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球面距离的计算在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段劣弧的长叫做球面上这两点间的球面距离（也叫球面上的短程线或测地线）。
如下图，球的半径为R ，球面上有任意两点()11,βαA 、()22,βαB ，其中1α、2α分别为A 、B 两点的经度数，1β、2β分别为A 、B 两点的纬度数，过A 、B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为θ，试证明A 、B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos212121ββββααθ+-==R R AB ⌒（角均为弧度）证明：如上图，⊙1O 与⊙2O 分别为过A 、B 的纬度圈，过A 、C 的大圆，过B 、D 的大圆分别为A 、B 的经度圈，且经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作⊥AE 面BC O 2，垂足E 位于C O 2上，连结EB 、AB ，则()2212212OO OO O O AE -==()221sin sin ββR R -=()2212sin sin ββ-=R在BE O 2∆中，由余弦定理，得：()212222222cos 2αα-⋅-+=B O E O B O E O BE()21212221cos 2αα-⋅-+=B O A O B O A O ()()()21212221cos cos cos 2cos cos ααββββ-⋅⋅-+=R R R R()]cos cos cos 2cos [cos 212122122ααββββ--+=R()]cos cos cos 2sin sin 22[2121212222ααββββ---=+=R BE AE AB ()]cos cos cos sin sin 1[22121212ααββββ---=R又由余弦定理，得，()θθcos 12cos 222222-=-+=R R R R AB ，比较上述两式，化简整理得：()212121sin sin cos cos cos cos ββββααθ+-=（角均为弧度） 所以()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ+-=（角均为弧度） 所以A 、B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos212121ββββααθ+-==R R AB ⌒（角均为弧度） 从上面的推导过程可以看出，求解A 、B 两点的球面距离，关键是要求出圆心角AOB ∠的大小，而要求AOB ∠，往往要先求弦AB 的长，再利用余弦定理求出AOB ∠。
地球经纬度计算两点距离
纬度分为60分，每一分再分为60秒以及秒的小数。
纬度线投射在图上看似水平的平行线，但实际上是不同半径的圆。
有相同特定纬度的所有位置都在同一个纬线上。
赤道的纬度为0°，将行星平分为南半球和北半球。
纬度是指某点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角，其数值在0至90度之间。
位于赤道以北的点的纬度叫北纬，记为N，位于赤道以南的点的纬度称南纬，记为S。
纬度数值在0至30度之间的地区称为低纬地区，纬度数值在30至60度之间的地区称为中纬地区，纬度数值在60至90度之间的地区称为高纬地区。
赤道、南回归线、北回归线、南极圈和北极圈是特殊的纬线。
纬度1秒的长度：
地球的子午线总长度大约40008km。
平均：纬度1度= 大约111km
纬度1分= 大约1.85km
纬度1秒= 大约30.9m
1度=4分钟
地球赤道上环绕地球一周走一圈共40075.04公里,而@一圈分成360°,而每1°(度)有60,每一度一秒在赤道上的长度计算如下：
40075.04km/360°=111.31955km
111.31955km/60=1.8553258km=1855.3m
而每一分又有60秒,每一秒就代表1855.3m/60=30.92m
任意两点距离计算公式为
d＝111.12cos{1/[sinΦAsinΦB十cosΦAcosΦBcos(λB—λA)]} 其中A点经度，纬度分别为λA和ΦA，B点的经度、纬度分别为λB和ΦB，d为距离。
球面距离通用公式及应用地球表面某点的位置是用纬度和经度来确定的，在求球面距离时，一般分三种情况：①位于同一纬度圈上的两点间的球面距离；②位于同一经度圈上的两点间的球面距离；③位于不同经线圈上且不同纬线圈上的两点间的球面距离.一般的教学参考书只单一的给出了前两种情况的求法，为此本文将介绍球面距离通用公式并举例说明其应用.一、球面距离的概念经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度叫做两点的球面距离，即球面上两点间的最短距离.二、球面距离公式的推导如图，如果球O 的半径为R ，球面上两点A 、B 的经度分别αA 、αB ，纬度分别为βA 、βB ，那么A 、B 两点间的球面距离为⌒AB ＝Rarccos[sin βA sin βB ＋cos βA cos βB cos(αA －αB)]. 证明：作BE 、AF 垂直于赤道平面，垂足E 、F 分别在半径OD 及OC 上，则∠BOE ＝βB ，∠AOF ＝βA ，在Rt △BOE 中，BE ＝Rsin βB ，OE ＝Rcos βB ，在Rt △AOF 中，AF ＝Rsin βA ，OF ＝Rcos βA ，在Rt △EOF 中，∵∠EOF ＝αA －αB ，∴EF 2＝OE 2＋OF 2－2OE ·OFcos ∠EOF＝(Rcos βB )2＋(Rcos βA )2－2R 2cos βB cos βA cos(αA －αB )，在直角梯形ABEF 中，AB 2＝EF 2＋(BE －AF)2＝EF 2＋AF 2＋BE 2－2AF ·BE ＝2R 2－2R 2cos βB cos βA cos(αA －αB )－2R 2sin βA sin βB ，在等腰△AOB 中，cos ∠AOB ＝OA 2＋OB 2－AB 22OA ·OB＝cos βA cos βB cos(αA －αB )＋sin βA sin βB ， 又∵∠AOB ＝arccos[sin βA sin βB ＋cos βA cos βB cos(αA －αB )]，因此，A 、B 两点间的球面距离为⌒AB ＝Rarccos[sin βA sin βB ＋cos βA cos βB cos(αA －αB )].此式对A 、B 两点处于球面上任何位置都成立.公式中αA 、αB 、βA 、βB 都是有向角，东经经度为正，西经经度为负，北纬纬度为正，南纬纬度为负.特别地：(1)若A 、B 在同一经线上，则⌒AB ＝Rarccos[cos(βA －βB )]；(2)若A 、B 在同一纬线上，则⌒AB ＝Rarccos[sin 2βA ＋cos 2βA cos(αA －αB )].三、球面距离公式的应用例1设地球半径为R ，在北纬45︒圈上有A 、B 两地,它们的经度差为90︒，求A 、B 两地的球面距离. 解：∵αA －αB ＝90︒，βA ＝βB ＝45︒，⌒AB ＝Rarccos(sin 245︒＋cos 245︒cos90︒)＝Rarccos 12＝π3R. ∴A 、B 两地间的球面距离为πR 3. 例2 设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为（ ）A.3RB.π6RC.5π6RD.2π3R解析：∵αA ＝αB ＝120︒，βA ＝45︒，βB ＝－75︒，∴⌒AB ＝Rarccos[cos(βA －βB )]＝Rarccos[cos(45︒＋75︒)]＝Rarccos(－12)＝2π3R ，故选D. 例3甲地位于北纬45°，东经140°，乙地位于南纬45°，西经130°.设地球半径为R ，则甲、乙两地球面的距离为（ ）A .R π21 B.R π41 C.R π31 D.R π32 解析：αA ＝140°，βA ＝45°，αB ＝－130°，βB ＝－45°∴⌒AB ＝Rarccos[sin45°sin(－45°)＋cos45°cos(－45°)cos(140°＋130°)]＝Rarccos[22×(－22)]＝Rarccos(－12)＝2π3R. 例4北京时间2020年9月27日14点，国航CA981航班从首都国际机场准时起飞，当地时间9月27日15点30分，该航班正点平稳降落在纽约肯尼迪机场；北京时间10月1日19点14分，CA982航班在经过13个小时的飞行后，准点降落在北京首都国际机场，至此国航北京－－纽约直飞首航成功完成，这是中国承运人第一次经极地经营北京－－纽约直飞航线，从北京至纽约原来的航线飞经上海(北纬33︒，东经122︒)，东京(北纬36︒，东经140︒)和旧金山(北纬37︒，西经120︒)等处，如果飞机飞行的高度为10千米，并假设地球是半径为6371千米的球体，试分析计算新航线的空中航程较原航线缩短了多少.解：本题应计算北京到上海，上海到东京、东京到旧金山、旧金山到纽约各段大圆劣弧长度和；再计算以北京、纽约为端点的大圆劣弧长，然后求它们的差.(1)计算原航线的距离∵sin40︒sin31︒＋cos40︒cos31︒cos6︒＝0.98，arccos(sin40︒sin30︒＋cos40︒cos31︒cos6︒)＝10︒，∴北京到上海的距离为π·6371×10180＝1113.69(km)， ∵sin31︒sin36︒＋cos31︒cos36︒cos18︒＝0.96，arccos(sin31︒sin36︒＋cos31︒cos36︒cos18︒)＝16︒，∴上海到东京的距离为π·6371×16180＝1781.91(km)， ∵sin36︒sin37︒＋cos36︒cos37︒cos263︒＝0.27，arccos(sin36︒sin37︒＋cos36︒cos37︒cos263︒)＝74︒，∴东京到旧金山的距离为π·6371×74180＝8241.34(km)， ∵sin37︒sin40︒＋cos37︒cos40︒cos49︒＝0.78，arccos(sin37︒sin40︒＋cos37︒cos40︒cos49︒)＝38︒，∴旧金山到纽约的距离为π·6371×38180＝4232.04(km). ∴原航线的距离为1113.69＋1781.91＋8241.34＋4232.04＝15368.98(km).(2)计算新航线的距离∵sin40︒sin40︒＋cos40︒cos40︒cos190︒＝0.17，arccos(sin40︒sin40︒＋cos40︒cos40︒cos190︒)＝100︒，∴新航线的距离为π·6371×100180＝11136.95(km). (3)新航线比原航线飞行距离缩短了4232.03(km).。
球面距离计算方法说实话球面距离计算方法这事，我一开始也是瞎摸索。
我就想啊，球面上两点的距离肯定和普通平面上两点距离不一样，那咋算呢？我最开始想，能不能把球面摊平像算平面距离那样，但是很快就发现这根本不行，球面上的几何和平面几何有本质区别呢，就像你不能把一个球的皮完整地无拉伸无变形地摊平在一个平面上一样，这是我第一个失败的尝试。
后来我就去翻以前学的数学书，有说到大圆这个概念。
我了解到在球面上，两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆的劣弧的长度。
这就好比在地球上，从北京到纽约，如果沿着过北京和纽约的那个大圆飞，这个路线就是最短的，而不是在平面地图上看着的直线，这里从立体的地球角度看可没有直线那种概念，因为地球是个球体。
那怎么算出这个大圆劣弧长度呢？我学了这个计算方法，要用弧长公式。
这得先确定圆心角。
有个公式是根据两点的经纬度可以算出圆心角的余弦值，这里面涉及一些三角函数的东西。
我最开始计算的时候老是把经纬度的数值搞混，比如说把北纬当成南纬的值带进去计算，这就导致结果错得离谱。
后来我才长记性，做的时候可仔细对着数值运算了。
可是就算前面都对了，算弧长的时候，我又容易忘记把角度转成弧度。
这就好比你汽车的油加错了型号，整个事儿就不对了。
弧长公式里的角度是要用弧度制的。
还有呢，在确定大圆的时候，也不是那么简单的。
有时候想找经过两点的大圆，容易被一些复杂的图形干扰，我就会多画图，不管画得多难看都没关系，只要能把想法表达清楚，帮助我理解是不是找到了正确的大圆就好。
现在我再算球面距离的时候，我都会先仔细确认两点的经纬度信息，然后一步步稳稳当当地算出圆心角，最后记住把角度转成弧度去计算弧长。
如果中间某个环节不确定，我就重新检查一遍前面的步骤，因为只要有一个地方错了，结果可就相差很多，就像盖房子，一块砖歪了，可能整面墙都不稳当了。
我觉得这球面距离计算方法啊，多练就能熟练掌握。
要是基础概念比如圆心角和大圆这些理解得模模糊糊的话，计算也会老是出错的。
地球上两点间的距离 赖宝锋假设地球是一个椭球体，南北长，东西短，用水平面去截椭球，得到的都是圆面。
设地心为原点，记为O ，北极记为N ，南极记为S ，以NS 为Z 轴，NS为Z 轴正方向。
过O 作垂线，交本初子午线于A ，以OA为X 轴正方向。
按右手定则再建立Y 轴，成立体正交坐标系。
以北纬为正，南纬为负，东经为正，西经为负。
假设南北两极距离为2a ，赤道半径为b 。
那么地球球面方程为2222221x y z b b a++=任取地球球面上一点P ，假设纬度为ϕ，经度为ψ，22ππ-≤ϕ≤，ππ-≤ψ<，则sin ϕ=则22222sin z x y z ϕ=++又2222221x y z b b a++=求得22222222sin cos sin a b z a b ϕ=ϕ+ϕ而z 与sin ϕ同号，故z =222222222222222222242222222222222sin (1)cos sin sin cos cos sin cos sin z b b a b x y b b z b a a a a b b a b b a b a b ϕ+=-=-=-ϕ+ϕϕϕ=-=ϕ+ϕϕ+ϕ=x =ψ=y =ψ=这样，设地球球面上两点1P ，2P ，纬度分别为12,ϕϕ，经度分别为12ψ,ψ，则1P 坐标为1x =1y =1z =2P 坐标为2x =2y =2z =则12||PP =====若用角度制，把ϕ替换为180πϕ，ψ替换为180πψ，即可。
例如，把118.222替换为118.222180π，32.77替换为32.77180π，然后代入公式中运算，即可。
给定圆心O 的经纬度，设为00(,)ϕψ，这就相当于知道圆心的坐标0x =0y =0z =地球球面方程为222222(,,)10x y z f x y z b b a=++-=22f x x b ∂=∂，22f y y b∂=∂，22f zz a ∂=∂ 这样，地球过O 的切平面的方程为000000222222()()()0x y z x x y y z z b b b-+-+-= 即000000222()()()0x y z x x y y z z b b b -+-+-= 于是，到O 距离为r 且在切平面上的点的轨迹方程为2222000000000222()()()()()()0x x y y z z r x x x y y y z z z b b a ⎧-+-+-=⎪⎨---++=⎪⎩令0x x u -=，0y y v -=，0z z w -=，则2222002220u v w r x y z u v w bb a ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩2222u v w r w ++=⇒=220022()x y u v b b +=222222222222220000000044444442()x x y y z z z z u uv v r u v r u v b b b a a a a ++=--=-- 2222222200000004444442()()x z x y y z z u uv v r b a b b a a++++= 424224424224220000000()2()a x b z u a x y uv a y b z v b z r ++++= 4424242222000004242424242420000002a x y a y b z b z r u uv v a x b z a x b z a x b z +++=+++444424242222220000000004242424242424242424200000000002()()a x y a x y v a x y v a y b z b z r u uv v a x b z a x b z a x b z a x b z a x b z +++-+=+++++4424244222220000000424242424242424200000000()[()]a x y a y b z a x y b z r u v v a x b z a x b z a x b z a x b z +++-=++++42424424242428224422442284200000000000000042424242424224242200000000()()()()()a yb z a x y a y b z a x b z a x y a b x z a b y z b z a x b z a x b z a x b z a x b z +++-++-==++++这样，4442244228442222000000004242424224242000000()[]()a x y a b x z a b y z b z b z r u v v a x b z a x b z a x b z ++++=+++ 令22000v b z θθ=⇒=令4200424200a x y u v a x b z θ+=+242000424200242a x y ub z a x b z θθθθ=-+=-再通过且平面方程求出w ，这样，我们得到参数方程24220000222()/u v b z x y z w u v b b a θθθ⎧⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-+⎪⎪⎩这样，24200200000000222()/x u x x y v y b z y x y z z w z u v z b b a θθθ⎧=+=+⎪⎪⎪⎪=+=+⎨⎪⎪=+=-++⎪⎪⎩现在讨论其近似的经纬度我们再来看坐标和经纬度之间的关系x y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎩我们从中可以看出z 可唯一由ϕ表出：z =这样，ϕ也必然是z 的函数，两边关于z 求导，得到1d d d dz d azϕϕ==1sin d d ab az d ϕϕ=ϕ22d d ϕ==-这样，00000|()|d d z z w dz dzϕϕϕϕϕϕϕϕϕ===+-=+ 再来看x 或y ，它们都是ϕ和ψ的表达式，当ϕ确定下来后，由于cos sin x y ⎧⎧=ψ=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=ψ=⎪⎪⎩⎩它们便由x 和y 唯一决定，用反正弦或反余弦或反正切，可唯一地得到ψ。
地球两点间距离计算公式地球是人类生活的家园，了解地球上两点之间的距离对于我们的生活和探索更大世界都具有重要意义。
在这篇文章中，我们将介绍一种用于计算地球两点间距离的公式——球面距离公式，并解释如何使用这个公式来计算距离。
球面距离公式是基于地球的球形结构和球面几何原理推导出来的。
在地球上，我们通常使用经度和纬度来表示一个地点的位置。
经度表示一个地点在东西方向上的位置，而纬度表示一个地点在南北方向上的位置。
使用经纬度来计算两个地点之间的距离涉及到计算两者之间的角度差。
首先，我们需要将经纬度转换成弧度单位，因为角度单位在三角函数中使用。
经度的范围是从0°到360°，纬度的范围是从-90°到90°。
而弧度的范围是从0到2π。
我们可以使用以下公式将经纬度转换为弧度：角度（弧度）= 角度（度数）× π / 180转换完成后，我们可以使用以下公式来计算两个点之间的球面距离：距离 = 地球半径× arccos（sin(纬度1) × sin(纬度2) +cos(纬度1) × cos(纬度2) × cos(经度1 - 经度2)）在这个公式中，地球半径是一个常数，通常取平均值约为6371千米，但可以根据需要进行调整。
现在让我们通过一个实际的例子来应用这个公式。
假设我们想计算位于巴黎（经度：2.3522°E，纬度：48.8566°N）和纽约（经度：74.0060°W，纬度：40.7128°N）之间的球面距离。
首先，将经纬度转换成弧度：巴黎的经度（弧度）= 2.3522 × π / 180 ≈ 0.041巴黎的纬度（弧度）= 48.8566 × π / 180 ≈ 0.853纽约的经度（弧度）= 74.0060 × π / 180 ≈ 1.291纽约的纬度（弧度）= 40.7128 × π / 180 ≈ 0.711将这些值代入球面距离公式，我们可以计算出两个城市之间的距离：距离= 6371 × arccos（sin(0.853) × sin(0.711) +cos(0.853) × cos(0.711) × cos(1.291 - 0.041)）通过计算，我们得到的结果约为5,977.59千米。
球面距离的盘算及其盘算公式在球面上,不在统一向径上的两点之间的最短距离,就是经由这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度,我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）如图1,A.B 为球面上不在统一向径上的两点,O 为圆心,⊙O 为过A.B 的大圆,⊙O '为过 A.B 的任一个小圆,我们把这两个圆画在统一个平面内．（见图1）设α2=∠AOB ,α'='∠2B O A ,球半径为R ,半径为r ．则有AB 大圆弧长R L α2=,AB小圆弧长rl α'=2r a R r R l L '='=ααα22 （1）但αα'==sin 2sin 2r R AB ,即ααsin sin '=r R （2）将（2）代入（1）得αααααααsin sin sin sin ''='⋅'=a l L（3）∵r R >,由（2）式知αα>'.因为20παα<'<<,故只需证实函数()xxx f sin =在⎪⎭⎫ ⎝⎛2.0π内为单调递减即可.∴()()0tan cos sin cos 22<-=-='xx x x x x x x x f , ∵当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时,有x x >tan ）∴()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递减,由（3）式不可贵到1<lL,即l L <. 故大圆劣弧最短.球面距离公式：设一个球面的半径为R ,球面上有两点()11,βαA .()22,βαB . 个中1α,2α为点的经度数,1β.2β为点的纬度数,过A .B 两点的大圆劣弧所对的圆心角为θ,则有()]sin sin cos cos arccos[cos212121ββββααθ⋅+-=（弧度）A.B 间的球面距离为：()]sin sin cos cos arccos[cos 212121ββββααθ⋅+-==R R L 证实：如图1,⊙1O 与⊙2O 分离为过A.B 的纬度圈,过A.C 的大圆,过B .D 的大圆分离为A.B 的经度圈,而经度圈与纬度圈地点的平面互相垂直,作⊥AE 面BC O 2,垂足E位于C O 2上,贯穿连接EB.AB. 则()2212212OO OO O O AE -==()221sin sin ββR R -=()2212sin sin ββ-=R在BE O 2∆中,由余弦定理,得：()212222222cos 2αα-⋅++=B O E O B O E O BE 故()]cos cos cos 2sin sin 22[2121212222ααββββ-⋅--=+=R BE AE AB又()θθθcos 122sin 42sin 222222-==⎪⎭⎫ ⎝⎛=R R R AB ,比较上述两式,化简整顿得： ()212111sin sin cos cos cos cos ββββααθ+-=,从而可证得关于θ与L 的两个式子.盘算球面距离的三种类型现行教材中,介绍了球面距离的概念,这方面的习题许多,同窗们进修时广泛觉得艰苦．下面给出这类习题解答的示范,以供同窗们参考．1．位于统一纬度线上两点的球面距离例1 已知A ,B 两地都位于北纬 45,又分离位于东经 30和 60,设地球半径为R ,求A ,B 的球面距离．剖析：请求两点A ,B 的球面距离,过A ,B 作大圆,依据弧长公式,症结请求圆心角AOB ∠的大小（见图1）,而请求AOB ∠往往起首请求弦AB 的长,即请求两点的球面距离,往往要先求这两点的直线距离．解：作出直不雅图（见图2）,设O 为球心,1O 为北纬 45圈的圆心,贯穿连接OA ,OB ,A O 1B O 1,AB．因为地轴⊥NS 平面B AO 1．∴1OAO ∠与1OBO ∠为纬度 45,B AO 1∠为二面角B OO A --1的平面角．∴3030601=-=∠B AO（经度差）．Rt △1OAO 中,R R OAOOA A O 2245cos cos 11=⋅=∠=． △AB O 1中,由余弦定理,B AO B O A O B O A O AB 11121212cos 2∠⋅-+=22223230cos 222222222R R R R R -=⋅⋅⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=．△OAB中,由余弦定理：43222322cos 2222222+=--+=⋅-+=∠R RR R OBOA ABOB OA AOB ,∴ 21≈∠AOB ．∴AB 的球面距离约为R Rππ60721180=⋅． 2．位于统一经线上两点的球面距离例 2 求东经 57线上,纬度分离为北纬 68和 38的两地A ,B 的球面距离．（设地球半径为R ）．解：经由B A 、两地的大圆就是已知经线．303868=-=∠AOB ,618030RR AB ππ=⋅⋅=．3．位于不合经线,不合纬线上两点的球面距离例3A 地位于北纬 30,东经 60,B 地位于北纬 60,东经 90,求A ,B 两地之间的球面距离．（见图4）解： 设O 为球心,1O ,2O 分离为北纬 30和北纬 60圈的圆心,贯穿连接OA ,OB ,AB ．\Rt △A OO 1中,由纬度为 30知 301=∠OAO ,R R OAO OA O O 2130sin sin 11==∠= , R R OAO OA AO 2330cos cos 11==∠= ．Rt △B OO 2中, 602=∠OBO , ∴R R O O 2360sin 2=⋅= ,260cos 2R R B O =⋅= ,∴R R R OO OO O O 21321231221-=-=-=． 留意到A O 1与B O 2是异面直线,它们的公垂线为21O O ,所成的角为经度差306090=-,应用异面直线上两点间的距离公式．αcos 22122122212B O A O O O B O A O AB ⋅-++=（α为经度差）2222432530cos 212322132123R R R R R R -=⋅⋅⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=．△AOB 中,RR R R R OBOA ABOB OA AOB ⋅--+=⋅-+=∠243252cos 2222228205.08323≈+=．∴ 35≈∠AOB ．∴AB 的球面距离约为R R ππ36735180=⋅．。
球面上两点间距离的求法WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-球面上两点间距离的求法地球表面某点的位置是用纬度和经度来确定的，只要知道球面两点的经纬度，就能求出该两点的球面距离。
球面距离公式:设地球上A 地在北纬1θ度，B 地在北纬2θ度，它们的经度之差为α，[]πα,0∈ AB 两地的球面距离是R )sin sin cos cos arccos(cos 2121θθαθθ+⋅同理，当一点A 在北半球、一点B 在南半球时，同理可得A 、B 的球面距离是 R )sin sin cos cos arccos(cos 2121θθαθθ-⋅ 检验可知对两地在同一经度和在同一纬度时均适合一. 同经度两点的球面距离例1. 在地球本初子午线上有两点A 、B 。
它们的纬度差为90°，若地球半径为R ，求A 、B 两点间的球面距离。
解：如图1所示，设O 为地球球心，由题意可得，故。
图1二. 同纬度两点的球面距离例2. 在地球北纬度圈上有两点A 、B ，它们的经度差为度，若地球半径为R ，求A 、B 两点间的球面距离。
解：设度的纬线圈的圆心为，半径为r ，则。
依题意。
取AB 的中点C ，则。
在。
三. 不同纬度、不同经度两点的球面距离例3. 设地球上两点A、B，其中A位于北纬30°，B位于南纬60°，且A、B两点的经度差为90°，求A、B两点的球面距离。
解：如图4所示，设，分别为地球球心、北纬30°纬线圈的圆心和南纬60°纬线圈的圆心。
连结。
则。
由异面直线上两点间的距离公式得即A、B两点的球面距离为。
地球上两点之间的球面距离的教学设计与思考卫福山（上海市松江二中）一、教学内容分析球面距离是上海教育出版社数学（高三）第15章简单几何体第6节内容，《上海市中小学课程标准》对球的要求是：类比关于圆的研究，对球及有关截面的性质深入探讨；知道球的表面积和体积的计算公式，并会用于进行有关的度量计算；知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系.在本节中，引导学生理解球面距离的概念（这不同于一般的直线距离），原因在于球面不能展开成平面.然后具体探究了如何求同纬度不同经度、同经度不同纬度、不同经度不同纬度的地球上两点之间的距离的求法，特别强调将其中的线面关系转化为多面体（主要是特殊的棱锥）来分析，并综合使用扇形、弧长、解三角形等数学知识.在探究球面距离的计算中培养了学生空间想象能力和探究性学习的能力.二、教学目标设计1、 知道球面距离的定义，知道地球的经度与纬度的概念，会求地球上同经度或同纬度的两点间的球面距离.2、 在解决问题的过程中，领会计算地球上两点间的球面距离的方法.3、 在实际问题中，探索新知识，成功解决问题，完成愉悦体验.三、教学重难点教学重点：掌握计算地球上两点间的球面距离的方法.教学难点：如何求地球上同纬度的两点间的球面距离.四、教学内容安排（一）、知识准备1、联系右图及中学地理中的有关知识认识地球——半径为6371千米的球.（理想模型）2、经度、纬度等相关知识地轴:连结北南极的球的直径,称为地轴.经线:经过北南极的半大圆,称为经线.本初子午线:它是地球上的零度经线,分别向东和向西计量经度，称为东经和西经,从0度到180度.经度:经线所在半平面与零度经线所在半平面所成的二面角的度数.参见右图.赤道:过球心且垂直于地轴的大圆,称为赤道.赤道的圆心就是球心.纬线:平行于赤道的小圆,称为纬线.位于赤道以北的称为北纬,位于赤道之南的称为南纬.纬度:球面上某点所在球半径与赤道平面所成的角.从0度到90度.参见上图.3、 球面距离在球面上两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度——这个弧长叫两点的球面距离.问题：为何最短距离是经过两点的大圆的劣弧解释如下：如图所示，A 、B 是球面上两点，圆O '是经过A 、B 的任一小圆（纬线圆），O 是球心，设,,AOB AO B θα'∠=∠=,(0,),αθπ∈地球半径为,OA OB R ==小圆半径为,O A O B r ''==则A 、B 两地所在的大圆劣弧长为1,s R θ=小圆的劣弧长为2,s r α=下面只要说明12s s <即可。
在AOB ∆与AO B '∆中，由于2sin 2sin 22AB R r θα==，于是sin 2sin 2R r θα=，从而 12sin sin 222sin sin 222s R s r αααθθθθθαα==⋅=. 由于,(0,),αθπ∈,(0,),222αθπ∈函数s i n x y x =在(0,)2x π∈上单调递减（利用导数知2c o s (t a n )0x y x x x '=-<，从而单调递减），又由于,R r >从而sin sin 22θα<，即22θα<，于是有sin sin 2222θαθα>，即11221,s s s s <<,因此，在连结球面上两点的路径中，通过这两点的大圆劣弧最短. 4、一些记号设地球球面上A 地的纬度、经度分别为,αβ（弧度制为单位），类似于平面直角坐标系中点的坐标，用(,)A αβ表示A 地的球面坐标，显然[0,],[0,]2παπβ∈∈.（二）、创设问题情境飞机飞行的路线称为空中交通线，简称航线.飞机的航线不仅确定了飞机飞行具体方向、起讫点和经停点，而且还根据空中交通管制的需要，规定了航线的宽度和飞行高度，以维护空中交通秩序，保证飞行安全.飞机航线的确定除了安全因素外，也取决于经济效益和社会效益的大小，其中有一项毫无疑问是追求航线尽可能的“短”，那怎样才能做到这一点呢（三）、地球上两点间的距离的常见题型1、同经度不同纬度的两点间的球面距离：如图所示，设12(,),(,)A B αβαβ为地球球面上同经度但不是同纬度的两点（纬度分别为12,αα，规定北纬时纬度为正，南纬时纬度为负，经度为β），则球心角12||AOB αα∠=-，则A 、B两地的球面距离为12||s R αα=⋅-（R 为地球半径）.----------------（公式一）注：同经度不同纬度的A 、B 两地实质上已经在一个大圆上，只要求出球心角（圆心角），即两地的纬度差（和）即可.2、同纬度不同经度的两点间的球面距离：如图所示，设12(,),(,)A B αβαβ为地球球面上同纬度但不同经度的两点(纬度为α，经度分别为12,ββ，规定东经时经度为正，西经时经度为负)，点A 、B 在赤道平面上的投影分别为C 、D ，则12||COD AO B ββ'∠=∠=-（若12||(,2)ββππ-∈，则122||AO B πββ'∠=--），且1212cos cos ||cos(2||)AO B ββπββ'∠=-=--.四边形ABDC 是矩形，AB =CD .小圆半径cos O A O B R α''==，于是在△AO ’B 中，由余弦定理得12||2cos sin 2AB R ββα-==. 在AOB ∆中，由余弦定理得22222122||cos 12cos sin 22R R AB AOB R ββα-+-∠==-， 于是球心角2212||arccos(12cos sin )2AOB ββα-∠=-，则A 、B 两地的球面距离为2212||arccos(12cos sin )2s R ββα-=⋅-（R 为地球半径）.------------（公式二） 注：同纬度不同经度的A 、B 两地距离实质上只要考虑如右图所示的三棱锥O ABO '-，其中,OA OB OO R '===OAOOBO ''∠=∠为纬度，AO B '∠为两地的经度差（和）（或经度差相对周角的补角），,O A O B O O A B O ''''=⊥面，只要能求出球心角AOB ∠即可.3、（拓展）不同纬度不同经度的两点间的球面距离：如图所示，设1122(,),(,)A B αβαβ为地球上不同纬度不同经度的两点(纬度分别为12,αα，经度分别为12,ββ，规定北纬时纬度为正，南纬时纬度为负，东经时经度为正，西经时经度为负)，点A 、B 在赤道平面上的投影分别为C 、D ，则12,AOC BOD αα∠=∠=，12||COD ββ∠=-（若12||(,2)ββππ-∈，则122||COD πββ∠=--），1212,c o s ,c o s ,s i n ,s i n ,O A O B RO C R O D R A C R B D R αααα======在COD ∆中，由余弦定理得在直角梯形ABDC 中，易求在△AOB 中，由余弦定理有2221212122cos sin sin cos cos cos ||2R R AB AOB Rααααββ+-∠==+-. 于是球心角为121212arccos(sin sin cos cos cos ||)AOB ααααββ∠=+-，则A 、B 两地的球面距离为121212arccos(sin sin cos cos cos ||)s R ααααββ=⋅+-.（R 为地球半径）.-------------------（公式三）.注：不同纬度不同经度的A 、B 两地距离实质上只要考虑如右图所示的四棱锥O ABDC -，其中,OA OB R ==,AOC BOD ∠∠为A 、B 的纬度，COD ∠为D两地的经度差（和）（或经度差相对于周角的补角），,AC COD ⊥面BD COD ⊥面，四边ABDC 为直角梯形，只要能求出球心角AOB ∠即可。
而且容易验证公式一、二都满足公式三.（四）例题应用例1：已知上海的位置约为东经121︒，北纬31︒，台北的位置约为东经121︒，北纬25︒，求两个城市之间的距离.（地球半径约为6371千米，结果精确到1千米）分析：两地点经度相同，已保证两者已落在大圆上.解：作出如右图所示的简图，则球心角31256AOB ∠=-=, 于是两个城市之间的距离为66371667180s π=⨯⨯≈（千米）. 例2：已知北京的位置约为东经116︒，北纬40︒，纽约的位置约为西经74︒，北纬40︒，求两个城市之间的距离.（地球半径约为6371千米，结果精确到1千米）分析：两地同纬度不同经度.解：作出如右图所示的简图，(40,116),(40,74)A B -分别表示北京与纽约，则40,OAO OBO ''∠=∠=经度差360[116(74)]170AO B '∠=---=，于是小圆半径为cos 40O A O B R ''==，使用公式二得两地的距离为226371arccos(12cos 40sin 85)11062s =⨯-≈（千米）.五、教学反思本节课可以作为一节师生共同探究课.引入中，从学生学习的地理知识入门，问问学生在地理上了解的经度、纬度的定义及其中的道理，极大激起学生的学习热情.本节课中球面距离定义中“经过两点的大圆的劣弧长最短”是难点，因为这一结论的证明需要用到高等数学知识，即利用导数证明函数sin x y x =在(0,)2x π∈上单调递减，这可以作为部分学有余力的学生课下钻研。
在求两点的球面距离中，如何在棱锥中利用边角的关系求出球心角是解题的核心，只要学生能正确把握大圆、小圆的关系以及纬度差、经度差与棱锥的角的关系，并恰当使用余弦定理，解决这类问题还是非常容易的。
最后，我们可以给出地球上两点间的球面距离的一个统一公式，即球面距离121212arccos(sin sin cos cos cos ||)s R ααααββ=⋅+-，其中1122(,),(,)A B αβαβ分别表示地球上A 地的纬度为1α，经度为1β，B 地的纬度为2α，经度为2β，（规定北纬时纬度为正，南纬时纬度为负，东经时经度为正，西经时经度为负)，R 为地球的半径.。
