人教版九年级数学上册专题九圆周角定理的综合运用同步测试及答案

圆周角1．如图21－1－41，在⊙O 中，∠ABC ＝50°，则∠AOC 等于( D )图21－1－41A ．50°B ．80°C ．90°D ．100°2．如图21－1－42，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠BOC ＝100 °，则∠A 的度数为( B )图21－1－42A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°3．如图24－1－43，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 是BC 延长线上的一点，已知∠BOD ＝100°，则∠DCE 的度数为( C )A ．40°B ．60°C ．50°D ．80°【解析】 根据圆周角定理，可求得∠A 的度数；由于四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，根据圆DCE ＝∠A ＝50°.4．如图21－4－44，在⊙O 中，已知∠OAB ＝22.5°，则∠C 的度数为( D )图21－4－44A ．135° B. 122.5° C. 115.5° D ．112.5°【解析】 ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBC ＝22.5°，∴∠AOB ＝180°－22.5°－22.5°＝135°.∴∠C ＝12(360°－135°)＝112.5°. 5．[2013·苏州]如图21－4－45，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于( C )图21－4－45 第5题答图A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【解析】 连接BD ，如图，∵点D 是弧AC 的中点，即弧CD ＝弧AD ，∴∠ABD ＝∠CBD ，而∠ABC ＝50°，∴∠ABD ＝12×50°＝25°， ∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＝90°－25°＝65°.6．[2012·湘潭]如图24－1－46，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，若∠ABC ＝40°，则∠BOD ＝( D )图24－1－46A ．20°B ．40°C ．50°D ．80°【解析】 ∵弦AB ∥CD ，∴∠ABC ＝∠BCD ，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2∠ABC ＝2×40°＝80°.7．如图24－1－47，弦AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是__答案不唯一，如∠A ＝∠C 等__．图24－1－478．[2013·张家界]如图24－1－48，⊙O 的直径AB 与弦CD 垂直，且∠BAC ＝40°，则∠BOD ＝__80°__． 24－1－489．如图24－1－49，若AB 是⊙O 的直径，AB ＝10 cm ，∠CAB ＝30°，则BC ＝__5__cm.图24－1－4910．如图24－1－50，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上的一点，若∠CAB＝55°，则∠ADC的大小为__35__度．【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝55°，∴∠B＝90°－∠CAB＝35°，∴∠ADC＝∠B＝35°.图24－1－5011．如图24－1－51，在等边△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，连接AD，则∠DAC 的度数为__30°__．【解析】因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB＝90°.又因为△ABC是等边三角形，所以AD是∠BAC 的平分线，所以∠DAC＝30°.图24－1－5112．如图24－1－52，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数．解：如图，连接BD.∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD.又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC＝∠C.又∵∠BDC＝12∠BOC，∴∠C＝12∠BOC.∵AB⊥CD，即∠OEC＝90°，∴∠C＋∠BOC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ADC＝90°－∠C＝60°.图24－1－52第12题答图13．如图24－1－53，CD⊥AB于E，若∠B＝70°，则∠A＝__20°__．图24－1－53【解析】 因为CD ⊥AB ，∠B ＝70°，所以∠C ＝20°，所以∠A ＝20°.14．如图24－1－54，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心，∠AOC ＝108°，点D 在AB 的延长线上，BD ＝BC ，则∠D ＝__27°__． 【解析】 ∠ABC ＝12∠AOC ＝12×108°＝54°.因为BD ＝BC ，所以∠D ＝12∠ABC ＝12×54°＝27°.15．如图24－1－55，已知AB ，CD 是⊙O 的直径，DF ∥AB 交⊙O 于点F ，BE ∥DC 交⊙O 于点E .(1)求证：BE ＝DF ；(2)写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明)．【解析】 (1)首先由平行线性质得到∠EBA ＝∠COA ＝∠CDF ，然后根据相等的圆周角所对的弧相等即可证明ECA ︵＝CAF ︵，进一步得到BE ︵＝DF ︵，再根据等弧对等弦即可得到BE ＝DF ；(2)根据等弦对等弧和相等的圆周角所对的弧相等即可得到4组不同的且相等的劣弧．解：(1)证明：∵DF ∥AB ，BE ∥DC ，∴∠EBA ＝∠COA ＝∠CDF ，∴ECA ︵＝CAF ︵，∴BE ︵＝DF ︵，∴BE ＝DF .(2)图中相等的劣弧有：DF ︵＝BE ︵，EC ︵＝F A ︵，AC ︵＝BD ︵，DA ︵＝BC ︵，BF ︵＝DE ︵等．图24－1－5616．已知：如图24－1－56，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD .(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ；(2)求证：P 是线段AF 的中点．证明：(1)∵BD 平分∠CBA ，∴∠CBD ＝∠DBA .∵∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角，∴∠DAC ＝∠CBD ，∴∠DAC ＝∠DBA .(2)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝90°，∴∠ADE ＋∠EDB ＝∠ABD ＋∠EDB ＝90°，∴∠ADE ＝∠ABD ＝∠DAP ，∴PD ＝P A .又∵∠DF A ＋∠DAC ＝∠ADE ＋∠PD F ＝90°，∠ADE ＝∠DAC ，∴∠PDF ＝∠PFD ， ∴PD ＝PF ，∴P A ＝PF ，即P 是线段AF 的中点．17．已知：如图24－1－57(1)，在⊙O 中，弦AB ＝2，CD ＝1，AD ⊥BD .直线AD ，BC 相交于点E .(1)求∠E 的度数；(2)如果点C ，D 在⊙O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线AD ，BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下两种情况进行探究，并说明理由(图形未画完整，请你根据需要补全)． ①如图(2)，弦AB 与弦CD 交于点F ；②如图(3)，弦AB 与弦CD 不相交．图1－57【解析】 (1)连接OC ，OD ， 则∠COD ＝60°，且∠DBE ＝12∠DOC ＝30°. 解：(1)如图(1)，连接OC ，OD .∵AD ⊥BD ，∴AB 是⊙O 的直径，∴OC ＝OD ＝CD ＝1，∴△DOC是等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠DBE ＝12∠COD ＝30°，∴∠E ＝90°－∠DBE ＝60°.(2)(2)，，＝CO ＝CD ＝1，∴△DOC 为等边三角形，∴∠DOC ＝60°，∴∠DAC ＝12∠DOC ＝30°，∴∠EBD ＝∠DAC ＝30°.∵∠ADB ＝90°，∴∠E ＝90°－∠EBD ＝60°.②如图(3)，连接OD ，OC ，同理可得出∠CBD ＝30°，∠BED ＝90°－∠CBD ＝60°.。

24.1.4 圆周角学习目标1. 理解圆周角的概念.2. 掌握圆周角定理及其推论.3. 理解圆内接四边形的性质，探究四点共圆时的性质.课堂学习检测一、填空题1. 在圆上，并且角的两边都的角叫做圆周角.2. 一条弧所对的圆周角等于圆心角的 .3. 所对的圆周角 .4. 所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是 .5. 圆内接四边形的对角 .̂的中点，则图中与∠BAC相等的角有6. 如图, 在⊙O中, 若点 C 是BD.二、选择题7. 如图, OA是⊙O的半径, 弦BC⊥OA, D 是⊙O上一点, 且点 D 在优弧BC 上. 若∠ADB =28°, 则∠AOC的度数为 ( ).(A) 14° (B) 28° (C) 56° (D) 84°综合·运用·诊断一、填空题8. 如图, AB是⊙O的直径, CD是弦. 若∠ACD =65°, 则∠BAD的度数为9. 如图, 点 B, C, D 在⊙O 上. 若∠BCD =130°, 则∠BOD 的度数为 .10. 如图, A, B, C是⊙O上的三点, 且四边形OABC是菱形. 若点 D 是圆上异于A, B, C 的另一点, 则∠ADC的度数是 .二、选择题11. 如图, 点A, B, C, D, E均在⊙O上, 且AC为⊙O的直径, 则∠A+∠B+∠C的度数为( ).(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90°̂分成相等的三段弧，点P 在AĈ上. 若点Q在12. 如图, AB是⊙O的直径, 点C, D将ABAB̂上且∠APQ=115°,则点 Q所在的弧是 ( ).̂(B)PĈ(C)CD̂(D)DB̂(A)AP三、解答题.13. 如图, A, B, C, D四个点都在⊙O上, AD是⊙O的直径且AD=6cm,∠ABC=∠CAD.(1) 求弦AC的长;(2) 求∠CAD的度数.14. 如图, ⊙O为△ABC的外接圆，CE是⊙O的直径，CD⊥AB于点 D.求证：∠ACD=∠BCE.拓展·探究·思考15. 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，∠A=60°,∠B=90°,AB=2,CD=1,求AD的长.16. 如图, AB是⊙O的直径, 弦(CD⊥AB,E是⌢AC上一点, AE, DC的延长线交于点 F.求证：∠AED=∠CEF.。

微专题九__圆周角定理的综合运用__[学生用书B40]一 巧作辅助线(教材P87思考)圆内接四边形的四个角之间有什么关系？教材母题答图解：如答图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形．连接OB ，OD . ∵∠A 所对的弧为BCD ︵，∠C 所对的弧为BAD ︵， 又∵BCD ︵和BAD ︵所对的圆心角的和是周角，∴∠A ＋∠C ＝360°2＝180°.同理∠ABC ＋∠ADC ＝180°， ∴圆内接四边形的四个角之间的关系是对角互补．【思想方法】 通过添加辅助线来构造圆心角或圆周角是实现圆内角度转换的有效手段，尤其要注意构造直径所对的圆周角．[2018·青岛]如图1，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝140°，点B是AC ︵的中点，则∠D 的度数是( D ) A ．70°B ．55°C ．35.5°D ．35°图1 变形1答图【解析】 如答图，连接OB ，∵∠AOC ＝140°，点B 是的AC ︵中点，∴∠AOB ＝12∠AOC ＝70°.∵∠AOB 是AB ︵所对的圆心角，∠D 是AB ︵所对的圆周角，∴∠D ＝12∠AOB ＝35°.故选D.[2018·镇江]如图2，AB 为△ACD 的外接⊙O 的直径，若∠BAD ＝50°，则∠ACD ＝__40__°.图2 变形2答图【解析】 如答图，连接BC . ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵∠BCD ＝∠BAD ＝50°，∴∠ACD ＝∠ACB －∠BCD ＝90°－50°＝40°.如图3，点D 是等腰三角形ABC 底边的中点，过点A ，B ，D 作⊙O .(1)求证：AB 是⊙O 的直径；(2)延长CB 交⊙O 于点E ，连接DE ，求证：DC ＝DE .图3 变形3答图 证明：(1)如答图，连接BD ， ∵BA ＝BC ，AD ＝DC ，∴BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝90°，∴AB 是⊙O 的直径； (2)∵BA ＝BC ，∴∠A ＝∠C ， 由圆周角定理得∠A ＝∠E ， ∴∠C ＝∠E ，∴DC ＝DE .如图4，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是⊙O 上两点，AB ＝13，AC ＝5.(1)如图①，若P 是AB ︵的中点，求P A 的长； (2)如图②，若P 是BC ︵的中点，求P A 的长．① ②图4解：(1)如答图①，连接PB . ∵AB 是⊙O 的直径，P 是AB ︵中点， ∴∠APB ＝90°，P A ＝PB ，又∵AB ＝13，∴P A ＝22AB ＝1322；① ②变形4答图(2)如答图②，连接BC ，OP ，相交于点D ，连接PB .∵P 是BC ︵的中点，∴OP ⊥BC ，BD ＝CD ， 又∵OA ＝OB ，∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ＝12AC ＝52，∵OP ＝12AB ＝132，∴PD ＝OP －OD ＝132－52＝4， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，又∵AB ＝13，AC ＝5，∴BC ＝12，∴BD ＝12BC ＝6， ∴PB ＝PD 2＋BD 2＝213，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°， ∴P A ＝AB 2－PB 2＝313.已知：阿基米德折弦定理：如图5①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD .下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程．① ② ③图5证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG . ∵M 是ABC ︵的中点， ∴MA ＝MC . …任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边三角形ABC 内接于⊙O ，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是．解：(1)证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG . ∵M 是ABC ︵的中点，∴MA ＝MC . 在△MBA 和△MGC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝GC ，∠A ＝∠C ，MA ＝MC ，∴△MBA ≌△MGC (SAS)，∴MB ＝MG ， 又∵MD ⊥BC ，∴BD ＝GD ， ∴DC ＝GC ＋GD ＝AB ＋BD ；(2)在Rt △ABE 中，AB ＝2，∠ABE ＝45°，则BE ＝2， ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ， ∴AB ︵＝AC ︵，即点A 为BDC ︵的中点， ∵AE ⊥BD ，根据阿基米德折弦定理， BD ＋DC ＝2BE ＝22， ∴△BDC 的周长为2＋2 2.二 圆周角定理与垂径定理的综合应用(教材P89习题24.1第5题)如图6，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB ＝50°.求∠ADC 的度数．图6 解：∵OA⊥BC，∴AC︵＝AB︵，∴∠ADC＝12∠AOB＝25°.【思想方法】垂径定理与圆周角定理的综合运用题一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，再利用垂径定理求解．[2018·遂宁]如图7，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于点D，连接BE，若AB＝27，CD＝1，则BE的长是(B)图7A．5 B．6C．7 D．8【解析】设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝OC＝r，∵OC⊥AB，∴AD＝12AB＝7，∵CD＝1，∴OD＝r－1，∴OD2＋AD2＝OA2，∴(r－1)2＋(7)2＝r2，解得r＝4，∴OD＝3，∵AE是⊙O的直径，∴AB⊥BE，∴OD∥BE，∴BE＝2OD＝6.故选B.[2018·凉山州]如图8，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝8，∠D＝60°，则⊙O的半径为3．图8 变形2答图【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ， ∴DE ＝4，∵∠ADC ＝60°， ∴AD ＝8，AE ＝43，如答图，连接OD ，∵∠A ＝30°， ∴∠DOE ＝60°，∴2OE ＝OD ，∴AE ＝OA ＋OE ＝OD ＋OE ＝3OE ＝43， ∴OE ＝433，∴OD ＝833，即⊙O 的半径为833.[2018·安徽]如图9，⊙O 为锐角△ABC 的外接圆，其半径为5.图9(1)用尺规作图作出∠BAC 的平分线，并标出它与劣弧BC 的交点E (保留作图痕迹，不写作法)；(2)若(1)中的点E 到弦BC 的距离为3，求弦CE 的长． 解：(1)如答图①所示；变形3答图(2)如答图②，连接OE ，OC ，EC ， 由(1)知AE 为∠BAC 的角平分线， ∴∠BAE ＝∠CAE ，∴BE ︵＝EC ︵， 根据垂径定理知OE ⊥BC ，则DE ＝3. ∵OE ＝OC ＝5，∴OD ＝OE －DE ＝2.在Rt △ODC 中，DC ＝OC 2－OD 2＝52－22＝21， 在Rt △DEC 中，CE ＝DE 2＋DC 2＝32＋（21）2＝30， ∴弦CE 的长为30.如图10，已知在⊙O 中，AB ＝43，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于点F ，∠A ＝30°，求BD 及OF 的长．图10解：∵AB ＝43，AC ⊥BD ， ∠A ＝30°， ∴BF ＝12AB ＝23， ∴AF ＝AB 2－BF 2＝（43）2－（23）2＝6，∵AC 是⊙O 的直径， ∴BD ＝2BF ＝2×23＝4 3. 设OF ＝x ，则OB ＝AF －OF ＝6－x . 在Rt △OBF 中，OB 2＝BF 2＋OF 2，即(6－x )2＝(23)2＋x 2，解得x ＝2，即OF ＝2.如图11，⊙O 的半径OA ＝5 cm ，AB 是弦，∠OAB ＝30°，现有一动点C 从A 出发，沿弦AB 运动到B ，再从B 沿劣弧BA 回到点A . (1)若AC ＝12AB ，求OC 的长；(2)若当BC ＝CO 时，求∠COA 的度数．① ② 图11 变形5答图 解：(1)如答图①，当点C 在弦AB 上的C 1处时， ∵AC 1＝12AB ，即C 1为AB 的中点，∴OC 1⊥AB ， 在Rt △OAC 1中，∵∠A ＝30°， ∴OC 1＝12OA ＝52(cm)；当点C 在弧AB 上时，显然存在一点C 2使得AC 2＝12AB ，此时OC 2＝OA ＝5 cm. 综上所述，OC 的长为52 cm 或5 cm ； (2)如答图②，连接OB .∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠A ＝30°，∴∠AOB＝120°.当点C在弦AB上的C′处时，BC′＝C′O，则∠OBC′＝∠BOC′＝30°，∴∠C′OA＝120°－30°＝90°；当点C在弧AB上的C″处时，C″B＝OC″，∵OB＝OC″，∴△OBC″为等边三角形，∴∠BOC″＝60°，∴∠C″OA＝60°.综上所述，∠COA的度数为90°或60°.。

人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角》同步测试题带答案一、单选题1．如图，四边形ABCD 内接于O ，若70A ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）A ．70︒B ．90︒C ．110︒D ．140︒2．以原点O 为圆心的圆交x 轴于A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若⊙DAB ＝25°，则⊙OCD ＝（ ）．A ．50°B ．40°C ．70°D ．30°3．已知有一个长为8，宽为6的矩形，能够把这个矩形完全盖住的最小圆形纸片的半径是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，⊙O 的半径为4，点A 、B 、C 在⊙O 上，且⊙ACB ＝45°，则弦AB 的长是（ ）A ．43B ．4C ．43D ．35．如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ．再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE DE =，设ABC α∠=，则α所在的范围是（ ）A ．21.922.3α︒<<︒B ．22.322.7α︒<<︒C ．22.723.1α︒<<︒D ．23.123.5α︒<<︒6．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，连结AC 、AD 、BD ，若35CAB ∠=，则ADC ∠的度数为( )A ．35B ．55C ．65D ．70二、填空题7．如图，在O 中，点D 为弧BC 的中点 40COD ∠=︒，则BAD ∠= ．8．如图，⊙ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，若⊙CAB=55°，则⊙ADC 的大小为 （度）．9．如图，AB 为⊙O 直径，CD 为⊙O 的弦，⊙ACD=25°，⊙BAD 的度数为 ．10．如图，CD 是O 的弦，O 是圆心，把O 的劣弧沿着CD 对折，A 是对折后劣弧上的一点，若100CAD ∠=︒，那么BCA BDA ∠+∠= ．11．如图，等边ABC 中，AB=4，P 为AB 上一动点 ,PD BC PE AC ⊥⊥，则线段DE 的最小值为 ．12．如图，点A 的坐标为（－2，0），点B 的坐标为（8，0），以AB 为直径作⊙O′，交y 轴的负半轴于点C ，则点C 的坐标为 ，若二次函数2y ax bx c =++的图像经过点A ，C ，B ．已知点P 是该抛物线上的动点，当⊙APB 是锐角时，点P 的横坐标x 的取值范围是 ．三、解答题13．如图所示，AB是O的一条弦OD AB⊥，垂足为C，交O于点D，点E在O上．(1)若64∠=︒，求DEBAOD∠的度数；OC=，OA=10，求AB的长．(2)若6⊥，OD与AC交于14．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD AC点E．(1)若20∠的度数；CAB∠=︒，求CADAB=，AC=6，求DE的长．(2)若815．如图，ABC内接于O，60∠=︒点D是BC的中点．BC，AB边上的高AE，CFBAC相交于点H．试证明：∠=∠；（1）FAH CAO（2）四边形AHDO是菱形．16．如图，ABD △内接于半圆,O AB 是直径，点C 是BD 的中点，连接OC ，AC ，分别交BD 于点,F E ．(1)求证：OC AD ∥；(2)若10,8AB AC ==，求AD 的长．17．如图，在ABCD 中，过点C 的O 与AB ，AD 分别相切于点E ，F ，交BC ，CD 交于点G ，H ．连接FH ，FH=FD ．(1)求证：四边形ABGF 是平行四边形； (2)若4AE =，BE=6，求O 的半径．18．已知：如图，⊙ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，⊙CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE⊙AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD ． （1）求证：⊙DAC=⊙DBA ；（2）连接CD ，若CD ﹦3，BD ﹦4，求⊙O 的半径和DE 的长．题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C C C B B7．20︒8．359．65°10．20°11．312．（0，-4）0＜x＜613．(1)32︒(2)1614．(1)35︒(2)4716．(2)2.817．415318．（2）⊙O的半径为2.5；DE=2.4．。

2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：圆周角定理练习（九）一．选择题1．O为△ABC外心，∠BOC＝40°，则∠BAC＝（）A．40°B．30°C．20°D．10°2．如图，AB是半圆的直径，D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°3．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B＝（）A．100°B．72°C．64°D．36°＝4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE⊥CE于E，∠AOD＝60°，CD＝2，则S阴影（）A．﹣πB．﹣2πC．D．﹣π5．如图，已知A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°，则∠AOB等于（）A．60°B．50°C．45°D．30°6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAC＝22°，则∠ADC的度数是（）A．22°B．58°C．68°D．78°7．如图，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是（）A．88°B．92°C．106°D．136°8．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆玻璃镜的半径是（）A．cm B．5cm C．6cm D．10cm9．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（）A．40°，80°B．50°，100°C．50°，80°D．40°，100°10．如图，小华同学设计了一个圆的直径的测量器．标有刻度的两把尺子OA，OB在O点被钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，尺子OA与圆交于点F，尺子OB与圆交于点E，读得OF为8个单位长度，OE为6个单位长度．则圆的直径为（）A．25个单位长度B．14个单位长度C．12个单位长度D．10个单位长度二．填空题11．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，点C为圆上异于A、B的一点，∠OAB＝25°，则∠ACB ＝．12．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB＝65°，则∠OCD＝．13．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠ABO＝40°，∠BCD＝112°，E是AD中点，则∠DOE 的度数为．14．如图，△ABC内接于⊙O，弦DC⊥BC，已知⊙O的半径为5cm，弦BC长为6cm，则tan ∠BAC＝．15．如图，AC与BD交于P，AD、BC延长交于点E，∠AEC＝37°，∠CAE＝31°，则∠APB 的度数为．16．如图所示，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝54°，则∠BCD＝．三．解答题17．如图AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD ＝BD，连接AC交⊙O于点F连接AE、DE、DF．（1）证明；∠E＝∠C；（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF＝4，∠B＝60°，E是弧AB的中点，求AE的值．18．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E＝∠C；（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数；（3）连接AD，若⊙O的直径为6，DF＝4，求AD的长．19．如图，在⊙O中，有五个条件：①CD为直径，②AB⊥CD，③AM＝BM，④，⑤．我们知道垂径定理把①和②作为条件，可以推出③，④，⑤这三个结论．（1）若条件为：④和⑤，可以推出结论：①，②，③，请说明理由．（2）判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）．命题一：把②和④作为条件，我们可以推出①、③、⑤这三个结论．命题二：把③和④作为条件，我们可以推出①、②、⑤这三个结论．20．如图1，在△ABC中，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，且＝．（1）求证：AB＝AC．（2）若∠C＝70°，求的度数．（3）如图2，点F在⊙O上，＝，连结DF，DE．求证：∠ADF＝∠CDE．参考答案一．选择题1．解：∵O为△ABC的外心，∠BOC＝110°，∴∠BAC＝∠BOC＝20°．故选：C．2．解：连接OD，OC，∵∠ABC＝50°，∴∠AOC＝2∠ABC＝100°，∴AC弧＝100°，∵D是弧AC的中点，∴AD弧＝50°，∴BD弧＝130°，∴∠DOB＝130°，∴∠DAB＝∠DOB＝65°故选：C．3．解：连接OA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝28°，∴∠OAB＝64°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝64°，故选：C．4．解：连接AD，如图所示：∵∠AOD＝60°，OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD＝60°，AD＝OD，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CF＝DF＝CD＝，AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD＝∠AOD＝30°，∠ODC＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝OD＝＝＝2，∠CAD＝120°，∴∠DAE＝60°，∵DE⊥CE，∴∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝1，DE＝AE＝，∵∠ODE＝30°+60°＝90°，∴OD⊥DE，∴CE∥OD，∴四边形AODE是梯形，∴S＝（1+2）×﹣＝﹣π；阴影故选：A．5．解：∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°．故选：A．6．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣22°＝68°．∴∠ADC＝∠ABC＝68°．故选：C．7．解：如图，在优弧BD上取点A，连接AD，AB，∵∠BOD＝88°，∴∠BAD＝88°÷2＝44°．∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣44°＝136°．故选：D．8．解：如图，连接MN，∵∠O＝90°，∴MN是直径，又OM＝8cm，ON＝6cm，∴MN＝＝＝10（cm）．。

人教版九年级数学试题24.1.4 圆周角第2课时圆内角四边形的性质及圆周角定理的综合运用一. 选择题。

1. 如图，圆心角∠AOB＝120°，C、D、E是的四等分点，则弦OE和半径OA的关系是（）A. OA＜DEB. DE＜OAC. DE＝OAD. 以上均不对2. 在下列语句中，叙述正确的个数为（）①相等的圆周角所对弧相等②同圆等圆中，同弦或等弦所对圆周角相等③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形④等弧所对圆周角相等A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 在半径等于7cm的圆内有长为的弦，则此弦所对圆周角为（）A. 60°或120°B. 30°或150°C. 60°D. 120°4. 下列命题中不正确的是（）A. 圆内接平行四边形是矩形B. 圆内接菱形是正方形C. 圆内接梯形是等腰梯形D. 圆内接矩形是正方形5. 如图，∠E＝30°，AB＝BC＝CD，则∠ACD的度数为（）A. 12.5°B. 15°C. 20°D. 22.5°6. 四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（）A. 1∶3∶2∶4B. 7∶5∶10∶8C. 13∶1∶5∶17D. 1∶2∶3∶47. 圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于P，对角线AC、B D交于点Q，则图中共有相似三角形（）A. 4对B. 2对C. 1对D. 3对二. 填空题。

8. 一弦分圆周为5∶7，这弦所对的两圆周角分别为__________。

9. 如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，，∠AOB＝80°，则∠BOC＝__________，∠ABC＝__________，∠ACB＝_____∠CAB。

10. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠A＝__ ________，＝__________，∠BOC＝___________，＝___________＝___________。

圆周角定理的综合运用一巧作辅助线求角度(教材P89习题24.1第7题)求证：圆内接平行四边形是矩形．已知：如图1，已知平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：平行四边形ABCD是矩形．图1证明：∠A＋∠C＝180 °(圆内接四边形对角互补)又∠A＝∠C(平行四边形对角相等)∴∠A＝∠C＝90 °所以圆内接平行四边形是矩形．如图2，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是(A) 45°C．50°D．60°变形1【解析】如图，连接OB，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°.∵OB＝OC，∴∠OCD＝∠OBC＝180°－∠BOC2＝40°.如图3，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝__60°__．变形2【解析】如图，连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B＝∠AOC.∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠B＝2∠ADC.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴3∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝120°.∵∠1＝∠OAD＋∠ADO，∠2＝∠OCD ＋∠CDO，∴∠OAD＋∠OCD＝(∠1＋∠2)－(∠ADO＋∠CDO)＝∠AOC－∠ADC＝120°－60°＝60°.[2012·青岛]如图4，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOC ＝60°，则∠ABC 的度数是__150°__．【解析】 在优弧ADC ︵上取点D ，连接AD ，CD ，∵∠AOC ＝60°，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝30 °. ADC ＝180°，∴∠ABC ＝180°－∠ADC ＝180°－30°＝150°.故答案为150°.如图5，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝55°，则∠BCD 的度数为( A )B ．45°C ．55°D ．75°如图6，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC ＝∠APC ＝60°.(1)求证：△ABC 是等边三角形；(2)求圆心O 到BC 的距离OD .解：(1)在△ABC 中，∵∠BAC ＝∠APC ＝60°，又∵∠APC ＝∠ABC ，∴∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC 是等边三角形；(2)如图，连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠BAC ＝120°.∵OB ＝OC ，OD ⊥BC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝12(180°－∠BOC )＝30°.在Rt △BOD 中，∠ODB ＝90°，∠OBC ＝30°，∴OD ＝12OB ＝12×8＝4.二 圆周角定理与垂径定理的综合教材P89习题24.1第5题)如图7，OA ⊥BC ，∠AOB ＝50°，试确定∠ADC 的大小．图7 解：∵OA ⊥BC ，∴AC ︵＝AB ︵，∴∠ADC ＝12∠AOB ＝25°. 【思想方法】 垂径定理与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，利用垂径定理求解．如图8，⊙O 的弦AB 垂直半径OC 于点D ，∠CBA ＝30°，OC ＝3 3 cm ，则弦AB 的长为( A )图8A ．9 cmB ．3 3 cmC.92 cmD.332cm 解：∵∠CBA ＝30°，∴∠AOC ＝2∠CBA ＝60°，∵AB ⊥OC ，∴∠ADO ＝90°，∴∠OAD ＝30°，∴OD ＝12OA ＝12×33＝323(cm)， 由勾股定理得：AD ＝OA 2－OD 2＝4.5 cm ，∵AB ⊥OC ，OC 过O ，∴AB ＝2AD ＝9(cm)，故选A.如图9，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC .若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为( D )图9 变形2答图A ．215B ．8C ．210D ．213【解析】 ∵⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，AB ＝8，∴AC ＝BC ＝4，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r －2，在Rt △AOC 中，∵AC ＝4，OC ＝r －2，∴OA 2＝AC 2＋OC 2，即r 2＝42＋(r －2)2，解得r ＝5，∴AE ＝2r ＝10，连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，在Rt △ABE 中，∵AE ＝10，AB ＝8， ∴BE ＝AE 2－AB 2＝102－82＝6，在Rt △BCE 中，∵BE ＝6，BC ＝4，∴CE ＝BE 2＋BC 2＝62＋42＝213.故选D.如图10，半圆O 的直径AB ＝10，弦AC ＝6 cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为( A )图10 变形3答图A ．4 5 cmB ．3 5 cmC ．5 5 cmD ．4 cm【解析】 连接OD ，OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵∠CAD ＝∠BAD (角平分线的性质)，∴CD ︵＝BD ︵，∴∠DOB ＝∠OAC ＝2∠BAD ，∴△AOF ≌△OED ，∴OE ＝AF ＝12AC ＝3 cm ， 在Rt △DOE 中，，DE ＝OD 2－OE 2＝4 cm ，在Rt △ADE 中，AD ＝DE 2＋AE 2＝4 5 cm ，故选A.如图11，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB ＝30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G ，H 两点，若⊙O 的半径为7，则GE ＋FH 的最大值为__10.5__．图11 变形4答图【解析】 如图，当GH 为⊙O 的直径时，GE ＋FH 有最大值．∵⊙O 的半径为7，∴GH ＝14.连接OA ，OB .∵∠ACB ＝30°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝60°，∵OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形，∴AB ＝OA ＝OB ＝7，∵点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，∴EF ＝12AB ＝3.5， ∴GE ＋FH ＝GH －EF ＝14－3.5＝10.5.故答案为10.5.如图12，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB ＝40°，∠APD ＝65°.(1)求∠B 的大小； O 到BD 的距离．图12变形5答图解：(1)∵∠APD ＝∠C ＋∠CAB ，∴∠C ＝∠APD －∠CAB ＝65°－40°＝25°.∴∠B ＝∠C ＝25°.(2)如图，过点O 作OE ⊥BD 于点E ，则DE ＝BE .又∵AO ＝BO ，∴OE ＝12AD ＝12×6＝3.∴圆心O 到BD 的距离为3.如图13所示，AB 是⊙O 的一条弦，E 在⊙O 上，设⊙O 的半径为4 cm ，AB ＝4 3 cm ，(1)求圆心O 到弦AB 的距离OD ；(2)求∠AEB 的度数．解：(1)连接OA ，OB .∵OD ⊥AB ，∴AD ＝12AB ＝2 3 cm. 在Rt △ODA 中，OA ＝4 cm ，∴OD ＝OA 2－AD 2＝16－12＝2 (cm)；(2)Rt △ODA 中，OA ＝4 cm ，OD ＝2 cm ，∴∠OAD ＝30°，∴∠AOD ＝60°.∵OA ＝OB ，OD ⊥AB ，∴∠AOB ＝2∠AEB ＝120°，∴∠AEB ＝1∠AOB ＝60°.图14如图14，已知在⊙O 中，AB ＝43，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A ＝30°，求BD 及OF 的长．解：∵AB ＝43，AC ⊥BD 于F ，∠A ＝30°，∴BF ＝12AB ＝43×12＝23，AF ＝AB 2－BF 2＝（43）2－（23）2＝6. ∵AC 是⊙O 的直径，∴BD ＝2BF ＝2×23＝4 3.设OF ＝x ，则OB ＝AF －OF ＝6－x ，在Rt △OBF 中，OB 2＝BF 2＋OF 2，即(6－x )2＝(23)2＋x 2，解得x ＝2，即OF ＝2.答：BD 的长是43，OF 的长是2.如图15，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，以OA 为直径的⊙D 与AC 相交于点E .(1)若AC ＝16，求AE 的长．(2)若C 点在⊙O 上运动(不包括A ，B 两点)，则在运动的过程中AC 与AE 有何特殊的数量关系？请把你探究得到的结论填写在横线上．解：(1)如图，连接OE ，∵AO 是⊙D 的直径，∴∠OEA ＝90°，∴OE ⊥AC .∵OE 过⊙O 的圆心O ，∴AE ＝CE ＝12AC ＝12×16＝8. (2)若C 点在⊙O 上运动(不包括A ，B 两点)，则在运动的过程中AE ＝12AC .。

人教版九年级上册数学24.1.4 圆周角同步练习一．填空题1．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝54°，则∠BAC＝°．2．如图，⊙O中，∠AOB＝80°，点C、D是上任两点，则∠C+∠D的度数是°．3．如图，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD＝25°，则∠AOD＝．4．如图，点A，D，B为⊙O上的三点，∠AOB＝120°，且过A的直线交BD延长线于点C，连接AD，且AD ＝CD，则∠C的度数为．5．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，∠C＝130°，则∠ADB的度数为．6．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠AOB＝100°，则∠ABD＝．7．如图，已知⊙O的半径为6，C、D在直径AB的同侧半圆上，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值是．8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，（1）若CD＝16，BE＝4，则⊙O的半径为；（2）点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB，若∠M＝∠D，则∠D的度数为．9．如图，△ABC中，∠A＝60°，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC边于E、D，连接BD、CE交于点F．以下四个结论：①ED＝BC；②∠ACE＝30°；③BD平分∠ABC；④若连接AF，则AF⊥BC．其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，∠BOC＝2∠BAD，则⊙O的直径为．二．解答题11．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC并延长至点D，使DC＝CB．连接DA并延长，交⊙O 于另一点E，连接AC，CE．（1）求证：∠E＝∠D（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．12．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝62°，∠APD＝86°．（1）求∠B的大小；（2）已知AD＝6，求圆心O到BD的距离．13．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠BAC＝20°，∠DAC＝35°．求证：AD＝CD．14．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，以长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．（1）求点C、P的坐标；（2）求证：BE＝2OE．15．如图，在△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的⊙O与AC、BC分别相交于点D、E，连接DE．（1）求∠CED的度数．（2）若DE＝BE，求∠C的度数．16．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由．参考答案一．填空题1．36．2．80．3．130°．4．30°．5．40°．6． 25°．7．6．8．30°．9．①②④．10． 10．二．解答题11．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∵DC＝CB，∴AD＝AB．∴∠B＝∠D，∵∠E＝∠B，∴∠E＝∠D；（2）解：∵∠E＝∠D，∴DC＝CE，∵DC＝CB，∴CB＝CE，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（BC﹣2）2+BC2＝42解得，BC1＝1+，BC1＝1﹣（舍去），∴CE＝1+，即CE的长为1+．12．（1）∵∠APD＝∠CAB+∠C，∴∠C＝∠APD﹣∠CAB＝86°﹣62°＝24°，∴∠B＝∠C＝24°；（2）作OE⊥BD于E，如图所示：则DE＝BE，∵OA＝OB，∴OE是△ABD的中位线，∴OE＝AD＝×6＝3，即圆心O到BD的距离为3．13．证明：∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣70°＝110°，在△ABC中，∵∠DAC＝35°，∴∠DCA＝180°﹣∠DAC﹣∠D＝180°﹣35°﹣110°＝35°，∴∠DCA＝∠DAC，∵AD＝CD．14．（1）解：连接PB，∵PA是圆M的直径，∴∠PBA＝90°∴AO＝OB＝3又∵MO⊥AB，∴PB∥MO．∴PB＝2OM＝∴P点坐标为（3，）（2分）在直角三角形ABP中，AB＝6，PB＝2，根据勾股定理得：AP＝4，所以圆的半径MC＝2，又OM＝，所以OC＝MC﹣OM＝，则C（0，）（1分）（2）证明：连接AC．∵AM＝MC＝2，AO＝3，OC＝，∴AM＝MC＝AC＝2，∴△AMC为等边三角形（2分）又∵AP为圆M的直径得∠ACP＝90°得∠OCE＝30°（1分）∴OE＝1，BE＝2∴BE＝2OE．（2分）15．（1）∵四边形ABED 圆内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∵∠CED+∠DEB＝180°，∴∠CED＝∠A，∵∠A＝68°，∴∠CED＝68°；（2）连接AE．∵DE＝BE，∴＝，∴∠DAE＝∠EAB＝∠CAB＝34°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠DAE＝90°﹣34°＝56°．16．作直径EF交⊙O于F，连接AF，则AF是∠BAC的平分线．理由是：∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，即∠EAO+∠OAF＝90°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠EAO，∴∠CAF＝∠OAF，∴AF是∠BAC的平分线．。

人教版九年级数学上册《24.1.4圆周角》同步测试题附答案一、单选题1．如图，点A，B，C在⊙O上∠BAC=52°，连结OB，OC，则∠BOC的度数为（）A．26°B．70°C．104°D．128°2．用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，在下面四种情形中，可判断工件是半圆环形的（）A．B．C．D．3．如图，⊙O的直径AB为10，弦AC＝6，⊙ACB的平分线交⊙O于D点，交AB于E点，则DE的长为（）A．7√2B．247√2C．257√2D．2454．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=40°，∠APD=77°，则∠B的大小是（）．A．33°B．37°C．43°D．47°5．如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB=√3，则弦AB所对圆周角的度数为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°6．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，且⊙BOD＝110°，则⊙BCD为（）A．110°B．115°C．120°D．125°7．如图，在半圆O中，若⊙ABC＝70°，则⊙ADC的度数为（）A．70°B．140°C．110°D．130°8．如图，⊙O中OC⊥AB，∠BOC=50°，则∠ADC的度数是（）A．20°B．24°C．25°D．30°9．如图，△ABC是等边三角形AB=2，点P是△ABC内一点，且∠BAP−∠CBP=30°，连接CP，则CP的最小值为（）A．12B．√32C．2−√3D．√3−1二、填空题10．如图，点A、B、C、D、E均在⊙O上，连接AB、BC、CD、AE，且∠A+∠C=155°，则弧DE所对圆心角的度数为．11．如图，△ABC内接于⊙O，连接OB，已知∠OBA=20°，则∠ACB=．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在AD的延长线上∠ABC=135°，AC=4．（1）∠CDE的度数为；（2）⊙O的半径为．13．如图，点C、D在以AB为直径的半圆上∠BCD=120°，若AB=2，则弦BD的长为 .14．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ．若AB =8，OC =3则EC 的长为 ．15．如图，△ABC 内接于⊙O ．若⊙O 的半径为3，∠C =45°则弦AB 的长为 ．16．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ⏜上的三等分点∠AOE =60°，则∠COE 的度数是 ．17．如图，四边形ABCD 的对角线AC 是⊙O 的直径AB =AD ，∠AOD =110°，则∠BCD = °．三、解答题18．如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，且AB=CD．求证：DE=BE．19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦∠ACD=36°，求∠BOD的度数．20．如图所示，BC是⊙O的直径AD⊥BC，垂足为D，AB=AF，BF和AD相交于E，求证：BE=AE．21．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，⊙APB=⊙CPB=60°．(1)判断⊙ABC的形状，并证明你的结论．(2)证明：P A+PC=PB．22．（1）【问题情境】A是⊙O外一点，P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA=5，则点P到点A的最短距离为．（2）【直接运用】如图1，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（3）【构造运用】如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿边BC，CD向终点C，D运动，连接AM和BN交于点P，求点P到点C的距离最小值．（4）【灵活运用】如图3，⊙O的半径为4，弦AB=4，C为优弧AB上一动点，AM⊥AC交直线CB于点M，则△ABM面积的最大值是．参考答案：1．C2．B3．C4．B5．D6．D7．C8．C9．D10．50°11．70°12．135°2√213．√3．14．2√1315．3√216．80°17．11018．证明：⊙AB=CD⌢=CD⌢⊙AB⌢−BD⌢=CD⌢−BD⌢⊙AB⌢=CB⌢⊙AD⊙AD=BC又⊙∠A=∠C，∠D=∠B⊙△ADE≌△CBE⊙DE=BE．19．⊙AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=36°⊙∠AOD=2∠ACD=72°⊙∠BOD=180°−∠AOD=108°．20．证明：延长AD交⊙O于H，如图∵AB=AF∴AB⌢=AF⌢∵AD⊥BC∴AB⌢=BH⌢∴BH⌢=AF⌢∴∠BAH=∠ABF ∴AE=BE．21．（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，⊙BCA=⊙APB=60°，⊙BAC=⊙CPB=60°⊙⊙ABC=60°⊙⊙ABC=⊙ACB=⊙BAC=60°⊙⊙ABC是等边三角形；（2）证明：在PB上截取PH=P A⊙⊙APB=60°⊙⊙APH为等边三角形⊙AP=AH，⊙P AH=60°⊙⊙BAH+⊙CAH=⊙P AC+⊙CAH即⊙BAH=⊙P AC在△AHB和△APC中{AB=AC∠BAH=∠PACAH=AP⊙⊙AHB⊙⊙APC（AAS）,⊙BH=PC⊙PB=PH+BH=P A+PC．22．解：（1）当点P是OA与⊙O的交点时，PA为最短AP=AO−OP=5−2=3（2）如图，连接AO，当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的最短∵AC=BC=2∴r=12BC=1∴AO=√22+12=√5∴AP的最小值为AO−r=√5−1故答案为：√5−1；（3）∵AB=BC,∠ABM=∠BCN∴△ABM≌△BCN∴∠BAM=∠CBN∴∠CBN+∠ABP=90°∴∠BAM+∠ABP=90°∴AM⊥BN故点P点在以AB为直径的圆上运动，连接OC，与⊙O的交点，此交点P即为PC最小时的位置；∵AB=6∴OC=√32+62=3√5∴PC的最小值为3√5−3；（4）连接OA,OB∵OA=OB=4=AB∴△AOB是等边三角形∴∠AOB=60°∴∠ACB=1∠AOB=30°2∵AM⊥AC∴∠M=60°∵AB=4，要使△ABM面积最大，则点M到AB的距离最大如图，∵∠M=60°∴点M在以∠ADB=120°的⊙D上当AM=BM时，点M到AB的距离最大∴△ABM是等边三角形∴△ABM的最大面积为12AB×√32AB=√34AB2=√34×16=4√3．第11页共11页。

微专题九__圆周角定理的综合运用__[学生用书B40]一 巧作辅助线(教材P87思考)圆内接四边形的四个角之间有什么关系？教材母题答图解：如答图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形．连接OB ，OD . ∵∠A 所对的弧为BCD ︵，∠C 所对的弧为BAD ︵， 又∵BCD ︵和BAD ︵所对的圆心角的和是周角，∴∠A ＋∠C ＝360°2＝180°.同理∠ABC ＋∠ADC ＝180°， ∴圆内接四边形的四个角之间的关系是对角互补．【思想方法】 通过添加辅助线来构造圆心角或圆周角是实现圆内角度转换的有效手段，尤其要注意构造直径所对的圆周角．[2018·青岛]如图1，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝140°，点B是AC ︵的中点，则∠D 的度数是( D ) A ．70°B ．55°C ．35.5°D ．35°图1 变形1答图【解析】 如答图，连接OB ，∵∠AOC ＝140°，点B 是的AC ︵中点，∴∠AOB ＝12∠AOC ＝70°.∵∠AOB 是AB ︵所对的圆心角，∠D 是AB ︵所对的圆周角，∴∠D ＝12∠AOB ＝35°.故选D.[2018·镇江]如图2，AB 为△ACD 的外接⊙O 的直径，若∠BAD ＝50°，则∠ACD ＝__40__°.图2 变形2答图【解析】 如答图，连接BC . ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵∠BCD ＝∠BAD ＝50°，∴∠ACD ＝∠ACB －∠BCD ＝90°－50°＝40°.如图3，点D 是等腰三角形ABC 底边的中点，过点A ，B ，D 作⊙O .(1)求证：AB 是⊙O 的直径；(2)延长CB 交⊙O 于点E ，连接DE ，求证：DC ＝DE .图3 变形3答图 证明：(1)如答图，连接BD ， ∵BA ＝BC ，AD ＝DC ，∴BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝90°，∴AB 是⊙O 的直径； (2)∵BA ＝BC ，∴∠A ＝∠C ， 由圆周角定理得∠A ＝∠E ， ∴∠C ＝∠E ，∴DC ＝DE .如图4，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是⊙O 上两点，AB ＝13，AC ＝5.(1)如图①，若P 是AB ︵的中点，求P A 的长； (2)如图②，若P 是BC ︵的中点，求P A 的长．① ②图4解：(1)如答图①，连接PB . ∵AB 是⊙O 的直径，P 是AB ︵中点， ∴∠APB ＝90°，P A ＝PB ，又∵AB ＝13，∴P A ＝22AB ＝1322；① ②变形4答图(2)如答图②，连接BC ，OP ，相交于点D ，连接PB .∵P 是BC ︵的中点，∴OP ⊥BC ，BD ＝CD ， 又∵OA ＝OB ，∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ＝12AC ＝52，∵OP ＝12AB ＝132，∴PD ＝OP －OD ＝132－52＝4， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，又∵AB ＝13，AC ＝5，∴BC ＝12，∴BD ＝12BC ＝6， ∴PB ＝PD 2＋BD 2＝213，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°， ∴P A ＝AB 2－PB 2＝313.已知：阿基米德折弦定理：如图5①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD .下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程．① ② ③图5证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG . ∵M 是ABC ︵的中点， ∴MA ＝MC . …任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边三角形ABC 内接于⊙O ，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是．解：(1)证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG . ∵M 是ABC ︵的中点，∴MA ＝MC . 在△MBA 和△MGC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝GC ，∠A ＝∠C ，MA ＝MC ，∴△MBA ≌△MGC (SAS)，∴MB ＝MG ， 又∵MD ⊥BC ，∴BD ＝GD ， ∴DC ＝GC ＋GD ＝AB ＋BD ；(2)在Rt △ABE 中，AB ＝2，∠ABE ＝45°，则BE ＝2， ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ， ∴AB ︵＝AC ︵，即点A 为BDC ︵的中点， ∵AE ⊥BD ，根据阿基米德折弦定理， BD ＋DC ＝2BE ＝22， ∴△BDC 的周长为2＋2 2.二 圆周角定理与垂径定理的综合应用(教材P89习题24.1第5题)如图6，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB ＝50°.求∠ADC 的度数．图6 解：∵OA⊥BC，∴AC︵＝AB︵，∴∠ADC＝12∠AOB＝25°.【思想方法】垂径定理与圆周角定理的综合运用题一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，再利用垂径定理求解．[2018·遂宁]如图7，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于点D，连接BE，若AB＝27，CD＝1，则BE的长是(B)图7A．5 B．6C．7 D．8【解析】设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝OC＝r，∵OC⊥AB，∴AD＝12AB＝7，∵CD＝1，∴OD＝r－1，∴OD2＋AD2＝OA2，∴(r－1)2＋(7)2＝r2，解得r＝4，∴OD＝3，∵AE是⊙O的直径，∴AB⊥BE，∴OD∥BE，∴BE＝2OD＝6.故选B.[2018·凉山州]如图8，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝8，∠D＝60°，则⊙O的半径为3．图8 变形2答图【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ， ∴DE ＝4，∵∠ADC ＝60°， ∴AD ＝8，AE ＝43，如答图，连接OD ，∵∠A ＝30°， ∴∠DOE ＝60°，∴2OE ＝OD ，∴AE ＝OA ＋OE ＝OD ＋OE ＝3OE ＝43， ∴OE ＝433，∴OD ＝833，即⊙O 的半径为833.[2018·安徽]如图9，⊙O 为锐角△ABC 的外接圆，其半径为5.图9(1)用尺规作图作出∠BAC 的平分线，并标出它与劣弧BC 的交点E (保留作图痕迹，不写作法)；(2)若(1)中的点E 到弦BC 的距离为3，求弦CE 的长． 解：(1)如答图①所示；变形3答图(2)如答图②，连接OE ，OC ，EC ， 由(1)知AE 为∠BAC 的角平分线， ∴∠BAE ＝∠CAE ，∴BE ︵＝EC ︵， 根据垂径定理知OE ⊥BC ，则DE ＝3. ∵OE ＝OC ＝5，∴OD ＝OE －DE ＝2.在Rt △ODC 中，DC ＝OC 2－OD 2＝52－22＝21， 在Rt △DEC 中，CE ＝DE 2＋DC 2＝32＋（21）2＝30， ∴弦CE 的长为30.如图10，已知在⊙O 中，AB ＝43，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于点F ，∠A ＝30°，求BD 及OF 的长．图10解：∵AB ＝43，AC ⊥BD ， ∠A ＝30°， ∴BF ＝12AB ＝23， ∴AF ＝AB 2－BF 2＝（43）2－（23）2＝6，∵AC 是⊙O 的直径， ∴BD ＝2BF ＝2×23＝4 3. 设OF ＝x ，则OB ＝AF －OF ＝6－x . 在Rt △OBF 中，OB 2＝BF 2＋OF 2，即(6－x )2＝(23)2＋x 2，解得x ＝2，即OF ＝2.如图11，⊙O 的半径OA ＝5 cm ，AB 是弦，∠OAB ＝30°，现有一动点C 从A 出发，沿弦AB 运动到B ，再从B 沿劣弧BA 回到点A . (1)若AC ＝12AB ，求OC 的长；(2)若当BC ＝CO 时，求∠COA 的度数．① ② 图11 变形5答图 解：(1)如答图①，当点C 在弦AB 上的C 1处时， ∵AC 1＝12AB ，即C 1为AB 的中点，∴OC 1⊥AB ， 在Rt △OAC 1中，∵∠A ＝30°， ∴OC 1＝12OA ＝52(cm)；当点C 在弧AB 上时，显然存在一点C 2使得AC 2＝12AB ，此时OC 2＝OA ＝5 cm. 综上所述，OC 的长为52 cm 或5 cm ； (2)如答图②，连接OB .∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠A ＝30°，∴∠AOB＝120°.当点C在弦AB上的C′处时，BC′＝C′O，则∠OBC′＝∠BOC′＝30°，∴∠C′OA＝120°－30°＝90°；当点C在弧AB上的C″处时，C″B＝OC″，∵OB＝OC″，∴△OBC″为等边三角形，∴∠BOC″＝60°，∴∠C″OA＝60°.综上所述，∠COA的度数为90°或60°.。