2019高中数学 第2章 推理与证明 2.1.3 推理案例赏析(1)学案 苏教版选修1-2

2.1.3 推理案例赏析学习目标 1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系，利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.2.掌握两种推理形式的具体格式．知识点合情推理与演绎推理思考1 合情推理的结论不一定正确，我们为什么还要学习合情推理？答案合情推理是富于创造性的或然推理．在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．思考2 “演绎推理是由一般到特殊的推理，因此演绎推理所得结论一定正确”，这种说法对吗？答案不对，演绎推理只有在大、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论才一定正确．梳理合情推理与演绎推理的比较1．演绎推理的一般模式是“三段论”的形式．( √)2．演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．( √)3．演绎推理是由一般到特殊的推理，归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．( √)类型一归纳推理的应用例1 观察如图所示的“三角数阵”：记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)a2＝________，a3＝________，a4＝________，a5＝________；(3)a n＋1＝a n＋________.答案(1)6 16 25 25 16 6(2)2 4 7 11(3)n(n≥2，n∈N*)反思与感悟对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪训练1 下列四个图形中，阴影三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．答案 a n ＝3n －1(n ∈N *)解析 a 1＝1＝30，a 2＝3＝31，a 3＝9＝32，a 4＝27＝33，…， 由此猜想a n ＝3n －1(n ∈N *)．类型二 类比推理的应用 例2 通过计算可得下列等式： 23－13＝3×12＋3×1＋1； 33－23＝3×22＋3×2＋1； 43－33＝3×32＋3×3＋1； …；(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1. 将以上各等式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3×(12＋22＋…＋n 2)＋3×(1＋2＋3＋…＋n )＋n ， 即12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)(n ∈N *)．类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值． 解 ∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1； 34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1； 44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1； …；(n ＋1)4－n 4＝4n 3＋6n 2＋4n ＋1. 将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n ， ∴13＋23＋…＋n 3＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n ＋1)4－14－6×16n (n ＋1)·(2n ＋1)－4×n (n ＋1)2－n ＝14n 2(n ＋1)2(n ∈N *)． 反思与感悟 (1)解答类比推理的应用题的关键在于弄清原题解题的方法，将所要求值的式子与原题的条件相类比，从而产生解题方法上的迁移．(2)解答类比推理的应用问题要先弄清两类对象之间的类比关系及其差别，然后进行推测或证明．跟踪训练2 已知在Rt△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD2＝1AB2＋1AC 2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比解 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.猜想正确．理由如下：如图所示，连结BE ，并延长交CD 于F ，连结AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF .在Rt△ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE2＝1AB2＋1AF 2.在Rt△ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC2＋1AD 2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，故猜想正确．类型三 演绎推理的综合应用例3 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)写出类似的性质，并加以证明．解 类似性质：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则点N 的坐标为(－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2，同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．故k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．反思与感悟 合情推理是提出猜想、提供解题的思路，而演绎推理则是证明猜想、判断猜想的正确性，通过合情推理得到的猜想缺少证明过程，是不完整的，平时解题都是二者的结合．跟踪训练3 已知{a n }为等差数列，首项a 1>1，公差d >0，n >1且n ∈N *.求证：lg a n ＋1lg a n －1<(lg a n )2.证明 ∵{a n }为等差数列，d >0， ∴a n －1a n ＋1＝(a n －d )(a n ＋d )＝a 2n －d 2<a 2n . ∵a 1>1，d >0，∴a n ＝a 1＋(n －1)d >1. ∴lg a n >0.∴lg a n ＋1·lg a n －1≤⎝⎛⎭⎪⎫lg a n ＋1＋lg a n －122＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12lg (a n －1a n ＋1)2<⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg a 2n 2＝(lg a n )2， 即lg a n ＋1·lg a n －1<(lg a n )2.1．设x i >0(i ∈N *)，有下列不等式成立，x 1＋x 2≥2x 1x 2；x 1＋x 2＋x 3≥33x 1x 2x 3，…，类比上述结论，对于n 个正数x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，猜想有下述结论：__________.答案 x 1＋x 2＋…＋x n ≥n nx 1x 2…x n2．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则对于任意n (n ∈N *)有不等式__________________成立．答案 f (2n ＋1)>n ＋32解析 由所给不等式可得：f (4)＝f (22)＝1＋12＋ (14)1＋32， f (8)＝f (22＋1)＝1＋12＋ (18)2＋32， f (16)＝f (23＋1)＝1＋12＋ (116)3＋32，f (32)＝f (24＋1)＝1＋12＋ (132)4＋32，…，f (2n ＋1)＝1＋12＋…＋12n ＋1>n ＋32.即f (2n ＋1)>n ＋32.3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是________．(填序号) 答案 ②③解析 根据空间直线、平面的平行与垂直的判定与性质定理知，②③正确，①④错误． 4．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝________.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案n (n ∈N *)解析 根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝(2)2＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n (n ∈N *)．5．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝________.答案5＋12解析 根据“黄金椭圆”的性质是FB →⊥AB →，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，设“黄金双曲线”的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”中，∵FB→⊥AB →，∴FB →·AB →＝0.又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，∴－ac ＋b 2＝0.又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac ，等号两边同除以a 2求得e ＝5＋12.1．归纳推理和类比推理是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理． 2．从推理形式和所得结论的正确性讲，演绎推理与合情推理存在差异．从数学发现与认识事物的过程发挥的作用看，合情推理与演绎推理是相辅相成、相互为用的，合情推理提出猜想、发现结论，为演绎推理确定了目标和方向．演绎推理不仅为合情推理提供了前提，而且对合情推理的结果进行“判决”和证明．两者的综合运用才能推动人们对事物的认识不断向前发展.一、填空题 1．给出下列推理：①由A ，B 为两个不同的定点，动点P 满足|PA －PB |＝2a ＜AB ，得点P 的轨迹为双曲线； ②由a 1＝1，a n ＝3n －1(n ≥2)，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列{a n }的前n 项和S n 的表达式； ③科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇． 其中是归纳推理的是________．(填序号) 答案 ②解析 ①是演绎推理，②是归纳推理，③是类比推理．2．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为________．(填序号) ①nn －4＋8－n (8－n )－4＝2； ②n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2；③nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2； ④n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2.答案 ①解析 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.3．如果函数f (x )是奇函数，那么f (0)＝0.因为函数f (x )＝1x是奇函数，所以f (0)＝0.这段演绎推理错误的原因是________． 答案 大前提错误解析 如果f (x )是奇函数，并且在x ＝0处有定义，那么f (0)＝0，因此这段三段论推理中大前提是错误的，导致结论也是错误的．4．设k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 答案 k －1解析 当k 棱柱增加一条侧棱时，这条侧棱和与之不相邻的k －2条侧棱可构成k －2个对角面，而当增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面． 所以f (k ＋1)＝f (k )＋k －2＋1＝f (k )＋k －1. 5．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中的不等式为________________________________．答案1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3，n ∈N *) 解析 不等式左边和式个数分别为3,4,5，…时，不等式右边的数依次为9π，162π，253π，…，其分子依次为32,42,52，…，分母依次为(3－2)π，(4－2)π，(5－2)π，….故当不等式左边和式个数为n 时，归纳猜想右边应为n 2(n －2)π(n ≥3，n ∈N *)，故所求不等式为1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3，n ∈N *)．6．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图①所示的六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图②所示的六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图③所示的六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图④所示的六边形，以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数量的珠宝．使其构成更大的六边形，依此推断第六件首饰上应有________颗珠宝，第n 件首饰上应有________颗珠宝．(结果用n 表示，n ∈N *)答案 66 2n 2－n解析 设第n 件首饰上所用珠宝数为a n 颗，据题意可知，a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15，a 4＝28，a 5＝45，即a 2＝2×3，a 3＝3×5，a 4＝4×7，a 5＝5×9，a 6＝6×11，由此猜测，a n ＝n (2n －1)＝2n 2－n .7．将自然数按如下规则排列在平面直角坐标系中：①每一个自然数对应一个整点(横、纵坐标均为整数的点)；②0在原点，1在(0,1)，2在(1,1)，3在(1,0)，4在(1，－1)，5在(0，－1)，9在(－1,2)，…，所有自然数按顺序顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上且所有整点上均有自然数，则数字(2n ＋1)2(n ∈N *)的坐标为__________． 答案 (－n ，n ＋1)解析 9的坐标为(－1,2)，且9＝(2×1＋1)2,25的坐标为(－2,3)，且25＝(2×2＋1)2,49的坐标为(－3,4)，且49＝(2×3＋1)2，…，所以(2n ＋1)2的坐标为(－n ，n ＋1)． 8．观察以下等式：sin 230°＋cos 290°＋3sin30°·cos90°＝14；sin 225°＋cos 285°＋3sin25°·cos85°＝14；sin 210°＋cos 270°＋3sin10°·cos70°＝14.推测出反映一般规律的等式：_____________________________________________________. 答案 sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋3sin α·cos(60°＋α)＝14解析 ∵90°－30°＝60°，85°－25°＝60°，70°－10°＝60°， ∴其一般规律为sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋3sin α·cos(60°＋α)＝14.9．从大、小正方形的数量关系上，观察下图，归纳得出关于n (n ∈N *)的结论是______________ _____________．答案 1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2解析 从大、小正方形的数量关系上，容易发现 1＝12，1＋3＝2×2＝22， 1＋3＋5＝3×3＝32，1＋3＋5＋7＝4×4＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52， 1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.观察上述算式的结构特征，我们可以猜想： 1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.10．四个小动物换座位，开始是鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号位子，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么2012次互换座位后，小兔的座位对应的是编号________．答案 3解析 通过第1次、第2次、第3次、第4次互换后得到的结果与开始时一样，所以周期为4，又2012能被4整除，所以经过第2012次互换座位后，应为开始时的结果，即小兔的座位对应的是编号3.11．已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p ，0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e.将该命题类比到双曲线中，给出一个命题：_______________________________________________________.答案 在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率为e ，则|sin A －sin C |sin B ＝1e.解析 本题应是并列式类比，把椭圆方程x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)改为x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)，把p ＝m 2－n 2改为p ＝m 2＋n 2， 把sin A ＋sin C sin B ＝1e 改为sin A －sin C sin B ＝1e.注意到双曲线定义sin C －sin A sin B ＝1e 也应成立，从而|sin A －sin C |sin B ＝1e .二、解答题12．定义在实数集R 上的函数f (x )，对任意x ，y ∈R ，有f (x －y )＋f (x ＋y )＝2f (x )f (y )，且f (0)≠0.求证：f (x )是偶函数． 解 令x ＝y ＝0，则有f (0)＋f (0)＝2f (0)×f (0)， 因为f (0)≠0，所以f (0)＝1， 令x ＝0，则有f (－y )＋f (y )＝2f (0)f (y )＝2f (y )， 所以f (－y )＝f (y )， 因此，f (x )是偶函数．13．设a ＞0，且a ≠1，f (x )＝1a x＋a.(1)求值：f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)；(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x 都成立的一个等式，并加以证明． 解 (1)f (0)＋f (1)＝11＋a ＋1a ＋a ＝1a ＝aa，f (－1)＋f (2)＝1a －1＋a ＋1a 2＋a＝1a＝aa. (2)由(1)归纳得对一切实数x ，有f (x )＋f (1－x )＝a a. 证明：f (x )＋f (1－x )＝1a x ＋a ＋1a 1－x ＋a ＝1a x ＋a ＋a x a (a ＋a x )＝a ＋a x a (a ＋a x )＝1a ＝aa.三、探究与拓展14．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪⎧3，5，33＝⎩⎪⎨⎪⎧7，9，11，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13，15，17，19，…仿此，若m 3的“分裂数”中有一个数是2015，则m ＝________. 答案 45解析 根据分裂特点，设最小数为a 1，则ma 1＋m (m －1)2×2＝m 3，∴a 1＝m 2－m ＋1.∵a 1为奇数，又452＝2025， ∴猜想m ＝45.验证453＝91125＝(1981＋2069)×452，故a 1＝1981，满足a 1＝m 2－m ＋1.15.如图所示，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N.(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF cos∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系，并予以证明．(1)证明 ∵CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥PM ，CC 1⊥PN ，又∵PM ∩PN ＝P ，PM ，PN ⊂平面PMN ， ∴CC 1⊥平面PMN .又MN ⊂平面PMN ，∴CC 1⊥MN . (2)解 在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中有112ABB A S ＝112BCC B S ＋112ACC A S －211BCC B S ·11ACC A S cos x ，其中x 为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角的大小． 证明如下：∵CC 1⊥平面PMN ，∴x ＝∠MNP .在△PMN 中，PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos∠MNP .∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos∠MNP . ∵11BCC B S ＝PN ·C 1C ，11ACC A S ＝MN ·CC 1，11ABB A S ＝PM ·BB 1，∴112ABB A S ＝112BCC B S ＋112ACC AS －211BCC B S ·11ACC A S cos x .。

33－ 23＝3×２2＋3×2＋ 1；
43－ 33＝3×３2＋3×3＋ 1；
…；
(
n＋
1)
3
－
n3 ＝ 3×
n2
＋3×
n＋
1.
2
将以上各等式两边分别相加，得 ( n＋ 1) 3－ 13＝3×(1 2＋ 22＋…＋ n2) ＋3×(1 ＋ 2＋ 3＋…＋ n) ＋ n，
即
1 2＋ 2 2 ＋ 3 2＋…＋
体 A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由． 考点 类比推理的应用
题点 平面几何与立体几何之间的类比 解 类比 AB⊥ AC， AD⊥ BC，可以猜想在四面体 A－ BCD中， AB， AC， AD两两垂直， AE⊥平面 BCD，
11 11 则 AE2＝AB2＋ AC2＋AD2.
4 项，则这个数列
的一个通项公式为 ________．
答案 an＝ 3n－1( n∈ N*) 解析 a1＝ 1＝ 30，a2＝ 3＝ 31， a3＝9＝ 32， a4＝ 27＝ 33，…， 由此猜想 an＝ 3n－1( n∈ N*) ．
类型二 类比推理的应用
例 2 通过计算可得下列等式：
3
3
2
2 － 1 ＝3×１＋3×1＋ 1；
题：
(1) 第 6 行的 6 个数依次为 ________、________、________、________、________、________；
(2) a2＝________， a3＝ ________， a4＝________， a5＝ ________；
(3) an＋1＝ an＋ ________.
反思与感悟 (1) 解答类比推理的应用题的关键在于弄清原题解题的方法，

答案 平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(－p,0)和C(p,0)，顶点B在双曲线 － ＝1(m，n>0，p＝ )上，双曲线的离心率为e，则 ＝
11．已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5.
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律．
将该命题类比到双曲线中，给出一个命题：________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
(2)解 由(1)可知an－n＝4n－1，∴an＝n＋4n－1.
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(1＋40)＋(2＋41)＋…＋(n＋4n－1)
＝(1＋2＋…＋n)＋(1＋4＋…＋4n－1)
＝ ＋ ·4n－ .
(3)证明 由(2)知，Sn＋1－4Sn＝ ＋ ·4n＋1－ －4[ ＋ ·4n－ ]
＝ －2n(n＋1)＋1＝－ ≤0，∴Sn＋1≤4Sn恒成立(n∈N*)．
答案S1cosα＋S2cosβ＋S3cosγ
7．已知等式： tan30°·tan30°＋tan30°＋tan30°＝ ，
tan20°·tan40°＋tan20°＋tan40°＝ ，
tan15°·tan45°＋tan15°＋tan45°＝ .
据此猜想出一个一般性命题，并证明你的猜想．
解 猜想： tanα·tanβ＋tanα＋tanβ＝ ，
∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，

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修2-21．下面几种推理过程是演绎推理的是__________．(填序号)①两条直线平行，同旁内角互补,如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A ＋∠B ＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质③某校高三共有10个班，一班有51人,二班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人④在数列｛a n ｝中，a 1＝1，11112n n n a a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（n ≥2)，由此归纳出{a n ｝的通项公式 2．“平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提），平面内动点M 到两定点F 1（－2,0)，F 2(2，0）的距离之和为4（小前提)，则M 点的轨迹是椭圆(结论）．”此推理中错误的是____________．3．类比梯形的面积公式：S ＝12×(上底＋下底)×高，可推知上底半径为r 1，下底半径为r 2，母线长为l 的圆台侧面展开图中扇环的面积公式S 扇环＝__________。

4．因为直线a ，b 为异面直线，所以直线a ，b 没有交点，这里运用的推理规则是________．5．定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后面一项的和都为同一常数，那么这个数列叫等和数列．下列数列不是等和数列的为__________（填正确结论的序号)．①a n ＝10 ②2,3,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数③2,3,n n n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 ④22sin ,cos ,n n a n αα⎧=⎨⎩为奇数为偶数6．在三段论“∵a ＝（1,0),b ＝（0，－1）,∴a·b ＝(1,0）·（0，－1）＝1×0＋0×（－1)＝0,∴a⊥b ”中，大前提：___________________________________________________________________， 小前提：___________________________________________________________________, 结论：_____________________________________________________________________。