解析：曲线C的极坐标方程ρ＝4sin θ可化为ρ2＝4ρsin θ，其
直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4. 直线l的方程为x－y－4＝0. 所以，圆心到直线l的距离d＝ |－2－4|＝3 2.
2
所以，|PQ|的最小值为3 2－2.
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(2)如图所示，点 B 在 l1 上，只要求出点 B 对应的参数值 t，则|t|就是点 B 到点 A 的距离． 把 l1 的参数方程代入 l2 的方程中，得 1 3 － 4 ＋ t － 2 － t ＋1＝0， 2 2 3＋ 1 即 t＝ 7 ， 2 14 ∴t＝ ＝7( 3－1)． 3＋1 ∵t 为正值，∴|AB|＝7( 3－1)．
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高中数学2-3直线的参数方程
－1
∵l1与l2垂直，∴2k＋2＝0，∴k＝－1.
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点击2 参数方程与极坐标方程的综合问题
辽宁高考)已知 P 为半圆 【例2】 (2010·
x＝cos C： y＝sin
θ ， (θ 为参 θ
数，0≤θ≤π )上的点， A 的坐标为(1，0)，O 为坐标原点， 点 π 点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 . 3
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(2)由于 AB 的中点为 M， → → 则AM＝MB， → → → → ∴FM－FA＝FB－FM， → → → ＝1(FA＋FB)， 即FM 2 → → → ＝1(FA＋FB)＝t1＋t2e， 又FM 2 2 t1＋t2 故点 M 对应的参数为 ＝ 5， 2 t1＋t2 ∴M(3，2)，|FM|＝ 2 ＝ 5.
为常数，t 为参数)．
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π 【变式1】 直线 l 经过点 M0(1，5)，倾斜角为 ，且交直线 x－y 3 －2＝0 于 M 点，则|MM0 |＝________． 1 x＝1＋2t， 解析 由题意可得直线 l 的参数方程为 y＝5＋ 3t 2 (t 为参数)， 1 3 代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋ t－5＋ t－2＝0，解得 2 2
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2．在直线参数方程中，如果直线上的点 M1、M2 所对应的 参数值分别为 t1 和 t2，则线段 M1M2 的中点所对应的参 1 数值为 t 中 ＝ ·(t1＋t2)． 2
【思维导图】
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题型一
∵l1与l2垂直，∴2k＋2＝0，∴k＝－1.
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辽宁高考)已知 P 为半圆 【例2】 (2010·
x＝cos C： y＝sin
θ ， (θ 为参 θ
数，0≤θ≤π )上的点， A 的坐标为(1，0)，O 为坐标原点， 点 π 点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 . 3
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(2)由于 AB 的中点为 M， → → 则AM＝MB， → → → → ∴FM－FA＝FB－FM， → → → ＝1(FA＋FB)， 即FM 2 → → → ＝1(FA＋FB)＝t1＋t2e， 又FM 2 2 t1＋t2 故点 M 对应的参数为 ＝ 5， 2 t1＋t2 ∴M(3，2)，|FM|＝ 2 ＝ 5.
为常数，t 为参数)．
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π 【变式1】 直线 l 经过点 M0(1，5)，倾斜角为 ，且交直线 x－y 3 －2＝0 于 M 点，则|MM0 |＝________． 1 x＝1＋2t， 解析 由题意可得直线 l 的参数方程为 y＝5＋ 3t 2 (t 为参数)， 1 3 代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋ t－5＋ t－2＝0，解得 2 2
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2．在直线参数方程中，如果直线上的点 M1、M2 所对应的 参数值分别为 t1 和 t2，则线段 M1M2 的中点所对应的参 1 数值为 t 中 ＝ ·(t1＋t2)． 2
【思维导图】
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题型一
三 直线的参数方程
结论3的应用： 1.点差法 2.参数法 4 例2：过点P 2， 0 ，斜率为 的直线，与抛物线y 2 =2x
3 交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标。
3 x 2+ t 5 所以直线的 （t为参数） y 4 t 参数方程为： 5
1.点差法
2.参数法
由A x0 t1 cos , y0 t1 sin , B x 0 t 2 cos , y 0 t 2 sin t1 +t 2 t1 +t 2 中点为 x0 cos , y0 sin 2 2
t1 +t 2 （3）线段AB的中点对应的参数是：t中 = 2
t
（2）将直线L的参数方程中的x,y代入
3 t 2
x y 2 3 0 ，得 t (10 6 3)
所以，直线L和直线 x y 2 3 0 的交点
到点M0的距离为 | t | (10 6 3)
（3）将直线L的参数方程中的x,y 代入 x y 16 ，得 t (1 5 3)t 10 0
3 4 倾斜角为 ，由已知可得 cos 5 ,sin 5
3 x 2 t 5 4 y t 5
所以，直线的参数方程为
代入 y 2 2 x，整理得 8t 2 15t 50 0 ， t1 t 2 15 中点M的相应参数 t 2 16 所以点M的坐标为 41 3
( 16 4 , )
3.解：设过点M(2,1)的直线段AB 的参数方程为 x 2 t cos （ 为参数） y 1 t sin 带入双曲线方程，整理得，
(cos2 sin2 )t 2 2(2cos sin )t 2 0
直线的参数方程
3
直线参数方程可以用于解决一些与直线相关的 解析几何问题，如交点、距离等。
在物理中的应用
在力学中，直线参数方程可以用于描述物体的运 动轨迹。
在电磁学中，直线参数方程可以用于描述电流和 电压的关系。
在光学中，直线参数方程可以用于描述光的传播 路径。
在计算机图形学中的应用
在计算机图形学中 ，直线参数方程可 以用于绘制直线和 曲线。
在计算机图形学中，直线的参数方程可以用来描述物体的形状和轮廓。例如，在 绘制一条直线时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便地表 示出直线的方向和位置，并且可以方便地进行绘制和控制。
直线参数方程与三维建模
在三维建模中，直线的参数方程可以用来描述物体的表面和边缘。例如，在创建 一个立方体或球体时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便 地表示出物体的形状和轮廓，并且可以方便地进行修改和控制。
THANK YOU.
用点斜式推导直线参数方程
总结词
利用点斜式的直线方程，推导出直线参数方程的表达式 。
详细描述
已知直线通过点 $P_{1}(x_{1}, y_{1})$ 和斜率为 $k$， 则直线的点斜式方程为 $y - y_{1} = k(x - x_{1})$。为 了将其转化为参数方程形式，引入参数 $t$ 并令 $y y_{1} = t$，则 $x = x_{1} + \frac{t}{k}$
直线参数方程的特殊形式包括
当 θ = π/2 时，直线垂直于 y 轴 ，t 为任意实数；
直线参数方程的性质还包括：通 过改变 t 的值可以得到直线上不 同的点，t 的取值范围为全体实数 。
02
直线参数方程的应用
在解析几何中的应用
三直线的参数方程
(1)求直线的普通方程； (2)化参数方程为标准形式．
10－y 解：(1)由 y＝10－4t，得 t＝ 4 ，代入 x＝5＋3t，
10－y 得 x＝5＋3× 4 . 化简得普通方程为 4x＋3y－50＝0. (2)把方程变形为 x＝5＋3t＝5－35×（－5t）， y＝10＋45×（－5t）.
令 cos α＝－35，sin α＝45. u＝－5t，则参数方程的标准形式为： x＝5－35u， y＝10＋45u (u 为参数)．
[典例 4] (本小题满分 10 分)已知直线 l 经过点
P12，1，倾 斜角
α
＝
π 6
，
圆
C
的极坐标方程为
ρ＝
2·cosθ－π4.
(1)写出直线 l 的参数方程，并把圆 C 的方程化为直 角坐标方程；
(2)设 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求点 P 到 A，B 两 点的距离之积．
审题指导：(1)由已知直线 l 经过点 P12，1，倾斜角 α＝π6，利用直线参数方程的定义，我们易得到直线 l 的参 数方程；利用两角差的余弦公式，可得到 ρ＝cos θ＋sin θ， 进而即可得到圆 C 的标准方程．
失分警示：若漏掉此步，则扣 1 分． 则 t1t2＝－14，所以|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝14.(10 分)
归纳升华
1．标准形式的参数方程中参数的应用．
x＝x0＋tcos α，
直线 l 的参数方程为
(t 为参数)．
y＝y0＋tsin α
(1)若 P1、P2 是直线 l 上的两个点，对应的参数分别 为 t1，t2，则向量P→1P2的数量为 t2－t1，所以|P→2P1|＝|t2－t1|； 若 P1，P2 是直线 l 与圆锥曲线的两个交点，则弦长|P1P2| ＝|t2－t1|.
10－y 解：(1)由 y＝10－4t，得 t＝ 4 ，代入 x＝5＋3t，
10－y 得 x＝5＋3× 4 . 化简得普通方程为 4x＋3y－50＝0. (2)把方程变形为 x＝5＋3t＝5－35×（－5t）， y＝10＋45×（－5t）.
令 cos α＝－35，sin α＝45. u＝－5t，则参数方程的标准形式为： x＝5－35u， y＝10＋45u (u 为参数)．
[典例 4] (本小题满分 10 分)已知直线 l 经过点
P12，1，倾 斜角
α
＝
π 6
，
圆
C
的极坐标方程为
ρ＝
2·cosθ－π4.
(1)写出直线 l 的参数方程，并把圆 C 的方程化为直 角坐标方程；
(2)设 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求点 P 到 A，B 两 点的距离之积．
审题指导：(1)由已知直线 l 经过点 P12，1，倾斜角 α＝π6，利用直线参数方程的定义，我们易得到直线 l 的参 数方程；利用两角差的余弦公式，可得到 ρ＝cos θ＋sin θ， 进而即可得到圆 C 的标准方程．
失分警示：若漏掉此步，则扣 1 分． 则 t1t2＝－14，所以|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝14.(10 分)
归纳升华
1．标准形式的参数方程中参数的应用．
x＝x0＋tcos α，
直线 l 的参数方程为
(t 为参数)．
y＝y0＋tsin α
(1)若 P1、P2 是直线 l 上的两个点，对应的参数分别 为 t1，t2，则向量P→1P2的数量为 t2－t1，所以|P→2P1|＝|t2－t1|； 若 P1，P2 是直线 l 与圆锥曲线的两个交点，则弦长|P1P2| ＝|t2－t1|.
2.3直线的参数方程(人教a版)
2 2 2 2
2 2
Y
C
O A P D
B X
将 4 代入 3 得 b cos a sin t
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x 2 t cos t为参数 代入椭圆方程为 y 1 t sin ,
2 2 3sin 1 t 4 cos 2 sin t 8 0
则 AM t1 , MB t2 .M 在椭圆内所以 4 cos 2 sin t1 t2 因为M 为AB的中点 2 3sin 1 t1 t2 1 所以 0, cos 2 sin 0, k tan 2 2 1 直线l的方程是：y-1= x 2 即 x 2 y 4 0 2
例3：取o为原点，op所在直线为x轴建直角立坐标系，则P(300,0) 以o为圆心，250km为半径作圆o,当台风中心移动后的位置在圆o上 或圆o内时，城市将受到台风的袭击。 圆O的方程为：x2 y 2 2502 设经过时间t后，
台风中心M 的坐标为 x, y , 且M 移动形成的直线L的方程为： y
于是
x x0 t cos , y y0 t sin , x x0 t cos , y y0 t sin .
直线的参数方程中参数 t的几何意义是： t 表示参数t对应的点M t取负数；当点 M与M 0 重合时，t 0.
到定点M 0的距离。当M 0 M与e同向时，t取正数；当M 0 M与e异向时，
1 t 2 （ 2 ）t 2
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
四、课堂练习
见课本 P 第2题 39
解：设过点M 2,1的直线L的参数方程为
2 2
Y
C
O A P D
B X
将 4 代入 3 得 b cos a sin t
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x 2 t cos t为参数 代入椭圆方程为 y 1 t sin ,
2 2 3sin 1 t 4 cos 2 sin t 8 0
则 AM t1 , MB t2 .M 在椭圆内所以 4 cos 2 sin t1 t2 因为M 为AB的中点 2 3sin 1 t1 t2 1 所以 0, cos 2 sin 0, k tan 2 2 1 直线l的方程是：y-1= x 2 即 x 2 y 4 0 2
例3：取o为原点，op所在直线为x轴建直角立坐标系，则P(300,0) 以o为圆心，250km为半径作圆o,当台风中心移动后的位置在圆o上 或圆o内时，城市将受到台风的袭击。 圆O的方程为：x2 y 2 2502 设经过时间t后，
台风中心M 的坐标为 x, y , 且M 移动形成的直线L的方程为： y
于是
x x0 t cos , y y0 t sin , x x0 t cos , y y0 t sin .
直线的参数方程中参数 t的几何意义是： t 表示参数t对应的点M t取负数；当点 M与M 0 重合时，t 0.
到定点M 0的距离。当M 0 M与e同向时，t取正数；当M 0 M与e异向时，
1 t 2 （ 2 ）t 2
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
四、课堂练习
见课本 P 第2题 39
解：设过点M 2,1的直线L的参数方程为
高中数学 第二讲三、四 直线的参数方程 渐开线与摆线课时训练（含解析）4-4(1)
【全程温习方略】2021-2021学年高中数学 第二讲三、四 直线的参数方程 渐开线与摆线课时训练（含解析）新人教A 版选修4-41．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ＋2y ＝－2t －1(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(－2，π)，那么点P 到直线l 的距离为( )C ．1 答案：B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x2＋y2＝16交于A ，B 两点，那么AB 的中点坐标为() A ．(3，－3) B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋ty ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )B ．4014答案：C4．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t y ＝3t (t为参数)被双曲线x2－y2＝1截得的弦长为( ) A ．210C ．2 5答案：A5．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋tcos θy ＝b ＋tsin θ(t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值别离为t 一、t2，那么线段BC 的中点M 对应的参数值是( )答案：B6．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，那么P 点坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22) C ．(－3，－4) D ．(125，125) 答案：D7．直线l 的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t y ＝2－3t (t 为参数)，那么l 上任一点到定点(1,2)的距离是( ) A ．t B ．|t||t|答案：C8．(2021·高考重庆卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．假设极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么|AB|＝________.解析：由ρcos θ＝4，知x ＝4. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3，∴x3＝y2(x≥0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，x3＝y2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－8，∴|AB|＝4－42＋8＋82＝16.答案：169．已知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－tsin π6y ＝2＋tcos π6(t 为参数)，那么直线的倾斜角大小是________．答案：2π310．已知直线l 通过点P(1,1)，倾斜角α＝π6， (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x2＋y2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋tcos π6y ＝1＋tsin π6， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t y ＝1＋12t .(2)把直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32ty ＝1＋12t 代入x2＋y2＝4，得(1＋32t)2＋(1＋12t)2＝4， t2＋(3＋1)t －2＝0，t1t2＝－2，那么点P 到A ，B 两点的距离之积为2.11．(2021·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程别离为ρ＝4sin θ，ρcos(θ－π4)＝2 2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P 为C1的圆心，Q 为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t3＋a ，y ＝b 2t3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y －2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y －22＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x1＝0，y1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x2＝2，y2＝2. 因此C1与C2交点的极坐标为(4，π2)，(22，π4)． 注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标别离为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1.[ 因此⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. 12．过抛物线y2＝4x 的核心F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于A 、B 两点，求这两点间的距离．解：抛物线y2＝4x 的核心为F(1,0)，设过核心F(1,0)，倾斜角为34π的直线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－22ty ＝22t(t 为参数)，将此代入y2＝4x ， 得t2＋42t －8＝0，设那个方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系，有t1＋t2＝－42，t1·t2＝－8，∴|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝ －422＋32＝64＝8. ∴A 、B 两点间的距离是8.。
直线的参数方程
'2
t t ( t t ) 4t t
' 1 ' 2 ' 1 ' 2 2 ' ' 1 2
4 17
.
练习
2.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.
y
B
A M（x，y）
0
(t是参数）
M0（x0，y0）
0
O
x •t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
若M 0为中点, t 0 t1＋t 2 0
•t只有在标准式中才有上述几何意义 设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参 数值分别为t1,t2. （1）|AB|＝ t1 t 2
直线的参数方程
直线的参数方程(标准式）
x x 0 t cos 直线的参数方程 ( t为参数) y y 0 t sin
其中(x 0 , y0 )时直线上的定点, 是倾斜角; 其对应的 普通方程为y y0 k ( x x0 )或x x0。 t表示几何意义： M（ （x, y )(不同于点M 0）的 0 x0 , y0 )到直线上的点M 有向线段M 0 P的数量.
（2）M是AB的中点，求M对应的参数
t1 t 2 2
1 x 1 t 2 5.一条直线的参数方程是 (t为参数）， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点（1，-5）间的距离是
4 3
6.动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分 速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1), 求点M的轨迹的参数方程. x 1 9t (t为参数） y 1 12t
t t ( t t ) 4t t
' 1 ' 2 ' 1 ' 2 2 ' ' 1 2
4 17
.
练习
2.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.
y
B
A M（x，y）
0
(t是参数）
M0（x0，y0）
0
O
x •t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
若M 0为中点, t 0 t1＋t 2 0
•t只有在标准式中才有上述几何意义 设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参 数值分别为t1,t2. （1）|AB|＝ t1 t 2
直线的参数方程
直线的参数方程(标准式）
x x 0 t cos 直线的参数方程 ( t为参数) y y 0 t sin
其中(x 0 , y0 )时直线上的定点, 是倾斜角; 其对应的 普通方程为y y0 k ( x x0 )或x x0。 t表示几何意义： M（ （x, y )(不同于点M 0）的 0 x0 , y0 )到直线上的点M 有向线段M 0 P的数量.
（2）M是AB的中点，求M对应的参数
t1 t 2 2
1 x 1 t 2 5.一条直线的参数方程是 (t为参数）， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点（1，-5）间的距离是
4 3
6.动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分 速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1), 求点M的轨迹的参数方程. x 1 9t (t为参数） y 1 12t
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中点为
x0
t1 +t2 2
第四模块
c平o面s向,量y、0 数系t1的+2扩t2充s与in复数的引入
结论3的应用： 数学
1.点差法 高考总复习人教A版 · (理)
2.参数法
例2：过点P 2，0，斜率为 4的直线，与抛物线y2 =2x
3
交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标。
r e
反向时 t第<四0模；块 当平面点向量M、与数系M的扩0重充与合复数时的引，入t=0
例1：已知直线 l : x 数学
高考总复习人教A版 · (理)
y1 0
与抛物线
y
x2
交于A，B两点，求线段AB的长和点 M(1, 2)
到A,B两个点的距离之积.
解：因为直线过定点M且倾斜角为 3 ， 所以参数方程
y 2 4t
则点(3, 6)到直线的距离是 ____2_0__1_7_______
17
5、直线{x 2 t cos 300 (t为参数)的倾斜角
y 3 t sin 600 等于( D )
A.300 B.600 C. 450 D.135 0
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
M0(x0,y0)
x x0 t cos, y y0 t sin
O
x
x x0 t cos, y y0 t sin
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
新课讲授 高考总复习人教A版 · (理)
因此，过定点 M0(x0, B.700 C.1100 D.1600
（2）直线x
y
1
0的一个参数方程是
x y
1
2 2
2 2
t
t （t为参数）
。
取点1，0，k tan 1
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
3、直线{x 2 数学
高考总复习人教A版 · (理)
所以两个交点到点M0的距离的和为： 1 5 ，3积为:10
2.解：设过点P(2,0)的直线AB的
倾斜角为 ，由已知可得
cos 3 ,sin 4
5
5
所以，直线的参数方程为 x 2 3 t
5
代入 y2 ，2整x 理得
y 4t 5
8t2 15，t 50 0
中点M的相应参数 t t1 t2 15 2 16
即 (t1 t2 )2 5t1t2 所以, [2 2(4 p)]2 5 8(4 p)
p1
x 2 2 t 2
y 4 2 t 2
t2 2 2(4 p)t 8(4 p) 0
由根与系数的关系，得到
t1 t2 2 2(4 p) t1t2 8(4 p)
因为 | M1M2 |2 | AM1 | • | AM2 |, 所以,
(t1 t2 )2 | t1 | • | t2 | t1t2
4cos 2sin t1 t2 - cos2 sin2
因为点M为线段AB的中点，由t的几何意义
可于知 是，t1kt,2t所an以,0 2 4cos 2sin 0
因此所求直线方程为:2x-y-3=0
4.解：直线L的参数方程为
（ 为参t数）
代入 y2 ， 2得px到
2t (t为参数)上与点P(2,3)
y 3 2t
距离等于 2的点的坐标是 ( D )
A(-4,5) C(-3,4)或(-1,2)
B(-3,4) D(-4,5)(0,1)
注意：参数t的几何意义
t 2
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 · (理)
4、设直线的参数方程为{x 1 t (t为参数)
为：
4
把它代入抛物线方程得 t2 2t 2 0
解得t1
2 2
10 ,t2
2 2
10
由参数t的几何意义得， | AB || t1 t2 | 10
| MA | | MB || t1t2 | 2
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
常用结论： 数学
（3）将直线L的参数方程中的x,y 代入 x2 y2 16 ，得 t2 (1 5 3)t 10 0
设上述方程的根为t1,t2，则 t1 t2 (1 5 3) t1t2 ，10可知 为t负1 , t值2 ，所以 | t1 | | t2 | (t1 t2) 1 5 3
所以直线的参数方程为：
x
y
2+ 4t 5
3t 5 （t为参数）
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
高考总复习人教A版 · (理)
1.点差法 2.参数法
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学
课堂练习 高考总复习人教A版 · (理)
（1）直线x y
3 t sin 20（0 t为参数）的倾斜角是（B t cos200
uuuuuur
M0rM （x, y) (x0 y0 ) (x x0, y y0)
设e是r 直线l的单位方向向量，则
uuueuuur (cros,sin )
y
r e
M(x,y)
因为uuuMuuu0rM
// e,所以存在实数t r
R,
使M0M te,即
(x x0, y y0) t(cos,sin)
uuur uuur uuur r r
r
2 AB=MB-MA=t2 e-t1e= t2 -t1 e
uuur
r
r
所以 AB = t2 -t1 e = t2 -t1 e = t2 -t1
（3）线段AB的中点对应的参数是：t中
=
t1
+t2 2
由A x0 t1 cos , y0 t1 sin , B x0 t2 cos , y0 t2 sin
y
x y
x0 y0
t cos（t为参数） t sin
M0(x0,y0)
斜率k tan sin cos
O
x
只要找出直线上一个点的坐标和直线的倾斜角， 就能写出直线的一个参数方程。
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
思考: uuuuuur r
数学 由M M 0 高考总复习人教A版 t · (理) e, 你能得到直线的参数方
教材习题答案
1.解（1）直线L的参数方程为
t x 1（ 12为t参, 数）
y 5 3 t 2
（2）将直线L的参数方程中的x,y代入
x y ，2 得3 0 t (10 6 3) 所以，直线L和直线x y 2 的3 交0点
到点M0的距离为 | t | (10 6 3 )
1 弦长公式 高考总复习人教A版 · (理)
|
AB
||
t1
t2
|
10
2 t的几何意义：| MA | | MB || t1t2 | 2
uuur r uuur r
证明：1 设MA=t1e, MB=t2 e则 MA = t1 ，MB = t2
所以 MA MB = t1 t2 = t1t2
新课导入 数学
高考总复习人教A版 · (理)
我们知道，过定点 M0(x0,y0 )，倾斜角为 的
直线的普通方程是： y y0 tan(x x0 )
y
那么， 怎样建立直线的参数方程呢？
M0(x0,y0)
O
x
第四模块 平面向量、数系的扩充与复数的引入
数学在直高考线总复习上人教任A版 ·取(理) 一点M(x,y),则
程中参数t的几何意义吗？ y
r e
r
r
解析: Q e是单位向量， e 1
uuuuuur r
由uuMuu0uuMr
te
r
r
M0M te t e = t
M
r M0 e
O
x
t的几何意义是：
| t |等于参数t对应的点M到定点M0 的距离。
当
uuuuuuur | M0M |
与
r e
同向时t>0；当 |uMuuu0uMuur|与
所以点M的坐标为 41 3
( ,) 16 4
3.解：设过点M(2,1)的直线段AB
的参数方程为 x 2 （t co为s参数）
y 1 t sin
带入双曲线方程，整理得，
(cos2 sin2 )t2 2(2cos sin )t 2 0
设t1,t2为上述方程的解，则