贾俊平《统计学》第6章-统计量及其抽样分布

第四章统计数据的概括性度量4．1 一家汽车零售店的10名销售人员5月份销售的汽车数量(单位：台)排序后如下：2 4 7 10 10 10 12 12 14 15要求：（1）计算汽车销售量的众数、中位数和平均数。

(2)根据定义公式计算四分位数。

(3)计算销售量的标准差。

(4)说明汽车销售量分布的特征。

解：Statistics10Missing 0Mean 9.60Median 10.00Mode 10Std. Deviation 4.169Percentiles 25 6.2550 10.0075单位：周岁19 15 29 25 2423 21 38 22 1830 20 19 19 1623 27 22 34 2441 20 31 17 23要求；(1)计算众数、中位数：排序形成单变量分值的频数分布和累计频数分布：网络用户的年龄(2)根据定义公式计算四分位数。

Q1位置=25/4=6.25，因此Q1=19，Q3位置=3×25/4=18.75，因此Q3=27，或者，由于25和27都只有一个，因此Q3也可等于25+0.75×2=26.5。

(3)计算平均数和标准差；Mean=24.00；Std. Deviation=6.652(4)计算偏态系数和峰态系数：Skewness=1.080；Kurtosis=0.773(5)对网民年龄的分布特征进行综合分析：分布，均值=24、标准差=6.652、呈右偏分布。

如需看清楚分布形态，需要进行分组。

1、确定组数：()lg 25lg() 1.398111 5.64lg(2)lg 20.30103n K =+=+=+=，取k=6 2、确定组距：组距＝( 最大值 - 最小值)÷ 组数=（41-15）÷6=4.3，取53、分组频数表网络用户的年龄 (Binned)分组后的直方图：客都进入一个等待队列：另—种是顾客在三千业务窗口处列队3排等待。

统计学重点笔记第一章导论一、比较描述统计和推断统计：数据分析是通过统计方法研究数据，其所用的方法可分为描述统计和推断统计。

（1）描述性统计：研究一组数据的组织、整理和描述的统计学分支，是社会科学实证研究中最常用的方法，也是统计分析中必不可少的一步。

内容包括取得研究所需要的数据、用图表形式对数据进行加工处理和显示，进而通过综合、概括与分析，得出反映所研究现象的一般性特征。

（2）推断统计学：是研究如何利用样本数据对总体的数量特征进行推断的统计学分支。

研究者所关心的是总体的某些特征，但许多总体太大，无法对每个个体进行测量，有时我们得到的数据往往需要破坏性试验，这就需要抽取部分个体即样本进行测量，然后根据样本数据对所研究的总体特征进行推断，这就是推断统计所要解决的问题。

其内容包括抽样分布理论，参数估计，假设检验，方差分析，回归分析，时间序列分析等等。

（3）两者的关系：描述统计是基础，推断统计是主体二、比较分类数据、顺序数据和数值型数据：根据所采用的计量尺度不同，可以将统计数据分为分类数据、顺序数据和数值型数据。

（1）分类数据是只能归于某一类别的非数字型数据。

它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，是用文字来表达的，它是由分类尺度计量形成的。

（2）顺序数量是只能归于某一有序类别的非数字型数据。

也是对事物进行分类的结果，但这些类别是有顺序的，它是由顺序尺度计量形成的。

（3）数值型数据是按数字尺度测量的观察值。

其结果表现为具体的数值，现实中我们所处理的大多数都是数值型数据。

总之，分类数据和顺序数据说明的是事物的本质特征，通常是用文字来表达的，其结果均表现为类别，因而也统称为定型数据或品质数据；数值型数据说明的是现象的数量特征，通常是用数值来表现的，因此可称为定量数据或数量数据。

三、比较总体、样本、参数、统计量和变量：（1）总体是包含所研究的全部个体的集合。

通常是我们所关心的一些个体组成，如由多个企业所构成的集合，多个居民户所构成的集合。

第6章 统计量及其抽样分布一、思考题1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？ 答：（1）设是从总体中抽取的容量为的一个样本，如果由此样本构造一个函数，不依赖于任何未知参数，则称函数是一个统计量。

（2）在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。

为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。

（3）统计量是样本的一个函数。

由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。

2．判断下列样本函数哪些是统计量？哪些不是统计量？12n X X X ，，…，X n 12()n T X X X ，，…，12()n T X X X ，，…，1121021210310410()/10min()T X X X T X X X T X T X μμσ=+++==-=-…，，…，（）/答：统计量中不能含有未知参数，故、是统计量，、不是统计量。

3．什么是次序统计量？答：设是从总体中抽取的一个样本，称为第个次序统计量，它是样本满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值…，时，其由小到大的排序中，第个值就作为次序统计量的观测值，而称为次序统计量，其中和分别为最小和最大次序统计量。

4．什么是充分统计量？答：在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那对保证后边的统计推断质量具有重要意义。

统计量加工过程中一点信息都不损失的统计量通常称为充分统计量。

5．什么是自由度？答：统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的变量的个数。

第6章　统计量及其抽样分布一、思考题1．什么是统计量？为什么要引进统计量？统计量中为什么不含任何未知参数？答：（1）设12n X X X ，，…，是从总体X 中抽取的容量为n 的一个样本，如果由此样本构造一个函数12()n T X X X ，，…，，不依赖于任何未知参数，则称函数12()n T X X X ，，…，是一个统计量。

（2）在实际应用中，当从某总体中抽取一个样本后，并不能直接应用它去对总体的有关性质和特征进行推断，这是因为样本虽然是从总体中获取的代表，含有总体性质的信息，但仍较分散。

为了使统计推断成为可能，首先必须把分散在样本中关心的信息集中起来，针对不同的研究目的，构造不同的样本函数。

（3）统计量是样本的一个函数。

由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处理，把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上，不同的统计推断问题要求构造不同的统计量，所以统计量不包含未知参数。

2．判断下列样本函数哪些是统计量？哪些不是统计量？1121021210310410()/10min()T X X X T X X X T X T X μμσ=+++==-=-…，，…，（）/答：统计量中不能含有未知参数，故1T 、2T 是统计量，3T 、4T 不是统计量。

3．什么是次序统计量？答：设12n X X X ，，…，是从总体X 中抽取的一个样本，()i X 称为第i 个次序统计量，它是样本12()n X X X ，，…，满足如下条件的函数：每当样本得到一组观测值12X X ，，…，n X 时，其由小到大的排序(1)(2)()()i n X X X X ≤≤≤≤≤……中，第i 个值()i X 就作为次序统计量()i X 的观测值，而(1)(2)()n X X X ，，…，称为次序统计量，其中(1)X 和()n X 分别为最小和最大次序统计量。

4．什么是充分统计量？答：在统计学中，假如一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来，那对保证后边的统计推断质量具有重要意义。

第六章统计量及其抽样分布练习题一．选择题1.抽样分布是指（）A.一个样本各观测值的分布B. 总体中各观测值的分布C．样本统计量的分布 D.样本数量的分布2.根据中心极限定理可知，当样本量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的均值为（）σ D. 2σ/nA.μB. XC. 23. 根据中心极限定理可知，当样本量充分大时，样本均值的抽样分布服从正态分布，其分布的方差为（）σ D. 2σ/nA.μB. XC. 24.从均值为μ，标准差为σ（有限）的任意一个总体中抽取大小为n的样本，则（）A.当n充分大时，样本均值X的分布近似遵从正态分布B．只有当n<30时，样本均值X的分布近似遵从正态分布C.样本均值X的分布与n无关D.无论n多大，样本均值X的分布都为非正态分布5.假定总体服从均匀分布，从总体中抽取容量为36的样本，则样本均值的抽样分布（）A.服从均匀分布B.服从T分布C.服从非正态分布D.近似服从正态分布6.从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4，16，36的样本，当样本容量增大时，样本均值的标准差（）A.保持不变B.增加C.减小D.无法确定7.某大学的一家快餐店记录了过去5年每天的营业额，每天营业额的均值为2500元，标准差为400元。

由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营业额的分布是右偏的，假设从这5年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（）A.正态分布，均值为250元，标准差为40元B.正态分布，均值为2500元，标准差为40元C.右偏，均值为2500元，标准差为40元D.正态分布，均值为2500元，标准差为400元8.在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12分钟，标准差为3分钟。

如果从饭店门口随机抽取100名顾客并记录他们等待出租车的时间，则该样本容量下的平均等待出租车的时间的分布服从（）A.正态分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟B.正态分布，均值为12分钟，标准差为3分钟C.左偏分布，均值为12分钟，标准差为3分钟D. 左偏分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟9.某厂家生产地灯泡寿命的均值为60小时，标准差为4小时。

第六章统计量及其抽样分布6。

1 调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差盎司的正态分布。

随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。

试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。

解:总体方差知道的情况下，均值的抽样分布服从的正态分布，由正态分布,标准化得到标准正态分布：z=～，因此，样本均值不超过总体均值的概率P为：====2—1，查标准正态分布表得=0。

8159因此，=0。

63186。

2 =====0。

95查表得：因此n=436。

3 ，,……，表示从标准正态总体中随机抽取的容量，n=6的一个样本，试确定常数b，使得解:由于卡方分布是由标准正态分布的平方和构成的:设Z1，Z2，……，Z n是来自总体N（0，1）的样本，则统计量2分布,记为χ2~ χ2（n）服从自由度为n的χ因此，令，则，那么由概率，可知：b=，查概率表得:b=12.596。

4 在习题6。

1中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差的标准正态分布。

假定我们计划随机抽取10个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到10个观测值，用这10个观测值我们可以求出样本方差，确定一个合适的范围使得有较大的概率保证S2落入其中是有用的，试求b1,b2，使得解：更加样本方差的抽样分布知识可知，样本统计量：此处,n=10，,所以统计量根据卡方分布的可知：又因为：因此:则:查概率表：=3。

325,=19。

919，则=0。

369，=1.88。

第6章统计量及其抽样分布一、单项选择题1．在抽样推断中，样本统计量是（）。

[中央财经大学2015研]A．未知但确定的量B．一个已知的量C．随机变量D．惟一的【答案】C【解析】统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量。

它是根据样本数据计算出来的一个量，由于抽样是随机的，因此统计量是样本的函数，是随机变量。

2．在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12分钟，标准差为3分钟。

如果从饭店门口随机抽取100名顾客并记录他们等待出租车的时间，则该样本均值的分布服从（）。

[山东大学2015研]A．正态分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟B．正态分布，均值为12分钟，标准差为3分钟C．左偏分布，均值为12分钟，标准差为3分钟D．左偏分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟【答案】A【解析】中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n 的样本，当n 充分大（通常是大于36）时，样本均值X 的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n 的正态分布。

故即使总体是左偏分布，该样本均值仍服从正态分布，其均值为12，标准差为3/10＝0.3。

3．设总体X ～N （2，σ2），X 1，…，X 16是来自总体X 的样本，161116i i X X ==∑，则48X σ-服从的分布是（ ）。

[对外经济贸易大学2015研]A ．t （15）B ．t （16）C ．χ2（15）D ．N （0，1）【答案】D【解析】由题可知样本均值2~(2,)16X N σ则 ()2/4~01X N -，σ即()18~04N X -，σ4．1000名学生参加某课程的考试，平均成绩是82分，标准差是8分，从学生中随机抽取100个同学作为样本，则样本均值的数学期望和抽样分布的标准差分别为（）。

[华中农业大学2015研]A．82，8B．82，0.8C．82，64D．86，1【答案】B【解析】由中心极限定理得，在大样本条件下，样本均值X的抽样分布近似服从均值为μ方差为σ2/n的正态分布。

第一章导论1.什么是统计学统计学是收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。

2.解释描述统计和推断统计描述统计研究的是数据收集、处理、汇总、图表描述、概括与分析等统计方法。

推断统计是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。

3.统计数据可以分为哪几种类型？不同类型的数据各有什么特点？分类数据：是只能归于某一类别的非数字型数据，它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，是用文字来表述的。

顺序数据：是只能归于某一有序类别的非数字型数据。

虽然也有列别，但这些类别是有序的。

数值型数据：是按数字尺度测量的观察值，其结果表现为具体的数值。

4.解释分类数据、顺序数据和数值型数据的含义分类数据和顺序数据说明的是事物的品质特征，通常是用文字来表述的，其结果均表现为类别，因此也可统称为定性数据或品质数据；数值型数据说明的是现象的数量特征，通常是用数值来表现的，因此也可称为定量数据或数量数据。

5.举例说明总体、样本、参数、统计量、变量这几个概念总体是包含所研究的全部个体（数据）的集合；样本是从总体中抽取的一部分元素的集合；参数是用来描述总体特征的概括性数字度量；统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量；变量是说明现象某种特征的概念。

比如我们欲了解某市的中学教育情况，那么该市的所有中学则构成一个总体，其中的每一所中学都是一个个体，我们若从全市中学中按某种抽样规则抽出了10所中学，则这10所中学就构成了一个样本。

在这项调查中我们可能会对升学率感兴趣，那么升学率就是一个变量。

我们通常关心的是全市的平均升学率，这里这个平均值就是一个参数，而此时我们只有样本的有关升学率的数据，用此样本计算的平均值就是统计量。

6.变量可以分为哪几类分类变量：一个变量由分类数据来记录就称为分类变量。

顺序变量：一个变量由顺序数据来记录就称为顺序变量。

数值型变量：一个变量由数值型数据来记录就称为数值型变量。

离散变量：可以取有限个值，而且其取值都以整位数断开，可以一一例举。