第二章随机变量及其分布章末复习学习目标 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解离散型随机变量及分布列，并掌握两个特殊的分布列——二项分布和超几何分布.3.理解离散型随机变量的均值、方差的概念，并能应用其解决一些简单的实际问题.4.了解正态分布曲线特点及曲线所表示的意义．1．离散型随机变量的分布列(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．(2)若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，则称表为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有性质：①p i≥ 0，i＝1,2，…，n；②∑n i ＝1p i ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 2．两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，q ＝1－p 则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布． 3．超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率：P (X ＝k )＝Ck M Cn k N －M Cn N(k ＝0,1,2，…，m )，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，则称分布列为超几何分布列． 4．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝错误!(P (A )>0)．在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝错误!. (2)条件概率具有的性质： ①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件， 则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 5．相互独立事件(1)对于事件A ，B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A ，B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B )．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 6．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝Ck n p k(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 7．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差称D (X )＝∑n i ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根错误!为随机变量X 的标准差． (3)均值与方差的性质 ①E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .②D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) (4)两点分布与二项分布的均值、方差①若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． ②若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 8．正态分布 (1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝12πσ22()2ex μσ--，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R )．我们称函数φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为 1 ；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝ʃb aφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4.类型一条件概率的求法例1 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx ＋c＝0有实根的概率．考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率解记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，则基本事件总数为6×6＝36.其中先后两次出现的点数中有5，共有11种．从而P (M )＝1136.记“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根”为事件N ， 若使方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根， 则Δ＝b 2－4c ≥0，即b ≥2 c.∵b ，c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数， ∴当先后两次出现的点数中有5时， 若b ＝5，则c ＝1,2,3,4,5,6；若c ＝5，则b ＝5,6.b ＝5，c ＝5只能算一种情况，从而P (MN )＝736.∴在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为P (N |M )＝错误!＝错误!.反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法 (1)P (B |A )＝错误!.(2)P (B |A )＝错误!.在古典概型下，n (AB )指事件A 与事件B 同时发生的基本事件个数；n (A )是指事件A 发生的基本事件个数．跟踪训练1 已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．(以上各问结果写成最简分式形式) 考点 条件概率的性质及应用 题点 条件概率的性质的简单应用解 设“任选一人是男人”为事件A ，“任选一人是女人”为事件B ，“任选一人是色盲”为事件C .(1)此人患色盲的概率P (C )＝P (AC )＋P (BC )＝P (A )P (C |A )＋P (B )·P (C |B ) ＝100200×5100＋100200×0.25100＝21800. (2)由(1)得P (AC )＝5200，又因为P (C )＝21800， 所以P (A |C )＝错误!＝错误!＝错误!.类型二 相互独立事件的概率与二项分布例2 天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为16，至少有一个地方降雨的概率为23，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响． (1)分别求甲、乙两地降雨的概率；(2)在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X ，求X 的分布列、均值与方差． 考点 二项分布的计算及应用 题点 求二项分布的分布列解 (1)设甲、乙两地降雨的事件分别为A ，B ，且P (A )＝x ，P (B )＝y . 由题意得错误!解得错误!所以甲地降雨的概率为12，乙地降雨的概率为13.(2)在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为P ＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×23＋12×13＝12. X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (X ＝1)＝C13⎝ ⎛⎭⎪⎫121⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P (X ＝2)＝C23⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝38，P (X ＝3)＝C33⎝⎛⎭⎪⎫1－123＝18，所以X 的分布列为所以E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝32.方差D (X )＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－322＋38×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322＋38×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－322＋18×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322＝34.反思与感悟 (1)求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题①“P (AB )＝P (A )P (B )”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．②涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系． ③公式“P (A ∪B )＝1－P (A B )”常应用于相互独立事件至少有一个发生的概率． (2)二项分布的判定与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定： ①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．跟踪训练2 在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23.(1)求油灌被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ不小于4的概率． 考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题 题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题解 (1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为P ＝C15×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋⎝ ⎛⎭⎪⎫135，所以所求的概率为1－P ＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤C15×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝232243.(2)当ξ＝4时，记事件为A ， 则P (A )＝C13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝427，当ξ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B .则P (B )＝C14×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19，所以所求概率为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝427＋19＝727.类型三 离散型随机变量的均值与方差例3 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 考点 均值与方差的应用 题点 均值与方差的综合应用 解 (1)设顾客所获的奖励额为X ， ①依题意，得P (X ＝60)＝C11·C 13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意得X 的所有可能取值为20,60，P (X ＝20)＝C23C24＝12，P (X ＝60)＝12，即X 的分布列为所以这位顾客所获奖励额的均值为E (X )＝20×12＋60×12＝40.(2)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找均值为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元．如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案1，对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)， 记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的均值E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60.X 1的方差D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003，对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的均值E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003. 由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2.反思与感悟 求离散型随机变量X 的均值与方差的步骤 (1)理解X 的意义，写出X 可能的全部取值； (2)求X 取每个值的概率或求出函数P (X ＝k )； (3)写出X 的分布列；(4)由分布列和均值的定义求出E (X )；(5)由方差的定义，求D (X )，若X ～B (n ，p )，则可直接利用公式求，E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．跟踪训练3 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的分布列如下表：且X 1的均值E (X 1)＝6，求a ，b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7用该样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的均值； (3)在(1)(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具有可购买性？说明理由．注：①产品的“性价比”＝产品的等级系数的均值产品的零售价；②“性价比”高的产品更具有可购买性． 考点 均值与方差的应用 题点 均值与方差的综合应用 解 (1)∵E (X 1)＝6，∴5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6， 即6a ＋7b ＝3.2，又由X 1的分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1， 即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：用该样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的分布列如下：∴E (X 2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8，即乙厂产品的等级系数的均值为4.8.(3)乙厂的产品更具有可购买性，理由如下： 甲厂产品的等级系数的均值为6，价格为6元/件， 其性价比为66＝1，乙厂产品的等级系数的均值等于4.8，价格为4元/件， 其性价比为4.84＝1.2.∴乙厂的产品更具有可购买性． 类型四 正态分布的应用例4 为了评估某大米包装生产设备的性能，从该设备包装的大米中随机抽取100袋作为样本，称其重量为经计算：样本的平均值μ＝10.10，标准差σ＝0.21.(1)为评判该生产线的性能，从该生产线中任抽取一袋，设其重量为X (kg)，并根据以下不等式进行评判．①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≥0.682 6； ②P (μ －2σ<X ≤μ＋2σ)≥0.954 4； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≥0.997 4；若同时满足三个不等式，则生产设备为甲级；满足其中两个，则为乙级；仅满足其中一个，则为丙级；若全不满足，则为丁级．请判断该设备的等级；(2)将重量小于或等于μ－2σ与重量大于μ＋2σ的包装认为是不合格的包装，从设备的生产线上随机抽取5袋大米，求其中不合格包装袋数Y 的均值E (Y )． 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的综合应用 解 (1)由题意得P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝P (9.89<X ≤10.31)＝80100＝0.8>0.682 6， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝P (9.68<X ≤10.52)＝94100＝0.94<0.954 4， P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝P (9.47<X ≤10.73)＝99100＝0.99<0.997 4， 所以该生产设备为丙级．(2)由表知，不合格的包装共有6袋，则从设备的生产线上随机抽一袋不合格的概率P ＝6100＝350， 由题意知Y 服从二项分布，即Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，350， 所以E (Y )＝5×350＝0.3.反思与感悟 正态曲线的应用及求解策略解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．跟踪训练4 某市去年高考考生成绩X 服从正态分布N (500,502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550分～600分的人数． 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用解 ∵考生成绩X ～N (500,502)，∴μ＝500，σ＝50， ∴P ＝(550<X ≤600)＝12[P (500－2×50<X ≤500＋2×50)－P (500－50<X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 故考生成绩在550分～600分的人数约为25 000×0.135 9≈3 398.1．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为( ) A.13 B.14 C.16 D.12考点 条件概率的定义及计算公式 题点 利用缩小基本事件空间求条件概率 答案 D解析 设抛掷一枚骰子出现的点数不超过4为事件A ，抛掷一枚骰子出现的点数是奇数为事件B ，则P (B |A )＝错误!＝错误!＝错误!.故选D.2．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( ) A.5960 B.35 C.12 D.160考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与互斥事件的综合应用 答案 B解析 设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 相互独立且P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，∴至少有1人去北京旅游的概率为1－P (A BC )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＝1－25＝35，故选B.3．某班有50名学生，一次考试后的数学成绩ξ～N (110,102)，若P (100≤ξ≤110)＝0.34，则估计该班学生的数学成绩在120分以上(含120分)的人数为( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用答案 C解析 ∵数学成绩ξ服从正态分布N (110,102)， 且P (100≤ξ≤110)＝0.34，∴P (ξ≥120)＝P (ξ<100)＝12×(1－0.34×2)＝0.16，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50＝8.4．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23k，k ＝1,2,3，则m 的值为 ．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求参数 答案2738解析 因为P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝1， 即m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1，所以m ＝2738. 5．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的均值E (X )＝ . 考点 相互独立事件的性质及应用 题点 独立事件与分布列 答案 53解析 随机变量X 的可能取值是0,1,2,3.由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，所以p ＝12，于是P (X ＝1)＝23×12×12＋13×12×12＋13×12×12＝13，P (X ＝3)＝23×12×12＝16，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)＝1－112－13－16＝512，所以均值E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.1．条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝错误!错误!求解．(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)＝错误!求解．其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．2．求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的分布列，同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质．一、选择题1．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为( )A.5 B．6 C．7 D．8考点离散型随机变量的可能取值题点离散型随机变量的结果答案 C解析由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，且E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，解得b＝0.4，a＝7.2．某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X(单位：mm)对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如下表所示：在年降水量X至少是100的条件下，工期延误小于30天的概率为( )A．0.7 B．0.5C．0.3 D．0.2考点条件概率的定义及计算公式题点直接利用公式求条件概率答案 B解析 设事件A 为“年降水量X 至少是100”，事件B 为“工期延误小于30天”，则P (B |A )＝错误!＝错误!＝0.5，故选B.3．从应届高中毕业生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生均合格的概率为(假设各项标准互不影响)( ) A.49 B.59 C.45D.190考点 相互独立事件同时发生的概率计算 题点 求多个相互独立事件同时发生的概率 答案 D解析 该生各项均合格的概率为13×16×15＝190.4．设随机变量X 服从正态分布N (3,4)，则P (X <1－3a )＝P (X >a 2＋7)成立的一个必要不充分条件是( ) A ．a ＝1或2 B ．a ＝±1或2 C ．a ＝2D ．a ＝3－52考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线性质的应用 答案 B解析 ∵X ～N (3,4)，P (X <1－3a )＝P (X >a 2＋7)， ∴(1－3a )＋(a 2＋7)＝2×3，∴a ＝1或2.故选B.5．(2017·福建莆田二十四中高二期中)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36D ．0.312考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题题点互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题答案 A解析根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C230.62×0.4＋C330.63＝0.648.6．命题r：随机变量ξ～N(3，σ2)，若P(ξ≤2)＝0.4，则P(ξ≤4)＝0.6.命题q：随机变量η～B(n，p)，且E(η)＝200，D(η)＝100，则p＝0.5.则( )A．r正确，q错误B．r错误，q正确C．r错误，q也错误D．r正确，q也正确考点正态分布的应用题点正态分布的综合应用答案 D解析因为随机变量ξ～N(3，σ2)，所以正态曲线关于x＝3对称，又P(ξ≤2)＝0.4，则P(ξ>4)＝P(ξ≤2)＝0.4，所以P(ξ≤4)＝0.6，所以r是正确的；随机变量η～B(n，p)，且E(η)＝np＝200，D(η)＝np(1－p)＝100，所以200(1－p)＝100，解得p＝0.5，所以q是正确的．故选D.7．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布列若进这种鲜花500束，则利润的均值为( )A．706元B．690元C．754元D．720元考点离散型随机变量均值的概率与计算题点离散型随机变量均值的计算答案 A解析因为E(X)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340，所以利润的均值为340×(5－2.5)－(500－340)×(2.5－1.6)＝706元，故选A.8．某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的均值为( )A.13B.12C.23D.34考点 常见的几种均值题点 与排列、组合有关的随机变量的均值 答案 B解析 由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x ＝1，解得x ＝0.018，∴成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的学生人数为0.006×10×50＝3，∴ξ的可能取值为0,1,2，P (ξ＝0)＝C29C212＝611，P (ξ＝1)＝C13×C 19C212＝922，P (ξ＝2)＝C23C212＝122，∴E (ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12. 二、填空题9．盒中有10支螺丝钉，其中3支是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两支，那么在第一支抽取为好的条件下，第二支是坏的概率为 ． 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 答案 13解析 记事件A 为“第一支抽取为好的”，事件B 为“第二支是坏的”，则P (A )＝710，P (AB )＝710×39＝730，∴P (B |A )＝错误!＝错误!.10．甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出．已知每一局甲、乙二人获胜的概率分别为25，35，则甲胜出的概率为 ．考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题 题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题 答案1625解析 方法一 甲胜的情况为：①举行一局比赛，甲胜出，比赛结束，②举行两局比赛，第一局乙胜，第二局甲胜，其概率分别为25，35×25，且这两个事件是互斥的，所以甲胜出的概率为25＋35×25＝1625.方法二 因为比赛结果只有甲胜出和乙胜出两个结果，而乙胜出的情况只有一种，举行两局比赛都是乙胜出，其概率为35×35＝925，所以甲胜出的概率为1－925＝1625.11．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获得50元，生产一件乙等品可获得30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期获利 元． 考点 离散型随机变量的均值的概念与计算 题点 离散型随机变量均值的计算 答案 37解析 设生产一件该产品可获利钱数为X ，则随机变量X 的取值可以是－20,30,50.依题意，X 的分布列为故E (X )＝－20×0.1＋30×0.3＋50×0.6＝37(元)．12．一批玉米种子的发芽率是0.8，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种．则每穴至少种 粒，才能保证每穴不需补种的概率大于98%.(lg 2＝0.301 0)考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题 题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题 答案 3解析 记事件A 为“种一粒种子，发芽”， 则P (A )＝0.8，P (A )＝1－0.8＝0.2.因为每穴种n 粒相当于做了n 次独立重复试验，记事件B 为“每穴至少有一粒种子发芽”， 则P (B )＝C0n 0.80(1－0.8)n ＝0.2n， 所以P (B )＝1－P (B )＝1－0.2n. 根据题意，得P (B )>98%，即0.2n <0.02. 两边同时取以10为底的对数，得n lg 0.2<lg 0.02，即n (lg 2－1)<lg 2－2，所以n >lg 2－2lg 2－1＝－1.699 0－0.699 0≈2.43.因为n ∈N *，所以n 的最小正整数值为3. 三、解答题13．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片． (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)用X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与均值． (注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数) 考点 常见的几种均值题点 与排列、组合有关的随机变量的均值解 (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率P ＝C34＋C33C39＝584.(2)X 的所有可能取值为1,2,3， 则P (X ＝1)＝C24×C 15＋C34C39＝1742，P (X ＝2)＝C13×C 14×C 12＋C23×C 16＋C33C39＝4384，P (X ＝3)＝C22×C 17C39＝112.故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.四、探究与拓展14．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择． 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1 000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元．(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖．哪个方案更划算？ 考点 均值、方差的综合应用 题点 均值与方差在实际中的应用解 (1)由题意得，X 的所有可能取值为0,500,1 000，则P (X ＝0)＝15＋45×12×15＝725，P (X ＝500)＝45×12＝25， P (X ＝1 000)＝45×12×45＝825，所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列为(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X 的均值E (X )＝500×25＋1 000×825＝520，若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，则E (ξ)＝3×25＝65，抽奖所获奖金Y 的均值E (Y )＝E (400ξ)＝400E (ξ)＝480，故选择方案甲较划算．15．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、均值及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．考点 均值、方差的综合应用 题点 均值与方差在实际中的应用 解 (1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n <16时，利润y ＝10n －80.所以当天的利润y 关于当天需求量n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n<16，80，n≥16.(n ∈N )(2)①X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. 故X 的分布列为E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.②方法一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4，D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)<D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E(X)<E(Y)，但两者相差不大，故花店一天应购进16枝玫瑰花．方法二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)<E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．。
