直线的向量方程

点到直线向量距离公式
点到线的距离公式向量：│AXo＋BYo＋C│/√（A²＋B²）。

公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0，y0)。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

理解点到直线距离公式的推导过程，并且会使用公式求出定点到定直线的距离；通过对点到直线距离公式的推导，提高学生对数形结合的认识，加深用“计算”来处理“图形”的意识；把两条平行直线的距离关系转化为点到直线距离。

向量点到直线的距离公式是：
设直线L的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（x0，y0），则点P到直线L的距离为：
同理可知，当P（x0，y0），直线L的解析式为y=kx+b时，则点P到直线L的距离为：
考虑点(x0，y0，z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有d=|(x1-x0，y1-y0，z1-z0)×(l，m，n)|/√(l²+m²+n²)。

证明方法
把平面的直线方程Ax+By+C=0，看成是一个xyz空间的方程，它是一个无z方程，也就是个直线柱面（即平面）的方程。

然后求点(x0，y0，0)到这个平面的距离（因为它就=(xy面中点(x0，y0)到Ax+By+C=0的距离，因为这相当于点到空中那个平面在xy的投影线的距离）。

而根据空间中点(x0，y0，z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式：d=|Ax0+By0+Cz0+D|/[√(A^2+B^2+C^2)]。

§3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程一．知识梳理1．给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数，以A 为起点作向量AP →＝ta ，这时点P 的位置被完全确定．当t 在R 上变化时，点P 的轨迹是一条通过点A 且平行于向量a 的一条直线l 0.反之，在直线上任取一点P ，一定存在一个实数t ，使AP →＝ta ，向量方程AP →＝ta 通常称作_____________________ __，也表示为OP →＝OA →＋ta 及OP →＝(1－t )OA →＋tOB →2．设O 是空间任一点，M 是线段AB 的中点，则线段AB 中点的向量表示式是OM →＝ _. 3．设空间直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1，v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔________.4．已知两个非零向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则l ∥α(或l ⊂α)⇔ __________________________________________________________.5. 已知两个不共线的向量v 1，v 2与α共面，则由两平面平行的判定和性质，得α∥β或α与β重合⇔ ；6.设两条直线所成角为θ(锐角)，则直线方向向量的夹角与θ相等或互补，设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l 1⊥l 2⇔_________，cos θ＝ ；.二．典型例题[例1] （线线平行）在长方体OAEB －O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P 在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S 在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q 、R 分别是O1B1、AE 的中点，求证：PQ ∥RS.【例2】（线面平行）如图所示，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，M 、N 分别是C1C 、B1C1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .【例3】（线线成角） 如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为______．【例4】（线线垂直问题）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(Ⅰ)求证：AC ⊥BC 1；(Ⅱ)求证：AC 1∥平面CDB 1．§3.2.2平面的法向量与平面的向量表示一．知识梳理1．已知平面α，如果一个向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做_____________________________．。

直线的方向向量怎么求
空间直线点向式方程的形式为（和对称式相同）：(x-
x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n，其方向向量就是（l，m，n）或反向量（-l，-m，-n）。

空间直线的一般方程求方向向量
空间直线点向式方程的形式为（和对称式相同）(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n，其方向向量就是（l，m，n）或反向量（-l，-m，-n）。

比如直线x+2y-z=7-2x+y+z=7
(1)先求一个交点,将z随便取值解出x和y不妨令z=0由
x+2y=7-2x+y=7解得x=-7/5,y=21/5所以(-7/5,21/5,0)为直线上一点
(2)求方向向量因为两已知平面的法向量为(1,2,-1),(-
2,1,1)，所求直线的方向向量垂直于2个法向量。

由外积可求方向向量=(1,2,-1)×(-2,1,1)=i j k1 2 -1-2 1 1=3i+j+5k 所以直线方向向量为(3,1,5)
直线的方向向量
直线上的矢量和与之共线的矢量称为直线的方向矢量。

所以只要给定直线，便可构造两个方向向量（以原点为起点）。

即已知直线l：ax+by+c=0，则直线l的方向向量为
d1=(-b,a)或d2=(b,-a)。

已知定点Pο（xο,yο,zο)及非零向量v={l,m,n},则经过点Pο且与v平行的直线L就被确定下来，因此，点Pο与v是
确定直线L的两个要素，v称为L的方向向量。

由于对向量的模长没有要求，所以每条直线的方向向量都有无数个。

3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二) 1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量则l1⊥l2⇔________，cos θ＝________________.2．求两直线所成的角应注意的问题：在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝v1·v2|v1||v2|.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取________作为两直线的夹角．探究点一两条直线垂直问题怎样利用向量证明两直线垂直？例1 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点．求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C.跟踪1在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE ＝BF，求证：A1F⊥C1E.例2 已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA ＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．跟踪2长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．探究点三探索性问题例3已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M为底面BC边的中点，N为侧棱CC1上的点．(1)当CNCC1为何值时，MN⊥AB1；(2)在棱A1C1上是否存在点D，使MD∥平面A1B1BA，若存在，求出D的位置；若不存在，说明理由跟踪3 如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .问当CD CC 1的值等于多少时，A 1C ⊥BD 且 A 1C ⊥BC 1?【达标检测】1. 若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则 ( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1、l 2相交但不垂直D ．不能确定2．设l 1的方向向量a ＝(1,3，－2)，l 2的方向向量b ＝(－4,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．52C ．12D ．33. 在正四面体ABCD 中，点E 为BC 中点， 点F 为AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为( )A. 13B. 12C. 23D. 634.如图所示，三棱柱OAB —O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值．【课堂小结】用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二)一、基础过关1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均错 2.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 ( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A3．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°4．已知A (3,0，－1)、B (0，－2，－6)、C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对5．A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) A.3010 B.12 C.3015 D.1510 6．在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.二、能力提升7．设ABCD 、ABEF 都是边长为1的正方形，F A ⊥平面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角为________．8．已知空间三点A (0,0,1)，B (－1,1,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为________．9．已知两点A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，则AB 连线与xOz 平面的交点坐标是____________．10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，证明OA 1⊥AM .11.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．12.直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．三、探究与拓展13．已知△ABC，∠C＝90°，SA⊥面ABC，且AC＝2，BC＝13，SB＝29，求异面直线CS与AB所成角的余弦值．。

直线与平面的向量方程直线与平面的交点问题在向量的应用中非常重要。

本文将介绍直线与平面的向量方程，并以几个实例加以说明。

一、直线的向量方程直线可以由一点和一个方向向量唯一确定。

设直线上一点为P，其位置向量为r，方向向量为d，则直线上任意一点Q的位置向量为r + td，其中t为实数。

因此，直线的向量方程为：r = a + td其中，a是直线上的已知点，d是直线的方向向量。

例如，考虑过点A(1, 2, -1)且平行于向量u = (2, 1, 0)的直线l。

位置向量为r，方向向量为d，则直线l的向量方程为：r = (1, 2, -1) + t(2, 1, 0)二、平面的向量方程平面可以由一个已知点和两个不共线的方向向量唯一确定。

设平面上一点为P，其位置向量为r，两个方向向量为a和b，则平面上任意一点Q的位置向量为r + sa + tb，其中s和t为实数。

因此，平面的向量方程为：r = c + sa + tb其中，c是平面上的已知点，a和b是平面的方向向量。

例如，考虑过点B(2, -1, 3)、且与向量u = (1, 1, 1)和v = (0, 1, -1)共面的平面P。

位置向量为r，方向向量为a和b，则平面P的向量方程为：r = (2, -1, 3) + s(1, 1, 1) + t(0, 1, -1)三、直线与平面的交点直线与平面的交点可以通过求解它们的向量方程组来得到。

设直线的向量方程为r = a + td，平面的向量方程为r = c + sa + tb，将两个向量方程联立并消去t，得到：(a - c) + t(d - sa - tb) = 0由于两个向量线性无关，因此它们的系数必须为0。

解这个方程组即可求得直线与平面的交点。

例如，考虑直线l的向量方程为r = (1, 2, -1) + t(2, 1, 0)，平面P的向量方程为r = (2, -1, 3) + s(1, 1, 1) + t(0, 1, -1)。