高二数学：10.4《简单的线性规划》教案1(湘教版必修四)

简单的线性规划教案●教学目标（一）教学知识点用图解法解决简单的线性规划问题.（二）能力训练要求能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题.（三）德育渗透目标1.增强学生的应用意识.2.培养学生理论联系实际的观点.●教学重点线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小.●教学难点根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.尤其是最优解是整数解.●教学方法讲练结合法结合典型的实际问题讲解怎样用图解法解决线性规划的两类重要实际问题.●教具准备投影片三张（或多媒体课件）第一张：记作§7.4.3 A内容：课本P 62图7—24.第二张：记作§7.4.3 B内容：课本P 63图7—25.第三张：记作§7.4.3 C内容如下：解：设每天应配制甲种饮料x 杯，乙种饮料y 杯.则， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+003000103200054360049y x y x y x y x作出可行域：目标函数为：z =0.7x +1.2y作直线l :0.7x +1.2y =0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点C ，且与原点距离最大，此时z =0.7x +1.2y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+,3000103,200054y x y x得点C 的坐标为（200，240）.所以，每天应配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯，能使该咖啡馆获利最大. ●教学过程Ⅰ.课题导入上节课，我们一起探讨了如何运用图解法解决简单的线性规划问题.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题，其中有两类重要实际问题，下面我们就结合这两类问题的典型例题来探讨一下如何解决线性规划的实际问题.Ⅱ.讲授新课第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大？例如：某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过300 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？产品 消耗量 资源 甲产品（1 t ）乙产品(1 t) 资源限额（t ）A 种矿石（t ） 10 4 300B 种矿石(t) 5 4 200煤(t) 4 9 360利润（元） 600 1000那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x目标函数为：z =600x +1000y .作出以上不等式组所表示的平面区域（或打出投影片§7.4.3 A ），即可行域.作直线l :600x +1000y =0,即直线l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z =600x +1000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+,36094,20045y x y x得M 的坐标为x =29360≈12.4,y =291000≈34.4. 答：应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大.第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小.例如：要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规规格类型 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格第一种钢板 2 1 1第二种钢板 1 2 3得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，根据题意可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,273,182,152y x y x y x y x作出以上不等式组所表示的平面区域（或打出投影片§7.4.3 B ）,即可行域：目标函数为z =x +y ，作出在一组平行直线x +y =t （t 为参数）中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x +3y =37和直线2x +y =15的交点A （539,518），直线方程为x +y =557. 由于539518和都不是整数，而最优解（x ，y ）中，x 、y 必须满足x ，y ∈Z ，所以，可行域内点(539,518)不是最优解. 经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是x +y =12,经过的整点是B (3,9)和C (4,8)，它们是最优解.答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张，两种方法都最少要截得两种钢板共12张.［师］下面，请同学们结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法. ［生甲］先要画出可行域.［生乙］先要找到目标函数.［生丙］图解法.［师］这些同学讲得都不错，但是都不尽完善.其实，解决实际问题的关键是数学建模，即根据题意首先将实际问题转化为数学问题.也就是同学们刚才所说的，先要找到约束条件和目标函数.然后用图解法求得数学模型的解.最后，还需要将数学问题的解还原为实际问题的解.即根据实际情况找得最优解.如上述例2，需找得整点.才是最优解.下面，请同学们打开课本P 64.Ⅲ.课堂练习生（自练）练习2.［师］结合学生所做进行讲评.Ⅳ.课时小结通过本节学习，需掌握线性规划的两类重要实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.Ⅴ.课后作业（一）课本P65习题7.4 3、4.（二）1.预习内容：课本P66～672.预习提纲：（1）如何将我们所学知识应用于实际生活？（2）我们身边常会遇到哪些相关问题？●板书设计。

简单的线性规划教学设计简单的线性规划教学设计线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

下面是店铺为你带来的简单的线性规划教学设计，欢迎阅读。

一、教学内容分析线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.简单的线性规划（涉及两个变量）关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成.突出体现了优化的思想．二、学生学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，又通过实例，理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题. 从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这都成了学生学习的困难．三、设计思想本课以学生为主体，应用“数形结合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。

四、教学目标1.知识与技能：(1)了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；能根据条件建立线性目标函数；(2)了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.2.过程与方法：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归数形结合的数学思想.3.情感、态度与价值观：进一步培养学生学习应用数学的意识及思维的创新性.五、教学重点与难点重点：线性规划问题的图解法.难点：图解法及寻求线性规划问题的最优解.六、学法对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括，使学生更深刻地领会和掌握解题的方法。

七、教学设计（一）自主学习1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域的画法.（由学生回答）如：画出不等式组表示的平面区域.2．设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值.问题：能否用不等式的知识来解决以上问题？（否）那么，能不能用二元一次不等式表示的平面区域来求解呢？怎样求解？（二）知识解析在上述引例中，不等式组是一组对变量的约束条件，这组约束条件都是关于的一次不等式，所以又称为线性约束条件。

简单的线性计划教案●教学目标（一）教学知识点1.线性计划问题，线性计划的意义.2.线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等大体概念.3.线性计划问题的图解方式.（二）能力训练要求1.了解简单的线性计划问题.2.了解线性计划的意义.3.会用图解法解决简单的线性计划问题.（三）德育渗透目标让学生树立数形结合思想.●教学重点用图解法解决简单的线性计划问题.●教学难点准确求得线性计划问题的最优解.●教学方式讲练结合法教师可结合一些典型例题进行讲解，学生再通过练习来掌握用图解法解决一些较简单的线性计划问题.●教具预备多媒体课件（或幻灯片）内容：讲义P60图7—23记作§ A进程：先别离作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，再找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封锁区域）.再作直线l0:2x+y=0.然后，作一组与直线的平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的转变.●教学进程Ⅰ.课题导入上节课，咱们一路探讨了二元一次不等式表示平面区域，下面，咱们再来探讨一下如何应用其解决一些问题.Ⅱ.教学新课第一，请同窗们来看如此一个问题.设z =2x +y ，式中变量x 、y 知足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x求z 的最大值和最小值.分析：从变量x 、y 所知足的条件来看，变量x 、y 所知足的每一个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域.(打出投影片§ A)［师］（结合投影片或借助多媒体课件）从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x =0，y =0时，z =2x +y =0. 点（0，0）在直线l 0：2x +y =0上.作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l 0)l :2x +y =t ,t ∈R .可知，当t 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x ,y )知足2x +y ＞0,即t ＞0.而且，直线l 往右平移时，t 随之增大.（引导学生一路观察此规律）在通过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以通过点A （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以通过点B （1，1）的直线l 1所对应的t 最小.所以：z m ax =2×5+2=12,z m in =2×1+3=3.诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，咱们把它称为目标函数.由于z =2x +y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性计划问题.例如：咱们适才研究的就是求线性目标函数z =2x +y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性计划问题.那么，知足线性约束条件的解（x ,y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部份表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）别离使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做那个问题的最优解.Ⅲ.课堂练习［师］请同窗们结合讲义P 64练习1来掌握图解法解决简单的线性计划问题.（1）求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y解：不等式组表示的平面区域如图所示：当x =0,y =0时，z =2x +y =0点（0，0）在直线l 0:2x +y =0上.作一组与直线l 0平行的直线l :2x +y =t ,t ∈R .可知，在通过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以通过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.所以z m ax =2×2-1=3.（2）求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x +5y =t 在通过不等式组所表示的公共区域内的点时，以通过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以通过点（817,89）的直线所对应的t 最大. 所以z m in =3×(-2)+５×(-1)=-11. z m ax =3×89+5×817=14. Ⅳ.课时小结通过本节学习，要掌握用图解法解决简单的线性计划问题的大体步骤：1.第一，要按照线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.Ⅴ.课后作业（一）讲义P 65习题（二）1.预习内容：讲义P 61～64.2.预习提纲：如何用线性计划的方式解决一些简单的实际问题.课 题有关概念 复习回顾约束条件 二元一次不等式表示平面区域 线性约束条件目标函数线性目标函数 例题讲解 课时小结线性规划问题 图解法解决线性规划问题的基本步骤 可行域最优解。

高中数学简单线性规划教案
目标：学生能够理解和应用简单线性规划概念，解决实际问题
一、引入
1. 引导学生回顾线性规划的基本概念：目标函数、约束条件等。

2. 引导学生思考以下问题：什么是线性规划？线性规划在生活中有哪些应用？
二、知识点讲解
1. 线性规划的定义：将问题转化为目标函数和约束条件的最优化问题。

2. 线性规划的基本步骤：确定目标函数、列出约束条件、求解最优解等。

3. 简单线性规划的例子：例如生产某种产品时的最优生产数量、销售某种商品时的最大利润等。

三、练习与应用
1. 让学生通过实际例子练习简单线性规划的求解过程。

2. 给学生一个生活中的实际问题，让他们尝试用线性规划方法解决。

四、总结与反思
1. 总结本节课所学的内容，强调线性规划的重要性和应用价值。

2. 让学生思考如何将线性规划应用到更复杂的实际问题中，并鼓励他们多做练习。

五、作业
1. 布置相关练习题和应用题作为作业，巩固本节课所学的知识。

2. 提醒学生在做作业时要注意思考问题的建模和求解方法。

六、拓展
1. 可以邀请专业人士或相关领域的学者给学生讲解线性规划在实际中的应用和发展趋势。

2. 可以组织学生参加线性规划竞赛或实践活动，增强他们的动手能力和实际应用能力。

简单的线性规划教案●教学目标（一）教学知识点二元一次不等式表示平面区域.（二）能力训练要求会用二元一次不等式表示平面区域.（三）德育渗透目标1.渗透数形结合思想.2.培养学生应用意识.●教学重点二元一次不等式表示平面区域.●教学难点准确画出二元一次不等式（或不等式组）所表示的平面区域.●教学方法讨论法结合前面所学的以二元一次方程的解为坐标的点的集合是一条直线，提出以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是什么图形呢？从而展开师生讨论，让学生加深对二元一次不等式表示平面区域的理解.●教具准备投影片四张第一张：记作§7.4.1 A内容：课本P59图7—22第二张：记作§7.4.1 B内容：课本P60练习1.(1)(2)(3)(4)第三张：记作§7.4.1 C内容：课本P 602.画出不等式组表示的平面区域.(1)⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+<242y y x x y第四张：记作§7.4.1 D（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<≥+≥<9362323x y y x x y x●教学过程Ⅰ.课题导入通过前几节的学习，我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程x +y -1=0的解为坐标的点的集合{(x ,y )｜x +y -1=0}是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合{（x,y)｜x-y-1＞0}是什么图形呢？Ⅱ.讲授新课［师］在平面直角坐标系中，所有的点被直线x+y-1=0分成三类：（1）在直线x+y-1=0上；（2）在直线x+y-1=0的左下方的平面区域内；（3）在直线x+y-1=0的右上方的平面区域内.即：对于任意一个点（x,y），把它的坐标代入x+y-1，可得到一个实数，或等于0，或大于0，或小于0.若x+y-1=0，则点(x,y)在直线l上.我们猜想：对直线l右上方的点(x,y)，x+y-1＞0成立；对直线l左下方的点（x,y)，x+y-1＜0成立.［师］我们的猜想是否正确呢？下面我们来讨论一下.不妨，在直线x+y-1=0上任取一点P（x0,y0)，过点P作平行于x轴的直线y=y0,在此直线上点P右侧的任意一点（x,y），都有x＞x0，y=y0,所以，x+y＞x0+y0x+y-1＞x0+y0-1=0,即x+y-1＞0.再过点P作平行于y轴的直线x=x0，在此直线上点P上侧的任意一点（x,y)，都有x=x0,y＞y0.所以，x+y＞x0+y0x+y-1＞x0+y0-1=0,即x+y-1＞0.因为点P（x0,y0)是直线x+y-1=0上的任意点，所以对于直线x+y-1=0右上方的任意点(x,y)，x+y-1＞0都成立.同理，对于直线x+y-1=0左下方的任意点（x,y），x+y-1＜0都成立.如图所示：所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y-1＞0的解为坐标的点的集合{（x,y)｜x+y-1＞0}是在直线x+y-1=0右上方的平面区域.如图所示：那么，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x +y -1＜0的解为坐标的点的集合{(x ,y )｜x +y -1＜0}是在直线x +y -1=0左下方的平面区域.总之，二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）［师］下面我们再来看两例子.［例1］画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域.解：先画直线2x +y -6=0（画成虚线）.取原点（0，0），代入2x +y -6,∵2×0+0-6=-6＜0,∴原点在2x +y -6＜0表示的平面区域内，不等式2x +y -6＜0表示的区域如图：［例2］画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域.分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.解：不等式x -y +5≥0表示直线x -y +5=0上及右下方的点的集合，x +y ≥0表示直线x +y =0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x =3上及左方的点的集合.（打出投影片§7.4.1 A )［师］结合投影片上的图进行讲解.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域.Ⅲ.课堂练习［生］自练课本P 60 1，2.［师］（陆续打出投影片§7.4.1 B 、C 、D .)结合学生所做进行讲评.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要掌握“二元一次不等式表示平面区域”.注意：（1）Ax +By +C ＞0表示直线Ax +By +C =0的某一侧的平面区域不包括边界的直线；（2）Ax +By +C ≥0所表示的平面区域包括边界直线Ax +By +C=0.Ⅴ.课后作业（一）课本P65习题7.4 1.（二）1.预习内容：课本P60～P62.2.预习提纲：（1）何为线性规划问题？其相关概念是什么？（2）线性规划有何意义？●板书设计。

教学目标
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．
重点难点
理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．
如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点．教学步骤
【新课引入】
我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．
【线性规划】
先讨论下面的问题
设，式中变量x、y满足下列条件
①
求z的值和最小值．
我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，，点（0，0）在直线上．
作一组和平等的直线
可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足．
即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t，以经过点的直线，所对应的t最小，所以
在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．是欲达到值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的值和最小值问题．
线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得值和最小值，它们都叫做这个问题的解．。

简单的线性规划教案教案标题：简单的线性规划教案教学目标：1. 了解线性规划的基本概念和特点。

2. 理解线性规划问题的求解过程。

3. 能够利用线性规划方法解决简单的实际问题。

所需材料：1. 铅笔、纸张、计算器。

2. 多个线性规划问题的案例。

教学步骤：引入阶段：1. 引导学生思考：什么是线性规划？线性规划有哪些应用场景？2. 提出教学目标，并解释线性规划的定义和特点。

探究阶段：3. 解释线性约束条件和目标函数的概念。

4. 利用一个简单的例子说明线性规划问题的形式和表示方法。

5. 引导学生分析并列出问题的线性约束条件和目标函数。

实践阶段：6. 将学生分成小组，每个小组选择一个实际问题，并将其转化为线性规划问题。

7. 指导学生列出问题的线性约束条件和目标函数。

8. 引导学生运用计算器或手动计算，求解其线性规划问题。

9. 学生分享并讨论解决过程和结果。

巩固阶段：10. 提供更多复杂的线性规划问题案例，让学生独立尝试解答，并讨论解决策略和结果。

11. 简要总结线性规划的基本原理和步骤。

拓展阶段：12. 引导学生思考更高级的线性规划问题，如带有整数约束或非线性目标函数的问题。

13. 推荐相关参考书籍和网上学习资源供学生深入学习。

评估方式：1. 在实践阶段，观察学生的合作和参与情况。

2. 收集学生独立解答的线性规划问题的答案，并进行评估。

教学反思：根据学生的反馈和评估结果，适时调整教学步骤和内容，确保学生能够理解和应用线性规划的基本原理。

简单线性规划【学习目标】1．会用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。

2．通过解决问题，进一步了解数形结合思想，将理论联系实际生活，增强应用意识，培养辨证思维能力。

【学习重难点】重点：根据实际问题的已知条件，找出约束条件和目标函数，学会利用图解法求得题目的最优解。

难点：最优解是整数解。

【学习过程】一、新课学习。

知识点一：图解法。

对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标平面上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。

图解法的步骤：_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 根据前面的知识做一做：练习：1．试画出下列不等式组的解集所描述的平面图形。

（1）213x yx≤-⎧⎨≤≤⎩；（2）()31236x yx yxy⎧≥-⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩。

知识点二：简单线性规划在实际生活中的应用。

把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。

根据前面的知识做一做：练习：1．某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，每生产一件产品甲可获利2元，每生产一件产品乙可获利3元，加工每件产品甲需要耗费A 原料4千克，占用设备工时数为1；加工每件产品乙需要耗费B 原料4千克，占用设备工时数为2。

工厂计划内库存A 原料16千克，B 原料12千克，设备使用工时数为8，问如何安排生产计划可以使得该工厂获利最多？最多为多少呢？二、课程总结。

城东蜊市阳光实验学校7．4简单的线性规划〔第一课时〕二元一次不等式表示平面区域教学目的：1．理解二元一次不等式表示平面区域；2．掌握确定二元一次不等式表示的平面区域的方法；3．会画出二元一次不等式〔组〕表示的平面区域，并掌握步骤；教学重点：二元一次不等式表示平面区域.教学难点：如何确定二元一次不等式表示的平面区域。

教学过程：【创设问题情境】问题1：在平面直角坐标系中，二元一次方程x+y1=0表示什么图形？请学生画出来.问题2：写出以二元一次方程x+y1=0的解为坐标的点的集合(引出点集{(x,y)x+y1=0})问题3:点集{(x,y)x+y10}在平面直角坐标系中表示什么图形？点集{(x,y)x+y1>0}与点集{(x,y)x+y1>0}又表示什么图形呢【讲授新课】研究问题:在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x+y1>0的解为坐标的点的集合{(x,y)x+y1>0}是什么图形一、归纳猜想我们可以看到：在平面直角坐标系中，所有的点被直线x+y1=0分成三类：即在直线x+y1=0上；在直线x+y1=0的左下方的平面区域内；在直线x+y1=0的右上方的平面区域内。

问题1:请同学们在平面直角坐标系中，作出A〔2,0〕，B(0,2),C(1,1),D(2,2)四点，并说明它们分别在上面表达的哪个区域内？问题2：请把A、B、C、D四点的坐标代入x+y1中，发现所得的值的符号有什么规律？〔看几何画板〕由此引导学生归纳猜想：对直线l的右上方的点〔x，y〕，x+y1>0都成立;对直线l左下方的点(x，y),x+y1<0成立.二、证明猜想如图，在直线x+y1=0上任取一点P(x0,y0),过点P作垂直于y轴的直线y=y0,在此直线上点P右侧的任意一点(x,y),都有x>x0,y=y0,所以,x+y>x0+y0=0,所以,x+y 1>x0+y01=0,即x+y1>0,因为点P(x0,y0)是直线x+y1=0上的任意点,•yP(x0,y0)xl:x+y-1=0 •(x,y)Oxy11l：x+y-1=0所以,对于直线x+y1=0右上方的任意点(x,y),x+y1>0都成立.同理,对直线l:x+y1=0左下方的点(x,y),x+y1<0成立所以,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x+y1>0的解为坐标的点的集合{(x,y)x+y1>0}是在直线x+y1=0右上方的平面区域,类似地,在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x+y1<0的解为坐标的点的集合{(x,y)x+y1<0}是在直线x+y1=0左下方的平面区域.提出:直线x+y1=0的两侧的点的坐标代入x+y1中,得到的数值的符号,仍然会“同侧同号,异侧异号〞吗？通过分析引导学生得出一般二元一次不等式表示平面区域的有关结论.三、一般二元一次不等式表示平面区域结论：在平面直角坐标系中，•〔1〕二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所•有点组成的平面区域,Ax+By+C<0那么表示直线另一侧所有点组成•的平面区域;(同侧同号,异侧异号)〔2〕有等那么实,无等那么虚;〔3〕试点定域,原点优先.四、例题：例1:画出不等式x y+5>0表示的平面区域;分析：先作出直线x y+5=0为边界〔画成实线〕，再取原点验证不等式x y+5>0所表示的平面区域.解:先画直线x y+5=0为边界〔画成实线〕，再取原点〔0，0〕代入x y+5中，因为00+5>0,所以原点在不等式x y+5>0所表示的平面区域内,不等式表示的区域如下列图.x-y(看幻灯片) 反思归纳:画二元一次不等式表示的平面区域的方法和步骤: (1)画线定界(注意实、虚线); (2)试点定域. 【随堂练习】〔1〕画出不等式x+y>0表示的平面区域； 〔2〕画出不等式x 3表示的平面区域. 〔让学生完成〕例2：画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3,0,05x y x y x 表示的平面区域. 分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因此是各个不等式所表示的平面区域的公一一共部分。

江西省南昌大学附属中学简单的线性规划高二数学胡凌云一、教材在本章节中的地位及作用1．“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对数学知识应用的重视，体现了数学的工具性、应用性．2．本节内容渗透了转化、归纳、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.3．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力．二、教学目标1．知识目标：能把实际问题转化为简单的线性规划问题，并能给出解答．2．能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．3．情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．三、教学重点与难点1．教学重点：建立线性规划模型2．教学难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化．四、教学方法与手段1．教学方法为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，本节课采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质．2．教学手段新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学．根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、突破难点，增加教学容量，激发学生的学习兴趣，增强教学的条理性、形象性，本节课采用计算机辅助教学，以直观、生动地揭示二元一次不等式(组)所表示的平面区域以及图形的动态变化情况．3．学生课前准备坐标纸、三角板、铅笔和彩色水笔五、教学过程设计教学流程图(一)创设情境，新课导入(教师活动)通过多媒体创设情境(学生活动) 思考、并根据分析，尝试用坐标纸作图、解答．引例：某班班长赵彬预算使用不超过50元的资金购买单价分别为6元的笔筒和7元的文具盒作为奖品，根据需要，笔筒至少买3个，文具盒至少买2个，问他最多共买多少个笔筒和文具盒？请同学们考虑怎么将这个实际问题转化为数学问题？设计意图：通过创设情境，自然地让学生感受到数学与实际生活息息相关，激发学生的学习热情，明确本节课探究目标，同时又复习了线性规划问题的图解法．(二)例题示范，形成技能(教师活动)电脑打出例题，并作分析．(学生活动)思考、并根据分析，尝试解答．例1要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板123今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？[分析]本题是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成该项任务 （审题）引导学生弄清各元素之间的关系，抓住问题的本质.（建模）① 确定变量及目标函数：第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板数为z 张，则z =x+y ② 分析约束条件；③ 建立线性规划模型；设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，由题中表格得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,273,182,152y x y x y x y x试求满足上述约束条件的x, y ，且使目标函数z ＝x+y 取得最小值(其中x, y 均为正整数)．因此把实际问题转化为线性规划问题.（求解）④ 运用图解法求出最优解；用多媒体教学, 着重分析如何寻找最优解是整数解.⑤ 回答实际问题的解．解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，根据题意可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,273,182,152y x y x y x y x z=x+y ，作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作直线l : x+y=0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点A ，且与原点距离最近，此时z=x+y 取最小值.解方程组215327x y x y +=⎧⎨+=⎩,,得交点A 的坐标（183955,），由于185和395都不是整数，所以可行域内的点(183955, )不是最优解.将直线l 1向可行域内平移，最先到达的整点为B(3,9)和C(4,8)它们是最优解，此时z 取得最小值12. 答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张，两种方法都最少要截得两种钢板共12张.[说明]这种寻找整点最优解的方法可简述为“平移找解法”，即打网格，描整点，平移直线l ，找出整点最优解．此法应充分利用非整点最优解的信息，作图要精确．设计意图：把实际问题转化为线性规划问题是本节课的重难点，而寻找整点最优解则是例1的难点．为此本环节充分利用计算机辅助教学，投影题目及表格，作可行域，动态演示直线的平移过程等，不仅能够增大教学容量，而且能够使数学知识形象化、直观比，诱发学生在感情上参与；同时，多媒体教学通过对学生各种感官的刺激，以一种接近人类认知特点的方式来组织、展示教学内容及构建知识结构，能把课堂结构反映得更集中、典型、精粹，从而大大优化了课堂结构．例2某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过360 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？[分析] 本题是在资源一定的条件下，怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大． （审题）引导学生弄清各元素之间的关系，抓住问题的本质，整理已知数据列成下表：产品消耗量 资源 甲产品（1t ）乙产品（1t ）资源限额（t ）A 种矿石（t ） 10 4 300B 种矿石（t ） 5 4 200 煤（t ） 4 9 360 利润（元）6001000(建模)(1)确定变量及目标函数：若设生产甲、乙两种产品分别为x t, y t, 利润总额为z 元，则用x ，y 如何表示z ？(2)分析约束条件：z 值随甲、乙两种产品的产量x ，y 变化而变化，但甲、乙两种产品是否可以任意变化呢?它们受到哪些因素的制约?怎样用数学语言表述这些制约因素? (3)建立线性规划模型：已知变量x,y 满足约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x 求x, y 取何值时，目标函数z ＝600x +1000y 取得最大值，（求解）采用图解法求出最优解解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，根据题意可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x 目标函数为：z=600x+1000y . 作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域. 作直线l :600x+1000y=0, 即直线l :3x+5y=0,把直线向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+,36094,20045y x y x得M 的坐标为x =36029≈12.3y=100029≈34.5答：应生产甲产品约12.3 t ，乙产品约34.5 t ，能使利润总额达到最大[说明]对于最优解的近似值，要根据实际问题的具体情形取近似值．按四舍五入取值即x =12.4,y =34.5时，虽然z=41940最大，但此时的x,y 不在可行域内．可以验证点（12.4,34.4）和(12.3,34.5)在可行域内，但当x =12.4,y =34.4时，z =41840；当x =12.3,y =34.5时，z =41880，因此按精确度取舍后的最优解点，可以离M 点“较远”，但必须离l 1距离最小．本例要求精确到0.1 t ，只需把坐标平面以0.1 单位网格化，在格点上找到离l 1距离最小的点，就是符合题意的最优解．设计意图：学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；孤立地考虑单个的问题情境，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，本环节教师侧重于引导学生建立数学模式,其余过程由学生自主解决．用多媒体展示最优解的近似值．引导学生结合上述两例子总结归纳解决这类问题的方法和步骤：(三)学生互动巩固提高(教师活动)电脑打出练习、要求学生独立解答．巡视学生解答情况，纠正错误．(学生活动)用坐标纸作图、解答．某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大效益?（答案：隔出大房间3间，小房间8间或者只隔出小房间12间就能获得最大收益．）（教师用投影展示学生的结论并用多媒体展示正确结论同时点评）设计意图：巩固、加深对线性规划解决实际问题的理解和应用．(四)概括提炼，总结升华(引导学生从知识和思想方法两方面进行总结)1．本节课你学了哪些知识？2．本节课渗透了什么数学思想方法？(五)布置作业，探究延续1．课本作业：P65，习题7．4第3，5题．2．选做题：P88，第16题3．拓展题：通过网络搜索查阅有关线性规划的应用实例设计意图：强化基本技能训练，巩固课堂内容，发现和弥补教与学中的遗漏和不足，以便及时矫正．(六)板书设计（略）(七)教学设计说明1．本节课是线性规划第三课时的教学内容，它以二元一次不等式(组)所表示的平面区域和线性规划的图解法等知识为基础，体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了转化、归纳、数形结合数学思想.2．学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模，故本设计把“实际问题抽象转化为线性规划问题”作为本堂课的重难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求得最优解作为突破难点的关键．3．对于应用问题而言，学生遇到的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情境，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，故将本节课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在同学们面前．以利于他们理解；分析完题意后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法． 4．本节课的设计，力图让学生在教师的指导下，从“懂”到“会”到“悟”，体会钻研的意识，品尝成功的喜悦，从而使学生在积极活跃的思维过程中，数学能力和数学素养得到提高．。